《历算全书》·4

假如有银四万八千两六十四人分之该若干

　　答曰各七百五十两

　　假如有银二百七十二两○二分四厘九毫毎钱一千银九钱○五厘问钱若干　答曰三十万零五百八十文定法实【此先有定则九钱○五厘故以为法】

　　【此法有○位例也亦是得数有○之例

　　初商三以乗法九得二七法次位空无乘挨作○○以存其位

　　再乗法末位五得一五各如式书之以对减原实二七二○余

　　○○○五　实空位无可商次商从实五字起商作五以乘法

　　九得四五法次位空亦作○存位　乗法末位五得二五如式

　　书之以对减实五二四九余○七二四】

　　【初商三乗九得二十七是言十之数宜对实首位二字书得数三次商五乗九得四十五亦是言十之数宜对余实首位五字书得数五如此审定而书则乘出减实之数与实相对了了分明便知不误然初商次商不相接续所差二位是得数有二空位也补作○○于初商次商之间以存得数之空位如是则次商之事毕　末商八以乗法九得七二法次位无乘亦作○存之法末位乗得四○以对减余七二四恰尽】定位【此因所问是毎千之价故千即单数也从法上一位横对定为千文之位上为万又上十万定所得为三十万○○五百八十文】

　　若以数三十万○○五百八十文为法除原实二百七十二两○二分四厘九毫亦复得九钱○五厘为毎千之价如后图

　　审法实【此问钱价是以钱分银故以总钱为法总银为实】

　　列位之理【所欲知者毎千之价故以千为

　　单以万为十以十万当百与原银对列

　　其书商数如式不错则得数之空位自明定位亦自无

　　舛説见前此两条互相还原　若以

　　乗法还原并用乘法第三条】

　　命分法

　　凡除法至单而止故曰实如法而一所谓一者即单一数也其有除至单数而仍有不尽之余实或法之数本大于实皆不能成一整数则以法命之其法有二其一除之至尽如计轻重者不满一两则除之为若干钱若干分及厘毫丝忽前条法大实小及得数单下仍有数位者是也【若授时厯万分为度百秒为分及钱钞论贯贯之下有百冇十有零文尤为易见】其一以法数为分母不尽之数为分子命为几分之几【如以三除五内除三数满法成一整数余实二不能成整则以此二数各剖为三分共成六分而以三除之各得二分是为三分之二也】假如十九人分银二百五十四两问各若干

　　答曰各十三两零十九分之七

　　【以十九人为法除二百五十四两各得一十三两不尽七两以法命

　　之　其法以法十九命为分母不尽七数为分子命为十九分两之

　　七　解曰一整两各剖为十九分则不尽之七两共剖为一百三十

　　三分以十九人分之各得七分并整数分数为毎人分得一十三两

　　零十九分两之七】

　　【若用乘法还原法以十九人乗得数十三两得共二百四十七两加

　　八不尽七两共二百五十四两合原实】

　　【若用除法还原　法置原实内减不尽之数七两余二百四十七两为实毎人十三两为法法除实得十九人】

　　论曰古人只用命分后世乃有除之至尽之法然终不能尽【如以十九人除七两各得三钱六分八厘四毫二丝一忽终余一忽】故不如命分之简妙【如钱粮尾数一忽之下仍冇微纎等七位不等徒滋繁文无禆实用然亦终不能尽若命分之法只一语喝尽更无渗漏然后知古法为无】

　　省除法【旧名定身除亦名减法凡法首位是一数者用之】

　　假如漕粮正耗共五百○四石每正米一石除耗四斗问正米若干

　　答曰三百六十石

　　【先以原数五定正数为三书直线左以应减耗数四乗所定正三得

　　耗一十二并正三共得四二以减原数五○余○八次以余数八定

　　正数为六书正数三之下以减耗四乗六得二十四并正六共得八

　　四减余数恰尽合得数减数并之即还原数或用

　　加四亦同】

　　定位【凡省除皆以原数定位】

　　省除又法【古谓之求一除法】

　　凡定身除惟法首是一数者可用今以倍半之法求之则法首皆变为一数

　　其法遇法首位是二是三法实皆折半遇四则折半两次遇五六七八九法实皆加倍【如此则法首位皆成一数】假如前条六十四人分银四万八千两用除法各得七百五十两今以法实各折半两次用定身除所得亦同

　　【先以法六十四折半作三十二又折半一十六为法实四万八千折

　　半作二万四千又折半一万二千为实用定身除法先以实首两位

　　一二定七为得数法去首位一不用只用六以乘得数七得四十二

　　书左并得数七共一一二以减原实一二余○○八次以余实八定

　　五为得数亦以法六乗得三○挨书于左以减余实八恰尽】

　　定位【得数七对原实千因法是有十之数退一等作七百定所得为七百五十石　假如十人七千即毎人七百故法有十者退一位也凖此推之法有百退二位有千退三位万以上仿此论之凡省除依原实定位当知此诀】

　　并除法【旧名异除同除】

　　凡有当除数次者则以法相乗为法作一次除之亦简法也【如以四除之又以五除之又以七除之则以四乘五得二十又以七乘得一百四十共为法以除之是并数次除为一次除也】

　　假如经商获利二千两原本三千二百两已经四年问毎年毎两之息

　　答曰毎两息一钱五分六厘二毫半

　　法曰先以四年乗原本【三千

　　二百】得【一万二千八百】为总法【本法宜以

　　二千二百除二千得毎两之息再以四年除之得毎

　　年毎两之息今并两次除为一次除足简法也】

　　截除法【与并除相反所以便初学】

　　凡除有法数位繁者或可以截为两次除以从简易假如五十六人分银【一千五百一十二两】各若干

　　答曰各二十七两

　　【此因法五十六是七八相乘之数故先以八除得一百八十九两仍用为实再以七除之得二十七两合问】

　　【或先用七除得数二百一十六两复以八除之亦得二十七两为毎人数】

　　【右省除式也只作一直线书原实于右纪得数于左而以九九数呼而减之不必另书减数凡法只一位者用此为便】

　　假如铜一百二十八斤价二十两问毎斤若干

　　答曰毎斤一钱五分六厘二毫半【原法三位今用截除三次俱一位为法可用省除】

　　假如银一千○八十两置田二百一十六亩问田价每亩若干

　　答曰五两　【原法三位今用六除三次亦同】

　　约分法

　　凡命分有可约者以法约之古法曰可半者半之不可半者以少减多更相减损求其有等以等约之【以等数除母子数则皆除尽西人谓之纽数】

　　假如八十一人分银二十七两问各数　答曰各得三分两之一

　　法曰【以八十一除二十七不能各得一两依命分法八十一为分母二十七为分子命为八十一分两之二十七又以法约之为三之一】解曰【八十一是三个二十七若剖毎两为八十一分即各得其二十七分是三之一也】

　　分母八一　【约分法曰置分母八十一用递减法以分子二十七减之余五十四复以二十七减】分子二七　【之仍余二十七如是则两数齐同是有等也即用此等数二十七为法转除分母八】减余五四　【十一得三除分子得一如此则不用细分但以毎两均剖为三而各得其一分即三又减分子】二七　【人共一两也若分子是五十四则用转减法以子五四】仍余二七　【转减母八一余廿七又以母余二十七转减子五四亦余卄七是相等也就以此等数卄七为法除母八一得三除子五四得二是为约得三之二】

　　假如米八十五石分结一百○二人问各若干

　　答曰各得六分石之五

　　法曰【人多米少不能各一石依命分法以一○二为分母八五为分子命为一百○二之八十五以法约之为六分之五】【约分法曰置分母一百○二以分子八十五减之得余十七用转减法以余十七减分子八十五余六十八又递减之余五十一又减之余三十四又减之余亦十七是相等也就此等数十七为法转除母数一百○二得六除子数八十五得五约为六分之五解曰一百○二是六个十七八十五是五个十七故曰六之五即六人共米五石也若以米毎石均分六分八十五石共得五百一十分为实以一百○二人为法除之得五是毎　所得为一石米中六分之五也】

　　厯算全书巻三十五

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

　　钦定四库全书

　　歴算全书卷三十六

　　宣城梅文鼎撰

　　笔算卷三

　　异乘同除法

　　以先有之数知今有之数两两相得是生比例莫善于异乘同除乃古九章之枢要也先有者二今有者一是已知者三而未知者一用三求一故西法谓之三率今先明同异名之説以着古法次详三率之用以显通理

　　异者何也言异名也同者何也言同名也假如以粟易布则粟与粟为同名布与粟为异名也

　　何以为异乗同除也主乎今有之物以为言也假如先有粟若干易布若干今复有粟若干将以易布则当以先所易之数例之是先易之布与今有之粟异名也则用以乗是谓异乗若先有之粟与今有之粟同名也则用以除是谓同除皆用以乘除今粟故曰主乎今有以为言也【置今有粟以异名之布乘之为实再以同名之粟为法除之是皆以今粟为主而以先有之二件乘除之也】

　　问何以不先除后乗曰以原总物除原物总价则得每物之价以乗今有总物亦可得今有之总价然除有不尽则不可以乗故变为先乗后除其理一也

　　假如原有豆一百○八石价银三十六两今有豆一百三十五石问价若干

　　答曰四十五两

　　法曰置今豆一百三十五石以原豆价三十六两乗之得四千八百六十两为实以原豆一百○八石为法除之得四十五两为今豆应有之价【见以物求价也若还原则以价求物】

　　假如原有银四十五两买豆一百三十五石今有银三十六两问豆若干

　　答曰一百○八石

　　法以豆一百三十五石乘价三十六两得四千八百六十石为实以价四十五两为法除之得一百○八石合问西人三率法

　　其法以先有之二件为一率二率今有之二件为三率四率则前两率之比例与后两率之比例等故其数可以互求

　　【今冇之二率先只有其一合前有之二率共为三率以求之而得今有之余一率是以三求一故曰三率法实四率也】

　　假如一率是三二率是四三率是九则四率必为十二何也三与四之比例若九与十二也故以四【二率】九【三率】相乘【卅六】为实以三【一率】为法除之必得十二【四率】

　　若互用之以四率为一率则十二与九之比例若四与三故曰可以互求【此即还原之理】

　　【解曰以三比四以九比十二并三分加一之比例以十二比九以四比三并四分减一之比例凡言比例等者皆如是

　　此以上图之四率为

　　一率也故其序皆倒

　　而所得四率即上图

　　之一】

　　又更而互之

　　凡二三相乘与一四相乘等积此立法之根观右图可明【四九相乘三十六而十二与三相乘亦三十六故以三除三十六得十二以十二除三十六亦复得三此前两图互求之理若更一四为二三其实同为三十六故以四除之得九以九除之亦复得四此后两图互求之理】

　　又错综之

　　此又以前图之二与三更之则前两率之第二变为后两率之第一而其比例亦等【凡一率二率为前两率乃先有之二件也三率四率为后两率乃今有之两件也今以二率三率相易则是先有之次率变为今有之首率也然以比例言之在前图为三与四若九与十二者在此图则三与九亦若四与十二也】

　　若以一率除二率得数以乗三率亦得四率【如以一率三除二率九得三以乘三率四亦必得四率十二以一率四除二率十二得三以乗三率三亦得四率九但先除后乗多有不尽之分故异乗同除为算家大法乃中西两术所同也】

　　试仍以古图明之

　　原有小麦十二石　换食盐九石　【俱四分之三比例若以上□左】今有小麦　四石　换食盐三石　【右更置即成三率之前四图】

　　更之【以纵为横】

　　原有粱米　三石　换棉布九疋　【俱三倍之比例若以上下左右】今有粱米　四石　换棉布【十二】疋　【更置即成三率之错综四图】辨法实

　　凡三率之用皆以二率乘三率为实首率为法除之以得所求为四率

　　然何以定其孰为一率孰为二率三率也曰此则古人同异名之法不可易也诀曰凡今有之已知者常定为三率【其未知者待算而知则常为四率】视先有之物与三率之今有同名者定为首率其与今有异名必为二率矣

　　又诀曰凡三率之法以三件求一件其所求之一件未知而三件则巳知也此已知之三件中必有两件同名【如价与价物与物之类】就以此同名之两件审其孰为先有定为首率【其今有者则为三率而其余异名之一件亦必先有也恒为二率】

　　假如有句股形田长一百三十五步阔四十五步今截相似形长一百○八步问阔若干

　　答曰截阔三十六步

　　定法实诀

　　以今截长一百○八步定为三率长与长同名以原长一百三十五步定为首率濶与长异名以原濶四十五步定为二率

　　又诀【此巳知之三件是原长原阔截长内长与长同名以原长是先有之数定为首率截长是今有之数为三率原濶与长异名为次率】

　　按原长与原濶即大句大股截长截濶即小句小股也四者皆可以递互相求三率中更互错综之理尤为易见

　　以比例言之大股与大句若小股与小句也更之则小股与小句亦若大股与大句也此为以股求句反之而以句求股则大句与大股亦若小句与小股也又更之则小句与小股亦若大句与大股也

　　又错综之则大股与小股若大句与小句也而大句与小句亦必若大股与小股矣又小句与大句若小股与大股也而小股与大股亦必若小句与大句矣是为三率之八变

　　异乘同除定位法

　　三率定位与乗法除法无异【乗法以实单位为根定所对得数为法尾数除法以法首上一位作识定所对得数为所求单数并详前巻】但所用之实以二率三率相乗而得握算者或疑其数之骤陞而不能守其定法则定位必讹而其理益晦矣故复论之【诸家算术往往有定位不确者皆由见乘后数多未免惊怖而輙为酌改故也】

　　假如六个时辰马行二百一十里今行五个时辰当有若干里

　　答曰一百七十五里

　　论曰试以六时除马行【二百一十里】得每时行【三十五里】以乘【五】时亦得【一百七十五里】原无可疑今先乗后除故以【一千○五十里】为实骤观之似乎太多究竟除后得其本数而已

　　假如银【三十二两】换钱【三万六千文】今有银【二十八两】问钱若干答曰三万一千五百文

　　若以【三十二两】除【三万六千】得毎两钱【一千一百二十五文】以乗【二十八两】亦得三万一千五百文【知得数之同则知一百万零八千之非误】

　　异乗同除约分法

　　三率内有两率相凖可用约分者即改用所约之数易繁为简如法乘除所得无误而用加防矣【两率者其一首率其一次率或三率也凡以法约之必两率相准次率三率祗用其一皆取其与首率相凖也　或两率并为偶数则俱折半或两率并可均剖为四则折半两次或两率并可均分为三则各取三之一或两数互减而得等数则以等数约之并如约分法】

　　【论其比例　半之则　以三约之　以九约之　再约之为十八比　九与八　则六与十　则二与十　则为一十六若九　之比例　六之比例　六之比例　与八若十九与八　亦若九　若三十三　若十一与　十一与十八也　　十九与　与八十八　八十八　　八十八八十八】

　　假如赁房九个月银七十八两问住二年该若干答曰二百零八两【法以二年成二十四个月依式列之】

　　四　　　　　　　　　　二百零八【八乗廿六即得此数】假如八色金六十两换银二百八十八两今有九色金五十两该若干

　　答曰二百七十两【此以金折成足色六十两作四十八两五十两作四十五两算之】

　　四　　　　　　　　　　　二百七十【十八乘十五得此数右皆约得一数为首率故不须除但以二率乗三率即得所求为四率】

　　重测法【三率有叠用两次者谓之重测即两个异乘同除】

　　假如有夏布四十五丈欲换棉布但云毎夏布三丈价二钱棉布七丈价七钱五分问换棉布若干　答曰二十八丈一　夏布　三丈　　先用为法

　　四　价　三两　法除实得此数

　　重列

　　一　价【七钱五分】　　　　又用为法

　　四　棉布　【二十八丈】　法除实得此数

　　此因两布各有其价故先用法求得第四率以夏布变为银就以此定为重列之第三率【即今价也】而以棉布价【七钱五分】为首率【以与今价同名也】棉布【七丈】为次率【以与今价异名也】如法乘除得所换棉布为四率

　　并乗除法

　　以两次乘除并而为一是合两三率为一三率也即古法之同乘同除【古以并乘为异乗同乗以并除为异除同除今乘除俱用并法故谓之同乘同除也】假如今有芝麻五十四石欲换黄米但云芝麻三石换緑豆五石换黄米三石问该换黄米若干

　　答曰六十七石五斗

　　本法　　　　　　　重列

　　一　麻　　三石　　豆　　四石

　　二　豆　　五石　　米　　三石

　　三　今麻　【五十四石】　　今豆九十石【此重列之第三即先得之第四乃本法也】四该豆　【九十石】　　　米【六十七石五斗】

　　简法【即并法】

　　【今以两首率相乘为首率

　　亦以两次率相乘为次率

　　以两九十石对去不用故三率

　　省乗是为并法实简法也】

　　论曰本用两次乘除今以豆【四石】乘麻【三石】得【十二石】以除是并两次除为一次除也以米【三石】乘豆【五石】得【十五石】以乗是并两次乘为一次乗也依法求之即得所换米【六十七石五斗】与两次求者数同【又因一率二率可用约分约之为四与五而法益简】

　　然则第三率何以独异【第三率径用今麻不以豆九十石乗之是与并两首率为首率并两次率为次率者逈别】曰重列之第三即先得之第四故可以对去不用不惟不用亦可不求【重列之第三率既无乗并之用则原列之第四率不必更求其数】而乗除之用已偹【今麻原系第三率今仍用为第三是三率之用本无所缺】即所求之得数已清矣【若第三率用豆九十石乗过之则所得第四率亦必为豆九十石乘过之米得数后必以九十石除之始能清出米数反多曲折今对去豆九十石不用则所得四率即米数直截了当】故为简法

　　又式

　　假如有战兵七百名毎年额饷一万二千六百两内有新着伍兵三百名已经应役七个月问该饷银若干答曰三千一百五十两

　　依重测并乘除法当以【十二月】乘【七百名】得【八四○○】为法以【七个月】乗【一万二千六百】得【八八二○○】又以【三百名】乘之得【二六四六○○○○】为实法除实得三千一百五十两为兵三百名七个月之饷今用约分以【七百】与【三百】约为七与三【皆百约之】则首率次率各有【七】对去不用可省并乘

　　重列之时径以【十二】为首率饷银【一二六○○】为次率【三】为三率依法乘除而得四率　又以首率【十二】三率【三】约为四与一则径以饷【一二六○○】为实以四为法除之得【三千一百五十】合问变测法【古谓之同乗异除在三率谓之变测即几何原本之互视法也】

　　凡异乘同除皆以先有之一率为法【即首率】以先有之又一率乘今有之一率为实【即二率三率相乗】

　　若同乘异除则反以今有之一率为法【同文算指列于第三今依法实之序定为首率】以先有之两率自相乘为实【同文算指列于第一第二今定为第二第三】虽亦以法除实得今所求之又一率【即四率】与诸三率同而法实相反故曰变测

　　假如用秤称物物重秤不能称外加一锤称得【八十四斤】本锤【一斤五两】加锤【一斤三两】问其物实重若干

　　答曰一百六十斤

　　一　锤重二十一两　　　　　为法

　　四　实重一百六十斤　　法除实得数

　　法以锤【一斤五两作二十一两】加锤【一斤三两作十九两】共重【四十两】为先有之一率称重【八十四斤】为先有之又一率相乘【三三六○】为实以本锤重【二十一两】为今有之一率为法法除实得实重【一百六十斤】为所求今有之又一率合问

　　假如秤失去锤有所称物【重一百六十斤】今以他物代锤【重四十两】称得重【八十四斤】问锤重若干　答曰一斤五两

　　一　物重一百六十斤

　　二　称得重八十四斤

　　三　【他物代锤】重四十两

　　四　锤重二十一两

　　假如布幔一具用布十六丈五尺布濶二尺今有布濶一尺五寸如式作幔该用若干

　　答曰二十二丈

　　一　今濶一尺五寸

　　二　原濶二尺

　　三　原长十六丈五尺

　　四　今长二十二丈

　　假如储粟方窖长【一丈二尺】濶【九尺】深【一丈】今欲别穿一窖藏粟与之等长亦【一丈二尺】但深加【二尺五寸】该濶若干

　　答曰濶七尺二寸

　　一　今深十二尺五寸

　　二　原深十尺

　　三　原濶九尺

　　四　今濶七尺二寸

　　【此原长不动而加深减濶也　今深今濶相乘得九十尺与原深乘原濶等以乘长一十二尺得一千零八十尺亦等则其藏粟等】

　　又问若依原窖之濶【九尺】但加长【三尺】该深若干

　　答曰深八尺

　　一　今长十五尺

　　二　原长十二尺

　　三　原深十尺

　　四　今深八尺

　　【此原濶不动而加长减深也今长乘今深得一百二十尺与原长乘原深等以乘濶九尺并得一千零八十尺】

　　假如有方仓高【一丈八尺】濶【二丈】深【二丈一尺】今更造一仓亦深【二丈一尺】但高减三尺问阔若干

　　答曰濶加四尺【共濶二十四尺所储米石即同原仓之容】

　　一　今高十五尺

　　二　原高十八尺

　　三　原濶二十尺

　　四　今濶二十四尺

　　【此原深不动而减高増濶也当与右二条叅防仓之高即窖之深仓之深即窖之长】

　　【今高乘今濶得三百六十尺与原高乗原濶等再以深二丈一尺乘之得七千五百六十尺与原仓之容积等】

　　假如原借八五色银四十八两今还九六色银问该若干答曰四十二两五钱

　　一　今银色九六　　　　　为法

　　四　今还四十二两【五钱】法除实得数

　　【解曰原银八五色是毎两实折八钱五分故以乘原银得四十两零八钱乃折实纹银之数也还银九六色是毎九钱六分成一两故以除折实纹银得四十二两五钱为应还之数凡零乘数反损零除数反增详别巻】

　　假如有田一区用三十二人耕治五日而毕今用四十人问该几日　答曰四日

　　一　今用四十人

　　二　原用三十二人

　　三　原耕五日

　　四　今耕四日

　　假如决水修池水窦濶三尺十二日涸出今开濶八尺问水涸几日

　　答曰四日有半

　　一　今濶八尺

　　二　原濶三尺

　　三　原十二日

　　四　今四日半

　　假如额兵五千六百设有一年之饷今祗留兵三千三百六十名问其饷可支几时

　　答曰一年零八个月

　　一　今兵三千三百六十

　　二　原兵五千六百

　　三　原设饷十二个月

　　四　今可支二十个月

　　歴算全书巻三十六

　　钦定四库全书

　　厯算全书巻三十七

　　宣城梅文鼎撰

　　笔算巻四

　　通分法【并减乘除并有子母通分之用故别自为巻其畸零以十百千万为等者不用此法】

　　凡整数下有零分而不以十分成整当用通分其法以一整数剖为若干分是为母数其所零分在母数中得几分之几是为子数

　　通分子母列位法

　　通分列位其法有三曰化整为零曰以整零曰收零为整

　　假如有物一斤四两则以一斤通为十六两加入所四两共二十两而列之

　　二○【斤以十六两为母其所四两是子今化斤为两则可乘除谓之以母从子也】

　　若欲通为铢则以毎两二十四铢为母通二十两为四百八十铢

　　四八○【此以斤通为两两又通为铢是两次用通分也】

　　若畸零累析有用通分三次四次以上者准此论之如皇极经世一元有十二防一防有三十运两次通之则一元有三百六十运　一运有十二世一世有三十年两次通之则一运有三百六十年

　　若以元通为年则用四次【元通为防防又通为运运又通为世世又通为年是四次用通分也】通得十二万九千六百为一元年数

　　假如古歴十九年七闰谓之一章其月谓之章月二三五【此以毎年十二月通十九得二百二十八月加入闰七月共得二百三十五月为一章之月】右化整为零　古通分法曰通以分母纳以分子盖言以分母通其整数而以所零分加入也然亦有不纳子而但通其整之时既以分母通之则整数不用全化为分故西学谓之化法

　　别有变零为整之法与此化整为零之法似同而实不同所以为零乘之用盖化整则全化为零而不用整变零则全变为整而不用零其数则同【谓自一至九之数】

　　其等则异【谓如零陞为单单陞为十之类】详见零除条

　　凡通分化整为零以便乘除不必更书其母若列位本法以整零当以母数子数并而书之曰几分之几【若分下有小分则曰几分之几又几分分之几】

　　假如有整数二十五有零分为整数十二分之七又仍零秒为分数三十分之十四

　　【此如歴法一周十二宫一宫三十度今得星行二十五周又七宫十四度也】

　　假如有整数十六又零数为整数七分之五

　　【此以一整数剖为七分而所零分适得其五也七为分母五为分子】

　　假如有零数为整数三十分之十四又有小分为分数六之五

　　【此原无整数但有分又有小分其分以三十为母十四为子是一整数剖为三十而得其

　　十四也小分以六为母五为子是一大分又剖为六而得其五也小分母古谓之秒母】

　　右以整零

　　凡母数必大于子数其常也乗除之后有子数反多者法当以母数收之为整而其零

　　假如有零分十六其分母九【此以子数反大当以母数收为整】

　　【九之十六】　收得一【九之　十六分内除九分收为整余七七　　分是为整一又九分之七也】

　　假如方田之法以方五尺为步其积二十五尺今有积七十尺

　　【步法二十五尺而积有七十尺子数反多法当收整】

　　【七十尺内除五十尺收为二步剩二十尺不能成步是为整二步又二十五分步之二十】

　　假如古厯法以十九年为一章四章为一蔀今距元中积一百年问在第几蔀第几章

　　畣曰第二蔀第二章之第六年

　　【法先以章法十九收九十五年成五章剰五年　次以蔀法四收四章成一蔀剩一章

　　通列之成一蔀一章零五年是为已过之数今正在交第二蔀第二章之第六年也】

　　右收零为整【凡欲乗除必化整为零既乘除矣仍必收零为整此二者相须为用也】此外仍有除零附整之法其法以分母为法分子为实实如法而一得零数为整数十分之几或百分千分万分之几所谓退除为分秒也见除法命分

　　通分并子法

　　通分并子其类有三曰母同者曰母不同者曰大分又小分者而所以并之之法有七曰径并法曰变分母法曰互乗法曰连乘法曰维乘法曰截并法曰通母纳子法

　　径并法

　　凡分母数同者径并其子并满母数收为整【数在三宗以上而母同者皆可径并其子或大分之下有小分而分母同者并用此法】

　　假如有丝五分斤之四又五分斤之三并之若干畣曰整一斤【又五分斤之二】

　　【此因两母同为五故径并其子子数七母数五是子满母数而且

　　有余也当以母数收之得整一零五之二】

　　以上分母同者径并其子为通分并法之一类

　　变分母法

　　凡分母不同而有比例可求者变而同之可省互乘假如有数【六之三】又加【四之一】共若干

　　畣曰共四之三

　　【法以六之三母子各损三之一变为四之二则两母同为四而其子可并矣

　　所以然者四与六是倍半比例故去三分之一即相同也】

　　假如有金【八分两之五】又【四分两之三】并之若干

　　答曰一两又八分两之三

　　【八与四为折半比例然不以八折半者其子奇数不可半也故以四之三

　　加倍即母数齐同可相并矣】

　　互乘法

　　凡分母不同而无比例可求者先互乘以同其母再以母互乘其子而并之【数在三宗以上而母不同者皆可用此法】

　　假如有物【四分石之三】又【七分石之四】共若干　答曰整一石又【卄八分石之九

　　先以右母四互乘左母七得卄八又互乘子四得十六变七之四为

　　卄八之十六　次以左母七互乘右母四及子三变四之二为卄八

　　之卄一　两母既同遂并其子为二十八之三十七

　　以满共母二十八収为整一仍余九】

　　凡三母内有两母相乘与余一母同者只用一互乘即可相并假如有甲乙丙丁四数乙得甲【七之六】丙得甲【五之四】丁得甲【卅五之二十三】若合乙丙丁三数得甲数若干　答曰得甲数二【又三十五之十一

　　法以乙丙两母相乘三十五与丁母同数即用乙母七互乘丙五之

　　四得三十五之卄八丙母五互乘乙七之六得三十五之三十以并

　　丁三十五之二十三共得卅五之八十一以满母卅五成整数合问

　　归整】得甲数二【又卅五之十一】

　　连乘法

　　凡数三宗以上者用母连乘为共母又以各母除之得数以乘其子为子而并之并满共母收为整

　　假如有数六【之四】又加三【之一】又加五【之四】并之若干

　　答曰整一【又九十之　　法以六乘三得一十八又以五七十二　　　乘之得九十为连乘之共母

　　即六除共母得数以乘之四之数

　　即三乘共母得数以乘之一之数

　　即五除共母得数以乘之四之数】

　　归整得一又【九十之七十二】

　　觧曰【此即互乘也试以五互乘六之四得三十之二十　又以三互乗之即成九十之六十　以六互乗三之一得十八之六又以五互乘之即成九十之三十　以六互乗五之四得三十之二十四又以三互乗之即成九十之七十二】维乘法【此古维乘法也与母除共母以乘子之法所得同】

　　假如钱粮一次完过【九分之一】又完【四分之一】又完【六分之一】又完【六分之一】又完【七分之一】问共完若干　答曰五百○四之四百零一【约为十分之八稍弱】法【以八乘六得四十八再以七乘之得三百卅六又以九乘之得三千○卄四又以四乘之即得一万二千○九十六】

　　约为五百○四之四百○一【卄四约之】

　　解曰【此即连乘法也但因分子皆为之一故即以母除共母之数为子相并而省一乗】

　　试用维乘所得亦同

　　截并法

　　凡数件中有分母同者先取出并之然后与各件并列则五件可作四件用【六件以上仿论】而共母亦简

　　如前图有八之一四之一为加倍比例可先取并之【用变分母法】

　　乃重列之【原数五宗今作四宗入余并同前】

　　【解曰共母原系一万二千

　　○九十六今只三千○二

　　十四简四之三故所得之

　　子皆于前式为四之一】

　　凡宗数繁多而分母又各不同者可分作几次并之假如有物四宗甲数【五分斤之三】乙数【六分斤之一】丙数【三分斤之二】丁数【七分斤之四】并之若干

　　答曰整二斤又六百三十分斤之三

　　如上图依法互乘以四宗并作两宗乃重列之

　　以上分母不同者为通分并子之又一类

　　大分小分并法

　　凡大分之下有小分而母相同者如法并之自小分起满小分之母进为大分满大分之母进为整

　　若大分之母同而小分母不同者用互乘法使其同【余如上法】若大分母不同者即通大分为小分再用互乘以同之假如西厯以一日分二十四小时一时又析为六十分今得中防二十九日十七时三十六分实防该加七时四十分依法并之得三十日零一时一十六分

　　原二九　【卄四之　六十之　时为大分大分之母二十四一七　　三六　　时下为小分小分之母六十】加　　　【卄四之　六十之　先并小分得七十六以满六丨丨○□　　四十　　十进为一时仍余十六分】

　　并得三○日○一时十六分　【次并大分得二十五时以满二十四进为一日仍余一时】假如修筑河堤新修七里○六十六歩一尺旧堤原存一十二里二百九十三步四尺问堤长若干答曰长二十里新修○七　○六六　一　　【里法三百六十步法五先并尺一四共五进一步次并步】原存□□　□□□　四　　【共三百六十进一里次并里二七及所进之一共十里并】共长二○里○○○步○尺　【原十里是为堤长二十里合问】

　　假如有硃砂八斤十两○九铢又有三斤五两十八铢共若干答曰十二斤○三铢

　　八　一○　○九　　　【铢满二十四进一两余三两满十六进一】□　○□　□八　　　【斤斤共十二是为一十二斤○三铢合问】

　　共一二斤○○两○三铢

　　右大小分母俱同故径以子并

　　假如甲数九【之四】又小分【五之四】乙数九【之八】又小分【八之三】并之若干答曰整一又九之四又小分四十之七

　　先同其小分之母

　　【先以小分母相乘得四十为共母　又互乘其子变

　　五之四为四十之三十二变八之三为四十之十五】

　　小分母既同乃重列而并之【余同上】

　　【并之】得九之十二又四十之四十七

　　归整一又【九之四】又小分四十之七　【小分满四卜收为大分一大分满九收为整一】右系大分母同而小分之母不同故互乘之使其同

　　假如有田二坵甲坵二亩【又四分亩之三】又小分【五之一】丙坵一亩【又三分亩之二】又小分【四之三】并之若干

　　答曰整四亩【又六十分亩之四十三】

　　先以甲小分母五通大分四之三为小分二十之十五加入原小分一共二十之一十六为甲数

　　又以丙小分四通大分三之二为小分十二之八加入原小分三共十二之十一为丙数

　　解曰【此即古通分纳子之法也以大分尽通为小分而纳小分焉实则以小分陞为大分也】

　　【并得】三又　　　　　二百四十之四百一十二归整四又【二百四十之一百七十二】约为六十之四十三

　　右系大分母不同故尽通为小分而并之

　　以上大分小分法为通分并子之又一类

　　凡通分并法以通分减法还原【互见后除】

　　通分子母减法

　　通分减法亦有三类曰母同者曰母不同者曰大分小分者而其减之之法有五曰径减法曰变分母法曰互乘法曰子乘母除法曰通母纳子法【并之与减犹乘之与除可以互相还原相反而适相成也故所用之法皆同】径减法【数在三宗以上而母同者并用此法】

　　凡分母同者径以相减不足减者以分母通整数减之假如有纻丝一疋零【五分疋之三】用过五分疋之三问仍存若干答曰五分疋之四

　　原一　五之二　　【此以之三减之二则减数反大于原数不足减以借法作】减　　五之三　　【防于疋位借原数一疋通作五分并之二共成五之七内】存○　五之四　　【减去五之三仍存五之四合问】以上分母同者径以对减为通分减法之一类

　　变分母法

　　凡分母有可以比例言者以比例同之可省互乘假如有数六之三又有数四之三其较若干

　　答曰四之一

　　较　　　　四　之一

　　假如有整数一零八之三减去四之三该存若干答曰八之五

　　整数一　八　【之　通三　为】八　之【十一】

　　减数　　四　【之三】　变八　之六

　　存数　　　　　　八　之五

　　互乘法

　　凡分母不同者先互乘以同其母以母互乗其子而减之假如有两数甲五之三乙七之四不知谁多

　　【法以两分母五七相乘得三十五为共母又互乘其

　　子变甲数为三十五之二十一变乙数为三十五之

　　二十以相减则乙不及甲者其较为三十五分之一】

　　甲多　　三十五之　　一

　　凡分母同者视其子为大小【子数大者即大小者即小】若子同而母不同者反是【母数大者子数反小】亦以互乘见之如后图

　　【甲六之四乙五之四】互得三十【之二十　丙四之三之卄四　丁五之三】互得二十之【十五十二】

　　乙多　　　三十分之四　丙多　　　　二十分之三右二则以分相较而辨其多寡即古课分之法也

　　凡三母内有两母相乘与余一母同者只用一互乘即可相减假如有甲数二又【三十五之十一】乙得甲【七之六】丙得甲【五之四】余为丁数该若干

　　答曰丁得甲三十五之二十三

　　【先以分母通整数为分而纳入分子

　　次以减数分母相乘为共母又互乘

　　其子而并之是为三十五之五十八】

　　丁存　　　　　　三十五之卄三　【以减甲数仍余三十五之卄三合问】子乘母除法

　　凡分母有可以相除者以分母除其分母得数转以乘子而减之其余数仍以分母除之即得约分之数若原系两分母互乘而并者用此法可知原母【数在三宗以上而母不同者并用此法可代维乘】

　　假如有沉香一石零【二十八分石之九】用去七分石之四该余若干

　　存　　卄八　之　　二十一　约为四之三【法以分母通共数一为二十八并子之九共三十七变共数为二十八之三十七　又以减分母七除共数之分母二十八得存数原母四以乘减分子四得十六变减数为二十八之十六两相减得所存数为二十一于是仍以减分母七除之得存数原子三变存数为四之三】

　　【论曰此亦变分母法也其数与互乘所得无异但用互乘则数益烦故用子乘母除之法变七之四为二十八之十六母既相同即可以相减矣若互用异乘同除则成三率之比例如后图】

　　一率【分母七】　法以子之四乘所变分母二十八得一百二率【分子四】　十二为实分母七为法除之得所变分子三率【分母卄八】　为十六其比例为七与四若二十八与十四率【分子十六】　六也

　　又论曰存数不用约分法而竟以分母七除何也曰约分之法以对减而得纽数今分母七既可以除其母二十八又可以除其子二十一即纽数也又何事于对减之烦乎况用之互乘还原尤为亲切盖互乘之共母既以原母相乘而得即无不可以原母除之而尽也

　　假如有整数一又【九十之七十二】甲得六【之四】乙得三【之一】余为丙数该若干

　　答曰丙得五之四

　　丙存　　五　之四　　　九十　之七十二法曰【先以分母通整一为九十并分子七十二是为九十之一百六十二　次以甲分母六除原母九十得十五以甲分子四乘之得六十为甲数　又以乙分母三除原母九十得三十以乙分子一乘之仍三十为乙数合甲乙两数得九十以减原数一百六十二仍余七十二为丙数以法约之为五之四　约分法详后条】约分防法　置丙存数【九十之七十二】为实以甲乙分母【六三】相乘得

　　数【十八】为法除之得五之四为丙存数【以十八除九十得五十八除七十二得四约分本法用子数七十二减母数九十得十八以转减子数得五十四再递减之亦余十八是为纽数乃用为法以除子母数得约分五之四今改用甲乙两母相乘亦得十八为法何也以原数九十可以六除亦可以三除知其为三数维乘而得者也故于还原最切】

　　论曰此有分母三宜用维乘然其数益繁故改用子乘母除之法则三母齐同可用相减而法与数俱简矣

　　试先减乙丙数则所存者即甲数【法同上】

　　甲存　【约为】六　之四　　即九十　之六十

　　若先减甲丙数则所存者必乙数其法并同兹不悉具按如此互求即知无误可无假他法还原矣

　　假如有数五百○四之四百○一甲得【八之一】乙得【六之一】丙得【七之一】丁得【九之一】余者为戊数该若干　答曰戊得四之一

　　原数　五百○四　　　　　　　　　　之四百○　一

　　甲减　八　之一　　　　　　　　　　　　　六十三

　　乙减　六　之一　以各减母除原母得　　　　八十四

　　丙减　七　之一　　　　　　　　　　　　　七十二

　　丁减　九　之一　　　　　　　　　　　　　五十六

　　共减　　　　　　　　　　　　　　　　二百七十五

　　戊存　五百○四　　　　　　　　　　之一百二十六约为　四　之一【以所存之数除原母即得】

　　解曰此因分子俱系之一故即以除数为得数也以上分母不同者为通分减法之又一类

　　大分小分减法

　　凡大小分母并同者【谓原数之大小分母与减数之大小分母也下仿此】竟以对减不足减者借整数以分母通为分【小分不足减亦以小分之母通大分为小分　其借上位皆作防志之】若大分母本同而小分母不同者用互乘以同之余如上法若大小分母俱不同者用通分法尽通大分为小分而纳小分焉余如上法

　　假如西厯得某月平朔三十日○一时一十六分其实距时七时四十分为减号问实朔在某甲子某时刻

　　答曰壬辰日酉初二刻○六分【以二十九日命为壬辰日以十七时命为酉初其小余三十六分以三十分收为二刻尚余六分命为壬辰日酉初二刻○六分】

　　日　时　分【时为大分大分以二十四为母时下为小分小分之母六十】

　　平朔三□○□一□【先减小分四十原数只十六不足减作直号于大分位借一分通为小分实距时】　　七四□　【六十并原小分共七十六减四十余三十六　次减大分七原数一已借】实朔二□一□三□【去亦借整一通为二十四减七余十七　原数三十因借减一余二十九】凡大小分母不同者【谓大分之母与小分之母不同也】须作防以别之故借整化零之防改为直号

