《历算全书》·1

钦定四库全书　　　　　子部六

　　厯算全书　　　　　　　天文算法类一【推歩之属】提要

　　【臣】等谨厯算全书六十巻

　　国朝梅文鼎撰文鼎字定九宣城人笃志嗜古尤精厯算之学康熙四十一年大学士李光地尝以其厯学疑问进呈防

　　圣祖仁皇帝南廵于徳州

　　召见

　　御书积学参微四字赐之以年老遣归嗣

　　诏修乐律厯算书下江南总督征其孙防成入侍直

　　律吕正义书成复驿致

　　命校勘后年九十余终于家

　　特命织造曹頫爲经纪其防至今传为稽古之至荣所着厯算诸书李光地尝刻其七种余多晚年纂述或已订成帙或畧具草稿魏荔彤求得其本以属无锡杨作枚校正作枚遂附以已説并为补所未备而刋行之凡二十九种名之曰厯算全书然序次错杂未得要领谨重加编次以立厯者居前而以言算者列于后首曰厯学疑问论厯学古今疏宻及中西二法与囘囘厯之异同即尝防

　　圣祖仁皇帝亲加定者谨以冠之简编次曰厯学疑问补亦杂论厯法纲领次曰厯学答问乃与一时公卿大夫以厯法往来问答之辞次曰弧三角举要乃用浑象表弧三角之形式次曰环中黍尺乃弧三角以角代算之法次曰岁周地度合考乃考髙卑嵗实及西国年月地度弧角里差次曰平立定三差説推七政赢缩之故次曰冬至考用统天大明授时三法考春秋以来冬至次曰诸方日乃以北极髙二十度至四十二度各地日按时节为立成表次曰五星纪要总论五星行度次曰火星本法専论火星迟疾次曰七政细草载推步日月五星法及恒星交宫过度之术次曰揆日星纪要列直江南河南陜西四省表景并三垣列宿经纬定为立成表次曰二铭补注解仰仪铭简仪铭次曰厯学骈枝乃所注大统厯法次曰交防管见乃以交食方位向称南北东西者改为上下左右次曰交食防求乃推算法数次曰古算衍畧次曰筹算次曰茟算次曰度算释例俱为歩算之根源次曰方程论次曰勾股阐微次曰三角法举要次曰觧割圜之根次曰方圆幕积次曰防何补编次曰少广拾遗次曰堑堵测量皆以推阐算法或衍九章之未备或着今法之形或论中西形体之变化或释弧矢勾股八线之比例盖厯算之术至是而大备矣我

　　国家修明律数探赜索隠集千古之大成文鼎以草野书生乃能覃思切究洞悉源流其所论著皆足以通中西之防而折今古之中自郭守敬以来罕见其比其受

　　圣天子特逹之知固非偶然矣乾隆四十六年十月

　　恭校上

　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅

　　总　校　官　【臣】　陆　费　墀

　　壬午十月扈

　　驾南巡驻

　　跸徳州有

　　防取所刻书集回奏匆遽未曽携带且多系经书制举

　　时文应塾校之需不足尘

　　览有宣城处士梅文鼎厯学疑问三巻【臣】所订刻谨呈

　　求

　　圣诲奉

　　防朕留心厯算多年此事朕能决其是非将书留览再

　　发二日后承

　　召面见

　　上云昨所呈书甚细心且议论亦公平此人用力深矣

　　朕带回宫中仔细看阅【臣】因求

　　皇上亲加御笔批駮改定庶草野之士有所取裁【臣】亦

　　得以预闻一二不胜幸甚

　　上肯之越明年春

　　驾复南巡遂于

　　行在发回原书

　　面谕朕已细细看过中间圏涂抹及签贴批语皆上手笔也臣复请此书疵缪所在

　　上云无疵缪但算法未备盖梅书原未完成

　　圣谕遂及之窃惟自古怀抱道业之士承诏有所述作者无论已若乃私家蔵录率多尘埋瓿覆至厯象天官之奥尤世儒所谓专门絶学者盖自好事耽奇之徒往往不能竟篇而罢曷能上烦

　　乙夜之观句谭字议相酬酢如师弟子梅子之遇可谓

　　千载一时方今

　　宸翰流行天下独未有裁自

　　圣手之书蓄于人间者岂特若洛下之是非坚定而子云遗编所谓遭遇时君度越诸子者亦无待乎桓谭之屡叹矣既以书归之梅子而为叙其时月因起俾梅宝奉焉甲申五月壬戌【臣】李光地恭记

　　序

　　厯学疑问梅子定九之所着也先生于是学覃思博考四十年余凡所撰述满家自专门者不能殚览也余谓先生宜撮其指要束文伸义章缝之士得措心焉夫列代史志掀及律厯则几而不视况一家之书哉先生肯余言以受馆之暇为之论百十篇而托之疑者或曰子之强梅子以成书也于学者信乎当务欤曰畴人星官之所专司不急可也夫梅子之作辨于理也理可不知乎乾坤父母也继志述事者不离乎动静居息色笑之间故书始厯象诗咏时物礼分方设官春秋以时纪事易观于隂阳而立卦合乎嵗闰以生蓍其所谓秩叙命讨好恶美刺治教兵刑朝防搂伐建侯迁国之大涉川畜牝之细根而本之则始于太乙而殽于隂阳日星以为纪月以为量四时以为柄鬼神以为徒故曰思知人不可以不知天仰则观于天文穷理之事也此则儒者所宜尽心也圣之多才艺而精创作必称周公自大司徒土圭之法周髀盖天之制后世少有知者汉唐而下最著者数家率推一时一处以为定论其有四出测逾数千里则已度越古今而未能包八极以立説海外之士乘之真谓吾书之所未有微言既逺冺冺棼棼可胜诘哉梅子闵焉稽近不遗矣而源之务索其言之成则援

　　熙朝之厯以合于轩姬虞夏洙泗闽洛冺然也此固我皇上膺厯在躬妙极道数故草野之下亦笃生异士见知而与闻之而梅子用心之勤不惮探赜表微以归于至当一书之中述圣尊王兼而有焉昔刘歆三统文具汉志子云太平子以为汉家得嵗二百年之书也彼刘扬乌知天皆据洛下一家法而傅防以经义云尔今先生之论罗罔千载明

　　皇厯之得天即象见理综数归道异日兰台编次必有取焉七政三统殆不足儗而书体简实平易不为枝离佶屈吾知其説亦大行于经生家非如太之覆醤瓿者

　　而终不显矣先生之归也谓余叙之余不足以知厯姑叙其大意以质知先生者先生续且为之图表数术以继斯巻余犹得竟学而观厥成焉淸溪李光地书

　　钦定四库全书

　　厯算全书巻一

　　宣城梅文鼎撰

　　厯学疑问一

　　论厯学古疏今密

　　问三代典制厄于秦火故儒者之论谓古厯宜有一定不变之法而不可复考后之人因屡变其法以求之葢至于今日之宻合而庶几克复古圣人之旧非古疏而今密也曰圣人言治厯明时盖取于革故治厯者当顺天以求合不当为合以验天若预为一定之法而不随时修改以求无弊是为合以验天矣又何以取于革乎且吾尝徴之天道矣日有朝有禺有中有昃有夜有晨此厯一日而可知者也月有朔有生明有有望有生魄有下有晦此厯一月而可知者也时有春夏秋冬昼夜有永短中星有推移此歴一嵗而可知者也乃若荧惑之周天则厯二年嵗星则十二年土星则二十九年【皆约整数】夫至于十二年二十九年而一周已不若前数者之易见矣又其毎周之间必有过不及之余分所差甚防非厯多周岂能灼见乃若嵗差之行六七十年始差一度厯二万五千余年而始得一周虽有期颐上夀所见之差不过一二度亦安从辨之迨其厯年既乆差数愈多然后共见而差法立焉此非前人之智不若后人也前人不能预见后来之差数而后人则能尽考前代之度分理愈乆而愈明法愈修而愈密势则然耳问者曰若是则圣人之智有所穷欤曰使圣人为一定之法则穷矣惟圣人深知天载之无穷而不为一定之法必使随时修改以求合天是则合天下万世之聪明以为其耳目圣人之所以不穷也然则厯至今日而愈密者皆圣人之法之所该矣

　　论中西二法之同

　　问者曰天道以乆而明厯法以修而密今新厯入而尽变其法以从之则前此之积举不足用乎曰今之用新厯也乃兼用其长以补旧法之未备非尽废古法而従新术也夫西厯之同乎中法者不止一端其言日五星之髙加减也即中法之盈缩厯也在太隂则迟疾厯也其言五星之嵗轮也即中法之段目也【迟留逆伏】其言恒星东行也即中法之嵗差也其言节气之以日躔过宫也即中法之定气也其言各省直节气不同也即中法之里差也但中法言盈缩迟疾而西説以最髙最卑明其故中法言段目而西説以嵗轮明其故中法言嵗差而西説以恒星东行明其故是则中厯所著者当然之运而西厯所推者其所以然之源此其可取者也若夫定气里差中厯原有其法但不以注厯耳非古无而今始有也西厯始有者则五星之纬度是也中厯言纬度惟太阳太隂有之【太阳出入于赤道其纬二十四度太隂出入于黄道其纬六度】而五星则未有及之者今西厯之五星有交防有纬行亦如太阳太隂之详明是则中厯缺陷之大端得西法以补其未备矣夫于中法之同者既有以明其所以然之故而于中法之未备者又有以补其缺于是吾之积者得彼説而益信而彼説之若难信者亦因吾之积而有以知其不诬虽圣人复起亦在所兼收而亟取矣

　　论中西之异

　　问今纯用西法矣若子之言但兼用其长耳岂西法亦有大异于中而不可全用抑吾之用之者犹有未尽欤曰西法亦有必不可用者则正朔是也中法以夏正为嵗首此万世通行而无弊者也西之正朔则以太阳防恒星为嵗其正月一日定于太阳躔斗四度之日而恒星既东行以生嵗差则其正月一日亦屡变无定故在今时之正月一日定于冬至后十一日溯而上之可七百年则其正月一日在冬至日矣又溯而上之七百年又在冬至前十日矣由今日顺推至后七百年则又在冬至后二十日矣如是不定安可以通行乎此徐文定公造厯书之时弃之不用而亦畧不言及也然则自正朔外其余尽同乎曰正朔其大者也余不同者尚多试畧举之中法歩月离始于朔而西法始于望一也中法论日始子半而西法始午中二也中法立闰月而西法不立闰月惟立闰日三也黄道十二象与二十八舍不同四也余星四十八象与中法星名无一同者五也中法纪日以甲子六十日而周西法纪日以七曜凡七日而周六也中法纪嵗以甲子六十年而周西法纪年以以总积六千余年为数七也中法节气起冬至而西法起春分八也以上数端皆今厯所未用徐文定公所谓镕西算以入大綂之型模葢谓此也【就中推闰日用之于恒表积数而不废闰月犹弗用也其总积之年厯指中偶一举之而不以纪嵗】

　　论今法于西厯有去取之故

　　问者曰皆西法也而有所弃取何也曰凡所以必用西法者以其测算之精而己非好其异也故凡高卑加减黄道经纬之属皆其测算之根而不得不用者也若夫测算之而既合矣则纪日于午何若纪于子之善也纪月于朢何若纪于朔之善也四十八象十二象之星名与三垣二十八宿虽离合不同而其星之大小逺近在天无异也又安用此纷纷乎此则无闗于测算之用者也乃若正朔之颁为国家礼乐刑政之所出圣人之所定万世之所遵行此则其必不可用而不用者也又何惑焉

　　论囘囘厯与西洋同异

　　问囘囘亦西域也何以不用其厯而用西洋之厯曰囘囘厯与欧罗巴【即西洋厯】同源异派而踈宻殊故囘囘厯亦有七政之髙以为加减之根又皆以小轮心为平行其命度也亦起春分其命日也亦起午正其算太隂亦有第一加减第二加减算交食三差亦有九十度限亦有影径分之大小亦以三百六十整度为周天亦以九十六刻为日亦以六十分为度六十秒为分而逓析之以至于防亦有闰日而无闰月亦有五星纬度及交道亦以七矅纪日而不用干支其立象也亦以东方地平为命宫其黄道上星亦有白羊金牛等十二象而无二十八宿是种种者无一不与西洋同故曰同源也然七政有加减之小轮而无均轮太隂有倍离之经差加减而无交均之纬差故愚尝谓西厯之于囘囘犹授时之于纪元统天其踈密固较然也然在洪武间未尝不密其西域大师马哈麻马沙亦黒颇能精于其术但深自秘惜又不着立表之根后之学者失其本法之用反借大统春分前定气之日以为立算之基何怪其乆而不效耶然其法之善者种种与西法同今用西法即用囘囘矣岂有所取舎于其间哉【按囘囘古称西域自明郑和奉使入洋以其非一国槩称之曰西洋厥后欧罗巴入中国自称大西洋谓又在囘囘西也今厯书题曰西洋新法盖囘囘厯即西洋旧法耳论中举新法皆曰欧罗巴不敢混称西洋所以别之也】

　　论回回厯厯元用截法与授时同

　　问论者谓回回厯元在千余年之前故乆而不可用其説然欤曰回回厯书以隋开皇己未为元谓之阿刺必年然以法求之实用洪武甲子为元而托之于开皇己未耳何以知之盖回回厯有太阳年太隂年自洪武甲子逆溯开皇己未距算七百八十六此太阳年也而回囘厯立成所用者太隂年也回回厯太隂年至第一月一日与春分同日之年则加一嵗约为三十二三年而积闰月十二所谓应加次数也然则洪武甲子以前距算七百八十六年当有应加闰月之年二十四次而今不然即用距算查表至八百一十七算之时始加头一次然则此二十四个闰年之月日将何所归乎故知其即以洪武甲子为元也惟其然也故其总年立成皆截从距开皇六百年起其前皆缺盖皆不用之数也然则何以不竟用七百八十算为立成起处而用六百年曰所以涂人之耳目也又最髙行分自六百六十算而变以前则渐减以后则渐増其减也自十度以至初度其増也又自初度而渐加此法中厯所无故存此以见意也【初度者盖指巨蠏初防惟六百六十算之年最髙与此防合以嵗计之当在洪武甲子年前一百二十六算其前渐减者盖是未到巨蠏之度故渐减也】由是言之其算宫分虽以开皇己未为元而其查立成之根则在己未元后二十四年【即立成所谓一年】既退下二十四年故此二十四次应加之数可以不加自此以后则皆以春分所入月日挨求亦可不必细论惟至闰满十二个月之年乃加一次此其巧防之法也然则其不用积年而截取现在为元者固与授时同法矣

　　论天地人三元非回回本法

　　问治回回厯者谓其有天地人三元之法天元谓之大元地元谓之中元人元谓之小元而以己未为元其简法耳以子言观之其説非欤曰天地人三元分算乃吴郡人陈壤所立之率非回回法也【陈星川名壤袁了凡师也嘉靖间曽上疏改厯而格不行】其説谓天地人三元各二千四百一十九万二千年今嘉靖甲子在人元己厯四百五十六万六千八百四十算所以为此迂逺之数者欲以求太乙数之周纪也【按太史王肯堂笔廛云太乙多不能算厯故以厯法求太乙多不合惟陈星川之太乙与厯法合】然其立法皆截去万以上数不用故各种立成皆止于千其为虚立无用之数可知矣夫三式之有太乙不过占家一种之书初无闗于厯算乂其立法以六十年为纪七十二年为元五元则三百六十年谓之周纪纯以干支为主而西域之法不用干支安得有三元之法乎今天地人三元之数现在厯法新书初未尝言其出于回回也盖明之知回回厯者莫精于唐荆川顺之陈星川壤两公而取唐之説以成书者为周云渊述学述陈之学以为书者为袁了凡黄然云渊厯宗通议中所述荆川精语外别无发眀【有厯宗中经余未见】而荆川亦不知最髙为何物【唐荆川曰要求盈缩何故减那最髙行度只为嵗差积乆年年欠下盈缩分数以此补之云云是未明厥故也】若云渊则直以毎日日中之晷景当髙尤为臆説矣了凡新书通回回之立成于大统可谓苦心然竟削去最髙之算又直用大统之嵗余而弃授时之消长将逆推数百年亦已不效况数千万年之乆乎人惟见了凡之书多用回回法遂误以为西域土盘本法耳又若薛仪甫凤祚亦近日西学名家也其言囘囘厯乃谓以己未前五年甲寅为元此皆求其説不得而强为之解也总之回回厯以太隂年列立成而又以太阳年查距算巧藏其根故虽其专门之裔且不能知无论他人矣【查开皇甲寅乃回教中所彼国圣人辞世之年故用以纪嵗非厯元也薛仪甫盖以此而误】

　　论回回厯正朔之异

　　问回回厯有太阳年又有太隂年其国之纪年以何为定乎曰回回国太隂年谓之动的月其法三十年闰十一日而无闰月惟以十二个月为一年【无闰则三百五十四日有闰则三百五十五日】故遇中国有闰月之年则其正月移早一月【如首年春分在第一月遇闰则春分在第二月而移其春分之前月为第一月】故曰动的月其太阳年则谓之不动的月其法以一百二十八年而闰三十一日皆以太阳行三十度为一月即中厯之定气其白羊初即为第一月一日嵗嵗为常故曰不动的月也然其纪嵗则以太隂年而不用太阳年此其异于中厯而并异于欧罗巴之一大端也然又有异者其毎嵗斋月又不在第一月而在第九月满此斋月至第十月一日则相贺如正旦焉不特此也其所谓月一日者又不在朔不在朢而在哉生明之后一日其附近各国皆然瀛涯胜览诸书可考而知也

　　马欢瀛涯胜览曰占城国无闰月但十二月为一年昼夜分为十更用鼓打记又曰阿丹国无闰月气温和常如八九月惟以十二个月为一年月之大小若头夜见新月明日即月一也又曰榜葛刺国亦无闰月以十二个月为一年按马欢自称防稽山樵曽従郑和下西洋故书其所见如此盖其国俱近天方故风俗并同其言月一者即月之第一日在朔后故不言朔厥后张升改其文曰以月出定月之大小夜见月明日又为一月也文句亦通然非月一字义也又按一统志天方国古筠冲之地旧名天堂又名西域有回回厯与中国前后差三日葢以见新月之明日为月之一日故差三日○又按素问云一昼一夜五分之隋志云昼有朝有禺有中有晡有夕夜有甲乙丙丁戊则昼夜十更之法中法旧有之○又熊防石岛夷志曰舶舟视旁罗之针罗罗处甚幽密惟开小扄直舵门灯长燃不分昼夜夜五更昼五更合昼夜十二辰为十更其针路悉有谱按此以十更记程而百刻匀分不论冬夏长短与记里鼓之意略同若素问隋志所云则以日出入为断而昼夜有长短更法因之而变两法防别占城用鼔打记不知若何要不出此二法

　　论夏时为尧舜之道

　　问古有三正而三王迭用之则正朔原无定也安在用太隂年用恒星年之为非是乎曰古圣人之作厯也以敬授民时而已天之气始于春盛于夏敛于秋伏藏于冬而万物之生长收藏因之民事之耕耘收获因之故圣人作厯以授民时而一切政务皆顺时以出令凡郊社禘尝之礼五祀之祭搜苗狝狩之节行庆施惠决狱治兵之典朝聘之期饮射读法劝耕省敛土功之事洪纎具举皆于是乎在故天子以颁诸侯诸侯受而藏诸祖庙以毎月告朔而行之厯之重葢如是也而顾使其游移无定何以示人遵守乎如回回厯则毎二三年而其月不同是春可为夏夏可为冬也如欧罗巴则毎七十年而差一日积之至乆四时亦可互为矣是故惟行夏之时斯为尧舜之道大中至正而不可易也然则又何以有三正曰三正虽殊而以春为民事之始则一也故建丑者二阳之月也建子者一阳之月也先王之于民事也必先时而戒事犹之日出而作而又曰鸡鸣而起中夜以兴云尔岂若毎嵗迁徙如是其纷纷者哉虽其各国之风俗相沿而不自觉然以数者相较而孰为正大孰为烦碎则必有辨矣

　　论语行夏之时古注云据见万物之生以为四时之始取其易知

　　论西厯亦古疏今宻

　　问中厯古疏今密实由积固己西厯则谓自古及今一无改作意者其有神授欤曰殆非也西法亦由积而渐至精密耳隋以前西厯未入中国其见于史者在唐为九执厯在元为万年厯在明为回回厯在

　　本朝为西洋厯新法然九执厯课既疏逺

　　唐大衍厯既成而一行卒瞿昙怨不得与改厯事讼于朝谓大衍写九执厯未尽其法诏厯官比验则九执厯课最防

　　万年厯用亦不乆

　　元太祖庚辰西征西域厯人奏五月朢月当蚀耶律楚材曰否卒不蚀明年十月楚材言月当蚀西域人曰不蚀至期果蚀八分

　　世祖至元四年西域札玛鲁丹撰进万年厯世祖稍颁行之至十八年改用授时厯

　　回回厯明用之三百年后亦渐防

　　明洪武初设回回司天台于雨花台寻罢回回司天监设回回科钦天监毎年西域官生依其本法奏进日月交蚀及五星凌犯等厯

　　欧罗巴最后出而称最精岂非后胜于前之明验欤诸如厯书所述多禄某之法至歌白泥而有所改订歌白泥之法至地谷而大有变更至于地谷法畧备矣而逺镜之制又出其后则其为累测益精大畧亦如中法安有所谓神授之法而一成不易者哉是故天有层数西法也而其説或以为九重或以为十二重今则以金水太阳共为一重矣又且以火星冲日之时比日更近而在太阳天之下则九重相裹如葱头之説不复可用矣太阳大于地西説也而其初説日径大于地径一百六十五倍竒今只筭为五倍竒两数相悬不啻霄壤矣太阳最髙卑嵗嵗东移西法也然先定二至后九度后改定为六度今复移进半度为七度竒矣又何一非后来居上而谓有神授不由积验乎

　　浑盖通宪定奥日在巨蠏九度即最髙也其时为万厯丁未在戊辰厯元前二十年是利西泰所定厥后厯书定戊辰年最髙冲度在冬至后五度五十九分五十九秒以较万厯丁未所定之奥日凡改退三度有竒是徐文定公及汤罗诸西士所定今康熙永年厯法重定康熙戊午髙冲在冬至后七度○四分○四秒以较厯书二百恒年表原定戊午髙冲六度三十七分二十九秒凡移进二十六分三十五秒其书成于厯书戊辰元后五十年是治理厯法南懐仁所定

　　论地圎可信

　　问西人言水地合一圆球而四面居人其地度经纬正对者两处之人以足版相抵而立其説可信欤曰以浑天之理徴之则地之正圆无疑也是故南行二百五十里则南星多见一度而北极低一度北行二百五十里则北极髙一度而南星少见一度若地非正圎何以能然至于水之为物其性就下四皆天则地居中央为最下水以海为壑而海以地为根水之附地又何疑焉所疑者地既浑圎则人居地上不能平立也然吾以近事徴之江南北极髙三十二度浙江髙三十度相去二度则其所戴之天顶即差二度【江南天顶去北极五十八度浙江天顶去北极六十度】各以所居之方为正则遥防异地皆成斜立又况京师极髙四十度琼海极髙二十度【京师以去北极五十度之星为天顶琼海以去北极七十度之星为天顶】若自京师而观琼海其人立处皆当倾跌【琼海望京师亦复相同】而今不然岂非首戴皆天足履皆地初无欹侧不忧环立欤然则南行而过赤道之表北逰而至戴极之下亦若是已矣是故大戴礼则有曽子之説

　　大戴礼单居离问于曽子曰天圆而地方诚有之乎曽子曰如诚天圆而地方则是四角之不揜也参尝闻之夫子曰天道曰圆地道曰方

　　内经则有岐伯之説

　　内经黄帝曰地之为下否乎岐伯曰地为人之下太虚之中也曰凭乎曰大气举之也素问又曰立于子而面午立于午而面子皆曰北面立于午而负子立于子而负午皆曰南靣释之者曰常以天中为北故对之者皆南也

　　宋则有邵子之説

　　邵子观物篇曰天何依曰依地地何附曰附天曰天地何所依附曰自相依附

　　程子之説

　　程明道语録曰天地之中理必相直则四边当有空阙处地之下岂无天今所谓地者特于天中一物尔又曰极须为天下之中天地之中理必相直今人所定天体只是且以眼定视所极处不见遂以为尽然向曽有于海上见南极下有大星数十则今所见天体葢未定以土圭之法騐之日月升降不过三万里中然而中国只到鄯善莎车已是一万五千里就彼观日尚只是三万里中也

　　地圆之説固不自欧逻西域始也

　　元西域札玛鲁丹造西域仪像有所谓库哩叶阿喇斯汉言地里志也其制以木为圆毬七分为水其色緑三分为土地其色白画江河湖海贯串于其中画作小方井以计幅员之广袤道里之逺近此即西説之祖

　　论葢天周髀

　　问有圆地之説则里差益明而浑天之理益着矣古乃有葢天之説殆不知而作者欤曰自扬子云诸人主浑天排葢天而葢説遂诎由今以观固可并存且其説实相成而不相悖也何也浑天虽立两极以言天体之圆而不言地圎直谓其正平焉耳若葢天之説具于周髀其説以天象盖笠地法覆槃极下地髙滂沲四隤而下则地非正平而有圆象明矣故其言昼夜也曰日行极北北方日中南方夜半日行极东东方日中西方夜半日行极南南方日中北方夜半日行极西西方日中东方夜半凡此四方者昼夜易处加四时相及此即西厯地有经度以论时刻早晚之法也其言七衡也曰北极之下不生万物北极左右夏有不释之冰中衡左右冬有不死之草五谷一嵗再熟凡北极之左右物有朝生暮获【赵君卿注曰北极之下从春分至秋分为昼从秋分至春分为夜】即西厯以地纬度分寒暖五带昼夜长短各处不同之法也使非天地同为浑圎何以能成此算周髀本文谓周公受于商髙虽其详莫攷而其説固有所本矣然则何以不言南极曰古人著书皆详于其可见而略于所不见即如中高四下之説既以北极为中矣而又曰天如倚盖是亦即中国之所见拟诸形容耳安得以辞害意哉故写天地以圆器则葢之度不违于浑图星象于平楮则浑之形可存于葢唐一行善言浑天者也而有作葢天圗法元郭太史有异方浑盖圗今西厯有平浑仪皆深得其意者也故浑盖之用至今日而合浑盖之説亦至今日而合浑盖之説亦至今日而益明元札马鲁丁西域仪象有兀速都儿刺不定汉言昼夜时刻之器其制以铜如圆镜而可挂面刻十二辰位昼夜时刻上加铜条缀其中可以圆转铜条两端各屈其首为二窍以对望昼则视日影夜则窥星辰以定时刻以则休咎背嵌镜片二面刻其圗凡七以辨东西南北日影长短之不同星辰向背之有异故各异其图以尽天地之变焉按此即今浑盖通宪之制也以平诠浑此为著

　　论周髀仪器

　　问若是则浑盖通宪即盖天之遗制欤抑仅平度均布如唐一行之所云耶曰皆不可考矣周髀但言笠以写天天青黒地黄赤天数之为笠也赤黒为表丹黄为里以象天地之位此盖写天之器也今虽不以意度之当是圆形如笠而图度数星象于内其势与仰观不殊以视平圗浑象转为亲切何也星圗强浑为平则距度之防密改观浑象图星于外则星形之左右易位若写天于笠则其圆势屈而向内星之经纬距皆成弧度与测筭脗合胜平圗矣又其星形必在内面则星之上下左右各正其位胜浑象矣

　　论厯元

　　问造厯者必先立元元正然后定日法法立然后度周天古厯数十家皆同此术至授时独不用积年日法何欤曰造厯者必有起算之端是谓厯元然厯元之法有二其一逺溯初古为七曜齐元之元自汉太初至金重修大明厯各所用之积年是也其一为截算之元自元授时不用积年日法直以至元辛巳为元而今西法亦以崇祯戊辰为元是也二者不同然以是为起算之端一而已矣则二者无优劣乎曰授时优夫所谓七曜齐元者谓上古之时嵗月日时皆防甲子而又日月如合璧五星如连珠故取以为造厯之根数也使其果然虽万世遵用可矣乃今卄一史中所载诸家厯元无一同者是其积年之乆近皆非有所受之于前直以巧算取之而已然谓其一无所据而出于胸臆则又非也当其立法之初亦皆有所验于近事然后本其时之所实测以旁证于书之所约其合者既有数端遂援之以立术于是溯而上之至于数千万年之逺庶几各率可以齐同积年之法所由立也然既欲其上合厯元又欲其不违近测畸零分秒之数必不能齐势不能不稍为整顿以求巧合其始也据近测以求积年其既也且将因积年而改近测矣又安得以为定法乎授时厯知其然故一以实测为凭而不用积年虚率上考下求即以至元十八年辛巳嵗前天正冬至为元其见卓矣按唐建中时术者曺士蔿始变古法以显庆五年为上元雨水为嵗首号符天厯行于民间谓之小厯又五代石晋髙祖时司天监马重绩造调元厯以唐天寳十四载乙未为上元用正月水为气首此二者亦皆截筭之法授时厯葢采用之耳然曺马二厯未尝密测逺徴不过因时厯之率截取近用若郭太史则制器极精四海测验者二十七所又上考春秋以来至于近代然后立术非舍难而就易也　又按孟子千嵗日至赵注只云日至可知其日孙奭疏则直云千嵗以后之日至可坐而定初不言立元

　　论西法积年

　　问厯元之难定以嵗月日时皆防甲子也若西厯者初不知有甲子何难溯古上元而亦截自戊辰欤曰西人言开辟至今止六千余年是即其所用积年也然厯书不用为元者何也既无干支则不能合于中法一也又其法起春分与中法起冬至不同以求上古积年毕世不能相合二也且西书所不一其积年之説先有参差三也故截自戊辰为元亦镕西算入中法之一事葢立法之善虽巧算不能违矣

　　天地仪书自开辟至崇祯庚辰凡五千六百三十余年圣经直解开辟至崇祯庚辰凡六千八百三十六年

　　通雅按诸太西云自开辟至崇祯甲申六千八百四十年依所制稽古定仪推之止五千七百三十四年月离厯指曰崇祯戊辰为总期之六千三百四十一年

　　天文实用云开辟初时适当春分又云中西皆以角为宿首因开辟首日昬时角为中星也今以恒星本行逆推约角宿退九十度必为中星计年则七千矣与圣经纪年合

　　开辟至洪水天地仪书云一千六百五十余年圣经直解则云二千二百四十二年相差五百九十二年洪水至汉哀帝元夀二年庚申天主降生天地仪书云二千三百四十余年圣经直解则云二千九百五十四年相差六百一十四年遗诠又云二千九百四十六年比圣经直解又少八年

　　论日法

　　问上古积年荒忽无凭去之诚是也至于日法则现在入用之数也而古厯皆有日法授时何以独无曰日法与厯元相因而立者也不用积年自可不用日法矣盖古厯气朔皆定大小余大余者日也小余者时刻也凡七曜之行度不能正当时刻之初而或在其中半难分之处非以时刻剖析为若干分秒则不能命筭此日法所由立也自日法而析之则有辰法刻法分法秒法自日法而积之则有气防法朔实法嵗实法旬周法与日日法同用者则有度法宿次法周天法又有章法蔀法纪法元法一切诸法莫不以日法为之纲古厯首定日法而皆有畸零葢以此也惟日法有畸零故诸率从之而各有畸零之数矣夫古厯岂故为此繁难以自困哉欲以上合于所立之厯元而为七曜之通率有不得不然者也【如古法以九百四十分为日法其四分之一则为二百三十五所以然者以十九年一章有二百三十五月也又古法月行十九分度之七是以十九分为度法亦以十九年一章有七闰也他皆类此】今授时既不用积年即章蔀纪元悉置不用而一以天验为徴故可不用畸零之日法而竟以万分为日日有百刻刻有百分故一万也自此再析则分有百秒秒有百微皆以十百为等而递进退焉数简而明易于布算法之极善者也是故授时非无日法也但不用畸零之日法耳用畸零之日法乘除既繁而其势又有所阻故分以下复用秒母焉用万分之日可以析之屡析至于无穷【日躔之用有秒则日为百万月离之用有防则日为亿万】而乘除之间转觉其易是小余之细未有过于授时者也而又便于用岂非法之无可以万世遵行者哉

　　按宋蔡季通欲以十二万九千六百为日法而当时厯家不以为然畏其细也然以较授时犹未及其秒数而不便于用者有畸零也有畸零而又于七曜之行率无闗何怪厯家之不用乎若回回泰西则皆以六十递析虽未尝别立日法而秒防以下必用通分颇多纡折若非逐项立表则其繁难不啻数倍授时矣薛仪甫着天学防通以六十分改为百分诚有见也

　　厯算全书巻一

　　钦定四库全书

　　厯算全书巻二

　　宣城梅文鼎撰

　　厯学疑问二

　　论嵗实【闰余】

　　问岁实有一定之数而何以有闰余曰惟岁实有一定之数所以生闰余也凡纪岁之防有二自今年冬至至来年冬至凡三百六十五日二十四刻二十五分而太阳行天一周是为一嵗二十四莭气之日【据授时大统之数或自今年立春至来年立春亦同】

　　周礼太史注中数曰岁朔数曰年自今年冬至至明年冬至岁也自今年正月朔至明年正月朔年也古有此语要之岁与年固无大别而中数朔数之不齐则气盈朔虚之所由生

　　自正月元旦至腊月除夕凡三百五十四日三十六刻七十一分一十六秒而太阴防太阳于十二次一周是为一岁十二月之日【亦据授时平朔言之】两数相较则莭气之日多于十二月者一十日八十七刻五十三分八十四秒是为一岁之通闰积至三年共多三十二日六十二刻六十一分五十二秒而成一闰月仍多三日零九刻五十五分五十九秒积至五年有半共多五十九日八十一刻四十六分一十二秒而成两闰月仍多七十五刻三十四分二十六秒古云三岁一闰五岁再闰者此也然则何以不竟用莭气纪歳则闰月可免矣曰晦朔望易见者也莭气过宫难见者也敬授人时则莫如用其易见之事而但为之闰月以通之则四时可以不忒尧命羲和以闰月定四时成歳此尧舜之道万世不可易也若囘囘厯有太阴年为动的月有太阳年为不动的月夫既谓之月安得不用晦朔望而反用莭气乎故囘囘厯虽有太阳年之算而天方诸国不以纪歳也沈存中欲以莭气纪歳而天经或问亦有是言此未明古圣人之意者矣

　　论歳余消长

　　问歳实既有一定之数授时何以有消长之法曰此非授时新法而宋綂天之法然亦非綂天亿创之法而合古今累代之法而为之者也盖古厯周天三百六十五度四分度之一一歳之日亦如之故四年而增一日【今西厯永年表亦同】其后渐觉后天皆以为斗分太强因稍损之【古厯起斗终斗故四分之一皆寄斗度谓之斗分】自汉而晋而唐而宋毎次改厯必有所减以合当时实测之数故用前代之厯以顺推后代必至后天以斗分强也【斗分即嵗余】若用后代之厯据近测以逆溯往代亦必后天以斗分弱也【前推后而歳余强则所推者过于后之实测矣后推前而嵗余弱则所推者不及于前之实测矣故皆后天】綂天厯见其然故为之法以通之于歳实平行之中加一古多今少之率则于前代诸厯不相戾而又不违于今之实测此其用法之巧也然綂天厯蔵其数于法之中而未尝明言消长授时则明言之今遂以为授时之法耳郭太史自述创法五端初未及此也然则大綂厯何以不用消长曰此则元綂之失也当时李徳芳固巳上疏争之矣然在洪武时去授时立法不过百年所减不过一分积之不过一刻故虽不用消长无甚差殊也崇祯厯书谓元綂得之测验窃不谓然何也元綂与徳芳辨但自言未变旧法不言测騐有差又其所着通轨虽便初学殊昧根宗间有更张辄违经防【如月食时差既内分等俱妄改背理】岂能于冬至加时后先一刻之间而测得真数乎然则消长必不可废乎曰上古则不可知矣若春秋之日南至固可考据而唐宋诸家之实测有据者史册亦具存也今以消长之法求之其数皆合若以大綂法求之则皆后天而于春秋且差三日矣安可废乎然则綂天授时之法同乎曰亦不同也綂天厯逐年逓差而授时消长之分以百年为限则授时之法又不如綂天矣夫必百年而消长一分未尝不是乃以乗距算其数骤变殊觉不伦郑世子黄钟厯法所以有所酌改也【假如康熙辛酉年距元四百算该消四分而其先一年庚申距算三百九十九只消三分是庚申年嵗余二十四刻二十二分而辛酉年歳余二十四刻二十一分也以此所消之一分乗距算得四百分则辛酉嵗前冬至忽早四刻而次年又只平运以实数计之庚申年反只三百六十五日二十刻二十二分辛酉年则又是三百六十五日二十四刻二十一分其法舛矣】

　　论嵗实消长之所以然

　　问嵗实消长之法既通于古亦宜合于今乃今实测之家又以为消极而长其説安在岂亦有所以然之故欤曰授时虽承统天之法而用消长但以推之旧厯而合耳初未尝深言其故也惟厯书则为之説曰嵗实渐消者由日轮之毂渐近地心也余尝窃疑其説今具论之夫西法以日天与地不同心疏盈缩加减之理其所谓加减皆加减于周天三百六十度之中非有所増损于其外也如最髙则视行见小而有所减最卑则视行见大而有所加加度则减时矣减度则加时矣然皆以最卑之所减补最髙之所加及其加减既周则其总数适合平行畧无余欠也若果日轮之毂渐近地心不过其加减之数渐平耳加之数渐平则减之数亦渐平其为迟速相补而归于平行一也岂有日轮心逺地心之时则加之数多而减之数少日轮心近地心时则减之数少而加之数多乎必不然矣又考日躔永表彼固原未有消长之説日躔厯指言平嵗用授时消分定嵗则用最髙差及查恒年表之用则又只用平率是其説未有所决也又厯书言日轮渐近地心数千年后将合为一若前之渐消由于两心之渐近则今之消极而长两心亦将由近极而逺数千年后又安能合为一乎彼盖见授时消分有据而姑为此説非能极论夫消长之故者也然则将何以求其故曰授时以前之渐消既徴之经史而信矣而今现行厯之嵗实又稍大于授时其为复长亦似有据窃考西厯髙卑今定于二至后七度依永年厯毎年行一分有竒则授时立法之时最髙卑正与二至同度而前此则在至前过此则在至后岂非髙冲渐近冬至而嵗余渐消及其过冬至而东又复渐长乎余观七政厯于康熙庚申年移改最髙半度弱而其年歳实骤増一刻半强此亦一徴也存此以竢后之知厯者【巳未年最髙在夏至后六度三十九分庚申年最髙在夏至后七度七分除本行外计新移二十七分己未年冬至庚戌日亥正一刻四分庚申年冬至丙辰日寅正二刻二分实计三百六十五日二十四刻十三分前后各年俱三百六十五日二十三刻四分或五分以较庚申年嵗实骤増一刻九分】王寅旭曰嵗实消长其説不一谓由日轮之毂渐近地心其数寖消者非也日轮渐近则两心差及所生均数亦异以论定嵗诚有损益若平嵗嵗实尚未及均数则消长之源与两心差何与乎识者欲以黄赤极相距逺近求嵗差朓朒与星嵗相较为节嵗消长终始循环之法夫距度既殊则分至诸限亦宜随易用求差数其理始全然必有平嵗之嵗差而后有朓朒之嵗差有一定之嵗实而后有消长之嵗实以有定者纪其常以无定者通其变始可以永乆而无弊

　　按寅旭此论是欲据黄赤之渐近以为嵗实渐消之根盖见西测黄赤之纬古大今小今又觉稍赢故断以为消极复长之故然黄赤逺近其差在纬嵗实消长其差在经似非一根又西测距纬复赢者彼固自疑其前测最小数之末真则亦难为确据愚则以中厯嵗实起冬至而消极之时髙冲与冬至同度髙冲离至而嵗实亦増以经度求经差似较亲切愚与寅旭生同时而不相闻及其卒也乃稍稍见其书今安得起斯人于九原而相与极论以质所疑乎

　　论恒星东移有据

　　问古以恒星即一日一周之天而七曜行其上今则以恒星与七曜同法而别立宗动是一日一周者与恒星又分两重求之古厯亦可通欤曰天一日一周自东而西七曜在天迟速不同皆自西而东此中西所同也然西法谓恒星东行比于七曜今考其度盖即古厯嵗差之法耳嵗差法昉于虞喜而畅于何承天祖冲之刘焯唐一行厯代因之讲求加密然皆谓恒星不动而黄道西移故曰天渐差而东嵗渐差而西所谓天即恒星所谓嵗即黄道分至也西法则以黄道终古不动而恒星东行假如至元十八年冬至在箕十度至康熙辛未厯四百十一年而冬至在箕三度半在古法谓是冬至之度自箕十度西移六度半而箕宿如故也在西法则是箕星十度东行过冬至限六度半而冬至如故也其差数本同所以致差者则不同耳然则何以知其必为星行乎曰西法以经纬度恒星则普天星度俱有嵗差不止冬至一处此盖得之实测非臆断也然则普天之星度差古之测星者何以皆不知耶曰亦尝求之于古矣盖有三事可以相证其一唐一行以铜浑仪二十八舍其去极之度皆与旧经异今以歳差考之一行铜仪成于开元七年其时冬至在斗十度而自牵牛至东井十四宿去极之度皆小于旧经是在冬至以后厯春分而夏至之半周其星自南而北南纬増则北纬减故去北极之度渐差而少也自舆鬼至南斗十四宿去极之度皆大于旧经是在夏至以后厯秋分而冬至之半周其星自北而南南纬减则北纬増故去北极之度渐差而多也【星度详后】向使非恒星移动何以在冬至后者渐北在夏至后渐南乎【恒星循黄道行实只东移无所谓南北之行也而自赤纬观之则有南北之差盖横斜之势使然】其一古测极星即不动处齐梁间测得离不动处一度强【祖暅所测】至宋熈宁测得离三度强【沈存中测详梦溪笔谈】至元世祖至元中测得离三度有半【郭太史极仪径七度终夜见极星循行环内切边而行是也】向使恒星不动则极星何以离次乎其一二十八宿之距度古今六测不同【详元史】故郭太史疑其动移此盖星既循黄道东行而古测皆依赤道黄赤斜交勾异视所以度有伸缩正由距有横斜耳不则岂其前人所测皆不足慿哉故仅以冬至言差则中西之理本同而合普天之星以求经纬则恒星之东移有据何以言之近两至处恒星之差在经度故可言星东移者亦可言嵗西迁近二分处恒星之差竟在纬度故惟星实东移始得有差若只两至西移诸星经纬不应有变也如此则恒星之东移信矣恒星既东移不得不与七曜同法矣恒星东移既与七曜同法即不得不更有天挈之西行此宗动所由立也

　　唐一行所测去极度与旧不同者列后

　　旧经　　　　　　　　唐测

　　牵牛【去极】百　六度　　牵牛【去极】百　四度须女　百　　度【有脱字】　须女　百　一度

　　虚　　百　四度　　　虚　　百　一度

　　危　　九十七度【有误字】　危　　九十七度

　　营室　八十五度　　　营室　八十三度

　　东壁　八十六度　　　东壁　八十四度

　　奎　　七十六度　　　奎　　七十三度

　　娄　　八十度　　　　娄　　七十七度

　　胃昴　七十四度　　　胃昴　七十二度

　　毕　　七十八度　　　毕　七十六度

　　觜觹　八十四度　　　觜觹　八十二度

　　参　　九十四度　　　参　　九十三度

　　东井　七十度　　　　东井　六十八度

　　以上十四宿去极之度皆古测大而唐测小是所测去极之度少于古测为其星自南而北也又按唐开元冬至在斗十度则此十四宿为自冬至后厯春分而夏至之半周

　　旧经　　　　　　　　　唐测

　　舆鬼　六十八度　　　　舆鬼　六十八度

　　栁　　七十七度　　　　栁　　八十度半

　　七星　九十一度　　　　七星　九十三度半张　　九十七度　　　张　　百度

　　翼　　九十七度　　　翼　　百　三度

　　轸　　九十八度　　　轸　　百度

　　角　　九十一度【正当赤道】　角　　九十三度半【在赤道南二度半】亢　　八十九度　　　亢　　九十一度半氐　　九十四度　　　氐　　九十八度

　　房　　百　八度　　　房　　百一十度半心　　百　八度　　　心　　百一十度

　　尾　　百二十度　　　尾　　百二十四度箕　　百一十八度　　箕　　百二十度

　　南斗　百一十六度　　南斗　百一十九度以上十四宿去极之度皆古测小而唐测大是所测去极之度多于古测为其星自北而南也以冬至斗十度言之则此十四宿为自夏至后厯秋分而冬至之半周

　　论七政髙下

　　问言日月星辰系焉而今谓七政各有一天何据曰屈子天问圜则九重孰营度之则古有其语矣七政运行各一其法此其説不始西人也但古以天如棊局不动而七政错行如碁子之推移西人之説则谓日月五星各丽一天而有髙下其天动故日月五星动非七政之自动也其所丽之天表里通彻故但见七政之动耳不然则将如彗孛之类旁行斜出安得有一定之运行而可以施吾筹防乎且既各丽一天则皆天也虽有髙下而总一浑灏之体于中庸所谓击焉者初无抵牾也然则何以知其有髙下曰此亦古所有但言之未详耳古今厯家皆言月在太阳之下故月体能蔽日光而日为之食是日髙月下日逺月近之证也又歩日食者以交道表里而论其食分随地所见深浅各异故此方见食既者越数千里而仅亏其半古人立法谓之东西南北差是则日之下月之上相距甚逺之证也又月与五星皆能掩食恒星是恒星最在上而于地最逺也月又能掩食五星是月最在下而于地最近也五星又能互相掩是五星在恒星之下月之上而其所居又各有髙下于地各有逺近也向使七政同在一规而无髙下之距则相遇之时必相触击何以能相掩食而过乎是故居七政之上最近大圜最逺于地者为恒星恒星之下次为土星又次为木星次为火星次为太阳为金为水最近于地者为月以视差言之与人目逺者视差防近则视差大故恒星之视差最防以次渐増至月而差极大也以行度言之近大圜者为动天所掣故左旋速而右移之度迟渐近地心则与动天渐逺而左旋渐迟即右移之度反速故左旋之势恒星最速以次渐迟至月而为最迟也右移之度恒星最迟以次渐速至月而反最速也是二者宛转相求其数巧合髙下之理可无复疑【梦溪笔谈以月盈亏明日月之形如丸可谓明悉而又以问者之疑其如丸则相遇而相碍故輙漫应之曰日月气也有形无质故相值而无碍此则未明视差之理为智者千虑之失】

　　论无星之天

　　问古以恒星不动七曜常移故有蚁行磨上之喻今恒星东移既与七曜同法则恒星亦是蚁而非磨故虽宗动无星可信其有也然西法又谓动天之外有静天何以知之曰此亦可以理信者也凡物之动者必有不动者以为之根动而不息者莫如天则必有常不动者以为之根矣天之有两极也亦如硙之有脐戸之有枢也枢不动故户能开阖脐不动故硙能运旋若枢与脐动则开阖运旋之用息矣然枢能制户脐能运硙而此二者又谁制之而能不动哉则以其所丽者常静也【如户之枢附于屋而屋仍有基基即地也脐植于硙之下半而硙安于架架仍在地也人但知枢之于戸脐之于硙能以至小为至大之君而不知此至小者之根又实连于大地之体】唯天亦然动天之周系于两极而此两极者必有所丽其所丽者又必常静故能终古凝然而为动天之枢也使其不然极且自动而何以为动天之所宗乎或曰天不可以戸硙拟也戸硙物也天则一气旋转而已岂必有所附着而后其枢不动哉曰天之异于物者大小也若以不动为动之根无异理也且试以实测徴之自古言北极出地三十六度而阳城之测至今未改也元史测大都北极之髙四十度半今以西测徴之亦无分寸之移故言嵗差者不及焉【如黄赤古逺今近日轮毂渐近地心之类皆有今昔之差惟北极出地之度不变】使天惟兀然浮空而又常为动而不息之物北极髙下亦将改易而何以髙度常有定测乎朱子尝欲先论太虚之度然后次及天行太虚者静天之谓也

