《历算全书》·5

计开

　　甲原金四百　加赢乙四百【二之一也】共八百　除丙又赢去甲一百【四之一也】仍余七百

　　乙原金八百　加赢丙三百【三之一也】共一千一百　甲赢去四百【乙二之一也】仍余七百

　　丙原金九百　赢甲一百【四之一也】共一千　乙赢去三百【丙三之一也】亦仍余七百

　　论曰此与刋误条骡马逓借一匹同但马一骡二驴三即是原物偕所借之一而为和数今乙一丙二甲三却是各所存之余分偕所赢之一分而为和数也得数大异者马骡即是全数今则用分故丙之全数转多于乙若以一分计则乙之分自多于丙如马力之于骡矣

　　又论曰此三条皆是两相交易而又是和数与前数条金银交易几锭不同

　　难题歌曰一条竿子一条索索比竿子长一托双折索子去量竿却比竿子短一托

　　解曰一托者五尺也

　　法以零整襍列位　因双折是二之一故以二通索

　　法一即以实一丈命为绳之一分　分母二因之得绳长二丈　减负五尺余得竿长一丈五尺

　　假如有绳长不知数但云比竿长六尺若三折其绳则短于竿八尺

　　法二除实三丈得竿长一丈五尺　加正六尺得绳长二丈一尺

　　论曰原法别有求法然不如方程穏捷故作此问以明之若用难题法不能通矣故方程能御杂法而杂法不能御方程　此条统宗原入均输今改正

　　问井不知深先将绳折作三条入井汲永绳长四尺复将绳折作四条入井亦长一尺其井深绳长各若干

　　法以两母【三四】相乗得十二分为绳母数　以母【三四】互乗其子【之一之一】得【四三】是为以绳十二分之四汲水而长四尺以绳十二分之三汲水而长一尺也

　　余一分为法　即以实三尺命为绳十二分之一以十二分乗一分得三十六尺为绳长　以绳之三分计九尺同减负一尺得八尺为井深

　　计开

　　井深八尺

　　绳长三十六尺

　　三折之得一十二尺　比井多四尺

　　四折之得九尺　　　比井多一尺

　　论曰此条原属盈朒今以方程御之尤简易故曰方程能御杂法也

　　试更之则先得井深

　　法一省除即以八尺命为井深　加正四尺共十二尺绳之四分除之得三尺为一分　一十二分母乗之得绳长三十六尺

　　论曰此余八尺者即物实也前以余三尺为绳长实者即人实即此可悟盈朒章作法之原要之是二色方程法耳【人实物实不同而除法则同故皆可以互求】

　　今有绢一疋欲作帐幅先折成六幅比旧帐长六寸改折作七幅却又短四寸其绢并旧帐幅各长若干【折作六幅以较长即六之一七幅即七之一】

　　法如前以【六七】幅相乗得四十二分为总母　以【六七】互乗其【之一之一】得【之七分之六分】为所用之分而列之【以绢四十二之七则长于帐六寸　以绢四十二之六则短于帐四寸】为较数

　　法一　实一尺即为绢之一分　以分母四十二乗之得绢长四丈二尺　以绢之七分计七尺减负六寸余六尺四寸为旧帐之长

　　计开

　　旧帐幅六尺四寸

　　绢长四丈二尺

　　均作六幅得七尺　比帐长六寸

　　均作七幅得六尺　比帐短四寸

　　论曰此与井不知深皆是以一物之细分与一整物较皆零整杂用之法也

　　又以上三条盈朒章旧有求法然皆因所较之井深与旧帐幅皆为一数而不变故可用盈朒之法若亦有分数不同则非盈朒所能御此方程之用能包盈朒诸法而诸法不能御方程

　　今有台不知髙从上以绳缒而度之及台三之二而余六尺双折其绳度之及台之半而不足三尺问台之髙及绳之长若何

　　法以台【三二】之【二一】用母相乗为母之法通台为六分　又用母互乗子为子之法变台三之二为六之四台之半为六之三　又以双折通绳为二　皆以化整为零而列之

　　余绳二分为法　并三十尺为实　因二为分母与法同省除与乗径以实三十尺为绳长　减负六尺余二十四尺以台之四分除之母六乗之得三十六尺为台髙

　　计开

　　台髙三十六尺

　　绳长三十尺

　　台三之二髙二十四尺　以绳度之余六尺

　　台之半髙一十八尺　　以半绳一十五尺比之短三尺

　　今有井不知深以乙绳汲之余绳二尺以庚绳汲之亦余绳四尺双折庚绳三折乙绳以相续而汲之适足问井深及二绳各长若何

　　法以乙绳通为三　庚绳通为二

　　以三色列之　井整数乙庚用分

　　以隔行之同名仍为较数列之　余较皆与庚同名

　　余庚一分为法　即以实一丈命为庚二之一　倍之得庚绳二丈　减负二尺得乙绳一丈八尺【用减余之右行葢乙正三即全数也】

　　又减负二尺得井深一丈六尺【用原列之右行亦以乙负三即全数故】计开

　　井深一丈六尺

　　乙绳一丈八尺　比井多二尺

　　庚绳二丈　　　比井多四尺

　　三折乙绳六尺加双折庚绳一丈共一丈六尺即同井深

　　论曰此二条与前井深绢帐同理然即非盈朒所能御又按田之横直亦可以绳折比量水面亦然

　　今有直田欲截一段之积只云截长六歩不足积七步截长八步又多积九步问所截之积及原濶

　　法以较数列之【其原濶即截长每一步之积】

　　上　　　　　中　　　　　　下

　　长二步除积十六步得原濶八步　以截长六步乗濶得四十八步加不足七步得截积五十五步

　　论曰此盈朒中方田也然无闗于方田之实用故入盈朒然不知宜入方程也

　　试更作问

　　今有方田欲截横头之积改为直田但云截濶五步则不足十二步截濶九步则如所截之积一有半问所截直田积并原田之方

　　如法列位

　　濶一歩半为法　积十八歩为实　法除实得原方一十二歩　以濶五歩乗方得六十歩加不足十二歩得截直田七十二歩

　　计开

　　原方田方十二歩　积一百四十四歩

　　截直田七十二歩　宜截濶六歩

　　若此条则盈朒不能御

　　今有米换布七疋多四斗换九疋适足问原米若干及布价

　　法列位

　　上　　　中　　　下

　　布二疋为法　四斗为实　法除实得布价每疋二斗　以九疋适足乗布价得原米一石八斗

　　论曰此盈朒中粟布法也

　　试更设问

　　今有谷换绢十疋余三石以谷之半换绢六疋不足五斗问原谷若干及绢价

　　法列位

　　法一免除　得绢每疋价二石　以十疋乗价加余三石得原糓二十三石

　　若此条则非盈朒所能御

　　论曰直田截积及米换布盈朒本法也愚所设方田截积及糓换绢非盈朒本法也乃带分盈朒之变例也【如旧法芝蔴粜银是其例也】虽盈胸亦有求法颇多转折非其质矣不如用方程之省约

　　今有芝蔴不知总但云取麻八分之三粜银十两不足二石取麻三分之一粜银八两适足问原麻总数及每银一两之麻

　　法先以麻【八　之三三　之一】用母相乗得二十四为母母互乗子得【之九之八】为所用之分而列之　依省算左加九之一而径减

　　法一两省除即以麻二石命为银每两之麻　以银八两麻八分适足省乗除径以二石为麻之一分以二十四分乗得原麻四十八石

　　计开

　　原麻四十八石　　　　银毎两麻二石

　　其八之三计一十八石　银十两该二十石　故不足二石

　　其三之一计一十六石　银八两恰该一十六石　故适足

　　若问麻每石之银则以二石为法转除一两得每石价五钱

　　按此条宜入方程旧列带分盈胸之末

　　问者若云有银买麻以麻八之三与之则余二石以麻三之一与之适足问原麻及银所买

　　依法求得二石为麻之一分　以总母廿四分乗之得原麻四十八石　以九分乗二石减负二石得银所买麻十六石

　　论曰此所设问则盈朒带分本法也然不能知每价以方程法求之亦同　观此益见前条之宜入方程也

　　今有黄连木香不知数但云取连三之一换木香七之二则连多二斤取连四之三换木香五之四则连少一斤若于五之四内减去木香三斤则连多一斤

　　法先以通分齐其分

　　乃列位

　　如法乗减　余木香二十二分为法　异并黄连二十二斤为实　法除实得每木香一分【即三十五分之一】换黄连一斤　以木香十分换黄连十斤异加正二斤共十二斤以黄连正四分除之得黄连每三斤为一分　以分母十二乗之得总黄连三十六斤

　　另并黄连多一斤少一斤共二斤为法除减木香三斤得每黄连一斤换木香一斤半【原少连一斤减木香三斤而转多连一斤故知其数】

　　此连所换之木香一斤半即其三十五分之一分也以三十五分乗之得木香五十二斤半

　　计开

　　黄连三十六斤

　　木香五十二斤半

　　每黄连一斤换木香一斤半

　　三分三十六斤而取其一得一十二斤为黄连三之一七分五十二斤半而取其二得十五斤为木香七之二该换连十斤今连有十二斤是连多二斤也

　　四分三十六斤而取其三得二十七斤为黄连四之三五分五十二斤半而取其四得四十二斤为木香五之四该换连二十八斤今连只二十七斤是连少一斤也

　　若于木香五之四减三斤余三十九斤该换连二十六斤今连有二十七斤是连多一斤也

　　论曰凡较数方程有若干物共几色又有其所较之价银若钱之类今所用较数即用其物之斤两而无银若钱微有不同乃古者贸迁有无交易之术也专用银若钱以权物价后世事耳

　　问绫每尺多罗价三十六文今买绫六尺罗八尺其共价绫比罗少三十六文

　　畣曰绫每尺一百六十二文　罗每尺一百二十六文

　　罗二尺除二百五十六尺得罗价每尺一百二十六文　加多三十六文得绫价每尺一百六十二文

　　问银二千九百二十八两买绫一百五十疋罗三百疋绢四百五十疋只云绫每疋比罗多四钱七分罗每疋多绢一两三钱五分　畣曰绫每疋四两三钱二分　罗每疋三两八钱五分　绢每疋二两半

　　绢九百疋为法除实二千二百五十两得绢价二两五钱　加多一两三钱半得罗价三两八钱半　又加多四钱七分得绫价四两三钱二分

　　今有兄弟三人不知年小弟谓长兄曰我年比汝四之三次兄比汝六之五比我多八歳

　　法以带分别之　皆变零从整

　　季弟二　除一百四十四歳得年七十二歳　加八歳得仲兄年八十　六因仲年五除之得伯年九十六歳

　　计开

　　伯九十六歳　仲八十歳【为伯年六之五】　季七十二歳【为伯年四之三】今有四人分钱但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之十七其丁与丙差四文

　　甲正五　　乙负六　　　空　　空　　　适足【此行不用乙无对故也】

　　丁四除二百七十二得丁钱六十八文

　　加四文得丙钱七十二文

　　四乗丙钱三除之得甲钱九十六文

　　五乗甲钱六除之得乙钱八十文

　　计开

　　甲九十六文

　　乙八十文

　　丙七十二文

　　丁六十八文

　　甲六之一得一十六以五因得八十文为六之五乙数也甲四之一得二十四以三因得七十二为四之三丙数也甲二十四之一得四以一十七因得六十八为二十四之一十七丁数也

　　论曰此虽四色实三色也故径以三色取之

　　今有七人逓差分钱但知首二人共七十七文次二人共六十五文不知各数亦不知余人数

　　法以逓差故知倍乙当甲丙倍丙当乙丁而列之

　　重列减余与三行　减余变较

　　重列减余与四行

　　丁八为法除实二百四十八文得三十一文为丁数倍丁数与六十五文相减得逓差三文　以差逓

　　加得甲乙丙数以差逓减得戊己庚数　皆加减丁数得之

　　计开　甲四十文　乙三十七文　丙三十四文　丁三十一文戊二十八文　己二十五文　庚二十二文

　　今有银二百四十两以四人逓差分之只云甲多丁一十八两

　　如前法以倍乙当甲丙倍丙当乙丁　又依省算移甲于丁位

　　和较列位

　　重列两减余

　　又重列减余与末行

　　甲四除二百七十六两得甲数六十九两　甲数内减十八两得丁数五十一两　以甲数减二百四十两余一百七十一两丙三除之得丙数五十七两　并丙数甲数一百廿六两半之得乙数六十三两计开

　　甲六十九两　乙六十三两　丙五十七两　丁五十一两　逓差六两

　　今有米二百四十石五人逓差分之其甲乙二人与戊丁丙三人共数等

　　如前法列位　依省算倒甲位自下而上

　　重列减余与三行

　　又重列减余与四行

　　又重列减余与末行

　　甲十五除九百六十得甲数六十四石　倍甲数减一百廿石余得逓差八石　以差逓减各数得乙丙丁戊数

　　计开

　　细分之逓差八石

　　论曰凡差分章竹筒七节盛米之类皆可以此法求之兹不烦列

　　厯算全书卷四十五

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

　　钦定四库全书

　　歴算全书卷四十六

　　宣城梅文鼎撰

　　句股阐微卷一

　　句股正义

　　首题

　　句股者横曰句纵曰股【亦可云勾纵股横】斜曰三线相聨而成句股形也

　　如图甲乙丙形甲乙为股乙丙为句甲丙为亦可云【甲乙为句乙丙为股】也　凡三角形或三角俱鋭或两鋭一钝或两鋭一

　　正【鋭钝正説具三角形算法中】句股形者两鋭一正形也其句股两线纵横相遇而成者为正角如乙防句两线及股两线相遇而成者为鋭角如甲丙两防　此三线者或三线俱不等其最大者必或两线等其等者必句股而无三线等何者以句股形一角正故也

　　一题

　　句股求

　　法曰句股各自乘并之开方得

　　如图甲乙句自乘得乙丁方乙丙股自乗得乙戊方两方相并即甲巳方开之得甲丙

　　论曰试移庚实形补辛虚形移丑实形补卯虚形移壬实形补子虚形移卯午实形补壬辰虚形所移者恰尽所补者恰足得乙丁与乙戊两方并恰与甲巳方等又论曰更以句与股相等之形观之夫句与股既等则句股各自乗固方也即句股互相乗亦方也【凡句股不等则句股互相乗必是矩形】如丁戊大方平分方边于方形中纵横作线中分四

　　小方形必等又句与股既等则上方边为句股各自乗两方之对角线亦为句股互相乗两方之对角线如于四小方形中作四对角线相聨而成一中方形也此中方形者割小方形四之半即涵小方形二之全就此图观之尤为明显

　　又法曰句与股相乗倍之另以句股差自乗并入倍数开方得

　　论曰甲乙股乙丙句相乗得乙丁矩形中分为庚戊两形夫庚形即辛形也倍之者再加癸卯两形也乙丙为句丙巳

　　为股乙巳为句股差自乗得乙子方并入倍数共成甲壬方为甲丙上方也

　　又法曰句自乗倍股依长濶相差法求之得股差加股为

　　论曰甲乙丙句股形甲丙也丁已亦也丁戊上方也乙丙股也乙壬亦股也乙子股上方也余乙戊子磬折形即句自乗之数也而已壬矩与乙丑矩等即丙戊矩亦

　　句自乗之数也此丙戊矩形中乙丙为股加乙壬为倍股曰长濶相差者丙午为长午戊为濶与壬午等即壬丙倍股为长濶之差也依法求之得壬午为股差

　　二题

　　句求股

　　法曰自乗内减句自乗余开方得股

　　论曰一题句股求苐一法句股各自乗并之即自乗数则自乗数中有句股各自乗之数也今于自乗数中减去句自乗所存者即股自乗数矣就一题之图观之自见

　　又法曰句相并得数相减得数两数相乗得数开方得股

　　如图甲乙丙句股形乙丙句甲乙股甲丙与乙丙相并即乙丁线相减即乙巳线【乙巳与乙子等】两线【乙丁乙子】相乗得子丁矩即

　　甲乙股上方

　　论曰己午方者已丙线上方即甲丙上方也内减子午形为乙丙句上方所存卯巳未磬折形即甲乙股上方矣而巳未矩又与丁卯矩等则丁子矩形即卯巳未磬折形矣亦即甲乙股上方矣

　　又法曰句自乗倍依长濶相和法求之得股差用减得股

　　论曰甲乙丙句股形甲丙也丁己亦也丁戊上方也乙丙股也乙壬亦股也乙子股上方也余乙戊子磬折形

　　即甲乙句自乗之数也而己壬矩与乙丑矩等即丙戊矩亦甲乙句自乗之数也此丙戊矩形中乙午为乙丙并午戊为倍曰长濶相和者丙午为长午戊为濶即丙午午戊并为长濶相和也依法求之得壬午为股差

　　三题

　　股求句

　　法同二题句求股

　　附长濶相和法

　　如图丁乙矩形积九百七十二尺丁甲为长乙甲为濶两边之和共六十三尺求甲丁甲乙二边各若干　法以和数

　　自乗得三千九百六十九尺次以积四倍之得三千八百八十八尺与和自乗相减存八十一尺开方得九尺【即丁甲乙甲二边之较数】以与和【六十三尺】相并折半得三十六尺为甲丁长边又与和相减折半得二十七尺为甲乙矩边长濶相差法【图同上】

　　丁乙矩形积九百七十二尺甲乙为濶戊乙为长丙戊九尺【乙丙即甲乙】为长濶相差数甲乙戊乙二边各若干法以较数【九尺】自乗得八十一尺次以积四倍之得三千八百八十八尺与较自乗相并得三千九百六十九尺开方得六十三尺【即戊乙甲乙二边之和数】以与较九尺相并折半得三十六尺为戊乙长边又与较【九尺】相减折半得二十七尺为甲乙短边

　　解曰甲午矩形作乙丙对角线成甲乙丙句股形甲丙长句也甲乙濶股也丙丑长濶和也【甲丑即乙甲】自乗得丙

　　子大方四倍矩积也并大方内戊丁

　　庚辛四矩形之积【大方内所容四矩俱与元形等如丙

　　壬矩即甲午矩其八句股形亦俱等元形】相减存己壬小

　　方开方得巳未边即甲乙甲丙二边之较数也【卯亥即甲乙股卯壬即甲丙句则壬亥为两边较数即长濶相差也】既得较数与所有和数相加减得甲乙甲丙二边矣

　　若长濶相差法是先有巳未较数故以上法反用之求得丙丑和得丙丑亦得甲乙与甲丙矣

　　四题

　　与句股较求句股

　　法曰自乗倍之较自乗用减倍数余开方得句股和于是和加较半之得长股和减较半之得短句

　　论曰甲乙丙句股形甲乙句也乙丁句上方也乙丙股也丙戊股上方也两方并共为上方辛壬亦句上方

　　庚已亦股上方两方并亦共为上

　　方此即自乗倍之之数也而两句

　　方两股方并为丙己大方则中间重

　　叠庚戊方矣此何方乎曰戊子即句股较也庚戊方即较上方也减之而重叠者去矣所存者为句股和上方矣故开之得丙丑为句股和也

　　又法曰自乗内减较自乗余半之以较为长濶相差法求之得短句加较得长股

　　论曰甲乙丙句股形甲丙也甲丁上方也巳子较也己丑较上方也两方相减余壬辛午未四形半之余午未二

　　形而午形又即戊形则是余未戊二形也此未戊二形者句股矩内形也故以巳子较用长濶相差法求之得子丙短句句加较得巳丙长股

　　五题

　　股与句较求句

　　法曰股自乗内减较自乗余半之以较为法除之得句句加较得

　　论曰甲乙丙句股形甲丙也甲丁上方也甲巳较也甲戊较上方也庚甲辛磬折形股自乗数也内减甲戊较上

　　方所余丙戊戊壬两形即为句与句较矩内形者二矣取其一如丙戊形以戊己较除之得己丙句【或不用折半倍较为法除之亦同】

　　又法曰股自乗以较为法除之得句和于是加较折半得减较折半得句

　　论曰甲乙丙句股形甲丙也甲丁上方也丙己亦句也丁戊句上方也所余庚甲辛　折形即股自乗数也而壬辛形与戊丙形等即壬己矩形亦股自乗数也以甲巳较除之得甲壬为句和也

　　又法曰股自乗较自乗相并倍较为法除之得减较得句

　　论曰甲乙丙句股形甲丙也甲丁上方也丁己为句上方即戊甲辛磬折形为股上方矣又己丙矩与庚壬矩等

　　即甲辛子磬折形亦股上方也加甲子较上方共得辛丑矩形其庚辛边即是倍较

　　六题

　　句与股较求股

　　法同五题

　　七题

　　与句股和求句股

　　法曰自乗倍之内减句股和自乗余开方得句股较于是较加和半之得长股较减和半之得短句

　　论曰甲乙丙句股形丙丁句股和也丁子和上方也丁午未子两句上方丙丑壬巳两股上方此即自乗倍之之数

　　也以较丁子和上方则其中重叠一壬丑方矣而此方之边即是句股较

　　又法曰句股和自乗内减自乗余半之以句股和用长濶相和法求之得句股

　　论曰丙丁为句股和丁巳为和上方午乙壬磬折形即上方两方相减余午丑壬磬折形分为午丑及丑壬两形形

　　之两边即句股

　　八题

　　股与句和求句

　　法曰句和自乗内减股自乗余半之以句和除之得句用减句和得【或不用折半倍句和除之亦同】

　　论曰甲乙丙句股形甲丁为句和甲巳为和上方又甲午为上方甲子为句上方即未午壬磬折形为股自乗而子丙矩与午辛矩等即戊辛矩形亦股自乗也于和方中减之所存者为未丁及戊己两矩形矣形之一边如甲丁即句和其一邉如甲未即句

　　又法曰股自乗得数以句和除之得句较于是用加句和半之得用减句和半之得句

　　论曰甲乙丙句股形甲丁句和也甲戊上方也戊己句上方也即午甲未磬折形为股自乗矣而卯巳矩与午丁

　　矩等即甲子矩形亦股自乗矣形之甲丁边即句和丁子边即句较

　　又法曰句和自乗股自乗相并倍和为法除之得减和得句

　　论曰甲丁为句和甲戊为和自乗

　　戊丑为句今试依庚戊矩作丁卯矩

　　即卯甲丑磬折形亦和自乗矣又甲

　　巳为上方未壬为句上方即未己壬磬折形为股自乗矣而壬子矩与子丑矩等即未丑矩亦股自乗矣然此犹在和自乗数中也今另加一股自乗如丑卯矩并

　　前卯甲丑磬折形共成一庚癸矩形

　　即为两自乗相并之数形之甲癸邉

　　即句和之倍形之甲庚边即是

　　也

　　九题

　　句与股和求股

　　法同八题

　　十题

　　句较股较求句股

　　法曰先以两较相减得即为句股较次以两较各自乗相并内减句股较自乗余开方得和较【和句股和也】于是加股较得句加句较得股以句较加句或以股较加股得

　　论曰甲乙丙句股形甲丙也甲巳即股也巳丙股较也甲壬即句也壬丙句较也壬己句股较也今试引甲壬句至丁令甲丁为句股和即丙丁为和较也次作甲戊为和上方午未为句较上方午子为股较上方【即庚辰方】两较上方相并共为午未辰磬折形内减

　　未子句股较上方余辰午癸磬折形

　　即戊午和较上方何则试观丑午

　　已磬折形句上方也子戊形亦句上

　　方也今于丑午已磬折形中减丑申及辛巳两矩形即是于子戊形中减卯子亥磬折形也然则所余之辰午癸磬折形非即戊午方乎

　　又法曰两较相乗倍之开方亦得

　　和较以下同前法

　　论曰甲乙丙句股形试引甲丙至丁

　　得甲丁为句股和甲戊为和上方【甲未股未丁句】丁子己子句也丁辛己壬也子辛子壬句较也未子亥子股也未申亥卯也子申子卯股较也然则卯辛与申壬两矩形即是两较相乘倍之之数也此两矩形者即戊午和较上方【丙丁为和较】何则未申亥磬折形句实也子戊方形亦句实也今试于未午亥磬折形减辛丙庚亥两矩形【辛未及亥壬皆是和较】及子午方即是于戊子方中减癸子丑磬折形也然则卯辛与申壬两矩形非戊午方乎

　　十一题

　　句股较句较求句股【句短股长看此题】

　　法曰先以两较相减得即为股较次以两较各自乗相减余为实倍股较为法用长濶相差法求之得句句加句股较得股句加句较得

　　论曰甲乙丙句股形丙乙股丙戊句

　　丙巳戊乙句股较戊己句较乙

　　巳股较乙丁亦为句丙丁为句股

　　和丙庚为和上方辛壬为句股较上方辛子为句较上方两较上方相减余丑子午磬折形夫乙子卯磬折形句实也壬庚方亦句实也今于壬庚方中作未庚未申两矩形与己丑寅卯两矩形等即所余壬申形与丑

　　子午磬折形等矣于是依壬申形作

　　壬亥形此形壬酉为长壬癸为濶与

　　壬辰等即辰未未酉为股较之倍

　　为长濶之差

　　按此法句股较句较相减得股较即三较皆备矣十题第一法句较股较相减得句股较即三较亦皆备矣既皆备三较则法可互用特以就题立法则法固各有攸属耳

　　十二题

　　句股较股较求句股【股短句长看此题】

　　法同十一题

　　十三题

　　句和股和求句股

　　法曰两和各自乗相并两和相减即为句股较自乗用减相并数余开方为和和【和也句股和也和和与句股和相并也】于是内减句和得股内减股和得句内减句股得

　　论曰甲乙丙形甲乙股也丁乙股

　　和也乙午股和上方也乙丙

　　句也丙子句和也丙未句和

　　上方也甲丙也丙丑股也丑巳

　　句也甲己和和也甲壬和和

　　上方也乙午丙未两方并较甲壬

　　方则两方多一句股较自乗之数何则试观甲壬方中股句三方即乙午丙末两方中句股三方也甲壬方中股矩二句矩二即乙午丙未两方中股矩二句矩二也无或异也所异者惟甲壬方中余句股矩二与乙午丙未两方中余方一则方一与句股

　　矩二其较为句股较上方何则试

　　观另图甲丙也甲丁上方也

　　甲乙股也乙丙勾也甲乙丙形句

　　股矩形之半也而丙巳丁丁子丑

　　丑午甲三形皆与甲乙丙形等共

　　四形即得句股矩之二也中余乙巳子午方即句股较上方然则乙午丙未两方并较甲壬方不多一句股较上方乎故于两方中减之即得甲壬方也

　　又法曰两和相乗倍之开方得

　　和和以下同前法

　　论曰甲乙丙形乙丁股和也丁

　　午句和也乙午两和矩内形也丙子句和也丙辛股和也丙未两和矩内形也甲丙也丙丑股也丑

　　巳句也甲己和和也甲壬和

　　和上方也乙午丙未两矩形与甲

　　壬方形等者两矩形中有两方

　　甲壬形中有方一股方一句方

　　一亦即两方也两矩形中有股

　　矩二句矩二句股矩二甲壬形亦有股矩二句矩二句股矩二也然则乙午丙未两矩形不与甲壬方形等乎

　　十四题

　　句股和句和求句股

　　法曰先以两和相减得即为股较次以两和各自乗相减余为实倍股较为法依长濶相差法求之得句句减句股和得股句减句和得

　　论曰甲乙丙形甲丁句和也甲戊句和上方也巳丁句股和也子戊句股和上方也两和之较为甲巳两方之较

　　为壬甲丑磬折形此形中午甲未磬折形句实也癸戊方形亦句实也夫癸戊方形与壬甲丑磬折形其余为辛未午丁两矩形今试作癸寅寅申两矩形与之等即戊申矩形与壬甲丑磬折形等矣此戊申矩形戊庚为濶即句与庚癸等癸卯卯申为倍数为长濶之差

　　十五题

　　句股和股和求句股

　　法同十四题

　　十六题

　　句股形中求容方

　　先论曰凡于句股形中依句股两边作方形或矩形则作形之外所余之角形二自相似亦与元形相似如图甲乙丙元形作壬丁乙子方形则此形之外所余甲丁壬及壬子丙两角形自相似何则谓甲丁与壬子相似丁壬与子丙相似也若

　　作壬丁乙子矩形亦然又此两形之各两边与元形之两边相似何则谓甲丁壬子两边与甲乙边相似丁壬子丙两邉与乙丙边相似也于是遂生求容方之法如左【独不能生求容矩之法者以容方则甲丁丁壬两邉即甲乙邉壬子子丙两邉即乙丙邉也若容矩则否】

　　法曰句股相乗为实并句股为法除之得方边

　　论曰甲乙股乙丙句相乗得甲丙矩即未午矩矩之甲

　　午边甲乙股乙午即句乙子即方

　　边何则甲丙为甲丙矩形之对

　　角线亦为甲壬壬丙矩形之对角线则甲乙丙与甲丑丙甲丁壬与甲未壬壬子丙与壬亥丙各角形自相等今于甲乙丙甲丑丙相等之两形中各减去相等之角形所余之乙壬方与壬丑方必等次于两方各加一同用之子亥矩则乙亥矩与子丑矩亦必等而子午矩与乙亥矩等亦即与子丑矩等然则甲丙矩不与未午矩等乎

　　又法曰句自乗为实并句股为法除之得余句用减句余即方边

　　论曰甲乙丙句股形乙丙句自乗

　　得乙丁方即未已矩形形之戊丙

　　即股丙巳即句丙子即余句乙子即方边何则丑丁形即子巳形也壬乙形即壬戊形也然则乙丁方即未巳矩也

　　十七题

　　句股形中求容圆

　　法曰句股相乗倍之为实句股共为法除之得容圆径【或句股相乗为实句股共为法除之得容员之半径　或句股相乗半之为实句股并而半之为法除之得容圆之半径】

　　论曰试于形之三边截取己子未

　　三防令乙子与乙巳等甲巳与甲

　　未等丙未与丙子等次于已子未

　　三防各作己丁未丁子丁三线为

　　形三边之垂线必相遇于丁而相

　　等何则试先就己甲未丁四边形论之甲巳甲未两边等己未两角皆正即巳丁未丁两线必等依显未丁与子丁两线子丁与巳丁两线亦必各等然则丁即圆心三线即圆之半径矣果何术以求之乎曰试作甲丁丙丁乙丁三对角线平分甲乙丙三角及丁角因平分三个四边形为六个三边形各两相等次引乙丙至壬令丙壬与甲已等则乙壬线为甲乙丙三边之半何则乙子者乙子乙巳之半丙子者丙子丙未之半丙壬者甲未甲巳之半然则乙壬者甲乙丙三边之半矣次引长巳丁线至亥令己亥与乙壬等必相与为平行次作壬亥丙午两线与子丁线等而相与为平行末作丙亥对角线则乙亥矩形与甲乙丙元形等何则乙巳丁子方形在元形之内丙子丁角形亦在元形之内丁午丙角形虽不全在元形之内然即丙未丁形而倒置之凑合丙子丁形而成子午矩形者也至于壬午矩形全在元形之外然亦即甲巳丁甲未丁两形颠倒凑合而成者也然则乙亥矩形与甲乙丙元形等矣于是以句股相乗半之得甲乙丙元形即乙亥矩形以乙壬三边之半分之得子丁为圆半径或以三邉之全分元形之倍亦

　　得圆之半径或三边之全分元形

　　之四倍得全圆径也

　　又法曰句股三边半之内减

　　得圆之半径【或倍用减三邉之全得全圆径】论曰甲乙丙元形之乙角既是正

　　角乙子丁乙已丁两角又是正角即子丁己亦必正角然则子丁己乙形必是正角方形而四边等矣即乙巳乙子两边必与丁己丁子圆之两半径等矣此乙已乙子之两边果何术以求之乎依前论乙壬线为三边之半而丙壬即甲未也丙子即丙未也则子壬线即甲丙也于是子壬减乙壬三边之半得乙子即圆之半径若倍数用减三边之全得全圆径

