《历算全书》·4
假如有银四万八千两六十四人分之该若干
答曰各七百五十两
假如有银二百七十二两○二分四厘九毫毎钱一千银九钱○五厘问钱若干 答曰三十万零五百八十文定法实【此先有定则九钱○五厘故以为法】
【此法有○位例也亦是得数有○之例
初商三以乗法九得二七法次位空无乘挨作○○以存其位
再乗法末位五得一五各如式书之以对减原实二七二○余
○○○五 实空位无可商次商从实五字起商作五以乘法
九得四五法次位空亦作○存位 乗法末位五得二五如式
书之以对减实五二四九余○七二四】
【初商三乗九得二十七是言十之数宜对实首位二字书得数三次商五乗九得四十五亦是言十之数宜对余实首位五字书得数五如此审定而书则乘出减实之数与实相对了了分明便知不误然初商次商不相接续所差二位是得数有二空位也补作○○于初商次商之间以存得数之空位如是则次商之事毕 末商八以乗法九得七二法次位无乘亦作○存之法末位乗得四○以对减余七二四恰尽】定位【此因所问是毎千之价故千即单数也从法上一位横对定为千文之位上为万又上十万定所得为三十万○○五百八十文】
若以数三十万○○五百八十文为法除原实二百七十二两○二分四厘九毫亦复得九钱○五厘为毎千之价如后图
审法实【此问钱价是以钱分银故以总钱为法总银为实】
列位之理【所欲知者毎千之价故以千为
单以万为十以十万当百与原银对列
其书商数如式不错则得数之空位自明定位亦自无
舛説见前此两条互相还原 若以
乗法还原并用乘法第三条】
命分法
凡除法至单而止故曰实如法而一所谓一者即单一数也其有除至单数而仍有不尽之余实或法之数本大于实皆不能成一整数则以法命之其法有二其一除之至尽如计轻重者不满一两则除之为若干钱若干分及厘毫丝忽前条法大实小及得数单下仍有数位者是也【若授时厯万分为度百秒为分及钱钞论贯贯之下有百冇十有零文尤为易见】其一以法数为分母不尽之数为分子命为几分之几【如以三除五内除三数满法成一整数余实二不能成整则以此二数各剖为三分共成六分而以三除之各得二分是为三分之二也】假如十九人分银二百五十四两问各若干
答曰各十三两零十九分之七
【以十九人为法除二百五十四两各得一十三两不尽七两以法命
之 其法以法十九命为分母不尽七数为分子命为十九分两之
七 解曰一整两各剖为十九分则不尽之七两共剖为一百三十
三分以十九人分之各得七分并整数分数为毎人分得一十三两
零十九分两之七】
【若用乘法还原法以十九人乗得数十三两得共二百四十七两加
八不尽七两共二百五十四两合原实】
【若用除法还原 法置原实内减不尽之数七两余二百四十七两为实毎人十三两为法法除实得十九人】
论曰古人只用命分后世乃有除之至尽之法然终不能尽【如以十九人除七两各得三钱六分八厘四毫二丝一忽终余一忽】故不如命分之简妙【如钱粮尾数一忽之下仍冇微纎等七位不等徒滋繁文无禆实用然亦终不能尽若命分之法只一语喝尽更无渗漏然后知古法为无】
省除法【旧名定身除亦名减法凡法首位是一数者用之】
假如漕粮正耗共五百○四石每正米一石除耗四斗问正米若干
答曰三百六十石
【先以原数五定正数为三书直线左以应减耗数四乗所定正三得
耗一十二并正三共得四二以减原数五○余○八次以余数八定
正数为六书正数三之下以减耗四乗六得二十四并正六共得八
四减余数恰尽合得数减数并之即还原数或用
加四亦同】
定位【凡省除皆以原数定位】
省除又法【古谓之求一除法】
凡定身除惟法首是一数者可用今以倍半之法求之则法首皆变为一数
其法遇法首位是二是三法实皆折半遇四则折半两次遇五六七八九法实皆加倍【如此则法首位皆成一数】假如前条六十四人分银四万八千两用除法各得七百五十两今以法实各折半两次用定身除所得亦同
【先以法六十四折半作三十二又折半一十六为法实四万八千折
半作二万四千又折半一万二千为实用定身除法先以实首两位
一二定七为得数法去首位一不用只用六以乘得数七得四十二