　　右系大小分母并同故竟以对减

　　假如有整数一又【九之四】又小分【四十之七】甲得九【之四】又小分五【之四】余为乙数该若干

　　答曰乙得九之八又八之三

　　乃重列之【小分既同即可相减】

　　乙存　　九　之八　二百之七十五　约为八之三法曰【先减小分减数大原数小不足减乃作直号于大分位借一分通为小分纳原数共二百三十五减一百六十余七十五　次减大分原数四因借减一变三亦借整数一通为九共十二减四余八整数借减尽】

　　试先减乙【用变分母法以代互乘余并同上】

　　原数一　九　之□又　　　　　四十　之七减乙　　九　之八又八　之三变四十　之一十五存甲　　九　之四又五　之四即四十　之三十二解曰【四十与八是五倍比例故以乙小分八之三母子各五倍之即变为四十之一十五则两母齐同可以对减矣】右系大分母同而小分母不同故用互乘以同之

　　假如甲丙两坵田共四亩又六十分亩之四十三甲坵二亩又四分亩之三又小分五之一余为丙坵该若干

　　答曰一亩又十二分亩之十一【即六十之五十五母子各五约之为十二之十一】法先以甲小分母五通大分四之三为二十之十五加入原小分一共二十之十六乃列而减之【如此则大分小分合而为一与原数无小分者类矣】

　　存丙一又　　　　　　　　六十　之五十五用变分母法以甲子母各加三倍变二十之十六为六十之四十八以减原数四十三不及减乃作直号于整数位借一数通为六十分纳原数共一百○三减甲数四十八余五十五次减整数整数四因借减一成三减甲二仍余一是为整数一又六十之五十五即丙存数也

　　右系大分母不同故通为小分而减之

　　以上大分小分法为通分减法之又一类通分子母乘法

　　假如有田三十六亩六分毎亩征银三分钱之二问该银若干答曰二两四钱四分

　　法以分子之二乘田三十六亩六分得

　　七十三分二以分母三收之得二两四

　　钱四分合问

　　何以知其为七十三分也曰原问毎亩

　　徴银三分钱之二分故于右行实数内

　　寻毎亩之位为定位之根以横对左行

　　得数即命为分则上下俱定矣

　　假如有银六十四两毎两买铜八斤十二两该铜若干答曰五百六十斤

　　先以斤法【十六】收十二两为斤下之七分

　　五厘加八斤共八七五为法以乘银六

　　十四两得五六○○○即于右行实数

　　内寻毎两位以横对左行得数命法尾

　　厘推而上之定为五百六十斤

　　假如有米五石【又三分石之二】毎石价银九分两之八该银若干答曰五两又二十七分两之一

　　法以分母三通五石为十五分纳子二

　　共十七分以价之八乘之得一百三十

　　六又以两分母【三九】相乘得二十七收之

　　合问

　　通分子母除法

　　假如毎田一亩徴银三分钱之二今完编银二两四钱四分该田若干

　　答曰三十六亩六分

　　法以分母【三】通二两四钱四分为七十

　　三分二为实以分子之二为法除之即

　　得三十六亩六分合问【原所设三分之二以钱为主故

　　四分所通为小分】

　　假如有米五石又三分石之二共价银五两又二十七分两之一问毎石该价若干

　　答曰九分两之八

　　法先以米分母【三】通五石为十五分纳子二共十七分为法又以价分母【卄七】通五两为一百三十五纳子一共一百三十六分为实法除实得八为毎石三分一之价以分母三乘之得二十四分为毎石价命为二十七分两之二十四约为九之八

　　又防法【以米分母三除银分母二十七得九为毎石价之母即以除出之数为子即九之八】

　　假如有丝一斤又六分斤之四共价一两又四十二分两之二十问毎斤价若干　答曰七分两之六又十之二法先通丝一斤为六分纳子四共一十为法又通银一两为四十二分纳子二十共六十二退一位【即一十除也】命为单六又小分二即毎斤六分一之丝价也于是以分母六乘之得三十六又小分十二为毎斤价是为四十二分两之三十六又小分十二也子母并六约之为七分两之六又小分十之二防法【以丝分母六除价分母四十二得七为毎斤丝价之母即命为七分两之六又十之七】通分子母三率法【即异乘同除】

　　假如西厯太阳毎日平行【五十九分零八秒二十微】今有二刻半该行若干分答曰一分三十二秒卄四微【又九十六分微之卄六】

　　法【先通五十九分为三千五百四十秒加原帯八秒共三千五百四十八秒又通为二十一万二千八百八十微加原二十微共二十一万二千九百微在位以二刻半乘之得五十三万二千二百五十微为实以一日化九十六刻为法除之得五千五百四十四微不尽除满三千六百微收为一分又一千九百二十微收为三十二秒仍余二十四微　不尽者以法命之是为一分三十二秒二十四微又九十六分微之二十六】

　　论曰此小数法也何则二十一万二千九百者是每日九十六刻之数今以二刻半乘之于刻下多一位故截去得数尾一位命为百

　　假如以粟易布毎粟六分石之二易布五分疋之三今有粟一石又三分石之二该布若干　答曰三疋

　　一　粟六分石之二【母子各减一倍】变为三之一

　　四　布五分疋之【十五】　　　收为整三疋【两粟母同为三省不用只以布分母收之】用变分母法变一率六之二为三之一则两粟母相同可省互乘而子变为之一又可省除只以三率一石用分母通为三纳子二共五以乘二率布分子之三得十五再以布分母五收之即得三疋合问

　　假如以银换金毎银二两又三分两之二换金九分两之二今有银六分两之四该金若干

　　答曰十八分两之一

　　四　金【十八】分两之一

　　法以一率分母【三】互乘三率六之四为十八之十二与二率之二相乘得二十四为实又用一率分母三通二两为六分纳子二共八是为三之八复以三率分母【六】互乘之为十八之四十八以乘金母【九】得四百三十二为法法大实小以法命之为四百三十二之二十四母子各二十四约之即十八分两之一合问

　　若用变分母法则如后式

　　一　银二两【又三之二】　　通为三之八乘得【七十二】为法【以金母九乘之八也】

　　四　金【七十二分】两之四　约为【十八】之一【子母各四约之】

　　解曰十八分两之一即五分五牦五五不尽畸零分子母乘法

　　假如以八之五乗四之三该若干

　　答曰三十二之十五

　　法以母乘母得三十二子乘子得十五即三

　　十二之十五为乗得数也

　　又法以除代乗则倒位互除之

　　法以五除四得八为母数以八除三得三七

　　五为子数是为八之三七五与乗得之数同

　　解曰四除三十二得八四除十五得三七五若四因八得三十二四因三七五亦得十五

　　用法

　　假如谷一石价二十七分两之十六今有谷四分石之三价若干

　　答曰九分两之四

　　一　谷一石

　　四　价九分两之四【因首率是一故省除即以九之四为得数】

　　解曰二十七分两之十六即五钱九分二牦六毫弱也谷四分石之三即七斗五升也价九分两之四即四钱四分四四不尽也

　　若用倒位除以代乘则径得九之四

　　法用母四除十六得四为子用子三除二

　　十七得九为母是为九之四也

　　畸零分子母除法

　　假如以五之四除四之三该若干

　　答曰八之七五

　　法以母除母得八子除子得七五是为八之

　　七半即除得数也

　　又法以乘代除则倒位互乗之

　　法以母五乘子三得【十五】为子以子四乗母四

　　得【十六】为母是十六之十五与除得之数同

　　解曰十六即八之倍数十五即七五之倍数故其数同用法

　　假如以绢易縀绢五分丈之四换縀七分丈之四问绢毎丈该縀若干

　　答曰该换縀七分丈之五

　　一　绢五分丈之四　法以母除母得一四子除子得一○是二　縀七分丈之四　为一十四之一十子母各半之为七分

　　三　绢一丈　　　　之五【三率是一省乘即用縀七之四为实】

　　四　縀七分丈之五

　　解曰五分丈之四者八尺也七分丈之四者五尺七寸一分强也七分丈之五者七尺一寸四分强也

　　若用倒位乘以代除所得亦同

　　法用子四乘母七得卄八为母用母互乘子

　　四得卄为子子母各取四之一即七之五也

　　论曰同文筭指有畸零乘除之法甚为简妙然莫适所用今以三率列之则实数可稽而用法亦明矣

　　畸零乘除定位

　　凡乘法得数必大于原问之数若畸零乗则其数反降凡除法得数必降若畸零除则其数反陞盖即异乘同除之理诸家术皆未经说破故定位多讹兹以三率明之如左假如换珠每珠一两值银二十四两今有珠三分五厘该若干答曰八钱四分

　　此首率是单两

　　而三率有分厘

　　是单下有三位

　　零也故截去得

　　数尾三位命法

　　尾两两位空定所得为八钱四分

　　论曰此即以乘出之数为四率者以首率是单一两故省除耳试即以三率实尾位厘为单而定所得为八百四十两为实亦陞首率单两为千厘为法除实【即以实数降三位】亦仍得八钱四分合问【此条已详二巻乘法中兹以三率列之于定位之理益明】

　　又论曰乘除之难在于定位而畸零为尤难所以者何凡定位以单数为根而畸零无单位可言故也前于乘法中立本数大数小数三法以寻每位可以御畸零矣于除法犹未有以处也今皆归之三率惟视三率中所有之数即命为单数【如金银之类本以两为单今视三率中有分即以分为单而两则为其百数又如米谷之类本以石为单今三率中有斗即以斗为单而石则为其十数他仿此】则虽畸零皆可作整数筭无论乗除一以贯之矣【是为以零变整而乗除之后得数无异此所以别于通分化整为零之法也】

　　假如有珠三分五厘价银八钱四分问每两珠价若干答曰二十四两

　　【此一率首位是分即以分为单数以二率

　　陞两位作八十四两为实以法三分五厘

　　对实分位列之除毕于法上一位命

　　为单分推而上之定得数为二十四两合

　　问】

　　解曰二率陞二位为实者即百分乘也分原在单两下二位今既陞为单则单两亦陞二位成百分也

　　假如银二钱四分买稻九十六斤毎两该若干

　　答曰四百斤

　　【此以钱为单数则三率单两成十钱而二率亦陞一

　　位成九百六十○斤为实于是以法二钱对实○位

　　列之以单钱对单斤也除毕于法上一位命为单

　　斤即得数为四百斤合问】

　　假如以豆换油豆四斗八升换油十二斤今豆十石该油若干答曰二百五十斤

　　【此以斗为单数则三

　　率十石成百斗故二率亦陞两位作一千

　　二百斤为实以法四斗对实○斤位列之

　　亦以单斗对单斤也余亦同】

　　假如芝麻六斗四升四合换豆一石今芝麻四石八斗三升该豆若干

　　答曰七石五斗

　　若以斗为单则命实为四十八石三斗【以二率十斗乘之也】而以法首六斗对实三斗列之除毕于法上位定为斗亦得七石五斗或以升为单以合为单得数亦无不同也【以升为单法上即命为升以合为单法上即命为合】

　　假如钱六百五十文价四钱八分七厘半每千该价若干

　　【此问毎千钱价是以千为单也今法首只有百

　　即以百为单而陞单千为十百则二率亦陞一

　　位作四两八钱七分五厘为实四两列之以单

　　百对单两也除毕于法上位命为单两两位空

　　定得数为七钱五分】

　　歴筭全书卷三十七

　　钦定四库全书

　　厯算全书巻三十八

　　宣城梅文鼎撰

　　笔算巻五

　　开平方法

　　测量句股全恃开方开方有平有立而平之用博以其有实无法故别为一术以佐乘除之所穷

　　平方者面羃也其形正方故亦为自乘之积开平方者以自乘之积求正方之邉故西法谓之测面其邉谓之方根法先列实　依除法作两直线以所用方积列于右直线之右自上而下至单位止无单作○

　　次作防定位　自单位作一防起毎隔一位防之有一防则商一位【如有二防则商数有十有三防则商数有百】

　　次定初商　皆自原实最上一防截定为初商之实【如防在首位即以一位为初商实防在次位即合两位为初商实】以自乘数约而商之皆以防处为本位防上一位为进位【本位者单数也如一商一四商二九商三其自乘皆本位不论百与万以上皆作单数用进位者十数也如一六商四二五商五以至八一商九其自乘皆有进位不论千与万以上上皆作十数用】

　　又法　以初商实入表皆视初商实有与表同数或稍大于表数者用之以命初商【如一商一四商二此与表数相同也如二三亦商一五六七八皆商二此比表数稍大也若至九则商三又为相同之数矣十至十五皆商三皆比表数稍大至十六商四又为相同之数他皆仿此】初商表【凡初商三以下减积在本位四以上减积合两位此表明之】

　　用表防法【但视初商实不满表上自乘积者退一格即商数如不满○四即商一不满○九即商二他仿此】既得商数即书于左直线之右皆对初防之进位书之【凡商得一二三四书于防之上一位】五以上又进一位【凡商得五六七八九书于防之上两位】次减实　以初商数自乘书于左直线之左皆以本位对初防【如初商一二三自乘一四九皆本位即对初防书之如初商四五六七八九其自乘皆有进位则以下一字对初防】就以此命为减数以对减右直线所列方积如减积不尽则有次商次商之法　倍初商得数为次商亷法对原实位书于右直线之左【视实冇二防则初商是十有三防初商是百四防初商是千各取倍数对原列方积千百十零之位书之倍而言十者亦进位对之】截原实第二防为次商之实【次商减积至此防止】以廉法约实为次商数【并依除法约之】挨书于初商之下即用次商数为隅法亦书于廉法之下为次商廉隅共法【省曰次商法】以与次商数相乘书其数于左直线之左【皆以法首位所乘之进位对次商数书之若言如之数亦以○位对之法有几位徧乘而挨书之　至次防止　又法先以法尾位隅法乘次商数以本位对次防书之进位上一字书之依乘法例自下而上法有几位皆徧乘而迭进书之至次商数止亦同】命为次商减积数以对减右直线余积而定次商【皆减积至次防止】如减数大于余积则改次商【亦改隅法】如上乘减及减而止次商减积不尽则有三商

　　三商之法　合初商次商数倍之为廉法【简法只以隅法加倍増入次商法内即三商廉法】截原实第三防为三商之实【三商减积至三防而止】余并同次商如减积不尽则有四商

　　四商以上并同三商法

　　审○位之法　若次商廉法大于苐二防以上余积或数适相同是商得○位也【凡商得一数者其减积必与廉法同而多一数以为隅故仅同者无隅积也即不能商一数而成○位】则书○于初商之下以当次商亦增○于亷法之下为三商亷法三商以上有○并同【若应商几位而于初商或次商即已减积至尽是末几位皆商得○也俱补作○】命分之法　若已商得单数而仍有余积当以法命之【以商得方根倍之加隅一为分母不尽之数为分子命为几分之几】虽未商得单数而余积甚少不能成单一数亦以法命之【前审○位云亷法大于余积者但取第二防以上相较不论千百十零其所谓不能商一数者或是一千或是一百不拘定是单一也故商○之后仍有所商与此不同】

　　还原法以商得方根自之有不尽者以不尽之数加入之即得原实又简法作直线于左方以应减之积依并法并之必合原实有不尽数亦加入之并同除法还原

　　初商本位式【凡初商一二三者减积言如在本位　初商一二三四者书商数于防之上一位然以书商数之位言之亦本位也两本位法此一式中皆可明之】

　　假如有方田积二百五十六步问每面方若干

　　答曰每面方十六步

　　列实【作两直线列方积于右直线之右】作防定位【自单位起毎隔一位作一防共两防宜商两次　初商是十】

　　初商【防在实首位即以实首位○二为初商实以自乘数约之得一为初商初商是一宜对防上一位书于左直线之右有两防初商是一十自乘一百为减数书左线之左遥对右行初防○二百书之就以对减初商实于二百内减一百仍余余一百改书之初商减积未尽有次商】

　　次商【倍初商一十作二十对原列方积十步位书于右线之左为亷法　以第二防余实一五六为次商实用亷法约实可商七步因无隅积只约六步为次商以书于初商之下即用六步为隅法以书于亷法之下合亷隅共二十六步为次商法以乘次商六步得亷积一百二十步隅积三十六步皆对次商位书起每挨一位书之至次防止共得次商减数一百五十六以对减余实恰尽】共开得平方根一十六步合问

　　甲乙丙丁四形合为正方形【四面皆一十六步】甲分形正方【四而皆十步积一百步即初商积】丙丁二分形皆长方【广六步长十步积六十步两形共积

　　一百二十步即次商廉积】

　　乙小分形亦正方【面皆六步积三十六步即次商隅积】自乘还原法置方一十六步为实即以

　　十六步为法乘之得二百五十六步合

　　原数

　　初商进位式【凡初商四五六七八九减积言十在进位初商五六七八九书商数于防之上两位凡书商数以防上一位为本位则此其进位也两进位法此一式中皆有之】

　　假如方积三十五万八千八百零一尺问方若干答曰方五百九十九步

　　列位【同前】

　　作防定位【有三防宜商三次初商是百】

　　初商【防在实次位即合两位三五为初商实入表表中有小于三五者是二五其方根五即以五为初商数对实初防上两位书左直线之右又即以表中自乘数二五遥对实三五书于左直线之左就以对减初商实余一○改书之以待次商】

　　次商【倍初商五百作一千○百对实千百位书于右直线之左为亷法　以第二防上余实一○八八为次商实用亷法约之得九为次商续书于初商之下即以次商九为隅法书亷法之下合亷隅共一○九为次商法以乘次商九得亷积九隅积八一对次商位书起至次防止共得减数九万八千一百以减次商实余一○七改书之以待三商】三商【以次商隅法九十倍作一百八十于次商法一千之下抹去○九改书一八共一一入为亷法　以第三防上余积一○七○一为三商实用亷法约之得九为三商续书于次商下即以三商九为隅法书于亷法之下合亷隅共一一八九为三商法以乘三商九步得亷积一万○六百二十隅积八十一对三商位书起至第三防止共得减数一万○七百○一以对减三商实恰尽】凡开得方根五百九十九尺

　　初商甲【方五百尺积二十五万尺】次商【丁戊】二亷【各长五百尺濶九十尺共积九万尺】隅乙【方九十尺积八千一百尺】

　　三商【已庚】二亷【各长五百九十尺濶九尺共积一万○六

　　百二十尺】隅丙【方九尺积八十一尺】七形合成正方共积【三十五万八千八百○一○】

　　商○位式

　　假如方积八十二万六千二百八十一尺问方若干答曰九百○九尺

　　列位

　　作防定位【并同前条】

　　初商【防在次位合两位八二为初商实表入表得八一小于八二其方根九即为初商在五以上对初防上两位书之亦以表数八一对实八二书于左线之左以减初商实余○一改书之以待次商】

　　次商【倍初商九百作一千八百对原实位书之为亷法以第三防上余实○一六二为次商实以亷法约之法大实小不能商一数是商得○位也纪○于初商之下即于实首位销去一○余俟三商】

　　三商【因次商是○增○于廉法之下共一八○为亷法以第三防上余实一六二八一为三商实用亷法约实得九尺为三商书于次商○之下即以九为隅法书于亷法之下共亷隅法一八○九以乘三商九得亷积一万六千二百隅积八十一减三商实恰尽】凡开得方根九百○九尺

　　计开

　　初商方九百尺　积八十一万尺

　　续商亷【各濶九尺长九百尺】共积【一万六千二百尺】　隅方九尺积【八十一尺】通共八十二万六千二百八十一尺

　　假如方积二十五亿○七百○○万四千九百尺问方若干答曰五万○七十尺

　　列位【原积尾位是百补作两○列之】作定位【有五防当商五次　初商是万】

　　初商【以实首两位二五为初商实入表得五为初商书于防上两位次以自乘数对实列之相减尽】次商【倍初商五万尺得一十○万为亷法对原实位书之以第二防上余实○○○七为次商实实有三○无可商是次商○也书○于初商五之下亦于实首销去一○以待三商】

　　三商【因次商○增○于亷法下得一○○为亷法　以第三防上余实○○七○○为三商实实仍有两○位是三商亦○也又书○于次商○之下于实首复销去一○以待四商】

　　四商【因三商亦○又增○于亷法之下得一○○○为亷法以第四防上○七○○四九为四商实用亷法约之得七十尺书于三商○之下即以七为隅法增于亷法下共亷隅法一○○○七以乘四商七得亷积七百万隅积四千九百以对减四商实恰尽】

　　五商【五防宜有五商而四商已减实尽无可商作○于四商】

　　凡开得方根五万○○七十○尺

　　命分式

　　假如方积五百七十六万四千八百尺问方根若干答曰二千四百尺【又四千八百○一分尺之四千八百】

　　列位【实尽于百位如前法补作两圏列之】作防定位【有四防宜商四次初商是千】

　　初商【以实首○五为初商实入表得二为初商以自乘数○四减实○五改书余一以待次商】次商【倍初商二千得四千为亷法　以第二防上余实一七六为次商实用廉法约之得四为次商即以为隅法书廉法下共亷隅法四四以乘次商四得亷积一百六十万隅积一十六万共减积一百七十六万次商实减尽】

　　三商【倍次商隅法四作八增入次商法共四八为三商亷法以第三防上余实○○四八为三商实有两○无可商作○于三商位消去实首一○以待四商】

　　四商【三商○亦增○于亷法下共四八○为亷法以第四防上余实○四八○○为四商实仅与亷法相同是无隅积也不能商一数作○于四商位其不尽之数以法命之法以亷法四千八百○加隅一共四千八百○一为命分之母以不尽之数四千八百为分子命为四千八百○一分尺之四千八百即一尺弱也】

　　共开得平方二千四百尺又四千八百○一之四千八百

　　此虽未开至单尺之位而余实甚少不能成一单尺故即以法命之若余实是四千八百○一尺则商得平方二千四百○一尺矣今止四千八百尺是少一尺故不能成一单尺也

　　开方分秒【凡开方欲知分秒法于余实下毎増两○位则多开一位为分秒之数　平方之积尺有百寸寸有百分皆以百为母故增两○】

　　假如有平方积二十四尺平方开之得方四尺不尽八尺问分秒若干　答曰方四尺零八寸九分八厘九毫有竒

　　如常列位作防防在次位即以

　　二四两位合商得方四尺减其

　　自乘一十六尺余八尺用命分

　　法以商四尺倍作八尺又加隅

　　一得九为命分母不尽为分子

　　命为方四尺又九分尺之八

　　今欲知其寸【九分尺之八者是以尺作九分而今有其八言毎方四尺之外仍此畸零是其中有寸】法于余实下加两○化八尺为八百寸【毎尺纵横十寸故其积百寸】用为次商实以初商四尺倍之得八尺亦化八十寸【商数是毎邉之数故尺只十寸】对余实十寸位书之【即第一○位】为亷法用廉法约实可商九寸因恐无隅积只商八寸书于初商四尺之下亦即以次商八寸为隅法书于廉法八十寸之下共亷隅八十八寸以乘次商八寸得亷积六百四十寸隅积六十四寸共亷隅积七百○四寸自次商位书起至第二○位止以对减余实仍余九十六寸命为竒数

　　凡商得毎方四尺八寸有奇

　　再求其分

　　法于实下又加两○以余九十六寸化九千六百分【解见上】为三商实　商数四尺八寸亦化四百八十分倍之为九百六十分移对余实百分十分之位书之为亷法以亷法约实商得九分为三商书次商之下亦即以三商九分为隅法书于亷法九百六十分之下共亷隅九百六十九分以乘三商九分得亷积八千六百四十分隅积八十一分共积八千七百二十一分自三商位书起至第四○位止以对减余实仍余八百七十九分命为竒数

　　凡商得每方四尺八寸九分有竒

　　再求其厘

　　法于余实下又加两○以余八百七十九分化八万七千九百厘为四商实　次倍商数四尺八寸九分作九尺七寸八分化为九千七百八十厘移对余实依千百十之位书之为亷法　用亷法约实得八厘为四商书于三商之下即以四商八为隅法增于亷法末共亷隅法九千七百八十八厘以乘四商八厘得亷积七万八千二百四十厘隅积六十四厘自四商位书起至第六○位止以减余实仍余九千五百九十六厘

　　凡商得每方四尺八寸九分八厘有竒

　　再求其毫

　　如法于余实下又加两○化余实为九十五万九千六百毫为五商实　次倍商数四八九八作九尺七寸九分六厘化为九万七千九百六十毫为亷法移对余实万千百十之位书之用亷法约实得九毫为五商书四商下亦即以五商九为隅法增入亷法下共亷隅九万七千九百六十九毫以乘五商九毫得亷积八十八万一千六百四十毫隅积八十一毫对五商位书起至第八○位止以减余实仍余七万七千八百七十九毫

　　凡商得方四尺八寸九分八厘九毫又九万七千九百七十九之七万七千八百七十九即竒数也

　　右单数下已开四位【尺为单位析为寸分厘毫凡四位】其不尽者是不满一毫之数于单数为十万分之一【如欲再求忽微亦如上法】

　　开方纵【纵者长方形也以方为濶加纵数为长其法与方无异但须以商得数乘纵数为纵积并入方积以减原积不及减者改商之其次商亦倍初商加纵为亷法但倍方而不倍纵　三商以上并同】

　　假如有长田积六百二十四步濶不及长二步问长濶各若干答曰长二十六步濶二十四步

　　列位【以实列右线之右　以纵二步列右线之左对实步位列之】

　　如常作防定位

　　初商【以○六为初商实商得二十步自乘应减方积四百步又以商数乘纵二步得纵积四十步如法列之以减原实仍余一百八十四步】

　　次商【倍初商二十步作四十步加纵二步共四十二歩为亷法以约余实得商四步即以为隅法合亷隅纵共四十六用乘次商四得亷积一百六十步隅积十六步纵积八步共减积一百八十四步恰尽】命为濶二十四步　　加纵二步为长二十六步

　　合问

　　以图明之

　　甲为初商方形【长濶各二十步积四十步】已初商纵形【濶二步　长亦二十步积四十步】戊丙并次商廉【长各二十步　濶四步　积八十步】乙次商隅【方四步　积一十六步】丁次商纵亷【长四步　濶二步　积八步

　　以上五者合之为一长方形共长二十六步　濶二十四步

　　积六百二十四步合原数】

　　若纵数有比例可求者先以比例分其积平方开之得濶因以知长

　　假如有直田积四百五十步但云长多濶一倍问长濶若干

　　答曰濶十五步　长三十步

　　法平分其积得二百二十五步平方开之得濶十五步

　　置濶十五步倍之得长三十步合问

　　假如有长田积二百五十二步但云长比濶多四分之三问长若干

　　答曰　濶一十二步长二十一步

　　法以多三分加分母四共七为法以分母四乘积为实法除实得一百四十四步开方得濶一十二步置濶一十二步七因四除之得二十一步为长【长比濶多九步于十二步为四分之三】

　　开立方法

　　平方者方田之属也但取面羃之积立方者方仓之属也必求其内容之积故平方曰面立方曰体有面而后有体有线而后有面故皆以线为根

　　假如长二尺者线数也线有长短而无广狭若以此线横展之长亦二尺濶亦二尺则其积四尺为面面者平方形也面有濶狭而无厚薄又以此面层累而厚之长濶皆二尺高亦二尺则其积八尺为体体者立方形也立方有虚有实如筑方台则实凿方池作方窖则虚然其立方之积数一也

　　法先立位【同平方】　作防【自单位起每隔二位防之以最上一防为初商实】　定位【视有若干防则商几位如有二防则商数有十有五防则商数有百并同平方】

　　初商法　以自乘再乘数约而商之【如一商一八商二二七商三之类】书商数于左线之右【凡商得一数者书于防上一位商得二三四五者书于防上两位商得六七八九者书于防上三位】即以自乘再乘数书于左线之左以对减初商实【初商减积至初防止】

　　次商法　以初商自乘而三之为平亷法【亦曰方法】　以初商三之为长亷法【亦曰亷法】皆对原实千百位书之　截第二防上余实为次商实【次商减积至次防止】以平亷法约实得次商【列初商下】即以次商为隅法列长亷次【亦按千百位列之】乃以次商乘平亷法为平亷积又以次商自乘以乘长亷及隅法为长亷小隅积俱挨书之以减余积不及减者改商

　　三商法　以余实另列之　合初商次商自乘而三之为平亷法　合初商次商三之为长亷法　截第三防上余实为三商实【三商减积至此防止】　亦即以三商为隅法【余并同前】

　　四商以上并同三商

　　命分法　合平亷长亷法再加隅一为命分母不尽之数为命分子【并同平方】

　　还原法　置商数自乘得数再以商数乘之即合原实【有不尽者以不尽之数加入之】

　　初商表【用法与平方表同】

　　假如立方积五千八百三十二尺问方若干

　　答曰方一十八尺

　　列实

　　作防定位【有两防初商是十】

　　初商【以五千为初商实约商一十自乘再乘得一千为应减积减原实余四千】

　　次商【以初商自乘而三之得三百为平亷法　又以初商三之得三十为长亷法　以平亷法约第二防上余实得八尺为次商即以为隅法并如法列之乃以次商乘平亷法得二千四百为平亷积又以次商自乘得六十四以乘长亷及隅法得长廉一千九百二十隅积五百一十二共减积四千八百三十二恰尽】

　　以图明之

　　甲为初商方形【长濶皆十尺积一千尺】乙为次商平亷凡三以辅于

　　方之三面【长濶皆十尺厚八尺积八百尺共积

　　二千四百尺】

　　丙为次商长亷亦三以辅三

　　平亷之隙【长十尺濶与厚皆八尺积六百四十

　　尺共积一千九百二十尺】

　　丁为次商隅如小立方以补三长亷之隙【长濶高皆八尺积五百一十二尺】

　　假如立方积二千二百五十九亿七千七百八十一万一千五百七十尺问方根若干答曰方六千零九十尺【又一亿一千一百二十八万二千五百七十一之一亿一千一百二十八万二千五百七十】

　　列实【实尾无单位补作○】作防定位【有四防初

　　商是】

　　千

　　初商【合实三位约之商六千对初防上三位列之以六千自乘再乘得减积二千一百六十亿其余积改书以待次商】

　　次商【日乘初商而三之得一亿○八百万为平亷法以初商三之得一万八千为长亷法各对原实位列之　以第二防上余实为次商实实首有两○无可商是次商○也作○于初商之下即于实首消去两○余俟三商】

　　三商【次商○即以次商法为三商法　以第三防上余实为三商实以平亷法约之商九十尺即以为隅法对实十位列之乃以九十乘平亷法得平亷积九十七亿二千万又以九十自乘得八千一百以乘长亷及隅法得长亷积一亿四千五百八十万隅积七十二万九千共减积九十八亿六千六百五十二万九千】

　　四商【以第四防上余实另列之　合三次商数六○九自乘而三之得一亿一千一百二十六万四千三百为平亷

　　法　又以六○九三之得一万八千二百

　　七十为长亷法　以法约实仅与两亷法

　　之数相同无隅积不能成一单数以法命

　　之合平廉长亷数加隅一为命分母余实

　　为命分子】

　　命为立方六千○九十尺又【一亿一千一百二十八万二千五百七十一尺之一亿一千一百二十八万二千五百七十】

　　自乘　　　　　　再乘

　　厯算全书卷三十八

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

　　比例规用法假如原序

　　康熙癸未季弟尔素有比例规用法假如之作又五年丁亥重加挍録示予属为序序曰形而上者不可得而数有数可数即有象可见故算法量法理本相通而尺可为算器也厯书中有书一卷耑明尺算谓之比例规觧比例云者谓以尺中原有之两数求今所问之两数以例相比如古者异乗同除及西人三率之法而有尺以着其象则不烦言説乃作者之意也规云者谓以铜铁为规器两髀翕张用其末鋭分指两尺上同数以得横距而命得数则用尺之法也规本画圆之器于尺为借用故仍其名曰规本觧有作法用法惜无设例罕能用者携李陈献可荩谟补作例祗平分一线而已龙舒方位白中通作数度衍以横尺取数而不用规亦惟平分一线夫平分用止乘除聊足以明异乗同除之理而尺算之善不尽于是若乃平方立方分圆轻重诸术其求法多不以异乗同除为用而数变为线爰生比例即尽归于异乗同除此其所长也又规端取数毫牦可辨而防移进退简快灵妙横距虽无数而取诸本尺其则不逺固胜横尺矣吾弟此书仍其用规本法自平分以下十线一一为之用例以明之原书谬误稍为刋正然后其书可得而用为功于度数之学不小也忆嵗乙夘余始购得厯书抄本于吴门姚氏偶缺是觧至戊午秋介亡友黄俞邰太史虞稷借到皖江刘潜柱先生本抄补之葢逾时而后能通其条贯以是正其讹阙又次年己未始为山隂友人何奕美作尺亦稍以己意増损推广之而未暇为立假如今得尔素是书可以无作矣勿庵兄文鼎序

　　【方尔素撰此书时安溪相国以冢宰开府上谷公子世得钟伦鋭意厯算之学余兄弟及儿以燕下榻芝轩与诸同学晨夕问难甚相得也无何尔素挈儿燕南归相国入参密勿而世得亡儿相继化去余亦大病滨死然犹能偷视息至今日为尔素序此书不可谓非不幸中幸也忆尔素六十时余有句云如稼观登塲如行将百里何以収桑榆无为所生耻今当相与念兹弗替尔勿庵又识】

　　凡例

　　按西士罗雅谷自序谓译书草创润色之増补之必有其时今之释例不嫌小有同异所以相成当亦作书者之所欲得也

　　比例规觧原列十线为十种比例之法今仍之比例既有十种可各为一尺今总归一尺者便携也一尺中列十线则一尺而有十尺之用恐其不清故各线之端书某线以别之

　　各线并从心起数惟立方线初防最大割线亦然又五金线之用近尺末故俱不到心以便他线之书字然其实并从心起算用者详之【尺心即尺端也两尺端聫于枢心成一防故从兹起算】

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷三十九

　　宣城梅文鼎撰

　　目録

　　第一平分线

　　第二平方线【原名分面】

　　第三更面线【原名变面】

　　第四立方线【原名分体】

　　第五更体线【原名变体】

　　第六割圆线

　　第七正线【旧名节气】

　　第八切线【旧名时刻】

　　第九割线【旧名表心】

　　第十五金线【附三线比例】

　　以上十线并如旧式惟平方立方改从古名取其易晓又正改附割圆切线分为时刻取其便用割线去表心之目以正其名免悮用也説见各条之下

　　又按罗序言此器百种技艺无不赖之功倍用防为造玛得玛第嘉之津梁然则彼中借此制器如工师之用矩尺则日晷等制并其恒业乃书中图説反有参错非故为靳秘也良由仿造者众未必深知法意爰致承讹抑或译书时语言不能尽解而强以意通遂多笔误耳今于其似是而非之处彻底厘清以合测量正理起立法之人于九京必当莫逆

　　比例尺式【即度数尺也原名比例规以两尺可开可合有似作圆之器故亦可云规】

　　用薄铜板或厚纸或坚木【黄杨木等】作两长股如图任长一尺上下广如长八之一两股等长等广股首上角为枢以枢心为心从心出各直线以尺大小定线数今折中作五线两股两面共十线可用十种比例之法线行相距之地取足书字而止尺首半规余地以固枢也用时张翕防移

　　比例尺又式

　　前式两股相叠此式两股相并股上两用之际以为心规余地以安枢其一规面与尺面平而空其中其一剡规而入于彼尺之空令宻无罅也枢欲其无偏也两尺并欲其无罅也枢心为心与两尺之合线欲其中绳也张尽令两首相就成一直线可作长尺或以两尺横直相得成一方角可作矩尺

　　规式【此本为画圆之器尺算赖之以取底数葢相湏为用者也】

　　用铜或鐡亦如尺作两股但尺式扁方此可圆也首为枢可张可翕末鋭以便于尺上取数也当其半腰缀一铜条横贯之势曲而长如割圆象限之弧与枢相应得数后用螺钉固之

　　凡算例假如有言取某数为底线者并以规之两鋭于平分线上量而得之其用底线为得数者并以规取两尺上线相等之距于平分线上量而命之故规之两鋭可当横尺数度衍以横尺比量反不如用规之便利而得数且真也

　　第一平分线

　　此线为诸线之根取数贵多尺大可作一千然过宻又恐其不清也故以二百为率

　　分法　如设一直线欲作百分先平分之为二又平分之为四又于每一分内各五分之则已成二十分矣于是用更分法取元分四改为五分【如甲乙丙有丙戊丁三防是元分之四也今复匀作五分加己庚辛壬四防】则元分与次分之较【如壬丙及巳戊】皆元分五之一亦即设线百分之一分凖此为度而周布之即百分以成

　　解曰元分为设线百分为二十分之一即每一分内函五分也今壬丙己戊既皆五分之一则甲壬己乙皆五分之四亦即百分之四也又丙辛庚戊皆三而辛丁丁庚皆二也任用一度参差作防互相攷订即成百分匀度矣【每数至十至百皆作字记之】　或取元分六复五分之亦同何则元分一内函五分则元分四共函二十分故可以五分之若元分六即共函三十分故亦可五分之其理一也

　　用法一　凡设一直线任欲作几分假如四分即以规量设线为度而数两尺之各一百以为乃张尺以就度令设线度为两之底置尺【置尺者置不复动故亦可云定尺下仿此】数两尺之各二十五以为敛规取二十五两防间之底以为度即所求分数【即四分中一分也以此为度而分其线即成四分】　若求极微分如一百之一如上以一百为设线为底置尺次以九十九为取底比设线其较为百之一　若欲设线内取零数如七之三即以七十为设线为底置尺次以三十为敛规取底即设线七之三

　　谨按尺筭上两等边三角形分之即两句股也两句聫为一线而在下直谓之底宜也若两尺上数原系斜改而称腰于义无取今直正其名曰

　　用法二　凡有线求几倍之以十为设线为底置尺如求七倍以七十为取底即元线之七倍若求十四倍则倍得线或先取十倍更取四倍并之

　　用法三　有两直线欲定其比例以大线为尺末之数【尺百即百千即千】置尺敛规取小线度于尺上进退就其两等数如大线为一百小线为三十七即两线之比例若一百与三十七可约者约之【约法以两大数约为两小数其比例不异如一百与三十约为十与三】

　　用法四　有两数求相乗假如以七乗十三先以十防为取十三防为底置尺次检七十之等取其底得九十一为所求乗数【若以十为七为底置尺而检一百三十防之底得数亦同】

　　【论曰乗法与倍法相通故以七乗十三是以十三之数七倍之是七个十三也以十三乗七是以七数十三倍之是十三个七也故得数并同】

　　用法五　有两数求相除假如有数九十一七人分之即以本线七十为取九十一为底置尺次检十防之取底必得十三为所求

　　又法以九十一为用规取七十为底置尺敛规取一十为底进退求其等亦得十三如所求

　　【论曰筭家最重法实今当以七人为法所分九十一数为实乃前法以法数七为实数九十一为底又法反之而所得并同何也曰异乗同除以先有之两率为比例筭今有之两率虽曰三率实四率也徴之于尺则大与大底小与小底两两相比明明四率较若列睂故先有之两率当则今所求者在底是以之比例例底也若先有之率当底则今所求者在是以底之例例也但四率中原缺一率比而得之固不必先审法实殊为简易矣】

　　【然则乗除一法乎曰凡四率中所缺之一率求而得之谓之得数乗则先缺者必大数也故得亦大数除则先缺者必小数也故得亦小数所不同者此耳是故乗除皆有四率得尺筭而其理愈明亦诸家所未发也】