　　又法曰句股并以减之得全圆径

　　论曰如前图乙丙句也丙壬与乙巳并即甲乙股也何则以丙壬与甲巳等故也壬子即甲丙也何则以丙壬与甲未等丙子与丙未等故也于是以子壬减壬己句股并得子巳为圆之全径何则以乙子与子丁等乙巳又与乙子等故也

　　巳上十七题除求方求圆二题余十五题已尽句股之蕴矣然论其题则不止于己上十五题也今反覆推之凡得一百四十四题虽究其归不出于己上十五题之法要亦不可不备使习者得以按题而索之逐类而通之也

　　勾股较勾股和　句股较句和　句股较股和句较句和　句较句股和　句较股和股较股和　股较句股和　股较句和已上共九题

　　【句】和和

　　较较　　　句较较　　　股较较

　　和较　　　句和较　　　股和较

　　较和　　　句较和　　　股较和

　　巳上十则各以　　　　　　　　　　　【股】三则配之得三十题

　　各以　　　　　　　　　　　　　【股和】三则配之得三十题

　　各以　　　　　　　　　　　　　【股较】三则配之得三十题

　　又巳上十则　　　　　　　　　　【股】和和为一则以下九则配之得九题较较为一则以下八则配之得八题句较较为一则以下七则配之得七题股较较为一则以下六则配之得六题和较为一则以下五则配之得五题句和较为一则以下四则配之得四题股和较为一则以下三则配之得三题较和为一则以下二则配之得二题句较和为一则以下一则配之得一题

　　已上共一百四十四题学者按题而索之逐类而通之要不出于前所列之十五题也

　　又一题【后十四题尽句股之变】

　　容方与余句求余股与余股求余句因得全句全股法曰方边自乗以余句除之得余股以余股除之得余句各以所得加方边因得全句全股

　　论曰乙丁方边也自乗得乙壬方

　　即壬丑矩【论详前十六题】故以己壬【即丙未余】

　　【句】除之得子壬【即甲丁余股】以子壬除之得己壬因以己壬加壬丁共已丁即句以子壬加壬未共子未即股又法曰以余句除方边【余句小于方邉】得数即用以乗方笾得余股或以方边除余股【余股大于方邉】得数即用以除方边得余句

　　论曰方边为余句余股连比例之中率以前率余句比中率方边则方边为几倍大即以中率方边比后率余股则余股亦必为几倍大又以后率余股比中率方邉

　　则方边为几倍小即以中率方边

　　比前率余句则余句亦必为几倍

　　小故得数者得其几倍大几倍小之数也大用乗小用除

　　又二题

　　余句余股求容方因得全句全股

　　法曰余句股相乗开方得方边各以余句股加之得全句股

　　论曰子壬即余股也己壬即余句

　　也丑壬矩即乙壬方也【论详前十六题】因

　　以甲丁【余股】丙未【余句】加之得全股【甲乙】全句【乙丙】

　　又法曰以余句除余股【以小除大】得数开方得中率之比例于是以中率之比例除余股得方边或以中率之比例乗余句亦得方邉

　　论曰余句余股之于方边为连比例之前后率今以己壬余句比子壬余股得子壬为几倍大即是以己壬线上方比己壬线与子壬线上矩得丑壬矩为几倍大也而丑壬矩又与乙壬方等开方得连比例之中率者以方则边等边等则比例连故也既得连比例之中率则方边可得而知矣

　　右两题宜附前十六题之后

　　又三题

　　句股形句股较求句股

　　法曰形四倍之另以较自乗相并开方得次依前四题法求句股

　　论曰甲乙丙形四倍之即丁已甲子午丁丙未子与甲乙丙四形也乙巳为句股较

　　乙午为较上方四形与一方相并成甲子方开方得甲丙

　　又法曰形八倍之另以较自乗相并开方得句股和于是和加较折半得股和减较折半得句论曰甲乙丙形八倍之即甲丙丙丁丁己己甲四矩形也乙子为句股较乙午

　　为较上方四矩形与一方并成丑未方开方得丑壬为句股和

　　又法曰形倍之以句股较用长濶相差法求之得句句加较得股

　　论曰甲乙丙句股形倍之得乙丁矩形甲乙股乙丙句已甲较即乙已与乙丙句等丙巳为句上方丁句为句与较矩内形今试商

　　得乙丙为句乙巳加已甲为股

　　又四题

　　句股形句股和求句股

　　法曰形四倍之另以句股和自乗相减开方得次依前七题法求句股

　　论曰甲乙丙形四倍之者甲乙丙丙戊丁丁己辛辛壬甲四形并也乙壬为句股和乙巳为和上方内减四形并余甲

　　辛丁丙方开方得甲丙

　　又法形八倍之另以句股和自乗相减开方得句股较于是用加和折半为股用减和折半为句

　　论曰甲乙丙形八倍之者即甲丙丙丁丁辛辛甲四矩形并也午戊为和戊壬为和上方内减四矩形并余子乙未丑

　　方开方得子乙为句股较

　　又法曰形倍之以句股和用长濶相和法求之得句句减和得股

　　论曰甲乙丙句股形倍之得乙巳

　　矩形甲乙股乙丙句并之为和今试

　　商得乙丙为句用减和余甲乙即股

　　又五题

　　句股形中求从直角【句股相联处】至作垂线【与相交为直角】分元形为两句股形

　　法曰上方句上方并之内减股上方余半之以除之得数为上作垂线之处于是以所得数与句依句求股法作垂线

　　论曰甲乙丙元形求从直角作乙午线为甲丙之垂线甲丙也甲丑上方也乙丙句也乙己句上方也

　　甲乙股也乙辛股上方也夫乙辛方中之子未方乙午

　　线上方也乙巳方中之丁申方亦

　　乙午线上方也即两方等矣又乙

　　辛方中之子辛未磬折形甲丑方

　　中之午壬方也今于甲丑乙巳两

　　方中减乙辛方即于两方中减丁申方与午壬方也两方中所存者为申巳丁磬折形午丑壬磬折形矣而申巳丁磬折形又与丑卯方等半之即得午丑矩故以丙丑除之得丙午【若乙辛方与甲丑方并内减乙巳方余半之以除之得甲午同上论按此法不但可施诸句股直角形凡鋭角钝角形俱可用此法求垂线】

　　又法曰句股相并得数相减得数两得数相乗以除之得数用减余半之得数为上作垂线之处

　　如图甲乙丙形甲乙股乙丙句相

　　加得甲丁相减得甲巳甲丁与甲

　　巳相乗得数以甲丙除之得甲

　　子用减余丙子半之于午即午防为上作垂线之处一论曰甲丁偕甲已矩内形及乙巳上方形并与甲乙上方形等如图壬丁矩甲丁偕甲巳矩内形也【甲壬与甲巳等】辛甲未磬折形即壬丁矩也【壬未矩与辛丁矩等】未辛方

　　乙巳上方也并之得甲戊方即甲乙上方

　　二论丁已甲线贯圜心于乙庚甲线切圜周于庚乙庚甲为直角夫丁甲偕巳甲矩内形与甲庚线上方形等何则乙庚庚甲两线上方形与乙甲线上方等而丁甲

　　偕巳甲矩内形及乙已上方并亦与

　　乙甲线上方等【一论之图可见】此两率者每

　　减一相等之乙庚乙巳两线上方则

　　甲丁偕甲巳矩内形与甲庚线上方形必等

　　三论曰丙甲线不贯圜心于乙庚甲

　　线切圜周于庚乙庚甲直角形乙午

　　甲亦直角形两形合一乙甲则乙

　　庚庚甲两线上方并与乙午午甲两线上方并必等又乙午子直角形则乙午午子两线上方并与乙子线上方等夫午甲上方形中原有【一论之图可见】丙甲偕子甲矩内

　　形及午子上方形今于乙甲上方形

　　中减乙庚上方形即减去同乙庚之

　　乙子上方同乙子之乙午午子两线

　　上方然则所余之丙甲偕子甲矩形与甲庚上方形必等四论曰前甲丁偕甲巳矩内形与庚甲上方等【二论之图】甲丙偕甲子矩内形与庚甲上方亦等【三论之图】则两矩形自

　　相等而等角防之各两边彼此互相

　　视何则试引戊子壬己两线相遇于

　　丑而成甲丑形夫甲戊与甲丑两形

　　同在戊丑丙己两平行线内等髙则两形之比例若其底甲丙与甲己之比例依显甲壬与甲丑两形之比例亦若其底甲丁与甲子之比例夫甲戊与甲壬两矩形元等则甲戊形与甲丑形即甲壬形与甲丑形也即甲丙与甲己之比例亦即甲丁与甲子之比例也更之则甲丙与甲丁之比例亦若甲己与甲子之比例

　　于是以甲丙为一率甲丁为二率

　　甲己为三率二三率相乗一率除

　　之得四率甲子也既得甲子用减

　　甲丙余丙子半之于午得午防为上作垂线之处何则试作乙子线与乙丙同为圜之半径即等而成乙丙子两边等角形则午点折丙子之半必是直角【此法不但可施诸句股形凡鋭角钝角形俱可用此法求垂线】

　　右既得乙午垂线即分甲乙丙原形为甲午乙乙午丙两句股形此两形者自相似亦与元形相似

　　又六题

　　句股形中求依一边容方

　　法曰先依又五题法求形中垂线次以与垂线相乗得数并与垂线为法除之得方边

　　论曰甲乙丙元形乙丁为垂线求依甲乙作方边如子丑而成子午方形夫甲乙丙元形与己乙午分形相似何则以己午与甲丙平行故也次观己午与未丁等即乙未

　　与己午并是乙丁垂线也然则乙丁偕甲丙并而与甲丙若乙未偕己午并【即乙丁垂线】而与己午

　　又法曰垂线自乗并与垂线为法除之得数用减垂线得方边

　　论曰乙丁偕甲丙并【一率】而与乙丁【二率】若乙未偕己午并【三率即乙丁】而与乙未【四率】于是以乙未减乙丁余未丁即方边【此法不但可施诸句股形凡鋭角钝角形俱可用】

　　又七题

　　句股形中求分作两边等三角形二

　　法曰半之即是两边等之一边

　　论曰甲乙丙形半于丁于是以丁为心甲丙为界作圜必切乙角得乙丁与

　　半等因成乙甲丁乙丙丁两形皆两边等三角形也

　　又八题

　　斜三角形中求作中垂线分元形为两句股形

　　法具又五题

　　又九题

　　斜三角形中求积

　　先分别是锐角形或是钝角形【若是正角形法以句股相乗半之即得】法曰大中小三边用小中两边依句股求法求之若求得数小于大边即是鋭角形大则是钝角形

　　鋭角形求积法曰任取一角依又五题求中垂线【鋭角形求中垂线任取一角皆在形内】分元形为两句股形次以两分形句与股各相乗半之得积

　　论曰甲乙丙鋭角形先求得乙丁中垂线分为甲丁乙乙丁丙两句股形次以

　　甲丁与丁乙丁乙与丁丙各相乗得丁戊与丁己两矩形各半之得甲乙丙形之积【或以乙丁因甲丙之半亦得或以甲丙因乙丁之半亦得】钝角形求积法【于钝角至对边作垂线则垂线在形内法同前】于鋭角至对边作垂线则垂线在形外而引对边出形外凑之曰大边上方内减中小两边上方余半之以中边除之得引凑数与小边为股求句得垂线【或以小邉除半数得引凑数与中邉为句求股亦得垂线】既得垂线则与引凑数凑成一小句股形又以垂线与引凑数偕元形之边凑成一大句股形大小两句股形相减得所求

　　论曰甲乙丙钝角形【乙为钝角】求从丙鋭角作丙丁垂线而引乙丁线以凑之【从甲角作垂线亦在形外兹不备述】夫甲丙上方元包

　　丙丁与甲丁两边上方今于甲丙上

　　大方中减乙甲乙丙上两方即是减

　　丙庚与子午两方为乙丙上方减甲

　　子方为甲乙上方也而所存者为丁

　　子子辛两矩形矣半之为子丁一矩

　　形以中边乙子除之得乙丁为引数

　　也丙丁乙为小句股形丙丁甲为大

　　句股形两形相减得甲乙丙斜三角形积

　　又法曰三边数并而半之以每边数各减之得三较数三较连乗【任以二较相乗得数又以一较乗之】得数又以半数乗之得数开方得积

　　如后图甲乙丙元形求其积

　　一图　　　　　　　　一论曰壬乙矩形与元形等

　　论同前十七题所论乙亥矩

　　形与甲乙丙元形等

　　二论曰丁心方与乙戊相乗又与乙戊相乗开方与乙

　　二图　　　　　　壬矩形等如图子壬二丑壬三相

　　乗得六为子丑矩形今以子壬二

　　自乗得四为子卯方即壬寅边以

　　丑壬三乗之得十二为丑寅矩形又以三乗之得三十六为辰寅矩形即午丑方形故开方得辰午六与子丑

　　三图　　　　矩形等

　　三论曰丁心偕戊庚矩形与乙丁相乗其所得数与丁心方偕乙戊相乗所得

　　数等何则乙丁心形与乙戊庚形相似之形也戊庚与丁心若乙戊与乙丁则戊庚偕丁心矩形【即庚未矩形】与丁心方【即己戊方形】亦若乙戊与乙丁也

　　四论曰丙丁偕丙戊矩形与丁心偕戊庚矩形等【就一图观之】何则心丁丙形与丙戊庚形相似之形也夫庚乙线平分丁乙甲角庚戊为丙戊之垂线则戊为直角次依丙戊线截取丙卯线作卯庚线为丙卯之垂线则卯为直角此庚乙庚戊庚卯三线必相交于庚防三线既相

　　交于庚点则丙庚线必平分

　　卯丙戊角而卯丙戊角又即

　　己心丁角因得心丁丙形与

　　丙戊庚形为相似之形也两形既相似则丁心与丁丙若丙戊与戊庚也

　　解庚乙庚卯庚戊三线必相交于庚点所以然之故庚心乙界作圈　次依甲乙丙形作丙丁辛形　次引乙丁线至癸引辛甲线至壬乙庚线平分丙乙甲角则

　　庚防必是圈心戊防折乙癸线之

　　半则戊防必直角　卯防折壬辛

　　线之半则卯防必直角　乙癸与

　　乙己等　乙丙辛丙为大边甲丙

　　丁丙为中边甲壬丁癸即小边

　　总论曰二论丁心方与乙戊相乗又与乙戊相乗所得数开方与乙壬矩形等夫乙戊半数也亦既得之矣次欲求丁心与乙戊相乗而丁心不可得　三论丁心戊庚矩形与乙丁相乗所得数与丁心方偕乙戊相乗所得数等夫乙丁三较之一也则又得之矣次欲求丁心与戊庚两线而两线又不可得　四论丁丙偕丙戊矩形与丁心偕戊庚矩形等夫丁丙丙戊三较之二也则尽得之矣　今法于四论用丁丙偕丙戊二较相乗于三论用乙丁一较乗之于二论用乙戊半数乗之开方得数与乙壬矩形等

　　又十题

　　斜三角形中求容圆

　　法曰先依又九题求积次取三边数并而半之用除积得员之半径【或置二较连乗数以半数除之得开方亦得圆半径】

　　论曰先依又九题求得乙壬矩

　　形为甲乙丙元形积次以乙戊

　　除之【即三边数之半也】得丁心即圆之半径【若以三边之全除元形之倍亦得圆半径若以三边之全除元形之四倍得圆全径】

　　又十一题

　　斜三角形中求容方

　　法同又六题

　　又十二题

　　斜三角形有三和数求三边

　　法曰三和数相减得三较数各置三较数各以非所较之边加减之各半之其加而半者得大边或中边减而半者得小边或中边

　　如图戊己庚为三和数【戊为大中两和数己为大小两和数庚为小中两和数】甲为戊庚两和之较乙为己庚两和之较丙为戊己两和之较于是置甲较数以己为非所较之边加而半之得大边减而半之得小边置乙较数以戊为非所较之边加而半之得大边减而

　　半之得中边置丙较数以庚为非所较之边加而半之得中边减而半之得小边

　　论曰戊者大中两和数也加减用乙者乙为己庚两和之较庚者小中两和数己者大小两和数此两和数中皆有相等之小数而余为大中两数矣此乙所以爲大中两数之较也余仿此

　　又十三题

　　句股测髙【测逺测广测深同法】

　　法曰先准地平【地平者必令所测地面自所测之处至髙之根如水之平也】次立表与地平为垂线退后立望竿令所测髙表尖竿头叅相直末自竿至髙根量得若干逺然后以表竿差与逺相乗而以表竿相去若干除之加竿长若干得所求之髙如图丙乙髙乙甲逺丁甲竿己戊表己子为表竿差戊甲为表竿相去夫丁子己形与丁辛丙形相似故丁子与己子若丁辛

　　与丙辛也

　　又十四题

　　句股重测髙逺【测广测深同法】

　　法曰若无髙根之可量者则用重测法谓一次立表竿令表竿与髙叅相直二次立表竿令表竿与髙防相直【两表两竿要各相等又要或前或后立成一直线】然后以表竿之较乗两表相去而以两表竿相去之较除之加表髙若干得所求之髙又以前表竿相去乗两表相去而以两表竿相去之较除之加前表竿相去得所求之逺

　　如图甲乙髙乙丙逺各不知数用重

　　表测之　丁子为前表己丙为望竿

　　子丙为表竿相去甲丁己三防叅相

　　直午壬为后表丑辛为望竿壬辛为

　　表竿相去甲午丑三防叅相直丁亥为表竿之较子壬为两表相去未辛为两表竿相去之较己上用以测髙借丁卯【元是表竿相去】为表竿相差借卯己【元是表竿相差】为表竿

　　相去辰戊亦借为表竿相差戊癸亦借为表竿相去甲辰癸三防亦叅相直丁辰亦借为两表相去与丁午等即庚癸亦为两表竿相去之较与辛未等以上用以测逺解庚癸线与辛未线必等所以然之故

　　如图甲乙矩内形甲乙为对角线丙丁及戊己两线与

　　矩形之边为平行而交角线

　　于庚　次任作辛壬线亦交

　　角线于庚　次截甲癸线与

　　甲辛线等作癸子线亦交角

　　线于庚则子乙线与壬乙线必等

　　论曰试作午丑及午未两线与甲辛及甲癸相线为平行夫庚甲辛及庚午丑两角形相似之形也则庚甲与庚午若甲辛与午丑依显庚甲与庚午若甲癸与午未然则甲辛与甲癸亦若午丑与午未夫午丑与午未如是则子乙与乙壬亦如是矣

　　先论甲乙矩形此形甲己为对角线寅卯申亥两线交于角线上之丁防则卯申矩形与亥寅矩形等

　　次论甲丑矩形此形甲丑为对角

　　线寅酉房壬两线交于角线之午

　　点则房酉矩形与寅心矩形等

　　末总论曰夫房酉矩形与寅心矩

　　形既等而午井形又与卯申形等即亦与亥寅形等然则房酉矩形中所余之井酉形与寅心矩形中所余之丁心形必等

　　于是以丁亥表竿相差乗丁午两表相去得丁心矩形即井酉形而以井女两表竿相去之较除之得女酉加酉辛表共女辛即甲乙髙

　　先论甲己矩形同前

　　次论甲癸矩形此形甲癸为对角线申氐戊亢两线交于角线之辰防则亢氐矩形与戊申矩形等

　　末总论曰夫亢氐矩形与戊申矩形既等而辰牛形又与亥寅形等即亦与卯申形等然则亢氐矩形中所余之牛氐形与戊申矩形中所余之丁戊形必等

　　于是以丁卯表竿相差乗丁辰两表相去得丁戊矩形即牛氐形而以牛危两表竿相去之较除之得危氐加氐癸表竿差共危癸即乙丙逺也

　　求髙又法　既得危氐线即以亢牛乗之得牛辰形此形即寅亥矩形亦即申卯矩形也故以丁卯除之得丁申髙

　　求逺又法　既得女酉线即以房井乗之得井午矩形此形即申夘矩形亦即寅亥矩形也故以丁亥除之得丁寅逺

　　歴算全书卷四十六

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷四十七

　　宣城梅文鼎撰

　　句股阐微卷二

　　句股积求句股句股积与较较求诸数

　　第一法

　　假如句股积【一百二十】较较【十二】

　　法以积四之得【四百八十】较较自之【一百四十四】两数相减余【三百三十六】折半【一百六十八】为实较较【十二】为法除之得句股较【十四】以加较较【十二】共得【二十六】为【有有句股较即诸数可求】论曰甲乙丙丁合形为自乗大方幂甲小方为句股较幂幂内减句股较幂所余丙乙丁磬折形原与四

　　句股积等于中又减去乙小方

　　为较较自乗幂仍余丁丙二

　　长方并以句股较为其长以

　　较较为其濶故折半而用其一

　　为实以较较为法除之得句股较矣【是以濶求长】

　　第二法

　　置四句股积【四百八十】与较较自幂【一百四十四】相加得共【六百二十四】折半【三百十二】为实较较【十二】为法除之得【二十六】为内减去较【十二】得余【十四】为句股较

　　论曰乙丙丁磬折形原与四句股积等今加一小方形如己为较自乗幂与乙等又丁丙二长方原相等于是合丁己为一长方合乙丙为一长方必亦相等矣【并以

　　较较为濶以为长】故折半而用其一

　　为实以较较为法除之即得

　　矣【亦是以濶求长】

　　第三法

　　置四句股积【四百八十】为实较较【十二】为法除之得【四十】为较和以较较【十二】加较和四十得【五十二】折半【二十六】为以较较【十二】减较和【四十】得【二十八】折半【十四】为句股较于前图乙丙丁磬折形即四句股积移丁长方置于戊

　　为乙丙戊长方其长如

　　较和其阔如较较故以

　　较较除之得较和【若以

　　较和除之亦得较较】

　　又简法

　　置句股积【一百二十】为实以较较【十二】半之得【六】为法除之得【二十】为半较和以半较较【六】加半较和【二十】得【二十六】为又以半较【六】减半和【二十】得【十四】为句股较

　　论曰长方形濶【十二】如较较长【四十】如较和其积如四

　　句股今只用一句股积是四

　　之一也积四之一者其边必

　　半观图自明

　　句股积与较和求诸数

　　第一法

　　假如句股积【一百二十】较和【四十】

　　法以积四之得四百八十较和自之得【一千六百】两数相减余【一千一百二十】折半得【五百六十】为实较和【四十】为法除之得【十四】为句股较以减较和得【二十六】为自乗【六百七十六】加四句股积【四百八十】得【一千一百五十六】平方开之得【三十四】为句股和以与句股较【十四】相加得【四十八】折半【二十四】为股又相减得【二十】折半得【一十】为句

　　句【一十】　　　股【二十四】　　【二十六】

　　句股和【三十四】　句股较【十四】　较和【四十】

　　较较【十二】

　　论曰总方为较和【四十】自乗

　　之幂内分甲戊己方为自

　　乗幂乙小方为句股较自乗

　　幂于幂内减去戊己磬折

　　形即四句股积则所余者甲

　　小方即句股较幂与乙方等以甲小方合丁长方即与乙丙长方等【以丁丙小长方原相等故】此二长方并以句股较【十四】为濶以较和为长【四十】故折半而用其一为实较和【四十】为法除之即得句股较【是为以长求濶】

　　第二法

　　较和自乗【一千六百】与四句股积【四百八十】两数相加【二千○八十】折半【一千○四十】为实较和【四十】为法除之得【二十六】为以减较和得【十四】为句股较余如前【观后图自明】

　　第三法

　　置四句股积【四百八十】为实较和【四十】为法除之得【十二】为较较余同较较第三法

　　又简法

　　句股积【一百二十】为实较和【四十】半之得【二十】为法除之得【六】为较较之半余并同较较简法

　　论曰乙丁丙甲戊己合形为

　　较和【四十】自乗之大方外加一庚

　　辛长方为四句股积与戊己磬

　　折形等于是中分之为两长方

　　【乙丁庚辛合为左长方丙甲己戊合为右长方】并以为濶【二十六】较和【四十】为长故折半为实以较和除之得【亦为以长求濶】借此图可解第三法之理何则庚辛长方形既为四句股积而其濶【十二】如较较其长【四十】如较和是【十二】与【四十】相乗之积也故以较较除之得较和若以较和除之即复得较较

　　若庚辛长方横直皆均剖之成四小长方则其濶皆【六】加半较其长【二十】如半和而其积皆【一百二十】为一句股积矣此又简法之理也

　　句股积与和较求诸数

　　第一法

　　假如句股积【六千七百五十】和较【六十】

　　法以和较自之得【三千六百】与四句股积【二万七千】相减余【二万三千四百】折半【一万一千七百】为实和较【六十】为法除之得【一百九十五】为加较【六十】得句股和【二百五十五】幂内减四句股积开方得句股较以加句股和折半得股以减句股和折半得句

　　句【七十五】　　　股【一百八十】　　【一百九十五】句股和【二百五十五】　句股较【百○五】　和和【四百五十】较和【三百】　　和较【六十】　　较较【九十】第二法

　　以和较自乗【三千六百】与四句股积【二万七千】相加得【三万○六百】折半【一万五千三百】为实和较【六十】为法除之得【二百五十五】为句股和内减和较【六十】得【一百九十五】为

　　论曰丁丙方为句股和自乗方幂

　　内减甲戊方为自乗幂其余丁

　　戊丙磬折形四句股积也内减戊

　　乙小方为和较自乗积则所余

　　丁戊长方与戊丙长方等而并以

　　为长和较为濶故以和较除之得此第一法减四句股积之理也

　　若于丁戊丙乙磬折形外加一己丙小方与戊乙等乃并之为庚戊长方与辛乙等并以句股和为长和较为濶此第二法加四积之理也【两法并以濶求长】

　　第三法

　　置四句股积【二万七千】为实和较【六十】除之得【四百五十】为和和以与和较相加折半为句股和又相减折半为此如有句股积有容圆径而求句股乃还元之法也

　　论曰前图中辛乙长方并戊丙

　　长方是四句股积联之为辛丙

　　长方则其濶丁辛和较也其长丁丙和和也

　　又简法

　　置句股积【六千七百五十】为实半和较【三十】除之得【二百二十五】为半和和以与半和较相加得二百五十五为句股和又相减得【一百九十五】为　此如有容圆半径以除句股积而得半和和句股积与和和求诸数

　　第一法

　　假如句股积【六千七百五十】和和【四百五十】

　　法以积四之得【二万七千】和和自之得【二十○万二千五百】两数相减余【十七万五千五百】折半【八万七千七百五十】为实和和【四百五十】为法除之得【一百九十五】为以减和和得【二百五十五】为句股和

　　第二法

　　以四句股积与和和幂两数相加得【二十二万九千五百】折半得【十一万四千七百五十】为实和和【四百五十】为法除之得【二百五十五】为句股和以减和和得【一百九十五】为

　　论曰甲乙大方和和自乗也内分甲丁方自乗也

　　与丁丙方等丁乙方句股和

　　自乗也于丁乙内减去丁丙

　　幂则所余者四句股积即

　　壬乙丙戊二小长方也而己

　　辛小长方与丙戊等则己乙

　　长方亦四句股积也今于甲乙大方内减去己乙则所余者甲戊己戊二长方并以为濶和和为长故以和和除之而得此第一法减四句股积之理也是为以长求濶

　　又论曰若于甲乙大方外増一甲庚长方与己乙等而中分之于癸戊则癸乙与癸庚两长方等并以句股和为濶和和为长故以和和除之而先得句股和此苐二法加四句股积之理也亦是以长求濶

　　第三法

　　置四句股积【二万七千】为实和和【四百五十】除之得和较【六十】此如并句股除四倍积而得容员径

　　又简法

　　置句股积【六千七百五十】为实半和和【二百二十五】除之得半和较【三十】此如合半句半股半除积得容员半径欲明加减用四句股之理当观古图

　　甲乙丙句股形　甲丙句六

　　甲乙股八　乙丙十

　　甲丁句股和十四　壬辛句

　　股较二甲己大方句股和自

　　乗幂也其积一百九十六　丙戊次方自乗幂也其积一百　壬庚小方句股较自乗幂也其积四　甲己和幂内减幂所余者四句股也　幂内减较幂所余者亦四句股也　句股之积并二十四

　　甲丁句股和十四癸丁十子丁句股较二甲丙方爲句股和自乗幂【一百九十六】内减癸辛幂【一百】余【九十六】爲甲己丙磬折形【亦卽四句股积】内分甲己直形移置于丙戊成乙戊长方卽爲【和较乗和和】又壬丁小方爲句股较自乗其幂四以减幂一百余九十六爲癸壬辛巳磬折形【亦卽

　　四句股积】内分癸壬直

　　形移置于辛庚成

　　己庚长方卽爲

　　较较乗较和

　　假如方环田有积有田之濶问内外方各若干

　　法以积四之一爲实田濶除之得数爲内外二方半和与田濶相加得外方又相减得内方【葢田濶卽如半较】若但知外方及内小方及环田积法即并大小方边为和以除积得数为较较与和相加折半为外周大方又相减折半为小方以两方之较折半为环田濶

　　若方田内有方墩法同或方墩不居正中其法亦同但只可求大小方边不能知濶

　　总论曰较较乗较和之积与和较乗和和之积等为四句股乃立法之根也而其理皆具古图中学者所宜深玩

　　又如有辛庚壬圆池不知其径法于乙作甲乙直线切员池于庚又乙丙横线切圆池于壬乙为正方角又自

　　丙望甲作斜线切员池于辛

　　乃自丙取乙丙之度截斜线

　　于丁又自甲取甲乙之度截

　　斜线于戊末但量丁戊有若

　　干尺即圆池径

　　解曰此即句股容员法也丙乙句截甲丙于丁则丁甲为句较甲乙股截于戊则戊丙为股较而丁戊为和较故即为圆径　其句股不必问其丈尺但取三直线并切员而乙为方角足矣故为测员简法【凡城堢墩台锥塔员柱之类形正员者并同一法也】

　　句股容方【系鲍燕翌法】

　　句股形引股线法

　　即依正角作方形于形外　又即引小形成大形甲乙丙句股形今欲引甲乙股至丁甲丙至戊而令

　　乙丁与戊丁等

　　法曰以乙丙分甲乙得数减一余

　　用归甲乙得之

　　解曰乙丙与甲乙原若丁戊与甲

　　丁故以乙丙分甲乙与以丁戊分甲丁所得之分数等然则减一者虽似于甲乙分数内减乙丙之一分实于甲丁分数内减丁戊之一分也【即乙丁之一分】故以减余分甲乙而得

　　【勿庵又法句股相乗为实句股较为法除之亦即得所引乙丁与乙戊同数】

　　句股形截股法

　　即依正角作方形于形内　又即截大形成小形甲丁戊句股形内今欲截甲丁股于乙甲戊于丙而

　　令乙丁与乙丙等

　　法曰以丁戊分甲丁得数加一共

　　用归甲丁得之　【勿庵又法句股相乗为实句股

　　和为法除之亦即得所截乙丁与丁丙同数即句股容方法】

　　解曰丁戊与甲丁原若乙丙与甲乙故以丁戊分甲丁与以乙丙分甲乙所得之分数等然则加一者虽似于甲丁分数外加丁戊之一分实于甲乙分数外加乙丙之一分也【即乙丁之一分】故以加共分甲丁而得

　　若欲令丙戊与丁戊等或欲令乙丙与丙戊等依法推之按后一法即句股容方也原法简易今鲍燕翼先生所设殊新要其理亦相通耳【勿庵补例】

　　设甲乙股十六　乙丙句八　今引甲乙股长出至丁

　　而令引出之乙丁股分与所当之丁

　　戊句等问若干答曰乙丁十六

　　法以乙丙句【八】甲乙股【十六】相乗得【一百】

　　【廿八】为实句股相减得较【八】为法除之得乙丁引出一十六与丁戊句相等　若如鲍法以句【八】除股【十六】得【二】内减去一仍余一用为法以除股【十六】仍得【十六】为乙丁又设甲乙股【四十八】乙丙句【十二】依法引出乙丁股【十六】与丁戊句等