书左并得数七共一一二以减原实一二余○○八次以余实八定
五为得数亦以法六乗得三○挨书于左以减余实八恰尽】
定位【得数七对原实千因法是有十之数退一等作七百定所得为七百五十石 假如十人七千即毎人七百故法有十者退一位也凖此推之法有百退二位有千退三位万以上仿此论之凡省除依原实定位当知此诀】
并除法【旧名异除同除】
凡有当除数次者则以法相乗为法作一次除之亦简法也【如以四除之又以五除之又以七除之则以四乘五得二十又以七乘得一百四十共为法以除之是并数次除为一次除也】
假如经商获利二千两原本三千二百两已经四年问毎年毎两之息
答曰毎两息一钱五分六厘二毫半
法曰先以四年乗原本【三千
二百】得【一万二千八百】为总法【本法宜以
二千二百除二千得毎两之息再以四年除之得毎
年毎两之息今并两次除为一次除足简法也】
截除法【与并除相反所以便初学】
凡除有法数位繁者或可以截为两次除以从简易假如五十六人分银【一千五百一十二两】各若干
答曰各二十七两
【此因法五十六是七八相乘之数故先以八除得一百八十九两仍用为实再以七除之得二十七两合问】
【或先用七除得数二百一十六两复以八除之亦得二十七两为毎人数】
【右省除式也只作一直线书原实于右纪得数于左而以九九数呼而减之不必另书减数凡法只一位者用此为便】
假如铜一百二十八斤价二十两问毎斤若干
答曰毎斤一钱五分六厘二毫半【原法三位今用截除三次俱一位为法可用省除】
假如银一千○八十两置田二百一十六亩问田价每亩若干
答曰五两 【原法三位今用六除三次亦同】
约分法
凡命分有可约者以法约之古法曰可半者半之不可半者以少减多更相减损求其有等以等约之【以等数除母子数则皆除尽西人谓之纽数】
假如八十一人分银二十七两问各数 答曰各得三分两之一
法曰【以八十一除二十七不能各得一两依命分法八十一为分母二十七为分子命为八十一分两之二十七又以法约之为三之一】解曰【八十一是三个二十七若剖毎两为八十一分即各得其二十七分是三之一也】
分母八一 【约分法曰置分母八十一用递减法以分子二十七减之余五十四复以二十七减】分子二七 【之仍余二十七如是则两数齐同是有等也即用此等数二十七为法转除分母八】减余五四 【十一得三除分子得一如此则不用细分但以毎两均剖为三而各得其一分即三又减分子】二七 【人共一两也若分子是五十四则用转减法以子五四】仍余二七 【转减母八一余廿七又以母余二十七转减子五四亦余卄七是相等也就以此等数卄七为法除母八一得三除子五四得二是为约得三之二】
假如米八十五石分结一百○二人问各若干
答曰各得六分石之五
法曰【人多米少不能各一石依命分法以一○二为分母八五为分子命为一百○二之八十五以法约之为六分之五】【约分法曰置分母一百○二以分子八十五减之得余十七用转减法以余十七减分子八十五余六十八又递减之余五十一又减之余三十四又减之余亦十七是相等也就此等数十七为法转除母数一百○二得六除子数八十五得五约为六分之五解曰一百○二是六个十七八十五是五个十七故曰六之五即六人共米五石也若以米毎石均分六分八十五石共得五百一十分为实以一百○二人为法除之得五是毎 所得为一石米中六分之五也】
厯算全书巻三十五
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书
歴算全书卷三十六
宣城梅文鼎撰
笔算卷三
异乘同除法
以先有之数知今有之数两两相得是生比例莫善于异乘同除乃古九章之枢要也先有者二今有者一是已知者三而未知者一用三求一故西法谓之三率今先明同异名之説以着古法次详三率之用以显通理
异者何也言异名也同者何也言同名也假如以粟易布则粟与粟为同名布与粟为异名也