　　假如有银九十六两四人分之法以人数取四十分为底置银数九十六两为定尺敛规取一十分为底进退求其等得二十四两为每人得数

　　又法取银数九十六两为底置一百分为定尺敛规于二十五分等取其底亦得二十四两为每人数

　　又如有数一百二十三欲折取三分之一法以规取三十分为底置一百二十三等数为两定尺敛规取一十数为底进退求其等数为必得四十一命为三分之一如所求

　　用法六　凡所求数大尺所不能具则退位取之假如有数一百二十欲加五倍即退一位取一十二为底以尺之一十防为两定尺取两五十防之底【即五倍】得六十进一位命所得为六百【以一十二当一百二十是一而当十故进位命之也凡用尺筭湏得此通融之法】

　　又法以规取一十数为底于尺之一十二防为两【一十二以当一百二十是一当十也或二十四亦可为一当五】定尺展规取五十数【以当五倍】为底进退求其等数之必得六十进位成六百

　　假如有银十三两每两换钱一千二百文法退二位以规取十二分【当一千二百以尺上一数当一百】为底置一十防【即每两之位】为定尺然后寻一百三十防【即十三两之位】为展规取其底得一百五十六分进二位命之得共钱一十五千六百

　　又如有银四两每两换钱九百六十文法作两次乗先乗六十取六数为底置一十防为定尺展规取四十防之底得二十四次乗九百取九数为底置一十防为定尺展规取四十防之底得三十六进一位并之得三八四末増一○为进位得三千八百四十文

　　【二四三六】　　因每两是九百六十故末位増○

　　【三八四○千百十文】

　　假如有数一百二十欲折取三分之一法以规取六十【折半法也】为底置九十分为定尺然后寻两之三十分防【即三之一】取其底于本线比之必二十命所得为四十【加倍法也先折半故得数加倍】凡所用数在一十防以内近心难用则进位取之如前条所设宜用六数九数为底其防近心取数难清即进位作六十取数用之是进一位也但先进一位者得数后即退一位命其数此可于前假如中详之【用尺时有退位得数后进位命其数用尺时有进位得数后退位命其数其理相通故不另立假如】或先进二位者得数亦退二位或先加倍者得数折半并同一法

　　用法七　　　　　　凡四率法有中两率同数者谓

　　之连比例假如有大数【三十六】小

　　数【二十四】再求一小数与此两数

　　为连比例法以大数为【如辛甲】小数为底【如辛巳】定尺再以辛巳

　　底为【如甲丁】而取其底【如丁戊】其

　　数必【十六】则三十六与念四之比

　　例若念四与十六也【其比例为三分损一】若先有小数【十六】大数【二十四】而求连比例之大数则以小数为底【如丁戊】大数为【如丁甲】定尺再以丁甲为底【如辛巳】取其【如辛甲】其数必三十六则十六与念四若念四与三十六也【其比例为三分増一】他皆仿此【原书有断比例法今按断比例即古法之异乗同除西法谓之三率前各条中用尺取数皆异乗同除之法故不更立例】

　　用法八　　　　　　　凡句股形有句有股有共

　　三件先有两件而求其不知

　　之一件法以尺作正角取之

　　假如有句【八尺】股【十五尺】欲知其

　　法以规量取八十防为底

　　一端指尺上之六十四防一

　　端指又一尺之四十八防以

　　定尺则尺成正角乃于尺上

　　取八十防为句又于一尺上

　　取一百五十防为股张规以就所识句股之两防必一百七十退一位得十七尺如所求【取句股数时原进一位故所得数退一位命之説见前】

　　若先有【十七尺】股【十五尺】求其句则以规取一百七十防为句股之乃以规端指一百五十防以余一端又于一尺上寻所指之防必八十也如上退位得句八尺或先有【十七尺】句【八尺】求其股亦以规取【一百七十】而一端指【八十】寻又一端之所指必得【一百五十】命【一十五尺】为股如所求

　　凡杂三角形内无正角不可以句股

　　算法先作角假如先有一角及角

　　旁之两边求余一边法于平分线

　　【任用一笾如甲乙】取数为底分圆线【六十】度为

　　两定尺以规取所设角之底【为平分线上任用甲乙边等度之底】定尺则尺间角如所设【如乙角】乃于两尺上依所设取角旁两边之数于两尺各作识【如甲乙丙乙】遂用规取斜距之底【如甲丙】即得余一边如所求

　　又法　假如乙甲丙三角

　　形有甲角【五十三度○七分】甲乙

　　边【五十六尺】甲丙边【七十五尺】而求

　　乙丙边法以规取一百分

　　为分圆线上六十度之底敛规取五十三度强之底移于平分线上作百分之底定尺乃于尺上取五十六防【如甲乙】又一尺上取七十五防【如甲丙】乃以规取两防斜距之底于尺上较之即得六十一尺【如乙丙】命为所求邉【分圆线见后】

　　用法十　有小图欲改作大几倍之图用前倍法假如有小图濶一尺二寸今欲展作五倍即取十二为十防之底定尺展规取五十防之底必得六十命为六尺如所求

　　用法十一　平圆形周径相求法于平分线上作两识以一百八十八半弱上为周六十为径各书其号假如有径【七十一】求周法以规取七十一加于径防为底定尺展规取周防之底即得周二百二十三如所求【以周求径反此用之】

　　用法十二　求理分中末线法于线上定三防于九十

　　六定全分五十九又三之一

　　为大分三十六又三之二为

　　小分假如有一直线【一百四十四】欲分中末线即以设线加于

　　全分防为底取其大小分防之底即得【八十九强】为大分【五十五弱】为小分

　　【按平线上既作周径之号若又作此则太繁不如另作一线其上可寄五金线也　又按原书全分七十二大分四十二又三之一小分二十七又三之二大有讹错今改定】

　　以上十二用法姑举其概其实平分线之用不止于是善用者自知之耳

　　第二平方线【旧名分面线凡平方形有积有邉积谓之幂亦谓之面边线亦谓之根即开平方法也】

　　原为一百不平分今按若尺小欲其清则但为五十分亦可假如有积六千四百则以平分线之二十自乗得四百于积为十六倍之一若置二十分于一防为底求十六防之底则得方根八十或置于二防为底则求三十二防之底或置于三防为底则求四十八防之底皆同

　　分法有二　以算一以量

　　以算分

　　算法者自枢心【甲】任定一度命为十分【如甲乙】即平方积一百分之根今求加倍平方二百分之根为十四又念九之四即于甲乙线上加四分强【如丙】命甲丙为倍积之根求三倍则开平方三百分之根得十七又三十五之十一即又于甲乙线上加十分半弱【如丁】即甲丁为三倍积之根求四倍则平方四百之根二十即以甲乙倍之得甲戊为四倍积之根五六七以上并同【按用方根表甚简易】

　　以量分

　　以任取之甲乙度作正方形【如丙乙甲】乃于乙甲横边引长之以当积数丙乙直边引长之作垂线以当根数如求倍

　　积之根即于横

　　线上截丁乙为

　　甲乙之倍次平

　　分甲丁于戊戊为心甲为界作半圈截垂线于巳即己乙为二百分之边求三倍则乙丁三倍于甲乙四倍以上并同又防法　如前作句股形法定两尺间成正方角如甲乃任于尺上取甲乙命为一防而又于一尺取甲丙度与甲乙相等即皆为一百之根次取乙丙底加于甲乙

　　尺上为二百之根甲丁又自丁至丙作

　　斜以加于甲乙尺上为三百之根甲

　　戊又自戊至丙作以加于甲乙尺上

　　为四百之根甲已如此递加即得各方

　　之根其加法俱从尺心起【如求得丙乙即以丙加甲乙加丁成甲丁他皆仿此】

　　试法　甲乙为一正方形之边倍其度即四倍方积之边否即不合三倍得九倍方积之边四倍得十六五倍得二十五又取三倍之边倍之即十二倍之边【四其三也】再加一倍得二十七倍之边【九其三也】再加倍得四十八倍之边【十六其三也】再加倍得七十五倍之边【二十五其三也】若以五倍之边倍之得二十倍之边【四其五也】再加倍得四十五倍之边【九其五也】再加倍得八十倍之边【十六其五也　凡言倍其度者线上度也如正方四百分之边二十分甲乙正方一百分之边十分其大为一倍也言几倍方积者积数也如边二十者积四百即尺上所书】

　　用法一　有平方积求其边【即开平方】法先其设数与某数能相为比例得几倍如法求之假如有平方积一千二百

　　二十五尺欲求其根以约分法求得

　　二十五为设数四十九之一即以规

　　于平分线取五防为平方线上一防

　　之底定尺展规于四十九防取其底

　　即得一边三十五尺为平方根【积二十五方根五加四十九倍为积一千二百二十五方根三十五】　或用四十九为设数【一千二百二十五尺】二十五之一即以规取七防为平方一防之底而取平方二十五防之底亦得方根三十五如所求【积四十九方根七加二十五倍为积一千二百二十五则其方根三十五又法若无比例可求者但以十分为一防之底定尺有假如在用法七】

　　用法二　凡同类之平面形可并为一大形【或方或圆或三角多边等形但形相似即为同类】假如有平面正方四形求作一大正方形与之等积其第一形之幂积为二第二形之积为三第三形之积四有半第四形之积六又四之三法先并其积得【十六叉四之一】乃任取第一小形之边为

　　底二防为定尺【若用第二形之边为底定尺即用三防为】而于十六防又四之一取其底为大形边其面积与四形总数等

　　若但有同类之形而不知面积亦

　　不知边数则先求其积之比例如

　　甲乙丙丁方形四法以小形甲之

　　边为底平方线第一防为定尺

　　次以乙形边为底进退求等数得

　　第二防外又五分之一即命其积

　　为二又五之一【此与小形一之比例不拘丈尺】次

　　丙形边为底求得【二又四之三】丁形边

　　得【四又六之五】并诸数及甲形一得【十又

　　六十分之四十七】约为【五之四弱】向元定尺上

　　寻十防外十一防内之距取其五

　　之四为等数之两【即十一弱】用其底

　　为大方形边其面积与四形并数

　　等

　　【此加形法也圆面及三角等面凡相似之形并可相并其法同上】

　　用法三　平面形求作一同类之他形大于设形几倍

　　【以设形之邉为一防之底定尺】　假如有正方形面

　　积四百其邉二十今求别作一方形

　　其容积大九倍法以设形邉【二十】为平

　　方线一防之底定尺而取平方九防等数之底得【六十】如所求【邉六十其方积三千六百以比设形积为大九倍】

　　用法四　平面形求别作一同类之形为设形几分之几【以设形之邉为命分定尺而于得分取数】　假如有平方形积三千六百其邉六十今求作小形为设形九之四法以设形邉【六十】为平方第九防之底定尺而取第四防之底得【四十】如所求【邉四十其积一千六百以比设形积为九之四也九为命分四为得分】此减积法也圆面三角等俱同一法

　　用法五　有两数求中比例【即三率连比例之第二率】

　　假如有二与八两数求其中比例法先以大数为平方线八防之底而取二防之底得四如所求

　　二与四如四与八皆加倍之比例故四为二与八之中率

　　用法六　有长方形求作正方形　假如长方形横二尺直八尺如上图求得中比例之数为四尺以作正方形之边则其面积与直形等

　　直八尺横二尺　其积一十六尺

　　方形各边并四尺其积亦十六尺

　　用法七　有设积求其方根而不能与他数为比例则以一十数为比例

　　假如平积二百五十五用十数比之为二十五倍半即取十数为平方线一防之底而取二十五防半之底得十六弱为方根【十六自乗积二百五十六今只欠一小数故命之为十六弱】

　　第三更面线

　　【凡平面形方必中矩圆必中规其余各形并等边等角故皆为有法之形而可以相求】

　　分法

　　置公积四三二九六四以开方得正方形之根六五八三边形之根一千五边形之根五○二六边形之根四○八七边形之根三四五八边形之根二九九九边形之根二六○十边形之根二三七十一边形之根二一四十二边形之根一九七圜径七四二以本线为千平分而取各类之数从心至末取各数加本类之号

　　用法一　有平面积求各类之根【凡三角及多边各平面形其边既等故并以形之一边为根圆形则以径为根】法先以设数于平方线上求其正方根以此为度于更面线之正方号为底定尺次于各形之号取底即得所求各形边

　　假如有平面三等边形积二千七百七十一寸欲求其边法以设积于平方线上如法开其平方根【依前卷用法七以设数为十数之二百七十七倍强各降一位命为一数之二十七倍又十之七强乃以一数为平方一防之底定尺而于其二十七防十之七强取底数得五寸二六进一位作五尺二寸半强】以所得方根为更面线正方号之底定尺而取三等边号之底得八尺为三等边形根如所求

　　用法二　有平面形不同类欲相并为一大形法先以各形边为更面线上各本号之底定尺而取其正方号之底作线为所变正方形之边次以所变方边于分面线上求其积数而并之为总积

　　假如有甲【三角】乙【五边】丙三形欲相并先以甲边为三角号之底定尺而取其正方号之底作线于甲形内【如此则甲形已变为正方下同】书其数曰十次以乙边为五边号之底如前取其平方底向平方线求之得二十一半【其法以甲

　　邉为平方十防之底定尺而以乙所变方边进退求等度之命之】即

　　于乙形作方底线书之次以丙圆径

　　为平圆号之底如前求得十六弱并

　　三数得四十七半弱为总积【此因三形之邉

　　无数姑以小形命十数定尺而所得各方积并小形十数之比例】若三形内先知一形之面积即用其

　　所变方邉定尺则所得皆真数如上

　　三形但知丙形之积十六【或十六尺或十六寸】

　　【等】如法以丙形邉变方边于平方线十六防为底定尺余如上法求之亦必得甲为十数乙为二十一半总积四十七半但前条所得是比例之数比例虽同而尺有大小故以此所得为真数也

　　末以总数于原定尺上寻平方线四十七防半处取其底度为平方邉则此大平方形与三形面积等若欲以总积为五邉形则以所得大平方邉为更面线正方号之底定尺而于五邉形之号取其底即所求五边形之一邉【若欲作三角或圆形并同一法】

　　用法三　有平面形欲变为他形如上法以本形邉为本号之底定尺而取所求他形号之底

　　假如有三角形欲改平圆则以所设三角形之邉加于本尺三角形之号为底定尺而取平圆号之底求其数命为平圆径所作平圆必与所设三角形同积

　　用法四　有两平面形不同类欲定其相较之比例如前法各以所设形变为平方

　　假如有六邉形有圆形相较即如法各变为平方求其数平圆数二十六邉数三十六即平员为六邉形三十六之二十以二十减三十六得十六为两形之较

　　第四立方线【旧名分体线　凡平方形如棊局其四邉横直相等而无高与厚之数立方则如方柜有横有直又有髙而皆相等平方之积曰平积亦曰面积亦曰幂积如棊局中之细分方罫立方之积曰体积亦曰立积并如骰子之积累成方】

　　【旧图误以尺枢心甲书于一防上今改正甲乙一亦即一十则其内细数亦不平分旧图作十平分亦误今删去】

　　分法有二一以算一以量

　　以算分　从尺心甲任定一防为乙则甲乙之度当十分邉之积为一千【十分自乗之再乗之即成一千假如立方一尺其积必千寸】纪其号曰一次加一倍为立积二千开立方求其根得十二又三之一即于甲乙上加二又三之一为甲丙纪其号曰二再加一倍立积三千开立方得数纪三以上并同

　　防法　取甲乙邉四分之一加甲乙成甲丙即倍体邉又取甲丙七分之一加甲丙成甲丁即三倍体邉又取甲丁十之一加甲丁成甲戊即四倍体邉再加如图

　　【右加法与开立方数所差不逺然尾数不清难为定率姑存其意】

　　又防法用立方表

　　以量分　如后图作四率连比例而求其第二盖元体之邉与倍体之邉为三加之比例也【假如邉为一倍之则二若求平方面则复倍之为四是再加之比例也今求立方体必再倍之为八故曰三加　三加者即四率连比例也】

　　几何法曰第二线上之体与第一线上之体若四率连比例之第四与第一【第一为元邉线第二为加倍之邉线第三以邉线自乗为加倍线上之面第四以邉线再自乗为加倍线上之体今开立方是以体积求邉线即是以第四率求第二率也】

　　假如有立方体积又有加倍之积

　　法以两积变为线【元积如辛庚倍积如辛巳】作

　　壬巳辛庚长方形次于壬巳壬庚

　　两各引长之以形心【戊】为心作圈

　　分截引长线于子于午作子午直

　　线切辛角【如不切辛角必渐试之令正相切乃止】即辛庚【一率】午庚【二率】子巳【三率】己辛【四率】为四率连比例末用第二率午庚为倍积之一边其体倍大于元积

　　若辛巳为辛庚之三倍四倍则午庚邉上体积亦大于元积三倍四倍【以上仿此】

　　解四率连比例之理

　　试于辛防作卯辛为子午之垂线次

　　用子壬度从午作卯午直线截卯辛

　　线于卯又从卯作直线至子又从辛

　　防引辛庚邉至辰引辛巳邉至丑成

　　各句股形皆相似而比例等

　　【卯辛午句股形从辛正角作垂线至丑分为两句股形则形相似而比例

　　等为午丑辛形以午丑为句丑辛为股辛丑卯形以丑辛为句丑卯为股

　　则午丑与丑辛若丑辛与丑卯为连比例也　卯辛子句股形从辛正角

　　作垂线至辰分两句股形亦形相似而比例等　卯辰辛形卯辰为句辰

　　辛为股辛辰子形辰辛为句辰子为股则卯辰与辰辛若辰辛与辰子

　　亦连比例也而辰辛即丑卯故合之成四率连比例】

　　一率　辛庚　即午丑

　　二率　午庚　即丑辛　亦即辰卯

　　三率　子巳　即辛辰　亦即丑卯

　　四率　己辛　即辰子

　　试法　元体边倍之即八倍体积之邉若三之即二十七倍之邉四之即六十四倍体积之邉五之即一百二十五倍体积之邉

　　又取二倍邉倍之得十六【八其二也】再倍之得一二八倍体积之邉【六十四其二也】

　　三加比例表【平方立方同理即连比例】

　　第一率　　第二率　　第三率　　第四率

　　按第一率为元数第二率为线即根数也第三率为面平方幂积也第四率为体立方积也开平方开立方并以积求根故所用者皆二率也【比例规觧乃云本线上量体任用其邉其根其面其对角线其轴皆可其説殊不可晓今删去】

　　用法一　有立积求其根【即开立方】

　　假如有立方积四万法先求其与一千之比例则四万与一千若四十与一即取十数为分体线上一防之底定尺而取四十防之底得三十四强即立方之根【説见平方】

　　用法二　有两数求其双中率【谓有连比例之第一与第四而求其第二第三】法以小数为一率用作本线一防之底而取大数之底为二率既有二率可求三率

　　假如有两数为三与二十四欲求其双中率法约两数之比例为一与八即以小数三为本线一防之底定尺而于八防取底得六为第二率末以二率四率依法求中率得十二为三率

　　一率三　二率六　三率十二　四率二十四

　　用法三　设一体求作同类之体大于设体为几倍【此乗体之法】

　　假如设立方体八千其邉二十求作加八倍之体为六万四千问邉若干法以设体根二十为本线一防之底定尺而取八防之底得四十即大体邉如所求

　　用法四　有同类之体欲并为一法累计其积而并之为总积求其根即得

　　假如有三立方体甲容一十乙容十三又四之三丙容十七又四之一并得四十一即以甲容一十为本线一防之底定尺而取四十一防之底为总体邉如所求　若设体无积数则以小体命为一十而求其比例然后并之

　　用法五　有两同类之体求其比例与其较【此分体之法】假如甲丙两立方体欲求其较而不知容积之数法以甲小体邉为一防之底定尺而以丙邉为底进退求其等数如所得为九即其比例为九与一以一减九其较八即于八防取底为较形之邉

　　用法六　有立方体欲别作一体为其几分之几假如有立方体欲另作一体为其八之五则以设体邉为本线八防之底定尺而于五防取底为邉作立方体即其容为设体八之五

　　第五更体线【旧名变体线】

　　体之有法者曰立方曰立圆曰四等面曰八等面曰十二等面曰二十等面凡六种外此皆不能为有法之体

　　六等面体各面皆正方即立方也有

　　十二棱八角测量全义曰设边一百

　　求其容为一○○○○○○

　　浑圆体亦曰球体即立圆也几何补

　　编曰同径之立方积与立圆积若六

　　○○○○○○与三一四一五九二

　　设径一百求其容为五二三五九八

　　此三角平面形相合而成有六棱四

　　角测量全义曰设边一百求其容为

　　一一七四七二半

　　此体各面亦皆三等边形有十二棱

　　六角测量全义曰设边一百求其容

　　为四七一四二五有竒

　　此体各面皆五等边有三十棱二十

　　角测量全义曰设边一百求其容为

　　七六八六三八九

　　此体各面亦皆三等边有三十棱十

　　二角按几何补编二十等面体设边

　　一百其积二百一十八万一八二八

　　测量全义作边一百容五二三八○

　　九相差四倍故今不用

　　分法

　　置公积百万依算法开各类之根则立方六等面体之根为一百四等面体之根为二○四八等面体之根为一二八半十二等面体之根为五○半强二十等面体之根为七七圆球之径为一二四【原本十二等面根五○二十等面根七六圆径一二六今并依几何补编改定】　因诸体中独四等面体之根最大故本线用二○四平分之从心数各类之根至本数加字

　　用法一　有各类之立体以积求根【即开各类有法体之方】法皆以设积于立方线求其根乃移置更体线求本号之根即得

　　假如有十二等面体其积八千问邉若干法以一千之根十为立方一防之底定尺而取八防之底得二十为所变立方之根次以二十为本线上立方号之底而取十二等面号之底得一十○强即十二等面之一邉【他仿此】

　　用法二　有各类之立体以根求积　法先以所设根变为正方根乃于立方线求其积

　　假如有二十等面体其邉三十一弱问积法以根三十一弱为本线二十等面号之底定尺而取立方号之底得四十弱为所变立方之邉次于立方线以一十为一防之底而以四十进退求等数得【十六】防命其积【一万六千】如所求【邉一十其积一千则邉四十积一万六千】

　　用法三　有不同类之体欲相并为一【此以体相加之法并变为正方体积即可相并】

　　假如有三立体甲浑圆体【径一百二十四】乙二十等面体【邉七十七】丙十二等面体【邉五十○半】欲相并用前条法各以积变为立方积则三体之积皆一百万并之得三百万如所求

　　用法四　有不同类之两体求其比例与其较【此以体相减之法】法各变为立方体即可相较以得其比例并同更面线法

　　第六分圆线【即各弧度之通也旧名分线亦曰分圈】

　　分法有二一以量一以算

　　以量分　法作半方形如甲乙丙令甲丙斜与本线

　　等长以乙方角为心甲为界作象限

　　弧如甲丁丙乃匀分之为九十度各

　　识之次从甲防作直线至各度移入

　　尺上识其号　若尺小可作六十度

　　即本线之长为六十度号　若尺大可作一百八十度即本线之半为六十度号

　　以算分　法用正表倍之为倍度之通　假如求六十度通即以三十度之正【五○○○○】倍之得【一○○○○○】即六十度之通他皆若是

　　试法十八为半周十之一【即全圈二十之一也】三十六为半周五之一【即全圈十之一】四十五为半周四之一【即全圈八之】七十二为半周五之二【即全圈五之一】九十为半周之半【即全圈四之一谓之象限】百二十度为半周三之二【即全圈三之一】

　　用法一　有圆径求若干度之弧以半径当六十度取之

　　假如有甲乙丙全圈有甲丙径求五十度之弧即以甲丙径半之于丁以甲丁半径为本线六十度之底定尺而取五十

　　度之底如甲乙直线以切圆分即得甲戊乙弧为五十度如所求

　　用法二　若以弧问径则反之

　　如先有弧分如甲戊乙为五十度而问全径法从弧两端聫之作直线如【甲乙】用为本线五十度之底定尺而取六十度之底为半径【甲丁】倍之得全径【甲丙】

　　用法三　直线三角形求量角度

　　法以角为心任用规截角旁两线作通如法得角度

　　假如甲丙乙三角形不知角法任用甲丁度以甲为心作虚圈截甲丙线于丁截甲乙线于戊次作丁戊直线次即用甲丁原度以乙为心如法截甲乙于辛截丙乙于庚

　　作辛庚直线末以甲丁为六十度之底定尺乃用丁戊为底进退求其等度之号得甲角之度用辛庚为底亦得乙角之度合两角减半周得丙角度

　　如甲角六十五乙角四十则丙角必七十五

　　用法四　平面等邉形求其径

　　假如有五等邉平面形欲求径作图【即对角辏心直线】法以设邉为分圆线七十二度之底而取其六十度之底为半径以作平圆末以原设边为度分其周为五平分即成五等面如所求【他等邉形并同】

　　五等邉形有一邉如丙乙如法求

　　得乙甲半径以甲为心乙为界作

　　平圆而以丙乙邉度分其圆得丁

　　戊己等防作线聫之即成五等邉形而所作圆即外切之圆

　　第七正线【旧名节气线以其造平仪时有分节气之用也然正在三角法中为用甚多不止一事不如直言正以免挂漏】

　　正线不平分亦近枢心大而渐小与分圆同

　　分法　全尺为一百平分尺大可作一千于正表取数从枢心至各度分之每十度加号

　　简法　第一平分线可当此线其线两傍一书平分号一书正号

　　又法　分圆线可当此线以分圆线两度当正一度纪其号

　　假如分圆六十度齘即纪正三十但分圆之号直书则正横书以别之

　　解曰凡正皆倍度分圆之半故其比例等然则分圆之一度即正之半度而半度亦可取用为尤便也

　　如图甲乙为通甲丙乙丙皆正

　　用法一　有设弧求其正法以九十度当半径假如有七十五度之弧求正即以本圈半径为正线九十度之底定尺而取七十五之底为正如所求

　　用法二　有弧度之正数求径数则以前条反用之假如有七十五度之正数即用为本线七十五度之底定尺而取其九十度之底得半径数

　　用法三　句股形有角度有求句求股法以当半径正当句与股

　　假如句股形之二丈有对句之角

　　三十度即取平分线之二十当数

　　为正线九十度之底而取三十度

　　之底得一十即其句一丈

　　又于其角之余【即六十度正】取底得【一十七又三之二弱】即其股为【一丈七尺三寸二分】

　　若以句求则反之如句一丈其句与所作之角为六十度其余角三十度即取一十数为三十度之底定尺而取九十度之底得二十命其二丈

　　用法四　三角形以邉求角　假如三角形有乙甲邉甲丙邉及丙角度而求乙角法以乙甲邉数为丙角正之底定尺而以甲丙

　　邉为底进退求其等度取正线上号为乙角度如所求

　　用法五　三角形以角求邉

　　假如三角形有戊角度己角度及庚己邉而求庚戊邉法以庚己邉为戊角正之底定尺而取己角正之底得数即为庚戊邉如所求　余详三角法举要

　　用法六　作平仪求太阳二至日离赤道纬度

　　如图以十字分大圆直者为两

　　极横者为赤道横直交于圆心

　　即地心也赤道即春秋分日行

　　之道也地心至两极半径为正

　　线九十度之底定尺取二十

　　三度半之底于地心上下各作防于直线于此防作横线与赤道平行为二至日道近北极者夏至近南极者冬至也

　　又求作各节气日道

　　法先求黄道线

　　法于夏至之一端作斜线过地心至冬至之又一端即成黄道日行其上一嵗一周天者也以黄道半径为九十度之底定尺每十五度正取底移至黄道半径上【并从地心起度】

　　于地心上下各识之即各节气日躔黄道上度也【或三十度取底则所得皆中气】

　　乃自黄道上各防作直线并与赤道平行即各节气日行之道此与分至日道皆东升西没一日一周者

　　也其各线两端

　　抵大圆处即各

　　节气赤道纬度

　　也春分以后在

　　赤道北秋分以

　　后在赤道南

　　试法于二至日道两端作横线聫之【如甲乙】次以此横线之半为度【如丙乙】过赤道处【如丙】为心作半圈于大圆之上【如乙戊甲半圆】亦如法作半圈于下两半圈各匀分十二分作识【若但求中气可分六分】上下相向作直线聫之即必与先所作日行道合为一线　又以甲丙为正九十度之底定尺而于其各正取底亦即与原定日道纬度线合【如丙辛三十度之正也与赤道旁第一纬线合丙丁六十度之正也与第二纬线合左右上下考之并同】

　　用法七　定时刻【仍用平仪】

　　法以平仪上赤道半径为正线九十度之底定尺而于各时刻距卯酉之度取其正于赤道作识【过两极轴线处即夘正酉正也距此而上三十度午前为辰正午后为申正距此而下三十度子前为戌正子后为寅正距此而上六十度午前为巳正午后为未正距此而下六十度子前为亥正子后为丑正至圆周处上为午正下为子正】即春秋分之时刻也欲作各时初正及刻凖此求之并以正为用【每时分初正各加距十五度初正又各分四刻每刻加距三度又四分之三并取正如前法】又以二至日道之半径为正

　　九十度之底定尺如

　　法取各正作识即二

　　至之时刻也　末以分

　　至线上时刻作弧线聫

　　之即得各节气之时刻

　　凖此论之平仪作时刻亦用正比例规觧以正名节气线切线名时刻线区而别之非是

　　第八切线【旧名时刻线今按平仪时刻原用正惟以日景取髙度定时刻斯用切线耳又如浑盖通宪等法亦皆切线其用甚多故不如直名切线】

　　切线不平分先小渐大至九十度竟平行无界故只用八十度或只作六十度亦可

　　分法　简切线本表八十度之切线五六七即于尺上作五六七平分次简各度数分之逢十加识

　　用法一　三角形求角

　　假如乙甲丁三角形求乙角任截角

　　旁线于丙得乙丙十寸自丙作垂线

　　戊丙量得七寸次用十数为切线四十五度之底定尺而以戊丙七数为底进退求等度得三十五度为乙角

　　用法二　求太阳地平上髙度【用直表】

　　法曰凡地平上直立之物皆可当表以表高数为切线四十五度之底定尺而取表影数为底进退求等度得日髙度之余切线

　　假如表髙一丈影长一丈五尺法以丈尺变为数用一十数当表髙为切线四十五度之底定尺次以一十五数当影长为底进退求等度得五十六度十九分为日髙之余度以减九十度得日髙三十三度四十一分

　　癸丙地平上日高度与壬辛

　　等其余度癸丁为日距天顶

　　与戊辛等甲戊为表长其影

　　戊已乃日距天顶之切线在

　　日高癸丙为余切线也

　　用法三　求太阳髙度用横表

　　植横木于墙以候日影即得倒影为正切线之度假如横表长一尺倒影在墙壁者长一尺五寸法用十数当横表为四十五度之底定尺次以十五数当影长进退求等度得五十六度十九分即命为日高之度

　　凡亭台之内日影可到者量其檐际之深可当横表

　　卯寅墙　子甲为横表

　　太阳光从丁过表端甲射丑成子丑倒影丁丙为

　　日在地平上髙度与午子度等故以子丑倒影为日髙度之正切线也

　　按直表之影低度则影长髙度则渐短日度益髙则影极短故以余切线当直影【前图是也】横表之影低度则影短髙度则渐长日度益髙则影极长故以正切线当倒影【后图是也】比例规觧乃俱倒説今正之

　　用法四　求北极出地度分　假如江宁府立夏后九

　　日午正立表一丈测得影长为

　　二尺四寸法以一百数当表髙

　　为切线四十五度之底定尺而

　　以二十四数为底进退求等数

　　得一十三度半如法以减九十度得七十六度半为日出地平上髙度简黄赤距度表是日太阳北纬一十九度以减日髙度得赤道髙五十七度半转减九十度得北极髙三十二度半防法以直表所得一十三度半加太阳北纬十九度即得三十二度半为北极髙度

　　解曰直表所得太阳距天顶度也加北纬即赤道距天顶度亦即北极出地度

　　又如顺天府立春后四日如法

　　用横表三尺得倒影二尺一寸

　　依切线法求得日髙三十五度

　　简表得本日太阳南纬一十五

　　度以加日髙度得赤道髙五十

　　度以减九十度得北极髙四十度

　　第九割线【旧名表心线今按割线非表心又割线之用甚多非只作日晷一事故直名割线为是】

　　割线不平分先小后大并与切线略同故亦只作八十度或只作六十度亦可

　　分法　用割线本表八十度之割线五七五平分之其初防与切线四十五度等次依表作度加识

　　用法一　三角形以割线求角

　　假如有甲乙丙三角形求甲角法任

　　于甲角旁之一邉截戊甲十寸作垂

　　线如戊丁截又一邉于丁得丁甲十

　　九寸次以十数为割线初防之底定尺而以十九数为底进退求等数得五十八度一十七分为甲角之度

　　用法二　作平面日晷【兼用割切二线】

　　法曰先作子午直线卯酉横线十字相交于甲以甲为正午时从甲左右尽横线尽处为度于切线八十二度半为底定尺次于本线七度半取底向卯酉横线上识之自甲防起为第一时如甲丙甲乙次每加七度半取底如前作识为各时分【如七度半加之成十五度即第二时又逓加如二十二度半三十度三十七度半四十五度五十二度半六十度六十七度半七十五度至八

　　八十二度半合线末元定之防】若逓加三

　　度四十五分而取底作识

　　即每时四刻全矣【按每七度半加

　　防乃二刻也今每三度四十五分则一刻加防】订定法曰横线上定时刻

　　讫次取甲交防左右各十

　　二刻之度【即元定四十五度之切线亦即】

　　【半径全数】为割线上北极髙度之底定尺而取割线初防之底为表长【如壬庚】　次以表长当半径为切线四十五之底定尺而检北极髙度之正切取底自甲防向

　　南截之如甲壬以壬为表位

　　又于北极髙度之余切线取底

　　自表位壬向南截之如壬辛以

　　辛为晷心　末自晷心辛向横

　　线上原定时刻作斜直线引长

　　之得时刻　时刻在子午线西

　　者乙为午初丁为巳正癸为巳初又加之即辰正又加之即辰初在子午线东者丙为未初戊为未正巳为申初又加之即申正又加之即酉初并逓加四刻谨按卯酉线即赤道线也二分之日日躔赤道日影终日行其上庚甲割线正

　　对赤道正午时日影从庚射甲成庚甲影若已末午初则庚防之影不射甲而射乙而庚甲影如半径乙甲如切线矣以庚甲为切线上半径而递取各七度半之切线以定左右各时刻之防并日影从庚所射也然此时庚甲之度无所取故即用赤道线四十五度之切线代之用切线实用庚甲也【庚甲既为切线之半径则必与四十五度之切线同长】

　　以四十五度当半径而取切线以定时刻此天下所同也然赤道髙度随各方北极之髙而变庚甲割线何以能常指赤道则必于表之长短及表位之逺近别之故以庚甲当北极髙度之割线而取其初防为表长初防者半径也本宜以半径求割线今先有割线故转以割线求半径也既以庚壬表长为半径庚甲为割线则自有壬甲切线而表位亦定矣表位既定则庚甲影能指赤道矣何以言之表端壬庚甲角既为极髙度则庚角必赤道髙度而庚甲能指赤道也故北极度髙则庚角大甲角小而庚壬表短壬甲之距逺北极度低则赤道髙甲角大而庚壬表长壬甲之距近比例规觧乃以表位定于甲防失其理矣遂复误以割线为表长余割线为晷心而强以割线名为表心线名实尽乖贻误来学此皆习其业者原未深谙强为作觧而即有毫厘千里之差立法者之精意亡矣故特为阐明之

　　庚壬表上指天顶下指地心为半径

　　壬表位壬甲为正切线辛晷心辛壬

　　为余切线甲角即赤道髙度壬庚甲

　　角即北极髙度与辛角等

　　用法三　先有表求作日晷【借用前图可解】

　　法先作子午直线任于线中定一防为表位如壬乃以表长数壬庚为切线四十五度之底定尺而取本方北极出地度之底得壬甲正切度于表位北作防【如甲】次于甲防作卯酉横线与子午线十字相交即赤道线春秋分日影所到也又取极髙余度之底得壬辛余切线于表位南作防【如辛】即晷心也若自表端庚作直线至晷心辛即为两极轴线辛指南极庚指北极也次以表长【庚壬】与壬甲正切相连作正方角则庚壬如句壬甲如股而取其线庚甲即极出地正割线也次以庚甲为切线四十五度之底定尺而各取七度半之底累加之于甲防左右作识于卯酉横线上末自晷心辛作线向所识防即得午前后时刻并如前法

　　用法四　有立面向正南作日晷并同平面法但以北极髙度之余切线定表位以正切线定晷心则自晷心作线至表端能上指北极为两极轴线又立晷书时刻并逆旋与平面反然以立晷正立于北与平晷相连成垂线则其时刻一一相符

　　用法五　用横表作向东向西日晷

　　假如立面向正东法于近南作直线上指天顶下指地心近上作横线与地平相应两线相交于甲以甲为心于两线间作象限弧自下起数至本方北极出地度止自此向甲心作斜直线以分弧度

　　此线即为赤道次以甲为表

　　位用横表乙甲之长取数为

　　切线四十五度之底定尺递

　　取十五度切线从心向赤道

　　线累加之作识定时即春秋

　　分日影所到也【若分二刻则逓取七度半】

　　【细分每刻则逓取三度四十五分】次于甲心作横斜线如丁戊为赤道之垂线其余时刻防各作线与丁戊平行【亦并与赤道十字相交】次于元定尺上【即以表长为四十五度所定】取二十三度半之切线为度于甲左右截之为界【如丁甲如戊甲】即二至卯正时日影所到也【二分日卯正则乙甲表正对日光无影分前后则有纬度而影亦渐生日日不同然不离丁戊线至二至而极冬至影在北如丁夏至影在南如戊以此为界向西酉正时亦然】仍用元尺取【每十五度之黄赤距纬】切线作于丁戊线内从甲防左右作识得各节气卯正日影【或取三十度切线则所得每月中气酉正亦然】

　　次以乙甲表长为割线初防之底定尺而取十五度之割线为二分日在辰初刻之影如乙辛即天元赤道上日离午线十五度其光过乙至辛所成也就

　　以乙辛割线为切

　　线四十五度之底

　　而取二十三度半

　　之底自辛防左右

　　截横线并如辛壬

　　为冬夏至辰初刻日影所到之界【辛壬在南为夏至其在北为冬至亦然】又逓取【每三十度之黄赤距纬】切线从辛至壬作防为各中气界【此向南日影界乃赤道北半周节气其辛防向北作界为南半周亦然】自此而辰正而巳初而巳正以至午初并同乃于节气界作线聫之即成正东日晷其面正西立晷作法并同但其时刻逆书自下而上最下为未初次未正次申初次申正次酉初而至酉正则横表正对日光而无影矣此亦二分日酉正也其余节气亦有短影而不出本线与卯正同

　　新增时刻线【以切线分时刻本亦非误但切线无半度取度难清今另作一线得数既易时刻尤真】

　　分法　依尺长短作直线【如后图乙丙】于线端作横垂线【如乙甲为乙丙垂线】又作直线略短与设线平行交横线如十字【如甲巳线交横线于甲】以甲为心作象限弧六平分之为时限各一分内四平之为刻限次于甲心出直线过各时限至直线成六时过各刻限者成刻乃作识纪之【并如后图】