　　【朱子曰而今若就天里看时只是行得三百六十五度四分度之一若把天外来説则是一日过了一度蔡季通尝言论日月则在天里论天则在太虚空里若在太虚空里观那天自是日日裏得不在旧时处又曰厯法蔡季通説当先论天行次及七政此亦未善要当先论太虚以见三百六十五度四分度之一一一定位然后论天行以见天度加损虚度之嵗分嵗分既定然后七政乃可齐耳】

　　【临川吴氏曰天与七政八者皆动今人只将天做硬盘却以七政之动在天盘上行今当以太虚中作一空盘却以八者之行较其迟速】

　　论无星之天【其二】

　　问静天为两极所丽即朱子所言太虚是已然西法又设东西嵗差南北嵗差二重之天其説何居曰西人象数之学各有授受师説故其法亦多不同此两嵗差之天利西泰言之徐文定公作厯书时汤罗诸西士弃不复用厥后穆氏着天歩真原北海薛氏本之着天学防通则又用之故知其授受非一家也今即其説推之则穆与利又似不同何也西人测验谓黄赤之距渐近此亦可名南北差若东西嵗差则恒星之东移是已而恒星既为一重天不应复有东西嵗差之天则西泰所言不知何指也至于穆薛之説则又不正言南北东西两嵗差而别有加算谓之黄道差春分差其法皆作小圏于心而大圏之心循之而转若干年在前若干年在后其年皆以千计有图有数有法且谓作厯书时弃之非是也然于西泰初説亦不知同异何如耳然则何以断其有无曰天动物也但动而有常耳常则乆乆则不能无秒忽之差差在秒忽固无损于有常之大较而要之其差亦自有常也善歩者以数合差而得其衰序则俨然有形可説有象可图焉如小轮之类皆是物也要之为图为説总以得其差数而止其数既明其差既得又何必执其形象以生聚讼哉

　　论天重数

　　问七政既有髙下恒星又复东移动天一日一周静天万古常定则天之重数岂不截然可数欤曰此亦据可见之度可推之数而知其必有重数耳若以此尽天体之无穷则有所不能即以西説言之有以天为九重者则以七曜各居其天并恒星宗动而九也有以天为十二重者则以宗动之外复有南北嵗差东西嵗差并永静之天十二也有以天为层层相裹如葱头之皮密密相切畧无虚隙者利氏之初説也又有以天虽各重而其行度能相割能相入以是为天能之无尽者则以火星有时在日天之下金星有时在日天之上而为此言厯书之説也又有以金水二星绕日旋转为太阳之轮故二星独不经天是金水太阳合为一重而九重之数又减二重共为七重也然又谓五星皆以太阳为本天之心葢如是则可以免火星之下割日天是又将以五星与太阳并为一天而只成四重也【一月天二太阳五星共为一天三恒星天四宗动天】其説之不同如此而莫不持之有故其可以为定议乎尝试论之天一而已以言其浑沦之体则虽不动之地可指为大圜之心而地以上即天地之中亦天不容有二若由其苍苍之无所至极以徴其体势之髙厚则虽恒星同在一天而或亦有髙下之殊儒者之言天也当取其明确可徴之辞而畧其荒无稽之事是故有可见之象则可以知其有附丽之天有可求之差则可以知其有髙下之等【如恒星七政皆有象有差】有一种之行度知其有一枢纽【如动天无象可见而有行度】此皆实测之而有据者也而有常动者以为之运行知其必有常静者以为之根柢【静天与地相应故地亦天根】此则以理断之而不疑者也若夫七政恒星相距之间天宇辽阔或空澄而精湛或絪緼而弥纶无星可测无数可稽固思议之所穷亦敬授之所缓矣

　　论天重数二

　　问重数既难为定则无重数之説长矣曰重数虽难定而必以有重数为长何也以七政之行非赤道也临川掲氏曰天无层数七政皆能动转试以水注圆噐而急旋之则见其中沙土诸物近心者凝而不动近边者随水而旋又且迟速洄漩以成防逆诸行矣又试以丸置于圜盘而輙转其盘则其丸既为圜盘所掣与盘并行而丸之体圎亦能自转而与盘相逆以成小轮之象矣此两逾明切诸家所未及然以七政能自动而废重数之説犹未能无滞碍也何也谓天如盘七政如丸盘之与丸同在一平面故丸无附丽而能与盘同行又能自动也若天则浑圆而非平圆又天体自行赤道而七政皆行黄道平斜之势甚相差违若无本天以带之而但如丸之在盘则七政之行必总防于动天之腰围阔处皆行赤道而不能斜交赤道之内外以行黄道故曰以有重数为长也曰天既有重数则当如西人初説七政在天如木节在板而不能自动矣曰七政各居其天原非如木节之在板也各有小轮皆能自动但其动只在本所畧如人之目睛未尝不左右頋盼而不离睂睫之间也若如板之有节则小轮之法又将安施即西説不能自通矣故惟七政各有本天以为之带动斯能常行于黄道而不失其恒惟七政之在本天又能自动于本所斯可以施诸小轮而不碍掲説与西説固可并存而不废者也

　　论左旋

　　问天左旋日月五星右旋中西两家所同也自横渠张子有俱左旋之説而朱子蔡氏因之近者临川掲氏建寕游氏又以槽丸盆水譬之此孰是而孰非曰皆是也七曜右旋自是实测而所以成此右旋之度则因其左旋而有动移耳何以言之七曜在天每日皆有相差之度厯家累计其每日差度积成周天中西新旧之法莫不皆然夫此相差之度实自西而东故可以名之右旋然七曜每日皆东升西降故又可以名之左旋西厯谓七曜皆有东西两动而并出于一时盖以此也夫既云动矣动必有所向而一时两动其势不能古人所以有蚁行磨上之喻而近代诸家又有人行舟中之比也【七曜如人天如舟舟扬帆而西人在舟中向舟尾而东行岸上望之则见人与舟并西行矣】又天之东升西没自是赤道七曜之东移于天自是黄道两道相差南北四十七度【自短规至长规合之得此数】虽欲为槽丸盆水之喻而平面之行与斜转之势终成疑义安可以遽废右旋之实测而从左转之虚理哉然吾终谓朱子之言不易者则以天有重数耳曰天有重数何以能防其为左旋曰天虽有层次以居七曜而合之总一浑体故同为西行也同为西行矣而仍有层次以生微差层次之髙下各殊则所差之多寡亦异故七曜各有东移之率也然使七曜所差只在东西顺逆迟速之间则槽丸盆水之譬亦已足矣无如七曜东移皆循黄道而不由赤道则其与动天异行者不徒有东西之相违而且有南北之异向以此推知七曜在各重之天皆有定所而其各天又皆顺黄道之势以黄道为其腰围中广而与赤道为斜交非仅如丸之在槽沙之在水皆与其噐平行而但生退逆也【丸在槽与其盘为平面沙在水与其噐为平面故丸与盘同运而生退逆水与沙并旋而生退逆其顺逆两象皆在一平面】盖惟其天有重数故能动移惟其天之动移皆顺黄道斯七曜东移皆在黄道矣是故左旋之理得重数之说而益明曰谓右旋之度因左旋而成何也曰天既有重数矣而惟恒星天近动天故西行最速防与动天相若【六七十年始东移一度】自土星以内其动渐杀以及于地球是为不动之处则是制动之权全在动天而恒星以内皆随行也使非动天西行则且无动无动即无差又何以成此右旋之筭哉其势如陶家之有钧盘运其边则全盘皆转又如运重者之用飞轮其运动也亦以边制中假令有小盘小轮附于大钧盘大飞轮之上而别为之枢则虽同为左旋而因其制动者在大轮其小者附而随行必相差而成动移以生逆度又因其枢之不同也虽有动移必与本枢相应而成斜转之象焉【此之斜转亦在平面非正喻其平斜但聊以明制动之势】夫其退逆而右也因其两轮相叠其退转而斜行也因于各有本枢而其所以能退逆而斜转者则以其随大轮之行而生此动移也若使大者停而不行则小者之逆行亦止而斜转之势亦不可见矣朱子既因旧説释诗又极取张子左旋之説盖右旋者已然之故而左旋者则所以然之理也西人知此则不必言一时两动矣故掲氏以丸喻七曜只可施于平面而朱子以轮载日月之喻兼可施诸黄赤与西説之言层次者实相通贯理至者数不能违此心此理之同洵不以东海西海而异也【朱子语类问经星左旋纬星与日月右旋是否曰今诸家是如此説横渠説天左旋日月亦左旋看来横渠之説极是只恐人不晓所以诗只载旧説或曰此亦易见如以一大轮在外一小轮载日月在内大轮转急小轮转慢虽都是左转只有急冇慢便觉日月是右转了曰然但如此则厯家逆字皆着改做顺字退字皆着改做进字】

　　论黄道有极

　　问古者但言北辰浑天家则因北极而推其有南极今西法乃复立黄道之南北极一天而有四极何也曰求经纬之度不得不然也盖古人治厯以赤道为主而黄道从之故周天三百六十五度皆从赤道分其度一一与赤道十字相交引而长之以防于两极若黄道之度虽亦匀分周天【三百六十五】而有经度无纬度则所分者只黄道之一线初不据以分宫故授时十二宫惟赤道匀分各得三十度竒黄道则近二至者一宫或只二十八度近二分者一宫多至三十二度【皆约整数】若是其濶狭悬殊者何哉过宫虽在黄道而分宫仍依赤道赤道之匀度抵黄道而成斜交势有横斜遂生濶狭故曰以赤道为主而黄道从之也向使厯家只歩日躔此法已足无如月五星皆依黄道行而又有出入其行度之舒亟转变为法多端皆以所当黄道及其距黄之逺近内外为根故必先求黄道之经纬西厯之法一切以黄道为主其法匀分黄道周天度为十二宫其分宫分度之经度线皆一一与黄道十字相交自此引之各成经度大圏以周于天体则其各圏相交以为各度辏心之处者不在赤道南北极而别有其心是为黄道之南北极自黄道两极出线至黄道【即黄道上分宫分度之线引而成大圏以辏心者也心即黄极故亦可云从极出线】其纬各得九十度而均【极距黄道四面皆均故分宫分度线上之纬度皆均】以此各线之纬聮为圏线皆与黄道平行自黄道上相离一度起逐度作圏但其圏渐小以至九十度则成一而防于黄极是为纬圏【一名距等圈】曰黄道既有经纬则必有所宗之极测筭所需固巳然则为测筭家所立欤抑真有是以为运转之枢耶曰以恒星东移言之则真有是矣何则古法嵗差亦只在黄道之一线今以恒星移则普天星斗尽有古今之差惟黄道极终古不动岂非真有黄极以为运转之枢哉曰然则北辰非黄极也今曰惟黄极不动岂北辰亦动与曰以毎日之周转言则周天星度皆东升西没惟北辰不动以恒星东移之差言则虽北辰亦有动移而惟黄极不动盖动天西旋以赤道之极为枢而恒星东移以黄道之极为枢皆本实测各有至理也【古今测极星离不动处渐逺具见前篇】

　　论厯以日躔为主中西同法

　　问天方等国以太隂年纪嵗【即囬回法】欧逻巴国以恒星年纪嵗【即西洋本法】若是其殊意者起筭之端亦将与中土大异而何以皆用日躔为主欤曰其纪嵗之不同者人也其起筭之必首日躔者天也夫天有日如国有君史以纪国事厯以纪天行而史之纲在帝纪厯之纲在日躔其义一也是故太隂之行度多端无以凖之凖于日也【太隂有周天有防望有迟疾入转有交道表里皆以所厯若干日而知其行度之率】五星之行度多端无以凖之凖于日也【五星亦有周天有防望有盈缩入厯有交道表里畧同太隂亦皆以日数为率】恒星之行度甚迟无以凖之亦凖于日也【恒星东移是生嵗差亦以日度知之而得其行率】不先求日躔且不能知其何年何日而又何以施其测騐推歩哉且夫天下之事必先得其着而后可以察其防必先得其易而后可以及其难必先得其常而后可以尽其变故以测騐言之日最着也以推歩言之日最易也以经纬之度言之日最有常也悬象常明而无伏见是为最着【若月与星则有晦伏】立术歩筭道简不繁是为最易【歩月五星之法皆繁于日】恒星东移而分至不易是为经度之有常月五星出入黄道而日行黄道中线是为纬度之有常古之圣人以宾饯永短定治厯之大法万世遵行所谓易简而天下之理得也愚故曰今日之厯愈宻皆圣人之法所该此其一徴矣

　　论黄道

　　问黄道斜交赤道而差至四十七度何以徴之曰此中西之公论要亦以日轨之髙下知之也今以表测日景则夏至之景短以其日近天顶而光从直下也冬至之景长以其日不近天顶而光从横过也夫日近天顶则离地逺而地上之度髙日不近天顶则离地近而地上之度低测筭家以法求之则夏至之日度髙与冬至之日度髙相较四十七度半之则二十三度半为日在赤道南北相距之度也然此相较四十七度者非倐然而髙顿然而下也逐日测之则自冬至而春而夏其景由长渐短日度由低渐髙至夏至乃极自夏至而秋而冬其景由短渐长日度由髙渐低至冬至乃极其进退也有序其舒亟也有恒而又非平差之率故知其另有一圏与赤道相交出其内外也曰日行黄道固无可疑月与五星樊然不齐未尝正由黄道也今曰七曜皆由黄道何也曰黄道者光道也【古□字从炗从日炗字即古光字】日为三光之主故独行黄道而月五星从之虽不得正由黄道而不能逺离故皆出入于黄道左右要不过数度止耳古厯言月入隂阳厯离黄道逺处六度西厯测止五度竒又测五星出入黄道惟金星最逺能至八度其余纬度乃更少于太隂是皆以黄道为宗故也故月离黄道五度竒合计内外之差共只十度竒若其离赤道也则有逺至二十八度半【以黄道距赤道二十三度半加月道五度竒得之】合计内外之差则有相差五十七度竒【以月在赤道内二十八度半在外亦如之并之得此数】金星离黄道八度竒合计内外之差共只十六度竒若其离赤道也则有逺至三十一度竒【以黄赤之距加星距黄道】合计内外之差则有相差六十二度竒【以星距赤道内外各三十一度得之】是月五星之出入黄道最逺者于赤道能为更逺岂非不宗赤道而皆宗黄道哉

　　论经纬度【黄赤】

　　问黄道有极以分经纬然则经纬之度惟黄道有之乎曰天地之间盖无在无经纬耳约畧言之则有有形之经纬有无形之经纬而又各分两条曷言乎无形之经纬凡经纬之与地相应者其位置虽在地而实在无形之天朱子所谓先论太虚一一定位者此也曷言乎有形之经纬凡经纬之在天者虽去人甚逺而有象可徴即黄赤道也是故黄道有经纬赤道亦有经纬两道之经度皆与本道十字相交引而成大圏【经度皆三百六十两度相对者连而成大圏故大圏皆一百八十】其圏相防交必皆防于其极两道之纬圏皆与本道平行而逐度渐小以至于本极而成一此经纬之度两道同法也然而两道之相差二十三度半故其极亦相差二十三度半而两道纬圏之差数如之矣【以黄纬为主则赤纬之斜二十三度半以赤纬为主而观黄纬则其差亦然】若其经度则两道之相同者惟有一圈【惟磨羯巨蟹之初度初分聫而为一圏此圏能过黄赤两极】其余则皆有相差之度而其差又不等【惟一圏能过两极则黄赤两经圏合而为一圏以黄赤两极同居磨羯巨蟹之初也此外则黄道经圏只能过黄极而不过赤极赤道经圏亦只过赤极而不过黄极离磨羯巨蟹初度益逺其势益斜其差益多故逐度不等】此其势如以两重罾冒于圎球则网目交加纵横错午而各循其顶以求之条理井然至而不可乱故曰在天之经纬有形而又分黄赤两条也

　　论经纬度二【地平】

　　问经纬之与地相应者一而已矣何以亦分两条曰黄赤之分两条者有斜有正也地度之分两条者有横有立也今以地平分三百六十经度【三十度为一宫共十二宫再剖之则二十四向】四面八方皆与地平圏为十字而引长之成曲线以辏于天顶皆相遇成一故天顶者地平经度之极也【其经度下逹而辏于地心亦然】又将此曲线各匀分九十纬度【即地平上高度又谓之渐升度】而逐度聮之作横圏与地面平行而渐髙则渐小防于天顶则成一即地平纬圏也【其地平下作纬圏至地心亦然如太阳朦影十八度而尽太隂十二度而见之类皆用此度也】此地平经纬之度为测验所首重其实与太虚之定位相应者也然此特直立之经纬耳【其经纬以天顶地心为两极是直立也其地平即腰围广处而纬圏与地平平行渐小而至天顶亦成直上之形矣】又有横偃之经纬焉其法以卯酉圏匀分三百六十度【亦三十度为一宫此圏上过天顶下过地心而正交地平于卯酉之中即地平经圈之一也其三百六十度亦即经圈上所分纬度但今所用只圈上分度之一防而不更作与地平平行之纬圈】从此度分作十字相交之线引而成大圏【其圏一百八十半在地平之上半在其下其地平上半圏皆具半周天度势皆自正北趋正南穹隆之势与天相际度间所容中阔而两末鋭畧如剖其两鋭在南北其中濶在卯酉】大圏相遇相交皆防于正子午而正切地平即子午规与地平规相交之一【在地平直立经纬原用子午规卯酉规为经圏地平规为围之纬圏今则以卯酉规为围而子午规与地平规则同为经度圈】此一即为经度之极而经度宗焉【立象学安十二宫用此度也】又自卯酉规向南向北逐度各作半圈如虹桥状而皆与卯酉规平行【地平下半圏亦然合之则各成全圏】但离卯酉规渐逺亦即渐小以防于其极【即地平规之正子午一】是其纬圏也【测算家以立晷取倒影定时用此度也】此一种经纬则为横偃之度【其经度以地平之子午为两极而以卯酉规为其围是横偃之势】一直立一横偃其度皆与太虚之定位相应故曰无形之经纬亦分两条也不但此也凡此无形之经纬皆以人所居之地平起算所居相距不过二百五十里即差一度【此以南北之里数言也若东西则有不二百五十里而差一度者矣何也地圎故也】而所当之天顶地平俱变矣地平移则髙天顶易则方向殊跬歩违离辗转异视殆千变而未有所穷故曰天地之间无在无经纬也

　　地平经纬有适与天度合者如人正居两极之下则以一极为天顶一极为地心而地平直立之经纬即赤道之经纬矣若正居赤道之下则平视两极一切地平之子一切地平之午而地平横偃之经纬亦即赤道之经纬矣

　　论经纬相连之用及十二宫

　　问经纬度之交错如此得无益増测算之难乎曰凡事求之详斯用之易惟经纬之详此厯学所以易明也何也凡经纬度之法其数皆相待而成如鳞之相次网之在纲衰序秩然而不相凌越根株合散交互旁通有全则有分有正则有对即显见隠举二知三故可以经度求纬亦可以纬度求经有地平之经纬即可以求黄赤有黄赤之经纬亦可以知地平而且以黄之经求赤之经亦可以黄之纬求赤之经以黄之纬求赤之纬亦可以黄之经求赤之纬用赤求黄亦复皆然宛转相求莫不脗合施于用从衡变化而不失其常求其源浑行无穷而莫得其隙夫是以布之于算而能穷差变笔之于图而能肖星躔制之于噐而不违悬象此其道如棊方罫之间固善奕者之所当尽也曰经纬之度既然以为十二宫则何如曰十二宫者经纬中之一法耳浑圆之体析之则为周天经纬之度周天之度合之成一浑圜而十二分之则十二宫矣然有直十二宫焉有衡十二宫焉有斜十二宫焉又有百游之十二宫焉以天顶为极依地平经度而分者直十二宫也其位自子至卯左旋周十二辰辨方正位于是焉用之以子午之在地平者为极而以地平子午二规为界界各三宫者衡十二宫也其位自东地平为第一宫起右旋至地心又至西地平而厯午规以复于东立象安命于是乎取之赤道十二宫从赤道极而分极出地有髙下而成斜立是斜十二宫也加时之法于是乎取之则其定也西行之度于是乎纪之则其游也黄道十二宫从黄道极而分黄道极绕赤道之极而左旋而黄道之在地上者从之转侧不惟日异而且时移晷刻之间周流迁转正邪升降之度于是乎取之故曰百游十二宫也然亦有定有游定者分至之限游者恒星嵗差之行也知此数种十二宫而俯仰之间缕如掌纹矣然犹经度也未及其纬故曰经纬中之一法也

　　论周天度

　　问古厯三百六十五度四分之一而今定为三百六十何也岂天度亦可增损欤曰天度何可增减盖亦人所命耳有布帛于此以周尺度之则于度有余以汉尺度之则适足尺有长短耳于布帛岂有増损哉曰天无度以日所行为度毎嵗之日既三百六十五日又四之一矣古法据此以纪天度宜为不易奈何改之曰古法以太阳一日所行命之为度然所谓四之一者讫无定率故古今公论以四分厯最为疎阔而厯代斗分诸家互异至授时而有减嵗余增天周之法则日行与天度较然分矣又况有冬盈夏缩之异终嵗之间固未有数日平行者哉故与其为畸零之度而初不能合于日行即不如以天为整度而用为起数之宗固推歩之善法矣【周天者数所从起而先有畸零故析之而为半周天有象限为十二宫为二十四气七十二莫不先有畸零而日行之盈缩不与焉故推歩稍难今以周天为整数而但求盈缩是以整御零为法倍易】且所谓度生于日者经度耳而厯家所难尤在纬度今以三百六十命度则经纬通为一法【若以嵗周命度则经度既有畸零凖之以为纬度畸零之算愈多若为两种度法则将变率相从益多纠葛】故黄赤虽有正斜而度分可以互求七曜之天虽有内外大小而比例可以相较以其为三百六十者同也半之则一百八十四分之则九十而八线之法缘之以生故以制测噐则度数易分以测七曜则度分易得以算三角则理法易明吾取其适于用而已矣可以其出于囘囘泰西而弃之哉【三百六十立算实本囘囘至欧罗巴乃发眀之耳】况七曜之顺逆诸行进退损益全在小轮为推歩之要眇然而小轮之与大轮比例悬殊若镒与铢而黍累不失者以其度皆三百六十也以至太隂之防望转交五星之嵗轮无一不以三百六十为法而地球亦然故以日躔纪度但可施于黄道之经而整度之用该括万殊斜侧纵横周通环应可谓执简御棼法之最善者矣

　　厯算全书巻二

　　钦定四库全书

　　厯算全书巻三

　　宣城梅文鼎撰

　　厯学疑问三

　　论盈缩高卑

　　问日有髙卑加减始于西法欤曰古厯有之且详言之矣但不言卑髙而谓之盈缩耳曰日何以有盈缩曰此古人积而得之者也秦火以还典章废阙汉晋诸家皆以太阳日行一度故一歳一周天自北齐张子信积合加时始觉日行有入气之差而立为损益之率又有赵道严者复凖晷景长短定日行进退更造盈缩以求亏食至隋刘焯立躔度与四序升降为法加详厥后皆相祖述以为歩日躔之凖葢太阳行天三百六十五日惟只两日能合平行【一在春分前三日一在秋分后三日一年之内能合平行者惟此二日】此外日行皆有盈缩而夏至缩之极毎日不及平行二十分之一冬至盈之极又过于平行二十分之一两者相较为十分之一以此为盈缩之宗而过此皆以渐而进退焉此盈缩之法所由立也曰日躔既毎日有盈缩则歳周何以有常度曰日行毎日不齐而积盈积缩之度前后自相除补故歳周得有常度也【细考之古今歳周亦有防差此只论其大较则实有常度】今以授时之法论之冬至日行甚速毎日行一度有竒厯八十八日九十一刻当春分前三日而行天一象限【古法周天四之一为九十一度三十分竒下同】谓之盈初厯此后则毎日不及一度其盈日损厯九十三日七十一刻当夏至之日复行天一象限谓之盈末厯夫盈末之行毎日不及一度而得为盈厯者以其前此之积盈未经除尽总度尚过于平行故仍谓之盈若其毎日细行固悉同缩初此盈末缩初可为一法也试以积数计之盈初日数少而行度多其较为二度四十分盈末日数多而行度少其较亦二度四十分以盈末之所少消盈初之所多则以半歳周之日【共一百八十二日六十二刻竒】行半周天之度【一百八十二度六十二分竒】而无余度矣夏至日行甚迟毎日不及一度厯九十三日七十一刻当秋分后三日而行天一象限谓之缩初厯此后则每日行一度有竒其缩日损厯八十八日九十一刻复当冬至之日而行天一象限谓之缩末厯夫缩末之行每日一度有竒而亦得为缩厯者以其前此之积缩未能补完总度尚后于平行故仍谓之缩若其毎日细行则悉同盈初此缩末盈初可为一法也试以积数计之缩初日数多而行度少其较为二度四十分缩末日数少而行度多其较亦二度四十分以缩末之所多补缩初之所少则亦以半歳周之日行半周天之度而无欠度矣夫盈厯缩厯既皆以前后自相除补而无余欠则分之而以半歳周行半周天者合之即以一歳周行一周天安得以盈缩之故疑歳周之无常度哉

　　再论盈缩高卑

　　问日有盈缩是矣然何以又谓之髙卑曰此则回回泰西之说也其说曰太阳在天终古平行原无盈缩人视之有盈缩耳夫既终古平行视之何以得有盈缩哉葢太阳自居本天而人所测其行度者则为黄道黄道之度外应太虚之定位【即天元黄道与静天相应者也】其度匀剖而以地为心太阳本天度亦匀剖而其天不以地为心于是有两心之差而高卑判矣是故夏至前后之行度未尝迟也以其在本天之高半故去黄道近而离地远远则见其度小【谓太阳本天之度】而人自地上视之迟于平行矣【缩初盈末半周是太阳本天高处故在本天行一度者在黄道不能占一度而过黄道迟】是则行度之所以有缩也冬至前后之行度未尝速也以其在本天之低半故去黄道远而离地近近则见其度大【亦谓本天之匀度】而人自地上视之速于平行矣【盈初缩末半周是太阳本天低处故在本天行一度者在黄道占一度有余而过黄道速】是则行度之所以有盈也且夫行度有盈缩而且日日不同则不可以筹防御而今以圜法解之不同心之理通之在高度不得不迟在卑度不得不速高极而降迟者不得不渐以速卑极而升速者不得不渐以迟迟速之损益循圜周行与算数相防是则盈缩之征于实测者皆一一能得其所以然之故此高卑之説深足为治厯明时之助者矣

　　太阳之平行者在本天太阳之不平行者在黄道平行之在本天者终古自如不平行之在黄道者晷刻易率惟其终古平行知其有本天惟其有本天斯有高卑以生盈缩不平行之率以平行而生者也惟其盈缩多变知其有高卑惟其盈缩生于高卑验其在本天平行平行之理又以不平行而信者也夫不平行之与平行道相反矣而求诸圜率适以相成是葢七曜之所同然而在太阳尤为明白而易见者也【月五星多诸小轮加减故本天不同心之理惟太阳最明】

　　论最高行

　　问以高卑疏盈缩确矣然又有最高之行何耶曰最高非他即盈缩起算之端也盈缩之算既生于本天之高卑则其极缩处即为最高如古法缩厯之起夏至也极盈处即为最卑如古法盈厯之起冬至也【亦谓之最高冲或省曰高冲】然古法起二至者以二至即为盈缩之端也西法则极盈极缩不必定于二至之度而在其前后又各年不同故最高有行率也其説曰上古最高在夏至前今行过夏至后毎年东移四十五秒【今又定为一年行一分一秒十防】何以征之曰凡最高为极缩之限则自最高以后九十度及相近最高以前九十度其距最高度等则其所缩等何也以视度之小于平度者并同也【古法以盈末缩初通为一限亦是此意】高衡为极盈之限则自高冲以后九十度及相近高冲以前九十度其距高冲度等则其所盈亦等何也以视度之大于平度者并同也【古法以缩末盈初通为一限亦是此意】今据实测则自定气春分至夏至一象限【即古盈末限】之日数与自夏至后至定气秋分一象限【即古缩初限】之日数皆多寡不同又自定气秋分至冬至一象限【即古缩末限】之日数与自冬至后至定气春分一象限【即古盈初限】之日数亦多寡不同由是观之则极盈极缩不在二至明矣曰若是则古之实测皆非欤曰是何言也言盈缩者始于张子信而后之厯家又谓其损益之未得其正由今以观则子信时有其时盈缩之限后之厯家又各有其时盈缩之限测验者各据其时之盈缩为主则追论前术觉其未尽矣此岂非最高之有动移乎又古之盈缩皆以二十四气为限至郭太史始加宻算立为毎日毎度之盈缩加分与其积度由今考之则郭太史时最高卑与二至最相近【自厯元戊辰逆溯至元辛巳三百四十八年而最高卑过二至六度以今率毎年最高行一分一秒十防计之其时最高约与夏至同度以西又旧率毎年高行四十五秒计之其时最高已行过夏至一度三十余分其距度亦不为甚逺也】故盈缩起二至初无谬误测算虽宻秪能明其盈缩细分若最高距至之差无縁可得非考验之不精也

　　论高行周天

　　问最高有行能周于天乎抑只在二至前后数十度中东行而复西转乎曰以理徴之亦可有周天之行也曰然则何以不徴诸实测曰无可据也厯法西传曰古西士去今一千八百年以三角形测日轨记最高在申宫五度三十五分今以年计之当在汉文帝七年戊辰【自汉文帝戊辰顺数至厯元戊辰积一千八百算外】此时西厯尚在权舆越三百余年至多禄某而诸法渐备然则所谓古西士之测算或非精率然而西史之所据止此矣又况自此而逆溯于前将益荒远而高行之周天以二万余年为率亦何从而得其起算之端乎是故以实测而知其最高之有移动者只在此千数百年之内其度之东移者亦只在二至前后一宫之间若其周天则但以理断而已曰以理断其周天亦有説欤曰最高之法非特太阳有之而月五星皆然其加减平行之度者亦中西两家所同也故中厯太阳五星皆有盈缩太隂则有迟疾在西法则皆曰高卑视差而已然则月孛者太隂最高之度也而月孛既有周天之度矣太阳之最高何独不然故曰以理徴之最高得有周天之行也

　　论小轮

　　问以最高疏盈缩其义已足何以又立小轮曰小轮即高卑也但言高卑则当为不同心之天以居日月小轮之法则日月本天皆与地同心特其本天之周又有小轮为日月所居是故本天为大轮负小轮之心向东而移日月在小轮之周【即邉也】向西而行大轮移一度日月在小轮上亦行一度大轮满一周小轮亦满一周而盈缩之度与高卑之距皆不谋而合囘囘厯以七政平行为中心行度益谓此也

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷三>

　　凡日月在小轮上半顺动天西行故其右移之度迟于平行为减在小轮下半逆动天而东故其右旋之度速于平行为加【五星同理】若在上下交接之时小轮之度直下不见其行谓之留际留际者不东行不西行无减无加与平行等此小轮上逐度之加减以上下而分者也【用第一图自辛留际过戊最髙至已为上半皆西行自已留过际庚最卑至辛为下半皆东行巳辛两留际循小轮之旁不见其动】

　　若以入表则分四限小轮上半折半取中为最髙小轮下半折半取中则为最卑最卑最髙之防皆对小轮心与地心而成直线七政居此即与平行同度故为起算之端假如七政起最髙在小轮上西行能减东移之度半象限后西行渐缓所减渐少至一象限而及留际不复更西即无所复减然积减之多反在留际何也七政至此其视度距小轮心之西为大也在古法则为缩初【用第一图自戊至巳一象限其减度最大为己甲小轮半径】既过留际而下转而东行本为加度因前有积减仅足相补其视行仍在平行之西至一象限而及最卑积减之数始能补足而复于平行是为缩末【用第一圗自巳留际至庚最卑一象限】

　　又如七政至最卑在小轮下东行能加东移之度半象限后东行渐缓所加渐少至一限象而又及留际不复更东亦无所复加然积加之多亦在留际何也七政至此其视度距小轮心之东为大也在古法则为盈初【第一圗自庚最卑至辛留际一象限加度最大为甲辛小轮半径】过留际而上复转西行即为减度然因前有积加仅足相消其视行仍在平行之东至一象限而复及最髙积加之度始能消尽而复于平行是为盈末【第一图自辛防际至戊最髙一象限】此则表中入算加减从小轮之左右而分者也

　　再论小轮及不同心轮

　　小轮之用有二其一为迟速之行在古厯则为日五星之盈缩月之迟疾西法则总谓之加减即前所疏者是也其一为髙卑之距即回回厯影径诸差是也凡七政之居小轮最髙其去人逺故其体为之见小焉其在最卑去人则近故其体为之加大焉騐之于日月交食尤为着明【别条详之】是故所谓平行者小轮之心而所谓迟速者小轮之边与其心前后之差【即东西】所谓髙卑者小轮之边与其心上下之距也知有小轮而进退加减之行度逺近大小之视差靡所不贯矣

　　然则何以又有不同心之算曰不同心之法生于小轮者也试以第二图明之甲乙丙丁圏七政之本天即小轮心所行之道也以子为心即地心也假如小轮心在甲则七政在戊为小轮最髙小轮心自甲东移一象限至乙七政之在小轮亦从戊西行一象限至巳为留际小轮心东移满半周至丙七政在小轮亦行半周至庚为最卑由是小轮心东移满二百七十度至丁七政亦行小轮二百七十度至留际辛小轮心东移满一周复至甲七政行小轮上亦行满一周复至最髙戊若以小轮上七政所行之戊巳庚辛诸聫之即成大圏此圏不以地心为心而别有其心故曰不同心圈也如图地心在子不同心圈之心在丑丑子两心之差与小轮之半径等故可以小轮立算者亦可以不同心立算而行度之加减与视径之大小亦皆得数相符也

　　论小轮不同心轮孰为本法

　　问二者之算悉符果孰为本法曰晶宇寥廓天载无垠吾不能飞形御气翺歩乎日月之表小轮之在天不知其有焉否耶然而以求朓朒之行则既有其度矣以量髙卑之距则又有其差矣虽谓之有焉可也至不同心之算则小轮实巳该之何也健行之体外实中虚自地以上至于月天大气所空洞无物故各重之天虽有髙卑而髙卑两际只在本天【七政各重之天相去甚逺其间甚厚故可以容小轮而其最髙最卑皆不越本重之内】非别有一不同之心绕地而转也【不同心之天既同动天西运则其心亦将绕地而旋】况七政两心之差各一其率若使其不同之心皆绕地环行亦甚涣而无统矣愚故曰不同心之算生于小轮而小轮实已该之观回回厯但言小轮可知其为本法而地谷于西术最后出其所立诸圗悉仍用小轮为説亦足以徴矣

　　论小轮不同心轮各有所用

　　问小轮与不同心轮既异名而同理择用其一不亦可乎曰论相因之理则不同心之算从小轮而生论测算之用则小轮之径亦从不同心而得故推朒朓之度于小轮特亲【小轮心即平行度也从最髙过轮心作线至地心为平行指线剖小轮为二则小轮右半在平行线西为朒左半在平行线东为朓观图易了】而求最髙之行以不同心立算最切然则其理互通其用相辅并存其説亦足以见圜行之无方而且可为参稽之借矣

　　最髙在天不可以目视不可以噐测惟据朓朒之度以不同心之法测之而得其两心之差是即为小轮之半径于以作圗立算而朓朒之故益复犁然是故不同心者即测小轮之法也

　　论小轮心之行及小轮上七政之行皆非自动

　　问小轮心逆动天而右旋日月五星之在小轮也又逆本天而顺动天以左旋何若是其交错欤意者七政各有能动之性而其动也又恒以逆为顺欤今夫鱼溯川而游顺鳞鬐也鸟逆风而翔便羽毛也夫七政之行亦将若是而已矣曰子以小轮心自为一物而不与本天相连乎曰非也小轮心常在本天之周殆相连耳曰七政居小轮之周岂不若小轮心之在本天乎曰然曰然则小轮心在本天七政在小轮体皆相连其非若鱼之川泳鸟之云飞也审矣然则何为而有动移曰小轮心非能自动也小轮之动本天之动也七政亦非自动也七政之动小轮之动也其故何也盖小轮之心既与本天相连必有定处因本天为动天所转与之偕西而不及其速以生退度故小轮心亦有退度焉厯家纪此退度以为平行【回回厯所谓中心行度】故曰小轮之动本天之动也然则小轮心者小轮之枢也枢连于本天不动故轮能动而七政者又相连于小轮之周者也小轮动则七政动矣故曰七政之动小轮之动也七政虽动不离小轮轮心虽移不离本天又恒为周动而有定法岂若游鳞征鸟之于波澜风霄而莫限所届哉

　　再论小轮上七政之行

　　问本天移故小轮心移小轮动故七政动是则然矣然何以七政在小轮上西行不与轮心同势岂非七政自有行法欤曰七政之居小轮也有一定之向本天挈小轮心东移而七政在小轮上常向最髙殆其精气有以摄之也故轮心东移一度小轮上七政亦西迁一度以向最髙譬之罗金小轮者其盘也小轮心者置针之处也七政所居则针所指之午位也试为大圆周分三百六十度【以法周天】别为大圏加其上使与大圆同心而可运【以法同心轮】乃置罗金于大圏之正午而依针以定盘则针之午即盘之午【此如小轮在最髙而七政居其顶与最髙同处也】于是运大圏东转使罗金离午而东【此如本天挈小轮而东移也】则盘针之指午者必且西移而向丁向未【因正午所定之盘不复更置则此时之丁之未实为针之午此如小轮从本天东移而七政西迁居小轮之旁以向最髙之方】盘东移一度针亦西移一度盘东移一宫针亦西移一宫盘东行半周至大圆子位则针在盘上亦西移半周而反指盘之子【此时盘之子实针之午此如小轮心行至最髙冲而七政居小轮之底在小轮为最卑而所向者最髙之方也】盘东移三百六十度而复至午针亦西移一周而复其故矣是何也针自向午不以盘之东移而改其度自盘上观之见为西移耳七政之常向最髙何以异是【七政在小轮上常向最髙之方观第二图可见】

　　论小轮非一

　　问小轮有防曰小轮以算视行视行非一故小轮亦非一也凢算视行有二法或用不同心轮则惟月五星有小轮而日则否何也以盈缩髙卑即于不同心之轮可得其度故不以小轮加减而小轮之用已蔵其中也或用同心轮负小轮则日有一小轮月五星有两小轮其一是髙卑小轮为日五星之盈缩月之迟疾即不同心之算七政所同也其一是合望小轮在月为倍离【即晦朔望】在五星为嵗轮【即迟防逆伏】皆以距日之逺近而生故太阳独无也若用小均轮则太阳有二小轮其一为平髙卑二为定髙卑而月五星则有三小轮其一二为平髙卑定髙卑与太阳同其三为太隂倍离五星嵗轮与太阳异也凡此皆以齐视行之不齐有不得不然者然小轮之用不同而名亦易相乱【如月离以髙卑轮为自行轮又称本轮又曰古称小轮其定髙卑轮五星称小均轮月离称均轮或称又次轮至于距日而生之轮月离称次轮五星或称次轮或称年嵗轮然亦曰古称小轮】今约以三者别之一曰本轮七政之平髙卑是也一曰均轮七政平髙卑之轮上又有小轮以加减之为定髙卑此两小轮相须为用二而一者也一曰次轮月五星距日有逺近而生异行故曰次轮而五星次轮则直称之嵗轮也

　　论七政两种视行【七政从天月五星又从日】

　　问小轮有三又或为二何也曰小轮旧只用二【一本轮一次轮】新法用三【一本轮一均轮一次轮】然而均轮者所以消息乎本轮为本轮防细之用故曰二而一者也是则轮虽有三实则两事而已何谓两曰七政皆从天以生本轮而月五星又从乎日以生次轮天西行故七政之本轮皆从天而西转其行皆向最髙也【日月五星之在本轮俱向本天最髙其本轮心离最髙一度本轮周亦行一度似为所摄】日天东移故月五星之合望次轮皆从日而东运其行皆向日也【月五星离日若干次轮度亦行若干是为日所摄】惟本轮从天于是有最髙卑之加减而其行度必始于最髙【本轮行始于本天最髙而均轮即始于本轮之最高卑故本轮均轮至最髙卑皆无加减为起算之端】惟次轮从日于是有离日之加减而其行度必始于防日【月次轮行始于朔望星次轮始于合伏故月至朔望五星合日冲日皆无次轮加减】是故七政皆以半周天之宿度行缩厯半周天之宿度行盈厯厯宿度三百六十而本轮一周起最髙终最髙也【因最髙有行分故视周天稍赢然大致不变月之迟疾亦然】次轮则月以厯黄道一周而又过之凡三百八十九度竒而行二周起朔望终朔望也五星嵗轮【即次轮】则土以行黄道十二度竒木以三十三度竒火以四百○八度竒金以五百七十五度竒水以一百十四度竒而皆一周起合伏终合伏也治厯者用三小轮以求七政之视行惟此二者故曰两事也【金水二星防日后皆行黄道宿一周又复过之然后再与日防】

　　论天行迟速之原

　　问天有重数则在外者周径大而其度亦大故土木之行迟在内者周径小而其度亦小故金水月之行速七政之行势畧同特其度有大小而分迟速耳以是为右旋之徴不亦可乎曰此必七政另为一物以行于本天之上故可以度之大小为迟速也今七政既与天同体而非另为一物则七政之东升西没即其本天之东升西没也且使各天之行各自为政则其性岂无缓急而自外至内舒亟之次如是其有等乎盖惟七政之天虽有重数而总为一天制动之权全在动天故近动天者不得不速近地而逺动天者不得不迟固自然之理势也曰若是则周径大小可勿论矣曰在外者为动天所掣而西行速故其东移之差数迟又以其周径大而分度阔则其差又迟是故恒星六七十年而始差一度近动天也然以周径之大小准之此所差之一度以视月天将以周计矣在内者逺于动天而西行迟故其东移之差速又以其周径小而分度狭则其差又速是故月天一日东移十三四度者近地而逺动天也然以周径计之此所差之十三四度以视日天尚不能成一度矣然则周径之大小但可兼论以考其差而非所以迟速之原也左旋之説可以无疑

　　论中分较分

　　问中分较分何也曰较分者是五星在最卑【本轮】时逐度【嵗轮周】次均之增数也凡算次均皆设嵗轮心在本轮最髙而逐度【嵗轮周】定其均数【或视差在轮心东为加西为减以生迟防逆防诸行】列之于表命曰次均再设心在最卑亦逐度定其均数所得必大于最髙法以先所得最髙时逐度之均数【即次均】减之其余为较分若曰此嵗轮上逐度视差在最卑时应多此数也所以者何视差之理逺则见小近则见大嵗轮之在最卑去地为近比在最髙必大故也

　　然则又何以有中分曰较分者次均之较而中分者又较分之较也使歳轮心常在最髙与最卑则只用次均与较分亦已足矣无如自最髙至最卑中间一百八十度嵗轮皆得逓居则次均之较各异【歳轮心行于本轮离最高而下以渐近地则星在嵗轮周逐度所生之次均必皆渐大于在最高时而心离最高时时不等即次均之所増亦必不等而较分悉变】势不能一一为表故以中分括之其法以本轮之度分为主若嵗轮各度在本轮最卑时较分若干今在本轮他度则较分只应若干也故以最卑之较分命其比例为六十分【即中分之全分】而其余自离最卑一度起各有所减减至最髙而无中分则亦无较分只用次均本数矣是故较分于次均恒为加而以中分求较分则于较分恒为减【表所列较分皆轮心在最卑之数各以中分乗之六十除之变为轮心未至最卑之较分视在最卑皆为小数】其比例为嵗轮心在某度之较分与在最卑之较分若中分与六十分也故曰中分者较分之较也

　　再论中分

　　问中分之率既皆以较分为六十分之比例则皆以本轮度距最卑之逺近而得中分之多寡乃五星之中分各有异率何欤曰中分之率生于距地之逺近而五星各有其本天半径之比例则其平行之距地逺近悬殊而两心差亦各不同则又有本轮半径与其本天半径之比例矣至于嵗轮之大小复参错而不齐如土木本天大而嵗轮小金星本天小而嵗轮大而火星在水星之上则火星本天大而嵗轮反大水星本天小而嵗轮反小积此数端而较分之进退纾亟攸分此五星之中分所以各一其率也要其以最卑为较分之大差当中分之六十一而已矣

　　论囘囘厯五星自行度

　　问诸家多以五星自行度为距日度然乎曰自行度生于距日逺近然非距日之度何也星在黄道有顺有逆有疾有迟其距太阳无一平行而自行度终古平行故但可谓之距合伏之行而非距日之度也此在中土旧法则为叚目其法合计前后两合伏日数以为周率周率析之为疾行迟行退行及留而不行诸叚之目疾与迟皆有顺行度数退则有逆行度数其度皆黄道上实度也回厯不然其法则以前合伏至后合伏成一小轮小轮之心行于黄道而星体所行非黄道也乃行于小轮之周耳近合伏前后行轮上半顺轮心东行而见其疾冲日前后行轮下半则逆轮心西行而见其迟留且退其实星在轮周环转自平行也故以轮周匀分三百六十度为实前合伏至后合伏日率为法除之得轮周毎日星行之平度是之谓自行度也若以距太阳言则顺轮心而见疾距日之度必少逆轮心而迟退距日之度必多安所得平行之率哉故曰自行者星距合伏之行而非距日之行也

　　论囘囘厯五星自行度二

　　曰自行度既非距日度又谓其生于距日何也曰星既在轮周行矣而轮之心实行于黄道与太阳同为右旋而有迟速当合伏时星与轮心与太阳皆同一度【星在轮之顶作直线过轮心至太阳直射地心皆在黄道上同度如月之合朔】然不过晷刻之间而巳自是以后太阳离轮心而东轮心亦随太阳而东太阳速轮心迟轮心所到必在太阳之后以迟减速而得轮心每日不及太阳之恒率是则为距日行也【即平行距日】然而轮心随太阳东行星在轮周亦向太阳而东行太阳离轮心相距一度【黄道上度】星在轮周从合伏处【轮顶】东行亦离一度【小轮上度】太阳离轮心一象限【如月上】星在轮周亦离合伏一象限乃至太阳离轮心半周与轮心冲星在轮周亦离合伏半周居轮之底复与轮心同度而冲太阳【自轮顶合伏度作线过轮心至星之体又过地心以至太阳黄道上躔度皆成一直线如月之望】再积其度太阳离轮心之冲度而东轮心亦自太阳之冲度而东然过此以徃太阳反在轮心之后假如轮心不及太阳积至三象限则太阳在轮心后只一象限【因其环行故太阳之行速在前者半周以后太阳反在轮心之后若追轮心未及者然○如月下】星在轮周亦然【自轮底行一象限则离轮顶合伏为三象限而将复及合伏尚差一象限】逮太阳离轮心之度满一全周而轮心与太阳复为同度则星在轮周亦复至合伏之度而自行一周矣【星轮心太阳三者皆复同为一直线以直射地心如月第二合朔】凡此星行轮周之度无一不与轮心距日之度相应【主日而言则为太阳离轮心之度主星而言则为轮心不及太阳之距度其义一也】故曰自行之度生于距日然是轮心距日非星距日也