何以为异乗同除也主乎今有之物以为言也假如先有粟若干易布若干今复有粟若干将以易布则当以先所易之数例之是先易之布与今有之粟异名也则用以乗是谓异乗若先有之粟与今有之粟同名也则用以除是谓同除皆用以乘除今粟故曰主乎今有以为言也【置今有粟以异名之布乘之为实再以同名之粟为法除之是皆以今粟为主而以先有之二件乘除之也】
问何以不先除后乗曰以原总物除原物总价则得每物之价以乗今有总物亦可得今有之总价然除有不尽则不可以乗故变为先乗后除其理一也
假如原有豆一百○八石价银三十六两今有豆一百三十五石问价若干
答曰四十五两
法曰置今豆一百三十五石以原豆价三十六两乗之得四千八百六十两为实以原豆一百○八石为法除之得四十五两为今豆应有之价【见以物求价也若还原则以价求物】
假如原有银四十五两买豆一百三十五石今有银三十六两问豆若干
答曰一百○八石
法以豆一百三十五石乘价三十六两得四千八百六十石为实以价四十五两为法除之得一百○八石合问西人三率法
其法以先有之二件为一率二率今有之二件为三率四率则前两率之比例与后两率之比例等故其数可以互求
【今冇之二率先只有其一合前有之二率共为三率以求之而得今有之余一率是以三求一故曰三率法实四率也】
假如一率是三二率是四三率是九则四率必为十二何也三与四之比例若九与十二也故以四【二率】九【三率】相乘【卅六】为实以三【一率】为法除之必得十二【四率】
若互用之以四率为一率则十二与九之比例若四与三故曰可以互求【此即还原之理】
【解曰以三比四以九比十二并三分加一之比例以十二比九以四比三并四分减一之比例凡言比例等者皆如是
此以上图之四率为
一率也故其序皆倒
而所得四率即上图
之一】
又更而互之
凡二三相乘与一四相乘等积此立法之根观右图可明【四九相乘三十六而十二与三相乘亦三十六故以三除三十六得十二以十二除三十六亦复得三此前两图互求之理若更一四为二三其实同为三十六故以四除之得九以九除之亦复得四此后两图互求之理】
又错综之
此又以前图之二与三更之则前两率之第二变为后两率之第一而其比例亦等【凡一率二率为前两率乃先有之二件也三率四率为后两率乃今有之两件也今以二率三率相易则是先有之次率变为今有之首率也然以比例言之在前图为三与四若九与十二者在此图则三与九亦若四与十二也】
若以一率除二率得数以乗三率亦得四率【如以一率三除二率九得三以乘三率四亦必得四率十二以一率四除二率十二得三以乗三率三亦得四率九但先除后乗多有不尽之分故异乗同除为算家大法乃中西两术所同也】
试仍以古图明之
原有小麦十二石 换食盐九石 【俱四分之三比例若以上□左】今有小麦 四石 换食盐三石 【右更置即成三率之前四图】
更之【以纵为横】
原有粱米 三石 换棉布九疋 【俱三倍之比例若以上下左右】今有粱米 四石 换棉布【十二】疋 【更置即成三率之错综四图】辨法实
凡三率之用皆以二率乘三率为实首率为法除之以得所求为四率
然何以定其孰为一率孰为二率三率也曰此则古人同异名之法不可易也诀曰凡今有之已知者常定为三率【其未知者待算而知则常为四率】视先有之物与三率之今有同名者定为首率其与今有异名必为二率矣
又诀曰凡三率之法以三件求一件其所求之一件未知而三件则巳知也此已知之三件中必有两件同名【如价与价物与物之类】就以此同名之两件审其孰为先有定为首率【其今有者则为三率而其余异名之一件亦必先有也恒为二率】
假如有句股形田长一百三十五步阔四十五步今截相似形长一百○八步问阔若干
答曰截阔三十六步
定法实诀
以今截长一百○八步定为三率长与长同名以原长一百三十五步定为首率濶与长异名以原濶四十五步定为二率
又诀【此巳知之三件是原长原阔截长内长与长同名以原长是先有之数定为首率截长是今有之数为三率原濶与长异名为次率】
按原长与原濶即大句大股截长截濶即小句小股也四者皆可以递互相求三率中更互错综之理尤为易见
以比例言之大股与大句若小股与小句也更之则小股与小句亦若大股与大句也此为以股求句反之而以句求股则大句与大股亦若小句与小股也又更之则小句与小股亦若大句与大股也