　　尺短移直线近甲心取之【移进线并与原直线平行以遇第六时第二刻为度如已戊虚线遇丁戊线于戊即戊为第六时之二刻】

　　用法　凡作日晷并以所设半径置第三时为底定尺而取各时刻之底移于赤道线上午前午后并起午正左右为第一时依次加识即各得午正前后时刻【并如前法】

　　第十五金线【即轻重之学】

　　物有轻重以此权之独言五金者以其有定质也五金之性情有与七政相类者因以为识

　　金【太阳】水银【水星】铅【土星】银【太隂】铜【太白】铁【火星】锡【木星】

　　分法　用各分率及立方线

　　比例率　【先取诸色金造成立方体其大小一般无二乃权其轻重以为比例】

　　黄金一

　　水银一又七十五分之三十八【仪象志作九十五分之三十八】

　　铅一又二十三分之一十五

　　银一又三十一分之二十六

　　铜二又九分之一

　　铁二又八分之三

　　锡二又三十七分之二十一【比例规觧原作三十七分之一则锡率反小于铜铁而轻重之序今依仪象志】

　　金体最重故以为凖自尺心向外任定一度为金之根率自此依各率増之并以金度为立方线上十分之底定尺次依各率为底进退求等数取以为各色五金之根率自心向金率防外作识

　　解曰此同重异积之率也于立方线上求得方根作识于尺则同重异根之率也金体重则其积最少【谓立方体积】各色之金【谓银铅等】体并轻于金故必体积多而后能与之同重然立积虽有多少非开方不得其根之大小故必于立方线求之也

　　又解曰先以同大之立方权之得各率者同根异重之率也而即列之为同重异根之率何也盖以根求重则金最重而他色轻以重求根则金最小而他色大其事相反然其比例则皆等假如金与铜之比例为一与二强若体同大则金倍重于铜矣若其重同者则铜之体必倍大于金其理一也

　　又法　用立方根比例率

　　黄金一六六弱

　　水银一九一弱

　　铅二○二

　　银二○四

　　铜二一三

　　铁二二二

　　锡二二八

　　用法一　有某色金之立方体求作他色金之立方体与之同重【或立圆及各种等面体并同】

　　假如有金球之径又有其重今作银球与之等重求径若干法以金球径数置本线太阳号为底定尺而取太隂号之底数作银球之径即其重与金球等

　　用法二　若同类之体其根同大求其重

　　假如有金银两印章体俱正方而其大等既知银重而求金重法以银图章之根数置太隂号为底定尺而取太阳号底数次于分体线上以银章重数为两太阳号底定尺而转以太隂底数【即银章根数】进退求等得数即金章之重

　　轻重比例三线法【附】

　　重学为西法一种其起重运重诸法以人巧补天工实宇宙有用之学五金轻重又重学中一种盖他物难为定率可定者独五金耳然比例规觧虽载其术而数多抵牾未可全据愚参以灵台仪象志其义始确因广之为三线曰重比例曰重之容比例曰重之根比例既列之矩算复为之表若论以发其凡康熙壬戌长夏勿葊梅文鼎谨述

　　重比例【异色之物　体积同轻重异】

　　解曰重比例者同积也积同而求其重则重者数多轻者数少若反其率则为容积比例矣

　　用法　假如有金一件不知重法以水盛器中令满权其重乃入金其中则水溢溢定出金乃复权之则水之重必减于原数矣乃以所减之重变为线于比例尺置于水防为底乃于金防取大底即金重也　又如有玉刻辟邪今欲作铜者与之同大问用铜几何法如前以玉器入水取水减重之数置水防为底取铜防大底即得所求【若作诸器用蜡为模亦同或以蜡轻难入水者竟以蜡重于蜡防为底而取铜防大底更妙也】

　　重之容比例【轻重同则容积异亦谓异色之物】

　　解曰容比例者同重也同重而求其积则重者积数少轻者积数多反其率亦即为轻重之比例矣

　　又觧曰容积比例以立方求其根则为根比例矣故轻重当为三线也

　　用法　假如有水若干重盛器中满十分有澒与水同重盛此器中问几何满法以水满十分之数作水防之底而取澒防小底则知澒在器中得几分

　　用法二　有同重之两色物欲知其立方根法以容比例求其同重之积再于分体线求其根

　　用法三　有金或铜锡等不知重法如前入水求得水溢所减之重变为线乃以水重置金防为底【若铜锡亦置铜锡防】于水防取大底【此借容比例求重故反用其率】若用蜡模铸铜器亦以蜡重置铜防为底【而于蜡防取大底即得合用铜斤】

　　觧曰有二法三法则只须容比例一线足矣盖反用之可以求重既得容可以求根【用三线者取其便用一线者取其简可任意为之也】

　　又容比例【附】

　　又客比例

　　解曰容比例有三率也其实一率而已第一率以水为主取其便用也第二率以金为主取其便擕也第三率平列乃立方之积数也其作线于尺则皆一率而已矣

　　此外仍有通分之法亦愚所演然其理皆具原表中故仍载表而附之故后

　　轻重原表

　　右表灵台仪象志所引重学一则也其法同重者以直推见容积同积者以横推见重重比例容比例皆在其中矣既得容可以求根则根之比例亦在其中矣比例规觧五金线盖原于此原书金与蜡之比例讹卄一为廾九今改定

　　通分法【亦容比例之率】

　　分母

　　澒九五

　　铅廾三乗得二一八五

　　银卅一又乗得六七七三五

　　铜○九又乗得六○九六一五

　　铁○八又乘得四八七六九二○

　　锡卅七又乗得一八○四四六○四○为金率

　　以澒分母九十五除金率得一八九九四三二以乗分子卅八得七二一七八四一六加金率得二五二六二四四五六为澒率

　　以铅母卄三除金率得七八四五四八○以乗子十五得一一七六八二二○○加金率得二九八一二八二四○为铅率

　　以银母卅一除金率得五八二○八四○以乗子廾六得一五一三四一八四○加金率得三三一七八七八八○为银率

　　以铜母九除金率得二○○四九五六○以乗子一得如原数加金率二得三八○九四一六四○为铜率

　　以铁母八除金率得二二五五五七五五以乘子三得六七六六七二六五加金率二得四二八五五九三四五为铁率

　　以锡母卅七除金率得四八七六九二○以乗子廾一得一○二四一五三二○加金率二得四六三三○七四○○为锡率

　　按自古厯算诸家于尾数不能尽者多不入算故曰半已上収为秒巳下弃之其有不欲弃者则以大半少强弱収之

　　假如一百分则成一整数【九十为一弱一十为一强】百二十五为少即四分之一也【若二十为少弱三十为少强】五十为半【四十为半弱六十为半强】七十五为太即四分之三也【七十为太弱八十为太强】重之根比例【异色同重之立方】

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷三十九>

　　附求重心法

　　乙甲癸子形求重心先作乙甲线分为【乙子甲乙癸甲】两三角

　　形次用三角形求心术求【乙子甲乙

　　癸甲】之形心在【丙丁】作丙丁线聫之

　　又作子癸线分为【癸乙子癸甲子】两

　　三角形求【癸乙子癸甲子】形之心在【庚辛】作庚辛线聫之　此二线相交

　　于壬则壬为本形心即重心也　试作乙巳正角线至子癸线上又作甲戊线至子癸线上此两线之比例即两形大小之比例也【法为癸乙子形与癸甲子形之比例若乙巳与甲戊也】以此比例于庚辛两心距线上求得壬防为全形之重心【法为乙巳线与甲戊若辛壬与庚壬】

　　如图子巳与癸戊之比例

　　若丁壬与丙壬也余并同

　　前图

　　一率　子巳与癸戊二线并

　　二率　子巳

　　三率　丁丙

　　四率　丁壬

　　歴算全书卷三十九

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

　　方程论自叙

　　方程于数九之一也何独于方程乎论曰方程犹句股也数学之极致故二以殿乎九今之为数学往往覃思勾股而略方程不宁惟略抑多沿误佹于阙矣数九而阙其一可以无论乎议者谓勾股测量用以知道里之修城邑之广山之髙水之深天地日月之行度若方程筭术多取近用米盐凌杂非其精且大是不然精觕小大人则分之而自一至九之数无分也且数何兆欤当其未始有物之初混沌鸿蒙杳防恍惚无始无终无声无形无理可名无数可纪乃数之根也是谓真一真一者无一也一且非一而况其分及其自无之有无一而忽然有一有一则有万万者一之万也万各其一一各其万即万即一环应无端又孰从而精麄之小大之乎故果蓏之有理而星度齐观理实同源数亦防防苟未达此而侈言髙逺遗乎目睫将日用之酬酢有外乎理数以自立者哉而二之也古者数学大司徒以备乡之三物教万民而賔兴之其属保氏掌之以教国子具曰九数未尝右勾股于方程也虽然古之人以其进乎数者治数故用之简易而言之约今欲于古学既湮之日出独是以信众疑使方程之沿误皆正而九数阙而复全则意取共明固不敢谬托简古以自文其疎愚之论乃不觉其复矣凡六卷论成于壬子之冬写而成帙则甲寅之夏勿庵梅文鼎自识

　　余论

　　数学有九要之则二支一者筭术一者量法量法者长短逺近以求其距西法谓之测线方圆弧矢幂积周径以相求西法谓之测面立方浑圆堆垜之形以求容积西法之测体在古九章则为方田为少广为商功为句股筭术者消息盈虚乘除进退以差多寡騐往以测来西法谓之比例通分子母整齐画一不尽者以法命之西法谓之畸零若夫隠杂重复参错难稽即显騐幽探赜穷深无例可比故西法别立借衰互徴以为用亦比例也在古九章则为粟布为衰分为均输为盈朒为方程此二者相需不可偏废虽然筭术可以济量法之穷而量法不可以尽筭术之变何也可量者其可见也天下之不可见者多矣非筭术何以御之故量法有穷而筭术不穷也夫既量之而得其率矣所量者一欲知者百西法之用比例亦以筭术佐量法也然以例相比非量法而有量法之理吾友桐城方位伯谓九章出于句股葢以此也然吾观方程正负同异减并之用非句股所能御而能生比例愚故以筭术必不可废也

　　言数学者亦有二家一古法一泰西泰西之説详明晓畅古人之法径捷简易可互明也然古书仅存筭术而略于测量泰西详于测量而或遗在筭术吾观泰西家言矩度三角八线割圆几何原本备矣谓其善用句股能有新意出于古率之外未为过也若所译同文筭指者大约用三率以变古法至于盈朒方程则其术不复可行于是取古人之法以传之非利氏之所传也算术之妙莫盈朒方程若而泰西皆无之是九章阙其二也尚谓之贤于古法乎且泰西家欲以其説易天下故必宛转笺疏以达其意以取信于学者若盈朒方程立法之意殊不能言也不能言盈朒故别立借衰之法以代之自谓超妙可废古法矣而终不能废盈朒若方程一章不但不能言之亦不能用之不过取古人之仅存者具数而已不能别立术以代之也诸书之谬误皆沿之而不能察其必非知之而不用能言之而不悉亦可见矣夫古人之略于量法者非不能言也言之略耳言之详者别有専书而人不能习不传于世耳学士大夫既苦其难竟又无与进取弋获之利遂一切弃置不道浅猎焉者率得少以自多无所发明遂使古人之精意若存若亡不复可见今诸书所载方程法残缺错乱视盈朒尤甚其所仅存又多为后之不得其説者参以臆解而其防益晦非古人旧也使古之方程仅仅如此何必别立一章列于盈朒之后乎然以好变古率如泰西而不能变方程勤于言筭如泰西而不能言方程不能尽其用不能正其沿误可见古人立法之深逺而决不可易向使习古法者尽见古人之书又能如泰西家羣萃州处穷年累月研精覃思以为之引伸而推广又岂止如斯而已乎言之三叹

　　方程论发凡

　　一方程立法之始

　　按周礼九数一曰方田以御田畴界域一曰粟米【一作粟布】以御交质变易一曰差分【一名衰分】以御贵贱廪税一曰少广以御积方程一曰商功以御功程积实一曰均输以御逺近劳费一曰盈朒【一云赢不足】以御隠襍互见一曰方程以御错糅正负一曰句股【一云旁要】以御髙深广逺是则方程者九数之一乃九章中之第八章也通雅以九数为周公之法盖自隶首作筭数以来有九章即有方程渊源逺矣

　　一方程命名之义

　　方者比方也程者法程也程课也数有难知者据现在之数以比方而程课者则不可知而可知即互乗减并之用

　　一方程残缺之故

　　按七十子身通六艺则九数在其中自汉以后史称卓茂刘歆马融郑何休张衡皆明筭术唐宋取士有明筭科六典筭学十经博士弟子五年而学成宋大儒若邵康节司马文正朱文公蔡西山元则许文正王文肃莫不精筭然则筭学之疎乃近代耳夫数学一也分之则有度有数度者量法数者筭术是两者皆由浅入深是故量法最浅者方田稍进为少广为商功而极于句股筭术最浅者粟布稍进为衰分为均输为盈朒而极于方程【详见末卷方程能御襍法】方程于筭术犹句股之于量法皆其最精之事不易明也而筭学无闗进取皆视为贾人胥史之事而不屑从事又其用近小但于方田粟布取之亦无不足故近代诸刻多不具九章其列九章者不过寥寥备数学者虽欲推明古法孰从而求之此方程残缺之由也

　　一方程谬误之故

　　方程句股皆不为近用所需然句股测望自昔恒有専书近者西学骤兴其言句股尤备故九章所载虽简而不至大谬至若方程别无専书可证所存诸例又为俗本所乱妄増歌诀立为胶固之法印定后贤耳目而方程不复可用竟如赘疣周官九数几缺其一愚不自揆辄以管闚之见反覆推论以明之务求其理众晓而不疑于用庶不致谬种流传以乱古法云尔【详第四卷刋误】

　　一方程条件与旧不同之故

　　旧传方程分二色为一法三色为一法四色五色以上为一法头绪纷然而和较之分疑未清法无画一所立假如仅可施之本例不可移之他处然如此则为无用之法而方程一章为徒设矣窃以古人立法决不如此今按方程有和有较有兼用和较有和较交变约法四端巳尽方程之用不论二色三色四色五色乃至多色其法尽同正不必每色立法反滋纷扰也然惟如此则有定法而方程为有用且其用甚多窃以古人立法必当如此夫古人往矣愚生千载之下蓬户山居耳目局隘不能尽见古人之书亦何以防其然哉夫亦惟是反之心而无疑措之事而可用则此心此理之同庶可共信非敢好为新奇以自也天下大矣邺架藏书岂无足攷尚冀博雅好古君子恵示古本庶有以证明其説而广其所未知则所深望巳【详见第一卷及第四卷刋误】

　　一方程以论名篇之故

　　算学书有例无论则不知作法根原一再传而多误盖由于此本书欲明筭理故论多于例每卷之首皆有总论以为之提网然后举例以实其説【即假如也】而例中或有疑似之端仍各有説以反覆申明之令覧者彻底澄清无纎毫之凝滞凡为论者十之七而例居其三以论名篇着其实也

　　一方程例有详略可以互明

　　既欲推明其理则无取夸多故首卷和较襍变四端不过数例意在假此例以发吾论但求大义晓畅更不繁引多例以乱人思其后数卷举例稍繁然每设一例即明一义务求委曲尽变庶令用者不疑前详者后必略前略者后乃详更无重复细观自见

　　一方程著论校刻縁起

　　鼎性耽苦思书之难读者恒废寝食以求之必得其解乃巳有未能通则耿耿胸中虽厯嵗时未敢忘也算数诸书尤性所嗜虽只字片言亦不敢忽必一一求其所以然了然于心而后快窃以方程算术古人既特立一章于诸章之后必有精理而中西各书所载皆未能慊然于懐疑之殆将二纪嵗壬子拙荆见背閍户养疴子以燕偶有所问忽触胸中之意连类旁通若干门之乍啓亟取楮墨次第录之得书六卷于是二十年之疑涣然冰释然后知古人立法之精深必非后世所能易书虽残缺全理具存苟能精思必将我吿管敬仲之言不余欺也

　　论成后冀得古书为征而不可得不敢出以示人惟亡友温陵黄俞邰太史桐城方位伯广文豫章王若先明府金陵蔡玑先上舍曾钞副墨而昆山徐扬贡明府檇李曹秋岳侍郎姚江黄黎洲征君颇加鍳赏厥后吴江潘稼堂太史尤深击节嵗丁夘薄逰钱塘同里阮于岳鸿胪付赀授梓属以理装北上未遂杀青续遇无锡顾景范北直刘继庄二隠君嘉禾徐敬可先軰朱竹垞供奉淮南阎百诗宁波万季野两征士于京师并印可又得中州孔林宗学博杜端甫孝亷钱塘袁恵子文学共相质正乃重加缮录以为定本谬辱安溪李大中丞厚庵先生下询厯算命之论撰以质同人获与介弟安卿孝亷晨夕酬对承其谬赏兹编录副以归手挍欹劂视余稿本倍觉清明向使湖上匆剧雕版反不能如是之精良矣感书成之非偶惊嵗月之易流而良朋好我之殷受益宏多更仆难数爰兹略纪以志不忘

　　数学存古序【附录】

　　六艺古圣人用也所以开物成务垂泽将来虽然器久则毁声传而失彼其初非不穷神尽变而后稍湮没古圣人无如何也今不尽亡者数学耳数之为物不借器而存稽实待虚其道如易故礼乐代更而方圆不易书契形名世殊方别而竒偶自如数之不亡不能亡也顾不能亡者数仅存者数之学尝稽汉艺文志许商算术二十六卷杜忠算术十六卷唐博士肄习具有十经今略不一覩又古人制浑仪往往有书説详徴其故又凡作厯皆有测验诸书与厯术并垂如史所载晋姜岌刘宋祖冲之隋刘焯唐李淳风一行宋沈括元郭守敬着撰皆富今其存逸皆不可得攷自汉赵氏周髀一经外无可广证他纬书占候傅防难信然则今九章者果周官旧邪周官之旧既以不可知近世儒者又略之弗讲九数之学益以荒芜于是泰西氏者乃始孤行其测圜三角诸术以矜奇创学其学者至以大衍填写九执未尽授时阴用回回法子云康节之书皆为臆説而隶首之术必有所穷嘻其果然邪夫谓西厯能兼古法之长是也而反谓古人阴用乎西法此其説非也不观之书御乎御用于骑书用于楷楷与骑日以习而古书御亡或者未考舆轮而辄以古御不如今骑未窥籕篆而谓古书不及今楷遂欲驾王武子于造父尊钟元常于苍颉过矣愚生晚不及见古人僻处山陬闻见固陋闲尝于世传九章者稍稍论列补葺遗缺而昰正其纰缪使读者晓然知九数之学果不尽于今所传而其仅存者犹能与泰西氏并行而不得以相废虽不知于古人万一有当然天下之大不乏其人尚其共出枕秘以昭明而光大之使古人之绪晦而复显或由是以发其端欤是愚之所望矣

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷四十

　　宣城梅文鼎撰

　　方程论卷一

　　正名

　　名不正则言不顺诸本方程皆以二色三色四色等分欵立法而不分和较宜其端绪纷纠而説之滋谬也故先正其名

　　正名有四一和数二较数三和较杂四和较交变和者无正负如只云某物如干某物如干共价如干以问每物各价者是也较者有正负如云以某物如干与某物如干相较多价如干或少价如干或相当适足者是也杂者半有正负半无正负如一行云某物某物各如干共价如干而其一行则又云以某物如干较某物如干差价如干或价相当适足者是也变者或先无正负而变为有正负或先有正负变而无正负三色以往重列减余兼用两行者是也

　　总论曰万筭皆生于和较和较可以御万分合之义也万物之未形一而已矣一且未有况万乎及其有也有一则有二有二则有三自此以至于无穷而数生焉矣和者诸数之合也较者诸数之分也分则有差故谓之较较与和相求而法立焉矣故一与一和则二也一与二和则三也一与二之较一也一与三之较二也万算虽多凖此矣故和较者万算之纲也算之用至于句股方程至矣尽矣窥髙致逺探赜穷幽无所不备然其用不出于和较且以方程言之凡方程列位皆以下位为之端如所列下一位为上中两位之总价则和也若下一位为上中两位相差之价则较也较故分正负和故不分正负虽不立正负然必以两和互乘对减以得其差然后其数可得而知矣故三色以往先无正负者有时而正负立焉故方程之法以和求较而已矣较者易知和者难知和之中有较较之中又有较此万数之所由生万法之所由起

　　和数方程例

　　方程用互乘对减与差分章贵贱相和法同但贵贱相和有总物总价又有每物每价不过以带分之故难用匿价分身而变为换影之术耳方程则有总物总价而无每数又有三色四色以至多色头绪纷然自非逓减何取之此古人别立一章之意也

　　用法曰二色者任以一色列于上以一色列于中以总价列于下于是以列上者为乘法左右互乘又互遍乘中下得数左右对减其上一色必两相若而减尽其中一色对减必有相差之数下价对减亦必有相差之数数相差则减不能尽于是取其余数以为用一为法一为实以法除实而得中一色每价乃以中价乘原列中物得中物总价以中物总价减原列两色之总价得上物总价以原列上物除之得上一色每价【若更以中一色列于上依法求之亦先得上一色价矣故上中之位可以互更也详见后】

　　假如有山田三亩塲地六亩共折输粮实田五亩七分又有山田五亩塲地三亩共折实田五亩五分问田地每亩折实科则各如干

　　畣曰每山田一亩折实田九分每地一亩折实田三分亩之一

　　法各列位

　　上　　　　　中　　　　　下

　　先以右上田三亩为法遍乗左行得数

　　次以左上田五亩为法遍乗右行得数　上位各得田十五亩对减尽　中位左得地九亩去减右行三十亩余地二十一亩为法下位左折田得十六亩五分去减右行二十三亩五分余折田七亩为实　以法除实不满法约为三之一为地每亩折实田之数【地一亩折田三分三厘三毫不尽即地三亩折田一亩也】　就以右行折实田共四亩七分内除原地六亩折实田二亩余二亩七分以右上田三亩除之得九分为田每亩折实之数【或以左行折田内减左原地三亩该折实田一亩余四亩五分以左上田五亩除之亦得九分为田每亩折实之数】

　　论曰以右上田三亩遍乘左行得数是各三之也为五亩田者三亩三亩地者三则为田地共折实五亩五分者亦三也

　　以左上田五亩遍乘右行得数是各五之也为三亩田者五为六亩地者五则为田地折实共四亩七分者亦五也

　　于以对减而上位田各十五亩减而尽则其数同也惟中位地余二十一亩在右行则是右行之地多于左行之地二十一亩也

　　而下位折实数亦余七亩在右行则是右行折实之数亦多于左行折实之数七亩也

　　合而观之此所余折实七亩者正是余地二十一亩之所折也

　　此以田地问折数故以地二十一亩为法折七亩为实也若以折数问原田地则以折七亩为法地二十一亩为实法除实得每折一亩原地三亩于是以右地六亩折二亩减折四亩七分余二亩七分为法除右田三亩得每折一亩原田一亩又九分亩之一即一分一厘一毫一一不尽也

　　若更置以地列于上则先得田折数如后图

　　上　　　　　中　　　　下

　　先以左上地三亩遍乗右行得数

　　次以右上地六亩遍乗左行得数　上位各得地十八亩对减尽　中位左得田三十亩内减去右得九亩余二十一亩为法　下位折田左得三十三亩内减去右得十四亩一分余十八亩九分为实　以法除实得九分为田每亩折实数

　　就以右田三亩折二亩七分减右折实共四亩七分余二亩以右上地六亩除之不满法命为三分亩之一为地每亩折实数【或于左行折实五亩五分内减去左田五亩该折四亩五分余一亩以左地三亩除之亦得地折实每亩三之一】

　　论曰以右上地六亩遍乗左行是各六之也为三亩地者六为五亩田者六为地三亩田五亩之折实田共五亩五分者亦六也以左上地三亩遍乗右行是各三之也为地六亩者三为田三亩者三为地六亩田三亩之折实共四亩七分者亦三也以之对减而地在上位者各十八亩既对减而尽则其各十八亩之折实在折实共数中者亦必对减而尽也田在中位者既对减去九亩而仅余左行之二十一亩则其各九亩之折实在共数中者亦必对减而尽也由是以观则其所余之左下折田十八亩九分正是左中余田二十一亩之所折也故以余田二十一亩为法而以余折田十八亩九分为实即田之折数可知知田数知地亩矣

　　若以折问田亩则一十八亩九分折为法二十一亩田为实实如法而一得每折一亩原田一亩又九分之一于是以分母九通右行田三亩得二十七分而以一亩又九分之一共一十分为法除之得二亩七分以减共折四亩七分余折二亩以除右地六亩得每折一亩原地三亩【以上二色例也三色四色以至多色凡和数者皆同但须重例减余以求之今不悉具于后诸条中详之】

　　较数方程例

　　凡较数方程分正负之价与盈朒畧同但盈朒章有盈朒又有出率方程则但有总物与盈朒而无每出之率又兼数色所以不同又盈朒者是有每率而不知总所言盈朒适足是总计所出以与原立总价相较之数也方程正负则是两总物自相较之数若不立正负则下价之与上物不知其孰为同异矣此正负之法异于盈朒也【负与正对所以分别同异盖对数之所余即正数之所欠故谓之负与负责之负畧相似老子言万物负阴而抱阳盖正即正面负即反面也开方法有负隅言隅之空隙也郭太史厯经三差法有负减言反减也本于平差内减去立差今立差反多于平差故于立差内反减平差是为负减兼此数端而正负之义可见矣】

　　法曰任以一色为正则以相当之一色为负【此据二色者言之三色以上或以一色与多色相当或以多色与多色相当其法皆同二色】正物之价多为正价负物之价多为负价正与负为异名异名相并正与正负与负为同名同名相减

　　首位同名者仍其正负不变【首位同数同名即可减去此正法也】首位异名变其一一以相从【首位亦同数但不同名故变而同之则亦同数同名而可减尽矣首位既变则其行内皆从而变此通法也盖必如是则同减异加始归画一而于和较交变之用尤便也】

　　其法皆于互乗时以得数变之盖减并只用得数也只变一行其相对之行不必再变二色三色以至多色并同何也三色以上行数虽多而乘并之用皆以各相对之一行论同异即同二色之理

　　论曰和数方程有减无并皆同名故也较数方程有减有并或同名或异名也减并者方程之纲要正负淆则同异之名混而并减皆失矣今诸本所言正负同异誃离舛错虽加减得数皆偶合耳西人论句股三角八线割圜几何原本可谓详矣矣至方程增立诸率亦复草草未穷其故也

　　用法曰以一色列于上以相当之一色列于中任以一色为主而分正负【此亦以二色为例三色以上皆以两相当者主其一以分正负皆与二色法同】

　　以两色相较之价列于下以正物为主而分同异或正物所多之价命之为正或正物所少之价命之为负【正物之所少即负物之所多】或正物负物之价两相若命之适足则空位列之亦以列上位者为乘法左右互乘遍乘中下以首位为主而变正负得数对减其上一色必数相若且又同名而减尽中一色与下价或同名或异名异名者并之同名者对减取其减并之数以为用一为法一为实以法除实得中一色每价以原列中物乗之得中物总价以与原列下价同名相减异名相并得数以原列上物除之得上一色每价【其上中亦可互求】

　　假如以研七枚换笔三矢研多价四百八十文若以笔九矢换研三枚笔多价一百八十文问笔研价各如干

　　畣曰笔每矢价五十文　研每枚价九十文

　　法各列位

　　上　　　　中　　　　下

　　先以左行研负三遍乗右行得数【首位异名须变一行以相从故研正变为负笔负变为正价正变为负皆于得数变之】

　　次以右行研正七遍乗左行得数【右行既变则左行不必再变故研负笔正价正皆仍旧】

　　于是以上研各负二十一同名相减尽　次以中笔两正同名相减余五十四为法　再以下价左正右负异名相并得二千七百为实　以法除实得五十文为笔价　以左行笔正九乘笔价得四百五十内减同名价一百八十余二百七十以左研负三除之得九十为研价或以右笔负三共价一百五十加异名价正四百八十共六百三十以右研七除之亦得研价九十

　　论曰左行原是九笔多于三研一百八十文乘后得数则是六十三笔多于二十一研共一千二百六十文也右行原是七研多于三笔四百八十文乘后得数则是九笔少于二十一研一千四百四十文也于是以两行得数较之上位研负二十一两行尽同研之数同则其价亦同惟中位笔数左行多五十四枝则是左行笔多价一千二百六十文者以多此五十四笔而右行笔少价一千四百四十文者以少此五十四笔也夫右行笔价原少于二十一研者一千四百四十文以左行多五十四笔而反多于二十一研者一千二百六十文是此五十四笔既补却右行之所少而仍多此数也故并右行之所多共此二千七百以为五十四笔之价知笔价知研价矣

　　若先求研价者以研列中为除法以笔列上为乗法如后图

　　问者或云笔三矢换研七枚少价四百八十文又有研三枚以换笔九矢少价一百八十文则其下价为两负【四百八十是笔少于研之价一百八十是研少于笔之价】

　　先以左行笔负九徧乗右行得数【首位异名宜变一行故其正负皆更之】

　　次以右行笔正三徧乗左得数【右变则左不变故正负皆仍之】于是以得数较其同异而为之减并　笔各负二十七同名减尽研正同名相减余五十四为法　价正负异名并得四千八百六十为实　实如法而一得九十为研价　以研价乗左正研三得二百七十异加价负一百八十共四百五十以左负笔九除之得五十为笔价或以右研七价六百三十与价四百八十同减余一百五十以笔三除之亦得笔价五十

　　论曰左行原是研三少于笔九者一百八十文乗后得数则是九研少于二十七笔者五百四十文也　右行原是三笔少于七研者四百八十文乗后得数则是六十三研多于二十七笔者四千三百二十文也夫两行笔皆二十七则其价同也而右行研价多于笔四千三百二十文左行研价反少于笔五百四十文是两行研价相差者共四千八百六十文也推求其説则只是两行中相差五十四研之故也故减去相同之笔用此相差之研以除此相差之研价而每研之价可知矣

　　若如难题所列以研为正笔为负问者当云以七研换三笔研多价四百八十以三研换九笔研少价一百八十文则价右正左负【难题系书名】

　　左右研正徧乗得数【首位本同名故其正负皆不变】研减尽笔余五十四为法价异并二千七百为实法除实得笔价以次得研价如前若以笔为正研为负则其价右负左正

　　依法先得研价如第一图

　　以前四图或以笔为正或以笔为负或以研为正或以研为负或以价为两正或以价为两负或以价为一正一负其所呼正负之名无一同者要其为同异加减之用则一也

　　试以一行中同异言之其左行之价必与笔同名何也左行之价乃笔多于研之数也故与笔同名而与研异名也　其右行之价必与研同名何也右行之价乃研多于笔之数也故与研同名而与笔异名也试以两行中同异言之其上位皆减尽其中位皆相减为法其下价皆相并为实其减也皆以同名其研也皆以异名　此下价异并例也

　　假如有大小余句不知数但云倍小余句以当三大余句则不及一丈五尺三寸若倍大余句则如七小余句

　　畣曰大余句六尺三寸　小余句一尺八寸

　　法以正负列位

　　先以左小余句负七徧乗右得数【首位异名宜变以相从故小句变负大句下负数皆变正】

　　次以右小余句正二徧乗左得数【右行既变则此行不变下适足无乗亦无正负】　乗讫乃较之　小余句各十四同减尽　大余句同减余一十七为法　下正数十丈零七尺一分无对不减就为实　以法除实得六尺三寸为大余句　乃置左行二大句该一丈二尺六寸以左行相当适足之七小句除之得一尺八寸为小余句【或用右行三大句该一丈八尺九寸以同名负一丈五尺三寸减之余三尺六寸以右行二小句除之亦得一尺八寸】合问

　　论曰以左小句徧乗右是各七之也为小句二大句三者七其相较之数亦七也　以右小句徧乗左是各二之也为小句七大句二者二其相当适足者亦二也但以首位必同名然后可减故以右小句正变而为负以从左名也小句变为负则所与相较之大句不得不变而正矣　于是小句同减尽大句同名减去四余右行正十七下较数无减仍余十丈○七尺一寸然则此所余者正是减余大句之数矣何也小句十四左右皆同若只如左行四大句则与小句相当适足矣而今右行独余此较数者非以右多十七大句之故乎

　　试以大句列于上则先得小句如后图

　　如法左乗右更其正负　右乗左仍其正负　大句同减尽　小句同减余正一十七在左行为法　下较数负三丈○六寸在右行无对不减就用为实以法除实得一尺八寸为小句　就以左行小句七该一丈二尺六寸以左相当适足之大句二除之得六尺三寸为大句【或于右行正一丈五尺三寸加异名小句负二该三尺六寸共一丈八尺九寸以右大句三除之亦得六尺三寸】

　　论曰左行原是小句七以当大句二适足今以右大句乗而各三之则是小句二十一以当大句六而亦适足也　右行原是大句三以当小句二而大句多一丈五尺三寸今以左大句乗而各二之则是大句六以当小句四而多三丈○六寸也　以两行之得数较之大句既减尽惟左行之小句余一十七则是左行得数所以相当适足者以多此十七小句之故而右行小句得数小于大句三丈○六寸者以少此十七小句之故也然则此三丈○六寸者正是十七小句之数也【依此论可见左行之所多即右行之所少故左行名正者用于右行即为负而隔行之异名即为同名】

　　此下较无减例也

　　假如有大小方积不知数但云一大方积以当二小方积多数八十九若以三大方积当七小方积仍多二百五十一

　　畣曰大方积一百二十一　小方积一十六

　　法以正负列位

　　上　　　　　　中　　　下

　　先以右大积一徧乗左行皆如原数　次以左大积三徧乗右行得数【首位同名故两行正负皆不变】　大积同减尽小积同减余一为法较数同减余一十六为实　法除实仍得一十六为小积　以右行小积负二该三十二加异名正八十九共一百二十一为大积【或以左行小积负七该一百一十二加异名正二百五十一共三百六十三以左大积三除之亦得一百二十一为大积】

　　论曰左行原是大积三多于七小积者二百五十一乗后得数亦同　右行原是大积一多于二小积者八十九乗后得数则是大积三多于六小积者二百六十七也　于是以两行对勘其大积既减尽惟小积左行余负一其下较数则右行余正十六夫此十六数者与大积同名是右行大积之数也右行少一小积而大积之盈数多十六左行多一小积而大积之盈数少十六然则此十六数者正是此一小积之数矣若以小方积为正则其下较数为两负【皆小积所少之数也故皆为负】

　　上　　　　　中　　　　下

　　依法徧乗对减余大积一为法　余负一百二十一为实　法除实不动就以一百二十一为大积　右大积一该一百二十一同名减负八十九余三十二以小积二除之得一十六为小积

　　此是右行多一大方积故多一同名之数一百二十一同在一行易知不须重论

　　以上二图正负所呼迥异然所同者两行之较数皆与大方积同名何也皆大方积多于小方积之数故与大方积同名而与小方积异名也

　　此下较同减例也

　　总论曰凡较数方程原列较数是本行中正与负之较也其乗后得数同减异加而得者则是两行中正与正之较或负与负之较也故本行中以异名相较而两行对减或加是以两行之同名相较

　　假如原列较数与正物同名是正多于负之较也若列较与负同名是负多于正之较也故曰本行中异名相较也

　　假如乗后得数而两行之较数皆与正物同名则两较亦自同名乃以之对减而余在一行则知此一行正物必多于对行之正物而其所多之数即如此所余之较数矣

　　假如两行较数皆与负物同名则两较亦自同名以之对减而余在一行则知此一行负物必多于对行之负物而其所多之数正是此所余之较数矣此同名相减之理也

　　假如右行较数与正同名而左行较数却与负同名则一是正多于负之数而一是负多于正之数也夫正与负原相待负多于正之数即正少于负之数也于是用异名相加法以左行负多于正之数变为正少于负之数以相并则知右行之正数必多于左行之正物而其所多几何正是此两较之并数矣此异名相加之理也

　　合同减异并而观之总是两行中同名相较也

　　又论曰较数方程以两相较而为用虽有三色四色乃至多色其相较也必两此正负所由立也立正负以别同异犹彼我也夫彼我者岂有一定之称哉以此为正则以彼为负若以彼为正则此反为负矣正负之相呼犹彼我之相视也故曰无定虽然无定者正负有定者同异其无定者在未立正负之先其有定者在既立正负之后既以一为主则同乎此者皆同名异乎此者皆异名矣是故无定而实有定也

　　今试以所列方程最下位观之其言正负者必上物之较数也不言正负者必上物之和数也较数有盈有朒有适足和则否

　　假如下价盈则为正正与正同名试于正物价之中减去下同名正价之盈则所余之价必与负物之价相当矣　正与负异名试又取上负物之价以加下异名正价则又必与正物之价相当矣

　　假如下价朒则为负【正物之朒负物之盈也】负与负同名试于负物价之中减去下同名负价则所余之价必与正物之价相当矣　负与正异名试又取上正物之何以加下异名负价又必与负物之价相当矣

　　假如下价适足空位无盈朒则其上正负物价必自相当

　　又论曰正负之术分别同异全在有交变之法以通其穷要其为用惟在使两行之首位同名而已何也方程以互乗递减立法每乗一次即减去一色然惟和数则一乗之后即可对减若较数则有同数而不同名之时若不减首位即不成方程若径以异名而减势必以同名而并法不画一而于后条和较交变之时益混淆而难用故以法变之使首位之同数者无不同名而仍为同名利减焉首位既以同名减则凡减者皆同名凡并者皆异名而其法画一矣故首位既变则行内之正负皆变何也从首位也行内之正负既皆从首位而变由是而原与首位同名者皆与隔行之首位同名也原与首位异名者即与隔行之首位异名也如此则隔行之同减异并亦清矣正负犹阴阳也牝牡也各行中各有正负犹两仪之生四象也乗而交变犹刚柔相推而生变化也隔行之正本行以为负隔行之负本行以为正真阴真阳互居其宅也同名相减者阴阳之偏不得其配也异名相并者阴阳得类雌雄相食也是皆有自然之理焉可以思古人立法之原矣

　　【以上亦以二色者举例三色以上乃至多色正负之用尤显详具诸卷中兹不赘列然其理着矣】和较相襍方程例

　　方程之用以御隠襍妙在襍与变知其襍则襍而不用矣知其变则变而不失其常矣诸书所论胥未及此故求之甚详去之愈逺也

　　用法曰凡方程和较襍者和较从和法列之不立正负较数从较法列之明立正负　其偏乗得数后在

　　较数行中者仍其正负之名在和较行中者皆变从乗法之名【和数原无正负则无可变但乗后得数取其与较数之首位同名而已首位既同名下不得不同名矣】

　　凡两较者下价或有减有并而中物只同减若一和一较者下价亦有减有并而中物皆异并此以两色言之三色以上随数通变皆以同异名御之

　　假如有大小句不知数但云三其大句倍其小句共三丈三尺若倍大句则如六小句问若干

　　畣曰大句九尺　小句三尺

　　法以一和一变列位【适足者以相较而得名即同较义】

　　右行和数也不立正负　左行较数也明立正负右乗左而三之和乗较也故其正负皆如故

　　左乗右而二之较乗和也故得数皆为正从乗法之名也　如法遍乗讫以两行对勘　大句同名相减尽　小句异名相并得二十二为法　正数六丈六尺无减就为实　法除实得三尺为小句　以左行小句六共一丈八尺为实以大句二为法除之得九尺为大句【或于右行共三丈三尺内同减小句二共六尺余二丈七尺以大句三除之亦得九尺】