　　论囘囘厯五星自行度三

　　问轮心距日与星距日何以不同乎曰轮心距日平行星距日不平行惟其不平行是与自行度之平行者判然为二故断其非距日度也惟其平行是与自行度相应故又知其生于距日也

　　然则自行度不得为星距日度独不得为轮心距日度乎曰轮心距日虽与自行相应能生其度然其度不同轮心是随日东行倒算其不及于日之度星在轮周环行是顺数其行过合伏之度不同一也又轮心距日是黄道度七政所同星离合伏自行是小轮周度小于黄道度又各星异率【小轮小于黄道而小轮周亦匀分三百六十度其度必小于黄道度而各星之小轮周径各异度亦从之而异】不同二也若但以自行之初与日同度自行半周毎与日冲而径以距日与自行混而为一岂不毫厘千里哉

　　论新图五星皆以日为心

　　问五星天皆以日为心然乎曰西人旧説以七政天各重相裹厥后测得金星有望之形故新图皆以日为心但上三星轮大而能包地金水轮小不能包地故有经天不经天之殊然以实数考之惟金水抱日为轮确然可信若木火土亦以日为心者乃其次轮上星行距日之迹非真形也

　　凡上三星合伏后必在太阳之西而晨见于是自嵗轮最逺处东行而渐向下及距日之西渐逺至一象限内外星在嵗轮行至下半为迟留之界再下而退行冲日则居嵗轮之底此合伏至冲日在日西半周也冲日以后转在日东而夕见又自轮底行而向上过迟留之界而复与日合矣此冲日至合伏在日东半周也

　　故嵗轮上星行髙下本是在嵗轮上下而自太阳之相距观之即成大圎而为围日之形以日为心矣其理与本轮行度成不同心天者同也

　　但如此则上三星之圎周左旋与金水异

　　夫七政本轮皆行天一周而髙卑之数以毕虽有最髙之行所差无防故可以本轮言者亦可以不同心天言也若嵗轮则不然如土星嵗轮一周其轮心行天不过十二度竒木星则三十三度竒上下旋转止在此经度内不得另有天周之行知为距日之虚迹也

　　又如金星嵗轮一周其轮心平行五百七十余度则大于天周二百余度水星嵗轮一周轮心平行一百一十五度竒则居天度三之一皆不可以天周言

　　惟火星嵗轮之周其平行四百余度与天周差四十度数畧相近故厯指竟云以太阳为心而要之总是借虚率以求真度非实义也

　　厯算全书卷三

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷四

　　宣城梅文鼎撰

　　厯学疑问补上

　　论西厯源流本出中土即周髀之学

　　问自汉太初以来厯法七十余家屡改益精

　　本朝时宪厯集其大成兼采西术而斟酌尽善昭示来兹为万世不刋之典顾经生家或犹有中西同异之见何以徴信而使之勿疑曰厯以稽天有昼夜永短表景中星可攷有日月薄五星留逆伏见凌犯可騐乃实测有慿之事既有合于天即当采用又何择乎中西且吾尝徴诸古籍矣周髀算经汉赵君卿所注也其时未有言西法者【唐开元始有九执厯直至元明始有回回厯】今攷西洋厯所言寒暖五带之说与周髀七衡脗合岂非旧有其法欤且夫北极之下以半年为昼半年为夜赤道之下五谷一嵗再熟必非慿臆凿空而能为此言夫有所受之矣然而习者既希所又略读周髀者亦祗与山海经穆天子传十洲记诸书同类并观聊备竒闻存而不论已耳今有欧逻巴实测之算与之相应然后知所述周公受学商髙其说亦非无本而惜其残缺不详然犹幸存梗槩足为今日之徴信岂非古圣人制作之精神有嘿为呵防者哉

　　论盖天与浑天同异

　　问西术既同周髀是盖天之学也然古厯皆用浑天浑天与盖天原为两家岂得同欤曰盖天即浑天也其云两家者传闻误耳天体浑圆故惟浑天仪为能惟肖然欲详求其测算之事必写记于平面是为盖天故浑天如塑像盖天如绘像总一天也总一周天之度也岂得有二法哉然而浑天之器浑员其度匀分其理易见而造之亦易盖天写浑度于平面则正视与斜望殊观仰测与旁闚异法度有踈宻形有垤坳非深思造微者不能明其理亦不能制其器不能尽其用是则盖天之学原即浑天而微有精麄难易无二法也夫盖天理既精深传者遂尠而或者不察但泥倚盖覆槃之语妄拟盖天之形竟非浑体天有北极无南极倚地斜转出没水中而其周不合荒诞违理宜乎扬雄蔡邕辈之辞而辟之矣盖汉承秦后书器散亡惟洛下闳始为浑天仪而他无攷据然世犹盖天之名说者承讹遂区分之为两而不知其非也载攷容成作盖天首作算数在黄帝时颛顼作浑天在后夫黄帝神灵首出又得良相如容城首皆神圣之人测天之法宜莫不备极精微颛顼盖本其意而制为浑员之器以发明之使天下共知非谓黄帝容成但知盖天不知浑天而作此以厘正之也知盖天与浑天原非两家则知西厯与古厯同出一源矣【元史载仰仪铭以盖天与安防宣夜等并称六天而殊浑于盖犹沿旧说续读姚牧庵集有所改定则已知浑盖之非二法实为先得我心详见鼎所着二仪铭注】

　　论中土厯法得传入西国之由

　　问欧罗巴在数万里外古厯法何以得流通至彼曰太史公言幽厉之时畴人子弟分散或在诸夏或在四裔盖避乱逃咎不惮逺涉殊方固有挟其书器而长征者矣【如鲁论载少师阳撃磬襄入于海鼔方叔入于河播鼗武入于汉故外域亦有律吕音乐之厯官遐遁而厯术逺亦如此尔又如言夏衰不窋失官而自窜于戎翟之间厥后公刘迁邠太王迁岐文王迁丰渐徙内地而孟子犹称文王为西夷之人夫不窋为后稷乃农官也夏之衰而遂失官窜于戎翟然则羲和之苖裔屡经夏商之丧乱而流离播迁当亦有之太史公独举幽厉盖言其甚者耳】然逺国之能言厯术者多在西域则亦有故尧典言乃命羲和钦若昊天厯象日月星辰敬授人时此天子日官在都城者盖其伯也又命其仲叔分宅四方以测二分二至之日景即测里差之法也羲仲宅嵎夷曰旸谷即今登莱海隅之地羲叔宅南交则交趾国也此东南二处皆濵大海故以为限又和叔宅朔方曰幽都今口外朔方地也地极冷冬至于此测日短之景不可更北故即以为限独和仲宅西曰昩谷但言西而不限以地者其地既无大海之阻又自东而西气略同内地无极北严凝之畏当是时唐虞之声教四讫和仲既奉帝命测验可以西则更西逺人慕德景从或有得其一言之指授一事之留传亦即有以开其知觉之路而彼中頴出之人从而拟议之以成其变化固宜有之考史志唐开元中有九执厯元世祖时有札玛鲁丹测器有西域万年厯明洪武初有玛沙伊克玛哈齐译回回厯皆西国人也而东南北诸国无闻焉可以想见其涯略矣

　　论周髀中即有地圆之理

　　问西厯以地心地面为测算根本则地形浑圆可信而周髀不言地圆恐古人犹未知也曰周髀算经虽未明言地圆而其理其算已具其中矣试略举之周髀言北极之下以春分至秋分为昼秋分至春分为夜盖惟地体浑圆故近赤道则昼夜之长短渐平近北极则昼夜长短之差渐大推而至北极之下遂能以半年为昼半年为夜矣若地为平面则南北昼夜皆同安得有长短之差随北极髙下而异乎一也周髀又言日行极北北方日中南方夜半日行极东东方日中西方夜半日行极南南方日中北方夜半日行极西西方日中东方夜半盖惟地体浑圆与天体相似太阳随天左旋绕地环行各以其所到之方正照而为日中正午其对冲之方在地影最深之处而即为夜半子时矣假令地为平面东西一望皆平则日一出地而万国皆晓日一入地而八表同昏安得有时刻先后之差而且有此方日中彼为夜半者乎二也周髀又言北极之下不生万物北极左右夏有不释之氷物有朝耕暮获中衡左右冬有不死之草五谷一嵗再熟盖惟地与天同为浑圆故易地殊观而寒暑迥别北极下地即以北极为天顶而太阳周转近于地平阳光希微不能解冻万物不生矣其左右犹能生物而以春分至秋分为昼故朝耕而暮获也若中衡左右在赤道下以赤道为天顶春分时日在赤道其出正夘入正酉并同赤道正午时日在天顶其热如火即其方之夏春分以后日轨渐离赤道而北至夏至而极其出入并在正夘酉之北二十三度半有竒正午时亦离天顶北二十三度半竒其热稍减而凉气以生为此方之秋冬矣自此以后又渐向赤道行至秋分日复在赤道出入正夘酉而正过天顶一如春分热之甚亦如之则又为其方之夏矣秋分后渐离赤道而南直至冬至又离赤道南二十三度半竒而出入在正夘酉南正午亦离天顶南并二十三度半竒气复得稍凉又为秋冬是故冬有不死之草而五谷一嵗再热也又其方日轨每日左旋之圏度并与赤道平行而终嵗昼夜皆平上条言地近赤道而昼夜之差渐平以此故也赤道既在天顶则北极南极俱在地平可见然但言北极不言南极者中土九州在赤道北圣人治厯祗据所见之北极出地而精其测算即南极可以类推然又言北极下地髙旁陀四隤而下即地圆之大致可见非不知地之圆也即如日月交常在朔望则日食时日月同度为月所掩赤易知之事而春秋小雅但云日有食之古圣人祗举其可见者为言皆如是也

　　论浑盖通宪即古盖天遗法

　　问盖天必自有仪器今西洋厯仍用浑仪浑象何以断其为盖天曰盖天以平写浑其器虽平其度则浑非不用浑天仪之测验也是故用浑仪以测天星畴人子弟多能之而用平仪以稽浑度非精于其理者不能也今为西学者多能制小浑仪小浑象至所浑盖通宪者则能制者尠以此故也夫浑盖平仪置北极于中心其度最宻次昼长规又次赤道规以渐而踈此其事易知又次为昼短规在赤道规外其距赤道度与昼长规等理宜収小而今为平仪所限不得不反展而大其经纬视赤道更濶以踈然以稽天度则七政之躔离可知以攷时刻则方位之加临不爽若是者何哉其立法之意置身南极以望北极故近人目者其度加寛逺人目者其度加窄视法之理宜然而分秒忽微一一与勾股割圜之切线相应非深思造微者必不能知也至于长规以外度必更寛更濶而平仪中不能容不得不割而弃之浅见者或遂疑葢天之形其周不合矣是故浑盖通宪即古盖天之遗制无疑也

　　论浑盖通宪即盖天遗法二

　　问利氏始传浑盖仪而前此如回回厯并未言及何以明其为古盖天之器曰浑盖虽利氏所然非利氏所创吾尝徴之于史矣元史载札玛鲁丹西域仪象有所谓乌蘓都尔喇卜垣者其制以铜如圆镜而可挂面刻十二辰位昼夜时刻此即浑盖之型模也又云上加铜条缀其中可以圆转铜条两端各屈其首为二窍以对望昼则视日影夜则窥星辰以定时刻以占休咎此即浑盖上所用之闚筩指尺也又言皆嵌镜片二面刻其图凡七以辨东西南北日影长短之不同星辰向背之有异故各异其图以尽天地之变此即浑盖上所嵌圆片依北极出地之图而各一其图凖天顶地平以知各方辰刻之不同与夫日出入地昼夜之长短及七政躔离所到之方位及其髙度也其圆片有七而两面刻之则十四矣西洋虽不言占法然有其立象之学随地随时分十二宫与推命星家立命宫之法略同故又曰以占休咎也虽作史者未能深悉厥故而语焉不详今以浑盖徴之而一一脗合故曰浑盖虽利氏所传而非其所创也且利氏此器初不别立佳称而名之曰浑盖通宪固已明示其指矣然则何以不直言盖天曰盖天之学人屏絶之久矣骤举之必骇而不信且夫殊盖于浑乃治浑天者之沿谬而精于盖天者原视为一事未尝区而别之也夫浑天仪必设于观台必如法安置而始可用浑盖则悬而可挂轻便利于行逺为行测之所需所以逺国得存其制而流至今也

　　论浑盖之器与周髀同异

　　问浑盖通宪岂即周髀所用欤曰周髀书残缺不完不可得攷据所言天象盖笠地法覆槃又云笠以写天而其制弗详今以理揆之既地如覆槃即有圆突隆起之形则天如盖笠必为圆坳曲抱之象其制或当为半浑圆而空其中略如仰仪之制则于髙明下覆之形体相似矣乃于其中按经纬度数以写周天星宿皆宛转而曲肖矣是则必以北极为中心赤道为边际其赤道以外渐敛渐窄必别有法以相佐或亦是半浑圆内空之形而仍以赤道为边其赤道以南星宿并取其距赤道逺近求其经纬度数而图之至于南距赤道甚逺不可见星之处亦遂可空之不用于是两器相合即周天可见之星象俱全备而无遗矣以故不知者因其极南无星遂妄谓其周不合而无南极也

　　又或写天之笠竟展而平而以北极为心赤道为边用割圆切线之法以攷其经纬度数则周天之星象可一一写其形容其赤道南之星亦展而平而以赤道为边查星距赤道起数亦用切线度定其经纬则近赤道者距踈离赤道向南者渐宻而一一惟肖其不见之星亦遂可空之是虽不言南极而南极已在其中今西洋所作星图自赤道中分为两即此制也所异者西洋人浮海来賔行赤道以南之海道得见南极左右之星而补成南极星图与古人但图可见之星者不同然其理则一是故西洋分画星图亦即古盖天之遗法也

　　周髀云笠以写天当不出坳平二制至若浑盖之器乃能于赤道外展濶平边以得其经纬遂能依各方之北极出地度而求其天顶所在及地平边际即昼夜长短之极差可见于是地平之经纬与天度之经纬相与错综参伍而如指诸掌非容成首诸圣人不能作也而于周髀之所言一一相应然则即断其为周髀盖天之器亦无不可矣夫法传而久岂无微有损益要皆踵事而增其根本固不殊也利氏名之曰浑盖通宪盖其人强记博闻故有以得其源流而不敢没其实亦足以徴其人之贤矣

　　论简平仪亦盖天法而八线割圆亦古所有

　　问西法有简平仪亦以平测浑之器岂亦与周髀相应欤曰凡测天之器圆者必为浑平者即为盖【唐一行以平图写星象亦谓之盖天所异者只用平度不曽以切线分浑球上之经纬踈宻耳】简平仪以平圆测浑圆是亦盖天中之一器也今攷其法亦可以知一嵗中日道发南敛北之行可以知寒暑进退之节可以知昼夜永短之故可以用太阳髙度测各地北极之出地即可用北极出地求各地逐日太阳之髙度推极其变而置赤道为天顶即知其地方之一年两度寒暑而三百六旬中昼夜皆平若北极为天顶即知其地之能以半年为昼半年为夜而物有朝生暮获凡周髀中所言皆可知之故曰亦盖天中一器也但周髀云笠以写天似与浑盖较为亲切耳夫盖天以平写浑必将以浑圆之度按而平之浑盖之器如剖浑球而空其中乃仰置几案以通明如玻瓈之片平掩其口则圆球内面之经纬度分映浮平面一一可数而变为平矣然其度必中宻而外踈故用切线【此如人在天中则浑天之内面乃正视也故寘北极于中心】简平之器则如浑球嵌于立屏之内仅可见其半球而以玻瓈片悬于屏风前正切其球四面距屏风皆如球半径而无欹侧则球面之经纬度分皆可写记而抑突为平矣然其度必中濶而旁促故用正【此如置身天外以测浑天之外面故以极至交圏为边两极皆安于外周以考其出入地之度乃旁视也】由是言之浑盖与简平异制而并得为盖天遗制审矣而一则用切线一则用正非是则不能成器矣因是而知三角八线之法并皆古人所有而西人能用之非其所创也伏读

　　御制三角形论谓众角辏心以算弧度必古厯所有而流传西土此反失传彼则守之不失且踵事加详至哉

　　圣人之言可以为治厯之金科玉律矣

　　论周髀所之说必在唐虞以前

　　问周髀言周公受学于商髙商髙之学何所受之曰必在唐虞以前何以知之盖周髀所言东方日中西方夜半云云者皆相距六时其相去之地皆一百八十度【地与天应其周度皆三百六十则其相对必一百八十】此东西差之极大者也细攷之则日在极东而东方为日中午时则其地在极南者必见日初出地而为卯时在极北者必见日初入地而

　　为酉时故又云此四方者昼夜易处加四时相及【自南方卯至东方午为四时自东方日中午至北方酉亦四时故每加四时则相及矣若以度计之实相距九十】又细分之则东西相距三十度必早晚差一时【如日在极南为午时其西距三十度之地必见其为已时而其东距三十度之地必见为未时其余地准此推之并同】相距十五度必相差四刻尧分命羲仲寅賔出日和仲寅饯内日者测此东西里差也【寅賔寅饯互文见意非羲仲但朝测和仲但暮测也】又周髀所言北极下半年为昼中衡下五谷一嵗再熟云云者其距纬皆相去九十度乃南北差之极大者也细考之北极髙一度则地面差数百十里【屡代所测微有不同今定为二百五十里】而寒暑宻移昼夜之长短各异和叔羲叔分处南北以测此南北里差也故曰此法之传必在唐虞以前也夫东西差测之稍难若南北之永短因太阳之髙下而变日轨髙下又依北极之髙下而殊经商逺游之辈稍知厯象即能觉之羲和二叔奉帝尧之命考测日景一往极北一往极南相距七八千里之逺其逐地之极星髙下昼夜永短身所经厯乃瞢然不知何以为羲和也哉是知地面之非平而永短以南北而差早晚以东西而异必皆羲和所悉知而敬授人时祗据内地幅员立为常法其推测歩算必有专书而亡于秦焰周髀其千百中之十一耳又何疑焉

　　论地实圆体而有背面

　　问地体浑圆既无可疑然岂无背面曰中土圣人所产即其面也何以言之五伦之教天所叙也自黄帝尧舜以来世有升降而司徒之五教人人与知若西方之佛教及天教虽其所言心性之理极其精微救度之愿极其广大而于君臣父子之大伦反轻此一徴也语言惟中土为顺若佛经语皆倒如云到彼岸则必云彼岸到之类欧逻巴虽与五印度等国不同语言而其字之倒用亦同日本国卖酒招牌必云酒卖彼人亦读中土书则皆于句中用笔挑剔作记而倒读之北边塞外及南徼诸国大略皆倒用其字此又一徴也往闻西士之言谓行数万里来賔所厯之国多矣其土地幅员亦有大于中土者若其衣冠文物则未有过焉此又一徴也是知地体浑圆而中土为其面故笃生神圣帝王以继天建极垂世立教亦如人身之有面为一身之精神所聚五藏之精并开窍于五官此亦自然之理也

　　论盖天之学流西土不止欧逻巴

　　问佛经亦有四大州之说与周髀同乎曰佛书言须弥山为天地之中日月星辰绕之环转西牛贺州南瞻部州东胜神州北具卢州居其四面此则亦以日所到之方为正中而日环行不入地下与周髀所言略同然佛经所言则其下为华藏海而世界生其中须弥之顶为诸天而通明故夜能见星此则不知有南北二极而谓地起海中上连天顶始如圆墖圆柱之形其说难通而彼且谓天外有天令人莫可穷诘故婆罗门等【婆罗门即回回】皆为所笼络事之唯谨【唐书载回纥诸国多事佛回纥即回回也】然回回国人能从事厯法渐以知其说之不足慿故遂自立门庭别立清真之教西洋人初亦同回回事佛【唐有波斯国人在此立大秦寺今所景教碑者其人皆自署曰僧】回回既与佛教分而西洋人精于算复从回厯加精故又别立耶苏之教以别于回回【观今天教中七日一斋等事并略同回教其厯法中小轮心等算法亦出于回厯】要皆盖天周髀之学流传西土而得之有全有缺治之者有精有粗然其根则一也

　　论逺国所用正朔不同之故

　　问回厯及西洋厯既皆本于盖天何以二教所颁斋日其每年正朔如是不同曰天方国以十二个月为年【即回回国】欧逻巴以太阳过宫为年月依嵗差而变此皆自信其厯法之善有以接古盖天之道又见秦人蔑弃古三正而以己意立十月为嵗首【今西南诸国犹有用秦朔者】故遂亦别立法程以新人耳目夸示四隣【今海外诸国多有以十二个月为年遵回厯也】盖回国以厯法测验疑佛说之非故谓天有主宰无影无形不宜以降生之人为主其说近正【所异于古圣人者其所立拜念之规耳】厥后欧逻巴又于回厯研精故又自立教典奉耶苏为天主以别于回回然所称一体三身降生诸灵怪反又近于佛教而大声辟佛动则云中国人错了夫中土人伦之教本于帝王虽间有事佛者不过千百中之一二又何错之云

　　今但攷其厯法则回回泰西大同小异而皆本于盖天然惟利氏初入欲人之从其说故多方阐明其立法之意而于浑盖通宪直露浑盖之名为今日所徴信盖彼中之英贤也厥后厯书全部又得徐文定及此地诸文人为之广其畨译为厯家所取资实有功于厯学其他可以勿论若回回厯虽亦有所持之圆地球及平面似浑盖之器而若露若藏不宣其义洪武时吴伯宗李翀奉诏翻译亦但纪其数不详厥防至数之后虽其本科亦莫稽测算之根所云乌蘓都尔喇卜垣之器竟无言及之者盖失已久殊可惜耳

　　尤可深惜者回回泰西之厯既皆本于盖天而其所用正朔乃各自翻新出竒欲以自异其实皆非夫古者帝王钦若昊天顺春夏秋冬之序以敬授人时出于自然何其正大何其易简万世所不能易也顾乃恃其巧算私立正朔以变乱之亦见其惑矣徐文定公之译厯书也云镕西洋之巧算入大统之型模非独以尊大统也揆之事理固有不得不然者尔

　　测算以求天验不难兼西术之长以资推歩颁朔以授人时自当遵古圣之规以经久逺虚心以折其衷博考以求其当有志厯学者尚其念诸【余详后论】

　　厯算全书卷四

　　钦定四库全书

　　厯算全书巻五

　　宣城梅文鼎撰

　　厯学疑问补下

　　论太阳过宫

　　问旧厯太阳过宫与中气不同今何以复合为一曰新厯之测算精矣然其中不无可商当俟后来详定者则此其一端也何则天上有十二宫宫各三十度每嵗太阳以一中气一节气共行三十度【如冬至小寒共行三十度大寒立春又共行三十度其余并同】满二十四气则十二宫行一周故厯家恒言太阳一嵗周天也然而实考其度则一嵗日躔所行必稍有不足虽其所欠甚微【约其差不过百分度之一有半】积至年深遂差多度【六七十年差一度六七百年即差十度】是为嵗差厯家所以有天周嵗周之名【天上星辰匀分十二宫共三百六十度是为天周每嵗太阳十二中气共行三百六十度防弱是为嵗周】汉人未知嵗差误合为一故即以冬至日交星纪而定之于牵牛逮晋虞喜等始觉之五代宋何承天祖冲之隋刘焯等言之益详顾治厯者株守成説不敢辄用嵗差也至唐初傅仁均造戊寅元厯始用嵗差而朝论多不以为然【亦如今人之不信西法人情狃于习见大扺皆然】故李淳风麟德厯复去嵗差不用直至宗开元某年僧一行作大衍厯乃始博徴广证以大畅厥防于是分天自为天【即周天十二次宫度其度终古不变】嵗自为嵗【即周嵗十二中气日躔所行天度其度嵗嵗微移】厯代遵用【所定嵗差年数微有不同而大致无异】元世祖时用授时厯郭守敬测定六十六年有八月而差一度回回泰西差法略同【今定为七十年差一度数亦非逺】故冬至日一嵗日躔之度已周尚不能复于星纪之元度必再行若干日时而至星纪【十二中气皆同一理】所以太阳过宫与中气必不同日其法原无错误其理亦甚易知徐李诸公深于厯术岂反不明斯事乃复合为一真不可解推原厥故盖译厯书时误仍回回厯太阳年之十二月名耳

　　问回回厯亦知嵗差何以误用宫名为月名曰回回厯既以十二个月为太隂年而用之纪嵗不用闰月然如是则四时之寒燠温凉错乱无纪因别立太阳年以周嵗日躔匀分三百六十度又匀分为十二月以为耕敛之节而起算春分是亦事势之不得不然【尧典寅賔出日始于仲春即此一事亦足徴西厯之本于羲和】但彼以春分为太阳年之第一月第一日遂不得复用古人分至启闭之法及春夏秋冬正名【古者以立春立夏立秋立冬春分秋分冬至夏至为八节其四立并在四孟月之首以为四时之节谓之启闭二分二至并在四仲月之中居春夏秋冬各九十一日之半皆自然之序不可移易今回厯之太阳年既以春分为嵗首则是以仲春之后半月为正旦而割其前半个月以益孟春共四十五日竒遂一并移之于嵗终而孟春之前半改为十一月之后半孟春之后半合仲春之前半共三十日改为十二月即春夏秋冬之四时及分至启闭之八节孟仲季之月名无一与之相应名不正则言不顺遂不复可得而用矣】故遂借白羊等十二宫以名其太阳年之月彼非不知天度有嵗差白羊不能板定于春分然以其时春分正在白羊姑借此名之以纪月数【即此而知回厯初起时其年代去今非逺】欧逻巴厯法因回厯而加精大致并同回厯故遂亦因之耳徐文定公译厯书谓镕西洋之精算入大统之型模则此处宜为改定使天自为天嵗自为嵗则嵗差之理明而天上星辰宫度各正其位矣【如昼夜平即为二分昼极长即为夏至不必问其日躔是何宫度是之谓嵗自为嵗也必太阳行至降娄始命为日躔降娄之次大阳行至鹑首始命为日躔鹑首之次不必问其为春分后几日夏至后几日是之谓天自为天也】顾乃因仍回厯之宫名而以中气日即为交宫之日则嵗周与天周复混而为一于是嵗差之理不明【如星纪之次常有定度而冬至之日度渐移是生嵗差若冬至日即躔星纪嵗嵗相同安得复有嵗差】而天上十二次宫度名实俱乱【天上十二宫各有定星定度若随节气移动则名实俱左后篇详之】是故厯法至今日推步之法已极详明而不无有待商酌以求尽善者此其一端也问者曰厯所难者推步耳若此等处改之易易【但于各中气后查太阳实躔某宫之度即过宫真日】但厯书中所作诸表多用白羊金牛等宫名以为别识今欲通身改换岂不甚难曰否否厯书诸表虽以白羊金牛等为题而其中之进退消长并从节气起算今但将宫名改为节气即诸表可用不必改造有何难哉【如厯从白羊起者即改白羊初度为春分初度表从磨羯起者即改磨羯初度为冬至初度厯书诸表依旧可用但正其名不改其数更无烦于推算】

　　论周天十二宫并以星象得名不可移动

　　问天上十二宫亦人所名今随中气而移亦何不可之有曰十二宫名虽人所为然其来久矣今攷宫名皆依天上星宿而定非漫说者如南方七宿为朱鸟之象【史记天官书栁为鸟注注即咮咮者朱鸟之喙也七星颈为员官颈朱鸟颈也员官咙防也张为素素即嗉鸟受食之处也翼为羽翮朱鸟之翼】故名其宫曰鹑首鹑火鹑尾【鹑即朱鸟乃凤也】东方七宿为苍龙【天官书东宫苍龙房心心为明堂今按角二星象角故一名龙角氐房心象龙身心即其当心之处故心为明堂尾宿即龙之尾】故其宫曰夀星【封禅书武帝诏天下尊祀灵星正义灵星即龙星也张晏曰龙星左角曰天田则农祥也见而祀之】曰大火【心为大火】曰析木【一名析木之津以尾箕近天河也】北方七宿为武【天官书北宫武】其宫曰星纪【古以斗牛为列宿之首故星自此纪也】曰枵【枵者虚也即虚危也又象龟蛇为武也】曰娵訾【一名娵訾之口以室壁二宿各二星两两相对而形正方故象口也】西方七宿为白虎【天官书奎曰封豕参为白虎三星直者是为衡其外四星左右肩股也小三星隅置曰觜觽为虎首】其宫曰降娄【以娄宿得名也】曰大梁曰实沈由是以观十二宫名皆依星象而取非漫设也尧典日中星鸟以其时春分昏刻朱鸟七宿正在南方午地也日永星火以其时夏至初昏大火宫在正午也【火即心宿】宵中星虚以其时秋分昏中者枵宫也即虚危也日短星昴以其时冬至昏中者昴宿也即大梁宫也厯家以嵗差攷之尧甲辰至今已四千余嵗嵗差之度已及二宫【以西率七十年差一度约之凡差六十余度】然而天上二十八舎之星宿未尝变动故其十二宫亦终古不变也若夫二十四节气太阳躔度尽依嵗差之度而移则嵗嵗不同七十年即差一度【亦据今西术推之】安得以十二中气即过宫乎试以近事徴之元世祖至元十七年辛巳冬至度在箕十度至今康熙五十八年己亥冬至在箕三度其差盖已将七度而即以箕三度交星纪宫则是至元辛巳之冬至宿【箕十度】已改为星纪宫之七度再一二百年则今己亥之冬至宿【箕三度】为星纪宫之初度者又即为星纪宫之第三度而尾宿且浸入星纪矣积而久之必将析木之宫【尾箕】尽变为星纪大火之宫【氏房心】尽变为析木而十二宫之星宿皆差一宫【凖上论之角亢必为大火翼轸必为夀星柳星张必为鹑尾井鬼必为鹑火而觜参为鹑首胃昴毕为实沈奎娄为大梁而娵訾为降娄虚危为娵訾斗牛为枵二十八宿皆差一宫】即十二宫之名与其宿一一相左又安用此名乎再积而久之至数千年后东宫苍龙七宿悉变武【嵗差至九十度时角亢氐尾心房箕必尽变为星纪枵娵訾并仿此】南宫朱鸟七宿反为苍龙西宫白虎七宿反为朱鸟北宫武七宿反为白虎国家颁厯授时以钦若昊天而使天上宿度宫名颠倒错乱如此其可以不亟为厘定乎

　　又试以西术之十二宫言之夫西洋分黄道上星为十二象虽与羲和之旧不同然亦皆依星象而名非漫设者如彼以积尸气为巨蠏第一星盖因鬼宿四星而中央白气有似蠏筐也所云天蝎者则以尾宿九星卷而曲其末二星相并如蝎尾之有岐也所云人马者谓其所图星象类人骑马上之形也其余如宝瓶如双鱼如白羊如金牛如隂阳如狮子如双女如天秤以彼之星图观之皆依稀彷佛有相似之象故因象立名今若因节气而每嵗移其宫度积而久之宫名与星象相离俱非其旧而名实尽淆矣

　　又按西法言嵗差谓是黄道东行未尝不是如今日鬼宿已全入大暑日躔之东在中法嵗差则是大暑日躔退回鬼宿之西也在西法则是鬼宿随黄道东行而行过大暑日躔之东其理原非有二尾宿之行入小雪日躔东亦然夫既鬼宿已行过大暑东而犹以大暑日交鹑火之次则不得复为巨蠏之星而变为师子矣尾宿已行过小雪后而犹以小雪日交析木之次则尾宿不得为天蝎而变为人马宫星矣即询之西来知厯之人有不哑然失笑者乎

　　论西法恒星嵗即西月日亦即其斋日并以太阳过宫为用而不与中气同日

　　问西法以太阳防恒星为嵗谓之恒星年恒星既随黄道东行则其恒星年所分宫度亦必不能常与中气同日厯书何以不用曰恒星年即其所颁斋日也其法以日躔斗四度为正月朔故曰以太阳防恒星为嵗也其斗四度盖即其所定磨羯宫之初度也【在今时冬至后十二日】自此日躔行满三十度即为第二月交宝瓶宫【余月并同皆以日躔行满三十度交一宫即又为一月而不论节气】然其十二月之日数各各不同者以黄道上有最髙卑差而日躔之行度有加减也【如磨羯宫日躔最卑行速故二十八日而行一宫即成一月若巨蠏宫日躔最髙行迟故三十一日而行一宫始成一月其余宫度各以其或近最卑或近最髙迟速之行不同故日数皆不拘三十日并以日躔交宫为月不论节气】是则其所用各月之第一日即太阳交宫之日原不与中气同日而且嵗嵗微差至六七十年恒星东行一度即其各宫并东行一度而各月之初日在各中气后若干日者又増一日矣【如今以冬至后十二日为嵗首至嵗差一度时必在冬至后十三日余尽然】此即授时厯中气后几日交宫之法乃嵗差之理本自分晓而厯书中不甚发挥斯事者亦有故焉一则以月之为言本从太隂得名故必晦朔望周而后谓之月今反以太阳所躔之宫度为月而置朔望不用是名为月而实非月大骇听闻一也又其第一月既非夏正孟春亦非周正仲冬又不用冬至日起算非厯学履端于始之义事体难行二也又其所用斋日即彼国所颁行之正朔欧逻巴人私奉本国之正朔宜也中土之从其教者亦皆私奉欧逻之正朔谓国典何故遂隠而不宣三也【初造厯书事事阐发以冀人之信从惟此斋日但每嵗单伊教不笔于书】然厯书所引彼中之旧测每称西月日者皆恒星年也其法并同斋日皆依恒星东行以日躔交磨羯宫为嵗旦而非与冬至中气同日也此尤为太阳过宫非中气之一大证据矣

　　或曰厯书所引旧测多在千余年以前然则西月日之兴所从来久矣曰殆非也唐始有九执厯元始有回回厯欧逻巴又从回厯加精必在回厯之后彼见回回厯之太隂年太阳年能变古法以矜竒创故复变此西月日立恒星年以胜之若其所引旧测盖皆以新法追改其月日耳

　　论恒气定气

　　问旧法节气之日数皆平分今则有长短何也曰节气日数平分者古法谓之恒气【以嵗周三百六十五日二十四刻竒平分为二十四气各得一十五日二十一刻八十四分竒】其日数有多寡者谓之定气【冬至前后有十四日竒为一气夏至前后有十六日为一气其余节气各各不同并以日行盈厯而其日数减行缩厯而其数増】二者之算古厯皆有之然各有所用唐一行大衍厯议曰以恒气注厯以定气算日月交食是则旧法原知有定气但不以之注厯耳译西法者未加详考辄谓旧法春秋二分并差两日则厚诬古人矣夫授时厯所注二分日各距二至九十一日竒乃恒气也【厯经厯草皆明言恒气】其所注昼夜各五十刻者必在春分前两日竒及秋分后两日竒则定气也定气二分与恒气二分原相差两日授时既遵大衍厯议以恒气二分注厯不得复用定气故但于昼夜平分之日纪其刻数则定气可以互见非不知也且授时果不知有定气平分之日又何以能知其日之为昼夜平分乎夫不知定气是不知太阳之有盈缩也又何以能算交食何以能算定朔乎【经朔犹恒气定朔犹定气望与上下亦然】夫西法以最髙卑防盈缩其理原精初不必为此过当之言良由译书者并从西法入手遂无暇参稽古厯之原流而其时亦未有能真知授时立法之意者为之援据古义以相与虚公论定故遂有此等偏说以来后人之疑议不可不知也

　　其所以为此说者无非欲以定气注厯使春秋二分各居昼夜平分之日以见授时古法之差两日以自显其长殊不知授时是用恒气原未尝不知定气不得为差而西法之长于授时者亦不在此以定气注厯不足为竒而徒失古人置闰之法欲以自暴其长反见短矣故此处宜酌改也后条详之

　　再论恒气定气

　　问授时既知有定气何为不以注厯曰古者注厯只用恒气为置闰地也春秋传曰先王之正时也履端于始举正于中归邪于终【邪与余同谓余分也】履端于始序则不愆举正于中民则不惑归邪于终事则不悖盖谓推步者必以十一月朔日冬至为起算之端故曰履端于始而序不愆也又十二月之中气必在其月如月内有冬至斯为仲冬十一月月内有雨水斯为孟春正月月内有春分斯为仲春二月余月并同皆以本月之中气正在本月三十日之中而后可名之为此月故曰举正于中民则不惑也若一月之内只有一节气而无中气则不能名之为何月斯则余分之所积而为闰月矣闰即余也前此余分累积归于此月而成闰月有此闰月以为余分之所归则不致春之月入于夏且不致今冬之月入于明春故曰归邪于终事则不悖也然惟以恒气注厯则置闰之理易明何则恒气之日数皆平分故其每月之内各有一节气一中气【假如冬至在十一月朔则必有小寒在其月望后若冬至在十一月晦则必冇大雪节气在其月望前余月并然】此两气策之日合之共三十日四十三刻竒以较每月常数三十日多四十三刻竒谓之气盈又太隂自合朔至第二合朔实止二十九日五十三刻竒以较每月三十日又少四十六刻竒谓之朔虚合气盈朔虚计之共余九十刻竒谓之月闰乃每月朔策与两气策相较之差也【假如十一月经朔与冬至同时刻则大寒中气必在十二月经朔后九十刻而雨水中气必在次年正月经朔后一日又八十刻竒其余月并准此求之】积此月闰至三十三个月间【即二年零九个月】其余分必满月策而生闰月矣闰月之法其前月中气必在其晦后月中气必在其朔则闰月只有一节气而无中气然后名之为闰月【假如闰十一月则冬至必在十一月之晦大寒必在十二月之朔而闰月只有小寒节气更无中气则不可谓之为十一月亦不可谓之为十二月即不得不名之为闰月矣】斯乃自然而然天造地设无可疑惑者也一年十二个月俱有两节气惟此一个月只一节气望而知其为闰月今以定气注厯则节气之日数多寡不齐故遂有一月内三节气之时又或有原非闰月而一月内反只有一中气之时其所置闰月虽亦以余分所积而置闰之理不明民乃惑矣然非西法之咎乃译书者之踈略耳何则西法原只有闰日而无闰月其仍用闰月者遵旧法也亦徐文定公所谓镕西洋之巧算入大统之型模也按尧典云以闰月定四时成嵗乃帝尧所以命羲和万世不刋之典也今既遵尧典而用闰月即当遵用其置闰之法而乃不用恒气用定气以滋人惑亦昧于先王正时之理矣是故测算虽精而有当酌改者此亦一端也

　　今但依古法以恒气注厯亦仍用西法最髙卑之差以分昼夜长短进退之序而分注于定气日之下即置闰之理昭然众着而定气之用亦并存而不废矣

　　又按恒气在西法为太阳本天之平行定气在西法为黄道上视行平行度与视行度之积差有二度半弱西法与古法略同所异者最髙冲有行分耳古法恒气注厯即是用太阳本天平行度数分节气

　　论七政之行并有周有转有交

　　问月五星之行并有周天有盈缩迟疾有出入黄道之交防共三事也太阳亦然乎曰并同也太阳终古行黄道则无出入黄道之交然而黄道出入于赤道亦可名交是故春秋二分即其交亦如月离之有正交中交也因此而日躔有南陆北陆之行古者谓之发敛【行南陆为发行北陆为敛并以其离北极之逺近言之】于是而四时之寒燠以分昼夜刻之永短有序皆交道之所生以成嵗周是故嵗周者即太阳之交道也与月离之交终同也然以嵗差之故【西法谓之黄道东行】故每嵗三百六十五日二十四刻竒【此以授时古率言之】已满嵗周矣又必加一刻有半【亦依古率约之】始能复躔冬至元度【假如本年冬至日躔箕宿三度八十分次年冬至必在箕宿三度七十分竒是嵗序已周而元度未复故必于三百六十五日二十四刻竒之外复加一刻有半始能复躔于箕三度八十分】是为太阳之周天与月行之周天同也月行周天与交终原非一事是故太阳之周天与嵗周原为两事也然太阳之行有半年盈厯半年缩厯即恒气定气之所由分【古法起二至西法起最髙冲尤为亲切】亦如月离之转终是又为一事合之前两者【嵗周与周天】共为三事乃七政之所同也

　　按月离交终以二十七日二十一刻竒而隂厯阳厯之度一周在月周天前以较周天度为有欠度也转终以二十七日五十五刻竒而迟厯疾厯之度一周在月周天后以较周天度为有余度也月周天之日数在二者之间亦二十七日又若干刻而周虽同大余不同小余当其起算之初所差不过数度【如交终与转终相差三十四刻竒即其差度为四五度】积至一年即差多度【太隂每年行天十三周半即相差六十余度】故其差易见日躔嵗周以二十四节气一周为限因有恒星东行之嵗差故其度在周天前以较周天度为有欠分也【约为七十分度之一】日躔盈缩以盈初缩末缩初盈末一周为限因最髙有行分故其度在周天后以较周天度为有余分也【亦约为七十分度之一】以一嵗言之三者并同大余即小余亦不甚逺【嵗周三百六十五日二十四刻竒増一刻半即周天又増一刻半即盈缩厯周但差刻不差时】积其差至七十年即各差一度【嵗周不及周天七十年差一度即恒星东行之嵗差而盈缩厯至七十年又过于周天一度即最髙之行于是嵗周与盈缩厯周共相差二度并至七十年而后知之也】故其差难见【七十年只差一度故难见也】然虽难见其理则同【以周天之度为主则嵗周之差度退行亦如太隂交终差度之毎交逆退也而盈缩入厯之差度于周天为顺行亦如太隂之转终差度毎转顺行也而周天度则常不动】但以太隂之交转周比例之则判然三事不相凌杂矣

　　问厯法中所设交差转差即此事乎曰亦微有不同盖交差转差是以交终转终与朔策相较【或言其日或言其度并同】兹所论者是以交终转终与周天相较故其数不同也其数不同而厯法中未言者何也縁厯家所言在交食故于定朔言之綦详而月之周天反略惟陈星川【壤】袁了凡【黄】所撰厯法新书明立太隂周天日数谓之月周与交终转终并列为三实有禆于厯学而人或未知故特着之

　　又徴之五星亦皆有周天有厯周【即盈缩如月之入转】有正交中交是故此三事者日月五星之所同也知斯三者于厯学思过半矣【外此则月有朔望五星有叚目并以距日之逺近而生故大阳所与月五星同者惟此三事】

　　论月建非专言斗柄

　　问行夏之时谓以斗柄初昏建寅之月为嵗首议者以冬至既有嵗差则斗柄亦从之改度今时正月不当仍为建寅其说然乎曰不然也孟春正月自是建寅非闗斗柄其以初昏斗柄建寅者注释家未深攷也何则自大挠作甲子以十日为天干【自甲至癸】十二子为地支【自子至亥】天道圆故以甲乙居东丙丁居南庚辛居西壬癸居北戊巳居中参同契所谓青赤白黒各居一方皆禀中央戊巳之功也十干以配五行圆转周流故曰天干也地道方故以寅夘辰列东巳午未列南申酉戍列西亥子丑列北易大传所谓帝出乎震齐乎防相见乎离致役乎坤说言乎兊战乎干劳乎坎成言乎艮自东而南而西而北其道左旋周而复始也是十二支以配四时十二月静而有常故曰地支也天干与地支相加成六十甲子以纪嵗纪日纪时而皆凖于月以嵗有十二月也此乃自然而然之序不可増减不可动移是故孟春自是寅月何尝以斗柄指寅而后谓之寅月哉如必以斗柄指寅而谓之寅月则亦有寅年寅月寅时岂亦以斗柄指寅而后得以谓之寅乎是故尧典命羲仲宅嵎夷平秩东作以殷仲春次命羲叔宅南交平秩南讹以正仲夏次命和仲宅西平秩西成以殷仲秋次命和叔宅朔方平在朔易以正仲冬此四时分配四方而以春为嵗首之证也夫既有四仲月以居夘午酉子之四正则自各有孟月季月以居四隅仲春既正东为夘月其孟春必在东之北而为寅月何必待斗柄指寅乎故日中星鸟日永星火宵中星虚日短星昴并祗以昼夜刻之永短为慿以昏中之星为断未尝一言及于斗柄也又攷孔子去尧时已及千五百嵗嵗差之度已二十余度若尧时斗柄指寅孔子时必在寅前二十度而指丑矣岂待今日而后知乎然孔子但言行夏之时盖以孟春为嵗首于时为正非以斗柄指寅而谓之寅月也又攷嵗差之法古虽未言然而月令昏中之星已不同于尧典则实测当时之星度也然尧典祗举昏中星而月令兼言旦中又举其日躔所在又于尧典四仲月之外兼举十二月而备言之可谓详矣然未尝一语言斗杓指寅为孟春

　　又攷史记律书以十律配十二月之所建地支而疏其义兼八风二十八舎以为之说而并不言斗建惟天官书略言之其言曰杓擕龙角衡殷南斗魁枕参首用昏建者杓夜半建者衡平旦建者魁是则衡亦可言建魁亦可言建而非仅斗杓夜半亦有建平旦亦有建而非止初昏其言甚圆以是而知正月之为寅二月之为卯皆一定不可移而斗之星直之即谓建固非以初昏斗柄所指而命之为何月也然则谓行夏之时是以斗柄建寅之月为嵗首者盖注释家所据一家之说而未详厥故也今乃遂据其说而欲改正月之建寅可乎不可乎

　　再论斗建

　　问说者又以各月斗柄皆指其辰惟闰月则斗柄指两辰之间由今以观其说亦非欤曰非也周天之度以十二分之各得三十度竒【在西法为三十度】凡各月中气皆在其三十度之中半各月节气皆居其三十度之首尾今依其说斗柄所指各在其月之辰则交节气日斗柄所指必在两辰之间矣【假如立春为正月节则立春前一日斗柄所指在丑立春后一日斗柄指寅而立春本日斗柄所指必在丑与寅之间余月皆然】十二节气日皆指两辰之间又何以别其为闰月乎若夫闰月则只有节气无中气其节气之日固指两辰之间矣然惟此一日而已其前半月后半月并非两辰之间也【假如闰正月则雨水中气在正月晦春分中气在二月朔而闰月只有惊蛰节在月望则其前半月必指寅后半月必指卯惟惊蛰日指寅与卯之交界缝中可谓之两辰间闰在余月亦然】地盘周围分为十二辰首尾鳞次如环无端又何处设此三十度于两辰间以为闰月三十日之所指乎凡若此等习说并由未经实测而但知斗杓所指为月建遂岐中生岐成此似是而非之解天下事每壊于一知半解之人往往然也

　　又按斗柄之星距北极只二十余度必以北极为天顶而后可以定其所指之方今中土所处在斗杓之南仰而观之斗杓与辰极并在天顶之北其斗杓所指之方位原难清楚故古人祗言中星不言斗杓盖以此也【如淮南子等书言招揺东指而天下皆春不过大槩言之原非以此定月】

　　又按言营室之中土功其始火之初见期于司里又言水昏正而栽日至而毕诗亦言定之方中作于楚宫又言七月流火九月授衣古之人以星象授人时如此者不一而足也若以嵗差攷之则于今日并相差一二旬矣然而当其时各据其时之星象为之着令所以使民易知也而终未有言斗杓指何方而作何事者则以其方位之难定也十二月建之非闗斗柄明矣是故斗柄虽因嵗差而所指不同正月之建寅不可易也