　　法以句十二乗股【四十八】得积【五百

　　七十六】为实　句减股得较【三十六】为

　　法除之得【十六】为乙丁

　　或以句【十二】除股【四十八】得数【四】内减【一】余【三】为法以除股【四十八】亦得【十六】为乙丁

　　又设甲乙股【六】乙丙句【四】依法引出乙丁股【十二】与丁戊句等法以句乗股得【二十四】为实　句股较【二】为法除之得【十二】为乙丁

　　或以句【四】除股【六】得【一半】内减一余【半】为法以除股【六】

　　亦得【十二】为乙丁

　　解曰半为除法则得倍数此畸零除

　　法也详别卷

　　又设甲乙股【三十】乙丙句【十二】依法引出乙丁股【二十】与丁戊句等

　　法以句乗股得【三百六十】为实句股较【十八】为法除之得乙丁【二十】

　　或以句【十二】除股【三十】得【二半】内减

　　一余【一半】为法以除股【三十】亦得乙

　　丁【二十】

　　解两法相同所以然之故　葢此是依句股正角【即乙角】作正方形于形之外也本法以句较为法除句股形倍积【即句股相乗】今不用句股较之本数而用其除过之句股较为法【以句除股则股内所原带句数及句股较数并为句所除而减去其一即减去除过之句也用减余为法即是用其除过之句股较为法也】故亦不用句股形之倍积而用其除过之倍积为实【倍即是句股相乗之数若以句除之必仍得股今径以股数受除即是用其除过之倍积为实也】法实并为除过之数则其理相同而得数亦同矣

　　以上补第一条之例

　　设甲丁戊形甲丁股【廿八】丁戊句【廿一】甲戊【三十五】欲截甲

　　丁股于乙截甲戊于丙而令所截

　　之乙丁与乙丙等问其数若干

　　答曰乙丁一十二

　　法以甲丁股【二十八】丁戊句【二十一】相乗得【五百八十八】为实并句股得和【四十九】为法除之得【一十二】为所截乙丁与乙丙截句等

　　如鲍法以句【二十一】除股【二十八】得一【又三之一】又外加一数共二【又三之一】为法【通作七】用以除股二十八【通作八十四】亦得【十二】为乙丁截股

　　设甲丁股【三百四十五】丁戊句【一百八十四】甲戊【三百九十一】欲截乙丁与乙丙等该若干　答曰一百二十

　　法以句【一百八十四】股【三百四十五】相乗得【六万三千四百八十】为实句股和【五百二十九】为法除之得所截乙丁【一百二十】与截句乙丙等

　　或以句【一百八十四】除股【三百四十五】得一【又八之七】又外加一共二【又八之七】通作【二十三】为法以股【三百四十五】通作【二千七百六十】为实法除实亦得【一百二十】为乙丁截股

　　解两法相同所以然之故　葢此是依句股形正角作方形于内【即句股容方】也本法以句股和为法除句股形倍积【即句股相乗】今不用句股和本数而用其除过之句股和为法【股被句除既变为除过之股而得数中之一其本数皆与句同今于得数又加一是又加一除过之句合之则共为除过之句股和矣】故即用股为实以当除过之倍积法与实并为除过之数则其理相同而得数亦同矣以上补第二条之例

　　按数度衍有在逺测正方形之算立破句名色不穏图亦不真今于此第一例中生二法补之

　　分角线至对边【亦系鲍法】

　　甲乙丙句股形　今平分乙方角作乙丁线至对边欲知丁防之所在

　　法曰先依句股求方求得己丁戊乙正方形

　　次用丁戊丙形或丁己甲形求得丁丙或甲丁即得

　　甲乙丙句股形　今平分乙鋭角作线至甲丙股欲知丁防所在

　　法以甲丙股乙丙句相乗得丙庚长方亦即乙辛长斜

　　方其辛戊小长斜方又即戊壬长斜

　　方取甲子癸小句股形补壬寅丑虚

　　句股形成甲寅长方此即句股相乗

　　实以句和除之也【甲乙为乙壬即句】得壬寅边

　　丙甲辛句股形中【即甲乙丙原设形】作甲卯垂线至丙辛【法另具】于是一率甲卯二率甲辛三率甲子四率甲癸【即丁己】成丁己乙戊四斜方形

　　次用丁戊丙形或丁己甲形依句求股求得丁丙或丁甲即得

　　按上鲍法此寅甲长方为句和除句股形倍积所得壬寅边必小于句股容方之边其内容丁己乙戊四斜方形之丁己边又必大于句股容方之边二者之间可以得容方边矣【容方邉除倍积得句股和以减句和得股较即其他可知】

　　求丁己线法　一率甲丙股　二率甲乙　三率壬寅　四率丁己【即壬丑】

　　甲乙丙鋭角形　求分乙角作线至甲丙边之丁防

　　法于形中求得辰丙垂线【丙辛甲形即甲乙丙

　　形故其垂线等】用丙长线乗乙丙所得即辛

　　乙长斜方形自此以下至成丁己乙

　　戊四斜方【并同前法】

　　次用比例法　一率甲乙　二率甲丙　三率丁戊四率得丁丙

　　或一率甲乙　二率甲丙　三率甲己　四率甲丁甲乙丙钝角形　法先从形外求得甲辰外垂线　引乙丙线与之相遇　次以甲辰垂线乗乙丙得乙辛长

　　斜方形　余同前法

　　甲乙丙钝角形　甲辰垂线在形外

　　与右图同法

　　鼎按若依几何六卷三题法甚防

　　句股容员

　　甲乙丙句股形　求容员径卯戌【即丁辛】

　　法于甲丙上截丁丙如句【乙丙】又截甲辛如股【乙甲】因得丁辛即容员之径

　　试依所截丁丙为句作戊丁丙句股形【自丁作之垂线至戊又引乙丙句遇于戊即成此形】又依所截甲辛为股作甲辛氐句股形【自辛作之垂线长出至氐引甲乙股遇于氐】又作戊戌房句股形【引戊丁股至房如之度自房作垂线至戌即成】乃自甲自戊各为分角线遇于己成十字则己即容员心也又引十字线透出而以甲己为度截之于癸于女乃自癸作线与丙戊平行至辰又自女作

　　辛氐及房戊之垂线穿而

　　过之与癸辰线遇于辰又

　　引氐辛线至癸引房戌线

　　至女得女辰女房癸辰癸

　　氐四线皆如甲丙女卯

　　女亢癸丑癸未四线皆如

　　甲乙股卯辰房亢丑氐辰未四线皆如乙丙句又成女卯辰女亢房癸未辰癸丑氐四句股形共八句股形纵横相叠并以容员心己防为心此同心八句股形各线相交成正方形二其一卯戌丑乙形依原形之句股而立其乙方角即原形之所有也其一丁辛亢未形依原形之而立即所谓和较也此两形者皆相等而其方边并与容员径等即容员径上之方幂也

　　然则何以又为和较试即以原论之甲丙上所截之丁丙即句也甲辛即股也句股相并即重叠此丁辛一边是句股和多于之数古人以和较为容员径葢谓此也八句股形即有相等之八每一上各有此重叠之线以成两四方形相等之八边可以观矣【因鲍图改作之彼原有八角形外小句股形辏成一等面八角形之论但图欠明显】

　　相似两句股并求简法

　　假如癸辛己大形癸壬乙小形其癸角等则为相似之两句股形今欲求两形之两句合线【两句者一为己辛大句一为壬乙小句即辛甲也则己甲为两句合线】

　　法以两【一癸己大一癸乙小】并之为三率以癸角之正【两癸

　　角等只用其一】为二率二三相

　　乗为实半径全数为法

　　实如法而一得四率己

　　甲即【己辛壬乙】两句之合

　　数

　　何以知之曰试引癸己

　　至丁截己丁如癸乙则丁癸即两合数也乃以癸角之正乗之半径【全】除之即得丁丙而丁戊即壬乙【以己丁即癸乙也亦即甲辛】戊丙即己辛【同在直线限内也】则所得丁丙亦即己甲矣

　　有句股和有求句求股【量法】乙甲句股和　丙甲

　　原法以甲为心作乙己卯

　　象限　又以丙甲半之

　　于丁以丁为心作甲戊丙

　　半圆

　　次于丙戊半员上任以辛为心丙为界作丙己小员屡试之令小员正切象限如己乃作己辛甲及辛丙二线则辛丙为句辛甲为股如所求按此法不误但己防正切处难真今别立法求己防

　　法曰自丁防作垂线分半圆于戊以戊为心用丙为界作丙己庚丑甲全员全员与象限相割于己从己向甲作直线割半员于辛乃作辛丙为句即辛甲为股合问如此则径得辛防不用屡试得数既易且真确矣论曰凡平员内作两通至员径两端必为句股而员径常为今既以丙甲为半员径则其辛丙与辛甲两通必句与股也而己辛甲线与乙甲等即句股和也今以辛为心作小员而其边正切己则己辛与丙辛等为小员之半径即等为句线矣于己甲句股和内截己辛为句则辛甲必为股故此法不误也

　　又论曰半员内所容句股形以半方形为最大【即甲戊丙也其余皆半长方形之句股故小】其句股和亦最大【丙戊句甲戊股相等其和甲戊庚为最大其余股长者句反甚小故其和皆小于甲戊庚】即上方幂之斜径也【甲未庚丙为上平方幂甲戊庚为其斜径】以此为象限之半径【如辰庚亥象限其半径辰甲及亥甲并与庚戊甲等】则能容上平方【如甲未庚丙平方必在辰庚亥象限内】又戊心所作平方外切之平圆亦能容上平方【此员以戊为心以平方四角为界其全径甲戊庚即平方之斜径也】三者相切于庚防惟相切不相割其余句股和并小【如乙甲和必小于辰丙】不能包平方之角即不能外切平员而与之相割矣【如乙甲和为半径作乙己卯象限不能包庚防即与平员相割如己】其自庚至丙并可为相割之己防而四十五度之句股具焉【八线表所列之句股只四十五度互相为正余句为正股即余也分言正则初度小而九十度最大也若合正余为和数则初度与九十度皆最小惟四十五度最大】己足以尽句股之变态矣【若过庚向末亦四十五度己防至此其和数反小而与前四十五度为正余】句股和之最大者以略小于上斜线而止【凡句股有和有较皆长方形之半非正半方也若半方形则有和无较可无用算非句股所设】其最小者以稍大于线而止【若同线即无句股】无有不割平圆故可以己防取之也

　　又论曰以方斜为半径作象限则能容平方以方斜为半径作半圆则能容方斜上平圆【如庚己丙甲未平圆其径甲戊庚方斜是即方斜上之平圆也若以甲戊庚半径作大半圆即能容之】凡半圆内所容之圆度每以两度当外周半圆之一度何则论度必以角惟在心之角一度为一度若在边之角则两度为一度【如辰庚亥半圆从甲心出两线一至庚一至辰作辰甲庚角其度辰庚四十五度是一度为一度也若庚己丙甲未圆从甲边出两线一遇戊至庚一至丙作庚甲丙角其度庚己丙象限只作四十五度是两度当一度以同用甲角故也】凖此论之则上半圆所作之戊甲丙角亦必四十五度矣【既同用甲角则戊辛丙象限亦两度当一度】若是则庚己丙之度与

　　戊辛丙等【并同用甲角以庚辰为度故也】而

　　己防所割之己丙弧及辛丙

　　弧亦必等度矣【己丙为方外切员之度辛

　　丙为方内切员之度大小不同而同用甲角以己乙为其

　　度角等者度亦等】

　　又引辛丙至寅则寅丑甲与辛戊甲两弧亦必等度【以同用丙角故也】而同为甲角之余【丙角原为甲角之余乃甲角减象限是以己甲乙减象限得己甲卯角与辛丙甲角等也其度则两度为一度乃甲角之倍度减半周是以寅庚减半周得寅丑甲以丙辛弧减半周得辛戊甲也】又己庚丑未弧原为己丙减半周之余即与寅丑甲等于此两弧内各减寅丑未则己庚寅与未癸甲亦等于是作己寅线与未甲等亦即与丙甲等而寅己丙与甲丙己又等【于寅己及甲己各加一己丙】则丙辛寅及己辛甲两直线亦等【皆句股和也】两和线相交于辛则交角等【皆十字正角】

　　又作己丙线成己辛丙三角形而己角丙角等【己甲丙三角形与己寅丙等则对丙甲之己角对己寅之丙角亦等】则角所对己辛边丙辛边亦等矣　凖上论己辛与丙辛必等故用己防以求辛防而和数中句股可分也

　　又论曰凡句股和所作象限与斜方上平员相割有二防其一为己其一为丑自丑作直线至甲心【象限心也】割半员于壬作丙壬线即成丙壬甲句股形与甲辛丙等【丑甲丙角为丙甲壬角之余与壬丙甲角等而其度丑卯与己乙等是丙甲辛角与壬丙甲等也辛壬又皆正角又同以丙甲为是两句股形等也】凖此论之凡半员内所作句股皆两两相似【句股之正角必负员周亦两两相对如辛防在戊丙象限内即有壬防在戊甲象限与之相对皆与象限上己防丑相应其所作句股形亦两相似】故四十五度能尽句股之变也【戊丙与戊甲两象限并两度当一度其真度在庚辰及庚亥两半象限中故皆四十五度】试以壬为心丑为界作员界必过丙是丙壬股即丑壬而丑甲为和也丑壬股大于戊丙而丑甲和小于庚甲以是知和数之大至庚甲而极也

　　凖上论又足以证己庚丑癸员能尽割员句股之理

　　句股和较

　　与句股较【相和即　加句即　减股即　内减存较和　股和　句较　句股较相较即　减句即　加股即　用减存较较　股较　句和　句股较】

　　与句股和【相和即　减即　减股即　减句即和和　句股和　句和　股和相较即　加句　加股　加句较股和较　较即股　较即句　较即】

　　与句较相和　　【加句即　减句即两　减即两　　句较　　句较】

　　相较【即句】

　　句与股较【相和即　加句股　　减股　加句较减句较和　较即　　较即句　股较即股相较即　加句股较股　加股　加句股较股句较较　较即股　　较即句　较较即】

　　句与股和【相和即　减即　减股即　减句即句和和　句股和　句和　股和

　　相较即　减股即　减即　加句即句和较　句较　句股较　股和】

　　句与句股较【相和即股】

　　相较　　【加句股　加两句股较即句　较即股】

　　句与句股和相和

　　相较【即　减股即　加股即两股　两句　　句股和】

　　句与句较相和【即】

　　相较　【加句　加两句较即句　较即】

　　句与句和相和

　　相较【即】

　　句股较句较【相较即股较】　　句股较股较【相较即句和内减两句又两股较

　　相和即股　　　　　　相和即和内减两句　　　　　　句较】

　　句较股较【相较即句股较】

　　【相和即两内减一句一股】

　　句股和句和【相较即股较】　　句股和股和【相较即句较

　　相和即两句　　　　　　　相和即两股一股一　　　　　　　　一句一】

　　句和股和【相较即句股较】

　　【相和即两一句一股】

　　句股较与【句股】和【相和即两股】　句股较与【句】和【相和即股和】　句股较与股和相和

　　【相较即　　　　　　　　　　　　　　　　　相较即两句　　　　　　　　　　　　　　　　　　句和】

　　句较句和【相和即两】　句较与【句股】和【相和即股和】　句较与股和相和

　　【相较即两句】　　　　　　　相较　　　　　　　　【相较即句股和】

　　和较和和【相和半之为句股和】　和较较和【相和半之为股

　　相较半　　　　　　　　相较半之之为　　　　　　　　为句较】

　　和较较较【相和半之为句】　　和较句较和【相和半之为句

　　相较半之　　　　　　　相较半之为股较　　　　　　　为股较】

　　和较句和较【相和半之为句】　　和较句较较【相和半之仍为和较

　　相较半之为股较】　　　　　　　相较即减尽

　　和和较和【相和半之为股和】　和和较较【相和半之为句和

　　相较半之为句】　　　　　　　　相较【半之为股】

　　和和句较和【相和半之为句和】　和和句和较【相和半之即股和

　　相较半之为股】　　　　　　　　相较【半之为句】

　　和和句较较【相和半之即句股和】　较和较较【相和半之为

　　相较半　　　　　　　　相较半之之为　　　　　　　　为句股较】

　　较和句较和【相和半之为】　　较和句和较【相和半之为股与句较或与句股较】

　　【相较半之为句股较】　　　　　　　相较恰尽

　　较和句较较【相和半之为股】　　较较句较和【相和半之为句与股较

　　相较半之为句较】　　　　　　　相较恰尽

　　较较句和较【相和半之为】　　较较句较较【相和半之为句

　　相较半之　　　　　　相较半之为句股较　　　　　　为股较】

　　句较和句和较【相和半之为】　句较和句较较【相和半之为句

　　相较半之　　　　　　相较半之为句股较　　　　　　为股较】

　　句和较句较较【相和半之为股】

　　【相较半之为句较】

　　厯算全书卷四十七

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷四十八

　　宣城梅文鼎撰

　　句股阐微卷三

　　句股法解几何原本之根

　　句股羃与羃相等图

　　甲乙丙句股形　乙辛大方为羃　羃内兼有句股二羃

　　论曰试于羃作对角之乙

　　子线与甲丙股平行而等又

　　作丙丁对角线与甲乙句平

　　行与乙子线遇于子成十字

　　正角则丙子与甲乙句相等

　　成乙子丙句股形与甲乙丙句股形等又作辛癸及庚戊两线皆与丙丁等亦与乙子等而皆与甲丙股等又辛丁及癸庚及戊乙皆与丙子等即皆与甲乙句等则幂内所作四句股形皆与原设句股形等于是以丙丁辛形移作乙壬庚以癸庚辛形移作甲乙丙成甲丙

　　丁癸庚壬磬折形末引丁癸

　　至巳截成大小二方形则丙

　　巳方形即股幂癸壬小方即

　　句幂也

　　若先有丙巳股幂癸壬句幂

　　则联为磬折形而移乙壬庚

　　句股补于丙丁辛之位移甲乙丙句股补于癸庚辛之位即复成乙辛大方而为幂

　　又法

　　甲乙丙句股形　乙丙　其幂乙戊丁丙

　　甲丙股其幂甲壬辛丙　甲乙句其幂乙庚癸甲法于原形之甲正角作十字线分幂为两长方【一为丑子丁丙】凖股幂【一为丑子戊乙】凖句幂又引之至己又自庚癸自壬辛并引之至巳而成方角

　　次移甲丑丙句股补巳子丁虚形又移巳壬甲句股补丁辛丙虚形即成股幂而与丑子丁丙长方等积又移甲丑乙句股补己子戊虚形再移己卯戊句股补戊癸寅虚形又移戊卯甲癸形补癸寅乙庚虚形即成句幂而与丑子戊乙等积

　　解几何二卷第五题　第六题

　　甲丙为　丁丙为句

　　丁甲句和　乙丁句

　　较【丁甲同丁壬甲癸并同】

　　庚辛戊己幂也　己句

　　幂也　戊庚辛较乗和之

　　长方幂也

　　移戊补戊移庚辛补庚辛而幂内净多一己形即句幂也故幂内有和较相乗之长方又有句幂也论曰凡大小方形相减则其余必为两形边和较相乗之长方是故己形者句自乗之小方也戊庚辛句较乗句和之长方也合之成戊庚辛巳形即自乗之大方矣

　　几何二卷第五题以倍为甲乙原线以甲丙为平分之线以甲丁和乙丁较为任分之两线以丁丙句为分内线其理一也

　　第六题以子丁倍句为原线以丁丙句为平分线以句较乙丁【即子甲】为引増线以丁甲句和为全线其理亦同

　　以数明之　甲丙八　丁丙句五　乙丁较三　丁甲和十三　和较相乗三十九　句自乗二十五　以句幂加和较长方共六十四与甲丙幂等

　　又论曰用股和较亦同

　　解几何二卷第七题

　　甲丁股幂【即甲乙元线上方】子戊

　　句幂【即甲乙方内所作已辛方乃任分线甲丙

　　上方也】并之成癸寅幂【即所

　　谓两直角方形并也】

　　幂内有戊甲股【即甲乙原线】戊癸句【即任分之甲丙线】相乗长

　　方形二【即己甲长方及丁辛长方亦即甲乙偕甲丙矩形二也】及句股较乙丙上方一【即壬丙小方亦即所谓分余线上方也】

　　何以明之曰试于戊癸线引长至丑令丑癸如已丁较【即乙丙】遂作子丑小长方【与丁庚等】以益亥癸成亥丑长方【与丁辛等亦与已甲等】

　　次于癸寅内作甲酉寅辰午未癸卯四线皆与甲乙股等　自然有甲卯寅酉午辰癸未四线皆与戊癸句等又自有未卯卯酉等句股较与乙丙较等　即显

　　幂内有句股形四较幂一也

　　试于鼏内移午辰寅句股补癸戊甲之位成戊卯长方【与己甲等】又移癸未午句股补甲戌寅之位成戌酉长方【与亥丑等】而较幂未酉小方元与壬丙等又子丑小长方元与丁庚等

　　合而观之岂非丁甲股幂及子戊句幂并即与己甲亥丑两长方及壬丙小方等积乎

　　解几何二卷第八题

　　庚甲乙句股形　取丁乙如

　　庚甲句则丁甲为句股和

　　和之幂为丁己大方【即元线甲乙偕

　　初分线上直角方也】于大方周线取戊

　　丑己子皆与庚甲句等即丑

　　丁戊子己庚皆与甲乙股等【即甲乙元线也句线则初分线】

　　次作丑癸庚辛乙壬子卯四线皆与外周四股线平行而等

　　自有丑壬子癸庚卯乙辛四线皆与外周四句线平行而等

　　又有壬癸癸卯卯辛辛壬四句股较线自相等【即分余线也】丁已和幂内有长方形四皆句乗股之积【即元线偕初分线矩内形四也】又有句股较自乗幂一即分余线上方形也

　　解几何二卷第九题

　　甲丙为股　丁丙为句

　　丁甲句股和　乙丁句股

　　较　壬庚为句幂　辛丙

　　为股幂　丑丁较幂　丁

　　癸和幂　戊巳线上方为

　　句幂之倍　戊甲上方为

　　斜线上方倍于元方图　　股幂之倍并和较幂倍大于句幂股幂之并古法倍幂内减句股和幂开方得较若减较幂亦开方得和即其理也

　　论曰己丁较上方与丁

　　甲和上方并之即己甲

　　上方也戊巳线上方与

　　戊甲线上方并亦即巳

　　甲上方也　而戊巳为句幂斜线戊甲为股幂斜线凡斜线上方形倍于原方故较幂并和幂亦倍大于句幂股幂之并也而句幂股幂并之即幂古人所以用倍幂也

　　此第十题与前题同法　甲

　　丙即句　丁丙即股　丁甲

　　全线即和　丁乙引増线即

　　较

　　准前论丁庚【即丁乙】较上方幂与丁甲和上方幂并成庚甲线上幂而庚甲幂内原兼有丙丁股【即巳戊亦即己庚】及丙甲句二幂【己壬为股幂辛丙为句幂】之倍数【庚戊为股斜线其幂必倍于股幂戊甲为句斜线其幂必倍于句幂】故庚甲幂内能兼戊庚及戊甲二幂

　　丙丙线皆也丙丙方幂

　　也甲丙之长者皆股也【亦即丙丁

　　丁】甲丙之短者皆句也【亦即丙丁】丁丁线句股较也丁丁小方

　　较幂也甲丙甲句股和也甲甲大方和幂也

　　丁甲长方皆句股相乗即倍句股形积也

　　合而观之则幂内有句股积四及较幂一也和幂内有句股积八及较幂一也　若倍幂则有句股积八及较幂二也故以和幂减倍幂得较幂　若以较幂减之亦得和幂矣

　　以句股法解理分中末线之根

　　即几何二卷第十一题　六卷第三十题四卷第十第十一题

　　古法句较　　　　　癸庚　其鼏庚乙　丙癸

　　乘句和开　　　　　句　其鼏丙戊

　　方得股之图　　　　　引庚甲至壬使甲壬如丙

　　癸句则庚壬为句和丙庚

　　原为句较　以较乗和成

　　丙壬长方　长方内截甲丁

　　小长方与戊辛等　其余庚辛

　　合而观之是鼏内兼有句较乗和之积及句鼏也

　　夫鼏内原有句股二鼏而今以句较乗和之积可代股鼏是句较乗和即同股鼏也

　　句和及股　　　　用法

　　及句较为　　　　有句和　有句较

　　连比例图　　　　　求股法以较乗和开方得股

　　或有股有句和求句求

　　法以股自乗为实以句

　　和除之得较以较减和

　　半之得句句加较得若

　　先有较以除股鼏亦得和矣

　　如图　丙戊丁句股形　丙丁与丁乙等【亦与丁庚等】丁戊句　亥戊为倍句　乙戊为句较与庚亥等戊庚为句和与亥乙等

　　亥巳为句股和乗句较之

　　积与戊癸等

　　丙戊股　其方鼏甲丙

　　准前论甲丙方与亥巳长方

　　等积【戊癸亦同】则庚戊和与丙戊股若丙戊股与戊乙较也一　句和　庚戊

　　二　股　　　丙戊

　　三　股　　　丙戊

　　四　句较　戊乙

　　以戊乙较减亥乙和余亥戊倍句折半为句【丁戊或丁亥】或戊乙较与丙戊股若丙戊股与庚戊和也

　　一　句股较　戊乙

　　二　股　　　丙戊

　　三　股　　　丙戊

　　四　句股和　庚戊

　　又论曰以二图合观之凡倍句加句较即句和以倍句减句和余即句较

　　此不论句小股大如前图或句大股小如后图并同此可以明倍句与句较必为句和之两分线故以句和为全线则其内兼有倍句及句较之两线矣但倍句有时而大于较有时而小于较故不能自为

　　连比例而必借股以通之

　　今于句和全线内取倍句如股则先以股线为和较之中率者今以如股之倍句当之而倍句原系句和全线之大分于是和与倍句之比例若倍句与较亦即为全与大分若大分与小分此理分中末线所由出也下文详之

　　丙戊线上取理分中末线

　　先以丙戊线命为股　以丙戊折半成丁戊命为句取丙丁与丁乙等则戊乙为句较

　　变股为倍句成　　　亥戊倍句与丙戊股等　以理分中末线图　　　加较成亥乙即句和

　　亥巳为和较相乗积与丙亥

　　股鼏等【丙亥为丙戊股之方即为亥戊倍句之方】准前论亥乙和与丙戊股

　　若丙戊股与戊乙较

　　今亥戊即丙戊则又为亥乙

　　和与亥戊倍句若亥戊倍句与戊乙较也

　　夫亥乙者全线也亥戊其大分戊乙其小分也合之则是全线与其大分若大分与其小分

　　论曰此以丙戊股线为理分中末之大分而求得其全线亥乙与其小分戊乙也而大分与小分之比例原若

　　理分中末线　　　　全线与大分故即可以丙戊

　　比例图　　　　　　大分为全线而以小分戊子

　　【即戊乙也】为大分则子丙自为小

　　分矣

　　以亥乙为全线【亥戊大分即丙戊亦即乙】

　　【甲　戊乙小分即戊子】

　　亥乙与乙甲【即亥戊大分】若亥戊与子戊也【即亥戊与戊乙】

　　理分中末线　　　　此用亥乙甲大句股比亥戊

　　相生不穷图　　　　子小句股

　　若丙戊为全线

　　则又戊子为大分【亦即子巳】子丙

　　为小分【亦即巳甲】为亥戊与戊子

　　【即丙戊与戊子】若子巳与巳甲也【即子戊与子丙】

　　此用亥戊子大句股比子巳甲小句股

　　亥戊与戊乙若戊子与子丙又相视之理也

　　又若子巳为全线

　　则子庚又为大分　庚巳又为小分

　　其法但于大分子巳内截取子庚如小分丙子作丙庚小方则戊子【即子巳】与子丙若子庚与庚巳

　　似此推之可至无穷

　　解几何三卷第二十七题

　　甲乙丙句股形　以乙丙句

　　折半于巳　作已戊线与股

　　平行平分甲丙于戊　又

　　作戊庚线与句平行平分甲

　　乙股于庚成巳庚长方此即半句乗半股为句股积之半也

　　凡句股形内依正角作长方惟此为大　若于形内别作长方皆小【皆不及句股半积也】

　　今仍作卯丁形则小于巳庚何以知之曰试作丑戊线与丙巳半句平行而等又作丑丙线与戊巳半股平行而等又引壬辰至寅引壬卯至午即显壬丑形与壬巳形等又乙辰原与巳寅等则以巳寅加壬丑而成丑午壬辰巳之磬折形即亦与卯丁形等矣夫磬折形在丑巳方形内而缺午辰之一角即相同磬折之卯丁形以较已庚半积方形亦缺戊未之一角也葢丑巳等巳庚而所缺之午辰小方亦等戊未也　准此言之即凡作长方于丙戊界内者皆小于巳庚半积形也

　　又作子癸形则亦小于巳庚何以知之曰试作戊乙对角线引之至酉即显癸未形与卯未形等即卯丁形与子癸形亦等而其小于巳庚形为所缺之戊未小方亦等矣　准此言之即凡作长方于甲戊界内者皆小于巳庚半积形也

　　又知句股内容方之积亦皆小于半积惟句股相等如半方者容方即为半积

　　论曰此磬折形依线而成葢即几何所谓有阙依形也所阙之小方午辰及戊未皆与丑巳形相似而体势等以有线为之对角也然以句股解之殊简

　　又论曰若壬角在线上去戊角更逺则所缺之午辰小方亦更大而其形皆相似而体势等辛角亦然

　　解几何三卷三十五题

　　甲丙乙句股形　以

　　甲乙为半径作员

　　则甲丙股为正

　　丙乙句为余

　　己丙矢为句较丁

　　丙大矢为句和

　　依句股法　较乗和开方得甲丙股而丙戊亦甲丙也故甲丙乗丙戊与巳丙乗丁丙等积也

　　几何三卷第三十五题言员内两线相交则其各分之线相乗等积即此理也

　　巳丁过员心线

　　有庚壬斜线相交

　　于丙【分丙巳及丙丁又丙庚及

　　丙壬】皆分为两法自

　　员心乙作十字线

　　至辛平分庚壬为两【辛庚辛壬】皆斜线之半

　　辛庚半线内又分辛丙为小线

　　以辛丙减辛庚余庚丙为较以辛丙加辛壬成丙壬为和

　　以大小二方相较之理言之庚辛方内有庚丙较乗丙壬和之积及辛丙方

　　乙辛庚句股形以乙庚为幂内兼有庚辛及乙辛句股二幂即兼有庚丙乗丙壬之积及辛丙乙辛二方也又乙辛丙小句股形以乙丙为则乙丙方内兼有辛乙辛丙二方而甲丙乙句股形以同庚乙之甲乙为幂内兼有甲丙及乙丙二方　此两者既等其幂必等而其所兼之辛丙乙辛二方又与乙丙方等则各减等率而其所余之庚丙乗丙壬积亦必与甲丙方等矣

　　而已丙乗丙丁原与甲丙方等则巳丙乗丙丁亦必与庚丙乗丙壬等矣

　　辛戊线　庚壬线

　　相交于丙则戊丙

　　乗丙辛与庚丙乗

　　丙壬亦等

　　何以知之曰试作

　　一丁巳过心线与

　　两线交于丙凖前论戊丙乗丙辛之积及庚丙乗丙壬之积皆能与丁丙乗乙丙之积等则亦必自相等矣

　　丁巳员径　有

　　庚壬斜线相交

　　于丙则庚丙乗

　　丙壬与巳丙乗

　　丙丁等

　　如法作乙辛及

　　乙庚线成乙辛庚句股　又成乙辛丙小句股以丙辛句减庚辛句余庚丙为较　以同丙辛句之辛戊加庚辛句成庚戊为和【即丙壬】

　　又以乙丙【即乙子亦即乙癸】减庚乙余子庚为较　又两相加成庚癸为和【即子丑】以庚子较乗庚癸和与庚丙较乗丙壬和之积必等【详后条】而巳丙即庚子丙丁即子丑【亦即庚癸】故巳丙乗丙丁与庚丙乗丙壬亦等