　　论曰右行大句三小句二共三丈三尺乗后得数则是六大句四小句共六丈六尺也　左行大句二小句六其数相当乗后得数则是六大句十八小句亦相当适足也　于以对减而两大句同减尽则其数同也而右行正数犹有六丈六尺左则无有其故何也右行正数中有小句四而左则无且不惟无之而已其相对之负数反有十八小句焉是左行正数又自除却十八小句之数也右行正数多四小句左行正数又自除却十八小句则是右行正数之多于左行正数者二十二小句也故并此二十二小句为右行所多之正物其六丈六尺则右行之正数也以正物除正数而小句可知知小句知大句矣

　　又细攷之六大句合四小句共六丈六尺则以与六大句相当之十八小句合四小句亦必六丈六尺也此亦西儒比例之理而以同异名尽之可见古人用法之简快试更列之以小句居上则先得大句亦同

　　上　　　　　　中　　　　　下

　　先以右小句二徧乗左行得数【和乗较也故仍其正负】

　　次以左小句六徧乗右行得数【较乗和也故皆命为负与乗法同名】两小句同减尽　两大句异并二十二为法　负数十九丈八尺无减就为实法除实得大句九尺　以右行大句三该二丈七尺减共三丈三尺余六尺以小二句除之得小句三尺

　　论曰小句互乗之后则其数同也小句数同则负数亦同而右行之负数独有十九丈八尺左则无有者以右之负数中有大句十八而左则无不惟无也其所对之正数中反有大句四是左行负数中又原少四大句也右负数多十八大句左负数少四大句是右之负数多于左之负数者共二十二大句也然则右之负数独有此十九丈八尺者正是此二十二大句之数也

　　此和数与适足偕也

　　假如有江湖两色船载物不知数但云江船五以较湖船一则江多二千八百石江船三湖船五则共载二千八百石问船力若干　畣曰江船六百石　湖船二百石

　　法以一和一较列位

　　如法左右徧乗得数

　　江船同减尽　湖船异并二十八为法　载物同减余五千六百石为实　法除实得二百石为湖船数以湖船数加右行异名正二千八百共三千石以

　　右江船五除之得江船数六百石【或以湖船五共一千石同减左行二千八百石余一千八百石以左江船三除之亦得六百石】

　　论曰徧乗后江船数同则其载数亦同今以两正数相减而左多五千六百者以左正数中有湖船二十五而右则无不惟无也其所对之负数中反有湖船三是右行正数中又自少三湖船也左多二十五右少三是左正数多于右数者共二十八湖船也然则左之正数独多五千六百者正此二十八湖船之数也此和数偕一正也负亦同

　　和变交变方程例

　　凡方程三色以上以减余重列则有和变较较变和者不可不察也　若非和较之襍则二色方程之中物有减无并矣若非和较之变则三色四色方程和数者有减无倂矣夫和数较数非自我命之名也其下价之为和为较不可诬也

　　用法曰和变较者但和数减余有分在两行者兼而用之即变较数也　和既变较即以较数法列之其法以一行之余数命为正以一行之余数命为负　其下余价以与中位余物同在一行者即为同名从其正负而命之　若下价减尽无余者命为适足若减余只在一行者无变也只用和数法

　　较变和者但视较数减余或有一行内皆正或皆负者即变和数也即如和数法列之不立正负【其较数异并者以一行为主而以隔行之之异名从本行为同名】

　　若减余行内有正负者无变也只用较数法

　　若有两异并而一位左正右负一位右正左负亦仍为较数不变虽减余分在两行而一行余正物一行余负物亦和数也何也隔行之异名乃同名也若减余同名而分余于两行即仍为较数不变何也隔行之同名乃异名也

　　若两异并皆左正右负或皆左负右正亦和数也和较重列有俱变为较者有只变一行为较而余行如故者较数重列有俱变为和者有只变一行为和而其余如故者皆如上法以和较襍列之

　　若四色以上有和变较较复变和者有较变和和复变较者皆以前法御之

　　假如以衡校弓弩之力但云大神臂弓二弩九小弓二共重七百一十斤又有神臂弓三弩二小弓八共五百二十五斤又有神臂弓五弩三小弓二共五百一十五斤问各力

　　畣曰大神臂弓力五十五斤　弩力六十斤　小弓力三十斤

　　法先以和较列位【凡三色者可任以一行为主与余二行数相乗而减并之故前后之行可互更也详见第三卷】

　　先以中行神臂弓二为法徧乗左右得数【此以中行为主与左右互乗取其行间易为减并之用也】

　　次以右行神臂三徧乗中行得数与中行对减　神臂弓中右各六对减尽　中弩二十七内减去右弩四余二十三【中行余也】　中小弓六去减右小弓十六余十【右行余也】　中力二千一百三十内减去右一千○五十余一千○八十斤【中行余也】

　　以上减余分在两行已变较数矣即用较数之法分正负列之而以弩与力命为同名【弩与力同在中行故也】次以左行神臂五徧乗中行得数而以中左两行对减　神臂弓各十减而尽　中弩得四十五内减去左行弩六余三十九

　　中行小弓得十内减去左小弓四余六　中力得三千五百五十内减去左一千○三十余二千五百二十斤

　　以上减余俱在中行仍为和数也不分正负

　　论曰此和数方程变为一和一较也何也中右得数两大弓减尽则其力相若也弩数相减而余在中行是中行之弩力多于右行也小弓相减而余在右行是右行小弓之力多于中行也弩力中多于右小弓力右多于中而今共力相减惟中多一千○八十斤则是此一千○八十斤者非余弩余弓之共数而余弩所多于余弓之较数也虽欲不分正负不可得也如中左对减而余弩余小弓俱在中行则中行之余力二千五百二十斤者仍为余弩余小弓共数无正负之可分也故以此两减余者依和较杂法重列而求之

　　如前对减既于共力中清出首一色大神臂弓不与弩小弓杂矣然所余之力尚为弩小弓共数与其较数而未能分别此二色之每数也故必重测

　　依和较杂法以左右余弩互徧乗得数【左乗右和乗较也故仍其正负右乗左较乗和也故变从乗法之名皆曰正】

　　弩同减尽　小弓异并五百二十八为法　力同减余一万五千八百四十为实　法除实得三十斤为小弓力　以小弓力乗右行余小弓十得三百斤异如力正一千○八十斤共一千三百八十斤以余弩二十三除之得六十斤为弩力【或于左行共力二千五百二十斤内同减小弓六该一百八十斤余二千三百四十斤以余弩三千九除之得六十斤亦同即此可见两减余之为一和一较】乃于原列任取右行八小弓力二百四十斤二弩力一百二十斤以减共力五百二十五斤余一百六十五斤以大神臂弓三除之得五十五斤为大神臂弓力

　　论曰两弩正数同而其力不同者小弓之故也左行和数也是弩偕小弓之力也右行较数也是弩力中减去小弓之力而余者也合而观之则是左行之弩力有小弓一百三十八以为之益而右行之弩力反减去小弓三百九十然则左行正数之多于右行者凡共差小弓五百二十八而左行正数所以多于右行一万五千八百四十斤者正是此小弓五百二十八之力也

　　凡此减余之数亦可互求若更置之以小弓列上则先得弩力如后图

　　上　　　　中　　　　下

　　依法右左徧乗得数【左乗右和乗较也故仍其正负右乗左较乗和也故变从乗法之名皆名之曰负】

　　小弓同减尽　弩异并得五百二十八为法　力异并得三万一千六百八十为实　法除实得六十斤为弩力　以弩力乗右行弩二十三得一千三百八十斤同减正一千○八十斤余三百斤以小弓十除之得小弓力

　　论曰两小弓同名负其数既同而左行负数之力有若干右则无之而且反小于正数之力若干者何也以左行负数中有弩三百九十右则无之而其所对之正数反有弩一百三十八以为之除算则是左负数之多于右者共五百二十八弩也右负数少此五百二十八弩而正数力遂多六千四百八十斤左负数多此五百二十八弩则不但补却右行之所少而又自有力二万五千二百斤然则左行共多于右三万一千六百八十斤者正是此五百二十八弩之力也此三色和变较例也【四色以上襍见诸卷中】

　　问有甲乙丙三数甲加七十三得为乙丙数者倍乙加七十三得为甲丙数者三丙加七十三得为甲乙数者四其本数各几何　畣曰甲七　乙十七　丙廿三

　　法先以较数列位

　　先以中行甲正一遍乗右左得数皆如故【只变中行故两行之正负俱不变又是一数为乗法故数亦不变】

　　次以右行甲负三徧乗中行次以左行甲负四徧乗中行各得数【左右既省不变故变中行以从之首位变负下三位俱变正】

　　次以中右得数相减并　甲同减尽　中乙得正六同减左得正一余正五　中丙得正六异并右得负三共得正九中较数得正二百一十九异并右负七十三共得正二百九十二

　　次以中左得数相减并　甲同减尽　中乙得正八异并左得负四共得正十二　中丙得正八同减左得正一余七正　中较数得正二百九十二异并左负七十三共得正三百六十五以上减并之数皆同名又皆在一行知已变为和数重列之不分正负【依此显虽同名而或乙正在中丙正在左即不得变和数也何也左行之正中行之负也】

　　论曰此较数变为和数也以中右之得数言之中行六个乙六个丙共多于三个甲者二百一十九右行一个乙少于三个甲三个丙者七十三于是两相对较则两行之甲皆三个其数本同而中行之乙丙多于甲二百一十九者因中行之乙多于右行之乙者五个又有同名之丙六个以益之而中行之甲又非若右行之甲与三个丙同名是又少三个丙也夫甲股内少则乙丙股内多合而观之则是中行之乙丙股内共多五个乙九个丙而右行之乙股内共少此五个乙九个丙也夫中行之乙丙股内多五个乙九个丙便多于三个甲者二百一十九右行之乙股内少五个乙九个丙则不惟不多而反少于三个甲者七十三然则并此多二百一十九少七十三共二百九十二者正是此五个乙九个丙之共数而非其较数也故不分正负

　　又以中左之得数言之中行正数是八个乙八个丙负数是四个甲而正数多者二百九十二左行正数是一个丙负数是四个甲四个乙而正数少者七十三于是两相对勘则两行负数之甲皆四个其数本同惟中行之正数内比左正数多七个丙又加八个乙而中行之负数又比左负数少四个乙合而观之是中行之正数比左行共多十二个乙与七个丙而左行之正数比中行共少十二个乙七个丙也然则中行正数之多于负数二百九十二者以多此十二个乙七个丙而左行正数之反少于负数七十三者以少此十二个乙七个丙也则是并此多二百九十二少七十三之数共三百六十五者正是此十二个乙七个丙之共数而非其较数也故亦不分正负

　　如法以乙数左右互徧乗得数相减【无正负故有减无并】乙减尽　丙减余七十三为法　下位余一千六百七十九为实　法除实得二十三为丙数以丙数乗左行　丙七得一百六十一以减共三百六十五余二百○四以左乙十二除之得一十七为乙数又以乙数异加原列右行负七十三共九十内减原右行丙三该六十九余二十一以原右行甲三除之得七为甲数

　　论曰此同文算指所立叠借互征设问之一也原法繁重今改用方程简易如此

　　此所设问三色方程耳以西术求之已不胜其难况四色以往乃至多色乎此亦足见方程之不可废而古人别立一章之诚有实用也

　　此三色较变和例也　四色以往至于多色则其变益多要不出于和较例具后诸卷中兹不详列

　　厯算全书卷四十

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷四十一

　　宣城梅文鼎撰

　　方程论卷二

　　极数

　　吾论方程至和较之杂之变尽矣虽然不知带分叠脚重审之法无以穷其致故极数次之

　　极数有三一带分二叠脚三重审皆不离乎和较之四术带分方程例

　　法曰视原问中有云防分之防者则以分母通其全数而列之或云有物防数又防分之防者以分母通其全数而纳其子如法列位遍乗减并以求一法一实既得法以除实而得者即所求物之一分也以所得一分之数分母乗之则为物之全数矣

　　或云防分之防又防分之防者以两分母相乗为全数而列之又以两分母互乗其子为所用之分而列之所用之分同在一行者并而列之分用于两行者不并也并之而所用之分反大于全数者以全数除之命为几全数又几分之几其入算乗除仍用所并之分得数后则只以全数之分乗之为全数【以上两法皆化整为零乗除竟用零分故先得一分之数】

　　又法

　　凡较数有以此之全数当彼之防分之防者则通其一行之内皆以分母乗之而后列焉则其所得即为全数而非其一分也【如云乙得甲三分之二则以分母三乗乙全数得全乙者三乗甲之二分得六分是为全甲者二则以三乙当二甲而列之骤视之如倒列其子母其实皆全数耳】若有正负之数亦以分母乗而列之【亦全数非零分也是为以零变整与化整为零之法不同故径得其全数所用乗除皆整数非分故也】得即为整【其所用分母只在本一行中如一物有两分母又分用于各行则各以其行中分母为用】凡和数中有一位带分而余只全数者亦可以分母通乗而列之其所得亦为全数而非分【如甲三乙二又三之一共十六则以分母三乗甲得九乗一二得六乗乙之一得三亦整一也并得整七乗共十六得四十八是为甲九乙七共四十八变零为整径以整数乗除所得即为整数】

　　又法

　　凡带分之法或化整为零或变零为整取其画一也此外又有杂用零整之法亦所当知【如行中有几位或原带有零分者以化整为零法列之其原未带分者只以整数列之但乗除得数后整列者所得即为整数零分列者所得只为零分之数仍须以分母乗之为全数】

　　又法

　　视所带之分有可以分母除之而尽者则以所除分秒附于整数而列之则其乗除后得数亦为所求之全数【若分母除其子不能尽者则不用此法】

　　今有甲字库贮金丁字库贮银各不知总但云取甲四之三加丁五之二则一百一十万若以甲加丁之倍数则四百四十万问各若干

　　畣曰甲库金四十万　丁库银二百万

　　法以分子甲之三分丁之二分列右

　　以分母四通甲整一得四分以分母五通丁整二得十分列左

　　依和数法互乗对减余丁之分二十二为法余八百八十万为实

　　法除实得四十万为丁之一分以丁之分母五乗丁之一分得二百万为丁库银数　乃以丁库数倍之得四百万减四百四十万余四十万为甲库金数此化整从零法也【原列零分故得亦零分之数】

　　又法以丁分母五互甲之三得十五以甲分母四互丁之二得八列右乂以两分母【五四】相乗得二十为甲丁共母以乗一甲得二十乗倍丁得四十列左　乃以甲丁共母乗一百一十万得二千二百万列右乗四百四十万得八千八百万列左【分母相乗为母母互乗子只是通分之法妙在以分共母乗其和数而零数皆为整用矣此用法之妙】

　　上　　　中　　　下

　　依法乗减余丁四百四十为法　八亿八千万为实以法除实得二百万为丁数以丁四十计八千万减八千八百万余八百万以甲二十除之得四十万为甲数此变零为整法也【原列整数故所得即为整数】

　　又法以甲分母四除之三得七分五秒以丁分母五除之二得四分列之则其余数皆不变

　　左甲一乗右行皆如原数　右甲○七分五秒乗左行各得四分之三甲各○七分五秒尽减　丁余一一【上一整数下一一分乃十分之一】为法共数减余二百二十万为实　法除实得二百万为丁数　以丁数倍之减共数余四十万即为甲数

　　此除零附整法也【零分既除为分秒则乗除之际皆以整数为主故所得亦即为整数】

　　今有甲乙二数不知总但云取乙五之三又取乙四之一以益甲则甲之数倍取甲三之二又取甲七之二以与乙较则乙多数二百四十问甲乙本数各防何畣曰甲本数一千○七十一　乙本数一千二百六十

　　法以较数带分取之　本二色也却有三位以分母通之仍二位也　先以乙分母【五四】相乗得二十以当乙之全数　又以分母五互乗分子一得五以分母四互乗分子三得十二并之得十七以当乙所益甲之分　是为乙二十分之十七以益甲也

　　次以甲分母【三七】相乗得二十一以当甲之全数　又以分母三互乗分子二得六以分母七互乗分子二得十四并之共二十以当甲所与乙较之分　是为甲二十一分之二十以与乙较也

　　于是分正负列位

　　依较数法乗减　乙余八十分为法　负数无减就以五千○四十为实　法除实得六十三为乙之一分　以乙全分二十乗之得一千二百六十为乙本数　乙本数同减负二百四十余一千○二十即甲与乙较之分也以左行甲之二十分除之得五十一为甲之一分以甲全分二十一乗之得一千○七十一为甲本数

　　乃细攷之　置乙本数【三】因【五】除之得七百五十六为五之三　又置一本数【四】除之得三百一十五为四之一　并两数共一千○七十一则与甲数同故以此益甲而甲倍也　置甲本数【二】因【三】除之得七百一十四为三之二　又置甲本数【二】因【七】除之得三百○六为七之二　并两数共一千○二十以此较乙则不及二百四十

　　此只是以乙之分与甲较又以甲之分与乙较也末卷所列诸率则是以乙之分益甲而转与乙所存之分相较又以甲之分益乙而转与甲所存之数相较故自不同合而观之则见

　　今有寳泉寳源二局铸钱不知总但云取寳源五之四又四之三以益寳泉则寳泉之数倍　若取寳泉三之二以与寳源较则多于寳源四十二贯

　　畣曰寳泉原数一千九百五十三贯　寳源原数一千二百六十贯

　　法先以寳源分母【五四】相乗得二十分为全数　又以分母五互乗分子【三】得十五分母【四】互乗分子【四】得十六并之共三十一分为寳源所以益寳泉之分　全数二十分所用以益寳泉者反有三十一分是为以寳源全数又二十分之十一以益寳泉也　其寳泉只一分母故不用乗并

　　乃列位

　　如法乗减　中位余二分为法　下位余一百二十六贯为实

　　法除实得六十三贯为寳源局二十分之一分　以分母二十乗之得一千二百六十贯为寳源数　以寳源数异加正四十二贯共一千三百○二贯即寳泉局三分之二也于是以分子之二除以分母三乗得一千九百五十三贯为宝泉数【置寳源数四因五除之得一千○八为五分之四又置宝源数三因四除之得九百四十五为四之三并两数亦恰得一千九百五十三贯如寳泉数以加寳泉是为宝泉者倍也】

　　论曰乗得数后宝泉分数同惟右行之寳源多于左行者二分而遂能与寳泉等若左行之寳源少此二分而其少于寳泉者遂一百二十六贯然则此一百二十六贯者正是寳源之二分矣【知分数即知全数知寳源即知寳泉】此二则皆化整为零而分母不同也

　　今有货泉刀贝四种之币各不知数但云泉八之一兼刀布七之二则如货数也　若刀布七之三兼贝六之四则其数如泉也若贝六之五又外加数八千九百七十则如刀布也　若货数自加九之一则其数如贝也问本数各防何

　　畣曰货五千一百三十　泉九千六百八十

　　刀布一万三千七百二十　贝五千七百

　　法以各分母通其原数然后以正负列之　货分母九泉分母八　刀布分母七　贝分母六　【丁行货合数一】

　　【又九分之一共十是为九分之十凡全数帯分者准此】

　　先以甲行货正九分为法徧乗丁行得数　又以丁行货负十分为法徧乗甲行得数【因首位异名故变一行以相从而以丁从甲】乃以甲丁两行得数相减　货同减尽　甲行泉负十分刀布负二十分皆无对不减　丁行贝负五十四分亦无对不减　下适足无乗无减仍为适足

　　乃以泉刀同名在甲行者为一类　贝同名在丁行者为一类分正负重列而求之【丁行之负甲行之正也】

　　因余行已无货位当以泉为乗法寻乙行中有泉径用与减余相对

　　如法徧乗得数乃相减并　泉同减尽　刀布异并得【正】一百九十分　贝同减余负三百九十二分以减余为主命其正负而重列之

　　因余行又已无泉当以刀布为乗法寻丙行有刀布径用与减余相对

　　上　　　　　　中　　　　　　下

　　如法徧乗得数　刀布同减尽贝同减余一千七百九十四分为法正一百七十万四千三百无减就为实　法除实得九百五十为负之一分　以丙行贝之五分该四千七百五十异加正八千九百七十共一万三千七百二十为刀布原数　以刀布分母七除原数得一千九百六十为刀布之一分　以刀布之三分该五千八百八十贝之四分该三千八百并之得九千六百八十为泉数【用乙行也】以泉分母八除泉数得一千二百一十为泉之一分　以泉之一分加刀布之二分三千九百二十共五千一百三十为货数【用甲行也】以货分母九除货数得五百七十为货之一分以货数加一分共五千七百为贝数【用丁行也】

　　甲丁两行乗减论曰既互乗则甲丁之货等而甲行之泉若刀布及丁行之贝又各与其首位之货等则甲之泉若刀布必与丁之贝等也故对减去货而径以甲之泉若刀布与丁之贝分正负而命之适足也此即西学中比例之理然方程中自有之且简快如此

　　乙行减并论曰左右两行之正负皆适足若于右正数内减左正右负数内减左负其所余者亦必适足也今右正内既减去同名之泉右负内又减去同名之贝而左负内有刀布不与右同名不能相减故反用以加加则正数多正数多则负数少而其数亦必适足矣

　　又论曰隔行之异名乃同名也今两行之正与负既皆适足若以左之正【泉】益右之负【贝】而共为负以左之负【刀布贝】益右之正【泉刀布】而共为正则亦适足也于是以两者【右泉刀布左刀布贝为一类左泉右贝为一类】对减其相同之物【泉各减八十分贝各减四十分】则其所余之物必亦适足也【左右刀布为正右贝减余为负】

　　又论曰右行刀布正数也正多于负之数也左行刀布负数也正少于负之数也合此二数则是右正之多于左正者此两行之刀布也然刀布之数右正虽多于左正而贝之数右负亦多于左负故两行皆适足也然则右正之所多与右负之所多亦必相当适足矣

　　丙行乗减论曰刀布本同惟右之贝多于左右之贝多则左之贝少左之贝少则刀布多矣然则左之刀布布独有盈数者正是此相差之贝也

　　此亦化整为零而又有整帯零【四色有空之例也】

　　问品官月俸六品为五品八之五七品为六品四之三八品为七品十五之十三九品为七品十五之十一倍九品加八品六品七品各一则如五品之倍数而多三石各若干

　　法以分母各通其原数而正负列之　五品通为八六品通为四　七品通为十五　八品九品以全数原无分母故也【五品倍则为十六】

　　先以甲行五品十六分遍乗乙行五品六品得数【余空位无乗】　次以乙行五品五分遍乗甲行得数　乃对减　五品各八十分同名对减尽　六品同名对减余四十四分乙行之负物也为乙类

　　七品八品九品并禄米较数皆无对不减皆甲行之负物负数也为一类　分正负列之与丙行相对

　　如法以减余六品分遍乗丙行六品七品分得数【余空无乗】

　　又以丙行六品分遍乗减余得数　乃以对减　六品得数各一百三十二分同名减尽　七品同名减余四百三十五分丙行之负物也自为一类　其余三位无减皆减余之负物负数也共为一类　分正负列之与丁行相对

　　又因丁戊两行皆有七品是多一算也乃更置之以八品列首位

　　上　　　　　中　　　　下

　　如法以丁行八品负一遍乗减余皆如故【首行同名故两行之正负亦皆不变】又以减余八品负十五分遍乗丁行八品七品得数　乃对减　八品同减尽　七品同减余二百四十分右行之正物也为一类　九品三十无减禄米四十五石亦无减皆右行之负物负数也同

　　名共为一类　乃分正负重列之与戊行相对

　　如法以左右七品分互遍乗得数【首行同名故两行之正负皆不变】七品同减尽　九品同减余九十为法　禄米四

　　百九十五石无减就为实　法除实得五石五斗为九品月俸　置九品俸以相当之七品之十一分除之得五斗为七品月俸十五分之一而以与八品相当之十三乗之得六石五斗为八品月俸　又以七品之分母十五乗其一分得七石五斗为七品月俸又置七品俸以相当之六品之三分除之得二石

　　五斗为六品四之一而以其分母四乗之得十石为六品月俸　置六品俸以相当之五品之五分除之得二石为五品八之一而以其分母八乗之得十六石为五品月俸

　　计开　五品毎月十六石　六品毎月十石　七品毎月七石五斗　八品毎月六石五斗　九品毎月五石五斗

　　论曰此所列有二种　六品通为四分者问原云四之三是可以四分者也七品通为十五分者原云十五之十三之十一是可以十五分者也五品通为十六分者原云八之五是可以八分者也又倍之而十六则为八分者二矣此皆以分立算化整从零之法也八品则只是原数九品亦是原数而又有倍数然

　　只是原数之倍非如五品倍其分也此两者皆不用分只用整　合而言之乃零整杂用之法也　零与整杂似不伦矣然乗除得数则同　但用分者所得数亦为一分之数故必以分母乗之乃合原数而其原不用分者得即原数更不湏乗能知此理则用分无误矣

　　甲乙两行论曰两行正数内五品本同而甲有负多于正之较乙则无有是此较数乃甲负多于乙负之较也于是以两负相减以去其同之分而观其所不同之处则甲有诸品而乙惟六品之减余然则甲负之独多此较者乃甲诸品多于乙六品减余之较矣

　　丙行乗减论曰两得数对减而六品减尽是其数同也其与六品为正负者又减去相同之七品分而左仍余七品之余分右仍余诸品之全分则是两行诸数皆同而惟此二者有差也然则右之独有盈于六品之较者正此二者之差数也

　　丁行论曰两行对减而于负数内减去相同之八品惟余九品于正数内减去相同之七品分惟余七品之余分然则右行负数独有盈于正数者正是右行九品与其七品余分之较也何也与之对减者乃左行适足之数故于较数无闗也【重列三次皆然】

　　戊行论曰右行内减去左行适足数惟余九品数则其下盈数必所余九品之数也　此条逓减归一其理较明学者翫之

　　此零整杂列也亦五色方程有空例也有减无并可悟偶加竒减之非

　　问有物一百七十四以三人分之乙所分如甲七之三仍不足单六丙所分如乙七之三而多二数各几何畣曰甲数一百一十二　乙数四十二　丙数二十【甲数三因七除得四十八多于乙数六乙数三因七除之得十八少于丙数二】

　　法列位　以甲乙分母七化整为零　丙无分仍用整

　　【○】　　　乙之三分【正】　丙一【负】负二【此行无甲数存与减余重列】

　　此三色有空先以和较杂法用两行甲互遍乗之和数甲全分七乗较行得数【依其正负】以较数甲正三分乗和行得数【从乗法皆命为正】　甲各二十一分同减尽乙异并七十分【正】丙三无减【正】下数同减余四百八十【正】皆同名不分正负以和数重列与第三行较数求之

　　上　　　　　　中　　　下

　　如法互乗减并　乙同减尽　丙异并七十九为法下数异并一千五百八十为实　法除实得二十

　　为丙数　丙数同减负二得一十八为乙七之三乃以三分除之得六为乙七之一以分母七乗之得四十二为乙数　乙数异加正六共四十八当甲七之三乃以三分除之得十六为甲七之一以甲分母七乗之得一百一十二为甲数　此亦零整杂用之法也

　　若依变零从整法则以分子母倒位列之其正负以分母乗之乃与和数列而求之

　　论曰倒位何也非倒位也分母遍乗则然也以分母七乗子三而皆七之则为三分者七为三分七是为全全数者三矣而其所当者全数也七之则为全数者七矣是乙以全数当甲七之三者七乗之则七乙当三甲也故如倒位然皆全数也非分也故非倒位正负亦分母乗何也乙一当甲七之三而少六则七乙当三甲而共少七个六为四十二也丙一当乙七之三而多二则七丙当三乙而共多七个二为十四也

　　如法以前两行遍乗减并又重列之与第三行遍乗减并　乙减尽丙异并七十九为法　下数异并一千五百八十为实　法除实得二十为丙数

　　七因丙数得一百四十同减负十四余一百二十六以乙三除之得四十二为乙数

　　七因乙数得二百九十四异加正四十二共三百三十六以甲三除之得一百一十二为甲数

　　此变零从整而分母同者也亦有分母不同但取其本一行中所用之分母遍乗本行以为用不必齐同如后条

　　问有数不知总以三人分之亦不知各所分之数但云甲如乙丙共数二之一乙如甲丙三之二丙如甲乙四之三而不足四又四分之一总数分数各几何畣曰总数十五　甲五　乙六　丙四　乙丙共十其二之一则五如甲　甲丙共九其三之二则六如乙　甲乙共十一其四之三则八义四之一以丙相较不足四又四之一也

　　法曰此各行分母不同【如甲有三之二又有四之三乙有二之一又有四之三丙有二之一又有三之二皆有两分母】宜用变零从整之法以不同同之【用分则不同变而用整则不同而同矣】以分母各遍乗其本行而列之右行分母二　中行三左行四

　　如法互乗减并以三色较数变为二色而重列之【虽减并不同皆仍为较数不变宜翫】

　　如法互乗　乙同减尽　丙同减余负三十四为法正一百三十六无减就为实　法除实得四为丙

　　数　六乗丙数得二十四以相当适足之四乙除之得六为乙数　以原列右行乙丙各一共十以相当适足之甲二除之得五为甲数

　　论曰甲为乙丙二之一则是二甲当一乙一丙也皆二因之也　乙为甲丙三之二则是三乙当二甲二丙也皆三因之也　丙为甲乙四之三而不足四又四之一则是四丙以当三甲三乙而不足十七也皆四因之也【甲乙丙各有两分母若化整为零当以分母相乗为原数母互乗子为所用之分殊多事矣】二因甲得二二因乙丙二之一得乙丙各一

　　三因乙得三三因甲丙三之二得甲丙各二

　　四因丙得四四因甲乙四之三得甲乙各三四因正四又四之一得正十七【以一丙与甲乙四之三较不足四又四之一若以四丙与四个甲乙四之三较亦不足四个四又四个四之一是为十七】

　　问有数九百六十以四人差等分之乙与甲如二与八丙与乙如三与七丁与丙如四与六各几何

　　畣曰甲六百七十二　乙一百六十八　丙七十二丁四十八

　　法以共数命为和相当数命为较依和较襍法列之乙二而甲八是乙得甲八之二故八乙可当二甲也丙三而乙七是丙得乙七之三故七丙可当三乙也丁四而丙六是丁得丙六之四故六丁可当四丙也【推此知二八三七四六各种差分皆可以方程御之】

　　首次两行如法互乗减并讫重列之取出第三行与之为耦

　　如法减并讫又重列之【两次减余皆和数可见立负之非】

　　又取末行与之为耦而列之

　　如法乗　丙减尽　丁并得四百八十为法　正二万三千○四十无减就为实　法除实得四十八为丁数　六因丁数得二百八十八以相当之四丙除之得七十二为丙数　七因丙数得五百○四以相当之三乙除之得一百六十八为乙数　八因乙数得一千三百四十四以相当之二甲除之得六百七十二为甲数

　　试以甲并乙共八百四十以八因之得甲数若二因亦得乙数是乙数甲二八差分也　试以丙并乙共二百四十以七因之得乙数若三因亦得丙数是丙与乙三七差分也　并丙丁共一百二十以六因之得丙数若四因亦得丁数是丁与丙四六差分也

　　又试以八除甲数得八十四以二除乙数亦得八十四若以八十四除甲数必得八以八十四除乙数必得二也　又试以七除乙数以三除丙数皆得二十四若以二十四除乙数必得七除丙数必得三也　以六除丙数以四除丁数皆得十二若以十二除丙数必得六除丁数必得四也

　　问有数七百四十一以四人分之乙于甲为三之二丙于乙为五之三丁于丙为七之五各防何

　　畣曰甲三百一十五　乙二百一十　丙一百二十六　丁九十

　　法曰乙得甲三之二是三乙当二甲也丙得乙五之三是五丙当三乙也丁得丙七之五是七丁当五丙也故皆命以适足而列之

　　先以孟仲两行如法互乗减并讫列其余数取出叔行相对

　　如法减并又列其余与季行相较

　　如法减并　丁二百四十七为法　正二万二千二百三十为实　法除实得九十为丁数

　　七因丁数五除之得一百二十六为丙数　五因丙数三除之得二百一十为乙数　三因乙数二除之得三百一十五为甲数

　　问有数七百四十一以四人分之乙如甲三之二丙如甲五之二丁如甲七之二各几何

　　因前问中有疉数故作此问以互明之

　　乙三当甲二而丙五又当乙三是丙五亦当甲二也丙五当甲二而丁七又当丙五是丁七亦当甲二也【又丁七亦当乙三今云两者以甲为主也】

　　在西法谓之连比例

　　上　　　　　　中　　　　下

　　首行互乗次行如故　次行乗首行皆二之甲减尽乙异并得五【正】丙二【正】丁二【正】正一千四百八十

　　二皆无减【皆仍为和同名在一行故也】

　　次行乗三行因两首位同不用乗竟以对减　甲减尽乙三【次行负也】丙五【三行负也】皆无减命为正负适足【同名在两行故为较数】三行末行首位亦同亦径减　甲减尽　乙空　丙五【三行负也】丁七【末行负也】皆亦无减命为正负适足【亦同名在两行】乃以减余重列之如三色有空之法

　　如法减并得二百四十七为法二万二千二百三十为实　法除实得丁数以次求得甲乙丙数皆如前问之数

　　问有米三百八十五石五斗二升令二等人户以四六差分出之甲上等二十六户乙下等四十户下户出率则如上户六之四

　　畣曰上户各七百三斗二升　二十六户共一百九十石○三斗二升　下户各四石八斗八升　四十户共一百九十五石二斗

　　法以和较列位

　　如法互乗得四　甲同减尽　乙异并三百一十六户为法　米一千五百四十二石○八升无减就为实　法除实得四石八斗八升为下等戸则例　以下等六户乗其则例得二十九石二斗八升以相当之上等四户除之得七石三斗二升为上等户则例

　　问有米三百一十七石给与四色人户甲二十户乙三十户丙四十户丁五十户丁每户如丙户七之三丙每户如乙户六之四乙毎户如甲户八之二各几何畣曰甲每户八石四斗　二十户共一百六十八石乙每户二石一斗　三十户共六十三石丙每户一石四斗　四十户共五十六石丁每户六斗　　　五十户共三十石

　　法列位

　　首行甲二十户十倍于次行甲正二但以首行甲退一位作二则齐同矣甲退十为单其下各位皆退十为单即如互遍乗而可以对减矣

　　乃以减并之余重与第三行列之

　　又以减并之余重与第四行列之

　　依法求得六百三十四为法　三百八十石○四斗为实　法除实得六斗为丁户则例　七因丁则得四石二斗丙三除之得一石四斗为丙则　六因丙则四除之得二石一斗为乙则　四因乙则得八石四斗为甲则

　　【此条有省算法说见后卷】

　　此上数条皆变零从整法也

　　有两数相较而为十之八十之七者即非二八三七差分也有二例见末卷

　　璎珞方程例

　　璎珞者言其聨缀而垂象璎珞也谓之疉脚

　　凡算方程皆以多色逓减至一法一实以先知一色之数然此所先求之一色却原带有不同之数则法一而实非一故以一总法而除多实非疉脚之法不可也【亦有以下为法上为实者则实一而法有多名在合问者之所求而定之详刋误条】

　　今有大江南北两处粮艘载米不同因氷程逺近给耗米亦不等但云南船三只北船两只共运米一千九百七十石外给耗米共六百六十八石又南船一只北船四只共运米一千九百九十石外给耗米五百五十六石问各船正耗米数以便稽核

　　畣曰北船每只正运米四百石　给耗米一百石共正耗米五百石　每正米一石耗米二斗五升南船每只正运米三百九十石　给耗米一百五十六石　共正耗米五百四十六石

　　每正米一石给耗米四斗

　　法各列位

　　先以左行南船一遍乗右行各得原数

　　次以右行南船三遍乗左行得数　南船三与右减尽　北船十二减去右二余十只为总法

　　正运米五千九百七十石减去右一千九百七十石余四千石为运米实

　　耗米一千六百六十八石减去六百六十八石余一千石为耗米实

　　以总法除正运米实得四百石为北船每只运数以总法除耗米实得一百石为北船每只耗米数【总计正耗得北船毎只米五百石】

　　任于左行总运米一千九百九十石内减北船四只该运米一千六百石余三百九十石为南船一只运数【一故不除　或于右行运一千九百七十石内减北船二只运八百石余一千一百七十石以南船三只除之亦得三百九十石】

　　于左行总耗米五百五十六名内减北船四只该耗四百石余一百五十六石为南船一只运数【或于右行耗六百六十八石内减北船二只耗二百石余四百六十八石以南船三只除之亦得一百五十六石】总计正耗得南船每只米五百四十六石

　　以北船四百石除其耗米一百石得每石给耗米二斗五升以南船三百九十石除其耗米一百五十六石得每石给耗四斗

　　此问每船米数故以船为法米为实

　　若问每米一万石该用几船则以减余船十只用异乗同除以一万乗得十万为总船实　以运米减余四千石为法　法除实得二十五为每运米一万石用北船之数　于是任以右行北船二只亦用异乗同除以一万石乗之二十五船除之得八百石以减共米一千九百七十石余一千一百七十石又用为法以右行原列南船三乗一万石得三万石为实法除实得二十五只又三十九分之二十五为每米一万石用南船之数

　　若问耗米给过五千石该得几船者则亦用异乘同除以五千石乘减余十只为北船实　以减余耗米一千石为法除实得五十只为每耗米五千石给北船之数　任以右行北船二只五千石乘之五十只除之得二百石以减共耗六百六十八石余四百六十八石又用为法以原列南船三乘五千石为实法除实得三十二只又三十九分之二为每耗米五千石给南船之数

　　假如有南运艘二只以比北三只则南船运米不及北四百二十石其南船带耗米反多于北一十二石若以南船三当北船五则南船运米不及北八百三十石其耗米亦不及北三十二石问各几何

　　法以正负列位

　　上　　中　　　下

　　如法乗减余北船一只为总法

　　运米同减余四百石为运米实即为北船每只运数【总法一故不除下同】耗米异并得一百石为耗米实即为北船每只耗数

　　任以右行北船三乗其运数得一千二百石同减负四百二十石余七百八十石以南船二除之得三百九十石为南船运数

　　以右行北船三乗其耗数得三百石异加正十二石共三百一十二石以南船二除之得一百五十六石为南船耗数

　　若问毎米一万石须几船运者则以减余北船一以一万石乘之为船实　以减余四百石为运米法法除实得二十五只为北船每运一万石之数　又以一万石任乗右行北船三以二十五只除之得一千二百石同减负四百二十石余七百八十石又为法以一万石乘南船二为实法除实得二十五只又三十九分船之二十五为南船毎运一万石之数

　　若问耗米五千石该给几船者则亦以五千石乘减余北船一只为船实　以减余一百石为耗米法法除实得五十只为北船耗米五千石之船数　又以五千石乗右行北船三以五十只除之得三百石异加正十二石共三百一十二石又为法以五千石乗南船二为实实如法而一得三十二只又三十九分船之二为南船耗米五千石之船数

　　此因耗米与正运不同故也若耗米亦以一万石为问则北船之实皆同

　　今有墨一百二十七锭研六十六枚给与修史局六十人校书局六十三人又有墨五十八锭研三十二枚给与修史局二十四人校书局四十二人问各防何畣曰史局每人墨一锭又六分之四【六人十锭也】研四分之三【四人共三研】校书局毎人墨七分之三【七人共三锭】研三分之一【三人共一研】