又错综之则大股与小股若大句与小句也而大句与小句亦必若大股与小股矣又小句与大句若小股与大股也而小股与大股亦必若小句与大句矣是为三率之八变
异乘同除定位法
三率定位与乗法除法无异【乗法以实单位为根定所对得数为法尾数除法以法首上一位作识定所对得数为所求单数并详前巻】但所用之实以二率三率相乗而得握算者或疑其数之骤陞而不能守其定法则定位必讹而其理益晦矣故复论之【诸家算术往往有定位不确者皆由见乘后数多未免惊怖而輙为酌改故也】
假如六个时辰马行二百一十里今行五个时辰当有若干里
答曰一百七十五里
论曰试以六时除马行【二百一十里】得每时行【三十五里】以乘【五】时亦得【一百七十五里】原无可疑今先乗后除故以【一千○五十里】为实骤观之似乎太多究竟除后得其本数而已
假如银【三十二两】换钱【三万六千文】今有银【二十八两】问钱若干答曰三万一千五百文
若以【三十二两】除【三万六千】得毎两钱【一千一百二十五文】以乗【二十八两】亦得三万一千五百文【知得数之同则知一百万零八千之非误】
异乗同除约分法
三率内有两率相凖可用约分者即改用所约之数易繁为简如法乘除所得无误而用加防矣【两率者其一首率其一次率或三率也凡以法约之必两率相准次率三率祗用其一皆取其与首率相凖也 或两率并为偶数则俱折半或两率并可均剖为四则折半两次或两率并可均分为三则各取三之一或两数互减而得等数则以等数约之并如约分法】
【论其比例 半之则 以三约之 以九约之 再约之为十八比 九与八 则六与十 则二与十 则为一十六若九 之比例 六之比例 六之比例 与八若十九与八 亦若九 若三十三 若十一与 十一与十八也 十九与 与八十八 八十八 八十八八十八】
假如赁房九个月银七十八两问住二年该若干答曰二百零八两【法以二年成二十四个月依式列之】
四 二百零八【八乗廿六即得此数】假如八色金六十两换银二百八十八两今有九色金五十两该若干
答曰二百七十两【此以金折成足色六十两作四十八两五十两作四十五两算之】
四 二百七十【十八乘十五得此数右皆约得一数为首率故不须除但以二率乗三率即得所求为四率】
重测法【三率有叠用两次者谓之重测即两个异乘同除】
假如有夏布四十五丈欲换棉布但云毎夏布三丈价二钱棉布七丈价七钱五分问换棉布若干 答曰二十八丈一 夏布 三丈 先用为法
四 价 三两 法除实得此数
重列
一 价【七钱五分】 又用为法
四 棉布 【二十八丈】 法除实得此数
此因两布各有其价故先用法求得第四率以夏布变为银就以此定为重列之第三率【即今价也】而以棉布价【七钱五分】为首率【以与今价同名也】棉布【七丈】为次率【以与今价异名也】如法乘除得所换棉布为四率
并乗除法
以两次乘除并而为一是合两三率为一三率也即古法之同乘同除【古以并乘为异乗同乗以并除为异除同除今乘除俱用并法故谓之同乘同除也】假如今有芝麻五十四石欲换黄米但云芝麻三石换緑豆五石换黄米三石问该换黄米若干
答曰六十七石五斗
本法 重列
一 麻 三石 豆 四石
二 豆 五石 米 三石
三 今麻 【五十四石】 今豆九十石【此重列之第三即先得之第四乃本法也】四该豆 【九十石】 米【六十七石五斗】
简法【即并法】
【今以两首率相乘为首率
亦以两次率相乘为次率
以两九十石对去不用故三率
省乗是为并法实简法也】
论曰本用两次乘除今以豆【四石】乘麻【三石】得【十二石】以除是并两次除为一次除也以米【三石】乘豆【五石】得【十五石】以乗是并两次乘为一次乗也依法求之即得所换米【六十七石五斗】与两次求者数同【又因一率二率可用约分约之为四与五而法益简】