　　又大小方相减之理　庚乙方内兼有庚子乗庚癸之积及乙子方即如兼有庚丙乗丙壬之积及乙丙方也【乙丙即乙子】

　　而同庚乙之甲乙幂内原兼有甲丙方及乙丙方此庚乙甲乙两积内各减去乙丙方则所存者一为庚丙乗丙壬之积一为甲丙自乗积此所余两积亦必相同可知矣

　　又巳丙乗丙丁之积原与甲丙方等则亦与庚丙乗丙壬等矣

　　先解两方相减

　　寅辛大方内减子巳小方【寅辰为两方边之较卯辰为两方之和即子辛】法以小方边【乙子】为度于大方边截取【乙长乙戊】作辰午线及

　　戊未线成辰戊

　　小方与巳子等

　　为减去之积其

　　余为寅午长方

　　【即二方较线寅长乗大方邉之

　　积】及未辛长方

　　【即较线午未乗小方邉之积】

　　末取未辛长方移补丑卯之位成卯寅长方【即较乗和之积】又庚甲大方内减己癸小方【丁辛为两方较已辛为两方和亦即辛丙】如法作丁壬癸戌二线减去丁癸小方与已癸等其余辛壬壬癸两长方又移癸壬为丙壬成丁丙长方即较乗和之积也

　　凖此论之凡大小二方相减其所余者必皆为较乗和之积

　　次解两句股形相减　凡两句股同髙即可相加减【谓股数同也】

　　乙庚辛句股内减乙庚丁句股　则以丁庚句减辛庚句余【辛丁】为两句之较　又以同【丁庚】之巳庚句加辛庚句成辛已为两句之和　和乗较成丁丙长方

　　又以乙丁减辛乙余辛戊为两之较　又两相加成辛子为两之和【戊乙子乙并同丁乙】　和乗较成卯寅长方

　　此两长方者其积必等【无论乙为正角或钝角或鋭角并同】

　　何以明其然也曰依句股法乙辛上方兼有乙庚庚辛上二方又乙巳上方兼有乙庚庚巳上一方今既以乙巳上方减乙辛上方则各所兼之乙庚方巳相同而减尽故乙辛上方之多于乙巳上方者即是庚辛上方多于庚巳上方之数也

　　又所用者是两分之乙庚辛句股及乙庚已句股【即乙庚丁】故不论乙角锐钝其法悉同也

　　解几何三卷三十六三十七题

　　甲乙丙句股形　以丙乙

　　句为半径作员　则甲丙

　　股为切线　甲乙为割

　　线

　　甲乙割线内减丁乙半径

　　则甲丁为句较　甲乙割线加戊乙半径成甲戊为句和　和较相乗平方开之得甲丙股

　　几何三卷第三十六题三十七题之理葢出于此若割员线不过乙心　如甲庚　则以他句股明之法自乙心向割员线作乙巳为十字正交线则割线之

　　在员内者平分为两【子巳巳庚】并为员内线子庚之半

　　又作乙子半径成子巳乙

　　小句股则子乙小上方

　　幂兼有子巳小股乙巳小

　　句两幂又甲庚总线既分于巳则甲巳大线内减子巳小线其余甲子在员外者为较　以小线巳庚加大线甲巳成甲庚总为和

　　凡大小二方相较则大方内兼有较乗和及小方之积

　　则是甲巳幂内必兼有甲

　　子乗甲庚之长方及子巳

　　方也

　　又甲巳乙亦句股形其甲

　　乙内原兼有甲巳及乙已句股二幂即是兼有甲子乗甲庚之长方及子巳方与乙巳方也而子巳及巳乙二方原合之成一子乙方子乙即丙乙也是合丙乙方与甲子成甲寅之长方而成甲乙方也

　　又甲丙乙句股形　同以甲乙为原合丙乙方与甲丙方而成甲乙方

　　两形之甲乙方内各去其相等之丙乙方则其余积一为甲子乗甲寅之长方一为甲丙自乗方是二者不得不等矣

　　用法

　　凡测平员形　既得甲丙切线　自乗为实　以甲丁之距为法除之得甲戊之距以甲丁距减之得丁戊员径

　　若欲测庚物之在员周者亦以甲丙切线自乗为实以甲子为法除之即得甲庚之距

　　又法用两句股相加减

　　甲乙丙句股形　以乙丙句为半径作员　又以甲乙为半径作外员　自外员任取甲防作过心员径至戊　又任作一不过心斜线入内员至庚　则以两员

　　间距线乗其全线皆与

　　股幂等而亦自相等

　　如以甲丁乗甲戊或甲

　　壬乗甲庚其积皆等又

　　皆与甲丙切线上方幂等

　　法以两句股相加减

　　先自乙心作乙辛十字正线平分壬庚线于辛成乙辛甲句股

　　又作乙壬乙庚二线成乙辛壬小句股与乙辛庚等法以辛壬与甲辛相减余甲壬为两句之较

　　又相加成甲庚全线为两句之和则以甲壬乗甲庚为句之较乗和也

　　又以乙壬与甲乙相减余甲丁为两之较

　　亦相加成甲戊全线为两之和则以甲丁乗甲戊为之较乗和也

　　此句与之和较相乗两积必等

　　而甲丁乗甲戊原与甲丙自乗等【以甲丙乙句股言之也】故三积俱等

　　凖此论之凡自甲防任作多线入内员其法并同　不但此也但于外员周任作线入内员亦同如于丑作丑戊线则丑卯乗丑戊亦与甲丙幂等

　　何以知之曰试于丑作丑寅过心线即诸数并同甲戊矣而丑卯戊之于丑辰寅犹甲壬寅之于甲丁戊故也

　　简法

　　庚壬斜线交丁巳员径于

　　丙　如法作乙辛线　成

　　乙辛庚句股形及乙辛丙

　　小句股形

　　又以丙辛小句与辛庚大句相减得庚戊较又相加成庚丙和

　　再以乙丙小【即乙癸亦即乙子】与庚乙大相减得子庚较又相加成癸庚和

　　依大小两句股相加减法庚戊较乗庚丙和与子庚较乗庚癸和同积

　　而壬丙原同庚戊又巳丙原同子庚而丁丙亦同癸庚则壬丙乗庚丙亦必与巳丙乗丁丙同积矣

　　又简法

　　壬庚线斜交已丁员径于丙　依法作乙辛又作乙壬线　成乙辛壬句股及乙辛丙小句股皆如前

　　今自庚别作一过乙心线如

　　庚戊则乙辛庚与乙辛壬成

　　相同之两句股即显壬丙为

　　大小两句之较而丙庚为其

　　和

　　又显戊癸为两之较而与巳丙等则巳丙亦较也又癸庚为两之和而与丙丁等则丙丁亦和也是故壬丙乗丙庚较乗和也已丙乗丙丁亦较乗和也而其积必等

　　厯算全书卷四十八

　　钦定四库全书

　　歴算全书卷四十九

　　宣城梅文鼎撰

　　句股阐微卷四

　　几何増解

　　方斜较求原方【几何约论线第十四条有用法今解其理】

　　甲乙丙丁正方形　甲乙其对角线　戊乙为方斜之较　于戊乙上作庚癸乙戊小方则丙庚与庚戊等

　　论曰法于方之一角甲

　　作员而以丙甲方径为

　　员之半径则乙丙为切

　　员线乙辛为自员外割

　　员之全线乙戊较为割

　　员在外之余线而两线

　　皆出一防则乙戊乗乙

　　辛之矩形与乙丙切线方形等

　　夫乙丙即原设方也今以同乙戊之癸乙为横乙辛为直作乙已长方【即乙戊乗乙辛之矩】又移切甲己长方为子甲长方又移卯补午移辰补酉移丑补寅则复成乙丙甲丁方形矣而丑卯午酉等斜剖半方形皆以乙戊较为半方形之边是庚戊及丙庚皆与乙戊等而亦自相等又何疑焉

　　用法　有方斜之较乙戊求原方形之一边法以乙戊较作小方形取其斜乙庚再引长之截丙庚如乙戊得乙丙如所求

　　从此图生一测员之法　假有员城八面开门正西门如戊门外有塔如乙其距如乙戊西南门如丙距塔若干歩如乙丙问城径

　　法以乙丙之距自乗得数为实以乙戊之距为法法除实得乙辛于乙辛内减去乙戊即员城之径　防法但倍乙丙即得城径

　　有员城正西之门如戊西南之门如丙人立于庚可两见之而庚丙与庚戊皆等问城径

　　法以庚戊自乗成戊癸小方以方斜之法求其斜距为乙庚以乙庚加庚丙为乙丙即城半径

　　按此即几何约之用法也

　　又以句股法解之

　　又论曰试于庚丙上作丙子较线上方引庚戊至丁则丁庚又为丙子方之斜而丁戊与乙丙等从丁戊作丁壬甲戊为元方如所求

　　又论曰此即句和较相乗

　　开方得股也　乙甲丁甲皆

　　如　戊甲甲辛【甲丙甲壬】皆如

　　句　乙戊如句较【丁丙同】乙辛如句和　和较相乗

　　成癸辛长方　开方得丁戊

　　股【乙丙同】

　　切线角与员周角交互相应【几何三卷三十二三十三増题】

　　乙丙丁三角形在员内有甲乙切员线则所作丙乙甲

　　角与丙丁乙角同大又丁乙戊

　　角与丁丙乙角同大所谓交互

　　相应也

　　论曰丁角以乙丙弧分论度而

　　丙乙甲角亦以乙丙弧分之度为度故丙乙甲角即丁角也丙角以丁乙弧分为度而丁乙戊角亦以丁乙弧分为度故丁乙戊角即丙角也　凡用员周度为角度皆以两度为一度详后第三増题

　　若丁为钝角则丙乙甲亦钝角两钝角同以丙辛乙弧为度故也其丙锐角与丁乙戊锐角则同以丁乙弧为

　　度

　　又増题　员内三角形一角移

　　动则余二角变而本角度分不

　　变交互相应之角度亦不变

　　如上图【三图】丁角移至辛则丙

　　角加大而相应之辛乙戊角亦

　　从之而大以辛丁乙弧大于丁

　　乙弧也辛乙戊大则辛乙丙小

　　矣其较皆为丁辛弧　若丁角虽移至辛而其度不变相应之丙乙甲角亦不变以所用之丙乙弧不变也又丙角移至壬则丁角加大相应之壬乙甲亦从之而大以壬丙乙弧大于丙乙弧也壬乙甲大则壬乙丁小矣其较皆为丙壬弧　若丙角虽移至壬其度不变相应之丁乙戊亦不变以所用之丁乙弧不变也

　　此图同论但丁角移则丙角变

　　小丙角移亦然

　　又増题　切员线作角与员周弧度相应图

　　有子甲戊员有干艮线相切于子从子防出线与切线作角必割员周之度其大小皆相应但皆以员周两度当角之一度

　　如用子午正线则所作两防子角皆正角【百八十度分两正角各皆九十度】而亦剖员为半周【两半员并百八十度】是两度当一度又如用子辛线作辛子艮钝角【四十五度】而本线割员周于辛为九十度象限亦两度当一度

　　又如用子辛线作辛子干钝角形【百三十五度】而线割辛午干员分【为二百七十度】三象限亦两度当一度

　　又如于员内任作辛子乙角形乙辛子角所乗之子甲乙弧六十度干子乙角同用子甲乙弧亦六十度然其实度是坎寅弧实只三十度亦两当一也

　　又子乙辛角乗子癸壬辛弧【一象限】艮子辛角亦割子癸壬辛弧【一象限】然其实度为震酉弧只四十五度亦两当一也所以者何曰试作辛乙线移角于辛则所乗弧【子甲

　　乙】六十度皆实度也今也

　　角在心是员周也非员心

　　也凡员周之角小于员心

　　一倍故也

　　论曰员周至员心正得员

　　径之半故所作角为折半

　　比例试作乙丙线成辛乙

　　丙句股形又从心作心周

　　线与辛乙平行则所作周心丙角与乙辛丙等而此心周线平剖乙丙句亦平分乙周丙于周而正得其半矣系句股形平分线作点从此作线与股平行即平分句线为两

　　又论曰查角度之法皆以切点为心作半员即见真度此不论半员大小或作于员内或作于员外并同　作于员外其度开明易于简查

　　又论曰试于所切圈心作横径线与切线平行如辛丙线引长之出员外而以查角度之线割员周而过之则皆成大小句股形而所过横线上防皆即八线中之切线为句股形之股角度斜线为横线所截处即八线中割线常为而切点至员心之半径常为句

　　如子辛角度线割横线于辛成辛心子句股形其所当角度为酉中四十五度则辛心即四十五度之切线辛子即四十五度之割线余并同　其子心即半径也又论曰角度半员有大小而子心半径常为句者以所作横线在员心欲用员度相较也若于半员之端【如中如外】作横线与切线平行其所作切线割线亦同比例而即以各半员之半径为句矣

　　不但此也即任于子心外直线上任作一横线其所作句股并同但皆以十字交处距子防之度命为半径此八线割员之法所由以立也

　　量无法四边形防法

　　甲乙丙丁形求其容　先作

　　乙丁对角线分为两三角形

　　次自丙作丙戊横线与乙

　　丁线相交于丑为十字正角

　　而取戊防与甲齐平则戊丑即甲庚也次以丙戊防折半于己　次作壬癸线与乙丁平行而等　又作壬辛癸子二线皆与己丙平行而等　得辛癸长方即原形之容

　　取平行线简法

　　法曰乙丙线欲于甲防作

　　线与之平行法于线外任

　　取巳防为心甲防为界作

　　辛甲丁庚圈分次以庚为

　　心取甲辛之度为界截员分得丁防末自丁作戊丁甲线此线必与乙丙平行矣

　　论曰凡圈内两直线相距之度等则其线必平行如【丁甲】与【庚辛】两线俱在一圈之内而所距之【甲辛】圈分与【庚丁】圈分等是相距之度等而其线平行也因读数度衍得此法似较他处为防

　　补测量全义斜坡用切线法【系勿庵补】

　　斜三角形有一角两边求余边

　　法用切线分外角求得余

　　角即以得边可不用垂线

　　如甲乙己斜角形　有乙

　　甲及己甲二边　有甲角求乙己边

　　法以己甲线引长之成乙甲丙角为原有甲角之外角【以元有甲角减半周得】次分外角之度而半之为半外角而求其切线为三率并乙甲己甲二边为首率又以二边相较为次率次率乗三率为实首率为法除之得半较角之切线以查表得半较角之度以减半外角得己角末用正法得己乙边　法为己角正与乙甲若甲角正与乙己

　　三率法

　　一　两线之和　　　己丙

　　二　两线之较　　　己丁

　　三　半外角之切线　戊癸

　　四　半较角之切线　壬戊

　　用外角者乙己两角之和度而较角者乙己两角之较度【以用切线故半之也】

　　论曰又如后图己甲引至丙而乙甲亦引至辛则乙甲丙及丁甲寅两角皆原有甲角之外角再作甲戊线平分外角则丁甲戊及寅甲戊皆半外角　又作甲壬线

　　与乙已平行则壬

　　甲癸角即同己角

　　壬甲辛角即同乙

　　角再于甲戊半径

　　之端作癸戊辛十

　　字线切员于戊则

　　戊癸及戊辛皆半外角之切线也再以壬甲癸角减壬甲辛角其较为壬甲子角则壬甲戊即半较角而壬戊其切线也

　　其比例为己丙【二边和】与己丁【二边较】若癸辛【外角全切线即乙己丁角和度之全切】与壬子【较角度之全切线】则亦若癸戊【半外角切线】与壬戊【即半较角之切线】何也全与全若半与半也

　　理分中末线

　　甲乙线求作理分中末线

　　法以甲乙全线折半于庚乃

　　作垂线于甲端为丙甲如半

　　线甲庚之度为句全线为

　　股次作丙乙线为

　　次以丙为心乙为界作乙丁圈界　次引丙甲句至丁则丙丁即丙乙也　末以甲为心丁为界作丁戊己圈分则甲己为理分中末之大分己乙为小分其比例为甲乙与甲己若甲己与己乙也

　　逓加法　借右图以乙为心甲为界运规截丁已圈分于戊自戊作线向甲成甲戊线与甲丁等乃自戊作戊乙线与乙甲等成甲乙戊三角形

　　此形甲戊两角悉倍于乙角乃平分戊角作戊辛线此线与甲戊并大亦与乙辛同大成辛戊甲相似三角形则甲乙与乙辛【即戊辛】若乙辛与辛甲也又平分辛角作

　　辛壬线与壬戊与辛甲

　　皆同大则成甲辛壬三

　　角形与辛戊甲相似则

　　乙辛【即戊辛亦即戊甲】与辛甲

　　【即辛壬戊壬】若辛甲与壬甲

　　也如此逓半则其角比例并同

　　一【乙甲】　　　二【乙戊即戊辛戊甲】　三【辛甲即辛壬戊壬】　四【辛癸即壬癸壬甲】五【癸甲即癸子壬子】　六【癸丑即丑子子甲】　七【丑甲即丑寅寅子】　八【丑卯即卯寅寅甲】九【卯甲】　若能知其数则以大分逓乗全数除之得细数

　　先得甲乙为大分而求乙己全分及

　　乙庚小分　用此图亦为半圆内求

　　容方法则以乙巳全分加乙庚小分

　　折半于戊得戊己为半径若先得戊

　　己则以戊己【即戊丁】为作丁甲戊句股使戊甲句半于丁甲股则丁甲即为戊己理分中末之大分

　　解曰甲庚【即乙己】全数与丁甲【大分】若丁甲【大分即甲乙】与甲己小分【即乙庚】也

　　以量分

　　甲乙线十数求作理分中末线

　　先依甲乙线作甲乙丁丙正

　　方形【四面皆十数】　次任用一面

　　平分之如甲丙平分于壬【甲壬

　　及壬丙皆五数】甲乙之半数也【甲丙与甲】

　　【乙等其分亦等】　次自壬向乙角作乙壬斜线其数一十一【一八○三三九】　次自壬量甲壬或丙壬之度【即甲乙之一半】移置于乙壬线上截壬癸如甲壬则其余癸乙即理分中末之大分其数六【一八○三三九】末以癸乙之度移置于甲乙线上如乙戊则乙戊为大分戊甲为小分其数三【八一九六六○】

　　简法

　　作句股形　令甲壬句如甲乙股之

　　半乃以壬为心甲为界作虚线圆分

　　截乙壬于癸

　　末以乙为心癸为界作圆分截甲乙线于戊

　　则乙戊为大分甲戊为小分

　　又简法

　　以甲乙全线为半径作半圆形则乙庚乙辛皆与甲乙等

　　次平分乙辛于己

　　次以己为心庚为界运规割甲乙

　　线于戊【戊己之度即同己庚】

　　则乙戊为大分　甲戊为小分

　　又简法

　　作子寅丑卯十字线相交于乙

　　次以乙为心甲为界运规截十字

　　线于甲于庚于辛则乙庚乙辛皆

　　与设线甲乙等乃折半【乙辛】于己

　　以己为心庚为界运规截甲乙于戊　则乙戊大分甲戊小分皆得矣　此法可于平面圆器上求之

　　附长方变正方法

　　甲乙丙丁长方形欲变正方以长方形之横边【乙丙】直边【丙丁】二线取其中比例即所求

　　取中比例法以丙丁乙丙【即戊

　　丙】联为一直线【丁戊】而折半于

　　己以己为心丁若戊为界作

　　半圆次引乙丙横线至圆界

　　截圆界于庚成丙庚线即乙

　　丙及丙丁二线之中比例线

　　次于丙庚线上作小方形其容与甲乙丙丁长方形等如右图丙庚线上方形为丙壬乃子壬癸句股形内之容方也而甲丙长方形则子壬癸句股外之余方也余方与容方等积

　　简法

　　先引丁丙边至午引乙丙边至

　　未次以丙角为心乙为界作小

　　员界虚线截引长线于戊

　　次以丁戊线折半于己次引乙丙至未次以己为心戊为界运规作小圆界截引长线于庚　则丙庚即所变方形之一边　末依丙庚线作方形与甲乙丙丁长方形等积　其法以丙为心庚为界运规截丙辛与丙庚等

　　理分中末线用法

　　一用以分平圆为十平分

　　法为半径与三十六度之分圆若全分与理分中末之大分也

　　一用以分平圆为五平分

　　歴书言以全分为股理分中末之大分为句求其即半径全数为股三十六度之分圆为句求得七十二度之分圆为

　　一用以量十二等面体

　　法为立方边与所容十二等面边若理分中末之全分与其小分也又十二等面体之边与内容立方边若理分中末之大分与其全分也又立方内容十二等面体其内又容小立方则外立方与内立方若理分中末之全与其大分也

　　一用以量二十等面体

　　法为立方边与所容二十等面边若理分中末之全与其大分也

　　一用以量圆灯

　　法为圆灯边与其自心至角线若理分中末之大分与其全分也此自心至角之线即为外切立方立圆及十二等面二十等面之半径又为内切八等面之半径圆灯为有法之形即此可见

　　用理分中末线説

　　言西学者以几何为第一义而传只六卷其有所秘耶抑为义理渊深翻译不易而姑有所待耶测量全义言有法之体五其面其积皆等其大小相容相抱与球相似几何十一十二十三十四卷诸题极论此理又几何六卷言理分中末线为用甚广量体所必需几何十三卷诸题全頼之古人目为神分线又言理分中末线求法见本卷三十题而与二卷十一题同理至二卷十一题则但云无数可解详见九卷其义皆引而未发故虽有此线莫适所用疑之者十余年辛未嵗养病山阿游心算学于量体诸法稍得窥其奥爰证厯书之误数端于十二等面二十等面得理分中末之用及诸体相容之确数故以立方为主其内容十二等面边得理分线之末二十等面边得理分线之中反覆推求了无凝滞始信几何诸法可以理解而彼之秘为神授及吾之屏为异学皆非得其平也其理与法详几何补编

　　遥量平面法

　　甲乙庚辛为

　　所欲量之平

　　面而不能到

　　如仰视殿

　　上承尘而人

　　在殿外又如峭壁悬崖之上有碑若碣凡平面之物人从地面斜视灼然可见而不能到

　　或平面在下如田池之类人从台上俯视可见或临深崖瞰谷底其理不异但倒用其图即是

　　欲量甲乙庚辛平面而不能到可到者丙丁则先知丙丁之距及丙丁所作各角即可以知之

　　先求甲乙线　法于丙于丁各安平圆仪各以指尺向甲向乙又自相向各作角成甲丙丁甲丁乙乙丁丙凡三角形者三依第一法用甲丙丁形此形有丙丁线【两测之距】有丙角有丁角自有甲角可求甲丁线法为甲角之正与丙丁若丙角之正与甲丁也

　　次仍依第一法用乙丁丙形此形亦有丙丁线【两测之距】有丙角有丁角自有乙角可求乙丁线

　　法为乙角之正与丙丁若丙角之正与乙丁也【此丙角与前形之丙角不同】

　　次仍依第一法用甲丁乙形此形有甲丁乙丁两线及两线间所作之丁角【与前形丁角不同】可求甲乙线为所测之一边　法自甲角作甲戊垂线至戊分乙丁线为两而甲丁乙三角形分为两句股形　其一甲戊丁句股形有丁角　有甲丁线为可求甲戊句戊丁股

　　法为全数与甲丁若丁角之正与甲戊句　又全数与甲丁亦若丁角之余与戊丁股也

　　其一甲戊乙句股形有甲戊句　有乙戊股【戊丁减乙丁得之】可求甲乙

　　法以甲戊句乙戊股各自乗而并之开方得甲乙即所测平面之一边

　　第二求庚辛线　法亦于丙于丁各安平员仪【即先所安之元处】各以指尺向庚向辛又自相向各作角成庚丙丁庚丁辛　辛丙丁　凡三角形亦三

　　依第一法用庚丙丁形　此形有丙丁线【两测之距】有丙角有丁角自有庚角可求庚丁线

　　法为庚角之正与丙丁若丙角之正与庚丁也【此丙角与前两丙角不同】

　　依上法用辛丙丁形　此形有丙角【此丙角又与上不同】有丁角自有辛角　可求辛丁线【丁角与前不同】

　　法为辛角之正与丙丁若丙角之正与辛丁也仍依上法用庚丁辛形此形有庚丁辛丁两线及两线间所作丁角【此丁角又不同】可求庚辛线为所测之又一边法自庚角作庚己垂线至己分辛丁线为两而庚丁辛三角形分为两句股形

　　其一庚己丁句股形有丁角有庚丁线为可求庚己句己丁股

　　法为全数与庚丁若丁角之正与庚己句亦若丁角之余与己丁股也

　　其一庚己辛句股形有庚己句有辛己股【己丁减辛丁得之】可求庚辛

　　法以庚己句辛己股各自乗而并之开方得庚辛为所测平面之又一边【即甲乙之对邉】

　　第三求甲庚线

　　法于丁防侧安平仪以指尺向甲向庚作甲丁庚角成甲丁庚形此形有甲丁庚丁两线及两线所作之丁角【此丁角在甲丁庚丁两线间】可求甲庚线为所测形之侧边

　　法自庚角作甲丁之垂线至壬分甲丁线为两而甲丁庚三角形分为两句股形

　　其一庚壬丁句股形　有庚丁线为有丁角可求庚壬句壬丁股【法同前用丁角之正余】

　　其一庚壬甲句股形　有庚壬句甲壬股【丁壬减甲丁得甲壬】依句股法可求甲庚线为所测平面之侧边

　　第四求乙辛线

　　法亦于丁防侧安平仪指尺向乙向辛作乙丁辛角成乙丁辛形　此形有乙丁辛丁两线及两线所作之丁角此【丁角在辛丁乙丁两线间】可求乙辛线为所测形之又一侧边法自辛角作乙丁之垂线至癸分乙丁线为两而乙丁辛三角形分为两句股形

　　其一辛癸丁句股形有辛丁线为有丁角可求辛癸句癸丁股【法亦同前用丁角之正余】

　　其一辛癸乙句股形有辛癸句乙癸股【癸丁减乙丁得乙癸】依句股法可求乙辛线为所测平面之又一侧边

　　如此则所测形之四边皆具乃用后法求其幂

　　第五求乙庚线

　　法仍于丁防斜立平仪以指尺向乙向庚作乙丁庚角成乙丁庚形此形有庚丁乙丁两线及两线所作之丁角【此丁角又在乙丁庚丁两线间】可求乙庚线为所测形内之对角斜线

　　乙庚丁角形内自庚角作乙丁之垂线至卯分乙丁线为两而乙庚丁三角形亦分为两句股形

　　其一庚卯丁句股形　有庚丁线为有丁角可求庚卯句卯丁股【依上法用丁角之正余】

　　其一庚卯乙句股形　有庚卯句有卯乙股【卯丁减乙丁得卯乙】依句股法可求乙庚线为所测平面形内对角之斜线

　　既有乙庚线则所测甲乙辛庚平面形分为两三角形可以求其幂积

　　其一乙甲庚形有乙庚底　有甲庚甲乙两腰　法以两腰相减为较相并为和和乗较为实乙庚底为法除之得乙午以减乙庚得午庚半之得子庚乃用句股法以甲庚子庚各自乗相减为实开方得甲子垂线垂线半之以乗乙庚底得乙甲庚形平积

　　其乙辛庚形有乙庚底　有乙辛辛庚两腰如上法以乙辛辛庚相减为较又相并为和和乗较为实乙庚底为法除之得乙辰为底较以减乙庚得辰庚半之得丑庚乃用句股法以丑庚庚辛各自乗相减为实开方得丑辛垂线垂线半之以乗乙庚底得乙辛庚形平积末以两三角形积并之为所测甲乙辛庚平面四不等形之总积

　　右法可以不用丈量而遥知亩歩即有种种异态以三角御之足矣新法厯书言测量详矣然未着斯法意者其在几何后数卷中为未译之书欤

　　庚午蜡月既望晤逺西安先生谈及算数云量田可以不用履亩初闻之甚不以为然归而思之得此法然未知其所用者即此与否而此法固己足用矣若用有纵衡细分之测器指尺一量即得无烦布算矣

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷四十九>

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷四十九>

　　测量用影差义疏

　　凡方形内从角剖成两句股形必相似而等【正方或长方并同】

　　方形内作对角斜线分为两句股又于斜线上任取一防作直线纵横相交如十字而悉与方边平行分方形为大小四句股形此四句股形各两两相似而等【大形丙与丁等小形庚与辛等】

　　则其四句股旁之两余方形虽不

　　相似而其容必等

　　解曰于原斜线所分相等句股内

　　各减去相等之大小两句股则其余亦等【丙戊庚形内减去大形丙小形庚余戊又于丁己辛形内减去大形丁小形辛余己原形既等所减又等则其余必等故戊己两长方虽不相似而其容必等也】

　　句股测逺

　　有甲乙之距人在戊立

　　表又立表于丁使戊丁

　　乙为一直线再于丙立

　　表使丙丁与乙戊如十字之半而与甲乙平行则丁戊小股与丙丁小句若丙庚大股与甲庚大句也

　　法以丙丁小句为二率乙丁大股为三率【即丙庚】相乗为实戊丁小股为一率为法法除实得大句甲庚再以庚乙加之得甲乙

　　假如丙丁两表相距【三歩】人在戊窥丁到乙逺【戊丁十二歩丁乙十八歩】欲求甲乙之距

　　法以丙丁【三歩】乗乙丁【十八歩】得【五十四歩】为实戊丁【十二歩】为法除之得【四十五歩】为甲庚加丙丁【三歩即乙庚】共四十八歩为甲乙

　　解曰此以乙丙长方形变为丙癸也依前论乙丙实形丙癸虚形不相似而容积等故也

　　重测法

　　有巽乙甲井方池欲遥望测其甲乙之一面方并乙丁之距

　　法立表于丁望测方池之东北角乙至东南角巽使丁乙巽为一直线　再于丁横过立一表于丙使丙丁为乙丁之横立正线【丙丁横六歩四分】次从丁退而北行至【戊】量得【十二歩】　从戊斜望池西北隅【甲】不能当【丙】表而出其间如【戌】又于戌立表【戌丁】之距【四歩】　再退而北行至【己】从【己】窥【甲】正过【丙】表己丙甲为一直线量得己丁之距【三十六歩】

　　法以【丙丁六歩四分】为一率【丁己三十六歩】为二率【戊丁四歩】为三率　二三相乗得【一百四十四歩】为实一率【六歩四分】为法除之得【二十二歩半】为辛己于辛己内减丁戊【十二歩】余【十歩半】为壬己是为景差

　　次以【戌丁四歩】减【丙丁六歩四分】余【丙戌二歩四分】以戊丁【十二歩】乗之得【二十八歩八分】为句实　景差【十歩半】为法除句实得二歩【八分弱】为甲申大句之距加丙丁【六歩四分即申乙】得共【九歩二分弱】为甲乙即方池一面之濶

　　次以辛己【二十二歩半】减丁己【三十六歩】余【十三歩半】辛丁为二率丁戊【十二歩】为三率相乗得【一百六十二歩】为股实　景差【十歩半】为法除之得【十五歩八分半弱】为乙丁大股之距

　　解曰此以四表重测改为三表乃巧算也　若测髙则重测本为前后二表者亦改用一表故当先知本法然后明其所以然下文详之

　　试先明四表本法

　　有甲乙之濶先立【丁】表从戊测之戊【人目】丁【表】乙【逺物之末端】三者参相直　次于【丁】表横过与【甲乙】平行作戊丁乙直线之横直线此线上取戊立表人目从【戊】过【戌】表窥甲逺物之西端亦参相直但于戊丁乙线为斜成句股形　量得戌丁两表横距【四歩】丁戊【人目距东表】直距【十二歩】