　　法各列位

　　如法乗减余校书一千○○八人为总法

　　墨余四百三十二为墨实

　　研余三百三十六为研实

　　以总法除墨实得七分之三为校书局给墨数【七人得墨三锭】　就以七人除右行校书六十三人以墨三锭乘之得二十七锭以减总给一百二十七锭余一百锭以史局六十人除之得一锭又六分之四【六人得四锭并整数为六人十锭】为史局给墨数

　　又以总法除研实得三分之一为校书局给研数【三人共一】　就以三除校书六十三人得二十一研以减总给研六十六余四十五研以史局六十人除之得四分之三【四人三研】为史局给研数

　　问修艌船只内有旧船二只新船一只共用桐油二百六十斤麻一百三十斤钉十七斤石灰二百一十斤计工两月有半又旧船一只新船三只共用桐油二百八十斤麻一百四十斤钉十六斤灰二百三十斤工两月有半其新旧船各防何

　　畣曰每新船一只　用桐油六十斤　麻三十斤钉三斤　灰五十斤　每工一月修两只

　　每旧船一只　用桐油一百斤　麻五十斤　钉七斤　灰八十斤　每工一月修一只

　　法各列位

　　先以左旧船一遍乗右行如故

　　次以右旧船二遍乗左行得数　乃相减　上位旧船对减尽中位新船减余五为总法

　　下位油相减余三百斤为新船油实【以总法除之得六十斤为新船油数】麻相减余一百五十斤为新船麻实【以总法除之得三十斤为新船麻数】钉相减余一十五斤为新船钉实【以总法除之得三斤为新船钉数】灰相减余二百五十斤为新船灰实【以总法除之得五十斤为新船灰数】

　　任以左行新船三只乗其油数得一百八十斤以减总油二百八十斤余一百斤为旧船一只油数

　　以新船三只乗其麻数得九十斤以减总麻一百四十斤余五十斤为旧船一只麻数

　　以新船三只乘其钉数得九斤以减总钉一十六斤余七斤为旧船一只钉数

　　以新船三只乘灰数得一百五十斤以减总灰二百三十斤余八十斤为旧船一只灰数

　　此为以船求油麻等故以船为法以麻油等为实

　　乃以减余新船五只为总实

　　以减余工两月半为法　法除实得二只为每工一月修新船之数就以二只除左行新船三只得一月有半以减总工两月半余一月以除旧船一只如故得每工一月修旧船一只

　　此以工求船故以工为法船为实与前相反

　　重审方程例

　　凡算方程皆以有总数无各数故逓减以求之然有并其总数亦隠者此当用两次求之故曰重审

　　假如品官禄米不知数但云甲支三品俸四个月又带支四品俸五个月乙支三品俸六个月又带支四品俸五个月亦不知甲乙各得数但云以甲十三分之一益乙则三百五十石若以乙十一分之三益甲亦三百五十石问两品禄米各几何

　　荅曰三品毎月俸三十五石

　　四品每月俸二十四石

　　法曰此当先求出甲乙两家支过禄米再求各品月俸谓之重审先以带分法列位

　　上　　　　中　　　　　下

　　左甲之一分遍乗右行如故

　　右甲之十三分遍乗左行得数

　　甲减尽　乙减余一百四十分为法　余俸四千二百石为实　法除实得三十石为乙之一分　以乙分母十一乗其一分得三百三十石为乙支过米数以乙支过米数减总三百五十石余二十石为甲之一分　以甲分母十三乗其一分得二百六十石为甲支过米数

　　既得两家支过米数乃重列之以求品俸

　　如法左右乗减　余四品十月为法　余俸米二百四十石为实　法除实得二十四石为四品每月俸以四品五月计一百二十石减甲支二百六十石

　　余一百四十石以甲支三品四月除之得三十五石为三品每月俸

　　假如品官支俸本折兼支不知数但云甲支一品俸四个月又带支二品俸五个月乙支一品俸六个月又带支二品俸十个月亦不知甲乙支过数但云取乙本色三分之一以益甲共五百六十六石若取甲本色三分之二以益乙则八百六十五石　取乙折色五分之二以益甲共四百九十八石若取甲四分之一以益乙则五百七十九石问各几何

　　畣曰一品月俸八十七石

　　内实支本色一半四十三石五斗　折色钞一半数同二品月俸六十一石

　　内实支本色六分三十六石六斗　折钞四分二十四石四斗

　　法当重审　先求本色依带分法列位

　　上　　　中　　　下

　　如法乗减　余乙之七分为法　余本色一千四百六十三石为实实如法而一得二百○九石为乙本色之一分以减右行共本色五百六十六石余三百五十七石为甲支过本色数　又以乙分母三乗其一分得六百二十七石为乙支过本色数

　　计开

　　甲支过本色三百五十七石【内一品俸四个月二品俸五个月】乙支过本色六百二十七石【内一品俸六个月二品俸十个月】

　　次求折色　亦依带分列位

　　如法左右乗减　乙余十八分为法　余折色一千八百一十八石为实　法除实得一百○一石为乙折色之一分以乙分母五乗之得五百○五石为乙支过折色数　以乙之二分乗其一分得二百○二石以减共折色四百九十八石余二百九十六石为甲支过折色数

　　计开　甲支过折色二百九十六石【内亦一品俸四个月二品

　　俸五个月】

　　乙支过折色五百○五石【内亦一品俸六个月二品俸十个月】

　　既得甲乙两家支过本折然后乃求各品月俸

　　依叠脚法列其所得本折而重测之

　　如法遍乗得数　上位一品减尽　中位二品余十个月为总法　下位本色余三百六十六石为本色实

　　折色余二百四十四石为折色实

　　乃以总法除本色实得三十六石六斗为二品毎月俸本色数　以乙二品十个月计三百六十六石减乙共本色六百二十七石余二百六十一石以乙一品六个月除之得四十三石五斗为一品月俸本色

　　又以总法除折色实得二十四石四斗为二品月俸折色　以乙二品十个月计二百四十四石减乙共折色五百○五石余二百六十一石以乙一品六个月除之亦得四十三石五斗为一品月俸折色【其右行亦可互求则先得甲数也】

　　于是以一品本色折色并之得每月俸八十七石【本折各半支】

　　以二品本折并之得毎月俸六十一石【四六支本色六分折色四分】

　　厯算全书卷四十一

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷四十二

　　宣城梅文鼎撰

　　方程论卷三

　　致用

　　笇之用惟防其説惟详详説之斯能捷用省笇列位诸法由是以生也故致用次之

　　致用有二一者省笇一者列位【例襍见诸卷中故不具列而备论其理】省算法亦有二一者行有空则省算一者数偶同则省乗

　　凡方程之法去繁就简同者去之异者存之归于一法一实而已矣故三色以上有空位则可径求

　　若三色方程无空位者必湏乗减得数变为二色以求之此常法也若内有一行中空一位则以所空之位列于首而先以其余两行不空者如法乗减得数即重列之与原有空位者相对如二色方程也【以两行无空者相乗对减则减去一色惟余二色其有空者原只二色故可相对如二色也】则省一笇【原法乗减三次今只两次故曰省一笇】

　　凡三色方程不论一行有空或两行各有空或三行各有空皆只省一算何也其各行中虽有空位而不相对故也何以知其不相对若两行有空而又相对则径可以二色算之矣即不成三色方程　三色有空例襍见前卷

　　凡四色五色以至多色有几行空位者如上省算径求最为简防若中行无空则必如法乗减以五色变四色四色变三色三色又变二色渐次求之不可径求而省算也今诸书所载皆其各位之有空者耳非通法也而欲以此尽方程可乎

　　凡四色方程有乗减六次者常也　若有一位空则省一算　一行中空两位或两行各空一位而相对则省二算　若一行空两位又一行空一位则省三算止矣　或有四行中各空一位而不相对亦只省一算而已何也惟首位空乃能省算若首位不空而空在下数位则乗减之后自然补实不能省矣　亦有两行各空两位而只省二算者亦以空位相左乗后补实耳故虽四行中各空两位亦只省三算也

　　假如四色中有一行空两位则将此无空之三行如法乗减变为两行又将此两行如法乗并变为一行此减余一行却有二位恰兴空两位之行相对矣便以重列如二色方程取之此最方程中要法而诸书未及也故详论之

　　若四色方程有两行各空一位而又相对则将其无空之两行如法互乗而减去此不空之位变为一行与空位之两行同列如三色法而之尤为易见

　　其四色各行空两位而省三算即今诸书中所载是也可无更赘然但欲知其为省算方程而非常法耳

　　其四色无空乗减六次者竟无其式故误以省算为常然既明其理亦不必一一为式矣

　　凡五色方程无空则有乗减十次者常法也【五色变四色则有四算四色又变三色则有三算三色又变二色则有二算二色又一算乃得法实合之为十算】故五色而为四图者亦常法也【原列一图以减余重列为四色而三色而二色又各一图合之为四图】

　　若有空一位则省一算　或空两位而省二算【湏两位空在一行或两行俱空首位乃可】　空三位而省三算【湏空在一行或三行同空首位或一行首位空一行首次两空则可】　空四位而省四算【湏一行空三位而一行又空一位恰与空三位者同或二行俱空首位而一行又空首次两位乃可或两行俱空首次亦可】　空五位而省五算【湏两行空首位而一行空首次三位或两行空首次而一行空首位或一行空首次而一行空首次三之位乃可】　空六位而省六算【湏一行空首位一行空首次一行空首次三行位乃可】

　　省至六算止矣六算以上虽多空位无闗省算也

　　今诸书有载五色方程者皆其各行空三位者耳总计之有空十五位而其为法亦必用四算然后得数则所省者亦只六算而竟不知其为省算之法则习而不察也

　　假如五色方程内只有行空三位法当以有空之三色列于上而先以其无空之四行如法乗减变为四色者三行又以乗减变为三色者二行又以乗减变为二色者一行则恰与空位之行相对矣再乗减一次得所求矣故曰省三算也【变四色时省一算变三色时省一算变二色时省一算共省三算】

　　假如五色方程内有两行各空二位而相对法当以有空之二色列于首次而先以其无空之三行如法乗减变为四色者二行又以乗减变为三色者一行则恰与空位之两行相对矣于是以三色法取之得所求矣故曰省四算也【变四色时省二算变三色时亦省二算】

　　假如五色方程内有两行空首位又一行空首次三之三位法当以无空之两行如法乗减变为四色者一行则恰与空首位之两行相对矣　乃以原数两行减余一行相并列之用相乗减变为三色者两行又相乗减变为二色者一行则又恰与空三位者相对矣　乃以原空三位者与减余列而求之即得之矣故曰省五算也【变四色时省三算变三色与二色又各省一算】

　　若五色方程内有两行各空三位者即如一行空两位一行空三位也法以无空之三行先用乗减变为四色者两行又以乗减变为三色者一行则恰与空首位次位者对矣取出原空两位者与减余列而求之变为二色者一行又恰与空三位者相对矣又取出与减余列而求之即得所问故亦省五算也【变四色三色时各省二算变二色时又省一算共五】其两行虽各空三位而不相对故也【若各空三位而相对即成二色方程矣】

　　若五色方程各行俱有空位不等要之省六算止矣省六算者必一行空首位而省一算一行空首次而省二算一行空首次三之位而省三算其余空位必不相对不能省算与无空同也

　　其法先以不空之两行乗减得数变为四色与空首位者相对又乗减变为三色与空首次者相对又乗减变为二色与空三位者相对再乗减即得所求诸列不能悉具智者反隅可也

　　论曰常与变相待而成告方方程省算而特详其不省之算者欲穷其变先得其常也

　　以上所论虽止五色引而伸之若六色七色八色九色乃至多色其理一也

　　以常言之　二色者一算　三色者三算　四色者六算　五色者十算　六色者十五算　七色者二十一算　八色者二十八算　九色者三十六算十色者四十五算　十一色五十五算　十二色者六十六算

　　以空位言之　三色者有省一算　四色者有省一算至三算　五色者有省至六算　六色者有省至十算　七色者省十五算　八色有省二十一算九色有省二十八算　十色有省三十六算　十一色有省四十五算　十二色有省五十五算

　　以省算所用而言之　三色者有只用二算　四色者有只用三算　五色有只用四算　六色有只五算　七色有只六算　八色有只七算　九色有只八算　十色有只用九算　十一色有只十算　十二色有只十一算

　　总而言之　二色则只一算　三色则有二算或三算　四色则有三算以至六算　五色则有四算以至于十算　六色则有五算至十五算　七色则自六算至二十一算　八算则自七算至二十八算九色则自八算至三十六算　十色则自九算至四十五算　十一色自十算至五十五算　十二色则自十一算至六十六算

　　扩而充之犹举一隅耳然其法不外于和较与和较之襍与变愚故不欲以四色五色等分为之目也　必如此则方程之法乃为通法若诸书所列四色者必各行空二位五色必各空三位非通法也方程者所以御襍糅正负也而必逓空相等乃可用算是法有所不及而穷于问也岂古人立法之意哉

　　此以上论空位省算省算者乗减并俱省之也非若省乗者但省互乗而不省减乗

　　凡方程互遍乘者取其首位齐同耳故乘减一次则少一色以首位之齐同必减而尽也然亦有其首位之数偶尔相同者法当径以对减而省其互乗此虽省其乗而不省其减并故与前论省算同而微异也

　　假如和数方程首位同则径减矣　若较数者又湏论其正负之名　同数矣而又同名径对减矣　同数而不同名则更其一行之正负以相较而后减并焉此要诀也不则首位虽减去而其下之同异淆则加减皆误矣

　　若和较襍者首位之数同亦必以较数首位之名名其和数之一行而后减并之但省其互乗可也

　　以上论同数省乗

　　亦有首位数虽不同而可以分数相命者则以其分数改其一行之数以从一行则首位齐同而可以对减省其互乗焉可矣

　　若较数或和较襍皆如前法齐同其首位之名斯减并无误耳【较数首位同名则仍之异名者改一行以相从和较襍者以较首位之名名其和数之一行】

　　假如两首位为五与十是倍数也则半之盖五与十互乗各得五十而其下诸数从之而溢矣今但以首位十半之为五而其下诸数皆半之以相减并则五之之行可无乗而数亦简明殊散人怀也

　　若两首位为二十与二是十之一也则以退位之法乗之使二十之一行皆为十之一　若为八为四亦倍数也　若为八与二是四之一也四除其八之行则得矣　若九与三则三之一也以三除九则亦三而其一行皆三除之则可减倂矣然三除多有不尽不如只以三因其三之行也　若为五与三则六因其五之行而退位　五与二则四因退位　五与四则八因退位皆同　若六十四与八则八之一也八除其六十四之行犹互乗也　若此类者不可枚举得其意者酌而用之可也尤要在首位之必同名亦有不可强齐者如七与二九与四之类只用互乗为无弊也省乗者为省事而设也强齐之反多事矣此以上论分数省乗

　　此外又有不拘首位者但数同则径以对减施之二色为宜盖二色方程只湏减去一色其所余即一法一实矣然亦湏同名方可减去若异名者改而齐之可也

　　假如较数方程其中一色同名而又同数径减去矣若但同数而不同名则更其一行之正负乃减去之

　　假如和较杂其中一色同数则以之为主使和数一行皆与此一色同名乃减去之

　　若和较则不湏尔但同数者即减去之此二色捷法

　　合此三者省算之理备矣

　　问田粮七则起科甲有上田一亩上次田一亩输粮七斗乙有上田一亩上次四亩上中一亩粮一石八斗丙有上次上中田各一亩粮五斗丁有上中田中田各二亩粮五斗戊有中田三亩中次五亩中下五亩已有中下八亩下田十三亩庚有中下田下田各十亩皆粮五斗问各则若何

　　法曰此方程防续法也以甲乙丙借作三色己庚借作二色各如法求得田则则其中两色自知

　　先以甲乙两行徧互乗减去上田　余上次田三亩上中田一亩　粮一石一斗　用与丙行乗减　上次田减尽　余上中田二亩为法　粮四斗为实法除实得二斗为上中田则例

　　就以上中田则减丙粮五斗余三斗为上次田则例以上次田则减甲粮七斗余四斗为上田则例【以上三色法也】

　　又以上中田则例乗丁田二亩得四斗以减丁粮五斗余一斗以二亩除之得五升为中田则例

　　又以戊中田三亩乗其则例得一斗五升以减戊粮五斗余三斗五升为戊田中次中下各五亩之共数因此处防而不属故又先求末两行

　　再以二色法用己庚两行如法遍乗减去中下田余下田五亩为法粮一斗为实法除实得二升为下田则例【以八因庚行而退位省乗法也】

　　以庚下田十亩乗其则例得二斗以减庚粮五斗余三斗以中下田十亩除之得三升为中下田则例【以上二色法也】

　　乃以戊中下田五亩乗其则例得一斗五升以减戊中下中次共三斗五升余二斗以戊中次五亩除之得四升为中次田则例

　　计开　上田每亩粮四斗　　上次田每亩粮三斗上中田每亩粮二斗　中田每亩粮五升中次田每亩粮四升　中下田每亩粮三升下田每亩粮二升

　　论曰此虽七色因行中防续即非七色借三色二色之法知其首尾而中行亦见焉所省良多然非省乗其势则然也以其疑于省算也故附之其末

　　又有数偶相同不论三色四色但一减之后即得一法一实者非省算也然亦省算之类故亦附録一条以见其例

　　假如縀纱绢不知价但云以縀一匹纱五匹易绢九匹余价二两六钱又以縀二匹绢八匹易纱四匹余价六两八钱又以縀三匹易纱六匹绢七匹少价一两二钱

　　畣曰縀每匹价银三两纱每匹一两　绢每匹六钱

　　法列位

　　因中左纱减尽只余一色即以绢十九为法　除十一两四钱得绢价每匹六钱　以绢余二十六匹乗价得十五两六钱同减负一两六钱余十四两纱价也以纱余十四匹除之得纱价每匹一两【用中右减余得之】以原左行纱六匹【价六两】绢七匹【价四两二钱】共价十两

　　二钱同减负一两二钱余九两縀三匹价也三除之得縀价每匹三两

　　论曰此方程之变例也一减之后即得其数　若多色方程除首位外有减尽者先虽无空而减余重列即成有空方程矣【例见本卷齐军列陈条】

　　若三色俱减尽则不能成算　或三色方程中左三色俱减尽中右只减一色则所余者二色而无相较乗减无因不能别其二色亦不能成算也

　　假有问水银三斤硃砂二斤共价四两四钱又水银九斤硃砂六斤共价十三两二钱问各价若干

　　畣曰此不可以方程算何也彼虽两宗而其后一宗之物价皆三倍于先一宗互乗之后必湏减尽故也

　　凡左行之物俱倍于右行或俱半俱四之一等互乗之后得数齐同不能分核具如前论方程立法正以诸物襍糅多寡错居同异参伍而得其端倪也

　　又或三色方程而问只二宗则减余仍有二色不能分别故问三色必有三宗问四色必有四宗五色六色以上悉同何也方乗立法乗减一次始能分去一色若少一行则少一次乗减而不能得其一法一实矣故行中可有空位而不可有空行

　　行中有空者分一行言之也若总列为图则位皆无空凡此皆治方程者所当知

　　知其有不可算斯无疑于算知其有必不可省斯善为省矣

　　列位之法亦有二

　　一者更其上下之位以互求也　或为省算之计

　　凡方程立法务湏首位齐同以便减去故每遍乗一次则减去一色逓减之则一法一实矣今行中有空则是不待遍乗而其一色已先减去也故取而列之于上位则能省算不则上位不空而下反空则对位无减补成不空而不能省算矣

　　其法于列位时覆视之有横列中空位多者取作首位首位空一行则省一算矣

　　若首位原有空位而欲更定次位者不必改列但于重列减余时检防更定之可也

　　又横列中有数偶相同或可以分相命者取作首位亦省遍乗或横列中有单一数多者取作首位省乗【单一数则不湏乗故也】

　　以上论上下之位

　　一者更其前后之行也

　　凡首位多空而其不空者隔逺则更而聨之便乗减也其各行空位不等者不必更列但以与减余相对

　　者取出对列而乗减之【例见前诸卷】

　　若各行首位有可以分相命或数偶相同而为他行所隔亦可更置使之相接

　　又多色方程有各行中对位总空者取出另列而先乗其他行之不空者乃于重列之时渐次添入可免细书局蹐【例见后卷】

　　以上论前后之行

　　法曰凡多色方程先任意列位竟乃覆视之若首位有空而下则无之此不必更置也或首位多空而下则少亦不必更置也

　　惟首位不空而下反有或首位空少而下反多则更而置之故上下可以互居前后亦可易位或云以末行为主者非也

　　问古今厯术屡更其所用日法无一同者如以汉太初厯日法十有一外加四十九则如殷厯日法也若以太初日法二殷厯日法三再加五十八则如唐大衍厯日法也若太初日法十有四大衍日法二相并以比宋纪元厯日法仍少七十六若太初日法九十倍之即纪元日法其各数若干

　　法以正负列位

　　甲太初十一【正】殷七一【负】○　　○　　　负四十九乙太初二【正】殷六三【正】大衍一【负】○　　　负五十八丙太初十四【正】　○　　大衍二【正】　纪元一【负】　负七十六丁太初九十【正】　○　　　○　　纪元一【负】　适足如右图太初厯横列皆满须用遍乗对减者三而后能减去太初之一色其余虽多空位自然有无减之对位相补不能省算

　　如法改列

　　以最多不空之太初列下爲第四位则殷厯居上而成有空位之方程矣

　　先如法以甲乙两行互乗减并殷厯各正十五对减尽大衍负一无减太初异并负三十五下数异并正二百○五【因异并故并从甲行之名而大衍在乙行与下数同名亦改负为正】

　　乃重列之【取出丙行与减余相对】

　　如法互乗减倂　大衍各正二对减尽　纪元负一无减　太初异倂得正八十四下数异并得负四百八十六

　　又重列之【以减余与丁行相对】

　　首位同名同数省互乗　纪元各负一对减尽　太初同减余六为法　负四百八十六无减为实法除实得八十一分为太初日法　以丁行太初九十乗其日法【八十一分】得七千二百九十分为纪元日法　以甲行太初十一乗其日法【八十一分】得八百九十一异加负四十九得九百四十分为殷厯日法　以乙行殷厯三乗日法【九百四十】得二千八百二十又太初二乗日法得【一百六十二】又异加负【五十八】共得三千○四十分为大衍日法

　　计开

　　殷厯日法　九百四十分

　　汉太初厯日法　八十一分

　　唐大衍厯日法　三千○四十分

　　宋纪元厯日法　七千二百九十分

　　又按列位之法原与省乗省算之法相生故共为一卷合观之可也今以六色无空者为例如后

　　问齐军千乗其陈有先驱申驱为前军有启与胠为两翼有戎车贰广为中军有大殿为后军各不知数但以前军居余陈七之三合两翼二广与殿多余陈四十乗合前军两翼与中后较则多二十乗前军合殿与翼中军较则少二十乗先驱大殿居与陈二之一而少五乗各若干

　　畣曰前军共三乗

　　内先驱一百四十乗

　　申驱一百六十乗

　　两翼共二百一十乗

　　内启与胠各一百○五乗

　　中军共三百乗

　　内戎车一百八十乗【帅】

　　贰广一百二十乗【副】

　　后军一百九十乗是为大殿

　　法以和较襍列位

　　有七之三二之一依变零为整以分母各乗而后列之

　　如法互乗减倂变为五色有空而重列之

　　空者偶也若不空亦俨然变为五色矣

　　前三行减余首位申驱皆空故不湏乗减但以末二行乗而减之减去申驱即变四色矣又以申驱数本同故不湏乗而竟以对减乃以四色法重列之四色无空法也虽有空而非首位不能省算与无空同

　　因首末两行之翼数皆倍于中两行故省互乗但以首末两行皆半之使其翼数齐同乃原数对减而变为三色又重列之

　　因次行末行戎车同但首行多于次行二之一故省互乗但以次行二分加一与首行对减其次行与末行竟以原数对减变为二色而重列之

　　贰广同故省互乗竟以对减尽　大殿异名并得五为法　车同名减余九百五十乗为实　法除实得一百九十乗为大殿车数　以大殿车数异加正五十乗共二百四十乗以贰广二除之得一百二十乗为二广车数【用末次右行数】　二乗大殿车数同减负二十乗戎车二除之得一百八十乗为戎车公卒数【用第四次三色中行数也】　二乗戎车异加正六十乗两翼二除之得二百一十乗为两翼共数【用第三次所列四色之次行】又半之即启与胠数　合计两翼【二百一十】戎车【一百八十】贰广【一百二十】共数【五百一十】同减负三十乗余【四百八十】以申驱三除之得一百六十乗为申驱数【用第二次所列五色之第四行】　合计申驱【一百六十】两翼【二百一十】戎车【一百八十】贰广【一百二十】共【六百七十】同减负十乗余【六百六十】又减去大殿二计【三百八十】余【二百八十】以先驱二除之得一百四十乗为先驱之数【用原列六色之第五行数】

　　试细攷之合计两翼【二百一十】戎路【一百八十】贰广【一百二十】大殿【一百九十】共七百乗合计先驱【一百四十】申驱【一百六十】共三百乗三七差分也故曰前军为余阵七之三

　　合计两翼【二百一十】贰广【一百二十】大殿【一百九十】共五百二十乗其余前军【共三百】戎路【一百八十】共四百八十乗故曰翼广殿多余阵四十乗

　　合计前军【共三百】两翼【二百一十】共五百一十乗以较中军【共三百】后殿【一百九十】共四百九十乗则多二十乗故正二十乗与前军翼同名

　　合计前军【三百】大殿【一百九十】共四百九十乗以较两翼【二百一十】中军【三百】共五百一十乗则少二十乗故负二十乗与前军殿异名合计先驱【一百四十】后殿【一百九十】共三百三十乗又合计申驱【一百六十】中军【三百】两翼【二百一十】共六百七十乗其二之一为三百三十五乗故曰先驱大殿居余阵二之一而少五乗【以全当其半而少五乗则以倍当其全而少十乗矣此与第一行皆变零为整详见带分条】总计之则千乗矣故以和数参焉

　　论曰此一例中能兼数法皆省算之捷诀也

　　其第二图五色变四色当有互乗减并者四次今以申驱空位省其三次此空位径求省算之法也其申驱偶尔数同径以对减与第五图二色之贰广数同径以对减皆省乗定法也但皆和较之襍故虽不乗必以较行首位之正负补于和数之行不然则减并误矣此要诀也

　　其第三图四色之首位偶有倍数故半其倍者以相从此亦省乗法也

　　其第四图三色之首位为三与二故加二为三是二加一也故其下皆二分加一则如遍乗矣然亦首位正负偶同也若不同者湏更其一行以同之首位虽同数又必同名然后可减而去之尤省乗之要诀

　　又论曰方程无空者常法也如第一图六色是也若不减并五次何以求之亦偶而多有首位相同者故亦能省乗然虽省乗不能省减并矣其有空位者偶然也如第二图五色有空是也空位多若更置列之所省尤多虽不更置而减倂之余自然能补其空亦可见方程之有常法矣

　　若更置之则自五色起如后图

　　因五色始有空也如此图则省六算　戎翼不空故更之下位后行不空者更之前行以先乗

　　正负列位

　　甲乙行如法减去申驱以其余四位重列之与丙行相对【一和一较也】

　　重列

　　如法减去贰广又重列之与丁行相对【皆较数也如后】

　　如法半减余数以从丁行乃对减而重列之与戊行相对【又以翼同故更置之】

　　上　　　　　中　　　下

　　如法径以对减余戎路五为法

　　倂得正负九百乗为实

　　法除实得戎路数

　　既得戎路数以次得余重之数

　　合问

　　又术以一图而为减并如后所列

　　依法先得戎路亦同但其间和较交变错然襍陈非深知猝不能了不如前术之为安穏明白也

　　歴算全书卷四十二

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷四十三

　　宣城梅文鼎撰

　　方程论卷四

　　刋误

　　古之为学也精故其立法也简而语焉不详阙所疑而敬存其旧无臆参焉斯善学也已不得其理而强为之解以乱其真古人之意乃不可见矣意不可见而讹谬相仍如金在沙淘之汰之沙尽而金以出故刋误次之方程之误厥有数端

　　一曰立负之误【立负误也四色五色期于立负以为法误之误也自骡马逓借一问诸书沿讹而加减之误因之矣】

　　一曰加减之误

　　同加异减一误也【误沿于牛羊豕相易之一问由不知正负之有更也】

　　竒减偶加二误也【误沿于桃梨问价以不知和较之交变也】

　　一曰法实之误【以上为法下为实拘也以法必少实必多亦谬也】

　　一曰倂分母之误

　　一曰设问之误【如井不知深而以除法为井深问中先已大误】

　　立负辨

　　立负非古人法也何以知之有负则有正今立负而不言正非正负之本防也或曰有正则有负则言负可不言正矣是又不然凡和之变而较也有减其和数而尽者亦有减其和数而余者其减而尽者命为适足而无较数则但言此之为负以见彼之为正可矣若减而余者是有较数也而但言负不言正何以知其较数必与正物同名乎即使同名而竟不明言其为正何以分别同异而为加减乎至于以有空位而立之负则又不可何也和之或变而较也固不必以空位也但减余分在两行而兼用之即变较数矣今必以有空位者而立之负则无空位者即不立负乎然则和数之无空位者终于同减而无异并乎将进退失据矣故曰非古人法也

　　凡言正负者分其物以相较也不言正负者合其物以言数也皆自然而有之名非立之也而立负乎哉夫不知正负之出于自然而强立之负则同异之防淆而加减之用失种种谬误縁之以生故谨为之辨今以诸书所载立负例攷定如左

　　假如米四石二斗以马一骡二驴三载之皆不能上坡若马借骡一骡借驴一驴借马一则各能上坡问马骡驴力各几何

　　畣曰马力二石四斗　骡力一石八斗　驴力六斗

　　法各以和数列位【马借骡一则一马一驴也骡借驴一则二骡一驴也驴借马一则三驴一马也各以其本数加借数而列之干方程法则和数而已】

　　此三色有空法也中行无马原只二色故不湏乗减但先以左右两行首位不空者对乗　又因两行马数皆一乗皆如故故径以对减马减尽　右骡一左驴三皆无对不减　米各四石二斗亦对减而尽乃视减余骡一在右行驴三在左行分在两行是有正负也　米亦减尽是正负适足也重列之

　　论曰此和数变为较数也何以言之两行之马相若而其载物又相若则其所偕以共载之骡一与驴三其力亦自相若矣故命之适足适足者以两相较而成故曰变为较数也然谓之适足可也谓一行俱减尽则不可也减尽者同类之物而其数又同故物与数俱减尽也适足者物非同类而其物之积数则同故其物不能减尽而数则减尽也物不同而数同故曰适足也适足者存之为用也物数俱减尽者清出其一色而不复用也如此三色中虽不能遽知各力然已知驴三骡一之适相当矣则已清出马之一色而变为二色矣此逓减立法之意也

　　又论曰减余适足则有正负矣其原列只是和数无正负也诸书以逓借一匹之故而列之曰借又别其本数曰正不知正与负对非与借对也虽逓借一匹其实是本有之头匹与所借之头匹共载此米故曰和数逮减余乃变为较耳故减余适足宜言正负也而诸书但立负原列和数无正负也而忽分正借又不立负于减之后而立于其先正也借也立负也三者相乱而靡有指实古人之法固如是乎哉

　　次以中行原数与减余对列　因中行马空故径求也

　　此和较杂也　减余分正负　中行原无正负

　　以减余骡负一遍乗中行如故【较乗和也数虽如故但皆以乗法之名名之为负】又以中行骡二遍乗减余得数【和乗较也故仍其正负之名】骡同减尽　驴异并得七为法　四石二斗无减就为实　法除实得六斗为一驴之力　三因驴力得一石八斗为一骡之力【适足故也】以骡力一石八斗减四石二斗余二石四斗为一马之力【原右行数】

　　论曰减余原是骡一与驴三力等乗后得数则骡二与驴六亦等也然则于中行共力中减去二骡而以相等之六驴益之其共之四石二斗亦必与原载等也故并此六驴与原列一驴共七为法以除此四石二斗而驴力可知也　驴三与骡一既等则三驴之所载即骡力也　骡与马各一共四石二斗则减骡力即马力也

　　又论曰此因中行有空故径求也使其不空自当与左行或右行遍乗而减去其马与其数乃列两减余如二色求之此常法也今中行马空原只二色恰与减余之二色相对故径相乗减是省一算也诸书皆言因左行骡空故立负骡一与中行对乗不知左行骡空而右之骡一无减犹右之驴空而左之驴三无减也其与中行相对乃用此两色之减余非独用左行也盖左行有马中行无马原无对乗之理亦犹之右与中不可对乗惟减余是二色可以对乗虽云径求实自然之理势也而强立之负以用左行乎

　　有正斯有负立负骡于左行为与何物相对耶以马一为正耶驴三为正耶其马一驴三皆正耶既无所指则负为徒立矣

　　凡言正负者其下数必为正与负之较今所用左行之四石二斗者为是骡一与驴三相较之数耶骡一与马一相较之数耶将合马一驴三与骡一相较之数耶则皆无一合矣

　　凡物有正负者其较数亦有正负此四石二斗者正耶负耶若无正负即是和数不应立负骡矣

　　若以四石二斗为和数则更非理夫以马一驴三之共数加一骡力而其数如故理所无也若去一马用一骡而与驴三共此米抑又不能马与骡之力原不同乃去一马加一骡而其数如故理所无也然则此四石二斗安属耶彼惟不知四石二斗之减尽即为适足故误至此也

　　又谓右行俱减尽不知减尽必两行数同如马一与米四石二斗也若骡一驴三固未尝有减也况尽乎方程立法原以对减有尽不尽而得其朕兆若三色俱减而尽其算不立矣惟不知有空位者可以径求而误以所用之减余为是左行之原数故也

　　凡减尽者两俱减尽不应右减尽而左行独存若谓复用左行之原数何以不用原列之马一而加一负骡以为马一减去故不用则四石二斗何既减而复存耶故以立负骡减马一为用减余之法则四石二斗不宜存四石二斗为用原列之法则马一不宜减负骡不宜立破两法而叅用之一不成矣承譌者迁就多岐抑奚足怪

　　今试以减余更置则先得骡力如后图

　　如前法以一和一较遍乗得数　驴同名减尽　骡异并得七为法　正十二石六斗无减就为实　实如法而一得一石八斗为骡力以驴三除相当一骡之力得六斗为驴力【任于原列左行或右行如法减驴力或骡力得马力】

　　论曰凡减余重列之数皆可更置互求何则皆实数也三色减去一色即二色法矣若干减余之适足加以四石二斗则不可以互求故知其误

　　又试以原列更置之先减去骡如后图

　　如法先以右中遍乗　骡减尽　中行驴一　右行马二皆无减分正负列之　载米余四石二斗在右行与马同名　左行骡空故径与减余相对　依和较杂法乗之　驴同减尽马异并七为法　载米异倂十六石八斗为实　法除实得二石四斗为马力以马力减四石二斗余一石八斗得骡力　以马

　　力倍之同减四石二斗余六斗得驴力

　　试又更之如后图

　　如前法先以右中两行遍乗减去驴余马一骡六皆无减分正负载米余八石四斗在右与骡同名乃重列之如前法径与左行相对遍乗　马同减尽骡异并七为法　载米异并十二石六斗为实实

　　如法而一得骡力以次得驴马力皆如前

　　论曰凡诸色方程其上下皆可互更如上二图以空位径求之法求之无所不合也

　　又试以原列无空而减余适足者为例如后

　　假如有三车三槖驼七牛各欲载物六十四石而皆不能胜若车借驼牛各一驼借车牛各一牛借车驼各一则皆能载问三者力若干

　　畣曰车二十四石　槖驼十二石　牛四石

　　法以和数列位

　　如法乗　车皆减尽　甲乙两行减余皆在乙行和数也　乙丙相减余乙驼二丙牛六是有正负也载物减尽适足也【乙丙载物减尽则不但对减去之物适相当而其减余之驼二牛六其力亦适相当也虽欲不命之适足不可得矣】

　　乃以和较杂重列之

　　依一和一较法求得牛三十二为法　载物一百二十八石为实　法除实得四石为牛力　牛六共力二十四石以相当之驼二除之得十二石为驼力以牛力驼力减六十四石余四十八石车二除之得二十四石为车力【用右行原数】

　　论曰此亦以和变较而有适足之数也岂以有空位而立之负乎可以悟其非矣

　　试更以较数求之

　　假如运粮以象马牛车三种但云接运时以三象所载与四牛车二十四马载之则余三十六石以八牛车所载与二象十二马载之亦余三十六石以七十八马所载与二象二牛车载之亦余三十六石问各若干畣曰象七十二石　牛车二十七石　马三石

　　法以较数列位

　　如法互乗减并重列其余【中行每加二分一则首位象与右齐同可对减矣其中左象本同径以对减皆省算法也】

　　依省算法求得马三十载九十石以马除载得三石为马力　马九十载二百七十石牛车十除之得二十七石为牛车力　合计牛车四马二十四共载一百八十石异加正三十六石象三除之得七十二石为象力【用右行原数】

　　论曰此原列较数也而其较数亦有减而适足者然则先无适足减之而成适足者往往有之矣

　　惟适足故分正负非以空位而立负也故知减余之亦有适足而复用左行者非矣知用减余而非用左行则立负之非不攻而破矣

　　同加异减辨

　　同名相减则异名相加矣诸书所载忽而同减者忽而异减忽而异加者忽而同加岂不谬哉又为之説曰以正为主则同减而异加以负为主则异减而同加又为之説曰同名相乗则其下同减而异并异名相乗则其下异减而同并言之缕然用之纷然而要之非是也夫同名相减即如盈朒章两盈两朒相减也异名相并即如盈不足相并也岂有同加异减之理乎所以误者不知正负交变之法也正负宜变而不变则首位之异名者何以能对减而尽乎不得不迁就其法同加异减矣苟知其变则首位必同名首位既同名则凡减皆同名凡加皆异名较若画一何必纷纷强为之説乎

　　凡减余重列有仍其负正如故者亦有更其正负絶非其故者且有先无正负及其重列而有正负者有先分正负及其重列之而反不分者若但以初名为定则加减皆舛矣

　　假如同减之余分在两行而为同名【或左余正右亦余正或左余负右亦余负】则重列必为异名矣必变其一行之名而列之而其下所余数必是此二异名物之较数也若无余数必是此二异名物相当适足也【此以三色言之若四色以上减余位数多者皆仿此论之】

　　若同减之余分在两行而为异名【或左余正而右余负或左余负而右余正】则重列必为同名矣而其下所余数必是此二同名物之和数也【此亦以三色言之其减余只二色故也】则其原列正负之名皆不用矣

　　若异倂者尤为易见何也凡异并者正与负并也正与负并则如一物矣故重列之际必以一行为主而定其名【或为正或为负或变和数则无正负】若但守初名而不知所变将一物而名之正又名之负乎必不然矣兼此数端知正负之交变出于自然非强名也【不知正负之变亦不知和较之变矣故又有竒减偶加之误也】

　　今以诸书所载同加异减例考定如左

　　假如以牛二羊五作价易猪十三剰价五两以牛一猪一易羊三适足以羊六猪八易牛五不足三两问价各若干

　　畣曰牛价六两　羊价二两五钱　猪价一两五钱

　　列所问数

　　先以右行牛正二遍乗中左两行得数【中右首位同名故正负不变右左首位异名故变左行之正负以从右亦为以少从多】

　　次以中行牛正一遍乗右行皆得原数　乃以中右两得数对减　牛各正二同名减尽　羊异名【右正五中负六】并得十一猪异名【右负十三中正二】并得十五　价无减【右正五两中适足】仍得五两　于是分正负以价与羊为同名而重列之【羊右正中负猪右负中正故仍为较数价与羊同为正于右行故仍为同名】次以左行牛负五遍乗右行得数【左行既变以从右则右行不变仍其正负】乃以左右两得数对减　牛各正十同名减尽羊异名【右正廿五左负十二】并得三十七　猪同名【右负六十五左负一十六】减余四十九【在右】　价同名减【右正二十五两左正六两】余十九两【亦在右】　于是亦分正负亦以价与羊同名而重列之　羊与余猪原分正负于右故仍为较数价与羊同为正于右故同名

