《明史》·卷三十三　志第九

曆三

大統曆法一下法原

太陽盈縮平立定三差之原

冬至前後盈初縮末限，八十八日九十一刻，[就整。]離為六段，每段各得一十四日八十二刻。[就整。]各段實測日躔度數，與平行相較，以為積差。

　　　　積日　　　　　積差

第一段　一十四日八二　七千○五十八分○二五

第二段　二十九日六四　一萬二千九百七十六三九二

第三段　四十四日四六　一萬七千六百九十三七四六二

第四段　五十九日二八　二萬一千一百四十八七三二八

第五段　七十四日一○　二萬三千二百七十九九九七

第六段　八十八日九二　二萬四千○二十六一八四

各置其段積差，以其段積日除之，為各段日平差。　置各段日平差，與後段日平差相減，為一差。　置一差，與後段一差相減，為二差。

　　　　日平差　　　　　　一差　　　　　二差

第一段　四百七十六分二五　三十八分四五　一分三八

第二段　四百三十七分八○　三十九分八三　一分三八

第三段　三百九十七分九七　四十一分二一　一分三八

第四段　三百五十六分七六　四十二分五九　一分三八

第五段　三百一十四分一七　四十三分九七　

第六段　二百七十○分二○

置第一段日平差，四百七十六分二十五秒，為汎平積。　以第二段二差一分三十八秒，去減第一段一差三十八分四十五秒，餘三十七分○七秒，為汎平積差。　另置第一段二差一分三十八秒，折半得六十九秒，為汎立積差。　以汎平積差三十七分○七秒，加入汎平積四百七十六分二十五秒，共得五百一十三分三十二秒，為定差。　以汎立積差六十九秒，去減汎平積差三十七分○七秒，餘三十六分三十八秒為實，以段日一十四日八十二刻為法除之，得二分四十六秒為平差。　置汎立積差六十九秒為實，以段日為法除二次，得三十一微，為立差。

夏至前後縮初盈末限，九十三日七十一刻，[就整。]離為六段，每段各得一十五日六十二刻。[就整。]各段實測日躔度數，與平行相較，以為積差。

　　　　積日　　　　　積差

第一段　一十五日六二　七千○五十八分九九○四

第二段　三十一日二四　一萬二千九百七十八六五八

第三段　四十六日八六　一萬七千六百九十六六七九

第四段　六十二日四八　二萬一千一百五十○七二九六

第五段　七十八日一○　二萬三千二百七十八四八六

第六段　九十三日七二　二萬四千○百一十七六二四四

推日平差、一差、二差術，與盈初縮末同。

　　　　日平差　　　　　　一差　　　　　二差

第一段　四百五十一分九二　三十六分四七　一分三三

第二段　四百一十五分四五　三十七分八○　一分三三

第三段　三百七十七分六五　三十九分一二　一分三三

第四段　三百三十八分五二　四十○分四六　一分三三

第五段　二百九十八分○六　四十一分七九　

第六段　二百五十六分二七

置第一段日平差，四百五十一分九十二秒，為汎平積。　以第一段二差一分三十三秒，去減第一段一差三十六分四十七秒，餘三十五分一十四秒，為汎平積差。　另置第一段二差一分三十三秒折半，得六十六秒五十微，為汎立積差。　以汎平積差三十五分一十四秒，加入汎平積四百五十一分九十二秒，共四百八十七分○六秒，為定差。　以汎立積差六十六秒五十微，去減汎平差三十五分一十四秒，餘三十四分四十七秒五十微為實，以段日一十五日六二為法除之，得二分二十一秒，為平差。　置汎立積差六十六秒五十微為實，以段日為法，除二次，得二十七微，為立差。

凡求盈縮，以入曆初末日乘立差，得數以加平差，再以初末日乘之，得數以減定差，餘數以初末日乘之，為盈縮積。

凡盈曆以八十八日九○九二二五為限，縮曆以九十三日七一二○二五為限。在其限已下為初，以上轉減半歲周餘為末。盈初是從冬至後順推，縮末是從冬至前逆溯，其距冬至同，故其盈積同。縮初是從夏至後順推，盈末是從夏至前逆溯，其距夏至同，故其縮積同。

盈縮招差圖[圖闕]

盈縮招差圖說

盈縮招差，本為一象限之法。[如盈曆則以八十八日九十一刻為象限，縮曆則以九十三日七十一刻為象限。]今止作九限者，舉此為例也。其空格九行定差本數，為實也。其斜線以上平差立差之數，為法也。斜線以下空格之定差，乃餘實也。假如定差為一萬，平差為一百，立差為單一。今求九限法，以九限乘定差得九萬為實。另置平差，以九限乘二次，得八千一百。置立差，以九限乘三次，得七百二十九。幷兩數得八千八百二十九為法。以法減實，餘八萬一千一百七十一，為九限積。又法，以九限乘平差得九百，又以九限乘立差二次得八十一，幷兩數得九百八十一為法，定差一萬為實，以法減實，餘九千零一十九，即九限末位所書之定差也。於是再以九限乘餘實，得八萬一千一百七十一，為九限積，與前所得同。蓋前法是先乘後減，又法是先減後乘，其理一也。

　　按授時曆於七政盈縮，並以垛積招差立算，其法巧合天行，與西人用小輪推步之法，殊途同歸。然世所傳九章諸書，不載其術，曆草載其術，而不言