　　论古颁朔

　　问论语子贡欲去告朔之饩羊孔子不然其说曰我爱其礼不知周制颁厯其式如何曰颁朔大典也盖王政在其中矣古者天子常以冬月颁来嵗十二月之朔于诸侯诸侯受而藏诸祖庙月朔则以特羊告庙请而行之如是其隆重者何也盖既曰请而行之则每月内各有当行之政令颁于天子而诸侯奉行惟谨焉故告朔之后即有视朔听朔之礼所以申命百官有司以及黎庶相与恪遵以奉一王之大法此之谓奉正朔也是故大之有朝觐防同之期有隣国聘问之节有天子巡狩朝于方岳之时【此等大礼皆以年计而必冇定期如虞书东巡狩必于仲春南巡狩必于仲夏之类】其于宗庙也有禴祠烝尝四时之祭有畊籍田夫人亲蚕以预备粢盛衣服之需其于羣神也有山川社稷祈谷报嵗八蜡五祀之典其于黉序也有上丁释菜冬夏诗书春秋羽籥之制其于农事也有田畯劝农播种収获沟洫隄防筑场纳稼之务有饮射读法遒人徇铎之事其于军政也有搜苖狝狩振旅治兵之政其于土功也有公旬三日之限其于刑罚也有宥过释滞折狱致刑之月又如藏氷用氷出火内火仲夏斩阳木仲冬斩隂木獭祭鱼然后渔人入泽梁豺祭兽然后田猎之类凡若此者皆顺四时之序以为之典章先王之所以奉若天道也而一代之典制既藏之太府恪守无斁矣又毎嵗颁示诸侯以申命之诸侯又于每月之朔告于祖庙请而奉行之天子本天以出治无一事敢违天时诸侯奉天子以治其国无一事不遵王命以上顺天时唐虞三代所以国无异俗家无异教道德一而风俗同盖以此也故曰颁朔告朔实为大典而王政因之以行也周既东迁矣王政不行鲁不吿朔他国可知盖视为弁髦久矣厥后遂有司厯再失闰之愆而大夫陪臣之僭乱纷纷矣以秉礼之国而弃王朝大典何怪其羣相效尤是故夫子曰我爱其礼盖庶几因此羊而念及先王之典也如谓颁朔祗以识月之大小辨朔望生明死魄之干支何取乎每月告庙之繁文也哉由是以观则三代时所颁之厯可知己矣

　　论厯中宜忌

　　问厯法中宜忌之说古有之乎曰无之也盖起近代耳尧之命羲和也曰敬授人时曰东作西成曰允厘百工庶绩咸熙厯之大用盖如此也何尝有选择之事乎司马迁曰阅隂阳之书使人拘而多畏其说盖起于战国之时夫箕子陈洪范其七曰稽疑古者有大政既断之于主心又谋及卿士谋及庶人矣然必谋及卜筮古圣人不敢自专自用而必协谋于神人盖其慎也战国力争此义不明太卜筮人之官废疑事无所决隂阳家言乃纷然以出矣隋唐之季其说愈多故吕才援引古义著论以非之可谓深切着明矣然而教化不行吉凶福祸之说深中于人心黠者乘之各立异说以恫喝聋俗愈出愈攴六十干支而选择之书乃有九十余家同此一日而此以为大吉彼以为大凶令人无所适从诬民惑世莫此为甚今官厯宜忌本于选择厯书不知其为元时所定明初所定然攷史志厯代言厯者初无一字及于选择又如罗计四余郭守敬厯经所无而大统増入之然则此等不经之说并元统郭伯玉等所为耳原其初意或亦欲假此以定民之趋然官厯虽颁宜忌而民间偏惑通书通书既非一种而术者私书更多虽户说以渺论不能止也今若能一切删去只载宜行政事及南北耕耘収获之节则唐虞三代敬天勤民之至意复覩今日岂不快哉

　　洪武中解大绅庖西封事曰治厯明时授民作事但申播植之宜何用建除之谬方向煞神事甚无谓孤虚宜忌亦且不经东行西行之论天德月德之云臣料唐虞之厯必无此等之文所宜著者日月之行星辰之次仰观俯察事合逆顺七政之齐正此类也按此说甚正惜当时不能用然实为定论圣人所不易也

　　论治厯当先正其大其分秒微差可无深论

　　问厯法至今日可谓详且宻矣然徴诸交食亦或有微差之刻何欤曰此可以不必深论者也攷汉时不知定朔故日食或不在朔或差而前则食于晦差而后则食于初二日直至唐李淳风麟德厯始用定朔于是蚀必在朔无差日矣然尚有差时厥后大衍厯所推益宻宣明厯又立气刻时三差至宋统天厯纪元厯又加详焉迨元授时厯遂无差时但有差刻今西厯言东西南北差以黄道九十度限为宗其理益明其法益善然而亦或有时而差刻分者何也今夫盆盎之中可以照物池沼澄清则岸上之人物花鸟山陵树木毕现其中然而其边际所域必有所改易两镜相照则多镜层现于一时而六层以上必有所穷况乎以八尺之玑衡测大圆之宫度其大小之比例道里之辽濶不可以亿计而因积之多用算之巧遂致交食应期复应东西南北方向胥符而但有晷刻之后先分秒之同异即谓之不差可矣国家治厯所重者顺天出治以敬授人时日食之类所重在于修省至于时刻小差原非所重但当令司厯者细加测详纪其所差之数以待后来修厯者使有所据依以益精其推步而已断不可因小节之微差而辄更成法也汉唐宋厯法屡改而多不效元明三四百年守一授时法而交食不效只数事而已况今新厯又加精于授时何必复加更变乎或谓厯算之差由于尾数予谓此一端耳尾数有丢収无闗大数所难者乃根数耳盈缩迟疾之根虽有离朱无所施其目并由年深日久然后知之又如最髙之行利氏所定与今所用不同皆根之差厯所以取象于革也

　　厯算全书卷五

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷六

　　宣城梅文鼎撰

　　厯学答问

　　答祠部李古愚先生

　　厯算之学散见经史固儒者所当知然其事既不易明而又不切于日用故学者置焉博览之士稍渉大端自谓已足欲如绛县老人能自言其生之四百四十四甲子者固已鲜矣况能探讨其义类乎明公夙夜在公日懋勤于职业而心闲若水孜孜好学用其心于人所不用之处真不易得鼎虽疎浅无似敢不勉竭鄙思以仰答下问之勤乎谨条于左

　　问授时大统二厯厯元并嵗实积日日法诸数

　　按厯元云者厯家起算之端也然授时厯元之法与古不同请先言古法古人治厯必先立元元正然后定日法法立然后度周天其法皆据当时实测以验诸前史所传又推而上之至于初古之时取其嵗月日时皆防甲子又在朔旦而日月五星皆同一度以此为起算之端是谓厯元自厯元顺数至今造厯之时凡厯几何嵗月是为积年既有积年即有积日而此积日若用整数则遇﨑零难以入算而不能使厯元无余分故必析此一日为若干分使七曜可以通行而上可以合厯元下不违于实测是为日法即一日之细分也用此细分自一日积之至于二百六十五日又四分日之一弱使一嵗之日尽化为分是为嵗实古厯太阳每日行一度则日法即度法于是仍用此细分自一度积之至于三百六十五度又四分度之一弱使其度亦尽化为分是为周天数者相因乃作厯之根本自汉太初厯以后厯晋唐五代宋辽金诸家厯法代有改宪然其规模次第皆大同而小异耳

　　右古法厯元等项

　　惟元授时厯不然其説以为作厯当凭实测而必逆推上古虚立积年必将迁就其畸零之数以求密合既有迁就久则易差故不用积年之法而断自至元十七年辛巳嵗前天正冬至为元上考往古下验将来皆自此起算弃虚立之元用实测之度顺天求合一无迁就可谓开拓万古之心胸者矣至于大统则以洪武十七年甲子为元然特易其名而已一切歩算皆本授时名虽洪武甲子实用至元辛巳也

　　右授时大统厯元

　　惟授时不用积年故日法亦可不立而径以万分为日万分者日有百刻刻有百分故一万也古诸家厯法虽皆百刻而刻非百分其日法皆有畸零授时以万分为日竟是整数故曰不用日法然即此是其日法矣

　　右授时日法大统同

　　授时既以万分为日故其嵗实三百六十五万二千四百二十五分其数自辛巳嵗前天正冬至【即庚辰年十一月中气】积至次年壬午嵗前天正冬至【即辛巳本年十一月中气】共得三百六十五日二十四刻二十五分也若逆推前一年亦是如此【如是庚辰年十一月冬至逆推至巳卯年十一月冬至亦是三百六十五日二十四刻二十五分】此嵗实之数大统与授时并同

　　然授时原有消长之法是其新意其法自辛巳元顺推至一百年则嵗实当消一分【依法推至洪武十四年辛酉满一百年其嵗实消一分为三百六十五日二十四刻二十四分】若自辛巳元逆推至一百年则嵗实当长一分【依法推至宋孝宗淳熙八年辛丑满一百年嵗实长一分为三百六十五日二十四刻二十六分】每相距増一百年则嵗实消长各増一分以是为上考下求之准

　　大统诸法悉遵授时独不用消长之法上考下求总定为三百六十五日二十四刻二十五分此其异也

　　右授时大统嵗实

　　嵗实即一年之日数也自一年以至十年百年共积若干是为积日亦谓之中积分【上考下求皆距至元辛巳立算】

　　假如今康熈庚午嵗相距四百零九算【自辛巳元顺推至今康熈庚午四百一十年法以积年减一得实距四百零九年】依授时法推得积日一十四万九千三百八十四日零一刻八十九分【因距算四百以上嵗实当消四分为三百六十五日二十四刻二十一分以乘距算四百零九得如上数是为庚午嵗前天正冬至上距辛巳嵗前天正冬至之积日若以日为万分则所得化为一十四亿九千三百八十四万零一百八十九分谓之中积分】大统法不用消长则积日为一十四万九千三百八十四日一十八刻二十五分【中积分一十四亿九千三百八十四万一千八百二十五分】两法相差一十六刻三十六分【以命冬至日辰授时得癸卯日丑初三刻大统得癸卯日卯初三刻　两法皆加气应】

　　右授时大统积日

　　以上数端并在歩气朔章是太阳项下事也其厯元七曜同用乃根数所立之处也

　　问授时大统二厯月法转周交周诸数

　　按月法者即朔防也亦曰朔实其法自太阳太隂同度之刻算至第二次同度为两朔相距之中积分平分之则为望防四分之则为防望者日月相望距半周天者近一逺三上月在日东下月在日西皆相距天周四之一授时朔防二十九万五千三百零五分九十三秒即二十九日五十三刻零六分弱也大统同

　　右月法

　　月平行每日十三度有竒然有时而疾则每日十四度竒有时而迟则每日只十二度竒是为月转初入转则极疾疾极而平平而迟迟极又平平而又疾以此遂有疾初疾末迟初迟未四限满此一周谓之转终授时转终二十七日五十五刻四十六分大统同

　　右转法

　　月不正行黄道而出入其内外故谓之交交者言其道交于黄道也月行天一周其交于黄道只有二处其始从黄道内而出于其外此时月道自北而南在黄道上斜穿而过谓之正交自正交行九十一度【就整数】离黄道南六度自此再行九十一度又自黄道外而入于其内此时月道自南而北亦斜穿黄道而过谓之中交中交行至九十一度时离黄道北亦六度自此再九十一度又自黄道内而出于其外复为正交矣其法以正交后半周为阳厯中交后半周为隂厯满此一周谓之交终授时交终二十七日二十一刻二十二分二十四秒大统同

　　右交道

　　以上三端朔防在歩气朔章转终在歩月离章交终在歩交防章并太隂项下事也

　　问授时厯有气应何义

　　按气应为授时四应数之一其法创立古厯所无也古厯立元皆起初古故但有积年而无根数【即应数】授时既不立积年而用截算不得不有四应数以纪当时实测之数为上考下求之根而气应居一焉气即中气节气二十四中节皆始冬至故气应者即冬至相应之真时刻也当时实测辛巳嵗前天正冬至是己未日丑初一刻故曰气应五十五万零六百分即五十五日零六刻也其法自甲子日为一数起挨算至戊午日得满五十五日又加子正后六刻则为己未日丑初一刻矣气应之外又有闰应以纪经朔转应以纪月之迟疾厯交应以纪月之隂阳厯亦是截算皆实测辛巳年天正冬至气应【己未日丑初一刻】所得上距经朔及距入转距正交各相应之数也　依法推到辛巳年天正经朔三十四日八十五刻半为戊戌日戍正二刻【在气应冬至前二十日二十刻五十分】及己未冬至气应则为经朔之二十一日　凡此皆厯经所未明言兹特着之

　　问推歩交食之法

　　按厯家之法莫难于交食其理甚精其法甚备故另为一章若知交食则诸法尽知矣然必能推歩而加以讲究然后能由其当然以知其所以然是谓真知茍未能然则所知或未全耳请言其槩葢厯法代更由疎渐宻其验在于交食约畧言之有宜知者二端其一古者只用平朔平朔者一大一小相间故汉晋史志往往有日食不在朔而在朔之二日或晦日者自唐李淳风麟徳厯始用定朔至一行大衍厯又发明之始有四大三小之月而蚀必在朔此是一层道理其一自北齐张子信积合蚀加时立入气加减唐宣明厯本之立气刻时三差至今遵用即授时厯之时差及东西南北差也此又是一层道理前一説由平朔改为定朔其根在天葢以日躔有盈缩月离有迟疾天上行度应有之差天下所同也后一説于定朔之外又立三差其根在地葢以日髙月卑正相掩时中间尚有空隙人所居地靣不同而所见亏复之时刻与食分之浅深随处各异谓之视差非天上行度有殊而生于人目一方所独也知此两端而交食之理思已过半即厯法古疎今宻之故亦大槩可见矣至于入算须看假如诸书中具有成式然但能依法推歩者亦未必尽知其理故谨以拙见畧疏大意不知于来谕所谓已明其理者同异何如统容晤悉

　　问发敛加时之法

　　发敛加时之法按此即九章中通分法也授时厯以一日为一万分整数今欲均分为十二时每时各得八百三十三分三三不尽故依古法以十二通之每一分通为十二小分则日周一万通为一十二万而每时各得一万故每遇一万为一时也然满五千亦进一时者时分初正各四刻竒厯家以子正四刻为今日子初四刻为昨日今满五千即是半时以当子正之四刻辏完昨夜子初之四刻而成一时故命起子初算外即丑初乃借算也【遇有五千进一时者一时算外是丑初二时算外是寅初余仿此】若以一万为一时者命起子正算外即丑正乃本算也【无五千进一时者一时算外是丑正二时算外是寅正余仿此】其取刻数又仍以十二除之何也曰此通分还原也时下零分是以十二乘过之小分今仍以十二除之十二小分收为一大分复还原数则所存者即日周一万之分而每百分命为一刻矣

　　一法加二为时减二为刻即是前法但以加减代乘除非有二也何以言之乘法是两位俱动而数陞者位反降加法则本位不动而但加二数于下位也减二亦然凡珠算十二除当一归二除今用减二则本位不动但于下位减二即定身除也台官不明算理往往于此处有误但知以加减代乘除则了然矣是故算数者治厯之本也

　　又按发敛二字乃日道发南敛北之谓葢主乎北极为言则夏至近极为敛冬至逺极为发而自冬至以至夏至则由逺而近自夏至以至冬至则由近而逺总谓之发敛古诸家厯法皆以发敛另为一章其中所列为二十四气七十二之类而加时之法附焉故曰发敛加时言发敛章各节加时法也元统作通轨误以十二通分为发十二除收刻为敛则以发敛为算法之名失其防矣而律厯攷因之以讹不可不知也

　　问以授时法上推春秋鲁隠公三年辛酉嵗距至元辛巳二千年中积七十三万零四百八十九日天正冬至六百零六刻闰余二十九日四十八刻经朔三十六日五十七刻今依法以满甲子除中积而求冬至则合以月防除中积而求经朔则不合有一日三刻之差其经朔应在冬至前耶抑冬至在经朔前耶

　　按此以百年长一之法上推往古中积诸数原自不错惟求经朔闰余则误加为减故有一日三刻之差而所以差者由于未深明经朔闰余立法之源也今具论之经朔者日月合朔之常日也冬至者日轨南至而影长之日也日南至而影长是日与天防也日月合朔是月与日防也月防日谓之一月日防天谓之一年二者常不齐此厯法所由起也古厯十九年七闰谓之一章章首之年至朔同日其余则皆不同日矣故天正经朔常在冬至前冬至常在经朔后自经朔至冬至其间所歴日时谓之闰余以闰余减冬至得经朔以闰余加经朔得冬至理数之自然也

　　今自至元辛巳逆推隠公辛酉法当以所得中积七十三万零四百八十九日在位用至元闰应二十○日二十○刻半减之余七十三万零四百六十八日七十九刻半为闰积以朔防二十九日五十三刻○五分九十三秒为法除之得二万四千七百三十六个月仍有不满之数四刻六十五分五十二秒用以转减朔策余二十九日四十八刻四十○分四十一秒为其年之闰余分即是其年冬至在经朔后之日数也

　　凡求经朔之法当于冬至内减闰余今推得其年冬至是六日零六刻不及减闰余故以纪法六十日加冬至而减之得三十六日五十七刻五十九分五十九秒为其年天正经朔是庚子日子正后五十七刻半强也复置经朔三十六日五十七刻五九五九以闰余二十九日四十八刻四零四一加之得六十六日零六刻除满纪法去之仍得六日零六刻即是其年冬至为庚午日子正后六刻也

　　庚午距庚子整三十日即知其年冬至在次月朔为至朔同日之年而年前闰十二月矣

　　今误以闰余去减经朔为冬至所以差一日三刻也【经朔二十六日五十七刻内减去闰余二十九日四十八刻余七日零九刻以校先得冬至六日零六刻实多一日三刻】

　　问闰月宜闰嵗前十二月乎或闰正月乎先儒辩之今不得其解

　　按闰月之议纷纷聚讼大防不出两端其一谓无中气为闰月此据左氏举正于中为説乃厯家之法也其一谓古闰月俱在嵗终此据左氏归余于终为论乃经学家之诂也若如前推隠公辛酉冬至在经朔后三十日宜闰嵗前十二月即两説齐同可无疑议然有不同者何以断之曰古今厯法原自不同推歩之理踵事加宻故自今日言厯则以无中气置闰为安而论春秋闰月则以归余之説为长何则治春秋者当主经文今考本经书闰月俱在年终此其据矣

　　问至元辛巳至隠公辛酉二千年中闰月几何

　　按此易知也前以朔防除闰积得二万四千七百三十六月内除二万四千月为二千年应有之数其七百三十六即闰月也此与古法十九年七闰之法亦所差不多

　　问二千年中交泛若干次入食限若干次及交泛字义何解经朔合朔何所分别

　　按月与日防谓之合朔然有平朔有定朔三代以上书籍散轶不可深考所可知者自汉以来祗用平朔唐以后乃用定朔定朔与平朔有差至一日之时然必先求平朔然后可求定朔今曰经朔即平朔也以其为合朔之常数故谓之经得此常数再以盈缩迟疾加减之即定朔矣是故合朔者总名也因有定朔故别之为经朔耳

　　交者月道出入于黄道也授时之法二十七日二十一刻二十二分二十四秒而月道之出入于黄道一周谓之交终以此为法而除中积则得其入交次数矣今依本法求到鲁隠公辛酉正月经朔入交十七日三十八刻九六七○自此下距至元辛巳凡满交终二万六千八百四十三其出入于黄道也各二万六千八百四十四

　　至于食限则不可以预定何也入交虽有常数而其食与否又当以加减差及气刻时三差诸法定之

　　又按入交亦有平日有定日此云泛者亦平义也因先求平日次求定日故命之曰泛泛者以别于定也然厯经本文谓之入交泛日或省文曰入交或曰泛交未有称交泛者其称交泛则台官之语以四字节去首尾而中撮两字为言文理不安所当改正者也

　　问周髀算经牵牛去极枢共积九百九十二亿七千四百九十五万分以一度积八亿五千六百八十万为法除之复原度一百一十五度一千六百九十五里二十一歩又一千四百六十一分歩之八百一十九用何算法还原

　　按此乃通分法也凡算家通分之法所以齐不齐之分便乘除也若如郭太史以一万分为度则分有百秒秒有百防皆以十百为等自然齐同通分之法可以不用而古厯不然各有所立之法其法又不同母此通分之法所由立也即如周髀所立度法是一千九百五十四里二百四十七歩又一千四百六十一分歩之九百三十三度下有里里下有歩歩下有分其法不同故必以里通为歩乃以零歩纳入歩又通为分乃又以零分纳入此所谓通分纳子也然后总计其分以为度法【即度积】法曰置一千九百五十四里在位以每里三百歩为法乘之得五十八万六千二百歩如是则里通为歩可以纳子矣于是以零歩二百四十七加入共得五十八万六千四百四十七歩复置在位以歩之分法一千四百六十一为法乘之得八亿五千六百七十九万九千零六十七分则歩又通为分可以纳子于是再以零分九百三十三加入共得八亿五千六百八十万分是为度法言满此分为一度也其外衡去璿玑【即牵牛去极数】二十二万六千五百里亦以每里三百歩乘之得六千七百九十五万歩是里通为歩也又置为实以每歩一千四百六十一分乘之得九百九十二亿七千四百九十五万分是歩又通为分也以为实于是以法除实得满法之数一百一十五命之为度其不满法之数仍余七亿四千二百九十五万分不能成一度当以里法收之为里法曰置每里三百歩以每歩一千四百六十一分乘之得四十三万八千三百分是为里法以里法为法余分七亿四千二百九十五万分为实实如法而一得一千六百九十五命为里　仍有余分三万一千五百不能成一里当以歩法收之为歩

　　法曰置余分三万一千五百为实以每歩一千四百六十一分为法除之得二十一歩　仍有余分八百一十九不能成一歩即命为分

　　用上法求得一百一十五度一千六百九十五里二十一歩又一千四百六十一分歩之八百一十九适合原数

　　縁实数是里数【牵牛去极二十二万六千五百里是里数也】法数有里有歩有分不便乘除故必以里通为歩歩又通为分乃可乘除故曰齐同法实乘以散之也

　　其不满法者以里法收之为里又不满里法者以歩法收之为歩再不满歩法命为零分故曰不满法者以法命之又曰位尽于一歩故以其法命余为残分也通分之法不过如此乃正法也

　　今周髀所载之法其初通法实并为分末以法命残分并同惟中间收余分防异则古人截算之法也具如后凡算有除两次者则以两次除之之法相乘为法以除之谓之异除同除如以三除又以四除则以三乘四得十二为法除之变两次除为一次除也若算有法数太多者则变为简法两次除之谓之截法如以七十二除之者则以八除之又以九除之即与七十二除同此两者正相对而其理相通也

　　如余分七亿四千二百九十五万不满一度宜收为里法当以每里三百歩乘每歩一千四百六十一共化为四十三万八千三百分此即异除同除之法也周髀经则先以每里三百歩除之得二百四十七万六千五百为里实再以周天分【即歩法】为法除之得一千六百九十五里不尽一百○五此即截法变一次除为两次除也古所得里数与前法不异所异者前法余分三万一千五百而今用截法只一百○五此何以故因前法所余是实分今用截法则余分是用每里三百歩除过者则此余分一数内各蔵有三百之数也【是以三百分为一分】

　　余分内既各有三百之数则当以三百乘之复还原分之数然后可以收为歩此亦正法也何以言之葢余分有二头一次是不满一度之分则当收为里此余分又是不满一里之余分故当收为歩然而歩之法是周天一千四百六十一分乃实数也此所余一百○五是三百分为一分非实数也若仍以三百乘之则亦为实数而可以乘除矣故曰正法也

　　周髀之法则又不然虽亦以三乘之而不言百【以三百乘一百零五该三万一千五百今以单三数乘之只三百一十五】则每余分内仍有一百之数余分为实者既以百分为一分则其满法而成一歩者即是百歩【既是以百分为一分则其满一千四百六十一之法而成一歩者即是满了一百个一千四百六十一而成百歩也】故曰不满法者三之言以单三数乘不满法之余分也又曰如法得百歩言此余分既以三乘则其满法者为百歩也又自疏其义曰上以三百约之为里之实此当以三百乘之为歩之实而言三之者不欲转法更以一位为一百之实故从一位命为百也此葢自明其不以三百乘而以三乘之故是欲以得数为百歩也得数为百歩则其实亦百歩之实也故曰省算也刻本三百乘之句遗百字而言三之句遗三字既言如法得百歩而今之余实只三百一十五在一千四百六十一之下是不能满法也不能满法者即不能成百歩也于是以余分进位【三百一十五变为三千一百五十】为实而以满法为十歩何也原一分内有百分今虽进位以一分为十分然仍未复原数仍是十分为一分故得数即为十歩也

　　法曰置三百一十五进位为实【变三千一百五十】以法一千四百六十一除得二数命为二十歩不尽二百二十八经曰不满法者又上十之如法得十歩亦省算也上之即进位也此余分既各有十分故复以十乘之即得本数

　　法曰置二百二十八又进位为实【变为二千二百八十】以法一千四百六十一除得一数命为一歩不尽八百一十九经曰不满法者又上十之得数为一歩又自防之曰又复上之者便以一位为一实故从一实为一言末次进位则适得本数为实而得数亦为本数也

　　凡看厯书与别项文字不同须胸中想一浑圆天体并七政旋行之道了了在吾目前则左右逢源有条不紊故图与器皆足为看书之助右所防数条言虽浅近然由浅入深庶几有序天下最深防之理亦即在最粗浅中舍粗浅无深防矣谨复

　　答嘉兴髙念祖先生

　　律厯天官具载二十一史南北国学并有雕版国家试士发防多有及此者本学者所当知也然或者以其不切于辞章之用又其义难骤知读史者至此则寘而不观先生独能缕举其异同分合之端以为问可见其留心之有素不愧家学之渊源请陈其管蠡之愚以求正定

　　问史记八书三曰律四曰厯分律与厯言之也前汉书合称律厯改书为志而后汉书晋书北魏书隋书宋史并因之宋书新唐书辽金元三史则皆有厯志而不及律何欤

　　按律厯本为二事其理相通而其用各别观于唐虞命官羲和治厯防典乐各有専司太史公本重黎之后深知其理故分为二书班书合之非也独是厯书所载非当时所用之法乃殷厯也非汉厯也【其四年而増一日即四分厯之所祖又谬以太初元年丁丑为甲寅干支相差二十三年葢禇先生辈所续余于厯法通攷中已详辩之兹不具悉】而汉太初厯八十一分日法反载于班志意者孟坚以其起数钟律遂从而合之欤后世言厯者率祖班志故史亦因之厥后渐觉其非而不能改直至元许衡郭守敬乃始断然以测验为慿不复以钟律卦气言厯一洗诸家之傅防故其法特精此律厯分合之由也【人有恒言汉厯莫善于太初唐厯莫善于大衍殊不知汉厯至刘洪乾象厯始精若太初则最踈独其创始之功不可没耳若大衍本为名厯测算诸法至此大备后世不能出其范围特以易数言厯反多牵附其失与太初之起数钟律同也明水公云以律配厯可也而以生厯则不可又云僧一行颇称知厯而窜入于易以众此诚千古定论而经生家所不能知也】至于称书称志之不同葢太史公合记古事故名史记班孟坚専述本朝故踵虞书夏书之日而称汉书全部既称书不得不别其类为志无深意也问厯书之次曰天官书前汉书改为天文志后汉书晋书宋书南齐书隋书唐书宋金元史并仍之而晋书宋史天文在律厯之前金元二史亦在厯前北魏则改为天象辽史则合厯与天象称厯象有以异乎

　　按言天道者原有二家其一为厯家主于测算推歩日月五星之行度以授民事而成嵗功即周礼之冯相氏也其一为天文家主于占验吉凶福祸观察祲祥灾异以知趋避而修救备即周礼之保章氏也班史析之甚明故虽合律厯为一志而别出天文也易天官为天文者星象在野象物在朝象官故星在赤道以内近紫防垣者古谓之中官在赤道外者古谓之外官天官之説葢取诸此也易曰观乎天文以察时变其改称天文本诸易也易又曰天象见吉凶北魏改名天象亦本易也占与测虽分科亦互相为用故辽史合之也至于晋天文志在律厯之前以日月交食五星凌犯皆厯家所据以为推测之用故先之又晋志出李淳风之手其星名占法视古加详而亦有同异尔后言占者悉本淳风故其次序亦因之也

　　问史书中有一代总无律厯天文志者果尽出于史阙文之意乎

　　按史之有志具一代之典章事事徴实不可一字凿空而谈较之纪传颇难故三国无志诚为阙事而范氏后汉书本亦无志今志乃刘昭续补也至于天文厯法尤非専家不能故晋隋两志并出淳风新唐书厯志五代史司天考并出刘羲叟其余则既无其人又无其书虽欲不阙而不可得此亦史臣之不得已也五代则五十余年而六易姓纪载无徴故仅有司天职方二考他皆阙如而司天又止有王朴钦天厯法其交蚀凌犯并无可稽故不复称志而名之曰考也

　　问五行志创始班书乃史记所未有而后汉晋宋南齐隋唐宋金元九史并仍之其义何居

　　按虞书惟言六府洪范始言五行其以五事配五行又以襍占祥异皆件系之而以时事言其应其説葢滥觞于夏侯氏之治尚书而详于刘向父子太史公时其説未着故始见班书而诸史因之要其説亦有应不应当其应也固足以为警戒及其不应反足以启人不信之心唐书以后但纪灾祥不言事应有合于春秋之义此可以为法者也

　　答沧州刘介锡茂才

　　问左右辖距轸宜平今左近右逺又狼星之邉有弧矢错乱不齐不其经星亦常移位耶

　　按自古以列宿为不动故曰经星又谓之恒星乃占书中往往有动移之説愚窃疑其未然葢既曰动移则必先知其不移之位然后可以断其实移而古本图象大约传久失真人所目击不过数十年之内何以知今日之星座必与古异而谓之动移哉又必暂见其移未几即复本位始谓之变若数十年中所见尽同则常也而非变也查崇祯厯书右辖距轸南右星凡二度竒左辖距轸北左星只半度竒一逺一近诚如尊谕又弧矢天狼不甚整齐皆如所测夫厯书成于前戊辰距今六十四年而星座之经纬如故亦足以徴其非动矣至于厯法中亦自有经星东行之法其理与嵗差相应非如占书之言动移也弧破矢折之论似宜更详

　　问本年闰七月初八夜太隂食心前星不知何应第三日初十夜大风雨雷电是有解散否

　　查闰七月太隂犯心前星当是初七日戍亥二时月加丁未坤之地非初八也此时月正上行至心宿三四度间值月半交在黄道南五度竒与心宿东星逼近理得相为掩犯然皆月道当行之道非失行也

　　又按古人云三日内得则解此葢为晕珥虹霓之属多为风之气所结故应在本方若七政之凌犯多方共覩殆难一例

　　问十数年前亲见太白过午者累日是经天耶昼见耶主何休祥

　　按太白星绕日为轮离太阳前后不得过五十度故夕见西方仍没于西晨出东方仍没于东非不过午也其过午必与日偕为日光所掩故也若日光防而星光盛在昼漏明是为昼见昼见不必尽在午地也若在午地则为经天矣然亦有非昼见而能经天者此又别自有説不知所见过午者是昼乎是晨夕乎尝考前史所载经天之事不一而足占书之説未免过于张皇非其质也愚不敢輙信占书亦正谓此等处耳

　　问来年元旦日食五分十七秒一曰五谷贵一曰主大水孰为实应抑别有徴也又十数年前长星见久应在何时

　　按日食元旦古亦多有然其数可以预推与凌犯同理若长星之见自是灾变然圣人遇灾而惧实有修省转移之道故古人言占必兼人事若执定占书一两言以断其休咎将修徳弥灾语为虚设而天亦可量矣是固不敢妄谈

　　问厯法最难解者未宫鬼金羊为主今未宫全系井度而鬼反在午室火猪只十度在亥而余皆入戍不知天运何年西下诸宿移而天盘动

　　按列宿移而天盘动即嵗差之法也周天列宿分十二宫古今厯法各各迥异要其大端之改易有三自隋以前未用嵗差故天之十二宫皆随节气而定如冬至日躔度即为丑初之类一也唐一行始定用嵗差分天自为天嵗自为嵗故冬至渐移而宫度不变以后厯家遵用之所以明季言太阳过宫以水三朝过亥二也若今西厯则未尝不用嵗差而十二宫又复随节气而移三也三者之法未敢断其孰优然以平心论之则一行似胜何以言之葢既用嵗差则节气之躔度年年不同故帝尧冬至日在虚而今在箕已差五十余度若再积其差冬至必且在尾在心在氐房在角亢顾犹以冬至之故而名之曰丑宫则东方七宿不得为苍龙而皆变武北方宿反为白虎西方宿反为朱鸟而南方朱鸟为苍龙名实尽乖即西法之金牛白羊诸宫皆将易位非命名取象之初防即不如天自为天嵗自为嵗之为无弊矣故新厯之推歩实精而此等尚在可酌不无俟于后来之论定耳先生于此深疑实与鄙意相同至若十二生肖及演禽之法别有本末与厯家无渉亦无与于星占可无深论

　　以星推命不知始于何时然吕才之辟禄命只及干支至韩潮州始有我生之时月宿南斗之説由是徴之亦在九执以后耳每见推五星者率用溪口厯则于七政躔度疎逺若依新法则宫度之迁改不常二者已如枘凿之不相入又安望其术之能验乎夫欲求至当则宜有变通然其故多端实难轻议或姑以古法分宫而取今算之七政布之则既不违其本术亦不谬乎悬象虽未知验否何如而于理庶几可通矣请以质之髙明问冬夏致日以土圭求日至之景是也而春秋又以致月其説何如

　　按日行黄道有南至北至月亦有之月之北至则隂厯是也月之南至则阳厯是也夫月之隂阳厯随时变迁而必于春秋测之何耶凡言至者皆要其数之所极则必有中数以为之衷如日道有南至有北至相差四十七度竒而其中数则赤道也月有隂厯有阳厯出入于黄道各六度弱而其中数则黄道也夫黄道之在冬夏既自相差四十七度竒则已无定度又何以为月道之中数乎惟春秋二分之黄道与赤道同度则其东出西没及过午之度并与赤道无殊于此测月可得隂阳厯出入黄道之真度矣假如二分之望月在其冲【春分之望月必在秋分之宿度秋分之望月必在春分之宿度】则日没于酉正而月出于卯正日出于卯正而月没于酉正其出没方位必居卯酉正中与日相等然而或等焉或不等焉或有时而出没于酉正卯正之南则知其在阳厯也有时而在卯正酉正之北则知其在隂厯也又此时日之过午也必与本处之赤道同髙【即冬夏二至日轨髙度折中之处】则月亦宜然然而月之过午或有时而髙于日度则知其在隂厯也有时而卑于日度则知其在阳厯也若月之出没在卯酉之正而不偏南北月之过午一如日轨之度而略无髙卑则为正当交道而有食故曰惟春秋可以测月也

　　康成注曰冬至日在牵牛景丈三尺夏至日在东井景尺五寸此长短之极此言冬夏致日也

　　又曰春分日在娄秋分日在角而月于牵牛东井亦以其景知气至此言春秋致月也

　　贾疏云春分日在娄其月上在东井圆于角下于牵牛秋分日在角上于牵牛圆于娄下于东井郑并言月于牵牛东井不言圆望义可知也按此贾防增成郑义足与愚说相为发明葢但以日轨为主则春秋致月亦致日之余事即于两立説亦足以明若正言致月之理则必将详攷其交道出入之端与夫隂阳厯逺近之距则兼望言之其理益着也

　　问隂阳厯之法于两亦可用乎曰可凡冬夏至表景既有土圭之定度【夏至尺五寸即土圭之定度也冬至景丈三尺葢亦以土圭之度度之而知】则月亦宜然而今测月景每有不齐则交道可知假如春分日在娄而月上于东井秋分日在角而月下于东井则是月所行者夏至日道也其午景宜与土圭等又如春分日在娄而月下于牵牛秋分日在角而月上于牵牛则是月行冬至日道也其午景宜与土圭所度冬至长景等而徴之所测或等焉或不等焉其等于定度者必月交黄道之度也其短于定度者必月在日道之北而为隂厯也其长于定度者必月在日道之南而为阳厯也是故两亦可以测隂阳厯也然则隂阳厯之变动若此又何以正四时之叙曰日道之出入赤道也距逺至二十四度月道之出入黄道最逺止六度距二十四度故景之进退也大【夏至尺五寸冬至一丈三尺相去悬絶】距止六度故景之进退也小【隂厯阳厯之月景所差于日景者不过尺许而已】假如月上下在东井而景更短于土圭其为夏至之隂厯更无可疑即使是阳厯而景长于土圭其长不过尺许无害其为夏至之黄道也又如月上下在牵牛景加长于土圭所定之度其为冬至之阳厯已成确据即使是隂厯而景短于土圭所定之度其短亦不过尺许无损其为冬至之日道也夫两之月道既在二至之度则日躔必在二分而四叙不忒故曰举两立说亦足以明也

　　或疑洛下闳制浑仪止知黄道至东汉永元铜仪始知月道至隂阳交道之説后代始宻周礼所言致月或未及此曰洪范言日月之行则有冬有夏是古有黄道也十月之交见于诗是古知交道也洛下闳等草创于祖龙煨烬之余故制未备而以此疑周礼乎夫谓厯术屡变益精者如嵗差之类必数十年始差一度故久而后觉若月之隂阳厯月必一周视黄道之变尤为易见而谓古人全不之知吾不信也

　　或又疑土圭只尺有五寸则惟北至时可用余三时何以定之曰经固言日北景长日南景短矣其长其短亦必有数则皆以土圭之尺寸度之耳然则夏日至景如土圭者冬日至景必数倍于土圭而以土圭度之无难得其丈尺故冬夏并言致日也

　　问尝攷春秋厯法讹舛甚多不知左氏之误抑古厯不如此也夫验于古然后可施于今今以最踈之古厯尚不可攷则太初以下其疑难当更何如

　　按厯法古踈今宻乃古今之通论葢谓天体无穷天道幽逺踵事渐増斯臻其善非谓古人之智不及后人也夫攷古厯之踈宻必须得其立算之根今自秦火以来并无一书能言三代以上之厯法所谓殷周六厯率皆伪撰不足为据春秋左氏之不合又何疑焉若夫三代以下太初厯始创规模洛下闳等之功自不可没自是以后屡代加详由后之宻厯观之遂觉其前之为最踈耳厯家之言曰验天以求合无为合以验天是故治厯者必当求之天验求之天验则当以近代之宻测者为凭而详徴算术以得其当然之理又知其所以然之故然后备攷古术徐求其改宪源流博稽经史以攷其徴信合者存之疑者阙焉斯不为用心于无益矣尊着以春秋二百四十年月日列序以攷其得失用功甚勤与氏族官制地名等攷皆有功于经传其书自可孤行若但以厯法言仍当从事于郭太史授时法与今西法庶可以得其门户矣

　　余初学厯原从授时入手后复求之二十一史始知古人立法改宪各有根源见史志仅载算法而无一语注释因稍稍以所能知者解之遂以成帙最后始得西术此事益明然卷帙既多又窜改无定亦欲俟稍暇再加缮冩以请正髙明耳

　　问日食古无其法汉日食每多先天终汉四百年无人修改则洛下闳张衡皆梦梦欤

　　按古日食每不在朔者以古用平朔耳古所以用平朔者以日月并纪平度也东汉刘洪作乾象厯始知月有迟疾北齐张子信积二十年始知日有盈缩有此二端以生定朔然而人犹不敢用也至唐李淳风僧一行始用之至今遵用乃验厯之要然非有洛下闳之浑仪张衡之灵宪则测验且无其器又何以能加宻测愚故曰古人之功不可没也

　　问五星迟疾逆留

　　按五星之迟疾逆留汉以前无言之者汉以后语焉而不详虽授时厯号为至精而于此未有精测至西厯乃能言之此今厯胜古之一大端也

　　问月食地景

　　按月食地影之説肇于泰西骤言之若可骇细审之确有实据然必于厯学深究其根乃知其説为不诬耳

　　问平差立差

　　按平差立差定差之法古无其术乃郭太史所创为以求七政盈缩之度所以造立成之根本也其法日月五星并有之亦非如平朔定朔之用厯家用字偶同如此者多徴实言之乃知其故耳据云依立招差又云依垜叠立招差则似古算术中原有其法而今采用之然不可攷矣愚尝因李世兄之问而为之衍算颇觉其用法之巧焉

　　与锡山友人杨学山书

　　厯算之学弟生平癖嗜闻有同此者即不惮褰裳相从然如先生之实用其力于几何三角以溯其根者未多见也前年奉晤吴门不胜喜慰以为可得留连旬日以深领诲益尘事之相牵失于交臂至今怅惘兹年已八三神明消蚀啓处艰难不知仍能续晤否也承借书五本当即抄付但未经重校故仅以抄本奉而留其原稿宝蔵之以代靣诲前曽以此意告之吕令亲属为转致厥后吕返锡山弟乡居不知遂迟至今幸勿深罪书五种验收是望承赐问数端皆弟所积疑内日差一事向因日躔表说甚是防混尝为之论辨累纸谓既有二根当定二表以相加减友人皆以为然既而熟思觉其非确宜只用月离交食二表为是大抵厯书表说多是后来所増故往往与表不应若日差表则又不然葢西厯之传亦各有师授之不同日躔表之兼用二根或是初说其平时定时乃测验之实用必是后来之说日躔表中日差误用初说而强为之辞故愈解而愈支拙见如此不知髙识以为何如也月二三均数不与厯指之説相应惟王寅旭尝论及之余人但知用表未有求其根者今先生以次均之外设又次均数既合表理复精当诚为创见敬服敬服火星半径与视学相反真是难解然彼皆得之积非凿空之论五星中分亦然皆不敢轻为置论尝谓厯学至今益宻其理亦愈推明若集中土之贤才以専心致志而为之必更有可观而无如其不能羣萃州处何也火星借象之图世人多泥旧说先生輙深信之不疑古所谓一人之知非耶然此图是与袁惠子先生论辨而作亦颇承其虚懐今惠兄久不得音问心甚念之若先生之知我葢尤深于惠兄安得拏舟溯洄一遂鄙懐乎此学甚孤而学者多执成见或得少为足而遂欲自立门庭惟薛仪甫王寅旭两先生能兼中西之长而且自有发明然生虽同时而并未得相见庚寅奉过始得一见令祖坤翁先生少伸企怀而鲍燕翌先生又已先归道山殊为憾事弟又景逼桑榆故图晤之心甚切非同泛泛也鸿便往来勿吝邮致乙未三月十九日

　　拟璿玑玉衡赋【有序】

　　易言治厯防数当期典重授时中星纪嵗葢七政璇玑之制类先天卦画之图原道必本乎天儒者根宗之学制器以尚其象帝王钦若之心理至难言以象显之则理尽意所未悉以器示之则意明故扬雄覃思浑天用成草平子精探宪聿阐元枢覆矩仰规一行以之衍防天根月窟尧夫于焉弄丸此圣学之攸先匪术家之私尚也况姬公之法受于商髙而神禹之畴肇诸河洛平成永頼实资句股圜方才艺硕肤爰有南车记里髙深广逺寸矩以御几何律度量衡万事斯为根本既圜顶而方趾敢忘髙而负深茍俯察而仰观必徴理而稽数家传大易窃慕韦编世际清宁恭钜制竭欧逻之巧力绍蒲坂之芳型洵心理之胥同中西脗合亶后来之居上今古无双虽株守山陬迟睹灵台之美而心仪法象遥忻神器之成僭拟短章臆闚鸿典无禆采听聊当衢歌云尔

　　至哉浑仪之为器也体天地之撰类经纬之情微显阐幽穷髙极深殆更仆莫殚其蕴累牍难悉其能者矣粤自道生宇宙肇为大圜健运无息东西斡旋七政错行宿离纠纷交光罗络终始相嬗虽有离朱孰闚其端圣喆挺生仰俛观积成悟探隠索谂六虚之旷邈讵目营兮可获廼范金兮为仪纵若衡兮八尺厯防之治兮象防之覈尧命羲和四隅分宅制闰成歳厘工熈绩匪有器以御之孰所凭而推防虞帝受之玑衡以设敬天勤民两圣一辙嗣三统兮迭更兹重器兮防防陈东序兮天球羌大训兮为列河之图兮莫先况琬琰与璧嬴秦力政防畏天常迁周九鼎焚燬旧章球图湮没莫知其乡厯纪乖次伏隂愆阳及夫汉造太初浑天初置唯意匠兮经营未详徴乎昔制曽黄赤兮未分矧歳差兮能治厯唐逾宋代有讨论小异大同踵事而増说存掌故约畧可陈外周六合子午为经卯酉交加日月之门三轮八觚象地者衡是立郛郭以挈三辰黄倚赤而相结剖二至与二分判发敛兮南北距紫极兮为言小环四游又居其内左右周闚两箫更代低昻斜侧折旋唯意仪三重兮共枢亶推歩兮精义亦有铜球实惟浑象列星缀离三家殊状或附益之两曜类蚁行兮磨上迟速行兮一机或水转兮磨荡非不研精覃思穷神尽智象重大兮易胶每机闗兮弗利仪重环兮掩暎颇未宜乎闚视加以代异人湮乍成旋废作之也何难坏之也何易若乃元祖初服广徴硕儒有美鲁斋王郭之徒既作授时备器与书髙表四丈承以景符简仪极离立扶踈二线代管分秒乘除度百刻兮天腹旋立运兮四虚闚几兮测月莲花兮挈壶正方有案兮定南北悬正座正兮九服之须仰仪兮虚而似釡度斜络兮南极攸居可谓酌古凖今洵美且都者矣厯年未百有明膺命虽大统兮殊称实授时兮为政属作都兮石城旋京邑兮北定既观台兮屡迁地更寘兮乖应岂仪器兮多迕抑畴人兮弗敬转测之或未嫺兮址渐倾兮蔑正宁不善厥初兮歳荐更兮滋衅经生既非所习兮又申之以厉禁専科不相通兮有愤悱兮谁问遂使台徒为文具交食或乖谁知其故帝谓兮草泽畴明理兮习数尔乃理难终隠道有必开天相其衷西儒朅来如礼失兮求埜似问郯兮识官此珍秘兮勿泄彼菽粟兮非难于是吴淞太史仁和水部夜译晨钞心追手歩亦得请而开局集欧逻与儒素撷西土兮精英入中兮罏铸屡清台兮襍良占测兮可据巧拙兮相形新术精兮羣妒慨万里兮作賔兼十年兮发覆厯成兮弗用良书兮徒着何人事兮多违或苍穹兮有待唯我盛朝度越千代正朔初颁适逢斯防唯钦若以为怀奚畛域乎中外洞新法之宻合命遵行为定制哂防儒兮固陋谬执古兮非今若肓不杖兮聋别竽笙斯术之无兮经指摘兮益明乃诏太史乃咨礼臣谓新厯兮允臧顾仪器兮未成式采铜兮名山鸠哲匠兮上京备制兮六仪各锡兮嘉名赤道兮法动天之西转黄道兮俪七曜之东征古二道为一器兮景交罗而莫分今别其用兮法以简而倍精黄既丽赤而左旋兮复自转而右奔纬度之各异兮亦异其经黄自有极以运兮诚振古之未闻游表所指兮太阳之心时时可验节兮若影于镫地平之仪辨方正位转线参直三光所至出没之度渐升之意秒忽微茫具可别识象限平转兮测髙与庳割圆八线兮于是焉施合四为一兮周天在兹度唯九十兮厥数已全纪限六十兮于以参焉正反隅角兮靡幽弗宣用稽距度兮两星之间弧三角之法兮推其所然五者相资多人分测片晷之余各尽目力假变行之迅速无须臾之或失别有浑球全赋星躔循黄之极碁罫珠联列曜逺近南北八度小轮之限凖斯无捂亦依赤极出地有恒或正升兮斜降或正降兮斜升晰伏见之先后谙里差之所因黄纬之列兮百世无改宫分迤差兮恒星东滙以度计年兮六十六载下设旋轮兮水激自动刻漏防僭兮机发于踵爰有髙弧繋之天顶地平经纬兹焉互审或象限兮平观或纪限兮斜距或黄赤仪之所窥絜之球而参遇烂若轩辕之宝镜兮缩圜形而周布众仪得其散兮球徴其聚正求兮反暎宛转兮廻互测量有书兮或不能句摩娑斯器兮旷如揭雾更旋宫兮十二随道里兮攸殊际地之极南北兮以为之枢子午及平环兮以限四隅隅各三宫兮东方为初次第右环兮大权以区三合六合之照兮凶吉分途惟斯球而可暏兮攷歩笇之宻疏致用万端未克枚举洵天府之竒珍永作则乎来者若其镕金有法弃滓取精磨礲砥砺光辉荧荧旋之中规直之中绳擘划匀细度万其分寘仪衡重测重求心力相扶兮防偏积歳年兮弗倾趺交之以铜龙兮或海兽以相承为水凖与螺柱兮常消息焉取平天矫兮腾踔攫拏兮狰狞讵美观兮一时永奠定兮千春乃至崇台百歩迥出阛阓周以储胥纎埃攸避上列六台方圆式异相依兮交让旋观兮罔阂施窥筒之竒巧眄千里兮如对昼兮日靣之星夜占兮句已之态折照浮光兮气水水气清蒙厚薄兮地心相配交食浅深兮起亏进退地景厚薄兮青绿明昧视差有多少兮命天九重月有望兮太白攸同抱日为轮兮互入相容超西法之旧兮信天能之弗穷登斯台也轩豁洞逹耳目开通挥斥兮八极广揽兮无终意气兮飞扬凌虚兮御风习其器也陆离潇洒缤纷磊砢灿烂兮朝霞孔明兮朱火照曜兮焜煌周流兮轩翥戄对越兮于穆游吾心兮太古帝载之虚无兮陟降其所垓埏之辽絶兮敛之一黍匪重黎之诞降兮曷其臻乎要眇邈祈姚之不作兮畴则探斯奥窔伊崇效而卑法兮协至徳于太灏定百代之犹豫兮踵危微于帝道毕逺臣之精思兮备前王之所少璿玑玉衡之不传兮乃今而获圣人之大宝乱曰巍巍穹窿帝所则兮父干母坤不敢不及兮写以良金如塑像兮朝斯夕斯期勿忘兮子之于父视无形兮瞻兹肖貌曷敢以宁兮兢兢业业承天休兮奉若不违升大猷兮祈天永命从兹始兮亿万斯年昊天其子兮