　　列两减余

　　如法以两正羊遍乗得数　乃对减　羊同减尽猪同减余十六为法　价同减余二十四两为实法除实得一两五钱为猪价　以猪十五价二十二两五钱异加正价五两【共二十七两五钱】羊十一除之得二两五钱为羊价　任于原列中行羊三价七两五钱内减猪价一两五钱余六两为牛价

　　论曰凡列正负可以任意呼之要在知下价之于正负孰为同名耳若乗后得数则其首列一位必以同名而相减故正负有时变而其价之正负从之变矣故同异加减必以乗后得数而定也如此所列左右行先为一正一负异名之价而乗后得数必为同名之价何也两价皆与牛同名而牛在首列得数必同名故也若以羊更置首列则两价得数必异名何也价与羊于右同名而于左异名也

　　试更列之于后

　　上　　　　中上　　　中下　　　下

　　如法以中行羊与左右两行互遍乗得数相减　羊同减皆尽　右中牛异并三十七　猪异并一百十八　价异并四十五两【价与牛同名】中左牛同减余九猪异并三十　价九两无减【与牛同名】

　　乃以两减余各分正负而重列之

　　如法以牛互遍乗而变左行之正负以相从　牛同减尽　猪同减余四十八为法　价同减余七十二两为实　法除实得猪价以次得牛羊价合问　试又更之

　　如法以中行猪与左右两行互遍乗得数相减　猪同减皆尽右中羊异并一百十八【右负中正】　牛同减余四十九【余负在中】　价同减余一两【余负在右】　分正负【以价与羊同名】　左中羊异并三十【中正而左负】　牛异并十三【中负左正】　价三两无减【中之负数】亦分正负【以价与牛同名】　皆重列之

　　如法互乗羊同减尽牛同减余六十四两为法价异并三百八十四两为实法除实得牛价六两以次得羊价猪价

　　论曰反覆求之皆同减异加别无他术可见古人立法之简快竒减偶加辨

　　方程立法只同名相减异名相加尽之【和数有减无并皆同名也较数有减有倂或同名或异名也和较交变故减并相生】不论二色三色四色乃至多色皆一法也今诸书不察偶见瓜梨一例有竒减偶加之形不得其觧遂执为四色之定法而不知通变使方程一章之法为徒法而莫可施用深可惜也故覼缕辨之今将梨一问考定如后

　　假如有二梨四共价四十文又梨二榴七共价四十文榴四桃七共价三十文一桃八共二十四文问各价几何畣曰八文　梨六文　榴四文　桃二文

　　法以和数列位　依四色有空以省算法求之

　　惟甲丁两行有如四色故先以相乗　减尽甲梨四丁桃十六皆无减　价余八文　分正负【梨甲桃丁故也】以价与桃同名【同在丁行故也】　减尽矣而余行皆无则只三色故径以减余之数与乙行相对

　　如法互乗　梨同减尽　榴二十八【左正】桃三十二【右负】皆无减价异并一百七十六文【右负左正】

　　隔行之异名乃同名也以和数列之不分正负又以余行无梨则只二色径以减余与丙行列之【于后】

　　如法乗减榴减尽余桃六十八为法价一百三十六文为实法除实得桃价二文　以丙行桃七价十四文减共三十文余十六文悉榴价也榴四除之得榴价四文　以乙行榴七价二十八文减共四十二文悉梨价也梨二除之得梨价六文　以甲行梨四共二十四文减共四十文除十六文悉价也二除之得价八文

　　论曰此和数变为较数而较数复变和数也何以言之初次减余价八文乃桃多于梨之价故曰变为较数也【桃十六价三十二文梨四价二十四文差八文】何以知之余数分在两行也【桃十六在丁行梨四在甲行】何以知桃多于梨桃与价同在丁行故同名也然所用分正负者是甲丁两行之减余非但以丁行空位而立负也又因乙丙位皆空故用此减余径与乙行相对是省二算也乃径求也非专用丁行为主也减余较也乙行和也一和一较故有异名相并而非以偶行故加也

　　若第二次减余则复是和数何也其相并一百七十六文乃桃榴之共价【桃三十二价六十四文榴二十八价一百十二文共此数】而非其较数故曰复变和数也何以知之桃与榴虽分余于两行而异名然隔行之异名乃同名也【乙行榴正价亦正减余桃负价亦负兼而用之变为同名矣】至于立负之非此尤易见盖既变和数无正负矣虽两遇空而无减岂得谓之立负乎又因丙行梨亦空故径用减余与之对减是又省一算非以丁行对丙行也而顾曰立负榴于丁行误之误矣减余变和丙行相对是两和也故有减而无并也而岂以竒行之故而减也乎哉　今试以甲丁之行易之则加减全非矣

　　如法以甲丁行对乗减尽　桃十六【甲】梨四【丁】皆无减　价相减余八文【甲】　乃分正负以价与桃同名而重列之与乙行相对

　　如法乗　桃同减尽　榴六十四【左正】梨二十八【右负】皆无减　价同减余四百二十四文　依前论隔行之异名即同名也不分正负而重列之与丙行相对

　　如法减榴　余梨六十八为法　四百○八文为实法除实得梨价六文以次得诸物价皆如前

　　论曰此但更其前后之行耳而价皆同减无异并可见竒减偶加之非通法矣　又试以上下之位而更之

　　如法以甲丁先乗减去梨尽　余榴二十八【甲】四【丁】皆无减　价相减余八十文【甲】依前论分正负以价与榴同名而重列之与乙行相对

　　如法乗减榴尽　余桃一百九十六【左正】一十六【右负】皆无减　价相减余五百二十文【左正】依前论复变和数不分正负而径与丙行重列之

　　如法减桃　余六十八为法　价五百四十四文为实　法除实得价八文以次得诸物价皆如前

　　论曰此亦有同减无异加固不以竒偶之行而有别也若以甲丁减余更置之则亦有异并之用如后图

　　论曰此下价何以倂异名故也何以异名凡一和一较方程在和数行者其得必与较首位同名故其较数之价与首位同名者则亦与和价同名也其与首位异名者与和价亦异名也

　　先用丙行何也以有故可与余相减亦可见行次之非定也　理之不定乃其一定凡事尽然泥一端以定之转不定矣

　　又论曰此亦复变为和数也何以知之正榴正价皆右负桃负价皆左以之并为一行则无正负矣盖隔行

　　如法减桃　余榴六十八为法　价二百七十二文为实　法除实得榴价四文以次得诸物价皆如前

　　论曰兼此数端知加减非闗行数矣

　　统宗歌曰四色方程实可夸湏存末位作根芽若遇竒行湏减价偶行之价要相加诸书仍讹又推而至于五色六色皆云以末位为主而自首行以往皆与之加减至其所以加减者又皆以行之竒偶如一行三行五行竒数也则价与末行减二行四行偶数也则价与末行加而不言同异名将竒行者皆同名乎偶行者皆异名乎未可必也不知彼所设问各行逓空两位势必挨列虽云四色乃四色之有空者耳非四色之本法也【省算卷辨之极详可以互发】既挨列矣余行之首一色皆空不湏乗减惟末行首行相对可以互乗非用末行乃用上一色相对之行耳使上一色不空者在中二行而末行反空又当以中行先用矣虽欲以末行为主得乎

　　至于第二次重列而乗减者乃用首行末行相减之余也非専用末行也葢两行相减乃生余数若谓之用末行亦可云用首行矣

　　又因各行多空故径以减余与次行乗减得数又径以减余与三行乗减乃省算之法于末行毫不相渉也

　　且方程之行次非有定也其前后可以互居左右中可以相易亦何从而定之为末行乎末行无定矣又安有竒偶之可言乎而以是为加减之定法乎

　　然则恶乎定曰详和较以列减余别同异以定加减苟其和数也虽空无减不立正负也苟其较数也虽无空位分正负也此列减余之法也但同名者不论何行皆减但异名者不论何位皆加此定加减之法也如是而已

　　法实辨

　　算家法实皆生于问者之所求如有总物若干总价若干而问每物若干价则是以物为法价为实也或问每银一两得若干物则是以价为法以物为实也诸算尽然则方程可知矣算海説详曰中余为法除下实盖本统宗然其説非也同文算指曰以少除多其説亦非也何以明之曰方程法实犹诸算之法实也故必于问者之所求详之中下多少非可执也

　　假如和数方程有物若干又物若干共价若干是物之位在上中而价之位在下也若问每物之价而以物为法银为实是中除下也固也或问每银一两之物而以银为法物为实又当以下除中矣不知问者之所求以物求价乎以价求物乎愚故曰中下难执也

　　又物之价值莫可等计有贱于银之物以一两而得数千百斤有贵于银之物以数十百金而得一物假如有贵物若干又若干共价若干是物之数少而银之数多也而问每物之价谓之以少除多似也若问每银之物不又当以多除少乎又如有贱物若干又若干共价若干是物之数多而银之数少也而问每银物若干谓以少除多可也若问每物价若干不且以多除少乎惟以多除少故有不满法之实实不满法故有以法命之如云每银一两于物得几分之几者是也其物多除银少者则有退除为钱若分厘故曰多少难拘也

　　多少中下既不足以定法实则法实安定曰亦惟于问意详之而已　今具例如后

　　论曰方程法实只是以下一位与上中数位相湏为用耳故有实一而法二其三色者则有实一而法三若以下除中者则有法一而实二或法一而实三故用互乗之法以减之及其用也则只是一法一实而已二色者互乗而对减其一则一法一实也三色者对减其一又对减其一亦一法一实也四色五色其法悉同此方程立法之原也

　　问河工方九百尺以当筑城八百尺城多一工以河工七百二十尺当城工七百尺城多二工问每工一日若干尺

　　畣曰河工每日六十尺　城工每日五十尺

　　如法乗减　余城工五万四千尺为实　工一千○八十为法法除实得每工五十尺为城工每日之数以城工五十尺除右行八百尺得十六工同减负一工余十五工以除河工九百尺得每工六十尺为河工每日之数

　　论曰此以下除中也縁所问每工一日土若干尺以工求土也故以工为法土为实若拘中法下实则法实反矣

　　若问每土千尺该用几工则当以五万四千尺为法一千○八十工为实法除实得百分工之二是为每城工一尺之数以所问每千尺乗之得二十工是为城工每千尺用工二十日也　若用异同除则以土千尺乗一千○八十工得一百○八万工为实以法五万四千尺除之得二十工为城工每千尺之数亦同

　　于是以二十工乗八百尺【用右行原列】千尺除之得十六工减负一工余十五工河工九百尺数也以九百尺除十五工得百分工之一又三分之二河工每尺数也以问千尺乗之得十六工又三分工之二为河工千尺之数　用异乗同除以千尺乗十五工得一万五千工九百尺除之得十六工又九之六约为三之二亦同

　　问开渠十七工筑堡二十工共以立方计者一千六百八十尺又渠三十工堡四十工共三千二百尺今欲计土续工则每百尺得几工

　　畣曰开渠每土一百尺【二工半】筑堡每土一百尺二工

　　如法乗减　余堡工八十为实　土四千尺为法法除实得每尺百分工之二以百尺乗之得二工为筑堡每百尺之工【或异乗同除以百尺乗八十工得八千为实以法四千尺除之亦得每百工二工】　以左行堡工四十乗百尺二工除之得二千尺以减共三千二百尺余一千二百尺渠土数也用除渠工三十得百分工之二半以百尺乗之得二工半为开渠每百尺之工【或异乗同除以百尺乗三十工得三千以一千二百尺除之亦得每百尺二工半】

　　论曰此亦以下法除中实也縁所问以土求工故也又为以多除少盖土之数原多于工也故退除而得其分秒而所问者每百故又有异乗同除之用也并分母辨

　　自方程笇失传有可以方程立算亦可以差分诸法立算者则皆收入诸法而不知用方程如愚末卷所载方程御襍法是也有实非方程法而列于方程如同文算指所収菽麦畦工诸互乗之法是也有可以方程算而不用方程漫以他法强合而漫谓之方程如并分母之法是也诸互乗法非方程易知不必辨故専辨分母

　　问甲乙二窖不知数但云取乙三之一益甲取甲二之一益乙则各足二千石

　　畣曰甲窖一千六百石　乙窖一千二百石

　　原法曰列位互乗甲得六千石乙得四千石相减余二千石为实并两分母共五为法除之得四百石以乙分母三乗之得一千二百石为乙窖以乙窖减二千石余八百石以甲分母二乗之得一千六百石为甲窖

　　论曰此法不然乃偶合耳若分母为三与四即不可用或分子为之二之三亦不可用况方程法原无平列两色物之理而此独平列既平列矣又何以先得乙窖皆不合也今以方程本法御之则无所不合

　　依带分化整为零法列位

　　如法乗减　甲减尽　余乙五分为法　余二千石为实　法除实得四百石为乙之一分以乙分母三乗其一分得一千二百石为乙窖　以乙之一分减二千石余一千六百石为甲窖

　　论曰此亦用五分为法也然为得数相减之余非并分母也所用之实亦二千石然为甲分互乗之数相减非甲乙两分母互乗相减也

　　亦先得四百石为乙三分之一然以乙列于中甲列于上故先减去甲而余乙为法以先得乙之分若列乙于上则亦先得甲分矣试更列之以先求甲窖

　　如法乗减　乙减尽　甲余五分为法　余四千石为实　法除实得八百石为甲之一分以甲分母二乗之得一千六百石为甲窖

　　以甲之一分减二千石余一千二百石为乙窖

　　论曰凡方程有各色皆可更列其上下以互求而任先得其一色何也其互乗而对减者皆实数也若并分母为法则无实数可言故不可以互求

　　愚于带分言之备矣或化整为零【如上所列二例是也】或变零从整或除零附整共有三法凡带分者皆可施用若并分母为法则多所不通矣　凡此皆诸书沿误而同文算指亦皆收入未尝驳正也

　　试以分母非三与二者求之

　　假如有句股不知数但云以股四之一益句以句三之一益股则皆二丈二尺问句股各若干

　　畣曰句一丈八尺　股一丈六尺

　　依化整法列位

　　上　　　　中　　　　　下

　　如法乗减　余股十一分为法　四丈四尺为实法除实得四尺为股之一分以股分母四乗其一分得一丈六尺为股

　　以股之一分减共二丈二尺余一丈八尺为句

　　论曰此十一为法也若以股列于上则亦十一分为法也如并分母将以七为法其能合乎

　　又试以分子非之一者求之

　　假如有股与不知数但云若取六分之二以益股则五丈五尺若取股三分之二以当则少五丈五尺问若干

　　畣曰股三丈　七丈五尺

　　法以一和一较依化整法列位

　　如法互乗　股同名减尽　异名并得二十二分为法　数异名并得二十七丈五尺为实　法除实得一丈二尺五寸为之一分以分母六乗其一分得七丈五尺为　以之二分二丈五尺减共五丈五尺余三丈为股

　　论曰此以二十二为法也若以列于上则亦二十二为法也而并分母是将以九为法矣岂不毫厘千里乎

　　以上数则皆不可并分母为法

　　问者或云甲乙仓粟不知数但知共二千石其甲二之一与乙三之一等各若干

　　畣曰甲八百石　乙一千二百石

　　法以和较襍列位亦用化整为零

　　徧乗甲同减尽　乙异并五分为法　二千石无减为实　法除实为乙之一分　以乙分母三乗其一分得一千二百石为乙仓　因适足故乙之一分犹甲之一分也以甲分母二乗之得八百石为甲仓

　　论曰惟此有似于并母然实非并分母乃并得数之异名者也又按并母法与方程不同

　　假如有仓粟取三之一又二之一共计二千石问原数若干

　　畣曰原数二千四百石

　　法以两母互乗其子而并之得五为法　以两母相乗得六以乗二千石得一万二千石为实　法除实得二千四百石为原仓之粟

　　论曰此即并母法也因两分子皆一故并母用之实并两分母互乗其子之数也盖既曰三分二分其原数必可以三分之又二分之者也故以两分母相乗得六借为原数之衰原数六则三之一即二也二之一即三也并而用之借为所取之分如云取原数六分之五而二千石也六分之五为二千石则其全数必二千四百石矣此通分法非方程

　　设问之误辨

　　算家设问以为规式意虽引而不发数则实而可稽苟其稽之而无有真实可言之数则其意不能自明而何以为式乎至其立法之多违于古皆以不深知算理而臆见横生又相因而必至也故以设问为之目

　　今将同文算指所载井不知深例考定如后余如此者尚多不能一一为辨也【钱塘吴信民九章比类亦载是例非同文创立也盖方程之沿误久矣】

　　问井不知深以五等绳度之用甲绳二不及泉借乙绳一补之及泉用乙绳三则借丙一用丙绳四则借丁一用丁绳五则借戊一用戊绳六借甲一乃俱及泉其井深若干五等绳各若干

　　原法曰列五行以五绳之数为母借绳一为子先取甲二乗乙三得六以乗丙得二十四以乗丁得一百二十以乗戊得七百二十并入子一共七百二十一为井深积列位

　　一甲二　乙一　　○　　○　　　○　七百二十一二○　　乙三　　丙一　○　　　○　七百二十一三○　　○　　　丙四　丁一　　○　七百二十一四○　　○　　　○　　丁五　　戊一　七百二十一五甲一　○负一　○负一　○负一　戊六　七百二十一乃取五行为主而以一二三四俱与相乗

　　先以一行甲二遍乗五甲【甲一得二戊六得十二积七百二十一得一千四百四十二】

　　五行甲一亦遍乗一行对减【甲得二减尽乙得一因五行乙空立负一积七七百二十一本数以减五行仍余七百二十一】

　　次以二行乙三乗五行【乙负一得负三戊正十二得三十六积七百二十一得二千一百六十三】

　　五行乙负一亦乗二行【乙三得三对减尽丙一得一因五行丙空立负一积七百二十一得本数并入五行积共二千八百八十四】

　　再以三行丙四乗五行【丙负一得四戊正三十六得一百四十四积二千八百八十四得一万一千五百三十六】

　　五行丙负一亦乗三行【丙四得四减尽丁一得一因五行丁空立负一积得本数与五行对减余一万○八百一十五】

　　又以四行丁五乗五行【丁负一得五戊正一百四十四得七百二十积一万○八百一十五得五万四千○七十五】

　　五行丁负一亦乗四行【丁五得五减尽戊一得一并入五行戊正七百二十共七百二十一积得本数并入五行积五万四千○七十五共五万四千七百九十六】

　　乃以最后所得求之以积五万四千七百九十六为实戊七百二十一为法除之得戊绳七尺六寸以减四行总积【七百二十一】余六百四十五以丁五除之得丁绳一丈二尺九寸以减三行积【七百二十一后同】余五百九十二以丙四除之得丙绳一丈四尺八寸以减二行积余五百七十三以乙三除之得乙绳一丈九尺一寸以减一行积余五百三十以甲二除之得甲绳二丈六尺五寸

　　论曰此一例中有数误　一者以末行为主而以一二三四与之相乗此由不知和较交变而沿竒减偶加之失误一　一者谓末行有空故立负由不知有空径求而沿立负之非误二　一者以除法命为井深而设问不明言丈尺误三　又辄立母逓相乗加借子一之法误四　一例中误至数端将令学者何所措意乎

　　前之两误【谓以未行为主而竒减偶加反立负之法】业于梨诸例辨之綦详可以互见今特明后两误之非具如后论

　　凡言百十者皆虚位也其实数以单位为端故单位为寸则十者尺百者丈若单位为尺则十者丈百者十丈若单位为丈则十者十丈百者百丈七百二十一以为井深不知其所谓一者尺乎寸乎丈乎若七百二十一尺七百二十一寸七百二十一丈相去甚悬然其为七百二十一者不殊也先不明言尺寸虽得数何以命之

　　详观问意乃借井深以知各绳故井深者和数也在各行中皆所列诸绳之共数必先知此共数然后以乗减之法求之而各数乃见矣而不先言井深转借各绳以求之方程中无此法也故其所得但为七百二十一之虚率而不能防其为丈尺何等亦固然耳

　　七百二十一亦非井深定率何也倍七百二十一则一千四百四十二若三其七百二十一则二千一百六十三推之以至于无穷凡可以七百二十一除之而尽者皆可以五等绳相借而及泉也故使其井为一丈四尺四寸二分之深则戊绳必一尺五寸二分丁绳必二尺五寸八分丙绳必二尺九寸六分乙绳必三尺八寸二分甲绳必五尺三寸矣使其井为二十一丈六尺三寸之深则戊绳二丈二尺八寸丁绳三丈八尺七寸丙绳四丈四尺四寸乙绳五丈七尺三寸甲绳七丈九尺五寸矣皆甲二偕乙一若乙三则偕丙一若丙四则偕丁一若丁五则偕戊一若戊六则偕甲一而及泉故曰七百二十一非井深之定率也

　　七百二十一者除法也以此为法除井深乗并之数而得一绳因以知各绳即不得以此命为井深

　　除法法也井深实也而以法为实乎

　　以七百二十一为除法乃绳也如所求先得戊绳之数则此七百二十一者即是戊绳也其五万四千七百九十六者乃七百二十一戊绳之共数也以戊绳七百二十一为法除其共数而得七十六则是一戊绳之数也故七百二十一者绳也五万四千七百九十六者井深也【假如一井深七丈二尺一寸则七十六井共深五百四十七丈九尺六寸井无此深乗并而有也数犹戊绳之七百二十一亦以乗并而得也】而顾以绳之积为井深之积乎

　　假如井深一丈四尺四寸二分依法求之其为戊绳之共数必一百○九丈五尺九寸二分而其戊绳亦必七百二十一以七百二十一为法除一百○九丈五尺九寸二分得一尺五寸二分则一戊绳之数矣故曰七百二十一者非井深也乃除法也绳也绳之为除法者有定而其所除之井深无定也

　　又辄立母子乗并之法夫以各绳为母而借绳为子未大失也盖于三绳中取一即是三之一于四绳取一亦即四之一也乃谓七百二十一为母相乗而加借子则非也盖位既迭空除首位减去外皆母与相乗乗子与相乗而不相遇至第四次乃相遇而又适当其变为一和一较之时异名相并故得此数以为除法耳固不得立此以为通法也

　　假如问五色方程而各行不空则和较之变多端岂预知其减并即使各行有空如所列而或为较数则有减而无并亦将以借子加之乎

　　又所加之一乃子相乗之数若遇借子为之二之三则皆不能径用其原借之子数也故曰非通法也今试以井深一丈四尺四寸二分者举例如后

　　假如有井深一丈四尺四寸二分以甲乙丙丁戊五等绳汲之皆不及泉若甲借乙三之一乙借丙四之一丙借丁五之一丁借戊六之一戊借甲二之一皆及泉问绳各长若干

　　法以带分和数列位

　　上上　上下　中上　中下　下上　　下下

　　依空位省算先以一行与五行对乗　甲减尽　乙一戊十二皆无对不减　和数余一丈四尺四寸二分　乙在首行　戊与一丈四尺四寸二分在五行分正负列之　和变较也　余行无甲绳不湏减

　　径以减余与次行相对

　　依和较相襍法互乗　乙绳同减尽　丙一【左正】戊三十六【右负】皆无减　和较数异并五丈七尺六寸八分【右负左正】　复变和数不分正负【隔行异名并故也】

　　依和数乗　丙绳减尽　丁绳一【左】戊绳一百四十四【右】皆无减　和数减余二十一丈六尺三寸【右】又复变和数也分正负列之

　　余行又无丙绳径以减余与第四行相对

　　上　　　　　中　　　　下

　　依和较相襍乗　丁同减尽　戊异并七百二十一为法　和较数异并一百○九丈五尺九寸二分为实　法除实得一尺五寸二分为戊绳六之一　以减共一丈四尺四寸二分得一丈二尺九寸为丁绳五除丁绳得二尺五寸八分为丁绳五之一　以

　　减共一丈四尺四寸二分余一丈一尺八寸四分为丙绳　四除丙绳得二尺九寸六分为丙绳四之一以减共一丈四尺四寸二分余一丈一尺四寸六

　　分为乙绳　三除之得三尺八寸二分为乙绳三之一　以减共一丈四尺四寸二分得一丈○六寸为甲绳　二除之得五尺三寸爲甲绳二之一　以减共一丈四尺四寸二分得九尺一寸二分爲戊绳

　　计开

　　论曰此亦七百二十一为除法也减并之用与前无异而井深既别绳数迥殊不先言丈尺何以定之试又以较数明之

　　今有数不知总其五人所分亦不知各数但云取乙三之一以当甲取丙四之一以当乙取丁五之一以当丙取戊六之一以当丁取甲二之一以当戊皆不足七百一十九问若干

　　畣曰甲一千○三十四　乙九百四十五　丙九百○四　丁九百二十五　戊一千二百三十六

　　法以较数列位

　　依带分法化整爲零

　　如法乗　甲同减尽　乙一【左负】戊十二【右负】皆无减同名在隔行仍分正负　较数异并与戊同名　余行无甲径以减余对第三行

　　如法乗　乙同减尽　丙一【左负】戊三十六【右负】皆无减以隔行同名分正负　较数异并与戊同名　余

　　行无乙径以减余对第四行

　　如法乗　丙同减尽　丁一【左负】戊一百四十四【右负】皆无减　以隔行同名分正负　较数异并仍与戊同名　余行无丙径以减余对末行

　　如法乗　丁同减尽　戊同减余七百一十九为法较数异并一十四万八千一百一十四为实　法

　　除实得二百○五为戊之一分加正七百一十九共九百二十五为丁数　五除丁数得一百八十五为丁之一分加正七百一十九共九百○四为丙数四除丙数得二百二十六为丙之一分加正七百一十九共九百四十五为乙数　三除乙数得三百一十五为乙之一分加正七百一十九共一千○三十四为甲数　二除甲数得五百一十七加负七百一十九共一千二百三十六为戊数　六除戊数仍得二百○六为戊之一分

　　计开

　　论曰此其母与母相乗子与子相乗与前略同但末后相遇为同减故不以七百二十一为法而以七百一十九为法无他较数也若依母相乗而并子岂不误哉

　　且四次乗减其下较皆异倂亦足见竒减偶并之非又以法同而得数迥异者明之

　　今有数五宗不知其总但云以乙三之一当甲以丙四之一当乙以丁五之一当丙以戊六之一当丁皆适足若以甲二之一偕戊则共数七百二十一问各若干

　　法以和较带分列位　化整为零

　　甲同减尽　乙一【左负】戊一十二【右正】皆无减　一千四百四十一亦无减　隔行异名即同名也变为和数重列之与次行对

　　乙同减尽　丙一【左负】戊三十六【右正】四千三百二十六【右正】皆无减　皆隔行异名亦变和数重列与第三行对

　　丙同减尽　丁一【左负】戊三十六【右正】一万七千三百○四【右正】皆无减隔行异名仍变和数重列与第四行对

　　丁同减尽　戊异并七百二十一为法　八万六千五百二十无减就为实　法除实得一百二十为戊六之一即丁数　五除之得二十四为丁五之一即丙数　四除之得六为丙四之一即乙数　三除之得二为乙三之一即甲数　半之得一为甲二之一以减共七百二十一余七百二十为戊数

　　计开

　　甲二　乙六　丙二十四　丁一百二十　戊七百二十论曰此亦以七百二十一为法而其各数迥不相类则以下数之为和为较迥不相同也然则井深者即和数也而不先言其丈尺顾以除法命之可乎

　　又试以分子逓借而非之一者明之

　　今有甲乙丙丁船各十只以载盐九千七百七十六引俱不足若甲借乙一乙借丙二丙借丁三丁借甲四则各能载问各船若干

　　法以和数列位

　　列后

　　甲减尽　乙四【右】丁一百【左】皆无减　以两行故分正负　载盐余五万九千八百五十六【左】与丁同名甲空与减余对次行

　　乙同减尽　丙八【左正】丁一千【右负】俱无减　引异并六十三万八千四百六十四【右负左正】异名在隔行复变和数无正负　乙空以减余对三行

　　丙减尽　丁余九千九百七十六为法　引余六百三十万○四千八百三十二为实　法除实得六百三十二引为丁船数　以丙借丁船三乗丁数得一千八百九十六以减共九千九百七十六引余八千○八十丙所载也以丙十除之得八百○八引为丙船数　以乙借丙船二乗丙数得一千六百一十六以减共九千九百七十六引余八千三百六十乙所载也以乙十除之得八百三十六引为乙船数以乙船数减共九千九百七十六余九千一百四十甲所载也以甲十除之得九百一十四引为甲船数计开各船每只载数

　　甲船九百一十四引

　　乙船八百三十六引

　　丙船八百○八引

　　丁船六百三十二引

　　论曰此四色方程逓借法与诸书所载马骡载米同亦与同文算指井不知深同但彼误以除法为井深又误立各母逓乗加借子法故设此问以显其理

　　此所用除法丁船九千九百七十六犹彼所用除法戊绳七百二十一也乃除法也非井深也除法有定而井深无定即如此问九千九百七十六之除法有定而盐之数无定也何言乎无定假如以九千九百七十六引而倍之则各船之所载亦倍矣以引数半之船所载亦半矣然其除法之九千九百七十六如故也若不先言引数何知之

　　共载九千九百七十六引者盐数也以九千九百七十六为法而除者船数也船为法者算家虚立之率盐列位者问者现据之实数数虽偶同为用逈别

　　以各原数为母借数为子是也如甲借乙船一而乙船原有十即十分之一也谓母相乗而加借子一则非法也如此所用除法九千九百七十六何以处之又如后条马歩舟师各借二分者又何以处之数虽似不可施之他数非通法矣

　　又试以三色例亦用异加得除法者观之

　　假如有马歩舟师不知数但云取骑兵五分之二益歩取歩卒三分之二益舟取舟师七分之二益骑则皆得六千七百八十名

　　畣曰歩卒四千五百名　骑兵五千七百名

　　舟师三千七百八十名

　　法以和数带分列位

　　依省笇以左行加二分之一　步卒减尽　骑二分【右】舟师十分○半【左】皆无减　共数减余三千三百九十【左】分余两行变较数也　以较数与舟师同名中行步卒原空径以减余作二色列之

　　依省算四因左行而退位　骑同减尽　舟师异并十一分三厘为法　和较数异并六千一百○二为实　法除实得五百四十为舟师之一分　以分母七乗之得三千七百八十名为舟师数

　　以舟师数减共数六千七百八十余三千所借步卒之二分也　二除之分母三乗之得四千五百为歩卒数

　　以歩卒数减共数六千七百八十余二千二百八十所借骑兵之二分也　二除之分母五乗之得五千七百名为骑兵数

　　论曰此虽以异加而得除法然不得竟以子之二加也故以分子一加者非通法也

　　厯算全书卷四十三

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷四十四

　　宣城梅文鼎撰

　　方程论卷五

　　测量

　　测量非方程事也方程者算术算术恃计测量恃目实惟两途测量之不能兼算术犹算术之不能兼测量虽曰能兼非其粹矣今略具其所兼其不能兼者有句股诸法在

　　测量在方程有二

　　一曰隂云测量

　　隂云者不见宿度而云影微薄之处犹能见五纬若见二星则有其相距之度而可以方程取之矣

　　一曰宿度测量

　　宿度者虽无隂翳而无仪器故借宿距一定之度以取之必有二星同见或星与太隂同见则成方程之算矣

　　隂云测法

　　假如隂云不见宿次但于云隙测得辰星在太白后一度又二日荧惑与二星同在一度又二日太白在荧惑前三度而辰星云翳又一日辰星在房初度余不可见又十二日荧惑始至房初问各行率若干畣曰辰星每日行二度　太白每日行一度有半荧惑每日行半度

　　解曰此辰星行二日太白亦二日而辰星多一度荧惑与太白同行三日而太白多三度　辰星行四日荧惑十六日而行度相当也

　　法曰以较数列位

　　依省算以左行半之与右相减辰星同减尽太白二日【右负】荧惑八日【左负】皆无减分正负【同名在隔行即异名也】正　一度亦无减【与荧惑同名】

　　重列减余与中行

　　依省算以左行减三之一乃对减　太白同减尽荧惑同减余六日为法　行度异并三度为实　法除实得半度为荧惑每日行率　以右减余八日乗之得四度同减负一度余三度以太白二日除之得一度半为太白日行率　以右行太白二日行三度异加正一度共四度以辰星二日除之得二度为辰星每日行率

　　假如测得辰星在金星后二度隂云不知宿次但于四日后见二星同行在一度亦未知宿次又三日辰星行至房初度而金星云翳至第四日金星亦至房初而水星未见问两星每日行率若干

　　解曰此两星各行四日而辰星多二度　辰星行三日金星行四日而其度相当

　　法以较数列位

　　二色者有一色偶同依省算径以对减　金星同减尽　辰星同减余一日为法　正二度无减为实法一省除径以二度为辰星每日行率　以辰星三日行六度金星四日除之得每日行一度半

　　若欲知前两测某宿度者以金星四日行六度为二星同度距房初之数　又加金星同行四日六度共十二度为前测金星距房之度　又加辰星在金星后二度为辰星前测距房之度　各以距度与房初度相求得前两测星躔宿度

　　如顺行者前所测之宿在房后也氐宿亢宿也各置距度以氐宿亢宿度迭减之不尽者以转减前宿之度得星所在宿度　如逆行者前所测之度在房前也心宿尾宿也各置距度以房度心度逓减之减不及者即命为后宿星所在之度

　　假如甲子日金星夕见乙丑日水星夕见至丁卯日水星行及金星但不及半度至戊辰日二星同度皆以阴晦不能细知宿次问各率若干

　　解曰此金星行四日水星三日相当

　　金星行三日水星二日则水星不及半度

　　法以较数列位

　　依省算左行二分加一　水同减尽　金同减余半日为法空度七分半为实　法除实得金星日行一度半　金三日行四度半同减负半度余四度以水星二日除之得日行二度

　　假如广福二船哨海福船先发行五日广船行三日遇于中途其泛地相距二千五百里遂又同往一岛广船行四日先至候六日福船始至问各船每日行率解曰此广船疾福船迟也　广船三日福船五日共行水面二千五百里　广船四日福船十日而水程相当

　　畣曰广船日行五百里

　　福船日行二百里

　　法以一和一较列位

　　如法遍乗　广船同减尽　福船异并五十日为法正一万里无减为实　法除实得二百里为福船

　　毎日行率　福船十日行二千里以广船四日除之得五百里为广船每日行率

　　又如自东徂西共二千里先乗车行五日换舟行八日至其国其舟与车复同往一处车先行六日舟乃发行四日逐及问舟车行率

　　畣曰舟每日二百里　车每日八十里

　　解曰舟疾车迟　舟八日车五日共行二千里　舟四日车十日行适相当

　　依省算半右行数　舟同减尽　车异并十二日半为法　正一千里无减为实　法除实得八十里为车率　以舟四日除车十日所行八百里得二百里为舟行率

　　假如甲乙二船哨海同泊一山同用正卯酉字风东行但甲船先发解防七日乙船后行解防五日追及于一岛又自此岛用正子午字风南行但甲又先发解防九日泊于南洋乙后发解防七日泊于又南洋其二洋相距二百里问道里各数

　　法以较数列位

　　甲船同减尽　乙船余四日为法　负一千四百里为实　法除实得三百五十里为乙船每日率　以甲船七日除乙船五日所行一千七百五十里得二百五十里为甲船率　其一千七百五十里即山岛相去之程　以甲船九日行二千二百五十里为岛去南洋之程　又加二百里为又南洋之程合问计开

　　甲船每日行二百五十里

　　乙船毎日行三百五十里

　　山岛之距一千七百五十里

　　岛距南洋二千二百五十里

　　距又南洋二千四百五十里

　　自山至又南洋共水程四千二百里

　　又假如二人同往西番公干一人车一人骑车自某山西行九日骑自某河西行十日及之于一城其河在山之东相距三百里又自此城西行八日骑先至一国驻劄候一日车至问道里各如干

　　法以较数列位

　　如法径减　余骑二日为法　三百里为实　法除实得一百五十里为骑行率　并骑前后共十八日行二千七百里为所驻西国距河之程骑所行也减河距山三百里余二千四百里为西国距山之程车所行也　并前后车行十八日除之得一百三十三里又三分里之一【即一百二十步也】为车行每日里率用车行里率乗九日得一千二百为城距山之程以减总距余亦一千二百里为西国距城之程计开

　　骑日行一百五十里　前后共行二千七百里车日行一百三十三里又三分里之一　前后共行一千四百里

　　城距山一千二百里　距河一千五百里

　　国距城一千二百里　距山二千四百里　距河二千七百里

　　此上数则近事易知用明测量之理

　　宿度测法

　　凡测量之法有测器又有水漏则虽阴云可以所见者得其度若但有测器而无水漏可以所见两星之距度取之如前所列隂云不知宿度之法是也乃又无测器而但据目见则当以宿度取之盖宿有一定之度借以为两星之和度较度因所知以求不知此则方程之法可为测量者助也至于诸星行率古今厯术不同学者通其意无拘其数焉其可

　　若一星单行非仪器比量莫知其迟疾之度然晴雨难期则亦有因所见以测所不见之时故算术不可废也

　　五星错行多有相遇则和度较度可施若太隂毎月经行廿八宿一次与五星相遇亦每月有之精于推步者虽非假此定星然用与厯术相参有不借仪器而知迟疾使看者引騐见効亦算家之乐也

　　其五星各有迟疾留逆故测量比例当于相近日数内求之则所差亦不多也

　　其迟疾变行湏查七政厯以约其日则一星单行亦自可考其进退之数

　　两星相较例

　　假如两宿原有定距【如房距心】若干度有一纬星在其间【如金在房心间】以旁星记之越若干日纬星行至东宿【如心】又别一纬星【如火星】在西宿【如房】越若干日行至先所记旁星之处

　　此因无仪细测故借宿度用之如上所举乃以宿距为二星和度也一纬星若干日【如金】一纬星若干日【如火】共行天若干度【如房度】故曰和度

　　又如以一宿为主【如心】有纬星在其西【如木】以旁星记之越若干日纬星行过宿东至后一宿【如尾】又或异日别一纬星【如土】亦在前记纬星处所越若干日行至所借为主之宿【如心】

　　此则以宿距为二星较度也一纬星若干日【如木】一纬星若干日【如土】相差若干度也【如心度】故曰较度

　　凡此皆可以方程御之

　　若得两较度或两和度或一和一较即二色方程术也若三星四星以上各得三两宗测数以三色四色等方程求之无不可见

　　如木星在一宿之西【如井鬼之间】越若干日行至其宿【如鬼】火星原在木星之西越若干日行至木星原处金星又在火星之西而恰当西宿【如井】越若干日行至火星原处又若干日亦至木星原处

　　此亦借宿度为用而中有二和一较如云金星若干日火星若干日木星若干日共行若干度也【如井度】　又金星若干日木星若干日共行若干【亦用井度】　此二者和度也　又金星若干日火星若干日而其行适等【用火星至木星元处之日及金星自火星元处至木星元处之日】此则较度也【适足即较数也度无较其日则有较】