　　次于丁戊直线退而北行至己　又于西表戌作戌干癸直线与丁戊平行此平行线内取癸立西后表人目从【己】过【癸】至甲参相直成己甲癸斜　亦从【癸】横行至【丁己】线寻【辛】立东后表此后两表【癸辛】之距为前表【戌丁】等【四歩】　又量得【辛己】为东后表距人目之数【辛丁二十二歩半】次以丁戊【十二】减辛己【二十二半】得【十歩半】为壬己景差　末以己辛【二十二半】减【己丁三十六】余【十三歩半】为前后表间之距　以表横距【四歩】乗之得【五十四歩】为表间积【即丁癸长方】　置表间积为实以景差【十歩半】为法除之得【五歩一半弱】加表横距【四歩】　　得共【九歩二分弱】为所测逺物甲乙之濶解曰前表测得成【戊乙甲】句股形内有戌乙余方与形外戌坤余方等积　后表测得【己乙甲】句股形内有癸乙余方与形外酉癸余方等积　于【癸乙】内减【戌乙】于【酉癸】内减【寅癸即丑戌】则所余之【癸丁】及【酉辰】两余方亦必等积也故以【丁癸】变【辰酉】而得【辰寅】亦即【甲庚】也

　　次明改用三表之理

　　用三表者于【丙丁】两表间増一【戌】表其实则于【戌丁】两表外増一【丙】表也前増一表而无后表则无从而得景差故以三率法求而得之其实【癸辛】即后表也其理与四表同

　　然不用【癸子】形而用【戌子】形何也曰准前论【辰酉】形与【丁癸】形等积而【午癸】形与【丁癸】形亦等积【两余方在己丙丁句股形内外故等】则【酉辰】与【午癸】亦等积矣各减同用之【卯未】则所余之【酉卯】与【卯癸】二形亦自相等积而【卯癸】原与【戌子】等故用【戌子】变为【卯酉】而得【卯寅】即得【甲申】矣是故【戌子】可名句实也

　　其以【辛丁】乗【戊丁】为股实何也曰此三率法也【丁乙】外加【丁辛】前后两测之表距故【辛壬即戊丁】外亦加【壬己】两测之景差法为壬己与辛丁若戊丁与丁乙也凖此测髙可用一表而成两测【即借前测逺之图而以横为直】

　　假如有【甲乙】髙立【丙丁】表人目在【戊】测之则表之端不相值而参相直于表之若干度如【戊】退若干歩至【己】测之正对表端【丙】其法并同

　　因看数度衍中破勾测逺条疑其图不真因作此以证明其説

　　测量图説

　　一测股六十四尺

　　八寸【壬丁】　二测

　　句四十三尺二寸

　　【丙丁】　三大股三

　　千六百八十五尺

　　二寸【乙丁即丙午】四大

　　句二千四百五十

　　六尺八寸【甲午】加【午乙】

　　得二千五百尺为甲乙之髙

　　解曰癸丁长方形即古人所谓表间积也以景差壬辛【即丑子】除之变为寅子形是寅子与癸丁同积也　而申癸形原与癸丁同积则寅子与申癸亦同积也　于内各减同用之申子而寅未与未癸亦同积矣夫未癸即氐己也是戊丁【即亥己】乗丙己之积也故可命为句实而以景差壬辛【即申未】除之得甲午句也【甲午即戌酉】其取股实何也曰三率法也表在丁其景丁戊　后表在庚则其景庚壬后表之逺于前表者为庚丁故后景之大于前景者为辛壬则其比例为辛壬与庚丁若丁戊【即庚辛】与丁乙也

　　试引癸庚至箕截庚箕如庚壬又截尾箕如壬辛于尾于箕各作与庚乙平行线而于乙作垂弧为乙牛联之作长方形又作丁心线截之作箕乙线斜分之则其理着矣

　　三角形求外切圆法

　　设如锐角形有甲丙边七十五尺甲乙边六十一尺

　　乙丙边五十六尺　问外切

　　圆径若干　畣曰外切圆半

　　径三十八尺一寸二分五牦

　　法先求得甲丁中长线六十

　　尺为一率甲乙边六十一尺

　　为三率甲丙边折半得戊甲三十七尺五寸为三率二率与三率相乗一率除之得四率【三八一二五】为甲乙圆半径

　　解曰此甲丁乙三角形与甲己戊三角形同式故其线为相比例率也若甲为钝角其理亦同

　　以甲丙折半为三率故四率亦为半径若以甲丙全线为三率则四率必得甲辛为全径矣葢甲辛丙形与甲乙丁形同式也何以见甲乙丁形与甲辛丙形同式葢两形之乙角辛角同当甲庚丙弧分则二角必相等而丁丙又同为直角则两甲角亦必等而为同式无疑矣又界角比心角所当之弧大一倍今己心角所当甲庚弧适当乙界角所对甲庚丙之一半则两角为等可知而戊为直角与丁角等则两甲角必等故甲己戊与甲乙丁亦为同式形也

　　三角举要有量法未着算例因作此补之

　　又如甲乙丙钝角形　求外切员径【甲辛】　半径【甲己】法先求得中长线【乙丁】得【乙丁丙】句股形

　　次作【乙辛】线成【甲乙辛】大句股

　　形

　　又甲乙半之于戊从员心

　　【己】作直线过戊至庚又成

　　【甲戊己】句股形

　　一率　乙丁股【形内垂线】

　　三率　甲戊股【即甲乙之半】

　　四率　甲辛【即外切员径】　　四率　甲己【即切员半径】解曰三句股形皆相似故可以三率比例求之

　　问何以知其为相似形也曰原设形之丙角与甲乙辛形之辛角所当者同为甲庚乙员分则两角等而乙丁丙形之丁角与甲乙辛大形之乙角又皆正角则余角亦等而为相似形

　　又甲己为甲辛之半甲戊为甲乙之半戊正角与大形乙正角等又同用甲角则己戊亦乙辛之半而为相似形

　　一系凡三角形求得形内垂线为法　垂线左右两原边相乗　为实　法除实得外切员径　锐钝同法假如甲乙丙钝角形求得中垂线乙丁六分为法　左右两斜边【甲乙十八分乙丙十分】相乗【一百八十分】为实　法除实得外切员径甲辛三十分　即可借用前图【分寸畸零稍为整顿】

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷四十九>

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷四十九>

　　歴算全书卷四十九

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷五十

　　宣城梅文鼎撰

　　三角形举要法卷一

　　测算名义

　　古用句股有割员弧背矢诸名今用三角其类稍广不可以不知爰摘纲要列于首简

　　防

　　防如针芒无长短濶狭可论然算从此起譬如算日月行度只论日月中心一点此防所到即为躔离真度线

　　线有弧直二种皆有长短而无濶狭自一防引而长之至又一防止则成线矣

　　如测日月相距度皆自太阳心算至太隂心是为弧线如测日月去人逺近皆自人目中一防算至太阳太隂天是为直线

　　凡句股三角之法俱论线线两端各一防故线以防为其界

　　面

　　面有方员各种之形皆有长短有濶狭而无厚薄故谓之幂幂者所以冒物如量田畴界域只论土面之大小

　　面之方员各类皆以线限之故面以线为界【面之线亦曰邉】惟员面是一线所成乃弧线也若直线必三线以上始能成形体

　　体或方或员其形不一皆有长短有濶狭又有厚薄【或浅深髙下之类】员体如球如柱方体如柜如防或如员塔方塔皆以面为界【图后】

　　以上四者【谓防线面体】略尽测量之事矣然其用皆在线如论防则有距线论面则有邉线论体则有棱线【面与面相得则成棱线】凡所谓长短濶狭厚薄浅深髙下皆以线得之三角法者求线之法也

　　长短濶狭厚薄等类皆以量而得而量者必于一线正中若稍偏于两旁则其度不真矣故凡测量所求者皆线也三角形

　　欲明三角之法必详三角之形

　　两直线不能成形成形者必三线以上而三线相遇则有三角故三角形者形之始也

　　多线皆可成形析之皆可成三角至三角则无可析矣故三角能尽诸形之理

　　凡可算者为有法之形不可算者为无法之形三角者有法之形也不论长短斜正皆可以求其数故曰有法若无法之形析之成三角则可量故三角者量法之宗也角

　　三角法异于句股者以用角也故先论角

　　两线相遇则成角【平行两直线不能作角何也线既平行则虽引而长之至于无穷终无相遇之理角安从生是故作角者必两线相遇必不平行也】

　　角有三类一正方角一锐角一钝角

　　如右图以两线十字纵横相遇皆为正方角【亦曰直角亦曰方角】

　　如右图以两线斜相遇则一为锐角一为钝角

　　凡锐角必小于正方角凡钝角必大于正方角

　　正方角止一锐角钝角则有多种而算法生焉

　　弧

　　角在小形与在大形无以异也故无丈尺可言必量之以对角之弧

　　法以角之端为员心用规作员员周分三百六十度乃视本角所对之弧于全员三百六十度中得几何度分其弧分所对正得九十度者为正方角【九十度者全员四之一谓之象限】若所对弧分不满九十度者为锐角【自八十九度以至一度并锐角也】所对弧分在九十度以上者为钝角【自九十一度至百七十九度并钝角也】

　　如图丁为角即用为员心以作员形

　　其庚丁丙角【凡论角度并以中一字为所指之角此言庚丁

　　丙即丁为角也】所对者庚丙弧在全员为四

　　之一正得象限九十度是为正方角

　　若乙丁丙角所对者乙丙弧在象限庚丙弧之内小于象限九十度是为锐角

　　又乙丁壬角所对乙庚壬弧过于壬庚弧【壬庚亦象限九十度弧故庚丁壬亦方角】大于象限九十度是为钝角

　　角之度生于割员

　　割员弧矢

　　有弧则有矢弧矢者古人割员之法也

　　如图以乙子直线割平员则成弧

　　矢形

　　所割乙丙子员分如弓之曲古谓

　　之弧背以弧背半之则为半弧背

　　【如乙丙】

　　通正

　　割员直线如弓之谓之通【如乙子】

　　通半之古谓之半弧今曰正【如乙甲】

　　矢线

　　正以十字截半径成矢【如丁丙横半径为乙甲正所截成甲丙矢】谓之正矢

　　【以上二条俱仍前图】

　　正弧余弧正角余角

　　所用之弧度为正弧以正弧减象限

　　为余弧【如庚丙象限内减乙丙正弧则其余乙庚为余弧】

　　正弧所对为正角【如正弧乙丙对乙丁丙角则为正角】

　　以正角减正方角为余角【如以乙丁丙正角去减庚丁丙方角则其余乙丁庚角为余角】

　　正余正矢余矢

　　有正弧正角即有正【如乙甲】有正矢

　　【如甲丙】亦即有余【如乙己】有余矢【如己庚】

　　正正矢余余矢皆乙丙弧所有亦即乙丁丙角所有

　　自一度至八十九度并得为乙丙并得为正弧即正余矢毕具

　　若用乙庚为正弧则乙丙反为余弧

　　角之正余亦同

　　割线切线

　　每一弧一角各有正余正矢余矢己成四线于平员内【古人用句股割员即此法也盖此四线己成倒顺二句股】

　　再引半径透于平员之外与切员直线相遇为割线切线而各有正余复成四线【正割正切余割余切复成倒顺二句股】共为八线故曰割员八线也

　　如图庚乙丙平员切戊丙直线于丙

　　又引乙丁半径透出员周外使两线相

　　遇于戊则戊丙为乙丙弧之正切线

　　亦即为乙丁丙角之正切线而戊丁

　　为乙丙弧之正割线亦即为乙丁丙角之正割线又以平员切庚辛直线于庚与乙丁透出线相遇于辛则庚辛为乙丙弧之余切线亦即为乙丁丙角之余切线而辛丁为乙丙弧之余割线亦即为乙丁丙角之余割线割员八线

　　凡用一弧即对一角用一角亦对一弧故可互求凡一弧即有八线【正正矢正割正切余余矢余割余切】角亦然

　　凡一弧之八线即成倒顺四句股角亦然

　　如图庚丙象弧共九十度庚丁丙

　　为九十度十字正方角

　　任分乙丙为正弧乙丁丙为正角

　　则乙庚为余弧乙丁庚为余角

　　正【乙甲　同丁己】　正矢【甲丙】正切【戊丙】　正割【戊丁】余【乙己　同丁甲】　余矢【庚己】余切【辛庚】　余割【辛丁】

　　以上八线为乙丙弧所用亦即为乙丁丙角所用【自一度至八十九度并同】若用乙庚弧亦同此八线但以余为正以正为余

　　乙甲丁句股形乙丁【半径】为乙甲【正】为

　　股丁甲【余】为句　戊丙丁句股形戊丁

　　【正割】为戊丙【正切】为股丙丁【半径】为句

　　以上两顺句股形同用乙丁甲角故其

　　比例等【凡句股形一角等则余角并等】

　　乙己丁倒句股形乙丁【半径】为己丁【正】为

　　股乙己【余】为句　辛庚丁倒句股形辛丁

　　【余割】为丁庚【半径】为股辛庚【余切】为句　以上两

　　倒句股形同用乙丁巳角故其比例亦等

　　乙甲丁句股形乙丁【半径】为乙甲【正】为股甲

　　丁【余】为句　丁己乙倒句股形乙丁【半径】为

　　己丁【正】为股乙己【余】为句　此倒顺两句股形等邉又等角【倒形之丁角即顺形丁角之余倒形之乙角即顺形乙角之余】竟如一句股也凖此论之则倒顺四句股之比例亦无不等矣

　　角度

　　凡三角形并三角之度皆成两象限【共一百八十度】

　　假如乙甲丁句股形其丁角五十五

　　度【当乙丙弧】则乙角必三十五度【当乙庚余弧】两角共一象限九十度其甲角正方

　　原系九十度合三角成一百八十度

　　乙角何以必三十五度也试引乙丁过心至夘则夘丁丑角与丁乙甲角等【夘丁乙同为一线丁丑线又与乙甲平行则所作之角必等】而夘丁丑固三十度也则乙角亦三十度矣

　　又假如丙乙丁三角形从乙角作乙

　　甲直线至丁丙邉分为两句股形【乙甲

　　丁乙甲丙】凖前论乙甲丁句股形以乙分

　　角与丁角合之成一象限九十度又

　　乙甲丙句股形以乙分角与丙角合之成一象限九十度然则以乙全角【即两分角之合】与丁丙两角合之必两象限一百八十度矣【乙为钝角并同】

　　以此推知三角形有两角即知余角【并两角以减半周一百八十度得之】句股形有一角即知余角【句股原有正方角九十度则余两角共九十度故得一可知其二】相似形

　　既知角可以论形有两三角形其各角之度相等则为相似形而两形中各邉之比例相等【谓此形中各邉自相较之比例亦如彼形中各邉自相较之比例也】

　　比例

　　两数相形则比例生比例者或相等或大若干或小若干乃两数相比之差数也有两数于此又有两数于此数虽不同而其各两数自相差之比例同谓之比例等或两小数相等又有两大数相等是为相等之比例数虽有大小其相等之比例均也或两小数相差三倍又有两大数亦相差三倍是为三倍之比例或两小数相差为一倍有半又有两大数相差亦一倍有半是为一倍有半之比例数虽有大小其为三倍之比例及一倍有半之比例均也

　　论八线之比例有二

　　一为八线自相生之比例

　　乙甲丁小句股形与戊丙丁大句

　　股形相似【见前条】故以半径乙丁比

　　正乙甲若割线戊丁与切线戊

　　丙之比例也【此为以小比小股若大与大股】股

　　求亦同

　　又以半径丙丁比正切戊丙若余甲丁与正乙甲之比例也【此为以大句比大股若小句比小股】股求句亦同余仿此以故凡八线中但得一线则余皆可求观图自明一为八线算他形之比例

　　乙丁甲角所有八线为表中原设之数亢丁房句股形为今所算之数

　　或先有丁角有亢丁而求房丁句则为以乙丁半径

　　比甲丁余若亢丁与房丁句

　　也【以角与句求亦同】以上是用八线以求

　　他形

　　或先有亢丁有亢房股而求丁

　　角则为以亢丁比亢房股若乙

　　丁半径与丁角之正乙甲也【得乙

　　甲得丁角矣】或先有亢房股与房丁句

　　而求丁角则为以亢房股比房丁

　　句若丁庚半径与庚辛余切也【得庚辛亦得丁角】以上二者是用他形转求八线

　　总而言之皆以先有两数之比例为后两数之比例其乗除之法皆依三率也

　　三率

　　三率算术古谓之异乗同除今以句股解之

　　丁戊大股【十四尺】丙戊大句【十一尺二寸】截丁乙小股【十尺】问乙甲截句

　　答曰八尺

　　术以所截小股乗大句得数

　　为实以大股为法除之即得截句

　　若先以原股【十四尺】除原句【十一尺二寸】得八寸为每一尺之句再以截股【十尺】乗之亦得八尺但先除后乗多有不尽之数故改用先乗后除乃古九章中通用之纲要也

　　先乗后除何以又谓之异乗同除曰今但有截股而不知句故以原有之句乗之股与句异名故曰异乗然后以原有之股除之股与股同名故曰同除然则又何以谓之三率曰本是以原有之股与句比今截之股与句共四件也然见有者只三件【原有之股与句及今截之股】故必以见有之三件相为乗除而得所不知之第四件故曰三率

　　三率乗除图式

　　一率　原有股十四尺　　为法

　　二率　原有句十一尺二寸【相乗】

　　三率　今截股十尺　　　【为实】

　　四率　所求截句八尺　　法除实得所求

　　术曰以原股比原句若截股与截句也

　　凡言以者为一率言比者为二率言若者为三率言与者为四率

　　二率三率常相乗为实一率常为法法除实得四率四率乃所求之数其三率者所以求之也三率与异乗同除非有二理但以横列为异然数既平列即可以四率为法除二三相乗之实而得一率并可以一率四率相乗为实用二率为法除之而得三率或用三率为法除之亦得二率是故一四二三之位可以互居【四可为一二可为三】法实可以迭用【二与三可居一四之位一与四可居二三之位】变动不居惟用所适而各有典常于异乗同除之理尤深切而着明者也

　　三率互用图

　　反之　　　　　更之　　　　　又反之

　　一句八尺　　　一股十尺　　　一句十一尺二寸二股十尺　　　二句八尺　　　二股十四尺三句十一尺二寸三股十四尺　　三句八尺

　　四股十四尺　　四句十一尺二寸四股十尺

　　右并以二率三率相乗为实一率为法除之而得四率

　　八线表

　　八线为各弧各角之句股所成故八线表者即句股形之立成数也古人用句股开方巳尽测量之理然句股皆邉线耳邉之数无方放之则弥四逺近之则陈几案故所传算术皆以一端示例而已不能备详其数也今变而用角则有弧度三百六十以限之而以象限尽全周有合于举一反三之防又析象限之度各六十分凡为句股形二千七百角度五千四百【九十度之分五千四百而句股形并有两角故其形二千七百而角数倍之】为正为切线为割线共一万六千二百【三项各五千四百正余互用也】而句股之形略备用之殊便也锐角分两句股钝角补成句股然惟有八线表中豫定之句股故但得其角度则诸数厯然可于无句股中寻出句股矣

　　半径全数

　　全数即半径也不言半径而言全数者省文也凡八线生于角度而有角有弧则有半径八线之数皆依半径而立也半径常为一【或五位则为一万或六位则为十万】则正常为半径之分【正必小于半径】而不得为全数惟半径可称全数也【割切二线皆依正而生亦皆有畸零不得为全数】

　　用全数为半径有数善焉一立表时易于求数也一用表时便于乗除也【三率中全数为除法则但降位可省一除若全数为乗法则但升位可省一乗】

　　厯书中多言全数【或但曰全】以从省便今算例中直云半径以欲明比例之理故质言之

　　补遗

　　正为八线之主

　　割圜之法皆作句股于圜内以先得正故古人祗用正亦无不足今用割切诸线而皆生于正

　　平圜径二尺【即戊壬】半之一尺【即戊丙庚

　　丙等】为圜里六孤之一面【即乙戊】半径

　　【戊丙】为半面【戊丁】为句句求股得

　　股【丁丙】转减半径【庚丙】得余【庚丁】为小句

　　半面【戊丁】又为小股句股求得小【戊庚】是为割六弧成十二弧之一面如是累析为二十四弧四十八弧至九十六弧以上定为径一尺周三尺一寸四分有竒论曰九章算经载刘徽割圜术大畧如此其以半径为六弧之一面与八线理合半径恒为一即全数半面为股则正也

　　平方径十寸其积百寸内作同径之平圜平圜内又作平方正得外方之半其积五十寸平方开之得七寸○

　　七有竒【即离震等四等面之通】乃自

　　四隅之旁増为八角曲圜

　　为第一次【即八等面通】至第二

　　次则为曲十六【即十六等面通】第三次为曲三十二每次

　　加倍至十二次则为曲一

　　万六千三百八十四于是方不复方渐变为圜矣其法逐节以大小句股幂相求至十二次所得小以一万六千三百八十四乗之得三十一寸四分一五毫九丝二忽为径十寸之圜周与祖冲之径一百一十三周三百五十五合

　　论曰元赵友钦革象新书所撰乾象周髀法大略如此所得周径与西术同其逐节所求皆通所用小股皆正也

　　又论曰刘徽祖冲之以割六孤起数赵友钦以四角起数今西术作割圜八线以六宗率则兼用之可见理之至者先后一揆法之精者中西合辙西人谓古人但知径一围三未深攷也

　　又论曰中西割圜之法皆以句股法求通通半之为正割圜诸率皆自此出总之为句股之比例而巳钝角正

　　钝角不立正而即以外角之正为正

　　钝角之正在形外即外角之正也故乙丙已钝角与乙丙甲外角同以乙丁为正【以钝角减半周得外角假如钝角一百二

　　十度其所用者即六十度之正】乙丁线能为乙

　　丙甲角正又能为乙丙已钝角

　　正八线表止于象限以此【因钝角与

　　外角同正故表虽一象限而实有半周之用】

　　钝角余

　　钝角既以外角之正为正即以外角之余为余如前图乙庚为外角【乙丙甲】余而即为钝角【乙丙己】余

　　捷法以正角【戊丙巳】减钝角【乙丙巳】得余角【戊丙乙】即得余

　　过弧

　　钝角之弧为过弧

　　巳戊为象限弧而乙戊巳为乙丙

　　巳钝角之弧是越象限弧而过之

　　也故曰过弧

　　大矢

　　钝角之矢为大矢

　　如前图以乙丁辛分全圜即全径亦分为二则丁甲为小半圜【乙甲辛】之径谓之正矢丁巳为大半圜【乙已辛】之径谓之大矢大矢者钝角所用也　钝角与外角同用乙丁正乙庚余所不同者惟矢【乙丙巳角用大矢丁已乙丙甲角用正矢丁甲】

　　捷法以乙庚【即丁丙】余加已丙半径即得【丁巳】大矢【若以余减半径亦得正矢】

　　正角以半径全数为正

　　八线起○度一分至八十九度五十九分并有正而九十度无正非无正也盖即以半径全数为其正故凡算三角

　　有用半径与正相为比例者皆正

　　角也【其法与锐角形钝角形用两正为比例同理并详后卷】八十九度竒之正至九九九九九

　　而极迨满一象限始能成半径全数是故半径全数者正角九十度之正也其数为一○○○○○

　　厯算全书卷五十

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷五十一

　　宣城梅文鼎撰

　　三角法举要卷二

　　算例

　　三角形有三类

　　一曰句股形

　　即直角三邉形也有正方角一余并锐角

　　一曰锐角形

　　三角并锐

　　一曰钝角形

　　三角内有钝角一余并锐角

　　以上三类总谓之三角形其算之各有术

　　句股形第一术　有一角一邉求余角余邉

　　内分二支

　　一先有之邉为

　　一先有之邉为句【或先有股亦同】

　　假如【壬癸丁】句股形有丁角【五十七度】壬丁【九十一丈八尺】

　　求余角余邉

　　一求癸丁邉

　　术曰以半径全数比丁角之余

　　若壬丁与癸丁句【半径即丁乙余即甲丁

　　以丁乙比甲丁若壬丁比丁癸】

　　一率【原设】半径　　　　一○○○○○为法

　　二率【原设句】丁角【五十七度】余　五四四六四【相乘】

　　三率【今有】壬丁邉　　　九十一丈八尺【为实】

　　四率【今所求句】癸丁邉　　　五十丈　　　法除实得所求一求壬癸邉

　　术曰以半径比丁角之正若壬丁与壬癸股

　　一率【原设股】半径　　　　一○○○○○　为法二率【原设股】丁角【五十七度】正　八三八六七　【相乗】三率【今有】壬丁邉　　　九十一丈八尺　【为实】四率【今所求股】壬癸邉　　　七十七丈　　法除实得所求一求壬角

　　以丁角【五十七度】与象限九十度相减得余三十三度爲壬角

　　计开

　　先有之三件

　　癸正方角【九十度】　丁角【五十七度】　壬丁【九十一丈八尺】

　　今求得三件

　　癸丁旬【五十丈】　壬癸股【七十七丈】　壬角【三十三度】

　　右例先得以求句股也是为句股形第一术之第一支

　　假如【壬癸丁】句股形有丁角【六十二度】癸丁句【二十四丈】求余角余邉

　　一求壬角

　　以丁角【六十二度】与象限相减得余二十八度为壬角

　　【戊丙丁句股形以戊丙切线为股丙丁半径为句戊丁割线为

　　是丁角原有之线】

　　【今壬癸丁句股形既同丁角则其比例等】

　　一求壬丁邉

　　术为以半径比丁角之割线若癸丁句与壬丁

　　一【原设句】半径　　　　　一○○○○○　为法二【原设】丁角【六十二度】割线　二一三○○五　【相乗】

　　三【今有句】癸丁邉　　　　二十四丈　　　【为实】

　　四【所求】壬丁邉　　　　五十一丈二尺　法除实得所求一求壬癸邉

　　术为以半径比丁角之切线若癸丁句与壬癸股

　　一【原设句】半径　　　　　一○○○○○为法

　　二【原设股】丁角【六十二度】切线　一八八○七三　【相乗】

　　三【今有句】癸丁邉　　　　二十四丈　　　【为实】

　　四【所求股】壬癸邉　　　　四十五丈一尺　法除实得所求计开

　　先有之三件

　　癸正方角　丁角【六十二度】　癸丁句【二十四丈】

　　今求得三件

　　壬角【二十八度】　壬丁【五十一丈一尺】　壬癸股【四十五丈一尺】右例先得句以求及股也或先得股以求及句亦同是为句股形第一术之第二支

　　句股形第二术　有邉求角

　　亦分二支

　　一先有二邉

　　一先不知正方角而有三邉【新増】

　　假如【壬癸丁】句股形有壬丁【一百零二丈二】癸丁句【尺四十八】

　　求二角一邉

　　一求丁角

　　术为以壬丁比癸丁句若半

　　径乙丁与丁角之余甲丁

　　一　壬丁邉　　一百○二丈二尺　今有之为法二　癸丁邉　　　四十八丈　　　今有之句【丈相】三　半径　　　一○○○○○　　原设之【乘为】四　丁角余　　四六九六六　　法除实得所求原设句