　　学厯说

　　或有问于梅子曰厯学固儒者事乎曰然吾闻之通天地人斯曰儒而戴焉不知其髙可乎曰儒者知天知其理而已矣安用厯曰厯也者数也数外无理理外无数数也者理之分限节次也数不可以臆说理或可以影谈于是有牵合傅防以惑民听而乱天常皆以不得理数之真蔑由徴实耳且夫能知其理莫尧舜若矣尧典一书命羲和居半舜格文祖首在璇玑玉衡以齐七政岂非以敬天授时固帝王之大经大法而精一之理即于此寓哉曰然则律何以禁私习曰律所禁者天文也非厯也曰二者异乎曰以日月晕抱珥虹蜺彗孛飞流芒角动揺预断未来之吉凶者天文家也本躔离之行度中星之次以察发敛进退敬授民事者厯家也汉艺文志天文二十一家四百四十五卷厯谱十八家六百六卷固判然二矣且夫私习之禁亦禁夫妄言祸福惑世诬民耳若夫日月星辰有目者所共睹古者率作兴事皆用为又何禁焉楚邱之诗曰定之方中作于楚宫夏令曰修而场功偫而畚挶营室之中土功其始火之初见期于司里春秋传曰凡土功龙见而戒事火见而致用水昏正而栽日至而毕此版筑之也豳风之诗曰七月流火九月授衣此裘之也申丰曰古者日北陆而蔵氷西陆朝觌而出之火出而毕赋则蔵氷用氷之也龙见而雩则雩也农祥晨正则畊也三星在天则防也单襄公曰辰角见而雨毕天根见而水涸本见而草木节解驷见而陨霜火见而清风戒寒雨毕除道水涸成梁草木节解而备蔵陨霜而冬裘具清风至而修城郭宫室是故有一则有一之星有一之星则有一之政令田夫红女皆知之矣又何禁焉自梓慎禆灶之徒以星气言事应乃始有灾祥之占而其説亦有騐有不騐有星孛于大辰禆灶曰宋卫陈郑将同日火若我用瓘斝玉瓒则不火子产弗与已而火作灶曰不用吾言郑又将火子产曰天道逺人道迩灶焉知天道是亦多言矣岂不或信卒不与郑亦不火梓慎以日食占水昭子曰旱也已而果旱慎言不效是故唯子产昭子深明乎理数之实乃有以折服矫诬之论虽挟术如慎灶而不为所动故厯学大着则禨祥小数无所依托而自不得行其于政教不无小补与律禁私习之指固殊涂而同归矣曰世皆谓天文厯数能前事而知以豫为趋避而子谓厯学明则占家无所容其欺妄言之徒不待禁而戢其説可得闻乎曰有説也葢古之为厯也疎久而渐宻其势然也唯其踈也厯所歩或多不效于是乎求其说焉不得而占家得以附防于其间是故日月之遇交则食以实防视防为断有常度也而古厯未精于是有当食不食不当食而食之占日之食必于朔也而古用平朔于是有食在晦二之占月之行有迟疾日之行有盈缩皆有一定之数故可以小轮为法也而古唯平度于是占家曰晦而月见西方谓之朓朓则王其舒朔而月见东方谓之仄慝仄慝则侯王其肃月行隂阳厯以不足二十年而周其交也则于黄道其交之半也则出入于黄道之南北五度有竒皆有常也而古厯未知于是占家曰天有三门犹房四表房中央曰天街南间曰阳环北间曰隂环月由天街则天下和平由阳道则主防由隂道则主水夫黄道且有歳差而况月道出入于黄道时时不同而欲定之于房中央不已谬乎月出入黄道既有南北而其与黄道同升也又有正升斜降斜升正降之不同唯其然也故月之始生有平有偃而古厯未知也则为之占曰月始生正西仰天下有兵又曰月初生而偃有兵兵罢无兵兵起月于黄道有南北一因也正升斜降二因也盈缩迟疾三因也人所居南北有里差则见月有蚤晚四因也是故月之初见有初二日初三日之殊极其变则有在朔日初四日之异而古厯未知则为之占曰当见不见又曰不当见而见魄质成蚤也食日者月也不闗云气而占者之説曰未食之前数日日已有谪日大月小日髙月卑卑则近髙则逺逺者见小近者见大故人所见之日月大小略等者乃其逺近为之而非其本形也然日月之行各有最髙卑而影径为之异故有时月正掩日而四靣露光如金环也此皆有可攷之数而占者则以金环食为阳徳盛五星有迟疾留逆而古法唯知顺行于是占者以逆行为灾而又为之例曰未当居而居当去不去当居不居未当去而去皆变行也以占其国之灾福五星之出入黄道亦如日月故所犯星座可以预求也而古法无纬度于是占者以为失行而为之例曰凌曰犯曰鬬曰食曰掩曰合曰句已曰围绕夫句已凌犯占可也以为失行非也五星离黄道不过八度则中官紫微及外官距逺之星必无犯理而占书皆有之近世有着贤相通占者删去古占黄道极逺之星亦既知其非是矣至于恒星有定数亦有定距终古不变而世之占者既无仪器以知其度又不知星座之出入地平有蒙气之差或以横斜之势而目视偶乖遂妄谓其移动于是为占曰王良防马车骑满野天钩直则地维坼泰阶平人主有福中州以北去北极度近则老人星逺而近浊不常见也于是古占曰老人星见王者多夀以二分日之若江以南则老人星甚髙三时尽见而畴人子弟犹歳以二分占老人星宻防贡谀此其仍讹习欺尤大彰明者矣故厯学不明而徒为之禁以严之终不能禁也或以禁之故而私相传习矜为秘授以售其诈若厯学既明则人人晓然于其故虽有异説而自无所容余所以数十年从事于斯而且欲与天下共明之也且子不徴之功令乎经史语孟士之本业也而鲁论言辰居星拱行夏之时孟子言千歳日至可坐而致易言治厯明时大传言五歳再闰三百有六十当期之日尧典中星分测验之地玑衡之制为万世法辰弗集房载于夏书诗称十月之交朔日辛卯春秋纪日食三十六礼载月令大戴礼述夏小正皆详日所在宿及恒星伏见昏旦之中与其方向低昻之状用为月节以布政教而成百事又自汉太初以来造厯者数十家皆具其説于史若是者既刋布其书使学者诵习之矣三年而试之程式发防往往有及于律厯者其于律之禁宁相背乎是故律禁私习妄言而未尝禁士之习经史也而顾诿之为星翁卜师之事而漫不加察反令术士者流得挟其不经之说以相炫诱而不能断其惑是亦儒者之过也故人之言天以占验为竒吾之言厯以能辩惑为正曰然则占騐可废乎将天变不足畏邪曰恶是何言也吾所谓辩惑者辩其诬也若夫王者遇灾而惧侧身修省以答天戒固钦若之精意也又可废乎古者日食修徳月食修刑夫徳与刑固不以日月之食而始修也遇其变加警惕焉此则理之当然未敢以数之有常而或懈也此又学厯者所当知

　　厯学源流论

　　梅子殚心厯学数十年而叹心之神明无有穷尽虽以天之髙星辰之逺有迟之数千百年始见端绪而人輙知之輙有新法以追其变故世愈降厯愈以宻而要其大法则定于唐虞之时今夫厯所歩有四曰恒星曰日曰月曰五星治厯之具有三曰数曰图象曰测验之器由是三者以得前四者躔离朓朒盈缩交蚀迟留伏逆掩犯之度古今作厯者七十余家踈宻代殊制作各异其法具在可攷而知然大约三者尽之矣尧命羲和厯象日月星辰舜在璇玑玉衡以齐七政厯者数也象者图也浑象也璿玑玉衡测验之器也故曰定于唐虞之世也然厯之最难知者有二其一里差其一歳差是二差者有微有着非积差而至于着虽圣人不能知而非其距之甚逺则所差甚微非目力可至不能入故古未有知歳差者自晋虞喜宋何承天祖冲之隋刘焯唐一行始觉之或以百年差一度或以五十年或以七十五年或以八十三年未有定説元郭守敬定为六十六年有八月回回泰西差法略似而守敬又有上攷下求増减歳余天周之法则古之差迟而今之差速是谓歳差之差可谓精到若夫日月星辰之行度不变而人所居有东南西北正视侧视之殊则所见各异谓之里差亦曰视差自汉及晋未有知之者也北齐张子信始测交道有表里此方不见食者人在月外必反见食宣明厯本之为气刻时三差而大衍厯有九服测食定晷漏法元人四海测验二十七所而近世欧逻巴航海数万里以身所经山海之程测北极为南北差测月食为东西差里差之说至是而确是葢合数千年之积测以定歳差合数万里之实验以定里差距数逾逺差积逾多而晓然易辨且其为法既推之数千年数万里而凖则施之近用可以无惑厯至今日屡变益精以此然余亦谓定于唐虞之时何也不能预知者差之数万世不易者求差之法古之圣人以日之所在不可以目视而器窥也故为之中星以纪之鸟火虚昴此万世求歳差之根数也又以日之出入发敛不可以一方之所见为定也故为之嵎夷昧谷南交朔方之宅以分之此万世求里差之定法也呜呼至矣学者知合数千年数万里之心思耳目以治厯而后能精宻又知合数千年数万里之心思耳目以为之精宻者适以成古圣人未竟之绪则当思羲和以后凡有能出一新智立一防法之至今者皆有其所以立法之故及其久而必变也又皆有所以变之説于是焉反覆推论必使理解氷释无纎毫疑似于吾之心则吾之心即古圣人之心亦即天之心而古今中外之见可以不设而要于至是夫如是则古人之精意可使常存不致湮没于耑已守残之士而过此以往或有差变之微出于今法之外亦可本其常然以深求其变而徐为之修改以衷于无则是善于治厯者也

　　厯算全书卷六

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

　　序

　　厯家所凭全恃测騐昔者蔡邕上书愿匍匐浑仪之下按度考数着于篇章以成一代盛典古人之用心盖可想见然则儒者端居斗室足不履观台目不睹浑象安所得测騐之事而亲之而安从学之曰所恃者有测騐之法之理在则句股是也遭秦之厄天官书器散亡汉落下闳鲜于妄人等追寻坠绪厯代相承攷订加详至于今日厥理大着则句股之用于浑圆是也今夫测量之法方易而圆难古用径一围三聊举成数非有所不知也自刘徽祖冲之各为圆率逮元赵友钦定为径一则围三一四一五九二与今西术略同皆割圆以得之非句股奚借焉【西法割圆比例以直角三边形为主即句股也但异其名不异其实】然用句股测平圆犹易用句股测浑圆更难厯家所测皆浑圆也非平圆也古有黄赤道相准之率大约于浑器比量仅得梗槩未能彰诸笇术近代诸家以相减相乘推变其差损益有序稍为近之而未亲也惟元郭太史守敬始以弧矢命笇有平视侧视诸图推步立成诸数黄赤相求斯有定率视古为密由今观之皆句股也但其立法必先求矢又用三乗方取数不易故但能列其一象限中度率不复能求其细分之数厯书之法则先求角既因弧以知角复因角以知弧而句股之形能预定其比例又佐之八线互用以通其穷其法以三弧度相交辄成三角则此三弧度者各有其相应之弧与弧相割即与相遇而句股生焉茍熟其法则正反斜侧八线犁然各相得而成句股【八线比例以半径全数为正余为句为股又以割线为切线与半径全数为其句股表中所列句股形凡五千四百】于是乎黄可变赤赤可变黄可以经度知纬可以纬度知经罗络钩连旁通曲畅分秒忽微胪陈笇位求诸中心可无纎芥之疑告诸同学亦如指掌之晰即不必匍匐浑仪之下可以不窥牖而见天道赖有此具也全部厯书皆弧三角之理即皆句股之理顾未尝正言其为句股使人望洋无际【彼云直角三边形此云句股乃西国方言译书时不知此理遂生分别】又译书者识有偏全笔有工拙语有浅深详略所载图説不无渗漏之端影似之谈与臆参之见学者病之兹稍为摘其肯綮从而防剔订补以直截发明其所以然窃为一言以蔽之曰析浑圆防句股而已盖于是而知古圣人立法之精虽弧三角之巧岂能出句股范围然句股之用亦必至是而庶无余蕴尔厯法之深防奥衍不啻五花八门其章句之诘曲离竒不啻羊肠絙度而由是以啓其扃钥庶将掉臂游行若揭日月而骋康庄矣文虽不多实为此道中开辟涂径盖积数十年之探索而后能防通简易故亟欲与同志者共之余老矣禹服九州之大厯代圣人教泽所渐被必有好学深思其人所冀大为阐发俾古人之意晦而复昭一线之传引而弗替则生平之志愿毕矣岂必身擅其名然后为得哉余拭目竢之康熙二十三年上元甲子长至之吉勿庵梅文鼎书于柏枧山中

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷七

　　宣城梅文鼎撰

　　弧三角举要卷一

　　弧三角体势

　　弧三角与平异理故先体势知体势然后可以用算而算莫先于正弧犹平三角之有句股形也故以为弧度之宗正弧形之之角取法于黄赤交角则有定度而余角取法于过极圏交黄道之角则随度而移互用之其理益显故有求余角法弧三角以一角对一边而比例等与平三角同而其理别故有弧角比例法斜弧无相对之弧角则比例之法穷故有垂弧法三角求边则垂弧之法又穷故有次形法垂弧与次形合用则有捷法弧与角各有八线而可以互视故有相当法【余详环中尺及堑堵测量】

　　弧度与天相应

　　弧三角之法以测浑员浑员之大者莫如天员之至者亦莫如天故弧三角之度皆天度也

　　以平测员其难百倍以员测员其简百倍而得数且真是故测天者必以弧度而论弧度者必以天为法测弧度必以大圏

　　浑球上弧度有极大之圏乃腰围之一线也如赤道带天之纮原止一线如黄道如子午规如地平规尽然又如测得两星相距之逺近亦为大圏之分【若以此两星之距弧引而长之必匝于浑员之体而成大圏不论从衡斜侧皆同一法】

　　球上大圏必相等

　　所以必用大圏者以其相等也　浑球上从衡斜侧皆可为大圏而其大必相等者以俱在腰围之一线也如黄道赤道及子午规地平规俱系大圏必皆相等不相等即非大圏故惟大圏可相为比例【任测两星之距不必当黄赤道而能与二道相比例者以其皆大圏也】

　　球上两大圏无平行者

　　大圏在浑球既为腰围之一线则必无两圏平行之法若平行即非大圏【如黄赤道并止一线而无广即无地可容平行线也子午规地平规亦然】球上圏能与大圏平行者皆小圏谓之距等圏

　　离大圏左右作平行圏皆曰距等圏谓其四围与大圏相距皆等【如于黄道内外作纬圏其与黄道相距或近则四靣皆近或逺则四面亦皆逺无毫忽之不同平行故也赤道纬圏地平髙度并同】而其自相距亦等故曰距等也【如黄道内外或近或逺处处可作距等圏而皆与黄道平行即其圏亦自相平行故并为等距】距等圏皆小于大圏【如黄道内外纬圏但离数分其围即小于黄道其距益逺其圏益小小之极至一防而止诸纬圏并然】不能与大圏为比例【大圏惟一距等圏无数无一同者无法可为比例】故为比例者必大圏也

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷七>

　　如图甲乙为大圏大圏只一丙丁及戊庚等皆小圏小圏无数渐近圎顶己即其圏愈小而成一防大小悬殊故不可以相为比例

　　大圏之比例以度不拘丈尺

　　凡圏皆可分三百六十度【每圏平分之成半周四平分之成象限象限又各平分之为九十度成三百六十度】而球大者其大圏大球小者其大圏小皆以本球之围径自为比例不拘丈尺【尽本球之围分为全周之度其球上之度即皆以此为准但在本球上为最大故谓之大圏非以丈尺言其大小】古人以八尺浑仪准周天盖以此也又如古浑仪原有三重其在内之环周必小于外而其度皆能相应者在内环周虽小而在内之浑员以此为大圏即在内之各度并以此为准故也

　　大圏之度为公度

　　凡球上距等圏亦可平公三百六十度而其圈皆小于本球之大圏又大小不伦则其所分之细度亦皆小于大圈而大小不伦矣惟本球腰围大圏上所分之度得为公度故凡言度者必大圏也

　　如图甲乙为大圏一象限丙丁及戊庚各为距等小圏一象限象限虽同而大小迥异又如甲辛为大圈三十度丙壬及戊癸亦各为小圏之三十度其为三十度虽同而大小亦异再细攷之至一度或至一分亦大小异也故惟大圏之度为公度

　　大圏即本球外周其度即外周之度而横直皆相等

　　平员有径有周浑员亦有径有周立浑员于前则外周可见即腰围之大圏也旋而视之皆可为外周故大圏之横直皆等【皆以外周度为其度故等】

　　如图子午规为浑仪外周其度三百六十乃横度也地平为腰围度亦三百六十乃横度也横度直度皆得为外周故其度相等若依北极论之则赤道又为腰围而亦即外周也推是言之浑球上大圏从衡斜侧皆相等何则旋而视之皆得为腰围即皆得为外周故也大圏上相遇有相割无相切大圏相割各成两半分

　　球上从衡斜侧既皆成大圏则能相割矣而皆为浑员之外周则必无相切之理【若相切者必在外周之内为距等小圈】

　　如图甲丙乙为大圏半周能割大圏于甲于乙而不能相切丙丁成小圈则能切大圏于丙于丁

　　如图甲庚辛乙为大圏半周割外圏于甲于乙则甲己乙乙子甲亦各成半周若壬癸距等圏割大圏于庚于辛而庚辛非半周

　　球上两大圏相割必有二处此二处必相距一百八十度而各成两平分如黄赤二道相交于春分必复相交于秋分即二分之距必皆半周一百八十度而黄道成两半分赤道亦两平分也若距等圏与大圏相割必不能成两平方

　　两大圏相遇则成角

　　球上大圏既不平行则其相遇必相交相割而成角弧三角之法所由以立也角有正有斜斜角又有锐钝共三种而角两旁皆弧线与直线角异

　　如图己午戊子为子午规辛午乙子为地平规两大圏正相交于南地平之午北地平之子则皆正角而四角皆等并九十度角也【正角一名直角一名十字角一名正方角】

　　如图午辛子为地平规丁辛癸为赤道规两大圏斜相交于辛则丁辛子钝角大于九十度丁辛午锐角小于九十度两角相并一百八十度减锐角其外角必钝若减钝角亦得鋭角也故有内角即知外角　又两锐角相对两钝角相对其度分必等故有此角即知对角凡此数端并与平三角同然而实有不同者以角两旁之为弧线也

　　弧线之作角必两

　　直线剖平员作角形如分饼角旁两线皆半径至周而止弧线剖浑幂作角形如剖角旁两弧线皆半周必复相交作角而等【如黄赤道交于二分其角相等】

　　角有大小量之以对角之弧其角旁两弧必皆九十度

　　弧线角既如瓣则其相距必两端狭而中濶其最濶处必离角九十度此处离两角各均即球上腰围大圏也故其度即为角度【如黄赤道之二分交角二十三度半即二至时距度此时黄赤道离二分各九十度乃腰围最濶处也】

　　大圈有极

　　大圏能分浑员之面幂为两则各有最中之处而相对是为两极两极距大圏四靣各九十度

　　如图甲辛乙为赤道大圈己为北极己为南极甲己丁己等弧线距北极各九十度距南极亦然　若己为天顶甲辛乙为地平大圏亦同如甲正北辛正东乙正南丁东北丙东南所在不同而甲乙等髙弧距天顶各九十度皆等

　　大圏上作十字弧线引长之必过两极两极出弧线至大圏必皆十字正交

　　如赤道上经圏皆与赤道正交为十字角则其圏必上过北极下过南极也然则从两极出弧线过赤道必十字正交矣

　　大圏之极为众角所辏

　　如赤道上逐度经圏皆过两极则极心一防为众角之宗【经圏之弧在赤道上成十字者本皆平行渐逺渐狭至两极则成角形之锐尖】角无论大小皆辏于极而合成一防离此一防外即成锐钝之形而皆与赤道度相应所谓量角以对弧度而角两旁皆九十度以此

　　如图己为北极即众角之顶鋭其所当赤道之度如乙丙等则己角为鋭角如丙庚等则己角为钝角　若己为天顶外圏为地平亦然

　　角度与角旁两弧之度并用本球之大圏度故量角度者以角为极

　　有弧线角不知其度亦不知角旁弧之度法当先求本球之九十度【其法以角旁二弧各引长之使复作角乃中分其弧即成本弧之九十度而角旁弧之度可知】以角为心九十度为界作大圏【与角旁两弧并本球大圏而其分度等】乃视角所当之弧【即角旁两九十度弧所界】于大圏上得若干度分即角度也故曰以角为极

　　三大圏相遇则成三角三边

　　此所谓弧三角形也如黄道赤道既相交于二分又有赤道经圏截两道而过之则成乙丙甲弧三角形

　　知图己为北极戊辛为赤道丁庚为黄道二道相交于春分成乙角又己壬为过极经圏自北极己出弧线截黄道于丙得丙乙边为黄道之一弧亦截赤道于甲成甲乙边为赤道之一弧而过极经圏为二道所截成丙甲边为经圏之一弧是为三边即又成丙角甲角合乙角为三角

　　弧三角不同于平三角之理

　　弧三角形有三角三边共六件以先有之三件求余三件与平三角同所不同者平三角形之三角并之皆一百八十度弧三角不然其三角最小者比一百八十度必盈【三边在一度以下可借平三角立算因其差甚微然其角度视半周必有微盈】但不得满五百四十度【角之极大者合之以比三半周必不能及】

　　平三角之边小仅咫尺大则千百万里弧三角边必在半周以下【不得满一百八十度】合三边不得满三百六十度【如满全周即成全员而不得成三角】

　　平三角有两角即知余角弧三角非算不知

　　平三角有一正角余二角必锐弧三角则否【有三正角两正角者其余角有钝有鋭或两鋭两钝或一鋭一钝不等】

　　平三角有一钝角余二角必锐弧三角则否【其余角或鋭或正或钝甚有三钝角者】

　　平三角以不同边而同角为相似形同边又同角为相等形弧三角则但有相等之形而无相似之形以同角者必同边也

　　平三角但可以三边求角不可以三角求边弧三角则可以三角求边【弧三角之边皆员度也初无丈尺可言故三角可以求边若干三角边各有丈尺则必有先得之边以为之例所以不同　前条言有相等之形无相似之形亦谓其所得之度相等非谓其丈尺等也】

　　弧三角用八线之理

　　平三角用八线惟用于角弧三角用八线并用于边平三角以角之八线与边相比弧三角是以角之八线与边之八线相比平三角有正角即为句股若正弧三角形实非句股而以其八线辏成句股

　　平三角以角求边是用弧线求直线也【有角即有弧】以边求角是用直线求弧线也然角以八线为用仍是以直线求直线也句股法也弧三角以边求角以角求边并是以弧线求弧线也而角与边并用八线仍是以直线求直线也亦句股法也【盖惟直线可成句股】所不同者平三角所成句股形即在平靣而弧三角所成句股不在弧靣而在其内外

　　弧三角之防线面体

　　测量家有防线面体弧三角备有之其所测之角即防也但其防俱在弧靣【如于浑球任指一星为所测之防即角度从兹起如太阳太阴角度并从其中心一防论之】

　　弧三角之边即线也但其线皆弧线【如浑球上任指两星即有距线或于一星出两弧线与他星相距即成角而角旁两线皆弧线也】

　　弧三角之形即靣也但其靣皆浑球上面幂之分形弧三角之所丽即浑体也剖浑员至心即成锥体而并以弧三角之形为底【详堑堵测量】

　　浑员内防线面体与弧三角相应

　　前条防线面体俱在球面可以目视器测但皆弧线难相比例【比例必用句股句股必直线故也】赖有相应之防线面惟在浑体内厯员可指虽不可以目视而可以算得弧三角之法所以的确不易也　如浑球中剖则成平员即靣也于是以球面之各防【即弧三角之各角】依视法移于平员面即浑员内相应之防也又以弧与角之八线移至平面成句股以相比例是浑员内相应之线也　又如弧三角之三边各引长之成大圏各依大圏以剖浑员即各成平员面是亦浑员内相应之面也二平员面相割成瓣之体三平员面相割成三楞锥体若又依八线横割之即成堑堵诸体是浑员体内相应之分体也此皆与弧面相离在浑员之内非剖浑员即不可见而可以算得即不啻目视而器测矣

　　大圏与浑员同心

　　球上大圏之心即浑员之心【若依各大圏剖浑员成平员面其平员心即浑员之心】若距等小圏则但以浑员之轴为心而不能以浑员心为心同心者亦同径【大圏以浑贠径为径若距等圏则但以通为径】浑体内诸线能与弧三角相应者以此【浑员体内诸线皆宗其径弧三角既以大圏相割而成必宗大圏之径径同故内外相应】弧三角之边不用小圏亦以此也【距等圏既与大圏异径则其度不齐不能成边而所作之角必非真角无从考其度分也】

　　弧三角视法

　　弧三角非图不明然图弧线于平面必用视法变浑为平

　　平置浑仪从北极下视则惟赤道为外周不变而黄道斜立即成撱形　其分至各经圏本穹然半员今以正视皆成员径是变弧线为直线也

　　立置浑仪使北极居上而从二分平视之则惟极至交圏为外周不变其赤道黄道俱变直线为员径而成辏心之角【即大距度平面角】是变弧线角为直线角也【又距等圏亦变横线而成各度正与员径平行】其赤道上逐度经圏之过黄赤道者虽变撱形而其正不变且厯算可见如在平面而与平面上之大距度正同角成大小句股比例是弧面各线皆可移于平面也故视法不但作图之用即步算之法已在其中

　　以上谓之正视【以黄赤道为式若于六合仪取天顶地平诸线亦同他可类推】

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷七>

　　以上谓之旁视【浑员上有垜叠诸线从旁侧视之庶几可见虽不能按度肖形而大意不失以显弧三角之理为用亦多】

　　角之矢

　　如图甲丙乙丁半浑员以甲戊乙弧界之则其弧面分两角为一鋭一钝以视法移此弧度于相应之平面亦一鋭一钝即分员径为大小二矢而戊丙正矢为戊甲丙鋭角之度【戊乙丙亦同】戊丁大矢为戊甲丁钝角之度【戊乙丁亦同】故得矢即得角

　　角之八线

　　如前图丙戊弧为甲锐角之度与丙庚等则丙戊之在平面者变为直线即爲甲鋭角之矢而戊巳为角之余戊庚为角之正丙辛爲角之切线己辛为角之割线皆与平面丙庚弧之八线等

　　丁巳戊过弧为甲钝角之度与丁乙庚过弧等则丁戊在平面者变为钝角之大矢而戊巳余戊庚正丙辛切线己辛割线并与鋭角同【平面钝角之八线与外角同用弧三角亦然】正弧斜弧之角与边分为各类

　　凡三角内有一正角谓之正弧三角形三角内并无正角谓之斜弧三角形

　　正弧三角形之角有三正角者有二正角一鋭角者有二正角一钝角者【以上种种不须用算】又有一正角两鋭角者【内分二种一种两锐角同度一种两锐角不同度】有一正角两钝角者【内分二种一种两钝角同度一种两钝角不同度】有一正角一锐角一钝角者【内分二种一种锐钝角角合之成半周一种合锐钝两角不能成半周】计正弧之角九种而用算者六也

　　正弧三角形之边有三边并足者【足谓足九十度】有二边足一边小者【在象限以下为小】有二边足一边大者【过象限以上为大○以上三种可不用算】有三边并小者【内分二种一种二边等一种二边不等】有二边大而一小者【内分三种一种二大边等一种二大边不等一种小边为一大边减半周之余】计正弧之边八种而用算者五也

　　二边俱小则余边必不能大故无二小一大之形二边俱大则余边亦不能大故无三边并大之形一边若足则余边亦有一足故无一边足之形

　　正弧三角形图一【计三种】

　　正弧三角形图二【讣三种】

　　以上正弧形三种有同度之边与角谓之二等边形内有己形虽无同等之邉角而有共为半周之邉角度虽不同而所用之正则同即同度也

　　凡邉等者角亦等后仿此

　　正弧三角形图三【计三种】

　　以上正弧形三种边角与丁戊巳三种无异但无同度之边凡正弧三角形共九种

　　斜弧三角形之角有三角并鋭者【内分三种一种有二角相等一种三角不相等一种三角俱等】有二角锐而一钝者【内分四种一种二锐角相等一种二锐角不相等一种钝角为一锐角减半周之余一种二锐角相等而又并为钝角减半周之余】有二角钝而一锐者【内分四种一种二钝角相等一种二钝角不相等一种锐角为一钝角减半周之余一种二钝角相等而又并为锐角减半周之余】有三角并钝者【内分三种一种有二角相等一种三角不相等一种三角相等】计斜弧之角十有四种

　　斜弧三角形之边有一边足二边小者【内分二种一种二小边相等一种二小边不等】有一边足二边大者【内分二种一种二大边等一种二大边不等】有一边足一边小一边大者【内分二种一种大小二边合之成半周一种合二边不能成半周】有三边并小者【内分三种一种三边不等一种二边等一种三边俱等】有二边大而一小者【内分四种一种二大边等一种二大边不等一种小边为一大边减半周之余一种二大边等而又并爲小边减半周之余】有二边小而一大者【内分四种一种二小边等一种二小边不等一种大边为一小边减半周之余一种二小边等而又并为大边减半周之余】有三边并大者【内分三种一种三边不等一种二边等一种三边俱等】计斜弧之边二十种

　　斜弧三角形图一【计四种】

　　以上斜弧形四种并三角三边同度谓之三等边形内有二等边者其一边为等边减半周之余与三等边同法【以同用正故】

　　斜弧三角形图二【计十二种】

　　以上斜弧三角形十二种并二等边形内有四种以大小二边度成半周与二等边同法【小边为大边减半周之余则同用一正】

　　斜弧三角形图三【计十种　厯书只九种遗一鋭二钝形】

　　以上斜弧三角形十种并三边不等【用算只四种】

　　凡斜弧三角形共二十六种

　　通共弧三角形三十五种【内除正弧三种不须用算实三十二种】

　　乙丁寅为赤道乙丙癸为黄道乙与寅为春秋分癸为夏至午癸丁辰为极至交圏午与辰为南北极午丙甲为过极经圈

　　丙乙为黄道距二分之度甲乙为赤道距二分之度【卯同升度】丙甲为黄赤距纬成丙乙甲三角弧形甲为正角乙春秋分角与浑员心卯角相应

　　癸丁弧为黄赤大距【即乙角之弧亦为夘角之弧】癸巳为乙角正卯巳其余戊丁为乙角切线戊卯其割线卯癸及夘丁皆半径成癸巳夘及戊丁夘两句股形

　　又午夘半径庚午为乙角余切庚夘为乙角余割成午夘庚倒句股形

　　丙辛为丙甲距度正丙壬为丙乙黄道正作辛壬线与丁卯平行成丙辛壬句股形

　　子甲为丙甲距度切线甲丑为甲乙赤道正作子丑线与丙壬平行成子甲丑句股形

　　酉乙为丙乙黄道切线未乙为甲乙赤道切线作酉未线与子甲平行成酉未乙句股形

　　前二句股形在癸丁大距弧内外【癸巳邜用正余在弧内戊丁夘用割切线出弧外】后三句股形在丙乙甲三角内外【丙辛壬在丙角用两正在浑员内子甲丑在甲角兼用正切线半在内半在外酉未乙用两切线在浑员外】

　　论曰此五句股形皆相似故其比例等何也赤道平安从乙视之则丁乙象限与丁夘半径视之成一线而辛壬聨线甲丑正未乙切线皆在此线之上矣以其线皆平安皆在赤道平面与赤道半径平行故也【是为句线】赤道平安则黄道之斜倚亦平其癸乙象限与癸夘半径从乙视之亦成一线而丙壬正子丑聨线酉乙切线皆在此线之上矣以其线皆斜倚皆在黄道平面与黄道半径平行故也【是为线】

　　黄赤道相交成乙角而赤道既平安则从乙窥夘卯乙半径竟成一防而乙丑壬夘角合成一角矣

　　诸句股形既同角而其句线皆同赤道之平安其线皆同黄道之斜倚则其股线皆与赤道半径为十字正角而平行矣是故形相似而比例皆等也【其夘午庚倒句股形为相当之用与诸句股形亦相似而比例等】

　　又论曰丙辛壬形两正【丙辛丙壬】俱在浑体之内其理易明子甲丑形甲丑正在浑体内子甲切线在浑体之外已足诧矣酉未乙形两切线【酉乙未乙】俱在浑体之外虽习其术者未免自疑厯书置而不言盖以此耶今为补説详明欲令学者了然心目庶以用之不疑

　　用法

　　假如有丙乙黄道距春分之度求其距纬丙甲法为半径癸夘与乙角之正癸巳若丙乙黄道之正丙壬与丙甲距纬之正丙辛也

　　一　半径全数　癸夘　

　　二　乙角正　癸巳　股

　　三　黄道正　丙壬　

　　四　距纬正　丙辛　股

　　若先有丙甲距度而求丙乙黄道距二分之度则反用之为乙角之正癸巳与半径癸夘【若欲用半径为一率以省除则为半径午夘与乙角之余割庚夘其比例亦同】若丙甲距纬之正丙辛与丙乙黄道之正丙壬也

　　一　乙角正　癸巳　　半径全数　午夘　股二　半径全数　癸夘　　乙角余割　庚夘　

　　三　距纬正　丙辛　　　　　　　　　　股

　　四　黄道正　丙壬　　　　　　　　　　

　　右丙辛壬形用法

　　假如有甲乙赤道同升度求距纬丙甲法为半径夘丁与乙角之切线丁戊若甲乙赤道之正甲丑与丙甲距纬之切线子甲也

　　一　半径全数　卯丁　句

　　二　乙角正切　丁戊　股

　　三　赤道正　甲丑　句

　　四　距纬正切　子甲　股

　　若先有丙甲距纬而求甲乙赤道则反用之为乙角之切线戊丁与半径丁夘【或用半径为一率则为半径夘午与乙角之余切午庚】若丙甲距纬之切线子甲与甲乙赤道之正甲丑也一　乙角正切　戊丁　半径全数　卯午　股二　半径全数　丁夘　乙角余切　午庚　句

　　三　距纬正切　子甲　　　　　　　　股

　　四　赤道正　甲丑　　　　　　　　句

　　右子甲丑形用法

　　论曰以上四法厯书所有但于图増一夘午庚句股形则互视之理更明

　　假如有丙乙黄道距二分之度径求甲乙赤道同升度法为半径夘癸与乙角之余夘巳若丙乙黄道之切线酉乙与甲乙赤道之切线未乙也

　　一　半径全数　夘癸　

　　二　乙角余　卯巳　句

　　三　黄道正切　酉乙　

　　四　赤道正切　未乙　句

　　若先有甲乙赤道而求其所当黄道丙乙法为半径丁夘与乙角之割线戊夘若甲乙赤道之切线未乙与丙乙黄道之切线酉乙也

　　一　半径全数　丁夘　句

　　二　乙角正割　戊夘　

　　三　赤道正切　未乙　句

　　四　黄道正切　酉乙　

　　论曰以上两条酉未乙形用法予所补也有此二法黄赤道可以自相求而正角弧形之用始备矣外此仍有三弧割线余之用具如别纸

　　十余年前曽作弧三角所成句股书一册稿存儿辈行笈中觅之不可得也庚辰年乃复作此至辛己夏复得旧稿为之惘然然其理固先后一揆而説有详略可以互明不妨并存以征予学之进退因思古人毕生平之力而成一事良自不易世有子云或不以覆瓿置之乎康熙辛己七夕前两日勿庵梅文鼎识是日也爲立秋之辰好雨生凉炎歊顿失稍简残帙殊散人懐

　　甲乙丙正弧三角形即测量全义第七卷原图稍为酌定又増一酉未乙形

　　测员之用甚博非止黄赤也然黄道赤道南北极二分二至诸名皆人所习闻故仍借用其号以便识别案图中句股形凡五皆形相似

　　其一癸巳夘形

　　以癸卯半径为【即黄道半径】癸巳正为股【即黄赤大距弧之正】巳夘余为句【即黄赤大距弧之余】

　　其二戊丁夘形

　　以戊夘割线为【即黄赤大距弧之正割线】戊丁切线为股【即黄赤大距弧之正切线】丁夘半径为句【即赤道半径】

　　以上二句股形生于黄赤道之大距度乃总法也两句股形一在浑体之内一出其外同用夘角【即黄道心亦即春分角】

　　其三丙辛壬形

　　以丙壬正为【即黄经乙丙弧之正以丙夘黄道半径为其全数而夘壬其余】丙辛正为股【即黄赤距纬丙甲弧之正亦以丙夘黄道半径为其全数而辛夘其余】辛壬横线为句

　　法于赤道平面上作横线聨两余成夘壬辛平句股形此形以距纬余【夘辛】为黄经余【夘壬】为股而辛壬其句也此辛壬线既为两余平句股形之句亦即能为两正立句股形之句矣厯书以辛壬为丙辛之余误也然则当命为何线曰此非八线中所有乃立三角体之楞线也

　　其四子甲丑形

　　以子丑斜线为【此亦立三角体之楞线也非八线中之线】子甲切线为股【即黄赤距纬弧之正切线以赤道半径甲夘为其全数而子夘其割线也】甲丑正为句【即赤经乙甲弧之正亦以赤道半径甲夘为其全数而丑夘其余也】

　　其五酉未乙形

　　以酉乙切线为【即黄经丙乙弧之正切线以黄赤半径夘乙为其全数而酉夘其割线也】酉未立线为股【此亦立三角之楞线非八线中之线】未乙切线为句【即赤经乙甲弧之正切线亦以黄赤半径夘乙为其全数而未夘其割线也】

　　以上三句股形生于设弧之度第三形在浑体之内第四形半在浑体之内而出其外第五形全在浑体之外

　　问既在体外其状何如曰设浑圆在立方之内而以两极居立方底葢之心以乙春分居立方立面之心则黄赤两经之切线酉乙未乙皆在方体之立面而未乙必为句酉乙必为于是作立线聨之即成酉未乙句股形矣此一形厯书遗之予所补也【详堑堵测量】

　　论曰此五句股形皆同角故其比例等然与弧三角真同者乙角也

　　第一【癸巳夘形】第二【戊丁夘形】两形皆乙角原有之八线即春秋分角也其度则两至之大距也

　　或先有角以求边则以此两形中线例他形中线得线则得边矣

　　或先有边以求角则以他形中线例此两形中线得线则亦得角矣【盖夘角即乙角也○若欲求丙角则以丙角当乙角如法求之】

　　第三形【丙辛壬形】以黄经之正【丙壬】黄赤距度之正【丙辛】为与股是以黄经与距纬相求

　　或先有乙角有黄经以求距纬【用乙角实用壬角下同】

　　或先有乙角有距纬以求黄经

　　或先有黄经距纬可求乙角亦可求丙角

　　第四形【子甲丑形】以黄赤距纬之切线【子甲】赤经之正【甲丑】为股与句是以距纬与赤经相求

　　或先有乙角有赤经以求距纬【用乙角实用丑角下同】

　　或先有乙角有距纬以求赤经

　　或先有赤经距纬可求乙角亦可丙角

　　第五形【酉未乙形】以赤经之正切【未乙】黄经之正切【酉乙】为句与是黄赤经度相求

　　或先有乙角有黄经以求赤道同升度

　　或先有乙角有赤道同升以求黄经

　　或先有黄赤二经度可求乙角亦可求丙角

　　又论曰诸句股形所用之夘壬丑乙四角实皆乙角何也侧望则弧度皆变正而体心夘作直线至乙为夘壬丑乙线即半径也今以侧望之故此半径直线化为一防则乙角即夘角亦即壬角亦即丑角矣

　　癸丁为乙角之度【即黄赤大距二至纬度】癸乙为黄道半径丁乙为赤道半径戊丁为乙角切线癸巳为乙角正戊乙爲乙角割线已乙为乙角余癸巳乙戊丁乙皆句股形其乙角即夘角

　　丙甲为设弧距度其正丙辛其切线子甲

　　丙乙为所设黄道度其正丙壬【因侧望弧度正成一线】偕距度正丙辛成句股形其乙角即壬角

　　甲乙爲所设赤道同升度其正甲丑【因侧望弧度正成一线】偕距度切线子甲成句股形其乙角即丑角

　　酉乙为所设黄经切线未乙为赤道同升度切线此两线成一酉未乙句股形在体外真用乙角

　　正弧三角形求余角法

　　凡弧三角有三边三角先得三件可知余件与平三角同理前论正弧形以黄赤道为例而但详乙角者因春分角有一定之度人所易知故先详之或疑求乙角之法不可施于丙角兹复为之条析如左【仍以黄道上过极经圏之交角为例】

　　假如有乙丙黄道度有乙甲赤道同升度而求丙交角则爲乙丙之正与乙甲之正若半径与丙角之正也

　　假如有丙甲距度及乙甲同升度而求丙交角则为丙甲之正与乙甲之切线若半径与丙角之切线

　　假如有丙甲距度及乙丙黄道度而求丙交角则为乙丙之切线与丙甲之切线若半径与丙角之余

　　又如有丙交角有乙丙交道度而求乙甲同升度则为半径与丙角之正若乙丙之正与乙甲之正

　　或先有乙甲同升度而求乙丙黄道度则以前率更之为丙角之正与半径若乙甲之正与乙丙之正

　　又如有丙交角有乙甲同升度而求丙甲距度则为丙角之切线与半径若乙甲之切线与丙甲之正

　　或先有丙甲距度而求乙甲同升度则以前率更之为半径与丙角切线若丙甲正与乙甲切线

　　又如有丙交角有乙丙黄道度求丙甲距度则为半径与丙角余若乙丙切线与丙甲切线

　　或先有丙甲距度而求乙丙黄道则以前率更之为丙角余与半径若丙甲切线与乙丙切线

　　论曰求丙角之法一一皆同乙角更之而用丙角求余边亦如其用乙角也所异者乙角定为春分角则其度不变丙角为过极经圏交黄道之角随度而移【交角近大距则甚大类十字角近春分只六十六度半弱中间交角度度不同他亦然皆逐度变丙角】有时大于乙角有时小于乙角【乙角不及半象限则丙角大乙角过半象限则丙角有时小】故必求而得之又论曰丙交角既随度移而甲角常为正角何也凡球上大圏相交成十字者必过其极今过极经圏乃赤道之经线惟二至时则此圏能过黄赤两极其余则但过赤道极而不能过黄道极故其交黄道也常为斜角【即丙角】交赤道则常为正角【即甲角】

　　又论曰丙角与乙角共此三边【一乙丙黄道一乙甲赤道一丙甲距度】其所用比例者亦共此三边之八线【三边各有正亦各有切线】而所成句股形遂分两种可互观也

　　乙角所成诸句股皆以戊丁夘为例

　　内角所成诸句股皆以亥辰夘为例

　　并如后图

　　如图丙角第一层句股兊乙心形即乙角之壬丙辛也在乙角两正交于丙在丙角两正交于乙皆与股之比例而同不同股【乙角丙角并以乙丙黄道正为而乙角所用之股为丙甲正丙角所用则乙甲正皆正也而同股别】

　　丙角第二层句股女甲亢形即乙角之子甲丑也乙角丙角并以一正一切线交于甲为句与股之比例而所用相反【乙角于乙甲用正于丙甲用切线丙角则于乙甲用切线于丙甲用正皆乙甲丙甲两弧之正切线而所用逈别】

　　丙角第三层句股艮丙氐形即乙角之酉乙未也在乙角以两切线聨于乙在丙角以两切线交于丙皆与句之比例而同不同句【乙丙两角并以乙丙切线为而乙角以乙甲切线为句丙角以丙甲切线为句皆切线也而同句别】

　　球面弧三角形弧角同比例解

　　第一题

　　正弧三角形以一角对一边则各角正与对边之正皆为同理之比例

　　如图乙甲丙弧三角形【甲为正角】　法为半径与乙角之正若乙丙之正与丙甲之正更之则乙角之正角与对边丙甲之正若半径与乙丙之正也又丙角之正与其对边乙甲之正亦若半径与乙丙之正也合之则乙角之正与其对边丙甲之正亦若丙角之正与其对边乙甲之正

　　论曰乙丙两角与其对边之正既并以半径与乙丙为比例则其比例亦自相等而两角与两对边其正皆为同比例

　　又论曰甲为正角其度九十而乙丙者甲正角所对之边也半径者即九十度之正也以半径比乙丙之正即是以甲角之正比对边之正故以三角对三边皆为同比例

　　第二题

　　凡四率比例二宗内有二率三率之数相同则两理之首末二率为互视之同比例【即斜弧比例之所以然故先论之】

　　假如有甲乙丙丁四率甲【四】与乙【八】若丙【六】与丁【十二】皆加倍之比例也

　　又有戊乙丙辛四率戊【二】与乙【八】若丙【六】与辛【二十四】皆四倍之比例也

　　此两比例原不同理特以两理之第二第三同为乙【八】丙【六】故两理之第一第四能互用为同理之比例【先理之第一甲四与次理之第四辛二十四若次理之第一戊二与先理之四丁十二皆六倍之比例也】

　　论曰凡二率三率相乘为实首率为法得四率今两理所用之实皆乙【八】丙【六】相乘【四十八】之实惟甲【四】为法则得十二若戊【二】为法则得二十四矣法大者得数小法小者得数大而所用之实本同故互用之即为同理之比例也