然则第三率何以独异【第三率径用今麻不以豆九十石乗之是与并两首率为首率并两次率为次率者逈别】曰重列之第三即先得之第四故可以对去不用不惟不用亦可不求【重列之第三率既无乗并之用则原列之第四率不必更求其数】而乗除之用已偹【今麻原系第三率今仍用为第三是三率之用本无所缺】即所求之得数已清矣【若第三率用豆九十石乗过之则所得第四率亦必为豆九十石乘过之米得数后必以九十石除之始能清出米数反多曲折今对去豆九十石不用则所得四率即米数直截了当】故为简法
又式
假如有战兵七百名毎年额饷一万二千六百两内有新着伍兵三百名已经应役七个月问该饷银若干答曰三千一百五十两
依重测并乘除法当以【十二月】乘【七百名】得【八四○○】为法以【七个月】乗【一万二千六百】得【八八二○○】又以【三百名】乘之得【二六四六○○○○】为实法除实得三千一百五十两为兵三百名七个月之饷今用约分以【七百】与【三百】约为七与三【皆百约之】则首率次率各有【七】对去不用可省并乘
重列之时径以【十二】为首率饷银【一二六○○】为次率【三】为三率依法乘除而得四率 又以首率【十二】三率【三】约为四与一则径以饷【一二六○○】为实以四为法除之得【三千一百五十】合问变测法【古谓之同乗异除在三率谓之变测即几何原本之互视法也】
凡异乘同除皆以先有之一率为法【即首率】以先有之又一率乘今有之一率为实【即二率三率相乗】
若同乘异除则反以今有之一率为法【同文算指列于第三今依法实之序定为首率】以先有之两率自相乘为实【同文算指列于第一第二今定为第二第三】虽亦以法除实得今所求之又一率【即四率】与诸三率同而法实相反故曰变测
假如用秤称物物重秤不能称外加一锤称得【八十四斤】本锤【一斤五两】加锤【一斤三两】问其物实重若干
答曰一百六十斤
一 锤重二十一两 为法
四 实重一百六十斤 法除实得数
法以锤【一斤五两作二十一两】加锤【一斤三两作十九两】共重【四十两】为先有之一率称重【八十四斤】为先有之又一率相乘【三三六○】为实以本锤重【二十一两】为今有之一率为法法除实得实重【一百六十斤】为所求今有之又一率合问
假如秤失去锤有所称物【重一百六十斤】今以他物代锤【重四十两】称得重【八十四斤】问锤重若干 答曰一斤五两
一 物重一百六十斤
二 称得重八十四斤
三 【他物代锤】重四十两
四 锤重二十一两
假如布幔一具用布十六丈五尺布濶二尺今有布濶一尺五寸如式作幔该用若干
答曰二十二丈
一 今濶一尺五寸
二 原濶二尺
三 原长十六丈五尺
四 今长二十二丈
假如储粟方窖长【一丈二尺】濶【九尺】深【一丈】今欲别穿一窖藏粟与之等长亦【一丈二尺】但深加【二尺五寸】该濶若干
答曰濶七尺二寸
一 今深十二尺五寸
二 原深十尺
三 原濶九尺
四 今濶七尺二寸
【此原长不动而加深减濶也 今深今濶相乘得九十尺与原深乘原濶等以乘长一十二尺得一千零八十尺亦等则其藏粟等】
又问若依原窖之濶【九尺】但加长【三尺】该深若干
答曰深八尺
一 今长十五尺
二 原长十二尺
三 原深十尺
四 今深八尺
【此原濶不动而加长减深也今长乘今深得一百二十尺与原长乘原深等以乘濶九尺并得一千零八十尺】
假如有方仓高【一丈八尺】濶【二丈】深【二丈一尺】今更造一仓亦深【二丈一尺】但高减三尺问阔若干
答曰濶加四尺【共濶二十四尺所储米石即同原仓之容】
一 今高十五尺
二 原高十八尺
三 原濶二十尺
四 今濶二十四尺
【此原深不动而减高増濶也当与右二条叅防仓之高即窖之深仓之深即窖之长】
【今高乘今濶得三百六十尺与原高乗原濶等再以深二丈一尺乘之得七千五百六十尺与原仓之容积等】
假如原借八五色银四十八两今还九六色银问该若干答曰四十二两五钱
一 今银色九六 为法
四 今还四十二两【五钱】法除实得数
【解曰原银八五色是毎两实折八钱五分故以乘原银得四十两零八钱乃折实纹银之数也还银九六色是毎九钱六分成一两故以除折实纹银得四十二两五钱为应还之数凡零乘数反损零除数反增详别巻】
假如有田一区用三十二人耕治五日而毕今用四十人问该几日 答曰四日
一 今用四十人
二 原用三十二人