　　依术求得丁角六十二度【实以所得余捡表即】

　　一求壬角

　　以丁角【六十二度】与象限相减得余二十八度为壬角一求壬癸邉

　　术为以半径比丁角之正若壬丁与壬癸股

　　一　半径　　　　　一○○○○○

　　二　丁角【六十二度】正　　八八二九五

　　三　壬丁邉　　　　一百○二丈二尺

　　四　壬癸邉　　　　　九十丈○二尺三寸

　　计开

　　先有之三件

　　壬丁【一百○二丈二尺】　癸丁句【四十八丈】　癸正方角

　　今求得三件

　　丁角【六十二度】　壬角【二十八度】　壬癸股【九十丈○二尺三寸】

　　右例以邉求角而先知方角故只用二邉也是为句股形第二术之第一支【此先有二邉为与句故用正余若先有者是句与股则用切线其比例之理一也】

　　假如【壬癸丁】三角形有壬丁邉【一百○六丈】壬癸邉【九十丈】癸丁邉【五十六丈】求角

　　一求癸角

　　术以壬丁大邉与丁癸邉相加得【一

　　百六十二丈】为总又相减得【五十

　　丈】为较以较乗总得【八千一百丈】为实以壬癸邉【九十丈】为法除之

　　仍得【九十丈】与壬癸邉数等即知

　　癸角为正方角

　　依术求得癸角为正方角定为句股形

　　一求丁角

　　术为以丁癸邉比壬癸邉若半径与丁角之切线

　　一　丁癸句　　五十六丈

　　二　壬癸股　　九十丈

　　三　半径　　　一○○○○○

　　四　丁角切线　一六○七一四

　　依术求得丁角五十八度○六分【以所得切线捡表即得】

　　一求壬角

　　以丁角【五十八度○六分】与象限相减得余三十一度五十四分为壬角

　　计开

　　先有三邉

　　壬丁邉【一百零六丈】　壬癸邉【九十丈】　癸丁邉【五十六丈】

　　求得三角

　　癸正方角　丁角【五十八度零六分】　壬角【三十一度五十四分】右例亦以邉求角而先不知其为句股形故兼用三邉是为句股形第二术之第二支

　　锐角形第一术　有两角一邉求余角余邉

　　假如【乙丙丁】锐角形有丙角【六十度】丁角【五十度】丙丁邉【一百二十尺】

　　先求乙角

　　术以丙角【六十度】丁角【五十度】相

　　并得【一百一十度】以减半周一百

　　八十度余七十度为乙角

　　次求乙丁邉

　　术为以乙角正比丙丁邉若丙角正与乙丁邉

　　一　乙角【七十度】正　九三九六九

　　二　丙丁邉【即乙角对邉】　一百二十尺

　　三　丙角【六十度】正　八六六○三

　　四　乙丁邉【即丙角对邉】　一百一十尺○六寸

　　次求乙丙邉

　　术为以乙角正比丙丁邉若丁角正与乙丙邉

　　一　乙角【七十度】正　九三九六九

　　二　丙丁【乙角对邉】　　　一百二十尺

　　三　丁角【五十度】正　七六六○四

　　四　乙丙【丁角对邉】　　　　九十七尺八寸

　　计开

　　先有之三件

　　丙角【六十度】　丁角【五十度】　丙丁邉【一百二十尺】

　　今求得三件

　　乙角【七十度】　乙丁邉【一百一十尺零六寸】　乙丙邉【九十七尺八寸】右例先有之邉在两角之间也若先有之邉与一角相对亦同盖三角形有两角即有第三角故无两法

　　锐角形第二术　有一角两邉求余角余邉

　　此分二支

　　一先有之角与一邉相对

　　一先有之角不与邉相对

　　假如【甲乙丙】锐角形有丙角【六十度】甲丙邉【八千尺】甲乙邉【七千零三十四尺】

　　先求乙角

　　术为以甲乙邉比甲丙邉若丙角

　　正与乙角正

　　一　甲乙【丙角对邉】　　　七千○三十四尺

　　二　甲丙【乙角对邉】　　　八千尺

　　三　丙角【六十度】正　八六六○三

　　四　乙角　　正　九八四九六

　　捡正表得乙角八十度○三分

　　次求甲角

　　以丙角乙角相并得【一百四十度○三分】以减半周余三十九度五十七分为甲角

　　次求乙丙邉

　　术为以乙角之正比甲角之正若甲丙邉之与乙丙邉

　　一　乙角【八十度○三分】正　九八四九六

　　二　甲角【三十九度五十七分】正　六四二一二

　　三　甲丙【乙角对邉】　　　　　八千尺

　　四　乙丙【甲角对邉】　　　　　五千二百一十五尺计开

　　先有之三件

　　丙角【六十度】　甲丙邉【八千尺】　乙甲邉【七千○三十四尺】

　　今求得三件

　　乙角【八十度○三分】　甲角【三十九度五十七分】　乙丙邉【五千二百一十五尺】右例有两邉一角而角与一邉相对是为锐角形第二术之第一支

　　假如【甲乙丙】锐角形有甲丙邉【四百尺】乙丙邉【二百六十一尺○八分】丙角【六十度】　角在两邉之中不与邉对求甲乙邉

　　先求中长线分为两句股形

　　术为以半径比丙角正若甲

　　丙邉与甲丁中长线

　　一　半径　　　　　一○○○○○

　　二　丙角【六十度】正　○八六六○三

　　三　甲丙邉　　　　四百尺

　　四　甲丁中长线　　三百四十六尺四寸一分次求丙丁邉【即所分甲丁丙形之句而甲丙为之】

　　术为以半径比丙角余若甲丙邉与丙丁邉

　　一　半径　　　　　一○○○○○

　　二　丙角【六十度】余　　五○○○○

　　三　甲丙邉　　　　四百尺

　　四　丙丁邉　　　　二百尺

　　次求乙丁邉【即所分甲丁乙形之句而甲丁为之股】

　　以丙丁与丙乙相减余六十一尺○八分为乙丁次求丁甲乙分角【即分形甲丁乙句股之甲角】

　　术为以甲丁中长线比乙丁分邉若半径与甲分角切线

　　一　甲丁中长线　三百四十六尺四寸一分

　　二　乙丁分邉　　　六十一尺○八分

　　三　半径　　　　一○○○○○

　　四　甲分角切线　　一七六三三

　　捡切线表得一十度为甲分角

　　末求甲乙邉

　　术为以半径比甲分角割线若甲丁中长线与甲乙邉

　　一　半径　　　　　　一○○○○○

　　二　甲分角【十度】割线　一○一五四三

　　三　甲丁中长线　　　三百四十六尺四寸一分

　　四　甲乙邉　　　　　三百五十一尺七寸五分求甲全角

　　以丙角【六十度】之余角三十度【即分形甲丁丙之甲分角】与求到甲分角【一十度】相并得四十度为甲全角

　　求乙角

　　以甲分角【一十度】减象限得八十度为乙角【或并丙甲二角减半周亦同】

　　计开

　　先有之三件

　　甲丙邉【四百尺】　乙丙邉【二百六十一尺○八分】　丙角【六十度】

　　今求得三件

　　甲乙邉【三百五十一尺七寸五分】　甲角【四十度】　乙角【八十度】右例有两邉一角而角在两邉之中不与邉对故用分形以取句股是为锐角形第二术之第二支

　　又术【新増】　用切线分外角

　　假如【甲乙丙】锐角形有甲丙邉【四百尺】乙丙邉【二百六十一尺○八分】丙角【六十度】　此即前例但求甲角

　　术以【甲丙乙丙】两邉相并为总相减为

　　较又以丙角【六十度】减半周得外

　　角【一百二十度】半之得半外角【六

　　十度】捡其切线依三率法求得半

　　较角以减半外角得甲角

　　一　两邉总　　　六百六十一尺○八分

　　二　两邉较　　　一百三十八尺九寸二分

　　三　半外角切线　一七三二○五

　　四　半较角切线　　三六三九七

　　捡切线表得【二十度】为半较角转与半外角【六十度】相减得甲角四十度

　　次求乙角

　　并甲丙二角共【一百度】以减半周得余八十度为乙角次求甲乙邉

　　一　甲角【四十度】正　六四二七九

　　二　丙角【六十度】正　八六六○三

　　三　乙丙邉　　　　二百六十一尺○八分

　　四　甲乙邉　　　　三百五十一尺七寸五分

　　锐角形第三术　有三邉求角

　　假如【甲乙丙】锐角形有乙丙邉【二十丈】甲丙邉【一十七丈五尺八寸五分】乙甲邉【一十三丈○五寸】

　　术曰任以【乙丙】大邉为底从甲角

　　作甲丁虚垂线至底分为两句股

　　形

　　一甲丁丙形以甲丙邉为丁丙

　　为句

　　一甲丁乙形以甲乙邉为丁乙为句

　　两相并为总相减为较　两句相并【即乙丙邉原数】为句总求两句相减之数为句较

　　术为以句总比总若较与句较也

　　一　两句之总【即乙丙】　二十丈

　　二　两之总　　　三十丈○六尺三寸五分三　两之较　　　四丈五尺三寸五分

　　四　两句之较【即丙戊】　六丈九尺四寸六分

　　求分形之两句

　　以句较【六丈九尺四寸六分】减句总【二十丈即乙丙】余乙戊【一十三丈○五寸四分】半之得丁乙【即戊丁】六丈五尺二寸七分为【甲丁乙】分形之句

　　又以戊丁【六丈五尺二寸七分】加句较【六丈九尺四寸六分　即戊丙】得丁丙一十三丈四尺七寸三分为【甲丁丙】分形之句

　　求丙角

　　术为以甲丙比丁丙句若半径与丙角之余

　　一　甲丙邉　　一十七丈五尺八寸五分

　　二　丁丙分邉　一十三丈四尺七寸三分

　　三　半径　　　一○○○○○

　　四　丙角余　　七六六一六

　　捡余表得丙角四十度

　　求甲角

　　术先求分形大半之甲角

　　以丙角【四十度】减象限余五十度为【丁甲丙】分形之甲角

　　次求分形小半之甲角

　　术为以甲乙比丁乙句若半径与分形甲角之正

　　一　甲乙邉　　　一十三丈○五寸

　　二　丁乙分邉　　　六丈五尺二寸七分

　　三　半径　　　　一○○○○○

　　四　甲分角正　　五○○一五

　　捡正表得三十度为【丁甲乙】分形之甲角

　　并分形两甲角【先得五十度后得三十度】得共八十度为甲全角求乙角

　　倂丙甲二角共【一百二十度】以减半周得余六十度为乙角计开

　　先有三邉

　　甲丙邉【一十七丈五尺八寸五分】　乙丙邉【二十丈】乙甲邉【一十三丈○五寸】

　　求得三角

　　丙角【四十度】　甲角【八十度】　乙角【六十度】

　　钝角形第一术　有两角一邉求余角余邉

　　假如【乙丙丁】钝角形有丙角【三十六度半】乙角【二十四度】丁乙邉【五十四丈】

　　先求丁角

　　术以丙乙二角并之共【六十度半】以减半周得余一百一十九度半

　　为丁钝角

　　次求乙丙邉

　　术为以丙角正比丁角正若乙丁邉与乙丙邉

　　一　丙角【三十六度二十分】正　五九四八二

　　二　丁角【一百十九度三十分】正　八七○三六

　　三　乙丁邉　　　　　　五十四丈

　　四　乙丙邉　　　　　七十九丈○一寸

　　右所用丁角正即六十度半正以钝角度减半周用之凡钝角并同

　　求丁丙邉

　　术为以丙角正比乙角正若乙丁邉与丁丙邉

　　一　丙角【三十六度三十分】正　五九四八二

　　二　乙角【二十四度】正　四○六七四

　　三　乙丁邉　　　　　五十四丈

　　四　丁丙邉　　　　　三十六丈九尺二寸

　　计开

　　先有之三件

　　丙角【三十六度半】　乙角【二十四度】　丁乙邉【五十四丈】

　　今求得三件

　　丁钝角【一百一十九度半】　乙丙邉【七十九丈○一寸】　丁丙邉【三十六丈九尺二寸】

　　钝角形第二术　有一角两邉求余角余邉

　　亦分二支

　　一先有对角之邉

　　一先有二邉皆角旁之邉而不对角

　　假如【甲乙丙】钝角形有乙角【九十九度五十七分】甲丙对邉【四千尺】甲乙邉【三千五百一十七尺】

　　求丙角

　　术为以甲丙对邉比甲乙邉若

　　乙角正与丙角正

　　一　甲丙邉　　　　　　四千尺

　　二　甲乙邉　　　　　　三千五百一十七尺三　乙角【九十九度五十七分】正　九八四九六【即八十度三分正】

　　四　丙角　　　　正　八六六○三

　　捡表得丙角六十度

　　求甲角

　　并乙丙二角【共一百五十九度五十七分】以减半周得余二十度○三分为甲角

　　求乙丙邉

　　术为以乙角之正比甲角之正若甲丙对邉与乙丙邉

　　一　乙角【九十九度五十七分】正　九八四六九

　　二　甲角【二十○度三分】正　三四二八四

　　三　甲丙邉　　　　　　四千尺

　　四　乙丙邉　　　　　　一千三百九十二尺计开

　　先有之三件

　　乙钝角【九十九度五十七分】　甲丙邉【四千尺】　甲乙邉【三千五百一十七尺】

　　今求得三件

　　丙角【六十度】　甲角【二十度○三分】　乙丙邉【一千三百九十二尺】右例有两邉一角而先有对角之邉是为钝角形第二术之第一支

　　假如【乙丁丙】钝角形有乙丁邉【一千零八十尺】乙丙邉【一千五百八十二尺】乙角【二十四度】　角在两邉之中不与邉对

　　术先求形外之虚垂线补成正方角

　　从不知之丙角作虚垂线于形外

　　如丙戊亦引乙丁线于形外如丁

　　戊两虚线遇于戊成正方角

　　术为以半径比乙角正若乙丙邉

　　与丙戊

　　一　半径　　　　　一○○○○○

　　二　乙角【二十四度】正　　四○六七四

　　三　乙丙邉　　　　一千五百八十二尺

　　四　丙戊邉【即虚垂线】　　　六百四十三尺

　　又以半径比乙角之余若乙丙邉与乙戊

　　一　半径　　　　　一○○○○○

　　二　乙角【二十四度】余　　九一三五五

　　三　乙丙邉　　　　一千五百八十二尺

　　四　乙戊邉【即乙丁引长线】　一千四百四十五尺

　　以原邉乙丁【一千○八十尺】与引长乙戊邉相减得丁戊【三百六十五尺】为形外所作虚句股形之句【则先得丙戊垂线为股而原邉丁丙为之】

　　求丁丙邉

　　依句股求术以丙戊股自乗【四十一万三千四百四十九尺】丁戊句自乗【一十三万三千二百二十五尺】并之得数【五十四万六千六百七十四尺】为实平方开之得七百三十九尺为丁丙邉

　　求丙角

　　术为以丁丙邉比丁乙邉若乙角正与丙角正

　　一　丁丙邉　　　　　七百三十九尺

　　二　丁乙邉　　　　一千○八十尺

　　三　乙角【二十四度】正　四○六七四

　　四　丙角　　正　五九四四二

　　捡表得丙角三十六度二十九分

　　求丁角

　　并乙丙二角共【六十度二十九分】以减半周得余一百一十九度三十一分为丁钝角

　　计开

　　先有之三件

　　乙丁邉【一千零八十尺】　乙丙邉【一千五百八十二尺】　乙角【二十四度】

　　今求得三件

　　丁丙邉【七百三十九尺】　丙角【三十六度二十九分】　丁钝角【一百一十九度三十一分】

　　右例有两邉一角而两邉并在角之两旁不与角对是为钝角形第二术之第二支

　　又术【新增】　用切线分外角

　　假如【乙丙丁】钝角形有丁乙邉【五百四十尺】丙乙邉【七百九十一尺】乙角【二十四度】　角在两邉之中不与邉对求丙角

　　以【丁乙丙乙】两邉相并为总相减为较又以乙角【二十四度】减半周得外角【一百五十六度】半之得半外角【七十八度】捡其切线得四七○四六三

　　术为以邉总比邉较若半外角切线与半较角切线

　　一　两邉之总　　一千三百三十一尺

　　二　两邉之较　　　二百五十一尺

　　三　半外角切线　四七○四六三

　　四　半较角切线　　八八七一九

　　捡表得半较角【四十一度三十五分】以转减半外角【七十八度】得余三十六度二十五分为丙角

　　求丁角

　　并乙丙二角共【六十度二十五分】以减半周得一百一十九度三十五分为丁钝角

　　求丁丙邉

　　术为以丙角正比乙角正若乙丁邉与丁丙邉

　　一　丙角【三十六度二十五分】正　五九三六五

　　二　乙角【二十四度】正　四○六七四

　　三　乙丁邉　　　　　　五百四十尺

　　四　丁丙邉　　　　　　三百六十九尺九寸八分计开

　　先有之三件

　　丁乙邉【五百四十尺】　丙乙邉【七百九十一尺】　乙角【二十四度】

　　今求得三件

　　丙角【三十六度二十五分】　丁钝角【一百一十九度三十五分】　丁丙邉【三百六十九尺九寸八分】

　　钝角形第三术　有三邉求角【新式】

　　假如【乙丙丁】钝角形有乙丙邉【三百七十五尺】乙丁邉【六百○七尺】丁丙邉【三百尺】

　　术自乙角作虚垂线至甲又引丁

　　丙线横出遇于甲而成正方角则

　　成乙甲丁句股形

　　又引横线至辛使甲辛如丙甲成

　　乙甲辛句股形则丁辛为两句之

　　总而所设丁丙邉为两句之较

　　又乙丁邉为大形【乙甲丁】之乙丙邉为小形【乙甲辛即乙甲丙】之两相并为总相减为较

　　术为以句较比较若总与句总

　　一　句较【即丁丙邉】　　　　三百尺

　　二　较【即乙丁内减乙丙之余】　二百三十二尺

　　三　总【即乙丁乙丙二邉相并】　九百八十二尺

　　四　句总　　　　　　七百五十九尺四寸

　　以句较【三百尺】减所得句总【七百五十九尺四寸】余数【五百二十九尺四寸】为大形之句甲丁

　　求丁角【用乙甲丁大形】

　　术为以乙丁比丁甲句若半径与丁角之余

　　一　乙丁　　六百○七尺

　　二　甲丁句　　五百二十九尺七寸

　　三　半径　　　一○○○○○

　　四　丁角余　　八七二六五

　　捡表得丁角二十九度一十四分

　　求丙角【用乙甲丙小形】

　　术为以甲丙句比乙丙若半径与丙角之割线

　　一　甲丙句　　二百二十九尺七寸

　　二　乙丙　　三百七十五尺

　　三　半径　　　一○○○○○

　　四　丙角割线　一六三二五六

　　捡表得丙角【五十二度一十四分】为本形之丙外角以减半周得丙钝角一百二十七度四十六分

　　求乙角

　　并丁丙二角所得度分【共一百五十七度】以减半周得余二十三度为乙角

　　计开

　　先有三邉

　　乙丙邉【三百七十五尺】　乙丁邉【六百七尺】　　丁丙邉【三百尺】

　　求得三角

　　丁角【二十九度一十四分】　丙钝角【一百二十七度四十六分】　乙角【二十三度】

　　右例钝角形三邉求角作垂线于形外径求钝角乃新式也若以大邉为底从钝角分中长线同锐角第三术

　　厯算全书卷五十一

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷五十二

　　宣城梅文鼎撰

　　三角法举要卷三

　　内容外切【三角测量之用在邉与角而其内容外切亦所当明故次于算例之后】内容有二曰本形曰他形

　　一三角求积

　　积谓之幂亦谓之面乃本形所有

　　一三角容员

　　一三角容方

　　以上皆形内所容之他形

　　外切惟一

　　一三角形外切之员

　　三角求积第一术

　　底与髙相乗折半见积

　　内分二支

　　一句股形即以句股为底为髙

　　一锐角钝角形任以一邉为底而求其垂线为髙

　　假如句股形甲乙股【一百二十尺】乙丙句【三十五尺】求积

　　术以甲乙股乙丙句相乗【四千二百尺】折半得积

　　凡求得句股形积二千一百尺

　　如图甲乙股与乙丙句相乗成甲

　　乙丙丁长方形其形半实半虚故

　　折半见积

　　或以句折半【十七尺半】乗股亦得积【二千

　　一百尺】

　　如图乙丙句折半于戊以乙戊乗

　　甲乙成甲乙戊丁形是移丙戊己

　　补甲丁己也

　　或以股折半【六十尺】乗句亦得积【二千

　　一百尺】

　　如图甲乙股折半于己以己乙乗

　　乙丙成己乙丙丁形是移甲己戊

　　补戊丁丙也

　　右句股形以句为底以股为髙若以股为底则句又为髙可互用也

　　句股形有立有平若平地句股以句为濶以股为长其理无二

　　论曰凡求平积皆谓之幂其形如网目又似窓櫺之空皆以横直相交如十字亦如机杼之有经纬而成布帛故句股是其正法何也句股者方形斜剖之半也折半则成正剖之半方形矣其他锐角钝角或有直无横有横无直必以法求之使成句股然后可算故句股者三角法所依以立也

　　假如锐角形甲乙邉【二百三十二尺】甲丙邉【三百四十尺】乙丙邉【四百六十八尺】求积

　　术先求垂线用锐角第三术任以

　　乙丙邉为底以甲丙甲乙为两

　　两之较数【一百零八尺】总数【五百七十二尺】相乗【六万一千七百七十六尺】为实以乙丙底

　　为法除之得数【一百三十二尺】转减乙丙余数【三百三十六尺】半之得乙丁【一百六十八尺】依句股法以乙丁自乗【二万八千二百二十四尺】与甲乙自乗【五万三千八百二十四尺】相减余数【二万五千六百尺】平方开之得甲丁垂线【一百六十尺】以甲丁垂线折半乗乙丙底得积凡求得锐角形积三万七千四百四十尺

　　如图移辛补壬移庚补癸则成长

　　方形即垂线折半乗底之积

　　右锐角形任以乙丙邉为底取垂

　　线求积若改用甲乙或甲丙邉为

　　底则所得垂线不同而得积无异故可以任用为底假如钝角形甲乙邉【五十八步】甲丙邉【八十五步】乙丙邉【三十三步】求积

　　术求垂线立于形外用钝角第三

　　术以乙丙为底甲乙甲丙为两

　　总数【一百四十三步】较数【二十七步】相乗【三千八百

　　六十一步】为实乙丙底为法除之得数

　　【一百一十七步】内减乙丙余数【八十四步】折半

　　【四十二步】为乙丁【即乙丙引长邉】依句股法乙丁自乗【一千七百六十四步】甲乙自乗【三千三百六十四步】相减余数【一千六百步】平方开之得甲丁【四十步】为形外垂线以乙丙底折半【十六步半】乗之得积

　　凡求得钝角形积六百六十步

　　如图甲乙丙钝角形移戊补庚移

　　庚己补壬癸又移壬子补辛成辛

　　癸丑长方即乙丙底折半乗中长

　　甲丁之积

　　右钝角形以乙丙为底故从甲角作垂线若以甲乙为底则自丙角作垂线亦立形外而垂线不同然以之求积并同若以甲丙为底从乙角作垂线则在形内如锐角矣其垂线必又不同而其得积无有不同故亦可任用一邉为底

　　凡用垂线之髙乗底见积必其线上指天顶底线之横下应地平两线相交正如十字故其所乗之幂积皆成小平方可以虚实相补而求其积数钝角形引长底线以作垂线立于形外则两线相遇亦成十字正方之角矣

　　总论曰三角形作垂线于内则分两句股钝角形作垂线于外则补成句股皆句股法也

　　三角求积第二术

　　以中垂线乗半周得积谓之以量代算

　　假如钝角形乙丙邉【五十八步】甲乙邉【一百一十七步】甲丙邉【八十五步】求积

　　术平分甲乙两角各作线防于心从

　　心作十字垂线至乙甲邉【如心庚】即中

　　垂线也乃量取中垂线【心庚】得数【一十八步】

　　合计三邉而半之【一百三十步】为半周以半周乗中垂线得积

　　凡求得钝角形积二千三百四十步

　　又术如前取中垂线【心庚】为濶半周为

　　长【如乙癸及丁壬】别作一长方形【如乙壬丁癸】即

　　与【甲乙丙】钝角形等积

　　解曰凡自形心作垂线至各邉皆等故中垂线乗半周为一切有法之形所公用方员及五等面六等面至十等面以上并同故以中垂线为濶半周为长其所作长方形即与三角形等积

　　又解曰中垂线至邉皆十字正方角即分各邉成句股形以乗半周得积即句股相乗折半之理

　　附分角术　有甲角欲平分之

　　术以甲角为心作虚半规截角旁两

　　线得辛壬二防乃自辛自壬各用为

　　心作弧线相遇于癸作癸甲线即分

　　此角为两平分

　　三角求心术

　　如上分角术于甲角平分之于乙角

　　又平分之两平分之线必相遇成一

　　防此一防即三角形之心

　　解曰试再于丙角如上法分之则亦

　　必相遇于原防

　　三角求积第三术

　　以三较连乗又乗半总开方见积

　　假如钝角形甲乙邉【一百一十六尺】甲丙邉【一百七十尺】乙丙邉【二百三十四尺】求积

　　术合计三邉而半之【二百六十尺】为半总

　　以与甲乙邉相减得较【一百四十四尺】与甲

　　丙邉相减得较【九十尺】与乙丙邉相减

　　得较【二十六尺】三较连乗【以两较相乗得数又以余一较】

　　【乗之也】得数【三十三万六千九百六十尺】又以半总较之得数【八千七百六十万零九千六百尺】平方开之得积

　　凡求得钝角形积九千三百六十尺

　　若系锐角同法

　　解曰此亦中垂线乗半周之理但所得为幂乗幂之数故开方见积详或问

　　三角容员第一术

　　以与句股求容员径【此术惟句股形有之凡句股相并为和以和与并为和和以和与相减为和较】

　　假如【甲乙丙】句股形甲丙句【二十步】乙甲股【二十一步】乙丙【二十九步】求容员径

　　术以句股和【四十一步】与相减得数为容员径

　　凡求得内容员径一十二步

　　解曰此以和较为容员径

　　如图从容员心作半径至邉又作

　　分角线至角成六小句股形则各

　　角旁之两线相等【如丙戊丙庚两线在丙角旁则

　　相等乙庚乙己在乙角旁甲戊甲己在甲角旁并两线相等】

　　其在正方角旁者【甲戊甲己】乃和较也【于乙丙内分丙庚以对丙戊又分乙庚以对乙己则其余为甲戊及甲己此即句股和与乙丙相较之数也】然即为内容员径何也各角旁两线并自相等而正方角旁之两线又皆与容员半径等【正方角旁两小形之角皆平分方角之半则句股自相等而甲戊等心戊甲己等心己】然则和较者正方角旁两线【甲戊甲己】之合即容员两半径【心戊心己】之合也故和较即容员径也

　　试以甲戊为半径作员则戊心亦

　　半径而其全径【癸戊甲】与容员径【丁心

　　己】等以甲己为半径作员则己心

　　亦半径而其全径【辛己甲】与容员径

　　【戊心壬】亦等

　　三角容员第二术

　　以周与积求容员径

　　内分二支

　　一句股形以和和为用【亦可用半】

　　一锐角钝角形以全周半周为用

　　假如【甲乙丙】句股形甲丙句【一十六步】甲乙股【三十步】乙丙【三十四步】求容员径

　　术以句股相乗得数【四百八十步】为实并句股数【共八十歩】为法除之得数倍之为容员径

　　凡求得容员径一十二步

　　解曰此以和和除句股倍积得容员半径也

　　如图从容员心作对角线分其形为三【一甲心丙一甲心乙一丙心乙】乃于甲丙句线两端各引长之截子甲如乙甲股截丙丑如丙乙则子丑线即和和也乃自员心作癸壬直线与丑子平行两端各聫之成长方又作辛丙线分为三长方形其濶并如员半径其长各如句如股如

　　而各为所分三小形之倍积【甲辛长方

　　如甲丙句之长而以心戊半径为濶即为甲心丙分形之倍甲癸长

　　方如乙甲股之长而以同心己之半径为濶即为乙心甲形之倍丙

　　壬长方如丙乙之长而以同心庚之半径为濶即为乙心丙形之

　　倍】合之即为本形倍积与句股相

　　乗同也【句股相乗为倍积见求积条】故以和

　　和除句股相乗积得容员半径

　　假如【甲乙丙】句股形甲丙句【八十八尺】甲乙股【一百零五尺】乙丙【一百三十七尺】求容员径

　　术以句股相乗而半之得积【四千六百二十尺】为实并句股数而半之【一百六十五尺】为法除之得数倍之为容员径凡求得内容员径五十六尺

　　解曰此以半周除句股形积而得容员半径也【半周即和和之半】

　　如图从容员心分本形为六小句股则同角之句股各

　　相等可以合之而各成小方形【同甲角之

　　两句股成丁己小方形同丙角之两句股可合之成丁辛长方形以心辛

　　丙形等丙戊心也同乙角之两句股可合之成己庚长方形以乙庚心形

　　等心戊乙也】乃移己庚长方为辛癸长方

　　则癸甲即同半周而癸己大长方即

　　为半周乗半径而与句股积等也【六小形之句皆原形之周变为长方则两两相得而各用其半是半周也癸甲及壬己之长并半周壬癸及己甲辛丙之间并同心丁是半周乗半径也辛癸长方与己庚等积即与乙角旁两句股等积又丁辛长方与丙角旁两句股等积再加丁己形即与原设乙甲丙句股形等积矣】然则以句股相乗而半之者句股形积也故以半周除之即容员半径矣

　　或以和和除四倍积得容员全径并同前论

　　论曰句股形古法以和较为容员径与和和互相乗除乃至精之理测员海镜引伸其例以为测望之用其变甚多三角容员盖从此出故为第一支

　　假如【甲乙丙】锐角形乙丙邉【五十六尺】甲丙邉【七十五尺】甲乙邉【六十一尺】求容员径

　　术以乙丙邉为底求得甲丁中长线【六十尺○法见求积】以乗底得数【三千三百六十尺】倍之【六千七百二十尺】为实合计三邉【共一百九十二尺】为法除之得容员径

　　凡求得内容员径三十五尺

　　解曰此以全周除四倍积得容员

　　径也

　　如图自容员心作对角线分为

　　小三角形三各以员半径为髙

　　各邉为底若于各邉作长方而

　　各以邉为长半径为濶必倍大

　　于各小三角形【如壬丙长方倍大于丙心乙形

　　丙丑长方倍大于丙心甲形甲丁长方倍大于甲心乙形】又

　　作加一倍之长方则四倍大于

　　各小三角【如未乙长方倍大于丙壬长方必四倍于】

　　【丙心乙三角则夘甲亦四倍于丙心甲而甲酉亦四倍于甲心乙】于是而通为一大长方【移夘甲长方为亥丙移甲酉为乙辰则成亥午大长方形矣】必四倍原形之幂而以三邉合数为长以容员之径为濶然则以中长线乗底而倍之者正为积之四倍也以三邉除之岂不即得员径乎

　　或以全周除倍积得容员半径

　　或以半周除积得容员半径并同

　　若钝角形亦同上法

　　论曰锐角钝角并以周为法此与句股形用和和同但必先求中长线故为第二支

　　三角容员第三术

　　以中垂线为员半径曰以量代算

　　假如【甲乙丙】三角形求容员径【既不用算故不言邉角之数】

　　如求积术均分甲乙二角之度各

　　作虚线交于己即己为容员之心

　　次以己为心尽一邉为界运规作

　　员此员界必切三邉

　　于是从己心向三邉各作十字垂线必俱在切员之防而等为员半径知半径知全径矣【半径各如己庚线】

　　论曰此容员心即三角形之心【故以容员半径乗半总即得积也】又案此术亦句股及锐钝两角通用

　　三角容员第四术

　　用三较连乗

　　假如【甲乙丙】钝角形乙丙邉【四百三十二尺】甲丙邉【五百尺】甲乙邉【一百四十八尺】求容员径

　　术以半总【五百四十尺】求得乙丙邉较

　　【一百○八尺】甲丙邉较【四十尺】乙甲邉较

　　【三百九十二尺】三较连乗得数【一百六十九万三千

　　四百四十尺】以半总除之得数【三千一百三十】

　　【六尺】四因之【一万二千五百四十四尺】为实平方开之得容员径凡求得内容员径一百一十二尺

　　锐角同法

　　解曰此所得者为容员径上之自乗方幂故开方得径

　　三角容方第一术

　　合底与髙除倍积得容方径

　　内分二支

　　一句股形即以句股为底为髙【即句股和也其容方依正方角】一三角形以一邉为底求其垂线为髙【句股形以为底锐角形三邉皆可为底钝角形以大邉为底其容方并依为底之邉】

　　假如【甲乙丙】句股形甲丙股【三十六尺】乙丙句【一十八尺】求容方依正方角而以容方之一角切于

　　术以句股相乗得数【六百四十八尺】为实以句股和【五十四尺】为法除之得所求

　　求到内容方径一十二尺

　　如图作寅乙线与股平行作寅甲

　　线与句平行成寅丙长方为句股

　　形倍积

　　次引寅甲线横出截之于癸引乙

　　丙句横出截之于夘使引出两线

　　【甲癸及丙夘】皆如甲丙股仍作夘癸线聫之

　　乃从癸作斜线至乙割甲丙股于戊则戊丙为所求容方之邉又从戊作申未横线与上下两线平行割甲乙于己则己戊为所求容方之又一邉末从己作午辛立线割丙乙句于辛则己辛及辛丙又为两对邉而四邉相等为句股形内所容之方

　　解曰寅夘大长方以癸乙斜线分两句股则相等而寅戊与戊夘两长方等则寅丙长方与申夘长方亦等【寅丙内减寅戊而加相等之戊夘即成申夘】夫寅丙者句股倍积而申夘者句股和乗容方径也【乙丙句丙夘股合之为申夘形之长申乙及未夘并同方径为濶】故以句股和除倍积得容方径

　　又解曰寅丙长方分两句股而等则寅戊与午丙两长方等【寅己与己丙既等则于寅戊内减寅己而加相等之己丙即成午丙】而寅戊原等戊夘则午丙亦与戊夘等夫午丙形之丙甲与戊夘形之丙夘皆股也则两形等积又等邉矣其长等其濶亦等【甲丙与丙夘既等则辛丙与戊丙亦等】而对邉悉等即成正方形

　　论曰此以句为底股为髙也若以股为底句为髙所得亦同其容方依正方角乃古法也三角以底濶合中长除积盖生于此是为第一术之第一支

　　假如【甲乙丙】句股形乙丙二十八尺其积一百六十八尺求容方依线而以容方之两角切于句股术以除倍积【三百三十六尺】得对角线【一十二尺】与相并【四十尺】为法倍积为实法除实得所求

　　求到容方径八尺四寸

　　如图作寅丑线与乙丙平行又作

　　寅丙及丑乙与甲丁对角线平行成

　　丑丙长方为句股形倍积

　　次引乙丙至夘引寅丑线至癸使

　　癸丑及夘乙并同甲丁仍作癸夘线

　　聫之

　　次从癸向丙作斜线割丑乙线于子遂从子作申未线与乙丙平行割甲乙股于庚割甲丙句于己则庚己为容方之一邉末从庚作辰壬线从己作午辛线并与甲丁平行而割乙丙于壬于辛则辛壬及庚壬及己辛三线并与庚己等而成正方

　　解曰寅子长方与子夘长方等积【癸丙线分寅夘形为两句股而等则两句股内所作之方必等】午壬长方又与寅子等【寅丁形以甲丙线分为两句股则寅己与己丁等又丑丁形以甲乙线分为两句股则丑庚与丁庚等若移寅己作己丁移丑庚作丁庚则午丁等寅戊而辰丁等丑戊合之而午壬等寅子】则午壬亦与子夘等而午壬之邉【午辛及辰壬】子夘之邉【夘乙及未子】并等甲丁对角线则两形【午壬子夘】等积又等邉矣其长等其濶亦等【辰壬既等夘乙则辛壬亦等子乙而庚壬及己辛亦不得不等】故四线必俱等也

　　又解曰寅子既与子夘等则寅乙必与申夘等【于寅乙内移寅子居子夘之位即成申夘】而寅乙者倍积也申夘者底偕中长乗容方径也【乙丙也夘乙即甲丁对角中长线也合之为丙夘之长其两端之濶申丙及未夘并同方径】故合与对角线为法以除倍积得容方径