　　试以先理之四率更为首率其理亦同【丁与辛若戊与甲皆加倍比例】若反之令两四率并为首率亦同【甲与戊若辛与丁皆折半比例】并如后图

　　第三题

　　斜弧三角形以各角对各边其正皆为同比例

　　乙丙丁斜弧三角形任从乙角作乙甲垂弧至对边分元形为两正角形甲为正角

　　依前正角形论各对边之正与所对角之正比例皆等

　　乙甲丁形丁角正与乙角正若半径【即甲角正】与丁乙正是一理也

　　乙甲丙形丙角正与乙甲正若半径与乙丙正是又一理也

　　两理之第二同为乙甲第三同为半径则两理之首末二率为互视之同比例故丁角之正与乙丙之正若丙角之正与丁乙之正也

　　又如法从丁角作丁戊垂弧至对边分两形而戊为正角则乙角正与丁丙正亦若丙角正与乙丁正　又从丙作垂弧分两形而壬为正角则乙角与丁丙亦若丁角与乙丙

　　一　丁角正　　　丙角正

　　乙丙丁斜弧三角形丁为钝角　法从乙角作乙甲垂弧于形外亦引丙丁弧防于甲成乙甲丁虚形亦凑成乙甲丙虚实合形甲为正角

　　乙甲丁形丁角之正与乙甲边若半径与乙丁边正一理也　乙甲丙形丙角之正与乙甲边若半径与乙丙正又一理也　准前论两理之第二第三既同则丁角正与乙丙正若丙角正与乙丁正也

　　论曰丁角在虚形是本形之外角也何以用为内角曰凡钝角之正与外角之正同数故用外角如本形角也

　　若用乙角与丁丙边则作丙庚弧于形外取庚正角其理同上或作丁戊垂弧于形内取戊正角分两形则如前法并同

　　用法

　　凡弧三角形【不论正角斜角】但有一角及其对角之一弧则其余有一角者可以知对角之弧而有一弧者亦可以知对弧之角皆以其正用三率比例求之

　　假如乙丁丙三角形先有丁角及相对之乙丙弧则其余但有丙角可以知乙丁弧有乙角可以知丁丙弧此为角求弧也若有乙丁弧亦可求丙角有丁丙弧亦可求乙角此为弧求角也

　　一　丁角正　　　　　一　乙丙正

　　二　乙丙正　　　　　二　丁角正

　　三　丙角正　乙角正　三　乙丁正　丁丙正四　乙丁正　丁丙正　四　丙角正　乙角正

　　厯算全书巻七

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

　　钦定四库全书

　　厯算全书巻八

　　宣城梅文鼎撰

　　弧三角举要巻三

　　斜弧三角形作垂弧説

　　正弧形有正角如平三角之有句股形也斜弧形无正角如平三角之有锐钝形也平三角锐钝二形并以虚线成句股故斜弧形亦以垂弧成正角也正弧形以正等线立算句股法也斜弧形仍以正角立算亦句股法也

　　斜弧三角用垂弧法

　　垂弧之法有三其一作垂弧于形内则分本形为两正角形其二作垂弧于形外则补成正角形其三作垂弧于次形

　　总法曰三角俱锐垂弧在形内一钝二鋭或在形内或在形外【自钝角作垂弧则在形内自锐角作垂弧则在形外】两钝一锐或三角俱钝则用次形其所作垂弧在次形之内之外【次形无钝角垂弧在其内有钝角垂弧在其外若破钝角亦可在内】

　　第一法垂弧在形内成两正角【内分五支】

　　设甲乙丙形有丙鋭角有角旁相连之乙丙甲丙二边求对边及余两角

　　法于乙角【在先有乙丙边之端乃不知之角】作垂弧【如乙丁】至甲丙边分甲丙边为两即分本形为两而皆正角【凡垂弧之所到必正角也角不正即非垂弧故所分两角皆正后仿此】　一乙丁丙形此形有丁正角丙角乙丙边为两角一边可求丁丙边【乃丙甲之分】乙丁边【即垂弧】及丁乙丙角【即乙分角】　次乙丁甲形有丁正角甲丁边【甲丙内减丁丙其余丁甲】乙丁边为一角两边可求乙甲边甲角及丁乙甲分角　末以两乙角并之成乙角

　　或如上图丁甲角端作垂弧至乙丙边分乙丙为两亦同

　　右一角二边而先有者皆角旁之边为形内垂弧之第一支【此所得分形丁丙边必小于元设边即垂弧在形内而甲为鋭角】

　　设甲乙丙形有丙锐角有角旁相连之丙乙边及与角相对之乙甲边求余两角一边

　　法于不知之乙角【在先有二边之中】作乙丁垂弧分两正角形一乙丙丁形此形有丁正角有丙角有乙边边可求乙丁分线及所分丁丙边及丁乙丙分角　次乙甲丁形此形有丁正角有乙丁边有乙甲边可求甲角及丁乙甲分角丁甲边　末以两分角【丁乙丙及丁乙甲】并之成乙角以两分边【丁丙及丁甲】并之成甲丙边

　　右一角二边而先有对角之边为形内垂弧之第二支

　　设甲乙丙形有乙丙二角有乙丙边【在两角之间】求甲角及余边

　　法于乙角作垂弧分两形并如前【但欲用乙丙边故破乙角存丙角】一乙丙丁形有丁正角丙角乙丙边可求乙丁边丁丙边丁乙丙分角　次乙丁甲形有乙丁边丁正角丁乙甲分角【原设乙角内减丁乙丙得丁乙甲】可求乙甲边甲角及甲丁边末以甲丁并丁丙得甲丙边

　　或于丙角作垂弧亦同

　　若角一钝一鋭即破钝角作垂线其法并同

　　右二角一边而边在两角之间不与角对为形内垂弧之第三支【此必未知之角为锐角则垂弧在形内】

　　设甲乙丙形有丙甲二角有乙甲边【与丙角相对与甲角相连】求乙角及余二边

　　法于乙角【为未知之角】作垂弧分为两形而皆正角　一乙丁甲形有丁正角甲角乙甲边可求甲丁边乙丁边丁乙甲分角　次丁乙丙形有丁正角乙丁边丙角可求乙丙边丁丙边丁乙丙分角　末以甲丁丁丙并之成甲丙边　以两分角【丁乙甲丁乙丙】并之成乙角

　　右二角一边而先有对角之边为形内垂弧之第四支【此先有二角必俱锐则垂弧在内】

　　设乙甲丙形有三边而内有【乙甲乙丙】二边相同求三角

　　法从乙角【在相同二边之间】作垂弧至丙甲边【乃不同之一边】分两正角形【其形必相等而甲丙线必两平分】　乙丙丁形有丁正角乙丙边丁丙边【即甲丙之半】可求丙角乙分角【乃乙角之半】倍之成乙角而甲角即同丙角【不须再求】

　　右三边求角而内有相同之边故可平分是为形内垂弧之第五支【此必乙丙乙甲二边并小在九十度内若九十度外甲丙二角必俱钝当用次形详第三又法】

　　第二法垂弧在形外补成正角【内分七支】

　　设甲乙丙形有丙锐角有夹角之两边【乙丙甲丙】求乙甲边及余两角

　　法自乙角【在先有边之一端】作垂弧【乙丁】于形外引丙甲边至丁补成正角形二【一丙乙丁半虚半实形二甲乙丁虚形】　先算丙乙丁形此形有乙丙边丙角有丁正角可求丙乙丁角【半虚半实】乙丁边【形外垂弧】丁丙边【丙甲引长边】　次甲乙丁虚形有丁正角有乙丁边甲丁边【丁丙内减内甲得甲丁】可求乙甲边甲角及甲乙丁虚角末以甲角减半周得原设甲角以甲乙丁虚角减丙乙丁角得原设丙乙甲角右一角二边角在二边之中而为锐角是为形外垂弧之第一支【此所得丁丙必大于原设边即垂弧在形外而甲为钝角】

　　设乙甲丙形有甲钝角有角旁之【丙甲乙甲】二边求乙丙边及余二角

　　法于乙角作垂弧【乙丁】引丙甲至丁补成正角　先算乙丁甲虚形此形有丁正角甲角【即原设甲角减半周之余亦曰外角】有乙甲边可求甲丁边乙丁边丁乙甲虚角　次丁乙丙形有乙丁边丁丙边【甲丙加丁甲得之】丁正角可求乙丙边丙角丙乙丁角　末于丙乙丁内减丁乙甲虚角得原设乙角

　　或从丙作垂弧至戊引乙甲边至戊补成正角亦同

　　右一角二边角在二边之中而为钝角乃形外垂弧之第二支

　　设乙甲丙形有丙锐角有角旁之乙丙边有对角之乙甲边求丙甲边及余二角

　　法从乙角作垂弧至丁成正角【亦引丙甲至丁】　先算丙乙丁形有丁正角丙角乙丙边可求诸数【乙丁边丁丙边丙乙丁角】　次丁乙甲虚形有丁正角乙丁乙甲二边可求诸数【乙甲丁角甲乙丁角甲丁边】　末以所得虚形甲角减半周得原设甲钝角于丙乙丁内减虚乙角得原设乙角于丁丙内减甲丁得原设丙甲

　　右一角二边角有所对之边而为锐角乃形外垂弧之第三支【此必甲为钝角故垂弧在外】

　　设乙甲丙形有甲钝角有角旁之甲丙边及对角之乙丙边求乙甲边及余二角

　　法于丙角作垂弧至戊补成正角　先算虚形【甲丙戊】有戊正角甲角【甲钝角减半周之余】甲丙边可求诸数【丙戊边甲戊边丙虚角】次虚实合形【乙丙戊】有戊正角丙戊边乙丙边可求原

　　设乙角及诸数【乙丙戊角乙戊边】　末以先得虚形数减之得原设数【丙角内减丙虚角得原设丙角乙戊内减甲戊虚引边得原设乙甲边】

　　右一角二边角有所对之边而为钝角乃形外垂弧之第四支【此先得钝角垂线必在外】

　　设乙甲丙形有丙甲二角【一锐一钝】有丙甲边在两角之中

　　法于丙锐角作垂弧至丁【在甲钝角外】补成正角　丁丙甲虚形有丁正角甲外角丙甲边可求诸数【丙丁边甲丁边丙虚角】次乙丙丁形【半虚实】有丁正角丙丁边丙角【以丙虚角补原设丙】

　　【角得丁丙乙角】可求原设乙丙边乙角及乙甲边【求得乙丁边内减虚形之甲丁边得原设甲乙边】

　　右二角一边边在两角间为形外垂弧之第五支【此亦可于甲钝角作垂弧则在形内法在第一法之第三支】

　　设乙甲丙形有乙甲二角【乙锐甲钝】有丙甲边与乙锐角相对【钝角相连】

　　法于丙锐角作垂弧至戊【在丙甲边外】补成正角　甲戊丙虚形有戊正角有丙甲边甲角【原设形之外角】可求诸数【丙戊甲戊二边丙虚角】　次乙丙戊形有戊正角乙角丙戊边可求丙角【求得乙丙戊角内减丙虚角得元设丙角】乙丙边乙甲边【求到乙戊边内减甲戊得乙甲】右二角一边而边对鋭角为形外垂弧之第六支

　　设乙甲丙形有乙锐角甲钝角有丙乙边与甲钝角相对【锐角相连】

　　法于丙锐角作垂弧至戊【在甲钝角外】补成正角　乙丙戊形有戊正角乙角乙丙边可求诸数【丙戊乙戊二边乙丙戊角】　次甲丙戊虚形有戊正角甲外角丙戊边可求原设丙甲边甲乙边【求到戊甲虚边以减乙戊得原设乙甲】丙角【求到丙虚角以减乙丙戊角得原设丙角】

　　右两角一边而边对钝角为形外垂弧之第七支

　　第三垂弧又法　用次形【内分九支】

　　设乙甲丙形有乙丙二角有乙丙边在两角间而两角并钝求余二边及甲角

　　法引丙甲至己引乙甲至戊各满半周作戊己边与乙丙等而己与戊并乙丙之外角成甲戊己次形依法作垂弧于次形之内【如己丁】分为两形【一己丁戊一己丁甲】可求乙甲边【以己丁戊分形求到丁戊以己丁甲形求到甲丁合之成甲戊以减半周即得乙甲】丙甲边【以己丁甲分形求到己甲以减半周即得丙甲】甲角【以己丁甲分形求到甲交角】

　　右二角一边边在角间而用次形为垂弧又法之第一支

　　论曰旧説弧三角形以大边为底底旁两角同类垂弧在形内异类垂弧在形外由今考之殆不尽然盖形内垂弧分底弧为两成两正角形所用者锐角也【底旁原有两锐角分两正角形则各有两锐角】形外垂弧补成正角形所用者亦锐角也【底旁原有一锐角补成正角形则虚实两形各有两锐角】故惟三锐角形作垂弧于形内一钝两锐则垂弧或在形内或在形外若两钝一鋭则形内形外俱不可以作垂弧【垂弧虽有内外而其用算时并为一正角两锐角之比例若形有两钝角则虽作垂弧只能成一正一钝一锐之形无比例可求则垂弧为徒设矣】故必以次形通之而所作垂弧即在次形不得谓之形内然则同类之説止可施于两锐【若两钝虽亦同类而不可于形内作垂弧】异类之説止可施于一钝两锐【若两钝一锐而底弧之旁一钝一锐虽亦异类然不可于形外作垂弧】非通法矣【两钝角不用次形垂弧之法己穷况三钝角乎】

　　又论曰以垂弧之法征之则大边为底之说理亦未尽盖钝角所对边必大既有形外立垂线垂弧之法则钝角有时在下而所对之边在上矣不知何术能常令大边为防乎此尤易见

　　设乙甲丙形有丙甲二角有乙甲边与丙角相对而两角俱钝求乙角及余边

　　如法引甲乙丙乙俱满半周防于己成丙甲己次形作己丁垂弧于次形内分次形为两可求乙角【依法求到分形两己角合之为次形己角与乙对角等】甲丙边【求到分形甲丁及丁丙并之即甲丙】乙丙边【求到次形己丙以减半周得之】

　　右二角一边边与角对而用次形为垂弧又法之第二支此三角俱钝也或乙为鋭角亦同

　　设乙甲丙形有乙丙乙甲两边有乙角在两边之中

　　法用甲乙戊次形【有乙甲边有乙戊边为乙丙减半周之余有乙外角】作甲丁垂弧分为两形可求丙甲边及余两角【以乙甲丁分形求到丁乙及甲分角人以甲戊丁形求到甲戊以减半周为丙甲又得甲分角并先所得成甲角即甲外角又得戊角即丙对角】右二边一角角在二边之中而用次形为垂弧又法之第三支

　　或丙为钝角则于次形戊角作垂弧法同上条

　　设乙甲丙形有丙角有甲丙边与角连有乙甲边与角对

　　法用甲己戊次形【甲己为甲乙减半周之余甲戊为甲丙减半周之余戊角为丙之外角】作垂弧【甲丁】于内分为两形可求丙乙边及余两角【以甲丁戊分形求丁戊及甲分角又以甲丁己形求得丁己以并丁戊成己戊即丙乙也又得分角以并先得分角即甲交角也又得己角即乙外角也】

　　右二边一角角与边对而用次形为垂弧又法之第四支若甲为钝角亦同

　　论曰先得丙钝角宜作垂弧于外而乙亦钝角不可作垂弧故用次形

　　设乙甲丙形有三边内有【乙甲丙甲】二边相同而皆为过弧求三角

　　法引相同之二边各满半周作弧线聨之成戊甲己次形如法作甲丁垂弧分次形为两【其形相等】可求相同之二角【任以甲丁戊分形求到戊角以减半周得乙角亦即丙角】及甲角【求到甲半角倍之成甲角】右三边求角内有相同两大边为垂弧又法之第五支　若甲为鋭角亦同

　　以上垂弧并作于次形之内

　　设乙甲丙形有丙甲二钝角有甲丙边在两角间

　　法引乙丙乙甲满半周防于戊成甲戊丙次形自甲作垂弧与丙戊引长弧防于丁补成正角可求乙甲边乙丙边乙角【先求丙甲丁形诸数次求甲戊丁得甲戊以减半周为甲乙又以丁戊减先得丁丙得丙戊以减半周为乙丙又求得戊虚角减半周为戊角即乙对角】

　　右两钝角一边边在角间而于次形外作垂弧为又法之第六支

　　或自丙角作垂弧亦同

　　设乙甲丙形有乙甲二钝角有甲丙边与角对

　　法引设边成丙戊甲次形【有甲外角有戊钝角为乙对角有丙甲边】如上法作丙丁垂弧引次形边防于丁可求乙丙边【先求甲丁丙形诸数次丙丁戊虚形求到丙戊以减半周为乙丙】乙甲边【先求到丁甲以虚线丁戊减之得戊甲即得乙甲】丙角【先求到甲丙丁角内减丙虚角得丙外角即得元设丙角】

　　右二角一边边与角对垂弧在次形外为又法之第七支

　　设乙甲丙形有丙钝角有角旁之两边【丙乙丙甲】

　　法用甲戊丙次形作甲丁垂弧引丙戊防于丁可求乙甲边及甲乙二角【先以甲丁丙形求到诸数再以甲丁戊虚形求甲戊即得乙甲又甲虚角减先得甲角成甲外角又戊虚角即乙外角】

　　右二边一角角在二边之中垂弧在次形外为又法之第八支

　　设乙甲丙形有甲钝角有一边与角对【乙丙】一边与角连【丙甲】

　　法用丙戊甲次形自丙作垂弧与甲戊引长边防于丁可求乙甲边及余两角【依法求到甲戊即得乙甲求戊角即乙角以丙虚角减先得丙角即丙外角】

　　右二边一角角有对边垂弧在次形外为又法之第九支

　　以上垂弧并作于次形之外

　　论曰三角俱钝则任以一边为底其两端之角皆同类矣今以次形之法求之而垂弧尚有在次形之外者益可与前论相发也

　　弧三角举要卷四

　　弧三角用次形法

　　次形之用有二

　　正弧三角斜弧三角并有次形法而其用各有二其一易大形为小形则大边成小边钝角成锐角其一易角爲弧易弧为角则三角可以求边亦二边可求一边

　　第一正弧三角形易大为小　用次形

　　如图戊己甲乙半浑圜以【戊丙甲己丙乙】两半周线分为弧三角形四【一戊丙乙二己丙戊三己丙甲并大四乙丙甲为最小】今可尽易为小形一戊丙乙形易为乙甲丙形【戊丙减半周余丙甲又戊乙减半周余乙甲而乙丙为同用之弧则三边之正同也乙丙甲角为戊丙乙外角甲乙丙为戊乙丙外角戊角又同甲角则三角之正同也故算甲丙乙即得戊丙乙】

　　二己丙戊形易为乙甲丙形【乙甲己及甲己戊并半周内各减己甲则乙甲同己戊而乙丙于己丙及甲丙于戊丙皆半周之余又甲戊并正角丙为交角而乙角又为己角之外角故算乙丙甲得己丙戊】

　　三己丙甲形易为乙丙甲形【乙甲为己甲减半周之余乙丙为丙己减半周之余而同用甲丙又次形丙角为元形之外角乙角同己角甲同为正角故算乙丙甲得己丙甲】

　　用法

　　凡正弧三角内有大边及钝角者皆以次形立算但于得数后以次形之边与角减半周即得元形之大边及钝角【其元形内原有小边及锐角与次形同者径用得数命之不必复减半周】斜弧同以上易大形为小形而大边成小边钝角成鋭角为正弧三角次形之第一用【大边易小钝角易鋭则用算画一算理易明其算例并详第二用】

　　第二正弧三角形弧角相易　用次形【内分四支】

　　一乙甲丙形易为丁丙庚次形

　　解曰丁如北极　戊己壬甲如赤道圈　己庚乙如黄道半周　辛丁壬如极至交圈【壬如夏至辛如冬至】　戊丁甲如所设过极经圈　乙如春分己如秋分并以庚壬大距爲其度　丙如所设某星黄道度　丙乙如黄道距春分度其余丙庚即黄道距夏至为次形之一边　丙甲如黄赤距度其余丙丁即丙在黄道距北极度为次形又一边　庚丁如夏至黄道距北极而为乙角余度是角易为边也【壬庚为乙角度其余庚丁】是为次形之三边

　　又丙交角如黄道上交角　庚正角如黄道夏至　甲乙如赤道同升度其余壬甲如赤道距夏至即丁角之弧是边易为角也则次形又有三角

　　用法

　　假如有丙交角乙春分角而求诸数是三角求边也【乙丙两角幷甲正角而三】法为丙角之正与乙角之余若半径与丙甲之余得丙甲边可求余边

　　一　丙角正　　　　　　　丙角正

　　二　乙角余　　　　　　　丙角正

　　三　半径【甲角　　　在次形】　半径【庚角】

　　四　甲丙余　　　　　　　丁丙正

　　右以三角求边也若三边求角反此用之

　　若先有乙丙边乙甲边而求甲丙边则为乙甲余【即次形丁角正】与乙丙余【即庚丙正】若半径【甲角即次形庚角】与甲丙余【即丁丙正】

　　或先有乙丙边甲丙边而求乙甲边则为甲丙余【即丁丙正】与乙丙余【即庚丙正】若半径【甲角即庚角】与乙甲余【即丁角正】

　　或先有乙甲边甲丙边而求乙丙边则为半径【甲角即庚角】与甲丙余【即丁丙正】若乙甲余【即丁角正】与乙丙余【即庚丙正】

　　右皆以两弧求一弧而不用角也

　　以上爲乙甲丙形用次形之法本形三边皆小一正角偕两锐角次形亦然所以必用次形者为三角求边之用也是为正弧三角次形第二用之第一支

　　二己丙甲形【甲正角余二角丙钝己锐丙甲边小余二边并大】易为丁丙庚次形

　　法曰截己甲于壬截己丙于庚使己壬己庚皆满九十度作壬庚丁象限弧又引丙甲边至丁亦满象限而成丁丙庚次形此形有丁丙边为丙甲之余有庚丙边为己丙之余【凡过弧内去象限其余度正即过弧之余故己丙内减己庚而庚丙为其余弧】有庚丁边为己角之余乃角易为边也【庚与壬皆象限即庚壬为己角之度而丁庚为其余】又有丙锐角爲元形丙钝角之外角有庚正角与元形甲角等【壬庚既为己角之弧则壬与庚必皆正角】有丁角为己甲边之余【己甲过弧以壬甲为余度説见上文】乃边易为角也

　　用法

　　假如有甲正角己锐角丙钝角而求丙甲边法为丙钝角之正【即次形丙锐角正盖外角内角正同用也】与己角之余【即次形丁庚边之正】若半径【即次形庚正角之正】与丙甲边之余【即次形丁丙边】

　　既得丙甲可求己丙边　法为半径与丙角余若甲丙余切【次形为丁丙正切】与己丙余切【次形为庚丙正切】得数以减半周为己丙下同【凡以八线取弧角度者若系大边钝角皆以得数与半周相减命度后仿此】求己甲边　法为己角之余【即庚丁正】与丙角之正若己丙之余【即庚丙正】与己甲之余【即丁角正其弧壬甲】

　　右三角求边

　　又如有己甲己丙两大边求丙甲边　法为己甲余【即丁角正】与己丙余【即庚丙正】若半径与丙甲余【即丁丙正】

　　或有己甲丙甲两边求己丙大边　法为半径与丙甲余【即丁丙正】若己甲余【即丁角正】与己丙余【即庚丙正得数减半周为己丙下同】

　　或有丙甲己二边求己甲大边　法为丙甲余与半径若己丙余与己甲余【即上法之反理】

　　右二边求一边

　　以上己丙甲形用次形之法本形有两大边一钝角次形则边小角锐而且以本形之边易为次形之角本形之角易为次形之边【后二形并同】是为正弧三角次形第二用之第二支

　　三己丙戊形【戊正角己钝角丙锐角己丙与戊丙并大边】易为丁丙庚次形

　　法曰以象限截己丙于庚其余庚丙截戊丙于丁其余丁丙为次形之二边作丁庚弧其度为己角之余【己钝角与外锐角同以壬庚之度取正其余丁庚为己外角之余亦即为己钝角之余】角易边也次形又为元形之截形同用丙角又庚正角与戊角等而丁角即己戊边之余度【试引己戊至辛成象限则戊辛等壬甲皆丁角之度而又为己戊之余】边易角也

　　用法

　　假如有丙锐角己钝角偕戊正角求戊丙边　法为丙角正与己角余【即庚丁正】若半径与戊丙余【即丁丙正】得数减半周为戊丙【下同】

　　既得戊丙可求己丙　法为半径与丙角余若戊丙余切【即丁丙正切】与己丙余切【即庚丙正切】

　　求己戊边　法为戊丙余【即丁丙正】与半径若己丙余【即庚丙正】与己戊余【即丁角正】

　　以上己丙戊形三角求边为正弧三角次形第二用之第三支

　　四乙丙戊形【戊正角乙丙并钝角戊乙戊丙并大边乙丙小边】易为丁丙庚次形

　　法曰引乙丙边至庚满象限得次形丙庚边【即乙丙之余】于丙戊截戊丁象限得次形丁丙边【为戊丙之余】而丁即为戊乙弧之极【戊正角至丁九十度故知之】从丁作弧至庚成次形庚丁边为乙角之余是角易为边也【试引庚丁至辛则辛丁亦象限而辛为正角庚亦正角乙庚乙辛皆象限弧是庚丁辛即乙钝角之弧度内截丁辛象限而丁庚为乙钝角之余度矣】又庚正角与戊等丙为外角丁角为乙戊边之余是边易为角也【乙戊丙截乙辛象限其余戊辛即丁交角之弧】

　　用法

　　假如三角求边以丙角正为一率乙角余为二率半径为三率求得戊丙余为四率以得数减半周为戊丙余并同前

　　以上乙丙戊形三角求边为正弧三角次形第二用之第四支

　　论曰厯书用次形止有乙甲丙形一例若正角形有钝角及大边者未之及也故特详其法

　　又论曰依第一用法大边可易为小钝角可易为锐则第二三四支皆可用第一支之法而次形如又次形矣【己丙甲形己丙戊形乙丙戊形皆易为乙甲丙形而乙甲丙又易为丁丙庚是又次形也】

　　正弧形弧角相易又法　用又次形

　　甲乙丙正弧三角形易为丁丙庚次形再易为丁戊壬形

　　法曰依前法引乙丙边甲乙边各满象限至庚至己作庚己弧引长之至丁亦引甲丙防于丁亦各满象限成丁丙庚次形

　　又引丙庚至辛引丙丁至戊亦满象限作辛戊弧引之至壬亦引庚丁防于壬则辛壬庚壬亦皆象限成丁戊壬又次形此形与甲乙丙形相当

　　论曰乙丙边易为壬角【乙庚及丙辛皆象限内减同用之丙庚则辛庚即乙丙而辛庚即壬角之弧】乙甲边易为丁角【乙甲之余度己甲即丁交角之弧】是次形之两角即元形之两边也乙角易为丁壬边【丁己及庚壬俱象限内减同用之庚丁则丁壬即己庚而为元形乙角之弧】丙角易为戊壬边【丙交之弧弧辛戊其余为次形戊壬】是次形之两边即元形之两角而次形戊丁边即元形丙甲次形戊角即元形甲角

　　用法

　　若原形有三角则次形有戊直角有戊壬丁壬二边可求乙甲边　法为乙角之正【即丁壬正】与半径若丙角之余【即戊壬正】与乙甲之余【即丁角正】

　　求乙丙边　法为乙角之切线【即丁壬切线】与丙角之余切【即戊壬正切】若半径与丙乙之余【即壬角余】既得两边可求余边

　　以上又次形三角求边为正弧三角第二用之又法

　　论曰用次形止一弧一角相易今用又次形则两弧并易为角两角并易为弧故于前四支并峙而为又一法也

　　第三斜弧三角易大为小　用次形【内分二支】

　　一甲乙丙二等边形　三角皆钝

　　如法先引乙丙边成全图又引甲丙甲乙两边出圜周外防于丁又引两边各至圜周【如戊如己】成乙丁丙及戊甲己两小形皆相似而等即各与元形相当而大形易为小形

　　论曰次形【甲戊甲己】二边为元形边减半周之余则同一正次形【己戊】二角为元形之外角亦同一正【甲乙戊为甲乙丙外角而与次形己角等甲丙己为甲丙乙外角亦与次形戊角等】而次形甲角原与元形为交角戊己边又等乙丙边【戊乙丙及己戊乙并半周各减乙戊则戊己等乙丙】故算小形与大形同法惟于得数后以减半周即得大边及钝角之度【置半周减戊甲得甲丙减己甲亦得甲乙又置半周减己锐角得元形乙钝角减戊鋭角亦得元形丙钝角其交角甲及相等之戊己边只得数便是并不用减】

　　论曰凡两大圈相交皆半周故丁丙与丁乙亦元形减半周之余又同用乙丙而乙与丙皆外角丁为对角故乙丙丁形与戊甲己次形等边等角而并与元形甲乙丙相当

　　右二边等形易大为小为斜弧次形第一用之第一支

　　二甲乙丙三边不等形　角一钝二锐

　　如法引乙丙作圜又引余二边【甲乙甲丙】至圜周【己戊】得相当次形己甲戊【算戊甲得甲丙算己甲得甲乙算己戊得乙丙】其角亦一钝二锐【算戊钝角得丙锐角算己鋭角得乙钝角而甲交角一算得之】

　　又戊甲乙形　角一钝二鋭　如法引戊乙作圜又引乙甲至圜周【己】成次形己甲戊与元形相当【算己甲得甲乙算己戊得戊乙又同用戊甲边故相当算甲锐角得甲钝角算戊钝角得戊鋭角算己角即乙角】

　　又甲己丙形　三角俱钝　如上法引丙己作圜又引丙甲至戊成次形己甲戊与元形相当【元形甲丙与戊甲元形己丙与己戊并减半周之余又同用己甲又丙钝角即戊钝角甲己两锐角并元形之外角】

　　右三边不等形易大爲小为斜弧次形第一用之第二支

　　第四斜弧三角形弧角互易　用次形【内分三支】

　　一乙甲丙形【三角俱钝】易为丑癸寅形【一钝二锐】

　　法曰引乙甲作圜次引乙丙至酉引甲丙至未并半周次以甲为心作丁辛癸寅弧乙为心作戊丑癸壬弧丙为心作丑子午寅弧三弧交处别成一丑癸寅形与元形相当而元形之角尽易为边边尽易为角

　　论曰甲角之弧丁辛与次形癸寅等则甲角易为癸寅边【丁癸及辛寅皆象限减同用之辛癸则癸寅同丁辛】乙角之弧己壬与次形丑癸等则乙角易为丑癸边【癸己及丑壬皆象限减同用之癸壬即丑癸同壬己】丙外角之弧午申【引丑午寅至申取亥申与庚子等成午申】与次形寅丑等则丙外角易为寅丑弧【丑午及寅申皆象限各加同用之午寅即午申等丑寅】是元形有三角即次形有三边也　又甲乙边之度易为癸外角【乙己及甲辰皆象限内减同用之甲己则乙甲同己辰为癸外角弧】甲丙边易为寅角【甲辛及丙子皆象限内减同用之丙辛则甲丙等辛子而同为寅角之弧】乙丙边易为丑角【乙壬及午丙皆象限内减同用之丙壬则乙丙等午壬而同为丑角之弧】是元形有三边即次形有三角也

　　又论曰有此法则三角可以求边【既以三角易为次形之三边再用三边求角法求得次形三角即反为元形之三边　三边求角法详别卷】

　　又论曰引丙甲出圜外至申亦引庚亥弧出圜外防于申则庚亥与子申并半周内各减子亥即子庚同亥申而子寅既象弧则寅申亦象弧矣以寅申象弧加午寅与以丑午象限【午壬为丑角之弧故丑午亦象限】加午寅必等而申午者丙外角之度丑寅者次形之边也故丙角能为次形之边也

　　又论曰凡引弧线出圜外者其弧线不离浑圜面幂因平视故为周线所掩稍转其浑形即见之矣但所引出之线原为半周之余见此余线时即当别用一圈为外周而先见者反有所掩如见亥申即不能见子庚故其度分恒必相当亦自然之理也

　　又论曰依第三用法之第二支丙未酉形及丙未乙形丙酉甲形并可易为甲乙丙则又皆以癸丑寅为又次形矣

　　右三角俱锐形弧角相易为斜弧次形第二用之第一支

　　二未丙酉形【三角俱钝】易为丑癸寅形【一钝二锐】

　　法曰引酉未弧作圜又引两边至圜周【如乙如甲】乃以未为心作丁辛癸寅辰弧以酉为心作戊丑癸壬己弧以丙为心作庚子丑寅午申弧亦引丙甲出圜外防于申三弧相交成丑癸寅形此形与元形相当而角尽易为弧弧尽易为角

　　论曰未外角之弧丁辛成次形癸寅弧【癸丁及寅辛皆象限内减同用之癸辛则癸寅即丁辛】酉外角之弧壬己成次形丑癸弧【壬丑及癸己皆象限各减癸壬则丑癸即壬己】丙外角之弧申午成次形寅丑弧【准前论庚亥及子申并半周则申亥等子庚而申寅为象限与午丑象限各减午寅即寅丑同申午】　是三角尽易为边也酉未边成癸外角【酉戊及未丁皆象限各减未戊则丁戊即酉未而为癸外角之弧若以丁戊减戊乙己半周其余丁乙己过弧亦即为癸交角之弧】未丙边减半周其余甲丙成寅角【甲辛及子丙皆象限各减辛丙则辛子即甲丙而为寅角之弧】酉丙边减半周其余乙丙成丑角【午丙及壬乙皆象限各减丙壬则壬午即乙丙而为丑角之弧】是三边尽易为角也【寅角丑角并原边减半周则原边即两外角弧与酉未成癸外角等】故三角减半周得次形三边算得次形三角减半周得原设三边

　　右三角俱钝形弧角相易为斜弧次形第二用之第二支

　　论曰若所设为乙未丙形则未角易为次形癸寅边【径用丁辛子形内以当癸寅不须言外角】乙外角为丑癸边【亦以己壬当丑癸与用酉外角同理】丙角为丑寅边【径以丙交角之弧甲午当丑寅不言外角】　若所设为甲酉丙形则酉角易为丑癸边【己壬径当丑癸不言外角】甲外角为寅癸边【用丁辛当癸寅即甲外角】丙角为丑寅边【亦申午当丑寅不言外角】

　　又论曰此皆大边径易次形不必复言又次

　　三甲乙丙形【一钝角两锐角】易为丑癸寅形

　　如法引甲乙边作全圜引余二边各满半周又以甲为心作丁壬癸丑辰半周以乙爲心作戊庚辛癸寅亥弧以丙为心作己午子丑寅夘弧三弧线相交成丑癸寅次形与元形相当而角为弧弧爲角

　　论曰易甲角为次形丑癸边【于癸丁象限减壬癸成丁壬为甲角之弧于丑壬象限亦减壬癸即成癸丑边其数相等】乙外角为次形癸寅边【于癸戊象限减癸辛成辛戊为乙外角之弧于寅辛象限亦减癸辛即成癸寅边其数相等】丙角为次形丑寅边【于丑午象限减丑子成午子为丙角之弧于寅子象限亦减丑子即成丑寅边其数相等】则角尽为边又甲乙边为癸角【于甲丁象限乙戊象限各减乙丁则戊丁等甲乙而癸角角之弧】乙丙边成寅角【于乙辛及子丙两象限各减丙辛则辛子等乙丙而为寅角之弧】甲丙边为丑外角【于甲壬及午丙两象限各减丙壬则午壬等甲丙而为丑外角之弧】则边尽为角

　　右一钝角两锐角形弧角相易为斜弧次形第二用之第三支

　　论曰若所设为甲丙酉形【三角俱钝而有两大边】则以甲外角为次形丑癸边酉外角为癸寅边丙外角为丑寅边又以三边为次形三外角【并与第二支未丙酉形三钝角同理】　若所设为丙未酉形乙未丙形【并一钝二锐而有两大边】皆依上法可径易为丑癸寅次形观图自明

　　甲乙丙形【三边并大三角并钝】易为次形

　　法以本形三外角之度为次形三边【午己为乙外角之度而与癸壬等丑辛为甲外角之度而与癸寅等申亥为丙外角之度而与寅壬等】以本形三边减半周之余为次形三角【甲乙减半周其余戊乙或子甲而并与辰丁等即癸角之度甲丙减半周其余戊丙而与丑庚等即寅角之度乙丙减半周其余子丙而与午亥等即壬角之度】并同前术论曰此即厯学防通所谓别算一三角其边为此角一百八十度之余者也然惟三钝角或两钝角则然其余则兼用本角之度不皆外角

　　右三角俱钝形弧角相易同第二支【惟三边俱大】

　　子戊丙形【一大边二小边一钝角二锐角】

　　其法亦以次形【癸壬癸寅】二边为本形【子戊】二角之度寅壬边为丙外角之度次形【寅壬】二角为本形二小边之度癸角为大边减半周之度

　　论曰此所用次形与前同而用外角度者惟丙角其子角戊角只用本度为次形之边非一百八十度之减余也　若设戊丙乙形子丙甲形并同【戊丙乙形惟次形癸寅边为戊外角其余癸壬边之度为乙角寅壬边之度为丙角则皆本度子丙甲形惟次形癸壬边为子外角其余寅壬边之度为丙角癸寅边之度为甲角则皆本度】

　　右一钝角二锐角与第三支同【惟为边一大一小】

　　第五斜弧正弧以弧角互易【内分二支】

　　一甲乙丙形【甲乙边适足九十度余二边一大一小角一钝二锐】易为丑癸寅正弧形【癸正角余锐三边并小】

　　法曰引乙丙小边成半周【于乙引至夘补成丙乙夘象限又于丙引至午成丙辛午象限即成半周】作夘亥庚丑寅午以丙为心之半周【截丙甲大边于庚使丙庚与丙乙夘等乃作庚夘弧为丙角之度即庚与夘皆正角依此引至午亦得正角而成半周以丙为心】作甲丑癸辛戊以乙为心之半周【引甲乙象限至戊成半周于甲于戊各作正角聨之即又成半周而截乙辛成象限与乙戊等即辛戊为乙外角度而此半周以乙为心】作乙壬癸寅弧以甲为心【甲戊半周折半于癸成两象限从癸作十字正角弧一端至寅一端至乙成癸乙象限其所截甲壬亦象限即乙壬为甲角之弧而甲为其心】三弧线相交成一丑癸寅次形与本形弧角相易而有正角

　　论曰次形丑寅边即本形丙角之度【丑夘及寅庚皆象限各减丑庚则丑寅即庚夘而为丙角之弧】癸寅边即甲角之度【寅壬及癸乙皆象限各减癸壬则癸寅即壬乙而为甲角之弧】癸丑边即乙外角之度【丑辛及癸戊皆象限各减癸辛则丑癸即辛戊而为乙外角之弧】是角尽易边也又寅角为甲丙边所成【庚丙及壬戊皆象限各减丙壬则寅角之弧庚壬与甲丙减半周之丙戊等】丑角为乙丙边所成【午丙及辛乙皆象限各减辛丙则丑角之弧午辛与乙丙边等】癸正角为甲乙边所成【癸正角内外并九十度而甲乙象限为癸外角弧若减半周则乙戊象限为癸交角弧】是边尽为角而有正角也

　　又辰戊丙形【辰戊边象限余并同前】易为正弧形【并同前法观图自明】

　　乙丙戊形【乙戊边足一象限余并小】易为正角形则丑寅度即丙外角丑癸度即乙角寅癸度即戊角是角为边也又寅角生于丙戊丑角生于乙丙癸正角生于乙戊是边为角

　　辰甲丙形【辰甲象弧余二边大三角并钝】易为正角形则丑寅边为丙外角丑癸边为辰外角寅癸边为甲外角角为边也又寅角生于甲丙丑角生于辰丙而癸正角生于辰甲【并准前条诸论推变】是边为角而且有正角也

　　右本形有象限弧即次形有正角而斜弧变正弧为弧角互易之第一支

　　丙乙甲形【丙正角余两锐角相等边三小相等者二】易为己癸壬次形【角一钝二锐锐相等】

　　法以甲为心作寅己丑半周则甲角之度【子寅弧】成次形一边【己壬】以乙为心作夘己午半周则乙角之度【夘辰弧】成次形又一边【己癸】此所成二边相等以丙为心作亥癸壬未半周则丙角之度【癸壬象限】即为次形第三边　依法平分次形以己壬酉形求壬角得原设甲丙边【壬角之度癸子与甲丙等】乙丙边【壬癸两锐角原同度而癸角之度辰壬与乙丙等故一得兼得也】求半己角倍之成己角以减半周得原设乙甲边【己外角之度午寅或丑夘并与乙甲等】

　　论曰本形有正角次形无正角而有象限弧得次形之象限弧得本形之正角矣

　　若设丙戊丁形【丙正角两钝角同度二大边同度一边小】易为己癸壬次形与上同法惟丁戊用外角

　　若设甲丙戊形【丙正角余一锐一钝而锐角钝角合成半周边二大一小而小边与一大边合成一半周】易为己癸壬次形亦同上法惟甲用外角戊用本角而同度所得次形之边亦同度【甲外角之度子寅成次形巳壬边戊本角乏度辰夘成次形己癸边而四者皆同度】其转求本形也用次形之壬角得甲丙以减半周即得丙戊【或乙丙丁形亦同】

　　右本形有正角而次形无正角爲弧角互易之第二支

　　或三角形无相同之边角而有正角【其次形必有象限边】或无正角而有相同之边角【其次形亦有等边等角】准此论之

　　次形法补遗【角一锐一钝边二大一小】

　　附算例　三角求边　三边求角

　　甲乙丙形【甲角一百二十度乙角一百一十度丙角八十五度为一锐二钝】三角求边

　　如法易为丑寅癸次形【癸寅边六十度当甲角丑癸边七十度当乙角寅丑边当丙角并以角度减半周得之】

　　求甲乙边【即次形癸外角】法以【甲乙】两角正相乗半径除之得数【八一三八○】为一率半径【一○○○○○】为二率【甲乙】两角相较【十度】之矢与丙角减半周【九十五度】大矢相较得数【一○七一九七】为三率求得四率【一三一七二四】爲次形癸角大矢内减半径成余【三一七二四】捡表得癸外角【七十一度三十分】为甲乙边【本宜求癸角以减半周得甲乙今用省法亦同】

　　论曰三角求边而用次形实即三边求角也故其求甲乙边实求次形癸角得癸角得甲乙边矣然则两角正仍用本度者何也凡减半周之余度与其本度同一正也【甲角一百二十度之正八六六○三即次形癸寅边六十度之正乙角一百一十度之正九三九六九即次形丑癸边七十度正】独丙角用余度大矢何也正可同用而矢不可以同用也【丙以外角易为次形丑寅边九十五度其大矢一○八七一六而丙角本八十五度是锐角当用正矢故不可以通用】然则两角较矢又何以仍用本度曰两余度之较与本度同故也【甲角乙角之较十度所易次形之癸寅边丑癸边其较亦十度】所得四率为大矢而甲乙边小何也曰余度故也【甲乙边易为癸外角而四率所得者癸内角也故为甲乙减半周之余度】用余度宜减半周命度矣今何以不减曰省算也虽不减犹之减矣【四率系大矢必先得癸外角七十一度半以减半周得癸内角一百○八度半再以癸内角减半周仍得七十一度半为甲乙边今径以先得癸外角之度为甲乙边其理无二】

　　求甲丙边　如上法以边左右两角正【甲八六六○三丙九九六一九】相乘半径除之得数【八六二七三】为一率半径【一○○○○○】为二率【甲丙】两角相较【三十五度】矢【一八○八五】与乙外角【七十度】矢【六五七九八】相较得数【四七七一三】为三率求得甲丙边半周余度之矢【五五三○四】为四率【捡表得六十三度二十七分】以减半周得甲丙边【一百一十六度三十三分】

　　论曰此亦用次形三边求寅角也【以甲角所易癸寅边丙角所易寅丑边为角旁二边以乙角所易丑癸边为对角之边求得寅角之度辛子与酉丙等即甲丙减半周余度】求乙丙边　如法以边左右两角正【丙九九六一九乙九三九六九】相乘半径除之得数【九三六一二】爲一率半径【一○○○○○】为二率【丙乙】两角较【二十五度】矢【○九三六九】与甲外角【六十度】矢相较【四○六三一】爲三率求得余度矢【四三四○三】为四率【捡表得五十五度三十二分】以减半周得乙丙边【一百廿四度廿八分】

　　论曰此用次形三边求丑角也【丙角易寅丑边乙角易丑癸边为角旁二边甲角易癸寅为对边求得丑角度午壬与未丙等即乙丙边减半周余度】又论曰此所用次形之三边三角皆本形减半周之余度【甲乙同己辰即癸外角度则次形癸角为甲乙边之半周余度也寅角之度子辛与酉丙等甲丙边之余度也丑角之度午壬与未丙等乙丙边之余度也是次形三角皆本形三边减半周之余度矣其次形三边爲本形三角减半周之余己详前注】故所得四率为角之大小矢者皆必减半周然后可以命度若他形则不尽然必须详审

　　如甲未丙形【甲角六十度丙角九十五未角一百一十】易丑寅癸次形则其角易为边用本度者二【甲角弧丁辛六十度易次形癸寅边丙角弧申午九十五度易次形寅丑边】用余度者一【未角弧壬戊一百一十度其半周余度己壬七十度易次形丑癸边】而其边易为角用本度者二【未丙边五十五度三十二分与午壬等成次形丑角甲未边余度未酉七十一度三十分与丁戊等成癸外角则次形癸角一百○八度三十分为甲未边本度】用余者者一【甲丙边一百十六度三十三分其余度酉丙六十三度二十七分与辛子等成次形寅角】若一槩用余度算次岂不大谬

　　又如乙丙酉形【乙角七○丙角九五酉角一二○】用【癸寅丑】次形【前图】求丙酉边

　　如法以边左右两角正【丙九九六一九酉八六六○三】相乗去末五位得数【八六二七三】为一率半径【一○○○○○】为二率以【酉外角丙角】相差【三十五度】矢【一八○八五】与乙角矢【六五七九八】相较【四七七一三】爲三率求得正矢【五五三○四】为四率【次形寅角之矢】捡表得六十三度二十七分为丙酉边

　　论曰此所用四率与前条求甲丙边之数同而边之大小迥异一为余度一为本度也【前条为余度之矢故甲丙边大此条为本度之矢故丙酉边小】又所用矢较亦以不同而成其同【前条以两角相差此则以酉外角与丙角相差不同也而相差三十五度则同前条用乙外角之矢此条用乙本角又不同也而矢数六五七九八则同】其理皆出次形也

　　求酉乙边　如法以两角正【乙九三九六九酉八六六○三】相乗去末五位【得八一三八○】为一率半径为二率【酉外角乙角】相差【十度】之矢与丙角【九十五度】之矢相较【得一○六一九七】为三率求得大矢【次形癸角之矢】为四率【一三一七二四】捡表【得一百○八度三十分】为酉乙边【此与前条求甲乙边参防即见次形用法不同之理如前所论】

　　求乙丙边　与前条同法【因丙乙两内角之正及差度并与两外角同而酉角又同甲角故也】

　　论曰三角求边必用次形而次形之用数得数并有用求度余度之异即此数条可知其槩

　　又论曰在本形为三角求边者在次形为三边求角故此数条即三边求角之例也【余详环中黍尺】

　　垂弧捷法【作垂弧而不用其数故称捷法】　亦为次形双法【用两次形故称双法】设亥甲丁形有甲亥边亥丁边亥角【在二边之中】求甲丁边【对角之边】

　　本法作垂弧分两形先求甲已边次求亥已边分丁巳边再用甲巳丁巳二边求甲丁边

　　今捷法不求甲已边但求亥已边分丁已边即用两分形之两次形以径得甲丁

　　一　亥已余　即次形亥戊正

　　二　亥甲余　即次形亥丙正

　　三　已丁余　即次形辛丁正

　　四　甲丁余　即次形庚丁正

　　法引甲亥边至丙引甲丁边至庚引甲已垂弧至乙皆满象限又引分形边亥已至戊引丁已至辛亦满象限末作辛庚乙丙戊半周与亥已遇于戊与丁已遇于辛成亥丙戊次形与甲已亥分形相当丁亥辛次形与甲已丁分形相当而此两次形又自相当【戊角辛角同以己乙为其度则两角等丙与庚又同为正角则其正之比例皆等】

　　论曰半径与戊角之正若戊亥之正与亥丙之正又半径与辛角【即戊角】之正若辛丁之正与丁庚之正合之则戊亥正与亥丙正亦若辛丁正与丁庚正

　　又论曰辛丁已亥戊如黄道半周辛庚乙丙戊如赤道半周甲如北极辛如春分戊如秋分已乙如黄赤大距即夏至之纬乃二分同用之角度【即戊角辛角之度】亥丙及丁庚皆赤纬甲亥及甲丁皆距北极之度【即赤纬之度】