三 原耕五日
四 今耕四日
假如决水修池水窦濶三尺十二日涸出今开濶八尺问水涸几日
答曰四日有半
一 今濶八尺
二 原濶三尺
三 原十二日
四 今四日半
假如额兵五千六百设有一年之饷今祗留兵三千三百六十名问其饷可支几时
答曰一年零八个月
一 今兵三千三百六十
二 原兵五千六百
三 原设饷十二个月
四 今可支二十个月
歴算全书巻三十六
钦定四库全书
厯算全书巻三十七
宣城梅文鼎撰
笔算巻四
通分法【并减乘除并有子母通分之用故别自为巻其畸零以十百千万为等者不用此法】
凡整数下有零分而不以十分成整当用通分其法以一整数剖为若干分是为母数其所零分在母数中得几分之几是为子数
通分子母列位法
通分列位其法有三曰化整为零曰以整零曰收零为整
假如有物一斤四两则以一斤通为十六两加入所四两共二十两而列之
二○【斤以十六两为母其所四两是子今化斤为两则可乘除谓之以母从子也】
若欲通为铢则以毎两二十四铢为母通二十两为四百八十铢
四八○【此以斤通为两两又通为铢是两次用通分也】
若畸零累析有用通分三次四次以上者准此论之如皇极经世一元有十二防一防有三十运两次通之则一元有三百六十运 一运有十二世一世有三十年两次通之则一运有三百六十年
若以元通为年则用四次【元通为防防又通为运运又通为世世又通为年是四次用通分也】通得十二万九千六百为一元年数
假如古歴十九年七闰谓之一章其月谓之章月二三五【此以毎年十二月通十九得二百二十八月加入闰七月共得二百三十五月为一章之月】右化整为零 古通分法曰通以分母纳以分子盖言以分母通其整数而以所零分加入也然亦有不纳子而但通其整之时既以分母通之则整数不用全化为分故西学谓之化法
别有变零为整之法与此化整为零之法似同而实不同所以为零乘之用盖化整则全化为零而不用整变零则全变为整而不用零其数则同【谓自一至九之数】
其等则异【谓如零陞为单单陞为十之类】详见零除条
凡通分化整为零以便乘除不必更书其母若列位本法以整零当以母数子数并而书之曰几分之几【若分下有小分则曰几分之几又几分分之几】
假如有整数二十五有零分为整数十二分之七又仍零秒为分数三十分之十四
【此如歴法一周十二宫一宫三十度今得星行二十五周又七宫十四度也】
假如有整数十六又零数为整数七分之五
【此以一整数剖为七分而所零分适得其五也七为分母五为分子】
假如有零数为整数三十分之十四又有小分为分数六之五
【此原无整数但有分又有小分其分以三十为母十四为子是一整数剖为三十而得其
十四也小分以六为母五为子是一大分又剖为六而得其五也小分母古谓之秒母】
右以整零
凡母数必大于子数其常也乗除之后有子数反多者法当以母数收之为整而其零
假如有零分十六其分母九【此以子数反大当以母数收为整】
【九之十六】 收得一【九之 十六分内除九分收为整余七七 分是为整一又九分之七也】
假如方田之法以方五尺为步其积二十五尺今有积七十尺
【步法二十五尺而积有七十尺子数反多法当收整】
【七十尺内除五十尺收为二步剩二十尺不能成步是为整二步又二十五分步之二十】
假如古厯法以十九年为一章四章为一蔀今距元中积一百年问在第几蔀第几章
畣曰第二蔀第二章之第六年
【法先以章法十九收九十五年成五章剰五年 次以蔀法四收四章成一蔀剩一章
通列之成一蔀一章零五年是为已过之数今正在交第二蔀第二章之第六年也】
右收零为整【凡欲乗除必化整为零既乘除矣仍必收零为整此二者相须为用也】此外仍有除零附整之法其法以分母为法分子为实实如法而一得零数为整数十分之几或百分千分万分之几所谓退除为分秒也见除法命分
通分并子法
通分并子其类有三曰母同者曰母不同者曰大分又小分者而所以并之之法有七曰径并法曰变分母法曰互乗法曰连乘法曰维乘法曰截并法曰通母纳子法
径并法
凡分母数同者径并其子并满母数收为整【数在三宗以上而母同者皆可径并其子或大分之下有小分而分母同者并用此法】