　　论曰此以一邉为底中长线为髙也既以一邉为底其容方即依此一邉而以两方角切余二邉也句股形故以为底若锐角形则任以一邉为底但依大邉则容方转小亦如句股形依方角之容方必大于依线之容方也钝角形但可以大邉为底其求之则皆一法也是为第一术之第二支

　　三角容方第二术

　　以图算

　　内分二支

　　一以法截中长线得容方径【句股形即截其邉】

　　一以法截两斜邉得容方边【句股形即截其】

　　假如锐角形求容方任以一邉为底

　　如图以乙丙最小邉为底先从对角甲作中长垂线至丁又从乙角作丑乙立线与甲丁平行而等乃从甲角

　　作横线过丑至癸截丑癸亦如甲

　　丁乃从癸向丙角作斜线割丑乙

　　立线于子末以子乙之度截中长

　　线【甲丁垂线】于戊即戊丁为容方之径

　　【从戊作己庚又从己作线至辛从庚作线至壬成庚己辛壬即所求

　　容方】

　　解曰甲戊与戊丁若甲丁与乙丙【子丑癸句股与子乙丙形有子交角必相似则丑子句与子乙句若丑癸股与乙丙股而丑子原与甲戊等子乙与戊丁等丑癸与甲丁等则甲戊与戊丁亦若甲丁与乙丙】又甲戊与己庚若甲丁与乙丙【甲己庚三角为甲丙乙之截形必相似则甲戊与己庚若甲丁与乙丙】

　　合两比例观之则甲戊与戊丁若甲戊与己庚而己庚即戊丁

　　以上并锐角形

　　凡锐角三邉并可

　　为底而皆一法

　　假如句股形求容方以股为底则于句端甲作横线与股平行而截之于癸使癸甲如甲乙句乃自癸向丙作斜线割甲乙句于戊则戊乙即容方之一邉末作己戊与股平行作己辛与句平行即成容方【或以句为底则从股端丙作丙癸横线与股等亦作癸甲斜线割丙乙股于戊其所得容方亦同图如左】

　　论曰锐角钝角皆截中长线为容方径句股形以为底亦然惟句股形以句为底即截其股为容方径【用股为底即截句】不另求中长而与截中长之法并同是为第二术之第一支

　　假如乙丙丁三角求容方　依乙丙邉为底

　　如图以乙丙底作正方形【即甲乙丙戊方】又作丁辛对角线次作甲辛及戊

　　辛两斜线割原形之两斜线于己

　　于庚乃作己庚线为所求容方之

　　一邉【末作己壬及庚癸两线成小方形于形内即所求】

　　解曰甲戊与己庚若子辛与午辛也【己庚辛三角形为甲戊辛之切形则其横与直之比例相等】而甲戊与子辛同为方径而等则己庚与午辛亦同为小方径而等

　　若底上方形大则其径亦大于对

　　角线则如第二图引丁辛线至子

　　其理亦同

　　有此二法则三邉并可为底

　　钝角形用大邉为底句股形用为底并同第二图

　　若句股形以句为底求容方如图即用乙丙句作【丙辛庚乙】方形从方角庚向丙作斜线割丁乙于壬从壬作癸

　　壬及甲壬二线即所容方【或用股上方则

　　引出句邉如股】

　　解曰庚丙线分丙角为两平分则

　　其横直线自相等【壬癸与癸丙相等壬甲与甲丙】

　　【相等则四线皆等】而成正方嘉禾陈防庵用分角法求容方与此同理

　　论曰此皆以底上方形为法而得所求小方也故不论顶之偏正其所得容方并同惟句股容方依正方角则中长线与原邉合而为一法虽小异其用不殊是为第二术之第二支

　　三角形外切平员第一术

　　句股形以为径

　　假如甲乙丙句股形乙丙长四尺五寸二分求外切员

　　术以折半取心得半径二尺二寸六分其长四尺五寸二分即外切平员全径以平员周率三五五乗之径率一一三除之得员周一十四尺二寸

　　如图乙丙员径即句股形之折半于丁即员心也以

　　乙丁半径为度从丁心运规作员

　　必过甲而句股形之角皆切员周

　　矣

　　论曰凡平员径上从两端各作直线至员周相防则成正方角【如乙丙径之两端于丙于乙各作直线防于甲则甲角必为正角】而为句股形【假令两线相遇于庚即成庚乙丙句股形于辛亦然以其皆正角故也】故不问句股长短而并以其为外切员之径

　　又论曰径一百一十三而周三百五十五此郑端清世子所述祖冲之术也【见律吕精义】按古率周三径一李淳风等释古九章以为术从简易举大纲而言之诚为通论诸家所传径五十周一百五十七则魏刘徽所改谓之徽率径七周二十二则祖冲之所定谓之宻率由今以观冲之自有两率【一为七与二十二一为一一三与三五五】盖以其捷者为恒用之须而存其精者明测算之理亦可以观古人之用心矣

　　三角形外切平员第二术

　　分邉取员心内分二支并以图算

　　一句股形但分一邉即得员心【其心在】

　　一锐角形钝角形并分二邉可得员心【锐角形员心在形内钝角形员心在形外】

　　假如甲乙丙句股形求外切员

　　术任于句或股平分之作十字正线此线过线之防即为员心

　　如图甲乙丙形以甲乙股平分于

　　戊从戊作庚丁正十字线至乙丙

　　即分为两平分而丁即员心

　　从丁运规作外切员则甲乙丙三

　　防并切员周而乙丁丙丁庚丁皆半径

　　论曰若平分甲丙句于辛从辛作十字正线亦必至丁故但任分其一邉即可得心

　　又论曰若依第一术先得丁心从丁心作直线与句平行即此线能分股线为两平分【如丁庚线与甲丙句平行过甲乙股即平分股线于戊】若与股平行而分句线亦然【如丁辛线与甲乙股平行即分句线于辛】右句股形外切平员之心在线中央

　　假如锐角形求形外切员

　　术任以两邉各平分之作十字线引长之必相遇于一防即为员心

　　如图甲乙丙锐角形任以甲丙邉

　　平分之于戊作庚戊丁十字线又

　　任以乙丙邉平分之于壬作癸壬

　　丁十字线两直线稍引长之相遇

　　于丁以丁为心作员则甲乙丙三角并切员周而丁癸丁庚皆半径

　　论曰试于余一邉再平分之作十字正线亦必防于此防故此防必员心【如甲乙邉再平分之于辛作子辛丁十字线亦必相遇于丁防】

　　右锐角形外切平员之心在形之内

　　假如钝角形求形外切员　术同锐角

　　如图甲乙丙形甲为钝角任分甲

　　丙于戊分甲乙于辛各作十字线

　　防于丁心从丁作员则丁庚丁癸

　　皆半径而三角并切员周若用大

　　邉平分于壬作壬丁子线亦同

　　论曰试于丁心作线至丙至乙至甲必皆成员半径与丁庚丁癸同故丁为员心也

　　右钝角形外切平员之心在形之外

　　总论曰此与容员之法不同何也内容员之心即三角形之心故其半径皆与各邉为垂线而不能平分其邉然从心作线至角即能分各角为两平分此分角求心之法所由以立也外切员之心非三角形之心其心或在形内或在形外距邉不等而能以十字线剖各邉为两平分此分邉求心之法所由以立盖即三防串员之法也

　　附三防串员

　　有甲乙丙三防欲使之并在员周

　　术任以甲为心作虚员分用元度

　　以丙为心亦作虚员分两员分相

　　交于戊于辛作戊辛直线又任以

　　乙为心以丙为心各作同度之虚员分相交于庚于壬作庚壬直线两直线相遇于丁以丁为心作员则三防并在员周

　　员周有三防不知其心亦用此法

　　厯算全书卷五十二

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷五十三

　　宣城梅文鼎撰

　　三角法举要卷四

　　或问【三角大意畧具首卷中而入算取用仍有疑端喜同学之好问事事必求其所以然故不惮为

　　之详复以畅厥防】

　　一三角形用正为比例之理

　　一和较相求之理

　　一用切线分外角之理

　　一三较连乗之理

　　附三较求角

　　问各角正与各邉皆不平行何以能相为比例曰凡三角形一邉必对一角其角大者正大而所对之邉亦大角小者正小而所对之邉亦小故邉与邉之比例如正与正也

　　两正为两邉比例图

　　乙丙丁三角形丁乙邉大对丙角

　　丁丙邉小对乙角术为以丁乙邉

　　比丁丙邉若丙角之正与乙角

　　之正

　　解曰试以丁丙为半径作丁甲线为丙角正又截戊乙如丁丙半径作戊己线为乙角正丁甲正大于戊己故丁乙邉亦大于丁丙

　　问丁甲何以独为丙角正也曰此以丁丙为半径故也若以丁乙为半径则丁甲即为乙角之正如图用丁乙为半径作丁甲线为乙角正又引丙丁至戊令戊丙如丁乙半径作戊己线为丙角正

　　即见乙角之正丁甲小于戊己

　　故丁丙邉亦小于丁乙

　　解曰正者半径所生也故必两

　　半径齐同始可以较其大小前图

　　截戊乙如丁丙此图引丁丙如丁乙所以同之也

　　三正逓相为三邉比例图

　　乙丁丙钝角形丁钝角对乙丙大邉丙次大角对乙丁次大邉乙小角对丁丙小邉其各邉比例皆各角正之比例

　　试以乙丁为半径作丁甲线为乙

　　小角之正又引丙丁邉至戊使

　　戊丙如乙丁作戊己线为丙角之

　　正又展戊丙线至庚使庚丙如乙

　　丙作庚辛线为丁钝角之正【如此则三邉皆若三正皆若股】其比例为以乙丙大邉【同庚丙】比乙丁次邉【同戊丙】若丁钝角之正庚辛与丙角之正戊己

　　又以乙丁次大邉【同戊丙】比丁丙小邉若丙角之正戊己与乙角之正丁甲

　　又以丁丙小邉比乙丙大邉【同庚丙】若乙小角之正丁甲与丁钝角之正庚辛

　　问庚辛何以为丁角正曰凡钝角以外角之正为正试作乙癸线为丁角正【乙丁癸角外角也故其正即为丁钝角正】必与庚辛等何也庚丙辛句股形与乙丙癸形等【庚丙既同乙丙又同用丙角辛与癸又同为方角故其形必等】则庚辛必等乙癸而乙癸既丁角正矣等乙癸之庚辛又安得不为丁角正乎【凡取正必齐其半径此以丁甲为乙角正是用乙丁为半径也而取丙角正戊己必引戊丙如乙丁其丁角正庚辛又即外角之正乙癸是三半径皆乙丁也】

　　试取壬丙如丁丙作庚壬线即同

　　乙丁半径则壬角同丁角壬外角

　　即丁外角而庚辛正之半径仍

　　为乙丁【庚壬同乙丁故】

　　此以庚壬当乙丁易乙丁丙形为

　　庚壬丙则庚辛正亦归本位与前图互明

　　试以各角正同居一象限较其弧度

　　如图甲乙丙形丙角最大其正乙丁亦最大所对甲乙邉亦最大甲角次大其正丑壬亦次大所对

　　乙丙邉亦次大乙角最小其正

　　丙夘亦小所对丙甲邉亦最小【丙乙

　　二角正并乙丙为半径甲角取正截丑甲如乙丙亦以乙丙为

　　半径】乃别作一象弧【如戊己】仍用乙丙

　　为半径【取戊庚如乙丙】而以先所得各角

　　之余取度于丁作乙丁为丙角

　　之正于壬作丑壬为甲角之正

　　于夘作丙夘为乙角之正即

　　如元度而各角之差数覩矣【戊庚半径既同乙丙则丁庚即丁丙而为丙角余又壬庚即甲壬为甲角余夘庚即夘乙为乙角余】

　　解曰角无大小以弧而知其大小今乙丁正其弧乙己是丙角最大也丑壬正其弧丑己是甲角次大也丙夘正其弧丙己是乙角最小也而对邉之大小亦如之故皆以正为比例也

　　或疑钝角之度益大其正反渐小而其所对之邉则渐大何以能相为比例乎曰此易知也凡钝角正即外角之正而外角度原兼有余两角之度故钝角之正必大于余两角而得为大邉之比例也如乙丙甲钝角形丙钝角最大其正乙丁亦最大而所对乙甲邉亦最大乙角次大其正丙夘亦次大而所对甲丙邉亦次大甲角最小其正丑壬亦小而所对乙丙邉亦最小【截甲丑如乙丙从丑作丑壬即甲角正】

　　乃从乙作乙庚弧【以丙为心乙丙为半径】为

　　丙外角之度又作辛丙半径与甲

　　乙平行分乙庚弧度为两则辛庚

　　即甲角之弧度其余辛乙亦即乙

　　角之弧度从辛作辛未正与丑

　　壬等又自庚截癸庚度如辛乙则

　　癸庚亦乙角之弧作癸子正与丙夘等此显丙外角之度兼有乙甲两角之度其正必大于两角正也虽丙钝角加大而外角加小则乙甲两角必又小于外角又何疑于钝角正必为大邉比例乎

　　试更以各角切员观之则各角之对边皆为其对弧之通

　　如图三角形以各角切员则乙丙邉为丙戊乙弧之通而对甲角甲丙邉为丙己甲弧之通而对乙

　　角甲乙邉为乙庚甲弧之通而

　　对丙角则是各角之对邉即各角

　　对弧之通也夫通者正之

　　倍数则三邉比例即三正之比

　　例矣

　　又试以各邉平分之则皆成各角之正

　　于前图内更以各邉所当之弧皆平分之【丙戊乙弧平分于戊防丙己甲弧平分于己防乙庚甲弧平分于庚防】自员心【丁】各作半径至其

　　防即分各边为两平分【以丁壬戊

　　半径分乙丙边于壬以丁辛己半径分甲丙边于辛以丁

　　癸庚半径分甲乙边于癸则所分之边皆为两平分】则

　　弧之平分者即原设各角之

　　度而边之平分者即皆各角

　　之正【丙丁戊角以丙戊为弧丙壬为正而丙

　　丁戊角原为丙丁乙角之半必与甲角同大故丙戊半弧

　　即甲角之本度丙壬半边即甲角之正乙丁戊角亦然】

　　【凖此论之则甲丁己角原为甲丁丙角之半必与乙角同大故甲己半弧即乙角之本度甲辛半边即乙角之正己丁丙角亦然又乙丁庚角原为乙丁甲角之半必与丙角同大故乙庚半弧即丙角之本度乙癸半边即丙角之正庚丁甲角亦然】夫分其边之半即皆成正则边与边之比例亦必如正与正矣【全与全若半与半也】

　　问三角之本度皆用半弧何也曰量角度必以角为员心真度乃见今三角皆切员边则所作通之弧皆倍度也故半之乃为角之本度

　　如图以甲角爲心甲丁爲半径作员则其弧丑丁子乃甲角之本度也而平分之丙戊及戊乙两弧并与丑丁子弧等【试作戊丙及乙戊两必相等又并与丑子等凡等者弧亦等】故乙

　　戊丙弧必爲甲角之倍度

　　【余角类推】

　　问三邉求角何以用和较相乗也曰欲明和较之用当先知和较之根凡大小两方以其邉相并谓之和相减谓之较和较相乗者两方相减之余积也

　　如图甲癸小方丁癸大方于大方

　　内依小方邉作己庚横线又取己

　　辛如小方邉作辛壬线成己壬小

　　方与甲癸等大方内减己壬小方

　　则所余者为乙庚及庚壬两长方

　　形夫乙己及丁庚及庚辛并两邉之较也甲己庚则和也若移庚壬长方为乙甲长方即成丁甲大长方而为较乗和之积故凡两方相减之余积为实以和除之得较以较除之亦得和矣

　　依此论之若有两方形相减又别有两方相减而其余积等则为公积故以此两方之和较相乗为实而以彼两方之和为法除之得彼两方之较或以彼两方之较为法除之亦必得和

　　【如图有方二十九之幂八百四十一与方二十七之幂七

　　百二十九相减成较二乗和五十六之积

　　又有方十六之幂二百五十六与方十二之幂一百四十

　　四相减成较四乗和二十八之积

　　两积同为一百一十二故以先有之较二和五十六相乗】

　　【为实以今有之和二十八为法除之即得较四为今所求数】

　　是故三角形以两之和乗较为实以两分底之和为法除之得较者为两和较相乗同积也两和较相乗同积者各两方相减同积也

　　何以明之曰凡三角形以中长线分为两句股则两形同以中长线为股而各以分底线为句是股同而句不同也句不同者不同也大者句亦大小者句亦小故两上方相减必与两句上方相减之余积等而两和较相乗亦等

　　如图甲乙丙三角形以甲丁中长线分为两句股形则丙乙为两句之和【未寅及子夘并同】丙戊为两句之较【未子及寅夘并

　　同】未夘长方为两句之较乗

　　和也又丙己为两之和【辰壬

　　同】酉丙为两之较【辰癸及辛庚壬

　　午并同】癸壬长方为两之较

　　乗和也此两长方必等积

　　问两上方大于两句上方何以知其等积曰依句股法上方幂必兼有句股上方幂是故甲丙幂内【即癸甲大方】必兼有甲丁股丙丁句两幂乙甲幂内【即辛己小方】亦兼有甲丁股乙丁句两幂则是甲丁股幂者两幂所同也其不同者句幂耳【股幂既同则幂相减时股幂俱对减而尽使非句幂不同巳无余积】然则两幂相减之余积【于癸甲大方内减己辛相同之申甲小方所余者癸辛申丙两长方成磬折形】岂不即为两句幂相减之余积乎【于丁子方内减丁寅相同之戊丑小方所　所余者丑子及戊未两长方成磬折形】由是言之两和较相乗之等积信矣【于幂相减之癸辛申丙磬折形内移申丙补庚壬即成和较相乗之癸壬长方又于句幂相减之丑子未戊磬折形内移戊未补丑夘即成和较相乗之未夘长方两磬折形既等积则两长方亦等积】

　　问和较之列四率与诸例不同何也曰此互视法也同文算指谓之变测古九章谓之同乗异除乃三率之别调也何则凡异乗同除皆以原有两率之比例为今两率之比例其首率为法必在原有两率之中互视之术则反以原有之两率为二为三以自相乗为实其首率为法者反系今有之率与异乗同除之序相反故曰别调也

　　然则又何以仍列四率曰以相乗同实也三率之术二三相乗与一四相乗同实故可以三率求一率【二三相乗以一除之得四以四除之即仍得一若一四相乗以二除之亦可得三以三除之亦仍得二】互视之术以原有之两率自相乗与今有之两率自相乗同实故亦以三率求一率【原两率自相乗以今有之率除之得今有之余一率若今两率自相乗以原有之率除之亦即得原有之余一率】但三率之术以比例成其同实互视之术则以同实而成其比例既成比例即有四率故可以列而求之也

　　如图长方形对角斜剖成两句股则相等而其中所成

　　小句股亦相等【甲壬戊与甲己戊等则甲

　　乙丙与甲辛丙等丙丁戊与丙庚戊等并长方均剖故也】即所成长方之积亦必相等

　　【于甲壬戊句股形内减去相等之甲乙丙及丙丁戊两小】

　　【句股存乙丙丁壬长方又于甲己戊句股形内减去相等之甲辛丙及丙庚戊两小句股存辛己庚丙长方所减之数等则所存之数亦等故两长方虽长濶不同而知其必为等积】今以甲乙为首率乙丙为次率丙丁为三率丁戊为四率则乙丁长方【即乙丙丁壬形】为二三相乗之积【此形以乙丙二率为濶丙丁三率为长是二率三率相乗也】辛庚长方【即辛己庚丙形】为一四相乗之积【此形以辛丙为长丙庚为濶而辛丙原同甲乙乃一率也丙庚原同丁戊乃四率也是一率四率相乗也】既两长方相等则二三相乗与一四相乗等实矣此列率之理也

　　一　　甲乙

　　二　　丙乙

　　三　　丙丁

　　四　　戊丁

　　在异乗同除本术则甲乙及丙乙为原有之数丙丁为今有之数戊丁为今求之数其术为以原有之甲乙股比原有之丙乙句若今有之丙丁股与戊丁句也故于原有中取丙乙句与今有之丙丁股以异名相乗为实又于原有中取同名之甲乙股为法除之即得今所求之丁戊句是先知四率之比例而以乗除之故成两长方【二率乗三率成乙丁长方以首率除之必变为辛庚长方】故曰以比例成其同实也

　　互视之术则乙丙与丙丁为原有之数甲乙为今有之数丁戊为今求之数术为以乙丙较乗丙丁和之积若丙庚较【即丁戊】乗丙辛和【即甲乙】之积故以原有之乙丙较丙丁和自相乗为实以今有之甲乙和【即辛丙】为法除之即得今所求之丁戊较【即丙庚】是先知两长方同积而以四率取之故曰以同实成其比例也

　　然则又何以谓之互视曰三率之用以原有两件自相比之例为今有两件自相比之例是视此之差等为彼之差等如相慕效故大句比大股若小句比小股【大句小于大股几倍小句亦小于小股几倍又大句大于小句几倍大股亦大于小股几倍】互视之用以原有一件与今一件相比之例为今又一件与原又一件相比之例是此视彼之所来以往彼亦视此之所往以来如互相酬报故之较比句之较反若句之和比之和【之和大于句故句之较反大于若和之数大于句几倍则较之数句大于亦几倍】是以别之为互视也

　　如图以甲乙为一率丙乙为二率丙丁为三率丁戊为四率作甲戊成两句股次引甲乙及丁戊防于壬成

　　乙丁长方为二三相乗之积

　　亦引乙丙至庚引丁丙至辛

　　作甲辛及戊庚线并引长之

　　防于己成辛庚长方为一四

　　相乗之积是先有比例而成

　　同实之长方

　　如图乙丙乗丙丁为乙丁长

　　方辛丙乗丙庚为辛庚长方

　　两长方以角相连于丙次引

　　己辛及乙壬防于甲引己庚

　　及壬丁防于戊乃作甲戊线

　　则辛丙与丙丁若乙丙与丙

　　庚是先知同实而成其比例

　　也

　　问三角形两又术用外角切线何也曰此分角法也一角在两邉之中则角无所对之邉邉无所对之角不可以正为比例今欲求未知之两角故借外角分之也然则何以用半较角曰较角者本形中未知两角之较也此两角之度合之即为外角之度必求其较角然后可分而较角不可求故求其半知半较知全较矣此用半较角之理也

　　如图甲丙乙形先有丙角则甲丙丁为外角外角内作

　　丙辛线与乙甲平行则辛

　　丙丁角与乙角等辛丙甲

　　角与甲角等

　　其辛丙庚角为两角之较而辛丙己角其半较也己丙丁及己丙甲皆半外角也以半较角与半外角相减成乙角【于丁丙己内减辛丙己其余丁丙辛即乙角度】若相加亦成甲角【于己丙甲加辛丙己成辛丙甲即甲角度】

　　半较角用切线何也曰此比例法也角与所对之邉并以正为比例今既无正可论而有其所对之邉故即以邉为比例【角之正可以例邉则邉之大小亦可以例角】是故乙丁者两邉之总也乙癸者两邉之较也而戊己者半外角之切线也壬己者半较角之切线也以乙丁比乙癸若戊己与壬己故以切线为比例也

　　然则何以不径用正曰凡一角分为两角则正因度离立不同在一线不可以求其比例其在一线者惟切线耳而邉之比例与切线相应切线比例又原与正相应故用切线实用正也

　　如图甲丙丁外角其弧甲

　　己丁于辛作辛丙线分其

　　角为两则小角之弧丁辛

　　其正夘丁大角之弧辛

　　甲其正甲丑【小角正当乙角之

　　对邉甲丙大角正当甲角之对邉乙丙】

　　今欲移正之比例于一线先作甲丁通割分角线于子则子甲与子丁若甲丑与夘丁【甲丑子与丁夘子两句股形有子交角等丑夘皆正角即两形相似而比例等然则子甲者大形之子丁者小形之而甲丑者大形之股夘丁者小形之股也与若股与股故子甲比子丁若丑甲与夘丁】而甲丁即两正之总【甲丁为子甲子丁之总亦即为甲丑夘丁之总】辰子即两正之较【以子丁减子甲其较辰子是辰子为子甲子丁之较亦即为甲丑夘丁之较】平分甲丁半之于酉则酉丁为半总酉子为半较其比例同也【全与全若半与半故甲丁与辰子为两正之总与较则半之而为酉丁与酉子亦必若两正之总与较】

　　于是作午戊切员线【引平分线丙酉至己分甲己丁弧于己自己作午戊线与己丙为十字垂线即此线为切员线】与甲丁平行引诸线至其上【引丙甲至午引丙丁至戊引丙辰割庚防至未引丙夘割辛防至壬】则午戊切线上比例与甲丁通等而正之比例在切线矣【先以甲丁与辰子当两正之总与较今午戊与未壬亦可当两正之总与较则先以酉丁与酉子为半总半较者今亦以己戊与己壬为半总半较矣】故曰用切线实用正也【切线与正所以能同比例者以有通作之合也】问三较连乗之理曰亦句股术也以句股为比例而以三率之理转换之则用法最精之处也故三较连乗即得容员半径上方乗半总之积

　　假如甲乙丙三角形甲丙邉

　　一百五十甲乙邉一百二十

　　二乙丙邉一百一十二术以

　　半总一百九十二较各邉得

　　甲丙之较四十二甲乙之较

　　七十乙丙之较八十三较连

　　乗得数二十三万五千二百

　　即容员半径自乗又乗半总

　　之积也

　　置三较连乗数以半总除之得数【一千二百二十五】平方开之得容员半径【三十五】倍之得容员径【七十】

　　置三较连乗数以半总乗之得数【四千五百一十五万八千四百】平方开之得三角形积【六千七百二十】

　　若如常法求得中长线【一百二十】以乗乙丙底而半之所得积数亦同

　　然则何以见其为句股比例曰试从形心如法作线分为六句股形【形心即容员心】又引甲丙邉至夘使夘丙如乙戊引甲乙邉至辰使乙辰如己丙则甲夘甲辰并半总【六小句股形之句各于其两相同者而取其一即成半总】而丙夘为甲丙邉

　　之较【即乙戊或乙辛】乙辰为甲乙邉

　　之较【即己丙或辛丙】甲己为乙丙邉

　　之较【己丙同辛丙又丙夘同乙辛则夘己同乙丙而

　　甲己为其较若用辰戊以当乙丙则甲戊为较亦同】又

　　从夘作夘壬十字垂线至壬

　　【此线与丁己员半径平行】引甲丁分角线出形外遇于壬成甲夘壬大句股形与甲己丁小句股之比例等【从辰作辰壬线成甲辰壬大句股与甲戊丁小句股为比例亦同】术为以丁己比壬夘若甲己与甲夘也次以丁己自乗方为一率以丁己乗壬夘之长方为次率则其比例仍若甲己三率与甲夘四率也【乗之者并丁己故所乗之丁己与壬夘比例不变也】

　　以数明之甲己八十甲夘一百九十二为二倍四分比例丁己三十五壬夘八十四亦二倍四分比例丁己自乗一千二百二十五丁己乗壬夘二千九百四十亦二倍四分比例故曰比例等

　　又移辛防至癸截丙癸如丙夘则乙癸亦如乙辰引丙夘至午使夘午同乙辰【亦同乙癸】引乙辰至未使辰未同丙夘【亦同丙癸】则午丙及未乙并同乙丙又作丙壬乙壬午壬未壬四线成午丙壬及乙未壬及乙丙壬各三角形皆相等【丙夘壬句股形与未辰壬等则丙壬必等未壬又午夘壬句股形与乙辰壬等则午壬等乙壬而午丙壬及乙未壬两三角形必等矣其乙丙壬三角形既以乙丙与两三角形同

　　底又同用丙壬乙壬两亦不得不等】于是自

　　癸作癸壬垂线【夘壬辰壬并垂线故癸壬

　　亦必垂线】成丙癸壬句股形与丙

　　夘壬形等即成癸丙夘壬四

　　邉形与丁己丙辛小四邉形

　　为相似形【夘与癸俱方角而小形之己与辛亦方】

　　【角则大形之丙角与壬角合之亦两方角也而小形之丙角原为大形丙角之外角合之亦两方角也则小形之丙角与大形之壬角等而小形之丁角亦与大形之丙角等是大小两形之四角俱等而为相似形】则丁己丙句股形与丙夘壬形亦相似而比例等【大小两四邉形各均剖其半以成句股则其相似之比例不变全与全若半与半也】术为以丁己比己丙若丙夘与夘壬也

　　一　丁己

　　二　己丙

　　三　丙卯　即甲丙之较戊乙

　　四　卯壬

　　凡三率法中二三相乗一四相乗其积皆等则己丙乗丙卯之积即丁己乗卯壬之积可通用也先定以丁己自乗比丁己乗卯壬若甲己与甲卯今以三率之理通之为以丁己自乗比己丙乗丙卯亦若甲己与甲卯

　　一　丁己自乗方　　　即容员半径自乗

　　二　己丙乗丙卯长方　即甲乙之较乗甲丙之数

　　三　甲己　　　　　　即乙丙之较

　　四　甲卯　　　　　　即半总

　　复以三率之理转换用之则三较连乗之积【以己丙较乗戊乙较为二率又以甲己较为三率乗之是二三相乗即三较连乗】即容员半径自乗方乗半总之积也【以丁己半径自乗为首率以甲卯半总为四率乗之是一四相乗也凡一四相乗必与二三相乗之积等】

　　以数明之丁己【三十五】卯壬【八十四】相乗得二千九百四十己丙【七十】丙卯【四十二】相乗亦二千九百四十故可通用

　　己丙乗丙卯【二千九百四十】又以甲己【八十】乗之得二十三万五千二百丁己自乗【一千二百二十五】又以甲卯【一百九十二】乗之亦二十三万五千二百故可通用

　　问三较之术可以求角乎曰可其所求角皆先得半角即锐钝通为一术矣

　　术曰以三边各减半总得较各以所求角对边之较乗半总为法以余两较各与半径全数相乗又自相乗为实法除实得数平方开之为半角切线捡表得度倍之为所求角

　　假如甲乙丙三角形甲丙边

　　七十五甲乙边五十六乙丙

　　边六十一与半总九十六各

　　相减得甲丙之较二十一甲

　　乙之较四十乙丙之较三十

　　五

　　今求乙角术以乙角所对边

　　甲丙之较【二一】乗半总【九六】得数

　　【二○一六】为法以余两较【甲乙较四○乙

　　丙较三五】各乗半径全数又自相

　　乗得数【一四○○○○○○○○○○○○】为

　　实法除实得数【六九四四四四四四四四】平方开之得数【八三三三三】为半

　　角切线捡表【三十九度四十八分一十九秒】倍之得乙角【七十九度三十六分三十八秒】

　　次求丙角术以丙角所对边甲乙之较【四○】乗半总得数【三八四○】为法余两较【甲丙二一乙丙三五】各乗半径全数又自相乗得数【七三五○○○○○○○○○○】为实法除实得数【一九一四○六二五○○】平方开之得半角切线【四三七五○】捡表【二十三度三十七分五十二秒半】倍之得丙角【四十七度一十五分四十五秒】

　　次求甲角术以甲角所对邉乙丙之较【三五】乗半总得数【三三六○】为法余两较【甲丙二一甲乙四○】各乗半径全数又自相乗得数【八四○○○○○○○○○○○】为实法除实得数【二五○○○○○○○○】平方开之得半角切线【五○○○○】捡表【二十六度三十三分五十三秒】倍之得甲角【五十三度○七分四十六秒】

　　问前条用三较连乗今只用一较为除法何也曰前条求总积故三较连乗今有専求之角故以对邉之较为法也然则用对邉何也曰对邉之较在所求角之两旁为所分小句股形之句今求半角切线故以此小句为法也