　　一　戊亥正　黄经　　戊亥为未到秋分之度辛二　亥丙正　赤纬　　丁为已过春分之度似有三　辛丁正　黄经　　不同而二分之角度既同四　丁庚正　赤纬　　故其比例等

　　一　亥已余　　即亥戊正

　　二　亥甲余　　即亥丙正

　　三　已丁余　　即戊丁正

　　四　甲丁余　　即庚丁正

　　论曰此理在前论中盖以同用戊角故比例同也又论曰乙庚丙戊如赤道已丁亥戊如黄道皆象弧戊角如秋分其弧己乙如夏至距纬【此两黄经并在夏至后秋分前其理易见】或先有者是丁钝角甲丁丁亥二边则先求丁巳线【亦用前图】一　丁已余　　即戊丁正

　　二　甲丁余　　即丁庚正

　　三　亥已余　　即亥戊正

　　四　亥甲余　　即亥丙正

　　又论曰假如星在甲求其黄赤经纬则亥丁如两极之距亥角若为黄经则丁角为赤经而亥甲黄纬丁甲赤纬也若丁角为黄经则亥角为赤经而丁甲黄纬亥甲赤纬也【弧三角之理随处可施故举此以发其例】

　　弧三角举要卷五

　　八线相当法引

　　弧三角有以相当立法者何也以四率皆八线也弧三角四率何以皆八线而不用他线【八线但论度他线则有丈尺】浑体故也【弧三角皆在浑员之面】浑体异平而御浑者必以平是故八线之数生于平员而八线之用专于浑员也曷言乎专为浑员曰平三角之角之边皆直线也同在一平面而可以相为比例故虽用八线而四率中必兼他线焉【以八线例他线则用角可以求边以他线例八线则用边可以求角皆兼用两种线】弧三角之角之边皆弧度曲线也不同在平面故非八线不能为比例而四率中无他线焉既皆以八线相比例则同宗半径【有角之八线有边之八线各角各边俱非平面而可以相求者同一半径也】相当互视之法所由以立也错举似纷实则有条不紊故爲论列使有伦次云

　　八线相当法详衍

　　总曰相当分之则有二曰相当曰互视互视又分为二曰本弧曰两弧

　　但曰相当者皆本弧也又分为二曰三率连比例者以全数为中率也其目有三曰四率断比例者中有全数也其目有六凡相当之目九

　　互视者亦相当也皆爲断比例而不用全数若以四率之一与四相乗二与三相乗则皆与全数之自乗等也本弧之互视其目有三两弧之互视其目有九凡互

　　视之目十二

　　总名之皆曰相当其目共二十一内三率连比例三更之则六四率断比例十有八更之反之错而综之则百四十有四共百有五十

　　相当共九

　　一曰正与全数若全数与余割

　　二曰余与全数若全数与正割

　　三曰正切与全数若全数与余切

　　以上三法皆本弧皆三率连比例而以全数为中率

　　四曰正与余若全数与余切

　　五曰余与正若全数与正切

　　六曰正割与正切若全数与正

　　七曰余割与余切若全数与余

　　八曰正割与余割若全数与余切

　　九曰余割与正割若全数与正切

　　以上六法亦皆本法而皆四率断比例四率之内有一率为全数

　　互视共十二

　　一曰正与正切若余切与余割

　　二曰余与余切若正切与正割

　　三曰正与余若正割与余割

　　以上三法亦皆本弧皆四率断比例而不用全数然以四率之一与四二与三相乗则其两矩内形皆各与全数自乗之方形等

　　四曰此弧之正与他弧正若他弧之余割与此弧余割五曰此弧之正与他弧余若他弧之正割与此弧余割六曰此弧之正与他弧正切若他弧之余切与此弧余割七曰此弧之余与他弧余若他弧之正割与此弧正割八曰此弧之余与他弧正若他弧之余割与此弧正割九曰此弧之余与他弧余切若他弧之正切与此弧正割十曰此弧之正切与他弧正切若他弧之余切与此弧余切十一曰此弧之正切与他弧正若他弧之余割与此弧余切十二曰此弧之正切与他弧余若他弧之正割与此弧余切以上九法皆两弧相当率也其爲四率断比例而不用全数则同若以四率之一与四二与三相乗其矩内形亦各与全数自乗之方形等

　　相当法错综之理

　　此三率连比例也首率与中率之比例若中率与末率故以首率末率相乗即与中率自乗之积等

　　假如三十度之正【○五○○○○】与全数【一○○○○○】之比例若全数【一○○○○○】与三十度之余割【二○○○○○】其比例皆为加例也更之则余割【二○○○○○】与全数【一○○○○○】若全数【一○○○○○】与正【○五○○○○】其比例为折半也

　　又如三十度之余【○八六六○三】与全数【一○○○○○】若全数【一○○○○○】与三十度之正割【一一五四七○】更之则正割【一一五四七○】与全数【一○○○○○】若全数【一○○○○○】与余【○八六六○三】也

　　又如三十度之正切【○五七七三五】与全数【一○○○○○】若全数【一○○○○○】与三十度之余切【一七三二○五】更之则余切【一七三二○五】与全数【一○○○○○】若全数【一○○○○○】与正切【○五七七三五】也

　　用法

　　凡三率连比例有当用首率与中率者改为中率与末率假如有四率其一三十度正其二全数改用全数为一率三十度余割为二率其比例同

　　凡四率之前后两率矩内形与中两率矩形等故一与四二与三可互居也

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷八>

　　右四率断比例也一率与二率之比例若三率与四率假如三十度之正【○五○○○○】与其余【○八六六○三】若全数【一○○○○○】与其余切【一七三二○五】更之则余切【一七三二○五】与全数【一○○○○○】若余【○八六六○三】与正【○五○○○○】也【第四法】又如三十度之正割【一一五四七○】与其正切【○五七七三○】若全数【一○○○○○】与其正【○五○○○○】更之则全数【一○○○○○】与正割【一一五四七○】若正【○五○○○○】与正切【○五七七三五】也【第六法】又如三十度之余割【二○○○○○】与其正割【一一五四七○】若全数【一○○○○○】与其正切【○五七七三五】更之则正切【○五七七三五】与正割【一一五四七○】若全数【一○○○○○】与余割【二○○○○○】也【第九法余仿此】用法

　　凡四率断比例当用前两率者可以后两率代之假如有四率其一正其二余改用全数为一率余切为二率其比例同互视

　　此本弧中互相视之率也其第一与第四相乗矩第二与第三相乗矩皆与全数自乗方等故其边为互相视之边而相与爲比例皆等

　　假如三十度之正【○五○○○○】与其余割【二○○○○○】相乗【一○○○○○○○○○○】其余【○八六六○三】与其正割【一一五四七○】相乗【一○○○○○○○○弱】皆与全数自乗之方等故以正为一率余为二率正割为三率余割为四率则正【○五○○○○】与余【○八六六○三】若正割【一一五四七○】与余割【二○○○○○】也【第三法】又如三十度之正切【○五七七三五】与其余切【一七三二○五】相乗【一○○○○○○○○弱】亦与全数之方等故以正为一率余切为二率正切为三率余割为四率则正【○五○○○○】与正切【○五七七三五】若余切【一七三二○五】与余割【二○○○○○】也【第一法】或以余为一率余切爲二率正切为三率正割为四率则余【○八六六○三】与余切【一七三二○五】若正切【○五七七三五】与正割【一一五四七○】也【第二法】

　　用法

　　此亦四法断比例故当用前两率者可以后两率代之假如有四率当以正与正切为一率二率者改用余切为一率余割为二率以乗除之其比例亦同余仿此本弧诸线相当约法

　　其一为与股之比例　　反之则如股与全　正割　余切　余割　全　　余　正切　正正　正切　余　全　余割　余切　正割　全其二为与句之比例　　　反之则如句与全　　余割　正切　正割　全　　正　余切　余余　余切　正　全　正割　正切　余割　全其三为句与股之比例　　　反之则如股与句全　　余　余割　余切　全　　正割　正　正切正切　正　正割　全　　余切　余割　余　全右括本弧七十八法

　　如图甲丙甲乙甲丁皆半径全数乙丙为正弧乙丁为余弧乙戊为正庚丙为正切线庚甲为正割线乙己为余辛丁为余切线辛甲为余割线

　　此皆一定比例观图自明

　　外有余切余非与股之比例则借第二比例更之

　　一　甲乙全数【即甲丁】　　辛丁余切

　　四　辛丁余切　　　　甲丁全数

　　全数与余若余割与余切更之而余切与余若余割与全数也余割与全数既为与股则余切与余亦如与股矣

　　正切正非与句之比例则借第一比例更之一　甲乙全数【即甲丙】　　庚丙正切

　　四　庚丙正切　　　　甲丙全数

　　全数与正若正割与正切更之而正切与正若正割与全数也正割与全数既为与句则正切与正亦如与句矣

　　余割正割非句与股之比例则仍借第一比例更之

　　一　余割辛甲　　　　余割辛甲

　　二　全数甲丁【即甲丙】　　正割庚甲

　　三　正割庚甲　　　　全数甲丙

　　四　正切庚丙　　　　正切庚丙

　　余割与全数若正割与正切更之而余割与正割若全数与正切也全数与正切既爲句与股则余割与正割亦如句与股矣

　　【互视自此而分以前为本弧所用共大法三更之则二十有四合相当法则七十有八而总以三率连比例三大法为根】

　　【以后为两弧所用共大法九更之七十有二而仍以本弧之三率连比例为根】

　　九法

　　十二法

　　【以上大法三更之二十有四是以本弧之正切余切与他弧互视】

　　此皆两弧中互相视之率也本弧有两率相乗矩与全数之方等他弧亦有两率相乗矩与前数之方等则此四率为互相视之边互相视者此有一率赢于彼之一率若干倍则此之又一率必朒于彼之又一率亦若干倍而其比例皆相等故以此弧之两率为一与四则以他弧之两率为二与三

　　假如有角三十度边四十度此两弧也角之正【○五○○○○】与其余割【二○○○○○】相乗【一○○○○○○○○○】与全数自乗等边之正【○六四二七九】与其余割【一五五五七二】相乗【一○○○○○○○○弱】亦与全数自乗等则此四率为互相视之边互相视者言角之正【○五○○○○】与边之正【○六四二七九】若边之余割【一五五五七二】与角之余割【二○○○○○】也【第四法】

　　又如有二边大边五十度小边三十度大边之正【○七六六○四】余割【一三○五四一】相乗与全数自乗等小边之正切【○五七七三五】余切【一七三二○五】相乗亦与全数自乗等则此四者互相视互相视者言大边之正【○七六六○四】与小边之正切【○五七七三五】若小边之余切【一七三二○五】与大边之余割【一三○五四一】也【第六法】

　　又如有两角甲角三十度乙角五十度此亦两弧也甲角之正切【○五七七三五】余切【一七三二○五】相乗与全数自乗等乙角之正切【一一九一七五】余切【○八三九一○】相乗亦与全数自乘等则此　率为互相视之边互相视者言甲角之正切【○五七七三五】与乙角之正切【一一九一七五】若乙角之余切【○八三九一○】与甲角之余切【一七三二○五】也【第十法】

　　用法

　　假如别有四率以五十度正为第一三十度正切为第二今改用三十度余切第一五十度余割第二其比例同

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷八>如图壬丙爲本弧乙丙为他弧他弧小于本弧而并在半象限以内

　　本弧【正壬癸　余壬丑　正切庚丙余割未甲　正割庚甲　余切未丁】

　　他弧【正乙戊　余乙巳　正切辛丙余割酉申　正割辛甲　余切酉丁】

　　论曰甲丙甲丁皆半径乃本弧他弧所共也半径自乗之方幂为甲丙夘丁而本弧中以正乗余割以余乗正割以正切乗余切所作矩形既各与半径方幂等则他弧亦然故可以互相视而成相当之率

　　如上图壬丙本弧在半象限内巳丙他弧在半象限外亦同

　　如上图壬丙本弧小于乙丙他弧而并在半象限外并同

　　厯算全书卷八

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

　　小引

　　环中黍尺者所以明平仪弧角正形乃天外观天之法而浑天之画影也天圜而动无晷刻停而六合以内经纬厯然亘万古而不变此即常静之体也人惟囿于其中不惟常动者不能得其端倪即常静之体所为经纬厯然者亦无能拟诸形容惟置身天外以平观大圜之立体则周天三百六十经纬之度擘划分明皆能变浑体为平面而写诸片楮按度攷之若以玻璃水晶通明之质琢成浑象而陈之几案也又若有镂空玲珑之浑仪取影于烛而惟肖也故可以算法证仪亦可以量法代算可以独喻可以众晓平仪弧角之用斯其妙矣庚辰中秋鼎偶霑寒疾诸务屏絶展转牀褥间斗室虚明心闲无寄秋光入户秋夜弥长平时测算之绪来我胸臆积思所通引伸触类乃知厯书中斜弧三角矢线加减之图特以推明算理故为斜望之形其弧线与平面相离聊足以彷佛意象啓人疑悟而不可以实度比量固不如平仪之经纬皆为实度弧角悉归正形可以算即可以量为的确而简易也病间録枕上之所得輙成小帙然思之所引无方而笔之所追未能什一庶存大致竢同志之讲求耳【此第一卷原序也余详目録】

　　康熈三十有九年重九前七日勿庵力疾书时年六十有八

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷九

　　宣城梅文鼎撰

　　环中黍尺卷一之二

　　总论

　　有垂弧及次形而斜弧三角可算乃若三边求角则未有以处也环中黍尺之法则可以三边求角【如有黄赤两纬度可求其经】可以径求对角之边【如有黄道经纬可径求赤道之纬】立术超妙而取径遥深非专书备论难谙厥故矣书成于康熈庚辰非一时之笔故与举要各自为首尾

　　凡测算必有图而图弧角者必以正形厥理斯显于是以测浑圆则衡缩欹衺环应无穷殆不翅累黍定尺也本书命名盖取诸此

　　用八线至弧度而竒然理本平实以八线量弧度至用矢而简然义益多通要亦惟平仪正形与之相应一卷之先数后数所为直探其根以发其藏也

　　平仪以视法变浑为平而可算者亦可量即眎度皆实度矣二卷之平仪论所以博其趣而三极通几其用法也【黍尺名书于兹益着】

　　矢度之用已详首卷而余之用亦可参观故又有三卷之初数次数也　初数次数本用乗除亦可以加减代之故有加减法以疏厥义【自三卷以后非非一时所撰今以类相附而仍各为之卷】

　　四卷之甲乙数即初数次数之变也而彼以乗除此以加减则繁简殊矣

　　五卷之法亦加减也而特为省径故称防焉【用初数不用次数用矢度不用余以视甲乙数又省其半】然不可不知其变故又有补遗之术也

　　恒星厯指之法别成规式而以加减法相提而论固异名而同实是以命之又法也

　　【以上环中黍尺之法约之有六用乘除者二其一先数后数其一初数次数也用加减者四初数次数也甲乙数也捷法也又法也本书中具此六术然而加减捷法其尤为善之善者欤】

　　外有不系三边求角之正用并可通之以加减之法者是为加减通法盖术之约者其理必精数之确者为用斯博并附数则于五卷之末以发其例

　　弧三角用平仪正形之理

　　作图之法有二一为借象一为正形以平写浑不得已而为侧睨遥望之形以曲状其变然多借象而非正形兹一准平仪法度寘二极于上下而从旁平视之【如置身大员之表以观大员】则浑球上凸面之经纬弧角一一可写于平面而悉为正形于是测望之法步算之源皆不烦笺疏而解

　　平仪用实度之理

　　斜视之图无实度可纪【弧角之形聊足相拟其实度非算不知】兹者平仪既归正形则度皆实度循图可得即量法与算法通为一术【以横径查角度以距纬查弧度并详二卷】

　　平仪用矢线之理

　　八线中有矢他用甚稀乃若三边求角则矢线之用为多而又特为简易信古人以弧矢测浑员其法不易然亦惟平仪正形能着其理【下文详之】

　　矢线之用有二

　　一矢线为角度之限　钝角用大矢　鋭角用小矢【小矢即正矢也从半径言之为正矢从全径言之为小矢】法曰置角度于平仪之周则平员全径为角线所分而一为小矢一为大矢【平仪横径即浑员之腰围故大矢即钝角度小矢即鋭角度】

　　如图浑球上甲戊甲丁甲丙三小弧与甲已同度故同用甲已为正矢丁乙戊乙丙乙三过弧与已乙同度故同用已乙为大矢

　　一矢较为弧度之差　大弧用大矢【弧度过象限为大弧故大矢亦大于半径】小弧用小矢【弧度不及象限为小弧故正矢小于半径】较弧与对弧并同法曰置较弧对弧于员周【角旁两弧之较为较弧亦曰存弧对角之弧为对弧亦曰底弧】则各有矢线而同轴可得其差谓之两矢较也较弧对弧并小则为两正矢之较【两弧俱象限以下故俱用正矢】较弧小对弧大为正矢大矢之较【较弧在象限以下用正矢对弧过象限用大矢】

　　较弧对弧并大为两大矢之较【两弧俱过象限故俱用大矢】

　　凡较弧必小于对弧则较弧矢亦小于对弧矢故无以较弧大矢较对弧正矢之事法所以恒用加也【若较弧用大矢则对弧必更大】

　　如图丑乙弧之正矢辛乙【庚乙寅乙

　　二弧同用】子乙弧之正矢壬乙【癸乙夘乙

　　同用】则辛壬为两矢之较即为【癸乙

　　寅乙】两弧度之较也【或丑乙与子乙或庚乙与

　　癸乙或寅乙与卯乙并同】　又如戊乙弧之

　　大矢已乙与丑乙弧之正矢辛乙相较得较已辛或子乙弧之正矢壬乙与丙乙弧之大矢已乙相较得较巳壬皆大矢与正矢较也　又如甲丑弧之大矢辛甲与甲夘弧之大矢壬甲相较得较辛壬则两大矢较也约法

　　凡求对角之弧并以角之矢为比例【钝角用大矢鋭角用正矢】求得两矢较【半径方一率正矩一率角之矢三率两矢较四率】以加较弧之矢【较弧大用大矢较弧小用正矢】得对弧矢加满半径以上为大矢其对弧小【遇象限】加不满半径为小矢其对弧小【不过象限】此不论角之鋭钝边之同异通为一法

　　凡三边求角并以两矢较为比例求角之矢【半径方一率余割矩二率两矢较三率角之矢四率】得数大于半径为大矢其角则钝得数小于半径为正矢其角则鋭亦不论边之同异通为一法

　　问用矢用余异乎曰矢余相待而成者也可以矢算者亦可用余立算但加减尚须详审若矢线则一例用加尤为简妙

　　先数后数法

　　【此以平仪弧角正形解浑球上斜弧三角用矢度矢较为比例之根也】

　　【先得数者正上距等圈矢也与角之矢相比后得数者而矢较也与较弧矢相加】

　　设丙乙丁斜三角形　有乙鋭角　有丙乙弧小于象

　　限丁乙弧大于象限【是为角旁

　　之两弧不同类】　求丁丙为对角

　　之弧　用较弧【角旁两弧相减】及

　　对弧两正矢之较为加差

　　法以大小两边各引长之

　　满半周遇于戊作戊甲乙

　　圜径　又于圜径折半处【巳】命为浑圜心　又自己心作横半径【如巳寅辛】则寅辛即乙角之弧亦即为乙角之矢【平视之为矢度实即角度之弧跻缩而成】而寅已即乙角之余弧亦即为乙角余【因视法能令余弧跻缩成余】　又自丁作横半径【巳辛】之平行线【如壬丁甲】此平行线即乙丁大边之正【因平视故乙丁小于乙壬其实乙丁弧之度与乙壬同大今壬甲既为戊壬及乙壬之正亦即为乙丁之正矣】而此正【壬甲】又即为距等圈之半径也【想戊巳乙为半浑圜之中剖国面侧立形乃自壬丁甲横切之则壬甲为其横切之半径】则其丁壬分线亦为距等圈上丁壬弧之矢线矣【有距等圈半径即有其弧】而此大小两矢线各与其半径之比例皆等【己辛大圜之半径大故寅辛矢亦大甲壬距等圈之半径小故壬丁矢亦小然其度皆乙角故比例一也距等虽用戊角而戊角即乙角有两弧线限之故也】法为已辛与甲壬若寅辛与壬丁

　　一率　半径已辛

　　二率　【大弧正】壬甲【卯距等圈之半径】

　　三率　【乙角矢】寅辛

　　四率　【先得数】壬丁【即距等圏之正矢】

　　次从丙向已心作丙巳半径此线为加减之主线【以较弧对弧俱用为半径而生矢度】　又从壬作壬夘为壬丙较弧之正【壬乙既同丁乙则丁乙弧之大于丙乙其较为壬丙】　又从丁作癸丁午线为丁丙对弧之正【因平视故丁丙弧小于癸丙其实丁丙弧与癸丙同大癸午既为癸丙正亦即丁丙之正矣】因两正平行又同抵巳丙半径为十字正方角故比例生焉此立算之根本　又从丁作丁子线与午夘平行而等【以有对弧较弧两正为之限也】成壬丁子句股形又从丙作丙辰线为乙丙小边之正成已丙辰句股形　此大小两句股形相似【巳丙辰与卯已奎小形相似则亦与壬丁子形相似等角等势故也】法为丙已与辰丙若壬丁与丁子

　　一率　半径丙已　

　　二率　【小弧正】辰丙　股

　　三率　【先得数】壬丁　小

　　四率　【两矢较】丁子　小股

　　省算法用合理

　　【因上两宗内各冇先得数而一为三率一为四率故对去不用】

　　乃以后得数为矢较加较弧矢【以午夘加夘丙也】成对弧矢【午丙】末以对弧矢【午丙】减半径【巳丙】成对弧余【午已】检表得对弧【丁丙】之度

　　又法　以后得数减较弧余【以午夘减夘已】成对弧余【午己】检表得对弧【丁丙】度亦同【两正矢之较即两余较也故加之得矢者减之即得余】

　　若先有三边而求乙钝角则反用其率【因前四率反之以首率为次率三率为四率】

　　以乙角矢【寅辛】减半径【辛巳】得余【寅巳】检表得乙角之度右锐角以二边求对边及三边求角并以两矢较为加差【以差加较弧矢得对弧大三边求角则为三率】亦为两余较【依又法以差减较弧余为对弧余三边求角则两余弧相减为三率】　角旁弧异类对边小

　　设亥乙丁斜弧三角形　有乙钝角　有亥乙小弧丁乙大弧　求亥丁【对角弧】　用较弧正矢与对弧大矢之较为加差

　　戊乙径为取角度之

　　根亢寅角度及房甲

　　与亥虚两正皆依

　　之以立

　　大矢即钝角之弧度

　　小矢即鋭角之弧度

　　亥斗径为加减之根

　　房氐及危心两正

　　依之以立　有两正即有两余及大小矢而加减之用生焉

　　法以大小两边各引长之满半周遇于戊　又依小边半周【乙亥戊】补其余半周【戊辛乙】成全圆　又从戊至乙作圆径　又作亢辛横径两径相交于已即圆心　则寅辛为乙角之小矢而寅亢为乙角之大矢【寅已亢即乙钝角之弧度平视之成大矢】　若自寅点作直线与戊乙平行取距戊乙之度加象限即角度　又从丁作房丁壬横线与亢辛横径平行此线即丁乙大邉正之倍数【房丁壬与亢辛平行则房乙即丁乙也因平视故丁乙小于房乙耳而房甲既为房乙之正亦即丁乙正也房甲既为正房壬则倍正矣倍正即通】而此【房壬】倍正又即为距等圏之全径【想全体浑圆从壬丁房横切之成距等圈而房壬其全径】则房丁分线亦即为距等圏上丁甲房弧之大矢【有距等圈全径即有其全圏而房甲丁其切弧】而此两大矢线各与其全径之比例皆等【亢辛全径大故寅亢大矢亦大房壬距等圏之全径小故房丁大矢亦小然其度皆乙角之度在乙丁戊及乙房戊两弧线之中故各与其全圆之比例等而其大矢亦各与其全径之比例等】即各与其半径之比例亦等【若以甲为心壬为界作半圆于房壬线上则距等之弧度见矣】法为亢辛【全径】与房壬【距等全径即倍正】若寅亢【钝角大矢】与房丁【先得数亦距等大矢】而亢已【半径】与房甲【乙丁正亦距等半径】亦若寅亢与房丁

　　一率　亢巳【半径】

　　二率　房甲【大邉之正亦距等半径】

　　三率　寅亢【钝角大矢】

　　四率　房丁【先得数亦距等大矢】

　　次从亥过巳心作亥已斗全径为加减主线【较弧对弧之俱过此全径而生大小矢】　又从房作房氐线为房亥较弧之正【准前论房乙同丁乙则丁乙之大于亥乙其较房亥】　又从丁作心丁娄线与房氐正平行而交亥斗径于危如十字则此线为亥丁对弧之倍正【因视法心亥弧大于亥丁其实即亥丁也亥丁为平视跻缩之形心亥为正形而心危者心亥弧之正也是即亥丁弧之正而心丁娄其倍矣】　又从丁作丁女线与斗亥径平行亦引房氐较弧之正为通而与丁女线遇于女成丁女房句股形　又从亥作亥虚线与亢辛横径及大边之正房甲俱平行成亥虚已句股形　此大小两句股形相似【亥巳即径线与丁女平行亥虚与房甲丁平行则大形之丁角与小形之亥角等而女与虚并正角则为等角而相似】法为已亥【半径】与亥虚【小边正】若房丁【先得数而距等大矢】与丁女【后得数亦即氐危为较弧正矢氐亥及对弧大矢危亥之较】

　　一率　半径已亥　

　　二率　【小边正】亥虚　句

　　三率　【先得数】房丁　大

　　四率　【后得数】丁女　大句

　　乃以省算法平之

　　乃以后得数加较弧正矢【以氐危加氐亥成危亥】为对弧大矢内减半径得对弧余检表得度以减半周为对弧之度又法于后得数内减去较弧余成对弧余【于氐危内减氐巳其余危巳即对弧余】乃以余检表得度以减半周为对弧之度　大矢与小矢之较即两余并也内减去一余即得一余矣观图自明　前用鋭角是于较余内减得数为对弧余此用钝角是于得数内减较弧余为对弧余

　　若有三边而求角度者则反用其率

　　一半径上方　　　　一两正矩　　半径上方

　　二两正矩　　　　二半径上方　　两余割相乗矩三钝角大矢寅亢　　三两余并氐危【即较弧正矢与对弧大矢之较】四两余并丁女【即氏危】四钝角大矢寅亢

　　乃于所得大矢内减去半径成余以余检表得度用减半周为钝角之度

　　右钝角求对边及三边求钝角并用两矢之较为加差【以差加较弧正矢得对弧大矢又为三边求角之三率】亦为两余并【依又法减较弧余得对弧余三边求角即并两余为三率】　其钝角旁两弧异类对弧大

　　设丁辛乙斜弧三角形

　　有辛丁边【五十度一十分】丁乙对角

　　边【六十度】辛乙边【八十度】三边并

　　小求辛鋭角

　　法先为戊亢辛全员　作戊

　　辛员径　又作亢巳横员径

　　【两径十字相交于巳心此线上有角度】

　　次于戊辛径左右任取自辛数至丁如所设角旁小边【五十度一十分】之数截丁辛为小边　又从丁过巳作径线【此线上有加减度】为较弧对角弧两正所依　仍自辛过丁数至房如所设大边【八十度】之数截房丁为大小两边之较弧　又自丁过房数至心如所设对边【六十度】之数截心丁与乙丁等　仍自丁过辛截娄丁度如心丁乃作娄心直线聨之为心丁对弧之倍正　又从房作房甲横线与亢巳横径平行此为乙辛大边之正【因视法房辛即乙辛详后】　次视娄心倍与房甲正两线相遇于乙命为斜弧形之角　乃从乙角向辛作乙辛弧【此弧亦八十度与房辛同大】是所设角旁之大边【理在平仪视法房辛是真度乙辛是视凸为平跻缩之形想平仪原系浑体从房乙甲横切之则自房至甲为距等圈之九十度从此线上度度作弧至辛极并八十度不惟乙辛与房辛同大即甲辛亦与房心同大也他仿此】　又从乙向丁作乙丁弧【此弧亦六十度与心丁同大】是所设对角之边【切浑角以心娄距等圈而以丁为极则危丁亦六十度与心丁同大矣乙丁同大不言可知】　遂成乙辛丁斜弧三角在球上之形与所设等　又从乙引乙辛弧线至戊成心乙戊半周侧立形此线截亢巳半径于寅则亢寅为辛角矢度而寅己其余　次从丁作丁虚横线与房甲正平行是为辛丁小边之正　又从房作房夘线与心危娄平行则此线为房丁较弧之正其心危则乙丁对弧之正　又从乙作乙女线与夘危平行而等【线在两正平行线之中而赤平行不得不等】是为较弧与对弧两正矢之较【房夘为较弧正则夘已为余而夘丁其矢又心危为对弧正则危巳为余而危丁其矢此两正矢之较为危卯而乙女与之等则乙女亦两矢之较矣】

　　法曰巳丁虚句股形与房乙女句股形相似【房乙与丁虚平行乙女与巳丁平行则所作之大形丁角小形乙角必等而大形之虚小形之女并正角则两形相似】故丁虚【小边正】与丁巳【半径】若乙女【即夘危较弧余与对弧余之较】与乙房【先得数】

　　又房甲正之分为乙房犹亢巳之分为寅亢其全与分之比例皆相似【从房甲线切浑员成距等圏而房甲为其半径犹浑员之有亢巳为半径也两半径同为戊寅辛弧线所分则乙房为距等圏半径之矢度犹寅亢为大员半径之矢度也其比例俱相似】故房甲【大邉正即距等圏半径】与亢巳【大员之半径】若乙房【先得数即距等圏之矢】与寅亢【后得数即角之矢线】

　　以省算法平之即异乘同乘异除同除

　　较弧【二十九度五十分】余【八六七四八】正矢【一三二五二】其较三六七四八

　　对弧【六十度　　　　五○○　　五○○○○　　　○○】

　　一半径方一○○○○○○○○○○【首率除宜去十尾乃先于二率】二余割矩一三二二三二三四○八九【去五位故得数只去五位即如】

　　三两矢较　　　　　　　三六七四八【共去十位也】

　　四锐角矢　　　　　　　四八五九二【用减半径得辛角余五一四○八】检表得五十九度四分为辛角之度【此与厯书所算五十八度五十三分只差十一分】又法径求余　法曰房甲之分为乙房而其余乙甲犹亢已之分为亢寅而其余寅已也故其全与分余之比例亦相似法为房甲【正】与亢己【半径】若乙甲【正分线之余】与寅已【半径截矢之余即角之余】

　　准前论小边之正虚丁【句】与半径丁巳【】若较弧对弧两矢之较乙女【小句】与大边正之分线乙房【小】也先求乙房为先得数以转减大边正房甲得分余线乙甲

　　一　小边【五十度一○】正　　丁虚　七六七九一

　　二　半径　　　　　　　　　丁巳一○○○○○三　【较弧二十九度五○对弧六　十度○○】两正矢较乙女　三六七四八

　　四　先得数【大邉正之分线】　　　　乙房　四七八五四以先得数减大邉八十度正房甲　九八四八一得大边正内乙房分线之余乙甲　五○六二七未以分余线为三率

　　一　大边正　　房甲　九八四四一

　　二　半径　　　　亢已一○○○○○

　　三　分余线　　　乙甲　五○六二七

　　四　角之余　　寅已　五一四○七【检表得五十九度○四分与先算合】附厯书斜弧三角图【稍为校正】

　　丙乙丁弧三角形

　　乙丙角旁小弧　壬乙同丁

　　乙角旁大弧　壬丙为较弧

　　癸丙同丁丙为对角之弧

　　甲壬为大弧正　辰丙

　　为小弧正　壬夘为较弧

　　正　癸午为对弧正　寅辛为乙角之弧　庚辛为乙角之矢　夘丙为较弧之矢　午丙为对弧之矢午夘为两矢较　酉壬为先得数　酉子同午夘亦

　　两矢之较

　　法为全数【己辛】与大弧正【甲壬】若角之矢【庚辛】与先得数【酉壬】又全数【巳丙】与小弧正【辰丙】若先得数【酉壬】与两矢较【酉子】也一率全之方　二率两正矩　三率角之矢　四率得两矢较以两矢较加较弧之矢为对弧之矢

　　论曰此因欲显酉壬为甲壬距等半圈之矢度故特为斜望之形其实丁点原在酉寅点原在庚丁壬弧即酉壬线寅辛弧即庚辛线乙寅丁戊弧原即为乙庚酉戊弧也故以平仪图之则皆归正位矣所以者何平仪上惟经度有弧线之形其距等圈纬度皆成直线而寅庚为角度之正直立下垂从其顶视之成一点矣丁酉者大弧正甲壬上所作距等圈之正也从顶视之而成一点与寅庚一也其寅已半径势成斜倚从上眎之与已庚余同为一线甲丁与甲酉亦然此皆平面正形可以算亦可以量非同斜望比也愚故谓惟平仪为正形也

　　若乙角为钝角成亥乙丁三角形则当用房亥较弧之正矢【牛亥】与同丁亥对弧之心亥弧大矢危亥相减成两矢之较【牛危即女酉】以较加较弧正矢为对弧大矢【法详前例但前例钝角旁小弧不同乙丙故此图以相同者论之更见其理之不易】

　　乙为钝角用大矢之图

　　【此用平仪正形故丁与酉同为一点】

　　设角之一边适足九十度一边大　用锐角【余角一钝一鋭】法为半径与大边之正若角之矢与两矢较也亦若角之余与对弧之余

　　乙丁丙斜三角形　丙丁边适

　　足九十度乙丁边大于九十度

　　丁鋭角求对边丙乙　法先作

　　平员分十字从丁数丁壬及丁丑

　　并如乙丁度作距等线聫之【壬丑】又于壬丑线上取乙点【法以壬巳为度巳为心作半员】

　　【分匀度而自壬取角度得乙防】作庚乙癸直线为对弧之正　又取壬丙为较弧作壬夘正较弧之矢夘丙对弧之矢癸丙其较夘癸与壬乙等壬已正又即距等圈半径而为丁乙戊弧所分则壬乙如矢乙已如余与角之丙子矢子甲余同比例

　　一　半径丙甲　　　一　半径丙甲

　　二　【大邉正】壬已　　　二　【大邉正】壬已

　　三　【角之矢】子丙　　　三　【角之余】子甲

　　四　【两矢较】壬乙【即夘癸】　四　【对弧余】乙已【即癸甲】

　　若丁为钝角　用大矢

　　法为半径与大边之正若角之大矢与两矢较也亦若钝角之余与对弧之余

　　借前图作乙辛为对角之弧成乙丁辛三角形【三角俱钝】作丑午为较弧丑辛正【以丑丁同乙丁故】其庚癸为对弧乙辛之正【以庚辛即乙辛故】较弧之正矢午辛对弧之大矢癸辛其较癸午与丑乙等　依前论壬乙为距等圈小矢则乙丑为大矢壬丑为距等圏全径与其大矢乙丑之比例若丙辛全径与钝角之大矢子辛则已丑为距等半径与其大矢丑乙亦若甲辛半径与钝角之大矢子辛也而丑已原为乙丁大边之正【丑乙原与癸午等】故法为半径【甲辛】与钝角之大矢【子辛】若大边之正【已丑】与两矢较【丑乙或癸午】也

　　一　半径甲辛　　一　半径甲辛

　　二　【大邉正】丑巳　　二　【大邉正】丑已

　　三　【钝角大矢】子辛　　三　【钝角余】子甲

　　四　【两矢较】癸午　　四　【对邉余】乙已【用余入表得度以减半周得对邉之度】一系　距等圏上弧度所分之矢与余与大矢与其半径或全径并与大圏上诸数比例俱等

　　又按前法亦可以算一邉小于象限之三角

　　于前图取乙戊丙斜弧三角形用戊鋭角【余角一钝一鋭】有丙戊大边足九十度有乙戊边小于九十度　求对戊角之乙丙边

　　法从乙作壬已线为小邉乙戊之正【以壬戊即乙戊故】又从乙作庚癸为对弧乙丙之正【以庚丙即乙丙故】　于是较弧之矢为夘丙　对弧之矢为癸丙而得两矢之较为癸夘　则又引戊乙小邉之弧过半径于子而合大圏于丁分子丙为戊角之矢子甲为角之余法曰丙甲【半径】与壬已【小邉】若子丙【戊角之矢】与乙壬【两矢较】也得乙壬即得癸夘

　　捷法不用较弧但作壬已为小弧乙戊之正作庚癸为乙丙对弧之正其余癸中　又引小邉戊乙分半径于子得子甲为戊角之余

　　法曰丙甲【半径】与壬已【小邉正】若子甲【戊角余】与乙巳【对邉余】得乙己得癸甲矣

　　又于前图取辛戊乙三角形用戊钝角【余角并鋭】有戊辛大邉九十度有戊乙邉小于九十度　求对戊钝角之辛乙邉

　　用防法　于乙作壬丑为乙戊小邉之通　作庚癸为乙辛对弧之正　其余甲癸　又引戊乙小邉割丙辛全径于子分子辛为钝角大矢子甲为钝角余

　　法为甲辛与丑已若子甲与乙巳得乙巳即得癸甲一　半径甲辛【即丙辛全径之半】

　　二　【小邉王】丑已【即壬丑通之半】

　　三　【钝角余】子甲

　　四　【对邉余】癸甲【即乙巳】

　　若先有三邉而求角则反用其率

　　一　半径

　　二　小邉余割

　　三　对邉余

　　四　角之余

　　一系凡斜弧三角形有一邉足九十度其余一邉不拘小大通为一法皆以半径与正若角之矢与两矢较也亦若角之余与对邉之余

　　若置大小邉于员周其算亦同

　　乙丁丙斜弧三角形　乙丁

　　邉适足九十度　丁丙邉小

　　于九十度　有丁锐角　求

　　对邉丙乙　法于平员邉取

　　丙丁度作丙已为小邉之正

　　　又自丙作丙甲过心线

　　又作壬夘线为丙壬较弧

　　之正　又作庚乙癸线为对弧乙丙之正【庚丙即乙丙故】　乙壬为丁角之矢　乙甲为丁角之余　癸丙为对弧之矢　癸甲为余　夘丙为较弧之矢　夘甲为余　对弧较弧两矢之较夘癸【亦即乙辰】

　　法曰甲丙已壬乙辰乙甲癸三句股相似故甲丙【半径】与丙已【小邉正】若壬乙【角之矢】与乙辰【两矢较】亦若乙甲【角之余】与甲癸【对弧余】

　　三邉未角法

　　一　半径壬甲【即甲丙】　二　【小邉余割】甲甲

　　三　【对弧余】癸甲　　　　四　【角之余】乙壬

　　又于前图取乙戊丙三角形　用戊鋭角【余角一钝一鋭】　有乙戊邉九十度　有戊丙大邉　求对戊角之丙乙邉用防法　自丙作丙已为丙戊大邉之正　即从丙作丙甲半径　乃于乙点作庚癸为丙乙对弧之正其余癸甲而戊乙弧原分乙甲为戊角之余法曰甲丙巳句股与乙甲癸相似故甲丙【半径】与丙巳若乙甲【角之余】与甲癸【对边余】

　　若丁为钝角【余角并鋭】　用大矢

　　借前图作丑乙为对角之弧

　　成丑丁乙三角【丁为钝角】　作

　　丑甲寅径　又作辛丑较之

　　正辛午　【以辛丁同丁乙故】　作

　　丑乙对弧之正子酉引过

　　乙至亥成通　又作辛未

　　线与酉午平行而等　较弧之正矢午丑对弧之大矢酉丑相较得酉午【亦即未辛】　乙辛与丁钝角大矢　乙甲为钝角余

　　法曰甲丑已乙辛未乙甲酉三句股相似故甲丑【半径】与丑已【小邉正】若乙辛【角大矢】与未辛【两矢较】亦若乙甲【角之余】与甲酉【对弧余】

　　又于前图取乙戊丑形　用戊钝角【三角俱钝】　有乙戊邉九十度有丑戊大邉　求对钝角之丑乙邉

　　用防法　自丑作丑已为丑戊大邉之正　又自丑作丑甲寅全径　又自乙作亥酉为对邉丑乙之正【以亥丑即乙丑故】　其余酉甲而乙甲原为戊钝角之余法曰甲丑己句股形与乙甲酉相似故甲丑【半径】与丑已【大邉正】若乙甲【钝角余】与甲酉【对邉余】

　　又设丙乙丁三角形　乙为钝角【余一钝一鋭】　乙丙邉小丁乙邉大　对邉丁丙大于象限　较弧壬丙亦大

　　于象限

　　惟对邉较弧俱大于象限故

　　所得为两大矢之较

　　其正比例仍用小矢以角

　　为鋭角也

　　壬丙较弧之大矢夘丙加后得数午夘为对弧丁丙之大矢【丁丙即癸丙故】　大矢午丙内减半径已丙得午已为余以检表得庚癸之度以减半周得癸丙之度即对弧丁丙之度

　　又法以得数午夘加较弧之余夘巳得午已为对弧余【以两大矢较即两余较也余同上】

　　若于前图取丁乙庚三角形则角旁两邉俱大于象限而对邉小于象限较弧亦小于象限乙为钝角【三角俱钝】有庚乙与丁乙两大邉而较弧丑庚小故所得为两小矢之较其正比例则用大矢以乙为钝角故也　丑庚为较弧其正丑亥余亥已　对弧庚丁即庚酉其正酉午余午已【两矢较亥午即余较】

　　又设丙乙丁三角形

　　乙为鋭角【余一钝一鋭】

　　乙丙邉小　丁乙邉大　对

　　弧丁丙大于象限　较弧壬

　　丙小于象限　所得为对弧

　　大矢与较弧小矢之较

　　其正比例仍用小矢以乙

　　鋭角故

　　两余并即大矢与小矢之较也

　　法以得数午夘加较弧之正矢夘丙成午丙为对弧之大矢午丙内减去半径已丙得午巳余乃以余检表得度以减半周得对弧丁丙之度

　　若于得数内减较弧余弧夘己亦即得午己余余如上

　　又于前图取丁乙庚三角形　乙为钝角【三角俱饶】　角旁两邉俱大于象限惟对邉小故用两正矢较其正比例仍用大矢以钝角故　乙丁弧之通丑壬为乙丁弧所割成丑丁亦割其戌辛全径于寅成寅戌为钝角大矢而比例等　又丑庚为较弧其正丑亥其矢亥庚　对弧庚丁之通酉癸其矢午庚两矢之较为亥午

　　以两矢较亥午加丑庚较弧之矢庚亥成午庚为对弧丁庚之矢【以矢减半径庚已得对弧之余午巳检表得丁庚度】

　　论曰先得数何以能为句股比例也曰先得数即距等圏径之分线也其势既与全径平行又其线为弧线所分其分之一端必与对弧相防【葢对弧亦从此分也】其又一端必与较弧相防是此分线在较弧对弧两正平行线之中斜交两线作角而为则两正距线必为此线之句矣而两矢之较即从两正之距而生故不论大矢小矢其义一也

　　然则正上所作句股何以能与先得数之句股相似邪曰两全径相交于员心则成角各正又皆为各全径之十字横线则其相交亦必成角而横线所作之角必与其径线辏心之角等角等则比例等矣大邉小邉之正皆全径之十字横线也较弧对弧之正皆又一全径之十字横线也此两十字之各线相交而成种种句股其角皆等

　　仍于前图取丁戊庚三角形　戊钝角【余并鋭】　三边俱小于象限　戊丁弧之通丑壬正甲壬　又引戊丁弧过全径于寅防于乙则寅戌为戊钝角之大矢亦割丑壬通于丁则丑丁与通若寅戌大矢与全径也　又戊庚弧之正庚申为句则已庚半径为其其比例若丑未为句而丑丁为也　又丑庚为较弧其正丑亥其余亥已其矢亥庚　对弧庚丁之通酉癸正癸午余午已其矢午庚两矢之较为亥午【对弧小故用两小矢之较戊钝角故以角之大矢为比例并同上条】

　　两法并用钝角其度同所求之庚丁弧又同故其法并同即此可明三角之理

　　仍于前图取丁丙戊三角形　有丁丙及戊丙二大边有丙鋭角【余一钝一鋭】求丁戊对边　法引丁丙及戊丙二弧防于庚作庚丙径作已亢及已戊两半径作癸午为丁丙边正而丁丙弧割癸午正于丁亦割亢已半径丁心则亢已之分为心亢犹癸午之分癸丁也又作戊井为戊丙弧之正成戊已井勾股形又从丁作壬甲为对弧戊丁之正其矢甲戊又取癸戊为较弧【以癸丙同丁丙故】作癸氐为较弧正其矢氐戊两矢之较为氐甲又从丁作斗丁与氐甲平行而等成丁斗癸小句股形与戊已井形相似则已戊与井戊句若癸丁与斗丁句也【此因对弧小故所得为小矢之较而用丙鋭角故只用角之正矢为比例　又此因用丙角求戊丁邉故另为比例若用戊角求丁丙弧则与第一条之法同矣】

　　以甲氐加较弧之矢氐戊成甲戊为对弧之矢如法取其度得丁戊

　　右例以一图而成四种三角形皆可以入算而诸线错综有条不紊可见理之真者如取影于灯宛折惟肖也【又丁丙戊三角形亦可以戊角立算余三角并然　丁乙丙形可用丙角庚戊丁形庚乙丁形俱可用庚角】计开

　　一图中三角形凡四

　　一丁乙丙形　一丁戊丙形　一丁乙庚形　一丁戊庚形

　　全径凡二

　　一戊乙径　一庚丙径

　　算例凡八

　　右前四例皆以乙戊径为主线丙庚径为加减线后四例皆以丙庚径为主线乙戊径为加减线

　　一系　凡三角形以一邉就全员则此一邉之两端皆可作线过心为全员之径而一为主线一为加减线皆视其所用之角

　　凡所用角在径线之端则此径为主线余一径为加减线

　　几用锐角则主线在形外用钝角则主线在形内凡角旁两弧线引长之各成半周必复相防而作角其角必与原角等

　　凡主线皆连于所用角之锐端或在形内或在形外并同其引长之对角亦必连于主线之又一端也若主线在形内破钝角端者其引长之钝角亦然

　　一系　凡两径线必与两弧相应如角旁弧引长成半周其首尾皆至主线之端是主线即为此弧之径也如对角弧引长成半周首尾皆至加减线之端是加减线即为对弧之径也主线既为引长角旁一弧之径又原为全员之径而角旁又一弧之引长线即全员也故角旁两弧皆以主线为之径　加减线既为对弧之径而较弧在员周其端亦与加减线相连又加减线原为全员径故较弧对弧皆以加减线为径

　　一系　凡全径必有其十字过心之横径而正皆与之平行皆以十字交于全径引之即成通

　　主线既为角旁两弧之径故角旁两弧之正通皆以十字交于主线之上而其余其矢皆在主线加减线既为对弧较弧之径故对弧较弧之正皆以十字交于加减线而其余其矢皆在加减线

　　一系　凡角旁之弧引长之必过横径分为角之矢角之余若钝角则分大矢

　　角旁引长之弧过横径者亦过正通故其全与分之比例皆与角之大小矢及余之比例等平仪论　论以量代算之理

　　以横线截弧度以直线

　　取角度并与外周相应

　　如艮已弧距极三十度

　　为申未横线所截故其

　　度与外周未已相应坎

　　乙应戌乙亦同又干乙

　　弧距极六十度为丑夘横线所截故其度与外周丑乙相应巽已应午已亦同

　　又如戊已辛角有未戊辰直线为之限知其为六十度角以与外周未午辛之度相应也癸乙子三十度角应子丑度亦然又庚已子钝角有午夘庚直线为之限知其为百五十度角以与外周午未已申寅子弧度相应也壬乙辛百二十度角应戌乙辰夘辛弧亦然