　　又如火星在房宿之西越若干日行过房抵心宿而木星自火星元处越若干日至房宿又有金星或先或后亦自火星元处越若干日行至房又若干日逐及木星于房心之间

　　此以宿距为较度者三　如云以火星若干日较木星若干日而火星之行多一房度也　以火星若干日较金星若干日而火星亦多一房度　以金星若干日较木星若干日而行度相等【用两星逐及于房心之间日数】

　　此上二则以三色取之　凡所测不必两星同在一度但欲有旁星可记异日有他星复至所记旁星之处即成同度之算右皆顺行星例

　　又如一星顺行自房行几日一星逆行自心行几日相遇同度于房心间自此分行又几日其逆行星至氐此用一较度一和度也顺行星几日逆行星几日共行房宿度此为和度　顺行星几日逆行星几日而逆行星多一氐宿度此为较度【用逆行星相遇后至氐宿之日数】

　　又如一星自建星顺行至几日遇逆行星又几日至牛宿其逆行星自相遇处行几日至建星又几日至斗宿距星

　　此亦一和一较　顺行星几日逆行星几日而行度相当【用二星两相遇处至建星之日数】此较度也　顺行星几日逆行星几日而共行斗宿度【用两相遇后顺行星至牛逆行星至斗之日数】此和度也

　　右逆行星例

　　问金火二星在房宿之西同度越九日金星行过房东至一处有星可记又一日金星行至心宿又八日火星始至房又九日火星始至前所记金星之处其二星行度各若干

　　解曰此金星行九日火星廿七日而行度相等金星行十日火星十八日而金星多六度【房宿六度故也】

　　法以较数列位

　　依省算以右行加九之一　乃对减　余火星一十二日为法　六度无减为实　法除实得半度为火星率　以金九日除火廿七日行十三度半得一度有半为金星率

　　假如太隂自尾宿初度行三日遇木星于斗牛间又三十日木星行至牛

　　此太隂三日木星三十日共行四十五度【借尾至牛之度约略其数后仿此】

　　木星自牛初行三十日与罗防遇于牛女间又一百二十日罗防退至牛

　　此木星行三十日罗防一百二十日而度等【罗防计都月孛有数无形借逆行之用】

　　罗防自牛初退行一百日遇土星于箕斗间又五十日土星行至牛

　　此罗防一百日土星五十日行度等

　　土星自牛初行三十日火星逐及遇于牛女间又三十日火星行至虚此土星三十日水星三十日而共行十八度

　　火星自虚初行五十日水星逐及遇于危室间又十日水星行至奎

　　此火星行五十日水星十日共行四十五度

　　水星自奎初行十五日逐及金星遇于昴毕间又十七日金星行至毕

　　此水星十五日金星十七日共行五十五度半

　　金星自毕初行二十日遇计都于井鬼间又四十日计都退至井此金星二十日计都四十日而金星多二十八日【借毕至井之距为两星之较】

　　计都自井初逆行二十日遇月孛于参井间又十日月孛行至井

　　此计都二十日月孛十日而行度等

　　月孛自井初行八十日太阴逐及遇于井鬼间又二日太阴行至栁

　　此月孛八十日太隂二日共行三十四度

　　问各行率若干【凡此所设不必其同日在一度谓之相遇但与宿值或有星可记即如同度之理】如法列位【九色和较之杂】

　　因九色行中挤廹既多空位取出其行次相对者列而先乗此捷法也

　　先以甲壬太隂对减【两行相对只三色余俱两空省不书俟重列时以次添入】

　　用省算法以甲行三之一壬行二之一列之【因甲行可三除壬行可二除而除之则太隂皆一日故除而列之】径对减太隂尽　余木星十日【右】月孛四十日【左】减余二度【左】分正负太隂减去寻原列中乙行有木星径与减余对列

　　用前法以左乙行三之一与减余列之　木星径同减　罗四十日【左负】孛四十日【右负】负二度【右负】皆无减【以隔行同名仍分正负】

　　木星减尽寻丙行有罗防径与减余重列

　　用前法以减余二之一丙行五之一列之　罗防同名径减　余三位无减　以隔行皆负分正负而孛与较同名

　　罗防减尽寻丁行有土星径对余数

　　和较列位

　　用前法以丁行三之一列之而命之为正　土同减尽　余无减　度异并七度　皆左正右负复变和数土星减去寻戊行有火星径对余数

　　用前法以戊行五之一列之　火径减　水　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【左】孛【右】

　　无减分正负复为较　余二度　　　　　　　　　　　　　　　　　【左】与水星同名火星减尽寻已行有水星以对余数【又因巳行不便省算改用辛行月孛相对】

　　用前法以减余半而列之　孛同减　余俱无减隔行同名仍为较

　　月孛减尽寻庚行有计都以对余数【水与较度皆右行负同名】

　　用前法以庚行半而列之

　　计同减　水【右负】金【左负】无减仍为较

　　余十三度【左负】与金同名

　　计都减尽寻巳行恰皆二色以相对

　　如法乗　水同减尽　金余异倂一百六十七日为法　度异并二百五十○半度为实　法除实得每日一度半为金星率

　　以巳行金星十七日行二十五度半减共五十五度半余三十度以水星十五日除之得每日二度为水星率

　　以戊行水星十日行二十度减共四十五度余二十五度以火星五十日除之得毎日半度为火星率

　　以丁行火星三十日行十五度减共十八度余三度以土星三十日除之得每日十分度之一为土星率

　　以丙行土星五十日行五度以罗防一百日除之得每日二十分度之一为罗防率

　　以乙行罗防一百二十日行六度以木星三十日除之得每日五分度之一为木星率

　　以甲行木星三十日行六度以减共四十五度余三十九度以太隂三日除之得每日十三度为太阴率

　　再以庚行金星二十日行三十度同减去正二十八度余二度以计都四十日除之得每日二十分度之一为计都率【与罗防同】

　　以辛行计都二十日行一度以月孛十日除之得每日十分度之一为月孛率

　　以壬行月孛八十日行八度减共三十四度余二十六度太阴二日除之仍得毎日十三度为太阴率

　　论曰各星迟疾留逆每叚不同然其各叚中行率大约相等故可以方程立算亦湏稍查时厯以知其变

　　若太近留叚行率甚微难见其在合伏左右行甚疾毎日不同难与他星相较则以一星迟疾之较取之具如后例

　　一星迟疾相较例

　　凡木火土三星虽有迟疾之行大约皆在一度以下而土木之变尤缓其数十日中行率仅差秒忽两星相较之法颇可施用惟金水二星迟疾之差悬逺其疾也有在一度以上而水星有二度其迟也不及一度迟之甚则留故可以其迟疾而自相较也

　　假如金星疾叚测得甲乙丙三日共行四度二十九分己庚两日共行二度有半问各日行率【此因前测以隂云用仪得其度分而不知宿次故虽后测能知宿次而中数日不可知是惟方程能御之也】

　　法以和数列所测以较数列中日【因挨日进退故倍中日为前后两日而命之适足盖已知测日同在一叚故也】

　　如法互乗逓减　余庚廿七日为法　三十三度廿一分为实　法除实得一度廿三分为末日行率【庚】以庚日行率减共二度五十分余一度廿七分为第六日行率【己】　倍己日行率减去庚日行率余一度三十一分为第五日行率【戊】　倍戊日行率减去己日行率余一度三十五分为第四日行率【丁】　倍丁日行率减去戊日行率余一度三十九分为第三日行率【丙】　倍丙日行率减去丁日行率余一度四十三分为次日行率【乙】　倍乙日行率减去丙日行率余一度四十七分为初日行率【甲】

　　累计甲乙丙日共四度廿九分己庚日共二度半合问或倍庚日行率共二度四十六分以减共二度半余○度○四分为日差以日差累加庚日得各日行率

　　总论曰凡步五星既得其叚日以为日率则以其盈缩之厯加减星行而得其叚所行之宿次以为度率以日率除度率而得其平行则又以初末日率相求使之陞降有等以为日差而加减之故日差者步五星之要事也

　　右例不拘日数但在迟疾本叚则可用此法

　　亦不拘定是宿次所见或仪器所测但有两宗宿度则其余日皆可倍中日以较其前后两日命为正负适足而求之何则其加减皆相挨而有序故知倍中日即同前后两日也

　　假如金星晨疾测得甲日之寅距地平一度至丙日之卯距地平三十度○七十五分至己日之卯距地平三十度问各日行率

　　解曰此是甲乙两日共行二度二十五分丙丁戊三日共行三度七十五分也

　　法以丙日距三十度○七十五分减寅至卯差三十度余○度七十五分与甲日距一度相减余○度二十五分为金星疾行过平行一度之数加甲乙两日太阳行二度是为两日内金星行二度二十五分又以己日距三十度与丙日距度相减余○度七十五分为金星疾于平行之度加丙丁戊三日太阳行三度是为三日金星行三度七十五分

　　论曰此因隂云不能细测每日之度故五日中仅有三测也或虽无隂云而仪器不具惟此三日有所当宿次可借以为行度之据则所得者皆为前两日后三日之和度也

　　如法以两和三较列位【因逓差补作三适足而列之】

　　如法乗减　得丁三日为法　共三度七十五分为实　法除实得一度二十五分为丁日行率【此因末两行减余三色减去二色只一法一实故径用以求也】

　　以丁减余七日行八度七十五分同减负二度二十五分余六度五十分以戊减余五日除之得一度三十分为戊日行率【此用三四两行减余】

　　以丁戊两日行率相减余○度○五分为日差以日差减丁日行率得丙日行率累减之得甲乙日行率

　　计开

　　甲日行一度十分

　　乙日行一度十五分

　　两日共行二度二十五分

　　丙日行一度二十分

　　丁日行一度二十五分

　　戊日行一度三十分

　　三日共行三度七十五分　合计之五日共行六度　此六度者乃金星行于黄道之度寔数也寔数者以宿度徴之如甲日之晨在某宿某度至己日之晨已进六度也　其距太阳之数则五日共差一度　此一度者乃金星渐近太阳之距亦即渐近于地平之距也目所见也谓之视差则以仪器度而知之如甲日之卯距地平三十一度至己日之晨卯刻则距地平三十度为较前相近一度也　今所测为甲日之寅寅与卯相差三十度故寅之星距地平一度者至卯则距三十一度也其时刻以水漏或中星得之　若寅正与卯初则只差十五度每刻则差三度太此以仪测星者所当知

　　论曰凡加减日差湏明进退之理如戊日之行率多于丁日则其疾为进也而先得末日则以日差累减之而得初日

　　若先得初日则当以日差累加之而得末日

　　如前一例庚日之率少于己日则其疾为退也而先得庚日则以日差累加之而得初日　若先得甲日则当以日差减之而得末日

　　其迟叚则皆反之　如末日多于初日其迟为退也则减末加初

　　若初日多于末日其迟为进也则减初加末

　　论曰凡七政盈缩古今厯术綦详所设立差平差之术尤宻至于太隂迟疾时刻逈异授时立法以三百三十六限更非逓加挨减所能定惟五星既得叚日定星其日差可以循次加减而方程测量之法可施也

　　又方程测量为草泽不能具仪器而偶有所见设此御之使独见者可以共晓若从事推步则有厯学诸书幸勿以管窥为诮

　　厯算全书卷四十四

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷四十五

　　宣城梅文鼎撰

　　方程论卷六

　　方程御襍法

　　算术之有方程犹量法之有句股必深知诸算术而后能言方程犹之必深知诸量法而后能治句股故以是终

　　诸方田少广凡属量法者往往有可以句股立算而诸法不能治句股方程之于粟布差分也亦然故襍法不能御方程而方程能御襍法

　　例如后

　　假如有粮一万九千石与甲乙丙三县各以其人戸多少米价贵贱僦值逺近舟车险易而均输之　甲县戸三万米价毎石一两四钱逺输二百里用车载二十石行一里僦值一钱三分　乙县戸二万米价一两二钱逺输五百里用舟载二十五石行一里僦值三分　丙县戸一万米价一两二钱逺输二百里道险可用负担每负六斗行五十里顾值一钱八分

　　法曰各以其县米价并僦值之数命其户以方程较数列之　以甲县车载二十石除其僦值一钱三分得六厘五毫【每载一石行一里数也】以乗二百里得一两三钱并米价一两四钱共二两七钱　以乙县舟运二十五石除其僦值三分得一厘二毫以乗五百里得六钱倂米价一两二钱共一两八钱

　　以丙县负担六斗除其顾值一钱八分以乗一石得三钱又以五十里除之二百里乗之得一两二钱并米价共二两四钱

　　原法以各县米价并僦值之数以除其戸为衰列而并之并衰为法各衰乗总米为实法除实得各县米今用方程则不湏尔竟以二两七钱命甲县之衰为二十七戸以一两八钱命乙县之衰为一十八户以二两四钱命丙县之衰为二十四户以三县衰命为适足而列之

　　如三色有空法乗　余丙县异倂一百一十四戸为法　正三十四石二斗为实　法除实得丙县每戸粮三斗　以丙一戸三斗减共一石九斗余一石六斗乙县四戸除之得每戸粮四斗

　　以乙二戸八斗甲县三戸除之得每戸二斗又三分斗之二各以每户率乗其县之戸总得各县转

　　计开

　　甲县三万户　共粮八千石　共僦车值一万○四百两毎户粮二斗六升六合又三之二　每三户粮八斗每戸僦值三钱四分又三之二　每三户僦值一两○四分总计米价与其僦值每戸共银七钱二分

　　乙县二万户　共粮八十石　其僦船值四千八百两每户粮四斗　僦值二钱四分

　　总计米价僦值每户亦七钱二分

　　丙县一万户　共粮三千石　共顾担夫银三千六百两毎户粮三斗　僦值三钱六分

　　总计米价僦值每户亦七钱二分

　　以米言之

　　论曰此因米价不等加以僦值不同故以法均之粮虽不均而每户所出之银数则均若但均其米乃不均矣是故均之以不均斯谓能均

　　问官米二百六十五石令三等人户出之甲上等二十户每户多中等七斗乙中等五十戸每戸多下等五斗丙下等一百一十戸其则例各若干

　　法以和较列位【依省算以和数十之一列之】

　　如法乗减　得丙戸十八为法　二十一石六斗为实　法除实得一石二斗为下等每戸则例　加正五斗为中等则　又加七斗为上等则

　　计开

　　甲上等毎戸二石四斗　二十戸共四十八石

　　乙中等毎戸一石七斗　五十戸共八十五石

　　丙下等每戸一石二斗　一百一十戸共一百三十二石合计之共二百六十五石

　　问有米六百七十四石以四等里甲输纳乙为甲十之八丙为乙十之七丁为丙十之六其甲乙各八十戸丙丁各七十户问各若干

　　解曰十之八卽非二八差分十之七十之六卽非三七四六差分故与带分条所设不同合而观之可也

　　法以和较列位

　　如法乗减而重列其余与三行对

　　又以余数与四行平列

　　数益多用省算法四除减余然后列之

　　如法乗减余丁六百七十四爲法　五万六千六百一十六石无减爲实　法除实得八十四石爲丁共数　十因丁数六除之爲丙共数　十因丙数七除之爲乙共数　十因乙数八除之爲甲共数

　　计开

　　甲共数二百五十石以八十户除之得毎户三石一斗二升五合　乙共数二百石爲甲十之八以八十户除之得毎户二石五斗　丙共数一百四十石爲乙十之七以七十戸除之得每户二石　丁共数八十四石爲丙十之六以七十户除之得每户一石二斗总计之共六百七十四石

　　论曰此所问是总数相差非毎户相差也故原列者总户而得亦总户之米若云问毎户之差则当以毎户列之而所得者亦毎户米也如后例

　　假如共米六百七十四石以四色人户出之甲八十户乙亦八十户乙毎户如甲十之八丙丁各七十户丙毎户如乙十之七丁毎户如丙十之六

　　问各户则例

　　法以戸细数列位

　　依省算以首行退位十而一与次行对减而重列之又半其减余然后列之与三行对

　　又列减余以对末行

　　如法乗减异并一千二百九十二为法　一千四百一十五石四斗无减为实　法除实得一石○九升又三百二十三之一百七十八为丁毎戸则例【法实皆四约之】

　　十因丁则六除之得一石八斗二升又三百二十三之一百八十九为丙每户则例

　　十因丙则七除之得二石六斗○又三百二十三之二百七十为乙每户则例

　　十因乙则八除之得三石二斗六升又三百二十三之十四半为甲每戸则例

　　计开

　　甲每户三石二斗六升又三百二十三之十四半八十户共二百六十石○八斗三升又三百二十三之一百九十一

　　乙每户二石六斗○又三百二十三之二百七十　为甲每户十之八

　　八十户共二百○八石六斗六升又三百二十三之二百八十二

　　丙每户一石八斗二升又三百二十三之一百八十九

　　为乙每户十之七

　　七十戸共一百二十七石八斗　○　又三百二十三之三百一十

　　丁每户一石○九升又三百二十三之一百七十八为丙每户十之六

　　七十户共七十六石六斗八升又三百二十三之一百八十六

　　合计共六百七十四石【凡六百七十三石九斗七升又九百六十九分以三百二十三収之为升得此数】

　　问有均分两银庚以其五之二与甲则甲之数多于庚一百六十八两若以甲二十一之九与庚则庚之数多于甲一百八十两原数几何

　　法以所用益彼之分与此所存之余分相减而列之【庚与甲五之二庚自存五之三】相减余五之一【是为以庚五之一较甲全分而甲多一百六十八两也】

　　【甲与庚廿一之九　甲自存廿一之十二】相减余二十一之三【是为以甲二十一之三较庚全分而庚多】【一百八十两也】

　　庚虽自存五之三而甲股内有庚所与之二故以相减而余之一分与甲相较

　　甲虽自存二十一之一十二而庚股内有甲所与之九故以相减而余之三分与庚相较

　　甲一百○二分为法除实一千○二十两得十两为甲之一分　二十一分共二百一十两　减负一百六十八两余四十二两爲庚之一分　五分亦共二百一十两

　　计开

　　【庚甲】各原银二百一十两【庚五之二计八十四两其五之三仍一百二十六两　甲二十一之九计九十两其二十一之十二仍一百二十两】

　　庚以八十四与甲【甲共有二百九十四庚仍余一百二十六】相较甲多一百六十八

　　甲以九十与庚【庚共有三百　　甲仍余一百二十】相较庚多一百八十此设问之意也

　　以【庚之一分四十二甲全分二百一十】相较甲亦多一百六十八

　　以【甲之三分计三十庚全分二百一十】相较庚亦多一百八十

　　此列位之理也

　　论曰右例以此之分益彼而转与此之余分相较与帯分条所设不同　带分条此之分较彼全分其全分即是原数　今则一损一增以相较非原数也故曰不同

　　及其相减而列为较数也则亦是此之分较彼原数矣是之谓尾同而首异

　　相减列位亦有变为和数者如后所设

　　问有两银庚以其五之三与甲则甲之数多于庚二百五十二两若以甲廿一之十三与庚则庚之数多于甲二百六十两

　　法亦以所与彼之分与其余分相减列之

　　庚【与甲五之三自存五之二】相减余五之一【此为所用之分多于存分是变和数也庚五之一偕甲全分共二百五十二两也】

　　甲【与庚二十一之十三自存二十一之八】相减余二十一之五【此亦用分多存分少是变和数也　甲二十一之五偕庚全分共二百六十两也】

　　甲所以多如许者不惟其全数之故其所得于庚之分又多于庚之余分者一也故甲所多之数乃是甲全数偕庚之一分所共也

　　庚所以多如许者亦不惟其全数之故其所得甲之分又多于甲之存分者五也故庚所多数亦是庚全数偕甲之五分所共也

　　甲一百分为法除实一千而得十两为一分　以甲五分计五十两减共二百六十两余二百一十两为庚原银　五除之得四十二两为一分　以减共二百五十二两亦得二百一十两为甲原银

　　庚五之三计一百二十六两以加甲银共三百三十六两　内减去庚自存五之二计八十四两　仍多二百五十二两　即是甲全数偕庚一分之数也

　　甲二十一之十三计一百三十两以加庚银共三百四十两　内减去甲自存二十一之八计八十两　仍多二百六十两即是庚全数偕甲五分之数也

　　论曰右例以此之分偕彼全分而为和数亦与带分和数同然以相减而得之亦是尾同首异　带分条和数较数据问而分　今则设问只是较数相减列位乃有和较之分

　　依例推之亦有变为一和一较者皆以所用之分与所存分相减而得之　列位时巳变不待其重列减余也故又与寻常较变和者异

　　总论曰此二条者皆一损一益例也

　　问金九锭银十一锭其重适等若交易其一则银多十三两其原重若干

　　法以相差十三两半之得六两五钱为一锭之较解曰交易一锭而差是一多一少故半之为一锭之较　银得较而增重故与金同名

　　银二锭除实得银每锭重二十九两二钱半　加正六两五钱得金每锭三十五两七钱半

　　计开

　　金每锭三十五两七钱五分　金九锭【得三百二十一两七钱五分】银每锭二十九两二钱五分　银十一锭【亦得三百二十一两七钱五分】金八锭二百八十六两加银一锭共三百一十五两二钱半

　　银十锭二百九十二两半加金一锭共三百二十八两二钱半

　　共多一十三两　若交易二锭而差二十六两则以二锭倍作四锭除之亦得六两五钱为一锭之较余可类推【或半相差二十六两为一十三两命为金二锭银二锭之较尤为平穏】

　　论曰此条旧列差分同文算指改立借衰互徴之法皆不知宜入方程也

　　凡以两家之数相交易而差若干皆半其所差而列之为所交易之较何也一增一减而差若干则原所差者其半也

　　问甲有硃砂银七锭壬有鑛银九锭相较甲原多十五两今以甲二锭易壬三锭则甲多二十七两

　　法以原多十五两今多二十七两相减余十二两半之得六两为甲二锭壬三锭之较【甲得较而增重故与壬同名】

　　壬三锭除七十二两得壬每锭二十四两　以九锭乗得二百一十六两加正一十五两共二百三十一两甲七锭除之得每锭三十三两

　　计开

　　甲以二锭与壬余五锭一百六十五两加易得壬三锭七十二两共二百三十七两

　　壬以三锭与甲余六锭一百四十四两加易得甲二锭六十六两共二百一十两

　　相较甲多二十七两

　　此问意也

　　问甲银七锭壬九锭相较壬原少十五两今以一锭相交易壬多三两

　　法以原少十五两今多三两并得十八两而半之得九两为一锭之较【壬得之而变轻为重故与甲同名】

　　壬二锭除四十八两得每锭二十四两　加九两得甲每锭三十三两

　　计开

　　甲六锭一百九十八两加壬一锭二十四两共二百二十二两壬八锭一百九十二两加甲一锭三十三两共二百二十五两相较壬多三两　此交易一定之数　余同前问

　　论曰此三问皆同法第一问盈偕适足故即用原数第二问两盈故相减第三问盈偕不足故相并然皆半之为较故三法一法也

　　又按于七锭中取一即七之一同带分之理故又作问明之

　　问有金不知总任意分为二而较之则庚多八两湏令辛以金还庚如庚存数三之二庚亦以金还辛如辛存数四之三则其数适均

　　法以庚自存三分今添二分共五　以辛自存四分今添三分共七通为两家适足数之分

　　又以多八两半之四两命为庚所添二分辛所添三分之较【辛失之而减重故与辛同名】

　　解曰合而观之庚以五之二辛以七之三相交易则庚多八两若还其原数庚仍为五分辛仍为七分则适足也

　　辛一分得二十两　七分共一百四十两　五除之得庚之一分二十八两

　　计开

　　其相易【庚二分五十六两辛三分六十两】较之辛多四两即相易几锭之理

　　总论曰此皆两相交易也又与庚甲损一益一者不同凡损一益一者损庚之几分与甲则甲有增数而转以甲之既增者与庚之余数相较也　损庚益甲以相较是明有增损

　　今两相交易则损庚之分与辛亦损辛之分与庚然后以既损且增之庚与亦增之辛相较也

　　两相交易则末尝明有增损但以相易之数不同而增损隠寓于其中　以上四条皆同此论

　　问两数不知总但云取甲之九加乙则乙与甲等若取乙之九加甲则甲倍于乙其原数各若干

　　畣曰甲六十三　乙四十五

　　解曰云取甲之九加乙是损甲之九而益乙以九也取乙之九加甲是损乙之九而益甲以九也与刋误条所举甲乙二仓法不同彼是取甲仓几何以益乙而共得几何不言与甲仓较取乙仓几何以益甲而共得几何亦不言与乙仓较是所益者有増数而所取者

　　无损数如云以此之全数偕彼之几分而共得几何乃和数也今所列者乃较数也益此损彼则相较几何故不同也然又与带分条较数不同彼是取彼几分与此全数较今所列者是取彼几数加此而转与彼之余数较当细辨之

　　又此是以数相增损而得其相较之分

　　前数条则是以分相损增而得其相较之数

　　二者大异不但与带分条别也

　　法以所加之九数命甲乙所相当之数乗之为较数列位

　　甲倍乙是甲二乙一合之则三以乗九得二十七为较甲得此而当倍乙故与乙同名

　　甲乙等是各一也合之则二以乗九得十八为较乙得此而与甲等故与甲同名

　　余乙一为法

　　并四十五为实

　　法一即以四十五命为乙数

　　异加十八得六十三为甲数

　　试更列之

　　同减余甲一为法　异并六十三为实　法一即以六十三为甲原数　异加正二十七共九十乙二除之得四十五为乙原数

　　论曰此难题设问也算法统宗收入均输另有求法算海説详推论借银相当加半倍者不可通用因别立术然复未确不如用方程之为无弊

　　又论曰甲与乙九而相等是甲多于乙者二九也　乙与甲九而甲倍于乙是倍乙多于甲者三九也何也甲得乙九数而后当倍乙则倍乙中各除九数共二九而甲又添九数岂非三九乎

　　问甲乙银不知数但云甲借乙六钱五分则比乙一有半乙借甲六钱五分则乙与甲等各原银若干

　　法以甲一乙一有半并之共二半以乗六钱五分得一两六钱二分半为乙一有半多于甲之较

　　以甲乙相等各一并之共二以乗六钱五分得一两三钱为甲多于乙之较

　　乃列之

　　同减余半乙为法异并二两九钱二分半为实　法除实得五两八钱五分为乙银　异加正一两三钱共七两一钱五分为甲银

　　计开

　　甲原银七两一钱五分

　　乙原银五两八钱五分

　　相差一两三钱　若损甲之六钱五分以加乙则各得六两五钱是相等也

　　若损乙六钱五分余五两二钱　益甲六钱五分得七两八钱是甲之数如乙一有半也

　　若以乙原银加半得八两七钱七分半以与甲原甲原银相较则多一两六钱二分半

　　论曰甲以六钱五分借与乙而相等是甲原多乙两个六钱五分也乙以六钱五分借与甲而甲如乙一有半是一个半乙原多于甲两个半六钱五分也何也甲取乙六钱五分而后能当乙有半则此一个半乙共减去一个半六钱五分甲又加一个六钱五分岂非共差两个半六钱五分乎

　　又论曰此即算海説详所设之问以驳统宗者彼自立术以为当矣不知其宜用方程也

　　试更设问以明之

　　今有二数不知总但云丙与丁二数则相等若丁与丙二数则丙如三丁问原数各若于

　　依前术列位【合丙丁各一共二以乗二得四为丙多于丁之较　合丙一丁三共四以乗二得八为三丁多于一丙之较】

　　同减余丙二为法　异并二十为实　法除实得一十为丙数　同减负四余六为丁数

　　计开

　　丙原数十　原多于丁者四

　　丁原数六　三之则十八多于丙者八

　　若损丙之二以益丁则各得八故相等

　　若损丁之二以益丙则丙得十二丁得四故丙如三丁

　　论曰丙以二与丁而等是丙多于丁者两个二也　丁以二与丙而丙如三丁是三丁之数共多于丙者四个二也何也丙増一个二其三个丁各少一个二共四个二也

　　又论曰因算海説详立术未确故复设此以相攷用方程能合彼问而彼所立术殊不能通之此问

　　问戊己银不知数但戊以五十两与己则己如戊之倍己以五十两与戊如三己

　　依前术列位【并戊二己一共三以乗五十得一百五十为二戊多于一己之较　并戊一己三共四以乗五十得二百为三己多于一戊之较】

　　同减余己五为法　异并五百五十两为实　法除实得一百一十两为己银　异加正一百五十两共二百六十两戊二除之得一百三十两为戊银计开

　　戊原银一百三十两　倍之二百六十两多于己一百五十两

　　己原银一百一十两　三之得三百三十两多于戊二百两

　　此列位之理

　　戊加五十两得一百八十两己损五十两得六十两则戊如三己　己加五十两得一百六十两戊损五十两得八十两则己如戊之倍

　　此则问意

　　问香炉二座不知重有一葢重百两以加甲炉则甲多于乙两倍以加乙炉则乙多于甲一倍其炉各重若干

　　解曰多乙两倍是三倍也甲得葢如三乙也　多甲一倍是两倍也乙得葢如两甲也

　　法以葢重为较而列之　甲得葢如三乙是三乙之重于甲者如葢也故与乙同名　乙得葢如倍甲是两甲之重于乙者如葢也故与甲同名

　　炉同减余乙炉五为法　较异并三百两为实法除实得六十两为乙炉重

　　异加一百两共一百六十两甲二除之得八十两为甲炉重

　　计开

　　甲炉八十两　加葢共一百八十两则如乙炉重者三乙炉六十两　加葢共一百六十两则如甲炉重者倍论曰此与前所设戊己银数以五十两损戊益己而己倍于戊以五十两损己益戊而戊如二己异何也以五十两损彼益此虽亦相差一百两然非真有一百两之益乃因彼之所损而合成其数耳此之加葢则实增一百两矣而于彼又无所损因炉葢乃两家公物非若戊己之银必取诸彼以与此也故其法不同若改问各铸炉而均铸葢则必于鑪重各加半葢乃合原金得数与戊己银同矣

　　问调兵征倭内有南北西三处兵马南兵已知四万其北兵为南兵与西兵二之一西兵为南兵与北兵三之一各若干

　　法以南兵为西北之较而列之

　　西兵得南兵而数倍于北是倍北数而多于西兵者数如南兵也

　　北兵得南兵而数如三西兵是三其西兵而多于北者亦如南兵也

　　余北兵五为法　倂十六万为实　法除实得三万二千为北兵数异加正四万共七万二千西兵三除之得二万四千为西兵数

　　计开

　　南兵四万

　　西兵二万四千　偕南兵则六万四千其二之一则如北兵也北兵三万二千　偕南兵则七万二千其二之一则如西兵也论曰此与香炉借葢为较同　其所用较乃是南兵而非取于西北兵故得之有增而不得无损与借物于彼而转与其所借之余物相较者不同

　　问二人擕银不知数但减乙六两与甲则甲倍于乙减甲三两与乙则相等其原数若干

　　解曰此所损益又是不同之数然其理则一故亦依前术乗其较数而列之【合甲一乙二共三以乗六两得十八两为倍乙多于一甲之较合甲乙各一共二以乗三两得六两为甲多于乙之较】

　　列位

　　同减余乙一为法　异并二十四两为实　法一即以实为乙数　异加六两为甲数

　　计开

　　乙二十四两　倍之得四十八两多于甲一十八两甲三十两　原多于乙六两

　　若损乙六两得十八两加甲六两得三十六两是甲如乙之倍

　　若损甲三两加乙三两各得二十七两则相等

　　问二商各携母银但云取乙十二两与甲则乙有甲六之一取甲十五两与乙则甲有乙十之一

　　依前术列位【并六与一共七以乗十二两得八十四两为六乙多于一甲之较　并十与一共十一以乗十五两得一百六十五两为十甲多于一乙之较】

　　同减余甲五十九为法　异并一千○七十四两为实　法除实得一十八两又五十九之一十二为甲数　异加正八十四两共一百○二两【又五十九之一十二】乙六除之得一十七两【又五十九之二】为乙数

　　计开

　　甲银一十八两【又五十九之一十二】十之则一百八十二两【又五十九之二】多于乙者一百六十五两

　　乙银一十七两【又五十九之二】六之则一百○二两【又五十九之一十二】多于甲者八十四两

　　若损乙一十二两与甲则甲有三十两【又五十九之一十二】乙仅有五两【又五十九之二】而乙于甲为六之一

　　若损甲一十五两与乙则乙有三十二两【又五十九之二】甲仅三两【又五十九之一十二】而甲于乙为十之一【以五十九通二两得一百一十八加子二从之共一百二十是三十两又五十九之一百二十岂非十倍于甲乎】

　　论曰乙得甲六之一是六乙当一甲也然必损乙之十二两与甲而后成此数是于一甲中添十二两而于六乙中各减十二两也一添一减共七个十二两是为八十四两也

　　甲得乙十之一是十甲当一乙也然必损甲之十五两与乙而后成此数是于一乙中添十五两而其十甲中皆各减十五两也一添一减共十一个十五两是为一百六十五两也

　　损乙之十二两与甲而乙为甲六之一若其原数则以六乙当一甲而乙多八十四两矣

　　损甲之十五两与乙而甲为乙十之一若其原数则以十甲当一乙而甲多一百六十五两矣

　　问有两数不知总但损甲六数与己则甲如己四之三而多二数若以己之二十损与甲则己如甲四之三而少五数其原数各几何

　　法以四甲三己共七乗六得四十二又以四甲乗多二数得八而益之共五十为四甲多于三己之数【损甲六益己故较与甲同名其二数甲所多也故以之益数】

　　以四己三甲共七乗二十得一百四十又以四己乗少五数得二十以相减余一百二十为四己多于三甲之较【损己二十益甲故较与己同名其五数巳所少也故以之减较】

　　己同减余七为法　异并六百三十为实　法除实得九十为己原数四因己数同减一百二十余二百四十甲三除之得八十为甲原数

　　计开

　　甲八十

　　己九十

　　以列位之理言之

　　甲四共三百二十　己三共二百七十　是甲多五十甲三共二百四十　己四共三百六十　是己多一百二十

　　以问之意言之

　　甲损六数余七十四　己加六数共九十六　以九十六四分之而取其三得七十二　是为甲如己四之三而多二数

　　己损二十余七十　甲加二十共一百　以一百四分之而取其三得七十五　是为己如甲四之三而少五数

　　论曰以甲当己四之三是四甲当三己也然必以六数减甲增己而成则是四甲中各减六而三己中各增六共四十二也以甲当己四之三而多二数则以四甲当三己而共多八数也　合而观之此四十二者四甲多于三己之数也此八数者亦四甲多于三己之数也故皆与甲同名而列其较为五十也

　　以己当甲四之三是四己可当三甲也然必以二十减己增甲而成则是四己中各减二十而三甲中各增二十共一百四十也　以己当甲四之三而少五数则以四己当三甲而共少二十也　合而观之此一百四十者四己多于三甲之数也与己同名也而其二十者则四己少于三甲之数也与己异名也故以相减而余者列为己同名之较也

　　损甲六数与己而甲如己四之三仍多二数若其原数则以四甲当三己而共多五十矣

　　损己二十与甲而己如甲四之三却少五数若其原数则以四己当三甲而共多一百二十矣

　　问有三数损甲一百益乙则甲如乙六之二若损乙五十益丙则乙如丙十五之九若损丙三十益甲则甲如丙二之一而少五数各若干

　　法以甲六乙二共八以乗一百共八百为六甲当二乙之较【损甲益乙故与甲同名】

　　以乙十五丙九共二十四乗五十得一千二百为十五乙当九丙之较【损乙益丙故与乙同名】

　　以丙一甲二共三乗三十得九十又以甲二乗少五数共十而加之共一百为一丙当二甲之较【损丙益甲故与丙同名其甲所少五数即丙所多也故亦与丙同名】

　　如法逓减余丙五十四为法　异并三万七千八百为实　法除实得七百为丙数　丙数同减一百余六百甲二除之得三百为甲数　六因甲数一千八百同减八百余一千乙二除之得五百为乙数　十五乗乙数得七千五百同减一千二百余六千三百丙九除之仍得七百为丙数【反覆相求列位之理着矣】

　　计开

　　甲三百

　　乙五百

　　丙七百

　　甲损一百余二百乙增一百得六百是甲为乙六之二乙损五十余四百五十丙增五十得七百五十是乙为丙十五之九

　　丙损三十余六百七十其二之一则三百三十五甲增十得三百三十是甲为丙二之一而少五数

　　问二人共数一百原所得之数不均今以甲三之一与乙五之一相易则适均其原所得若干

　　法以三分通甲数损一与乙而存其二分　又以五分通乙数损一与甲而存其四分

　　乃以和数列之

　　乙七为法　余五十为实　法除实得七又七之一为乙之一分　以乙分母五乗之得三十五又七之五【为乙数】以减一百得六十四又七之二为甲数计开

　　甲六十四【又七之二】其三之一为二十一【又七之三】其三之二为四十二【又七之六】

　　乙三十五【又七之五】其五之四为二十八【又七之四】其五之一为七【又七之一】以甲三之一加乙五之四五十也　以乙五之一加甲三之二亦五十也

　　论曰此以分相增损而为和数亦与刋误条甲乙二仓异彼是以其全数偕彼防分此则以所存之余数偕彼几分也既云相易则实有增损非如甲乙仓虚借增率而无损也

　　问二人物数不均若于甲取三之一于乙取四之一以和合而平分之以凑原存数则各五十而适均其原数各若干

　　法以三分通甲数而倍之为六分损其一与乙余五分以四分通乙数而倍之为八分损其一与甲余七分以和数列位

　　解曰以四之一与三之一和合而平分之是各取其数之半也　于三之一取其半是六之一以与乙而甲余其五也于四之一取其半是八之一以与甲而乙余其七也

　　偏乗对减以得法实　法除实得五又十七分之十五为乙八之一　以乙分母八乗之得四十七又十七分之一为乙原数　以两五十共一百减乙原数余五十二又十七分之一十六为甲原数

　　计开

　　甲原数五十二【又十七分之十六】三除之得十七【又十七分之十一】为甲三之一　以三之一转减甲余三十五【又十七分之五】为甲所存三之二

　　乙原数四十七【又十七分之一】四除之得十一【又十七分之十三】为乙四之一以四之一转减乙余三十五【又十七分之五】为乙所存四之三

　　以甲三之一乙四之一和合之共二十九【又十七分之七】半之得十四【又十七分之十二】为和合平分之数以加甲乙存数各得五十

　　论曰甲去三之一乙去四之一所存之数已均矣故以平分之数加之而适均

　　又法

　　以甲分母三通甲为三分以乙分母四通乙为四分又总计各得五十六共一百为和数

　　以甲取三之一余三之二乙取四之一余四之三命为适足【甲取三之一乙取四之一以和合平分而等则其所存者亦等也故命之适足】乃以和较杂列位

　　如法乗甲同减尽　乙异并一十七分为法　正二百无减就为实　法除实得一十一又十七之十三为乙之一分以分母四乗之得四十七又十七分之一为乙原数　以乙原数减共数一百余五十二又十七分之十六

　　按此所得与前无异而较捷故并存之

　　问甲乙丙三人共博甲赢乙金二之一乙赢丙金三之一丙又赢甲金四之一事毕各剰金七百其原携金若干

　　法以各分母通其原数又各减其赢去之一而列之【以七百为和数】

　　和数列位

　　如法减并　丙七分为法　二千一百为实　法除实得三百为丙之一分　以丙分母三乗之得九百为丙原金　以丙之一分减乙剰七百余四百为乙所余二之一　二因之得八百为乙原金　以乙二之一减甲剰金七百余三百为甲自剰四之三　三除之得一百为甲三之一　四乗之得四百为甲原金