假如有丝五分斤之四又五分斤之三并之若干畣曰整一斤【又五分斤之二】
【此因两母同为五故径并其子子数七母数五是子满母数而且
有余也当以母数收之得整一零五之二】
以上分母同者径并其子为通分并法之一类
变分母法
凡分母不同而有比例可求者变而同之可省互乘假如有数【六之三】又加【四之一】共若干
畣曰共四之三
【法以六之三母子各损三之一变为四之二则两母同为四而其子可并矣
所以然者四与六是倍半比例故去三分之一即相同也】
假如有金【八分两之五】又【四分两之三】并之若干
答曰一两又八分两之三
【八与四为折半比例然不以八折半者其子奇数不可半也故以四之三
加倍即母数齐同可相并矣】
互乘法
凡分母不同而无比例可求者先互乘以同其母再以母互乘其子而并之【数在三宗以上而母不同者皆可用此法】
假如有物【四分石之三】又【七分石之四】共若干 答曰整一石又【卄八分石之九
先以右母四互乘左母七得卄八又互乘子四得十六变七之四为
卄八之十六 次以左母七互乘右母四及子三变四之二为卄八
之卄一 两母既同遂并其子为二十八之三十七
以满共母二十八収为整一仍余九】
凡三母内有两母相乘与余一母同者只用一互乘即可相并假如有甲乙丙丁四数乙得甲【七之六】丙得甲【五之四】丁得甲【卅五之二十三】若合乙丙丁三数得甲数若干 答曰得甲数二【又三十五之十一
法以乙丙两母相乘三十五与丁母同数即用乙母七互乘丙五之
四得三十五之卄八丙母五互乘乙七之六得三十五之三十以并
丁三十五之二十三共得卅五之八十一以满母卅五成整数合问
归整】得甲数二【又卅五之十一】
连乘法
凡数三宗以上者用母连乘为共母又以各母除之得数以乘其子为子而并之并满共母收为整
假如有数六【之四】又加三【之一】又加五【之四】并之若干
答曰整一【又九十之 法以六乘三得一十八又以五七十二 乘之得九十为连乘之共母
即六除共母得数以乘之四之数
即三乘共母得数以乘之一之数
即五除共母得数以乘之四之数】
归整得一又【九十之七十二】
觧曰【此即互乘也试以五互乘六之四得三十之二十 又以三互乗之即成九十之六十 以六互乗三之一得十八之六又以五互乘之即成九十之三十 以六互乗五之四得三十之二十四又以三互乗之即成九十之七十二】维乘法【此古维乘法也与母除共母以乘子之法所得同】
假如钱粮一次完过【九分之一】又完【四分之一】又完【六分之一】又完【六分之一】又完【七分之一】问共完若干 答曰五百○四之四百零一【约为十分之八稍弱】法【以八乘六得四十八再以七乘之得三百卅六又以九乘之得三千○卄四又以四乘之即得一万二千○九十六】
约为五百○四之四百○一【卄四约之】
解曰【此即连乘法也但因分子皆为之一故即以母除共母之数为子相并而省一乗】
试用维乘所得亦同
截并法
凡数件中有分母同者先取出并之然后与各件并列则五件可作四件用【六件以上仿论】而共母亦简
如前图有八之一四之一为加倍比例可先取并之【用变分母法】
乃重列之【原数五宗今作四宗入余并同前】
【解曰共母原系一万二千
○九十六今只三千○二
十四简四之三故所得之
子皆于前式为四之一】
凡宗数繁多而分母又各不同者可分作几次并之假如有物四宗甲数【五分斤之三】乙数【六分斤之一】丙数【三分斤之二】丁数【七分斤之四】并之若干
答曰整二斤又六百三十分斤之三
如上图依法互乘以四宗并作两宗乃重列之
以上分母不同者为通分并子之又一类
大分小分并法
凡大分之下有小分而母相同者如法并之自小分起满小分之母进为大分满大分之母进为整
若大分之母同而小分母不同者用互乘法使其同【余如上法】若大分母不同者即通大分为小分再用互乘以同之假如西厯以一日分二十四小时一时又析为六十分今得中防二十九日十七时三十六分实防该加七时四十分依法并之得三十日零一时一十六分
原二九 【卄四之 六十之 时为大分大分之母二十四一七 三六 时下为小分