　　如求乙半角则所用者角旁小句股【心戊乙或心丁乙】其句【乙戊或乙丁】并二十一即对邉甲丙之较也术为以乙戊比心戊若半径与乙角【小形之角即半角也】之切线

　　其与半总相乗何也曰将以半

　　总除之又以小形句【即对邉之较】除

　　之今以两除法【一半总一对邉之较即小形句】相乗然后除之变两次除为一

　　次除也【古谓之异除同除】

　　用两次除亦有说乎曰前条三较连乗必以半总除之而得容员半径之方幂今欲以方幂为用故亦以半总除也然则又何以对邉之较除曰非但以较除也乃以较之幂除也何以言之曰原法三较连乗为实今只以两较乗是省一乗也既省一对邉之较乗又以对邉之较除之是以较除两次也即如以较自乗之幂除之矣余两较相乗先又各乗半径何也曰此三率之精理也凡线与线相乗除所得者线也幂与幂相乗除所得者幂也先既定乙戊句为首率心戊股【即容员半径】为次率半径为三率乙角切线为四率而今无心戊之数惟三较连乗中有心戊【即容员半径】自乗之幂【即三较连乗半总除之之数】故变四率并为幂以乙戊句幂为首率【即对邉之较除两次】心戊股幂为次率【即半总除连乗数】半径之幂为三率【即半径自乗】得半角切线之幂为四率【即分形之乙角】

　　一　乙戊　　今用乙戊自乗

　　二　心戊　　　　心戊自乗

　　三　半径　　　　半径自乗

　　四　乙角切线　　切线自乗

　　故得数开方即成切线

　　又术

　　以三较连乗半总除之开方为中垂线【即容员半径】以半径全数乗之为实各以所求角对边之较除之即得半角切线

　　一　乙戊【乙角对边之较】　丙戊【丙角对边之较】　甲己【甲角对边之较】二　心戊中垂线　心戊中垂线　心己中垂线【亦即心戊】三　半径全数　　半径全数　　半径全数四　乙半角切线　丙半角切縁　甲半角切线

　　此即用前图可解乃本法也

　　论曰常法三边求角倘遇钝角必于得角之后又加审焉以钝角与外角同一八线也今所得者既为半角则无此疑实为求角之防法

　　补遗

　　问以邉求角【句股第二术】因和较乗除而知正角乃定其为句股形何也曰古法句较乗句和开方得股今大邉【壬丁】与小邉【癸丁】以和较相乗为实癸壬邉为法除之而仍得癸壬是适合开方之积也则大邉小邉之和较即句之和较而癸为正角成句股形矣【凡句股形为大邉而对正角今丁壬邉最大即也故所对之癸角为正角】

　　试再以丁壬与壬癸之和较求之

　　如法用丁壬壬癸相加得和【一百九十

　　六丈】相减得较【一十六丈】较乗和【三千一百三十

　　六丈】为实丁癸【五十六丈】为法除之亦仍

　　得五十六丈何则股较乗和亦

　　开方得句故也

　　然则句股和较之法又安从生曰生于割圜

　　试以丁壬为半径作戊丁丙己圜　全径二百一十二　半径一百○六　乙丁正九十【即癸壬股】　乙壬余

　　五十六【即癸丁句】　丙乙正矢五

　　十【即句较】　乙庚大矢一百六十

　　二【即句和】　正矢乗大矢得数八

　　千一百开方得正【即句和乗较开方

　　得股】

　　然则此八千一百者既为正矢大矢相乗之积又为正自乗之积故以正自乗为实而正矢除之可以得大矢大矢除之亦得正矢【即乙丁股自乗为实而以句较丙乙除之得乙庚为句和若以句和除之亦得句较】

　　更之则正矢乗大矢为实以正除之仍得正矣【即句较丙乙乗句和乙庚为实以乙丁股为法除之而仍复得股】

　　论曰句股形在平圜内其半径恒为若正余则为句为股可以互用故其理亦可互明【以丁壬及丁癸二邉取和较求壬癸邉为句求股以丁壬及壬癸二邉取和较求丁癸邉为股求句一而已矣】

　　问数则合矣其理云何曰仍句股术也

　　如上图于圜径两端【如丙如庚】各作通线至正【丁乙】之锐

　　【如庚乙丙乙】成丙乙庚大句股形又

　　因中有正成大小两句股形

　　【乙丁庚为大形乙丙丁为小形】而相似【以乙丁线分正

　　角为两则小形乙角为大形乙角之余而与庚角等即大形乙

　　角亦与小形丙角等故两形相似】则乙丁正

　　既为小形之股又为大形之句其比例为丙丁【小形句】与乙丁【小形股】若乙丁【大形句】与丁庚【大形股】也故正矢【丁丙】乗大矢【丁庚】与正【乙丁】自乗等积【丙庚全径为正所分其一丁丙正矢为小形之句而乙丁正为其股其一丁庚大矢为大形之股而乙丁正为其句】

　　一　丁丙正矢　小形句　　凡二率三率相乗与一二　乙丁正　小形股　　四相乗等积故乙丁自三　乙丁正　大形句　　乗即与丁丙丁庚相乗四　丁庚大矢　大形股　　等积也

　　论曰凡割圜算法専恃句股古法西法所同也故论句股者必以割圜而论割圜者仍以句股如根株华实之相须乃本法非旁证也

　　或疑切线分外角以正为比例恐不可施于钝角作此明之

　　甲丙乙钝角形先有丙角及丙甲丙乙二邉求余角一率丁乙【邉总】二率癸乙【邉较】三率己戊【半外角切线】四率壬己【半较角切线】

　　论曰试作壬丙线与乙甲平行分外角为两则壬丙丁即乙角其正卯丁又甲丙壬即甲角其正甲丑以两句股【丑子甲卯子丁】相似之故能令两正【丑甲卯丁】之比例移于通以成和较【丑甲与卯丁既若子甲与子丁则丁甲即两正之和辰子即两正之较】而半外角半较角之算以生【半外角为和半较角为较并与两正之和较同比例即与两邉之和较同比例】并如锐角

　　又论曰此所分大角为钝角故甲丑正作于形外然虽在形外而引分角线至丑适与之防即能成丑子甲句股形与卯子丁相似而生比例

　　【丙乙甲形先有丙角求余角　法为邉总丁乙与邉较乙癸若半外角切线戊己与半较角切线未己此亦因所分为钝角故卯丁正在形外　又大邉为半径故乙癸较亦在形外而丁乙为和余并同前】

　　【丙甲乙形先有丙角求余角　法为邉总丁乙与邉较乙癸若半外角切线己戊与半较角切线己壬　此因先得钝角故所分之内反无钝角而正所作之小句股并在外角之内同锐角法矣】

　　【丙甲乙形先得丙角及丙甲句乙丙如法作丙壬线与乙甲股平行分外角为两则句和丁乙与句较癸乙若半外角切线己戊与半较角切线己壬　此以丙甲为半径作外角弧而即用丙甲为正知所得为正角】

　　【甲乙丙形先得丙角求余角　如法作丙庚线与乙甲句平行次截辛丁如庚甲作辛丙线分外角为两则小角之正卯丁大角之正即丙甲而成两句股相似为切线比例　法为句和丁乙与句较乙癸若半外角切线己戊与半较角切线己壬　此以丙甲为半径作外角弧而即用丙甲为正知辛丙甲为正角而丁辛同庚甲即辛丙甲同丁丙庚又即同丙乙甲而乙为正角矣以乙正角减外角余为甲角】

　　论曰右并以先不知其为句股形故求之而得正角凡正角之弧九十度别无正而即以半径全数为正得此明之

　　【甲乙丙形先有正角求余角　法为句股和丁乙与句股较癸乙若半外角切线戊己与半较角切线己壬】论曰此因先得者为正角故其外角亦九十度而半外角四十五度之切线即同半径全数余并同前

　　又论曰句股形求角本易不须外角而外角之用得此益明

　　【以大邉为半径作外角弧分角线丙未与次大邉平行邉总乙丁与邉较乙癸若半外角切线戊己与半较角切线壬己】

　　【以次大邉为半径作外角弧分角线丙未与小邉乙甲平行大邉总丁癸与邉较乙癸若半外角切线己戊与半较角切线己壬】

　　问平三角形以一邉为半径得三正比例不识大邉亦可以为半径乎【小邉次邉为半径已具前条故云】曰可

　　如乙丙丁钝角形引乙丁至辰如

　　乙丙大邉而用为半径以丁为心

　　作丑辰亥半弧从辰作辰午为丁

　　钝角正又作丁斗半径与乙丙

　　平行则斗牛为丙角正又截女

　　丑弧如辰斗作女丁半径则女亢

　　为乙角正合而观之丁角正【辰午】最大故对邉乙丙亦大丙角正【斗牛】居次故对邉乙丁亦居次乙角正【女亢】最小故对邉丁丙亦小

　　又问若此则三邉任用其一皆可为半径而取正是已然此乃同径异角之比例也若以三邉为三正为股则同角异邉之比例也两比例之根不同何以相通曰相通之理自具图中乃正理非旁证也试于前图用乙丁次邉为其股乙癸与斗牛平行而等则丙角

　　正也又截酉丁如丁丙小邉为

　　其股酉壬与女亢平行而等则

　　乙角正也又辰丁大邉为【即乙

　　丙】其股辰午原为丁大角正也

　　于是三邉并为三对角之正

　　并为股成同角相似之句股形而

　　比例皆等可以相求矣

　　一大邉【乙丙即辰丁】　　　　一丁角正【辰午】

　　二丁角正【辰午】　　　　二大邉乙丙

　　三次邉乙丁　小邉【丁丙即酉丁】三丙角正【乙癸】乙角正【酉壬】四丙角正【乙癸】乙角正【酉壬】四次邉乙丁　小邉丁丙此如先得大邉【乙丙即辰丁】与所对大角【丁】故用辰午丁大句股形为法求余二句股也【乙癸丁酉壬丁】皆同用丁角而形相似故法可相求其实三正皆大邉为半径所得故其理相通未有理不相通而法可相求者故曰皆正理非旁证也

　　又试于乙丙丁形【或钝角或鋭角同理】以丁丙小邉为半径作房箕壁象弧【以乙为心】如上法取三正【以尾壁弧为丁角度其正尾虚又箕壁弧为丙角度其正箕危又戍壁弧为乙角度其正戍申】成同径异角之比例又如法用三邉为三正为股【乙戍即丁丙小邉配乙角正戍申原如与

　　股又本形乙丁次邉为则丁甲为股与箕危平行而等

　　丙角正也又引乙丁至子成子乙即乙丙大邉以为

　　则子寅为股与尾虚平行而等丁角正也】则并

　　为相似之句股形而比例等

　　一小邉丁丙【即戍乙】

　　二【乙角正】戍申

　　三大邉乙丙【即乙子】　次邉丁乙

　　四【丁角正】子寅【即尾　丙角虚　　正】丁甲【即箕危】

　　此如先得小邉【丁丙】与所对小角【乙】故以戍申乙小句股形为法求两大句股也【丁甲乙子寅乙】皆同用乙角而形相似又试以乙丁次邉为半径作象限如前【以丙为心】取三正【张娄为丁角弧度张井其正氐娄为丙角弧度氐参其正室娄为乙角弧度室奎其正】成同径

　　异角之比例又仍用三邉为三正

　　为股【引丁丙至翌与大邉乙丙等成翌丙其股翌胃与张井

　　平行而等丁角正也又乙丁次邉成氐丙其股氐参原为丙角正

　　又丁丙小邉为其股丁柳与室奎平行而等乙角正也】即复

　　成相似之句股形而比例等

　　一次邉乙丁【即氐丙】

　　二【丙角正】氐参

　　三大邉乙丙【即翌丙】　小邉丁丙

　　四【丁角正】张井【即翌　乙角胃　　正】丁柳【即室奎】

　　此如先得次邉【乙丁】及所对丙角故以氐参丙句股为法求大小二句股也【求翌胃丙为以小求大求丁柳丙为以大求小】皆同用丙角而比例等

　　问员内三角形以对弧为角倍度设有钝角小邉何以取之【或问内原设锐角两邉并大于半径故云】曰法当引小邉截大邉作角之通【如图乙甲丙钝角形在平员内以各角切员而乙甲邉小于半径则引乙甲出员周之外乃以甲角为心平员心丁为界作子丁丑弧截引长邉于子截大邉于丑则丑甲子甲并半径与丁甲等而丑子为

　　通】又平分对邉作两通【从员心作

　　丁乙丁丙两半径截乙戊丙员周为甲角对邉所乗之弧而半

　　之于戊作乙戊丙戊二线成两通】则此两通

　　自相等又并与丑子通等夫

　　子丁丑弧甲角之本度也丙戊

　　弧乙戊弧皆对弧之半度也而今乃相等【通等者弧度亦等】是甲角之度适得对弧乙戊丙之半而乙戊丙对弧为甲角之倍度矣

　　厯算全书卷五十三

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷五十四

　　宣城梅文鼎撰

　　三角法举要卷五

　　测量【三角用法算例已具兹则举髙深广逺以徴诸实事亦与算例互相补备也】

　　一测髙

　　一测逺

　　一测斜坡

　　一测深

　　附隔水量田

　　附解测量全义

　　三角测髙第一术

　　自平测髙

　　假如有塔不知其髙距三十丈立表一丈用象限仪测得髙二十六度三十四分弱依切线术求得塔髙一十六丈

　　一半径　　　　　　一○○○○○

　　二戊角切线　　　　　五○○○○

　　三距塔根【丙乙即戊丁】　　　三十丈

　　四塔顶髙【甲丁　是截算表端以上】　十五丈

　　加戊丙表一丈【即丁乙】共得塔髙十六丈【甲乙】

　　凡用象限仪以垂线作角与用指尺同理【指尺即闚衡亦曰闚管亦曰闚筩】若戊丙表立于髙所当更加立处之髙以为塔髙

　　省算法从表根丙平安象限

　　以一邉指塔根乙一邉指癸

　　乃顺丙癸直线行至癸得三

　　十丈与丙乙等复于癸平安

　　象限作癸角与戊角等邉指

　　丙尺指壬则壬丙逺即甲丁之髙【亦加丁乙为塔髙】

　　论曰癸角同戊角丙癸同丙乙丙

　　与乙并正角则两句股形等立面

　　与平面一也

　　又术自丙向癸却行以象限平安

　　邉指丙尺指乙求作戊之余角得

　　己丙之距即同甲丁之髙

　　又省算法用有细分矩度自戊数至癸令其分如丙乙

　　之距【或两倍三倍】从癸数壬癸直线之

　　分即甲丁之距也【先以二分为丈或三分为丈今

　　亦同之】

　　用矩度以垂线作角其用亦同

　　三角测髙第二术

　　平面则不知逺之髙法用重测

　　假如有山顶欲测其髙而不知所距之逺依术立二表相距一丈二尺用象限仪测得髙六十度十九分退测后表得五十八度三十七分查其两余切线以相减得

　　较数为法表距乗半径为实算

　　得山髙三十一丈

　　一　余切线较○○四○○○

　　二　半径　　一○○○○○

　　三　表距戊己　一丈二尺

　　四　山髙甲丁　三十丈

　　加表一丈共三十一丈

　　省算法用矩度假令先测指线

　　交于辛后测指线交于庚成辛

　　庚戊三角形法于两指线中间

　　以两测表距【即戊己】变为分如壬

　　癸小线引长之至丙即丙戊所当测髙

　　论曰此即古人重表法也或隔水量山或于城外测城内之山并同

　　三角测髙第三术

　　从髙测髙　又谓之因逺测髙

　　假如人在山颠欲知此山之髙但知山左有桥离山半里用象限测桥得逺度一十八度二十六分强依切线法求得山髙一里半

　　一　甲角切线　半径【一○○○○○】二　半径　　　甲角余切【三○○○二八】三　桥逺【戊丁】　一百八十步

　　四　山髙【甲丁】　五百四十步【○五尺】省算法用矩度作壬癸线以当

　　戊丁则己壬当甲丁

　　三角测髙第四术

　　从髙测不知逺之髙　法用重测

　　假如人在山上欲知本山之髙然又无可防之逺但山有楼或塔量得去山二十一丈以象限仪指定一处于楼下测得五十五度二十六分又于楼上测得五十三度五十分用余切线求得山髙三百四十四丈五尺

　　一　两余切较　　　四二

　　二　下一测余切　六八九

　　三　楼髙【两测之距】　二十一丈

　　四　山髙　　　三百四十四

　　丈五尺

　　省算法用矩度上测交庚下测

　　交辛成辛己庚三角形法于两

　　指线中间以上下两测之距变

　　为分如壬癸小线引长之至丙

　　即壬丙当所测本山之髙

　　三角测髙第五术

　　若山上无两髙可测则先测其【但山上有两所可以并见此物即可测矣】

　　甲乙为山上两所【不拘平斜但取直线】任

　　指一处如戊于甲于乙用噐两

　　测之成甲乙戊形此形有甲乙

　　两角又有甲乙之距为两角一

　　邉可求甲戊邉法为戊角之正

　　与甲乙邉若乙角之正与甲戊

　　再用甲戊丁句股形为半径与甲戊若甲角余与甲丁即山之高也

　　三角测髙第六术

　　借两逺测本山之髙

　　有山不知其髙亦无距山之逺但山前有大树从此树向山而行相去一百八十五丈又有一树人在山上可见两树如一直线即于山上以象限仪测此二树一测逺树四十三度三十二分一测近树三十度○七分用切线较得本山髙五百丈

　　一　切线较　　三七○○○

　　二　半径　　　一○○○○○

　　三　两逺之较　一百八十五丈

　　四　本山髙　　五百丈

　　省算作壬癸小线当两逺之距【己戊】而丙甲当本山髙【甲丁】

　　三角测髙第七术

　　用山之前后两逺测髙

　　甲为山颠可见戊己两树其树

　　与山参相直【如山南树直正子北树直正午】而

　　不知其距但山外有路与此树

　　平行为庚辛其长三里【如两树正南北

　　此路亦自南向正北行】即借庚辛之距为

　　两树之距以两切线并为法求之

　　先从甲测巳得甲角一十七度○四分又从甲测戊得甲角三十四度三十四分法为两切线并与己戊若半径与甲丁也

　　一率两切线并【○九九六○○】二率半径【一○○○○○】三率己戊即庚辛【三里】求得四率甲丁【三里○四步又三之一强】

　　三角测髙第八术

　　测山上之两髙

　　甲山上有塔如乙欲测其髙如

　　乙甲之距于戊安仪噐测乙测

　　甲得其两戊角之度【一乙戊丁二甲戊丁】各取其切线相减得较法为半

　　径比切线较若戊丁与乙甲

　　省算法数戊丙之分以当戊丁作壬癸丙小线则壬癸之分即当乙甲

　　用矩度亦同

　　三角测髙第九术

　　隔水测两髙之横距

　　有甲乙两髙在水外欲测其相

　　距之逺任于丙用仪噐以邉向

　　丁窥筩指甲得甲丙丁角【一百二十

　　五度】又指乙得乙丙丁角【五十度】次

　　依丙丁直线行至丁【得一百步】再用

　　仪噐以邉向丙窥筩指甲得甲丁丙角【三十九度】又指乙得乙丁丙角【一百零八度】又甲丁乙角【六十九度】得三角形三【一甲丁丙二乙丁丙三甲丁乙】

　　今算甲丁丙形有丁丙邉丁丙二角求甲丁邉

　　一率甲角【一十六度】正【二七五六四】二率丁丙【一百步】三率丙角【一百二十五度】正【八一九一五】求得四率甲丁邉【二百九十七步】

　　次乙丁丙形有丁丙邉丙丁二角求乙丁邉

　　一率乙角【二十二度】正【三七四六一】二率丁丙邉【一百步】三率丙角【五十度】正【七六六○四】求得四率乙丁邉【二百○四步】

　　末乙丁甲形有甲丁邉【二百九十七步】乙丁邉【二百○四步】丁角【六十九度】先求甲角

　　一率两邉之总【五百○一步】二率两邉之较【九十三步】三率半外角【五十五度半】切线【一四五五○一】求得四率半较角切线【二七○○九】查表得一十五度○七分弱以减半外角得甲角四十度二十三分强

　　次求甲乙邉

　　一率甲角正【六四七九○】二率乙丁邉【二百○四步】三率丁角正【九三三五九】求得四率甲乙邉二百九十四步弱

　　论曰此所测甲丁及乙丁皆斜距也或甲乙两髙并在一山之上于山麓测之或甲乙分居两峯于两峯间平地测之或甲在水之东乙在水之西于一岸测之并同若用有度数之指尺并可用省算之法

　　三角测髙第十术

　　隔水测两髙之直距

　　有两髙如乙与甲于戊于庚测

　　之

　　先以乙庚戊形求乙庚斜距次

　　以甲庚戊形求甲庚斜距末以

　　乙甲庚形【有乙庚邉甲庚邉及庚角】求乙甲邉即所求

　　三角测髙第十一术

　　若山之髙颠为次髙所掩则用逓测

　　山前后左右地势不同则用环

　　测环测者从髙测下与测深同

　　太髙之山则用屡测

　　癸极髙为甲次髙所掩则先测

　　甲复从甲测癸谓之逓测

　　乙丁与子丑居癸山之下为地

　　平而各不等则从癸四面测之如测癸辛之髙以辛乙为地平又测癸戍之髙以戌子丑为地平则乙丁与子丑之较为戍辛谓之环测

　　若山太髙太大则于乙测甲又于甲测癸或先测卯又测寅又测丑测子再从子丑测癸细细测之则真髙自见而地之髙下亦从可知矣谓之屡测

　　三角测逺第一术

　　平面测逺

　　有所测之物如乙于甲立表安象限以邉指乙余一邉对丁从甲乙直线上任取九歩如丁于丁复安象限以邉对甲闚管指乙得丁角七十一度三十四分用切线算得乙距甲二十七步

　　一　半径

　　二　丁角切线

　　三　丁甲

　　四　乙甲

　　若欲知丁乙之距依句股法甲丁甲乙各自乗并而开方即得乙丁

　　若径求乙丁则为以半径比丁角之割线若甲丁与丁乙也是为以句求

　　省算用矩度自丁数自癸取丁癸之分如丁甲之距【或以

　　分当步或二分或三分当一步皆可】作壬癸丁小

　　句股则壬癸之分即乙甲也【或一

　　分当步或二分三分并如丁癸之例】而丁壬亦即

　　当丁乙【若尺上有分数即径取之】

　　若先从丁测测以测噐向甲指尺向乙作丁角次依丁甲直线行至甲务令测噐之一邉顺丁甲直线余一邉指乙则甲为正方角如前算之即得【若甲非正方角则于丁甲直线上或前或后移测求为正方角乃止】

　　三角测逺第二术

　　省算法

　　人在甲欲测乙之逺于甲置仪

　　噐一邉向乙一邉向丁成正方

　　角乃依甲丁直线行至丁以邉

　　向甲闚管指乙作四十五度角

　　即甲丁与甲乙等

　　若用矩度以乙丁线正对方角则丁角为正方角之半而甲丁等乙甲

　　论曰丁角为正方角之半则乙角亦正方角之半而句与股齐故但量甲丁即知甲乙

　　又省算法

　　于甲置仪噐以邉向丁闚管指

　　乙作六十度角顺甲丁直线行

　　至丁复作六十度角则甲丁等

　　甲乙

　　论曰甲角丁角俱六十度则乙角亦六十度矣故三邉俱等

　　若丁不能到则于甲丁线上取丙以仪噐二邉对甲对乙成正方角则甲丙为乙甲之半

　　三角测逺第三术

　　平面测逺用斜角

　　人在甲测乙而两旁无余地可

　　作句股则任指一可测之地如

　　丁量得丁甲二十丈于丁安仪

　　噐以邉向甲窥筩指乙得丁角

　　【四十六度】又于甲安仪噐以邉指丁窥筩指乙得乙甲庚角【二十一度】加象限【九十度】得甲钝角【一百一十一度】法为以乙角之正【二十三度乃甲丁二角减半周之余】比丁甲若丁角之正与乙甲算得乙甲三十六丈八尺二寸

　　若求乙丁则为以乙角之正比丁甲若甲角之正与乙丁算得乙丁四十七丈七尺八寸【甲为锐角法同】

　　省算法于仪噐作壬甲线与乙丁平行作壬癸线与乙甲平行成壬癸甲小三角形与丁乙甲等则甲癸当甲丁而壬癸当甲乙又壬甲当乙丁用矩度同【但于象限内作横直分用同矩度】

　　论曰壬角既同乙角【壬甲与乙丁平行壬癸与乙甲平行则作角必相等】癸钝角又同甲角则两三角相似而比例等

　　锐角形于甲测乙用矩度之邉指

　　丁作甲角另用一矩度【其矩须于两面纪度】从丁测之以邉向甲闚筩指乙作

　　丁角末移丁角作癸角于噐上作

　　壬癸线与乙丁平行则癸甲当丁

　　甲而壬甲当乙甲壬癸当乙丁

　　三角测逺第四术

　　平面测逺借他线为比例

　　甲乙为两所顺甲乙直线行任取

　　若干步至丙又于丙任作直线至

　　丁得若干步于丁安仪噐以邉对

　　甲闚衡指丙作丁角顺此直线至

　　戊复安仪噐邉对乙衡指丙作戊

　　角令与丁角等则丙丁比丁戊若丙甲与甲乙

　　省算法于乙甲直线上取丙

　　又从丙作丙戊直线截丁丙

　　如乙丙于丁用象限闚乙作

　　丁角再于戊闚甲作戊角令

　　与丁角等则丁戊即甲乙

　　又法甲置仪噐指乙指丁作

　　角以减半周成外角【己戊为甲角之

　　度丙庚戊为外角之度】于丁置仪噐指

　　甲指乙使丁角如半外角之度但量甲丁即得甲乙论曰凡外角能兼内余二角【乙丁】之度丁角既为外角之半则乙角亦外角之半矣角等者所对之邉亦等故甲丁等甲乙

　　三角测逺第五术

　　平面测逺借他形为比例法

　　从甲测乙任立一表于丙从甲

　　用仪噐以邉向乙闚管指丙得

　　甲角复于丁加仪噐以邉向戊

　　闚管指丙使丁丙甲为一直线

　　而作丁角与甲角等乃顺仪噐邉取直线至戊令戊丙乙为一直线则丁丙与丁戊若丙甲与甲乙【钝角形句股形并同一理】

　　论曰丙戊丁与丙甲乙两三

　　角形相似以两形之丙角为

　　交角必相等而丁角又等甲

　　角则戊角亦等乙角矣故其

　　比例等

　　三角测逺第六术　省算

　　有甲乙两所欲测其距如前立丙

　　表以噐测得甲丙乙角之度又顺

　　乙丙直线行至戊令丙戊之距同

　　甲丙而止再从戊行至丁从丁闚

　　丙至甲成一直线于此直线上进退移测使乙丁丙角为乙丙甲角之半则但量丁戊即同乙甲【甲为钝角或丙为钝角并同】

　　论曰甲丙与丙戊既相等乙

　　丁丙角为乙丙甲外角之半

　　则丙乙丁角亦外角之半是

　　乙丙与丁丙亦等也而丙交

　　角又等是甲丙乙三角形与

　　戊丙丁形等角等邉也故丁

　　戊即乙甲

　　三角测逺第七术　重测

　　甲乙为两所欲测其距而俱不能

　　到则两测之于戊于丁量得戊丁

　　之距【十六步半】用噐测得戊角【五十度四十三

　　分】丁角【三十六度一十分】两角之余切线

　　较【五五○○○】为一率半径【一○○○○○】为二率戊丁【十六步半】为三率得四率为乙甲之距【三十步】

　　若求戊甲之距以两测之余切较【五五○○○】为一率先测戊角之余切【八一八○○】为二率丁戊【十六步半】为三率得四率戊甲【二十四步五四】

　　论曰此即古人重表测逺法也必丁戊甲直线与乙甲线横直相遇使甲为正角其算始真假如乙甲正南北距则丁戊甲必正东西斯能横直相交而成正角也

　　三角测逺第八术

　　分两处重测

　　乙岸在河东欲测其距西岸之逺

　　如甲则任于甲之左右取丁戊两

　　所与甲参相直而距河适均测得

　　丁角【五十度四十三分】戊角【五十五度四十三分】用

　　两角度之余切线并【一五○○○○】为一

　　率半径【一○○○○○】为二率丁戊之距【九十六步】为三率求得四率乙甲之距【六十四步】为两岸阔

　　论曰此法但取丁戊直距与河岸平行则不必预求甲防而自有乙甲之距为丁戊之垂线尤便于测河视用切线较更简捷而穏当矣

　　三角测逺第九术

　　用髙测逺

　　甲乙为两所不知其逺而先知丁

　　乙之髙于甲用仪噐测丁乙之髙

　　几何度分即知甲乙法为半径比

　　甲角之余切若丁乙髙与甲乙之逺

　　若人在髙处如丁用髙测逺则为半径比丁角之切线若丁乙与甲乙其理并同但于丁加仪噐而用正切三角测逺第十术

　　用不知之髙测逺

　　欲知丁乙之逺而不能至乙乙之

　　上有庚又不知庚乙之髙法用重

　　测先于丁测之得丁角【三十八度一十三分】又依丁乙直线进至甲测之得甲

　　角【五十三度五十二分强】两余切较【○五四○○一】

　　为一率丁角余切【一二七○○一】为二率丁甲之距【二十步】为三率得四率丁乙【四十七步○三】　或丁后有余地退后测之亦同

　　省算作壬癸丙线以壬癸分当丁甲之距壬丙当丁乙之逺

　　若人在髙处如庚于庚测丁测甲以求丁乙其法亦同但于庚施仪噐而用正切【法为以两庚角之切线较比丁庚乙之切线若丁甲与丁乙】

　　三角测逺第十一术

　　用髙上之髙测逺

　　甲乙为两所而乙之根为物所掩

　　【如山麓有小阜坡陀礨砢林木蔽亏或岛屿盘纠荻苇深阻】难

　　得真距若用两测甲外又无余地

　　但取其髙处如戊为山颠山上又

　　有石台台上有塔如丁丁戊之髙

　　原有定距以此为用从甲测丁又测戊得两角【一丁甲乙二戊甲乙】求其切线法为以切线较比半径若丁戊与乙甲省算作壬癸丙小线以壬癸当丁戊则甲丙当甲乙矩度同

　　若从髙测逺则于丁于戊两用仪噐测甲用丁戊两角之余切较以当丁戊而半径当甲乙其理亦同

　　三角测逺第十二术

　　从髙测两逺

　　甲乙两逺人从髙处测之于丁用

　　仪器测甲测乙得两丁角【一甲丁丙二乙

　　丁丙】法为以半径比两角之切线较

　　若丁丙髙与乙甲也

　　又法既得两角则移仪噐窥戊作

　　戊丁甲角如甲丁丙之倍度又移窥己作己丁乙角如乙丁丙之倍度则但量己戊即知乙甲

　　三角测逺第十三术

　　连测三逺

　　丙乙为跨水长桥甲乙为桥端斜岸今于丁测桥之长

　　并甲乙岸阔及其距丁之逺近

　　法于丁安仪噐以邉指戊衡指

　　甲指乙指丙作丁角五【一甲丁戊二乙

　　丁戊三乙丁甲四戊丁丙五乙丁丙皆丁角而有大小】次顺仪噐邉直行至戊得丁戊

　　之距于戊复用仪噐以邉指丁衡指丙指乙指甲作戊角三【一丁戊丙二乙戊丙三甲戊丁皆戊角而有大小】

　　一甲丁戊形有丁角戊角有丁戊邉可求甲丁邉一乙丁戊形有丁角戊角有丁戊邉可求乙丁邉一戊丁丙形有戊角丁角有丁戊邉可求丁丙邉以上并二角一邉求余邉得甲乙丙三处距丁之逺近

　　一乙丁丙形有丙丁邉乙丁邉有丁角可求乙丙邉一乙丁甲形有甲丁邉乙丁邉有丁角可求乙甲邉以上并二邉一角求余邉得岸阔与桥长

　　三角测斜坡第一术

　　斜坡上平面测两所之距

　　斜坡上有甲乙两所欲量其相距

　　之数任立丙表测得乙丙甲角度