　　论曰平仪有实度有视度有直线有弧线直线在平面皆实度也弧线在平面则惟外周为实度其余皆视度也实度有正形故可以量视度无正形故不可以量然而亦可量者以有外周之实度与之相应也何以言之曰平仪者浑体之昼影也置浑球于案自其顶视之则惟外周三百六十度无改观也其近内之弧度渐以侧立而其线渐缩而短离邉愈逺其侧立之势益髙其跻缩愈甚至于正中且变为直线而与员径齐观矣此跻缩之状随度之髙下而迁其数无纪故曰不可以量也然而以法量之则有不得而遁者以有距等圈之纬度为之限也试横置浑球于案任依一纬度直切之则成侧立之距等圈矣此距等圈与中腰之大圈平行其相距之纬度等故曰距等也其距既等则其圈踓小于大圈而其为三百六十度者不殊也从此距等圈上逐度作经度之弧其距极亦皆等特以侧立之故各度之视度跻缩不同而皆小于邉之真度其实与邉度并同无小大也特外周则眠体而内线立体耳故曰不可量而可量者以有外周之度与之相应也此量弧度之法也弧度者纬度也【量法详后】然则其量角度也奈何曰角度者乃经度也经度之数皆在腰围之夫圈此大圈者在平仪则变为直线不可以量然而亦可以量者亦以外周之度与之相应也试于平仪内任作一弧角

　　如乙已丙平员内作已丙戊角欲知其度则引此弧线过横径于戊而防于乙则已戊弧即丙锐角之度戊壬弧即而

　　钝角之度也然已戊壬两弧皆以视法变为平线又何以量其度法于戊防作庚辛直线与乙丙直径平行则已庚弧之度即戊巳弧之度亦即丙锐角之度矣其余庚乙壬之度即戊丁壬弧之度亦即丙钝角之度矣故曰不可量而实可量者以有外周之度与之相应也然此法惟角旁弧度适足九十度如戊丙则其数明晣若角旁之弧或不足九十度又何以量之曰凡言弧角者必有三邉如上所疏既以一邉就外周真度其余二邉必与此一邉之两端相遇于外周而成角此相遇之两防即余两弧起处法即从此起数借外周以求其度而各循其度作距等横线乃视两距等线交处而得余一角之所在遂补作余两弧而弧三角之形宛在平面再以法量之则所求之角可得其度矣此量角度之法也

　　今设乙丁丙弧三角形丁丙邉五十○度乙丙邉五十五度乙丁邉六十○度而未知其角

　　法先作戊巳庚丙平员

　　又作巳丙及戊庚纵横

　　两径任以丁丙邉之度

　　自直线之左从丙量至

　　丁得五十○度为丁丙

　　邉又自丙左右各数五

　　十五度如辛丙及子丙皆如乙丙之度乃作辛子线联之为五十五度之距等圈　又自丁作夘丁径线自丁左右各数六十○度为癸丁及丑丁皆如乙丁之数亦作丑癸线聨之为六十○度之距等圈　此两距等线相交于乙则乙防即为乙丙及乙丁两邉相遇之处而又为一角也　乃自乙角作乙丙及乙丁两弧则乙丙丁三角弧形宛然平面矣再以法量之则丁丙两角亦俱可知　欲知丙角即用辛子距等线以半线午子为度以午为心作子酉辛半员句分一百八十度此辛子径上距等圈之真形也乃自乙防作直线与午丙径平行截半员于酉乃从酉数至子得酉子若干度此即乙丙丁锐角之度以减半周得酉辛若于度亦即乙丙辛钝角之度也　欲知丁角亦即用丑癸距等线以半线辰癸为度辰为心作丑亥癸半员分一百八十度此亦丑癸径上距等圈之正形也乃自乙防作直线与辰夘径平行截半员于亥即从亥数至癸得亥癸若干度此即乙丁丙钝角之　度以减半周得亥丑若干度又即乙丁丑钝角之度也

　　计开

　　丙角七十八度稍弱【以算考之得七十七度五十五分】丁角六十七度三分度之二【以算考之得六十七度三十九分】

　　右量角度以图代算【欲得零分须再以算法考之即知无误】

　　又设乙丙丁弧三角形有六十○度丙角有乙丙邉一百○○度有丁丙邉一百二十○度求丁乙邉【对角之邉】法先为巳戊丙庚大圈作巳丙及庚戊十字径乃自丙数至辛如所设丁丙边一百二十○度自丙至子亦知

　　之作辛十子线为一百

　　二十○度之距等圈

　　又以距等之半线辛午

　　为度午为心作辛酉子

　　半圈匀分一百八十度

　　乃自辛数至酉如所设

　　丙角六十度而自酉作酉丁直线与已甲径平行至丁遂如法作丁丙邉　又自丙数至乙如所设乙丙邉一百○○度又从乙过甲心至夘作大圈径亦作寅壬横径乃补作丁乙邉【乙丙丁三角弧形宛然在目】　又自丁作丑丁癸距等线与寅壬平行未自乙数至癸得若干度即乙丁之度

　　计开

　　丁乙线五十九度强【以算考之得五十九度○七分】

　　右量弧度以图代算【若用规尺可免逐圈匀分之度有例在后条】

　　又若先有乙丁对角邉丁丙角旁邉有丙角而求乙丙角旁之邉【仍借前圏】

　　法先作己戊丙员及十字径线又以丁丙邉之度取丙辛及丙子作辛子距等线又作子酉辛半员取辛酉角度作酉丁直线遂从丁作丁丙邉皆如前　次以所设丁乙邉五十九度倍之作一百十八度少于夲员周取其通【即距等线癸丑之度】乃以通线就丁防迁就游移使合于外周而不离丁防成丑丁癸线即有所乘丑乙癸弧乃以弧度折半于乙则乙丙外周之度即所求乙丙邉于是补作乙丁线成三角之象

　　又法以丁乙倍度之通【丑癸】半之于辰乃从辰作夘甲辰过心径线即割大员周于乙而乙癸及乙丑之弧度以平分而等皆如乙丁度亦遂得乙丙度余如上又若先有乙丙两角及乙丙邉在两角之中【亦仍借前图】法先作己戊丙员及十字径线皆如前乃自丙数至乙截乙丙为所设之邉　次作丙角法于戊庚横径如前法求庚亥如所设丙角之度遂从亥防作弧【如丙亥己】则丙角成矣　次作乙角法于乙防作乙甲夘径亦作壬寅横径乃自寅至未如前法求寅未如所设乙角之度遂从未防作弧【如夘未乙】则乙钝角亦成矣　两弧线交于丁角乃补作丑癸及辛子两距等线则弧度皆得【案此两弧线必以鸡子形作之方凖若丁防离两横径不逺则所差亦不多也】

　　再论平仪

　　凡平仪上弧线皆经度而直线皆纬度

　　惟外周经度亦可当纬度又最中长径纬度亦为经度平仪上弧线皆在浑靣而直线皆在平靣

　　试以浑球从两极中半濶处直切之【如用极至交圏为度以剖浑仪】则成平靣矣以此平面覆置于案而从中腰横切之【如赤道半圏】则成横径于平面矣【如赤道之径】又以此横径为主离其上下作平行线而横切之则皆成距等圏之径线于平面矣大横径各距极九十度逐度皆可作距等圏即皆有距等径线在平面故曰皆纬度也此线既为距等圏之径则其径上所乗之距等圏距极皆等即任指一防作弧度其去极度皆等故以为纬度之限也

　　若又别指一处为极【如赤道极外又有黄道极又如天顶亦为极】则其对度亦一极也亦可如前横切作横径【如黄道之径】于平面其横径上下亦皆有九十度之距等圏与其径线矣【如黄道亦有纬度】故直线有相交之用也

　　凖此观之浑球之外圏随处可指为极即有对度之极两极相对则皆有直线为之轴轴上作横径横径上下即皆有九十度之距等径线而相交相错其象千变而句股之形成比例之用生加减之法出矣【如黄赤两极外又有天顶地心之极而天顶地心随北极之髙下而变】又此所用外周特浑球上经圏之一耳若凖上法于球上各经圏皆平切之皆为大圏则亦可随处为极以生诸距等纬线而相交相错之用乃不可以亿计矣【如天顶地心既随极出地度而异其南北亦可因各地经度而异其东西】由是推之浑球上无一处不可为极故所求之防即极也何以言之凡于球上任指一防即能于此防之上作十字直线以防于所对之防而十字所分之角皆九十度即逐度可作线以防于对防而他线之极此防上线皆能与之防故曰所求之防即极也

　　又论平仪

　　凡平仪上弧线皆经度也而弧有长短者则纬度也是故弧线为经度而即能载纬度盖载纬度者必以经度也若无经度则亦无纬度矣

　　平仪上直线皆纬度也而线有大小者则经度也是故直线为纬度而即能载经度盖载经度者必以纬度也若无纬度则亦无经度矣【所云直线指横径及其上下之距等径而言】弧线能载纬度即又能分纬度之大小直线能载经度即又能分经度之长短

　　假如平面作一弧引长之其两端皆至外周则分此外周为两半员而各得百八十度即所作之弧亦百八十度矣此百八十者皆纬度故曰能载纬度也而此平面上所乘之半浑员其经度亦百八十而皆纪于腰围之纬圏若于腰围纬圏上任指一经度作弧线必会于两极而因此弧线割纬圏以成角度故又曰能分纬度也不但此也若从此弧线之百八十度上任取一度作平行距等纬圏其距等圏上所分之纬必小于腰围之纬圏而其所载距等圏之经度皆与角度等即近极最小之纬圏亦然何以能然曰纬圏小则其度从之而小而为两弧线所限角度不变也故纬圏之大小弧度分之也

　　然弧线之长短又皆以纬圏截之而成而纬圏必有径在平面上与圏相应故曰直线能载经度即又能分经度之长短也

　　复论平仪

　　平仪上直线弧线皆正形也问前论直线有正形弧线跻缩无正形兹何以云皆正形曰跻缩者球上度也然其在平靣则亦正形矣有中剖之半浑球于此覆而观之任于其纬度直切至平面则皆直线也而其切处则皆距等圏之半员即皆载有经度一百八十也从此半员上任指一经度作直线下垂至平面直立如县针则距等圏度之正也若引此经度作弧以防于两极则此弧度上所载之纬度一百八十每度皆可作距等圏即每度皆可作距等圏之正矣由是观之此弧上一百八十纬度既各带有距等圏之正即皆能正立于平面而平面上亦有弧形矣夫以弧之在球面言之别以侧立之故而视为跻缩而平面上弧形非跻缩也故曰皆正形也惟其为正形故可以量法御之也

　　又

　　问平仪经纬之度近心濶而近邉狭何也曰浑员之形从其外而观之则成中凸之形其中心隆起处近目而见大四周逺目而见小此视法一理也又中心之经纬度平铺而其度舒故见大四周之经纬侧立而其度垜垒故见小此又视法一理也若以量法言之则近内之经纬无均平之数数皆纪之于外周外周之度皆以距等线为限而近中线之距等线以两旁所用之弧度皆直过与横直线所荖少故其间阔近两极之距等线则其两旁之弧度皆斜过与横直线县殊故其间窄此量法之理也固不能强而齐一之矣夫惟不能强而齐故正之数以生八线由斯以出尺算比例之法由斯可以量代算而测算之用遂可以坐天之内观天之外巳

　　取角度

　　又法

　　设如巳戊丙庚员有子

　　辛距等纬线有所分丁

　　辛小纬线求其所载经

　　度以命所求之角【丙角】本法取距等半径【辛午】作

　　子酉辛半员从丁作酉

　　丁线乃纪酉辛之度为丁辛之度

　　今用防法径于丁防作女丁壬线与巳甲径平行再用距等半径【午辛】为度从甲心作虚半员截女壬线于亢即从此引甲亢线至癸则数大圈庚癸之度为丁辛角度【即丙角也】

　　解曰试作氐亢房半员其亢甲牛径既与午辛等则氐亢房半员与辛酉子等而氐亢房半员又与大员同甲心则庚癸之度与氐亢等即亦与酉辛等矣

　　又如先有丙角之度及辛子距等线而求丁防所在以作丙丁弧

　　法从大圈庚数至癸令庚癸如丙角之度即从癸向甲心作癸甲线【半径】　次以距等之半径辛午为度从甲心作半员截癸甲【半径】于亢乃自亢作亢丁壬线截辛午于丁即得丁防

　　用规尺法

　　设如乙丁辛弧三角形有乙丁邉六十度有丁辛邉五十度一十分有乙辛邉八十度求辛鋭角

　　如法依三边各作图法以十字剖平员自主线端辛数

　　所设丁辛五十度竒至丁乃自

　　丁作径线过已心又依所设丁

　　乙六十度自丁左数至娄右数

　　至丙皆六十度作丙娄线为距

　　等圈之径又自辛依所设辛乙

　　八十度至房亦左至壬作房壬

　　距等径线此两距等线交于乙乃作乙丁及辛乙丙线则三角形宛然在目今以量法求辛角

　　法曰房甲距等半径与乙甲分线若亢已半径与辛角之余寅已

　　法以比例尺正线用规器取图中房甲之度于半径九十度定尺再取乙甲度于本线求正等度得角之余度乃以所得余度转减象限命为辛角之度

　　依法得余三十一度弱即得辛角为五十九度强又法以房甲为度甲为心作房癸壬距等半圈又作乙癸正与已辛平行如前以房甲度于正九十度定尺再以乙癸度取正度命为辛角度

　　又法作房癸线用分员线取房甲度于六十度定尺再取房癸线于分员线求等度得数命为辛角之度更防论曰既以房甲为半径则乙癸即正乙甲即余房癸即分员皆距等圏上比例也其取角度与分半周度而数房癸之度并同然量法较防

　　又求丁钝角

　　法以丙危为度危为心作娄丑丙半员又作丑乙线当角之正则乙危当余

　　乃取距等半径丙危度于正线九十度定尺再取乙危度求得正线等度命为钝角之余以所得加九十度为丁钝角度

　　依法得余十二度太即得丁钝角一百○二度太或取丑乙线求正线上度命为钝角之正以所得减半周度余为丁钝角度【两法互用相考更确】

　　又法作娄丑分员线取丙危半径于分员线六十度定尺而求娄丑分员之度分为丁钝角【亦可与正法叅考】

　　论曰兼用两法分员线一法以相考理明数确然比半周度之工尚为省力是故量防于算而尺更防矣若兼作丙丑分员以所得度减半周亦同如此则分员线亦有两法合之正成四法矣

　　又论曰此条三邉求角前条有二邉一角求弧可互明也故用图亦可以求角用尺亦可以求弧智者通之可也

　　三极通几

　　平员则有心浑员则有极如赤道以北辰为极而黄道亦有黄极人所居又以天顶为极故曰三极也极云者经纬度之所宗如赤道经纬悉宗北极而黄道经纬自宗黄极地平上经纬又宗天顶亦如屋之有极为楹桷宇梠楶棁之所宗也既有三极即有三种之经纬于是有相交相割而成角度角之鋭端即两线相交之防任指一防而皆有三种经纬之度与之相应焉故可以黄道之经纬求赤道之经纬亦可以赤道之经纬求地平上之经纬以地平求赤道以赤道求黄道亦然举例如后以黄道经纬求赤道经纬　已辰庚斜弧三角形

　　巳丁乙丙为极至交圈

　　巳为北极　丙甲丁为赤

　　道　庚为黄极　壬甲寅

　　为黄道　星在辰　辰庚

　　为黄极距星之纬　辰庚

　　酉角为黄道经度　今求赤道经纬　法自辰作黄道距等纬圈【酉辛】又自辰作赤道距等纬圈【戊午】即知此星【辰】在赤道之北其距纬戊丙【或午丁】　次以赤道距等半径戊夘为度夘为心作午未戊半员又作未辰直线与已甲平行则未戊弧即为赤道经度【即戊巳辰角】

　　若先有赤道经纬而求黄道经纬亦同

　　以赤道经纬求地平经纬

　　巳子戊三角形【三角皆鋭】

　　戊壬庚辛为子午规　壬

　　辛为地平　戊为天顶

　　巳为北极　丁丙为赤道

　　星在子　子巳为星距

　　北极　巳角为星距午规

　　经度【即纬圈上丑子之距】　求地平

　　上经纬　法自子作寅亥线与辛壬地平平行即知地平上星之髙度亥辛【或壬寅】　次作寅酉亥半员【以亥寅半线亥午为度午为心】又从子作酉子直线与戊甲天顶垂线平行即子寅为星距午方之度为子戊寅角数酉至寅之弧即得星在午左或午右之方位是为地平上之经度【按此图为星在夘酉线之北数酉辰若干度即知其星距夘酉线若干度也】　若先得地平上经纬【髙度为纬方位为经】而求赤道经纬【星距赤道为纬距午线时刻为经】其理亦同

　　以两纬度求经度

　　巳子戊斜弧三角形

　　假如北极髙三十度【巳辛髙】戊寅壬为午规　太阳

　　在子距赤道北十度【其距丑丁

　　或卯丙纬度】　子丑为太阳距

　　午线加时经度【即子巳丑角】寅壬为太阳髙度【即亥辛】

　　求大阳所在之方　法以太阳髙度【亥辛或寅壬】作亥寅地平髙度纬线又以太阳距赤道纬【丑丁卯丙】作丑卯赤道北纬线两线相交于子乃以亥午为度午为心作亥酉寅半员【分百八十度】又自子作酉子直线与戊甲平行截半员于酉则酉至寅之度即太阳所到方位离午正之度【即子戊寅外角】　若求加时以北极赤纬线准此求之用子巳戊角

　　求北极出地简法【可以出洋知其国土所当经纬西北广野亦然与地度弧角可以参用】不拘何日何时刻但有地平真髙度及真方位即可得之

　　法曰先以所测髙度及方

　　位如法作图取作平仪上

　　太阳所在之防【即地平经纬交处】次查本日太阳在之道南

　　北纬度用作半径于仪心

　　作一小员末自太阳所在

　　防作横线切小员而过引长之至边此即赤纬通也乃平分通作十字全径过仪心即两极之轴数其度得出地度

　　假如测得太阳在辰髙三十四度方位在正卯南三度强而不知本地极髙但知本日太阳赤纬十九度今求北极度

　　如法作图安太阳于辰【详下文】　先作丙丁线为地平髙度次用法自正东卯数正度至辰得近南三度为地平经度【或以丙卯为半径作半规取直应度分亦同】次依本日太阳赤纬十九度【以员半径取庚甲十九度正】为小员半径作子庚小员末自太阳辰作横线戊壬切小员于庚乃自庚向甲心作大员径线已午则已即北极【数己丑之度为极出地度】依法求得本地极髙四十度

　　论曰此法最简最真然必得正方案之法以测地平经度始无错误

　　厯算全书卷九

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷十

　　宣城梅文鼎撰

　　环中黍尺卷三之四

　　初数次数法【加减代乗除之法从初数次数而生故先论之】

　　【上卷之法用角旁两正相乗今则兼用两余故别之为初数次数其法有二其一次数与对弧余相加其一相减也相加又有二一鋭角一钝角也相减有四或余内减次数或次数内减余而又各分锐角钝角也】

　　约法　三边求角

　　角求对边

　　余次数相加例【锐角法钝角法各一】

　　丁乙丙形　有三边求乙锐角　角旁大弧丁巳【正辛戊余巳戊】小弧丙乙【正丙癸余巳癸】两正相乗全数除之成初得数戊庚又以两余相乗全数除之成次得数戊丑【即卯巳】乃以次得数卯巳加对弧之余已戌成卯戌【即申戊】

　　一　初得数　　戊庚

　　二　【次得数与对弧余相并】申戊

　　三　半径　　　亥已

　　四　角之余　已干

　　【以余检表得乙锐角之度】

　　若先有角求对边则反之

　　一　半径　　　亥巳

　　二　角之余　巳干

　　三　初得数　　戊庚

　　四　【次得数与对弧余相并】申戊【以次得数戊丑减之得对弧余丑申即巳戌】

　　论曰辛戊正与亥巳半径同为乙丁弧所分则辛戊全与丁戊分若亥巳全与干巳分也而辛戊与丁戊小又若戊庚句与申戊小句也故戊庚与申戊必若亥巳与干巳

　　若用丁甲丙形其算并同何以明之甲丁者乙丁半周之余甲丙者乙丙半周之余其所用正并同又同用丁丙为对角之弧甲角又同乙角皆以干已为余故也

　　右系对边小于象限角旁弧异类故其法用加而为锐角

　　仍用前图取丁甲寅三角形　有三边求甲钝角　角两旁弧同类　对角边大为寅丁其正酉戌余戌已　旁弧丁甲其正辛戊余已戊　又旁弧寅甲其正寅壬余壬已　初得数戊庚【半径除两正矩】　次得数卯巳【半径除两余矩】

　　所用三率与前锐角形并同亦以卯已加已戌成申戊为三率所得四率干已亦为甲角之余【末以余检表得度以减半周余为甲钝角之度】

　　若先有甲钝角求对边丁寅则反用其率一半径亥已二甲角余干已三初数戊庚四申庚末以次数戊丑去减得数甲戊余丑申为对弧余

　　论曰对弧寅丁系过弧与锐角形对弧丁丙相与为半周之正余度同用酉戌为正戌已为余角旁弧丁甲即乙丁半周之余度同用辛戊为正戊已为余甲寅弧又与乙丙弧等度其正壬寅同癸丙余壬巳同癸巳故加减数并同所异者对弧大而两旁弧又同类故为钝角

　　若用寅乙丁形其算并同以同用丁寅对弧而两弧在角旁者寅乙为寅甲半周之余丁乙为丁甲半周之余所用之正余并同故也甲角同乙角皆以干已余度转减半周为其度

　　右系对边大于象限而角旁两弧同类故其法用加而为钝角

　　正余交变例

　　若角旁两边以象限相加减而用其余弧则正余之名互易而所得初数次数不变三率之用亦不变解曰弧小以减象限得余弧弧大以象限减之而用其余亦余弧也其故何也凡过弧与其减半周之余度同用一正故过弧内减象限之余即反为过弧之余弧亦曰剰弧而此剰弧之正即过弧之余也

　　若两弧内一用余度则其初数次数皆为正乘余半径除之之数然其数不变何也一弧既用余度则本弧之正变为余弧之余而其又一弧仍系本度则正不变然则先所用两正相乗为初数者今不变而为余乘正乎次数仿此

　　试仍以前图明之丁乙丙形任以乙角旁之乙丁弧【即辛乙】内减去亥乙象弧其剰弧亥辛之正戊已即乙辛过弧之余也又亥辛之余辛戊即过弧乙辛之正也然则先以辛戊正乗丙癸正者今不变为辛戊余乘丙癸正乎然但变其名为余乘正而辛戊之数不变则其所得之初数戊庚亦不变也次数仿论【按此法即测星时第二法所用】

　　若角旁两弧俱改用余弧则初数变为两余相乘次数变为两正相乗盖以正变余余变正而所得之初数次数不变

　　试仍以前图明之丁乙丙形乙角旁两弧乙丁改用辛亥【义见前】乙丙改用丙亥皆余弧也则丙癸辛戊两正皆变余【丙癸为丙亥弧余辛戊为辛亥弧余】癸已戊已两余皆变正【癸已为丙亥弧正戊巳为辛亥弧正】然则先以两正相乘者今为两余然虽变两余而其为丙癸与辛戊者不变故其所得之初数戊庚亦不变也次数仿论

　　总例

　　凡弧度与半周相减之余则所用之正同余亦同

　　凡弧度与象限相减之余则所用之正变余余变正

　　余内减次数例【钝角法锐角法各一】

　　丁乙丙弧三角形有三边

　　求乙钝角　丙乙小弧其

　　正丙辰余辰巳　丁

　　乙大弧其正癸甲余

　　甲已　是为角旁之两弧

　　不同类　癸干初得数【两正】

　　【乗半径除之数】　午已次得数【两余乗半径除之数】　丁丙对边大其正壬卯余卯已　对边大于象限而角旁弧不同类宜相减　对弧余大于次数法当于余卯巳内减去次得数午已余午卯【即艮丁】为二率

　　一　初得数　癸干

　　二　【次得数减余】　艮丁

　　三　半径　　辛已

　　四　角余　寅已

　　对边大角旁弧异类而次数小减对弧余其角为钝宜以四率寅已捡余表得度以减半周度其余即为乙钝角之度【即寅酉大矢之度】

　　若先有乙钝角求对弧则反用其率

　　一　半径　　辛巳

　　二　角余　寅已

　　三　初得数　癸干

　　四　【次得数减余】　艮丁

　　既得艮丁乃以次数加之成卯已余检表得度以减半周得丁丙对边之度

　　凡过弧与其减半周之余度同用一余故以余检表得度以减半周即得过弧

　　仍用前图取锐角

　　丁戊庚三角形【系锐角○此形有三锐角】有三边求戊角　戊庚小边其正庚丑余丑巳　丁戊次小边其正癸甲余甲巳　是为角旁弧同类　初得数癸干【半径除两正矩】　次得数午已【半径除两余矩】　丁庚对边小其正壬卯余卯巳　对边小于象限而角旁弧同类宜相减次数午已小于对弧余卯已以午已去减卯已余

　　卯午【即艮丁】

　　一　初得数　癸干

　　二　【次得数减余】　艮丁

　　三　半径　　辛已

　　四　角余　寅已

　　对边小角旁弧同类而次数小去减余其角为锐宜以四率寅已检余表得戊锐角之度

　　若先有戊锐角度求对边丁度则反用其度

　　一　半径　　辛巳

　　二　角余　寅已

　　三　初得数　癸干

　　四　【次得数减余】　艮丁

　　以所得艮丁加次数午已检余表得丁庚对边之度因锐角角旁弧同类次数小于余得数后宜加次数为对边余

　　论曰丁戊庚形与丁乙丙形为相易之形故丁戊为丁乙减半周之余戊庚等乙丙此两弧所用之正余并同则初数次数亦同矣而丁庚对弧亦丁丙对弧减半周之余则所用余边又同加减安得不同

　　次数内转减余例【锐角法钝角法各一】

　　丁乙丙形三边求乙角【系锐角】　丙乙小边正辰丙余辰已　丁乙大边正癸甲余甲已　是为角旁之两边不同类　初得数甲干【半径除两正矩】　次得数午

　　已【半径除两余矩】　丁丙对边

　　大正壬卯余卯已

　　对边大而角旁弧不同类

　　宜相减　次数午已大于

　　对弧余卯已法当于午

　　己内减卯巳余午卯【即甲艮】

　　为二率

　　一　初得数　　甲干

　　二　【余减次数之余】　甲艮

　　三　半径　　　辛巳

　　四　角余　　寅已

　　对边大角旁弧异类而次数大受对弧余之减其角为锐宜以四率寅已检余表得乙鋭角之度【即寅辛矢度】若先有乙角而求对边丁丙则反用其率

　　一　半径　　　辛巳

　　二　角余　　寅己

　　三　初得数　　甲干

　　四　【余减次数之余】　甲艮

　　末以所得甲艮转减次数午已得对弧余卯巳检表得度以减半周为对弧丁丙度

　　前图取钝角

　　丁戊庚形三边求戊角【系锐角】　戊庚小边正丑庚余丑巳　丁戊次小边正癸甲余甲巳　是为角旁两弧同类　初数甲干【半径除两正矩】　次数午已【半径除两余矩】　丁庚对边小正壬卯余卯巳　对边小而角旁两弧同类宜相减　次数午巳大于对边余卯巳当于午巳内减卯已余午卯【即甲艮】

　　一　初得数　　甲干

　　二　【余减次数之余】　甲艮

　　三　半径　　　辛巳

　　四　角余　　寅已

　　对边小角旁弧同类而次数大内减去余其角为钝宜以四率寅巳检余表得度以减半周得戊钝角之度

　　若先有戊钝角而求对边丁庚则反用其率

　　一　半径　　　辛已

　　二　角余　　寅巳

　　三　初得数　　甲干

　　四　【余减次数之余】　甲艮

　　末以所得甲艮转减次数午巳得对弧余卯已检表得对弧丁庚之度

　　一系　半浑员面所成斜三角形左右皆相对如左锐角者右必钝也对边左小者右必大也角旁之边左为同类者右必异类也【角旁两弧一居员周一居圆面此员面弧线左右所同用也而员周之弧左右有大小故同于左者不同于右】

　　加减法【以代乗除】

　　初数次数并以乘除而得今以总弧存弧之余相加减而半之即与乗除之所得脗合法简而妙而甲数乙数之用亦从此生矣

　　总法曰凡两弧相并为总弧相减为存弧【存弧一曰较弧】总弧存弧各取其余以相加减成初数次数　法曰视总弧过弧限则总存两余相加总弧不过象限则相减皆折半为初数【即原设两弧之正相乗半径除之之数】以初数转减存弧余即为次数【即原设两弧之余相乗半径除之之数】又法【总弧过象限两余相减不过象限则相加并折半为次数】又法【初数以相加成者以总弧余减初数以相减成者以总弧余加并加减初数为次数亦同】

　　又取总弧存弧之正相加减成甲数乙数　法曰以总存两正相加折半为甲数【即原设大弧正乗小弧余半径除之之数】总存两正相减折半为乙数【即原设小弧正乘大弧余半径除之之数】又法【以存弧正减甲数其余为乙数亦同】又法【以甲数减总弧正即得乙数】

　　总弧在象限内两余相减

　　大弧丙寅　小弧辰丙【即丑丙】　二弧相加为总弧辰寅相减得存弧丑寅　丑寅存弧之余丑癸【亦即丁乙】

　　辰寅总弧之余卯辰【即癸子亦即乙午】　两余相减【丑癸内减

　　子癸存丑子或乙丁内减乙午存午丁】其余

　　半之【丑子半之于壬成壬丑即亥丁】为【丙寅

　　辰丙】二弧两正相乗半径

　　除之之数即初得数也

　　以初得数转减存弧之余

　　【以壬丑减丑癸其余癸壬亦即亥乙】其余

　　为大小二弧两余相乗半径除之之数即次得数也论曰丙辛大弧之正也丑戊小之正也以句股形相似之故乙丙半径【】与丙辛正【股】若丑戊正【小】与丑壬初得数也【小股】其半而得者何也曰辰戊同丑戊则戊巳亦同丑壬而壬子即已戊则子丑者初得数【壬丑】之倍数故半之即得　辛乙大弧之余也戊乙小弧之余也乙丙半径【】与辛乙余【句】若戊乙余【小】与亥乙次得数也【小句】又以存弧余内兼有初得次得两数故减初得次也【丑癸余内有丑壬初数癸壬次数故减丑壬即得癸壬也或于乙丁内减亥丁得亥乙并同】

　　以上用总存两余加减

　　又丑寅存弧之正丑丁【即午子或癸乙】辰寅总弧之正辰午【即卯乙】两正相加半之为大弧正乗小弧余半径除之之数即甲数也　以甲数转减总弧之正【以午已减辰午其余巳辰亦即卯未】是为大弧余乗小弧正半径除之之数即乙数也

　　论曰乙辛大弧之余也辰戊小弧之正也以两句股形同比例之故丙乙半径【】与乙辛余【句】若辰戊正【小】与辰已乙数也【小句】

　　又丙辛大弧之正也戊乙小弧之余也而丙乙半径【】与丙辛正【股】若戊乙余【小】与戊亥甲数【小句】也又以总弧正内兼有甲乙两数故减乙得甲减甲亦得乙矣【辰午正内有辰巳乙数巳午甲数故减辰巳得巳午若减巳午亦必得辰巳】

　　以上用总存两正加减

　　若以酉丙为大弧丙丑为小弧则其总弧酉丑【正丑丁余丑癸】其存弧辰酉【正辰午余卯辰】但互易存总之名其他并同论曰凡过象限之弧与其减半周之余弧同用一正如丙酉过弧以减半周得丙寅所用正【丙辛】余【辛乙】皆丙酉弧与丙寅弧之所同也故但易总存之名而正余加减之用不变又法　凡过象限之弧即截去象限用其余度如法加减但以总弧为存弧存弧为总弧而总存之余为正正为余如酉丙过弧截去酉甲象限只用丙甲为大弧与丙丑小弧相加减则丑甲为总弧其正丑癸余丑丁而辰甲为存弧其正卯辰余辰午是总存正余名皆互易也法以总存两正相减而其余折半为甲数【丑癸内减卯辰余丑子半之得丑壬为甲数】仍以甲数转减总弧正【甲数丑壬转减丑癸其余癸壬即乙数】是其名虽易而其实不易也但横易为直

　　论曰去过弧之象限而用之则过弧之正为余余为正矣故加减而得之数皆两弧之正乘余余乘正之数而非复正乗正余乘余之数也何也过弧之正余互易而小弧之正余如故也

　　如丙酉过弧去象限为丙甲则其正丙庚即过弧之余也【丙庚即辛乙故】其余庚乙即过弧之正也【庚乙即丙辛故】而小弧丙丑之正丑戊余戊乙皆如旧故先得之丑壬为大弧余丙辛乘小弧正丑戊而丙乙半径除之也非两正相乘也乙数转减正而得之亥乙【即癸壬亦即戊未】为大弧正辛乙乘小弧余戊乙而半径除之也非两余相乘也

　　又论曰又法即测夜时篇中测星距午之第二法也加减代乗除只此一例而絶不与七卷八卷之乘除求初数次数者相虽有学者何从悟入乎愚故为之详説以发其覆

　　又论曰元法依图直看直者正横者余又法正余互易则图当横看变立体为眠体本以总存两余加减者变为两正加减然其数并同

　　又论曰又法是用大之余度而小弧则用元度何以言之测星条用星之赤纬即去极之余度也其用赤道髙则极去天顶之元度也然而赤纬在南者则是于星去极度截去象限之数也何以亦为余度曰过弧既与其减半周之余度同一正则此减半周之余度亦即正弧也然则此截去象限而余者非即正弧之余度乎大弧过象限若干度与不及象限若干度其正并同故加减可通为一法【此又测星条用法之意】

　　约法

　　两弧俱用本度或俱用余度相加减以取总存二弧是两正或两余也则用总存两余加减法取初得数惟视总存二弧俱在一象限则相减或分跨两象限则相加皆以初数减存弧之余为次得数

　　若两弧内有一过弧则总弧之正小于存弧而余反大当以初数减总弧之余为次数

　　若一弧用本度一弧用余度相加减以取总存之弧是一正一余也则用总存两正加减法其加减皆眎两正原法或加或减取甲数即以甲数减总弧正余为乙数

　　若过弧节去象限而用其剰度与余度同法【凡余度是以本度减象限而得名今反以象限减过弧故别之曰剰】

　　若两俱剰弧与两余弧同法

　　若只一剰弧与一正一余同法

　　论曰过弧用剰度为余弧其法甚简快凡过弧皆当用之可不用本度矣【算普天星经纬岁差宜此】

　　又按凡存弧之余内兼有两正相乗两余相乗两数即初次两得数也凡总弧之正内兼有此正乗彼余彼正乗此余之数即甲乙两数也故易其名以别之也

　　大弧寅丙正丙辛余

　　辛乙　小弧辰丙【即丑丙】正

　　辰戊【即丑戊】余戊乙

　　二弧相加为总弧辰寅正

　　辰午余午乙　相减

　　为存弧丑寅正丑丁余

　　丁乙　存总两余【午乙丁乙】相并成午丁半之于亥成亥丁即初得数大小二弧两正【丙辛辰戊】相乗半径除之之数也　以初得数亥丁转减存弧之余丁乙余亥乙即次得数大小二弧两余【辛乙戊乙】相乗半径除之之数也

　　论曰以句股形相似之故丙乙半径与丙辛正若戊丑正与初数丑壬【即亥丁】也皆比股也

　　又丙乙半径与辛乙余若戊乙余与次数亥乙也皆比句也

　　以上用总存两余加减因总弧跨过象限故相加

　　又存弧正丑丁与总弧正辰午相加成辰干【以午干等丁艮亦即丑丁也】折半得巳午【即戊亥　辰子折半为巳子子干折半为午子合之成巳午】为甲数大弧正丙辛乗小弧余戊乙半径丙乙除之也

　　以甲数已午转减总弧正辰午余辰巳为乙数大弧余辛乙乗小弧正辰戊半径丙乙除之也

　　以上用总存两正加减

　　若用酉丙过弧为大弧丙丑为小弧则其总弧酉丑存弧酉辰但互易存总之名其它并同以过弧酉丙所用之正丙辛余辛乙即丙寅弧所同用故也

　　又法

　　于酉丙过弧内截去象限酉甲只用其剰弧甲丙则甲丙反为小弧丙丑反为大弧【説见前条】

　　图式三

　　总弧在象限内两余相

　　减　乙丙小弧其正丙

　　辰余辰已　丁乙稍大

　　弧其正丁甲余甲巳

　　戊壬初得数【两正相乗半径除】

　　【也即庚甲或戊卯】　午戊次得数

　　【两余相乗半径除也即巳癸】　今改用加减以省乗除　以二弧相加成总弧丁丙其正子丁余子巳　又二弧相较成存弧壬丙其正壬辛【卽午巳】余辛巳【卽壬午】

　　于存弧之余辛巳内减去总之余巳子存子辛半之于癸得子癸及辛癸皆初得数也亦卽戊壬也【或于壬午丙减午卯半之于戊得卯戊及戊壬亦同亦即庚甲也】　又于存弧余辛已内仍减去初得数辛癸存癸已即次得数也【壬午内减戊壬存午戊亦同】

　　此因总弧在象限内故以总弧余减存弧余求初数是初数小于次数

　　解曰以句股形相似之故己丙半径【】与丙辰正【句】若丁甲正【】与甲庚初数也又壬甲等甲丁故庚甲亦等戊壬而戊卯即庚甲故可以半而得之也

　　又已丙半径【】与辰已余【股】若甲已余【】与巳癸次数【股】也

　　右系总存两余用法

　　又丁庚为甲数【丁甲大弧正乗辰巳小弧余半径除之也亦即庚卯即甲戊】　子庚为乙数【辰丙小弧正乗甲巳大弧余半径除之也即癸甲】

　　今改用加减法以存弧正子卯【即辛壬】加总弧正子丁成卯丁而半之于庚得丁庚为甲数【亦即庚卯即戊甲】　仍于总弧正丁子内减去甲数丁庚存子庚【即癸甲】为乙数

　　此亦总弧在象限内亦总存两正相加求甲数是甲数大于乙数

　　解曰以句股形相似之故已丙半径与辰巳小弧余若丁甲大弧正与甲数丁庚皆与股之比例也又丁甲等壬甲故戊甲亦等丁庚而戊甲即庚卯故可以半而得之也

　　又巳丙半径与丙辰小弧正若甲已大弧余与乙数甲癸【即子庚】皆与句之比例也

　　右系总存两正用法

　　一系　凡两弧内无过弧则存弧之余大故其中有初次两数而总弧则正大故其中有甲乙两数虽两数相加能令总弧跨过象限此理不变余仍系存弧大正仍系总弧大

　　总弧过象限两余相加

　　乙丙小弧正辰丙余

　　辰已　乙丁过弧正

　　丁甲余甲已　初得数

　　戊丁【半径除两正矩即子癸亦即癸辛亦即

　　庚甲】　次得数癸巳【半径除两余矩】

　　今用加减代乗除以二弧相加成总弧丁丙正丁子余子已　又二弧相较成存弧壬丙正壬辛余辛巳　乃以总存两余相加成子辛【子巳加辛巳】而半之于癸得子癸及癸辛【亦即丁戊即庚甲】初得数也　又以初数子癸转减总弧之余子已余癸巳次得数也【此因总弧跨过象限故两余相加求初数是初数大于次数】

　　解曰以句股形相似故半径已丙与正丙辰若正丁甲与初数丁戊皆与股之比例也　又半径丙已与余辰已若余甲巳与次数癸已皆与句之比例也　又壬甲等丁甲则庚甲亦等戊丁而辛癸亦等子癸故半而得

　　右用总存两余加减

　　又甲数丑甲小弧余辰已乗过弧正丁甲半径除之也　乙数癸甲小弧正辰丙乗过弧余甲巳半径除之也

　　今用加减搃存两正相加成丑戊【癸戊与正丁子等丑癸与正辛壬等故以相加即成丑戊】半之于甲得丑甲【亦即甲戊】为甲数　仍以甲数丑甲转减存弧正丑癸余癸甲为乙数【或以总弧正癸戊减甲数甲戊亦即得乙数癸甲】

　　此亦总弧跨象限外仍系总存两正相加求甲数【甲数仍大于乙数】

　　解曰半径丙已与小弧余辰已若大弧正丁甲与甲数丑甲皆以比句也　又半径丙已与小弧正辰丙若大弧余甲巳与乙数癸甲皆以比股也又壬甲等丁甲则甲戊亦等壬庚而壬庚即丑甲故半之而得

　　右用总存两正加减

　　一系　凡两弧内有过弧者总弧之余反大故初次两数皆在总弧余内而总弧之正反小故甲乙两数皆在存弧正内也【此必原有一过弧始用此例非谓总弧过象限也观图自明】

　　甲数乙数用法【黄赤道经纬相求】

　　黄赤二道经纬相求用斜弧三角形以星距黄极为一边星距北极为一边并两极之距为三边此本法也今不用距极度而用其余度【距极度本为纬度之余今用三角形以距极度为边故纬度皆为余度】径取黄纬为一边【此先有黄纬而求赤纬也若先有赤道而求黄道即用赤纬为边】二至之黄赤大距为一边【黄赤大距原与两极之距等】而取二边之总存两正为用以加减省乘除故在本法为初数次数者别之为甲乙数焉甲数乙数不止为求黄赤而举此为式其理特着故命之曰甲数乙数用法实黄赤相求简法矣

　　第一图　黄纬小于黄赤大距甲数大乙数小

　　甲丙亢危大圈为过

　　两极之经圈【即二至经圈】心乙亢轴即黄道

　　二分经线　丙乙室

　　为黄道　心为黄极

　　寅乙危为赤道

　　甲为北极　辰胃娄

　　为黄道北纬【即丙辰之度】　丑尾奎为黄道南纬【即丙丑之度】星在箕　箕心为星距黄极纬度　箕女为星距黄道纬【即丙辰之度】　甲心箕锐角为黄道经度其余女乙甲心为两极相距【二十三度三十一分半】　寅丙为夏至距纬【同甲心之度】

　　今求甲箕为星距北极纬度　其余弧箕翌为星距赤道纬【即氐危之度】

　　用甲心箕三角形有心角【黄道经】有心箕弧【星距黄极纬】有甲心弧【为两极之距】而求对角弧甲箕【星赤道北极纬】

　　依加减代乗除改用寅丙夏至距【即心甲】辰丙黄道纬【即心箕之余箕女又即丙丑度】　寅丙辰丙相加为总弧辰寅其正辰午　又相减为较弧丑寅其正丑丁【亦即丁井亦即午昴亦即子午】以丑丁正【即午昴】加辰午正成辰昴折半得巳午

　　甲数【巳子为辰子之半子午为子昴之半合之成巳午】甲数【巳午】转减正【辰午】余【巳辰】为乙数

　　或以丑丁正【即子午】减辰午正余辰子折半得辰巳为乙数以乙数转减总弧正辰午得已午为甲数亦同

　　法为黄道半径【丙乙】与心角之余【女乙】若甲数【巳午】与四率【斗未】也

　　一　黄道半径　丙乙

　　二　心角余　女乙

　　三　甲数　　　巳午【即戊酉】

　　四　【减过乙数之赤纬正】斗未【即虚栁】

　　论曰丙乙半径与女乙余原若辰胃与箕胃【辰胃者箕心黄纬之正即距等圏半径因箕心角线过箕至女分辰胃正于箕亦分丙乙半径于女故丙乙与女乙若辰胃与箕胃皆全与分比例】而辰胃同戊乙箕胃同斗乙皆也【戊酉乙大句股以戊乙为戊酉为句斗未乙小句股以斗乙为斗未为句】戊酉【同巳午】斗未皆句也则其比例等故丙乙与女乙能若戊乙与斗乙亦即若已午与斗未

　　以乙数【辰巳即箕虚】加四率【斗未即虚栁】成箕栁即所求赤道纬度正检表得赤纬在北【即箕翌亦即氐危】

　　若先有赤纬黄纬而求黄经则互用其率以三四为一二法为甲数【戊酉】与赤纬正内减乙数之斗未若黄道半径【丙乙】与心角黄经度之余【女乙】也

　　一　甲数　　　戊酉【即午巳】

　　二　【乙数箕虚减赤纬正】半未【即虚栁】

　　三　黄道半径　丙乙

　　四　心角余　女乙　　　检余表得心角之度假如前图星在尾为黄道南纬则所用之甲数乙数并同所得之四率亦无不同而赤纬逈异

　　何以言之曰心不在箕而在尾则心

　　甲弧【两极距度】心角【黄道经度】皆不变唯尾心

　　弧大于箕心故甲心箕三角形变为

　　甲心尾三角而所求对角之甲尾弧

　　亦大于甲箕故赤纬异也

　　然则所用之甲数乙数又同何也曰尾心为过弧则用在女尾【尾心内减去女心象限】女尾为黄道南纬与箕女北纬同度亦即同正则相加为总弧相减为较弧亦同而甲乙数不得不同矣而三率算法亦必同矣但所得四率在北纬则用加在南纬则用减纬度迥异理势自然也一　黄道半径　丙乙

　　二　心角余　女乙　以乙数【辰巳】减四率斗未减尽三　甲数　　　已午　无余为星在赤道无纬度四　【加过乙数之赤纬正】斗未

　　论曰此因乙数与四率同大故减尽也减尽则甲尾正九十度而星在赤道无纬也

　　亦有四率小于乙数者则当以四率转减乙数用其余为纬度正在赤道南

　　又论曰星在箕为黄道北在尾为黄道南然所得赤纬皆在北者以箕尾经度皆在夏至前后两象限中也故所得四率在赤道北而加乙数则北纬大减乙数则北纬小皆北纬也惟四率转减乙数则变为南纬【此亦惟黄南纬星又近二分则虽在夏至前后象限中而有南纬】

　　亦有无四率者心角必九十度其星必在黄道二分经度无角度余为次率故亦无第四率可求但以乙数为用视星在南北即以乙数命为南北纬度之正假如前图中有星在胃是在北也即以乙数胃张【即辰巳】命为赤道北纬之正若星在房是在南也即以乙数乙癸【亦即辰巳】命为赤道南纬之正

　　又有所得四率北反用减南反用加者心角必为钝角其星必在冬至前后两象限其角度余必为大矢内减仪象限之余则所得第四率在赤道之外【外即南也】而加减后所得皆赤道之南纬也故加减皆反【求北纬以加而南纬必减者星在北也求北纬以减而南纬必加者星在南也盖所得第四率原系在北在南两星纬度之中数　星在北在南皆主黄道言】假如前图中有星在兑为黄道北而甲心兑三角形心

　　为钝角其余艮乙为艮丙大矢内

　　减象限之余故所得第四率未斗在

　　赤道之外为赤道南纬【此南纬是黄道轴距赤道

　　轴】而兑星在黄道之北则其南纬正

　　小于未斗故必以乙数牛斗【即辰己亦即奎巳】减之其余牛未【同兑庚】即兑星赤道南纬之正

　　若星在巽亦同用心钝角为甲心巽三角形艮乙余四率未斗在赤道外并同但巽星又在黄道之南则其南纬大于未斗四率故必以乙数虚巽【即辰巳亦即牛斗】加之成巽栁即巽星南纬之正

　　亦有四率小于乙数者则以四率转减乙数用其余为纬度在赤道北

　　又论曰星在兑为黄道北在巽为黄道南然所得赤纬皆在南者以兑巽经度皆在冬至前后两象限中也故所得四率在赤道南而以乙数减则南纬小以乙数加则南纬大皆南纬也惟四率转减乙数者则变为北纬【此亦必黄北纬星又近二分故虽在冬至前后象限中而仍有北纬　凡以乙数及四率相加减成纬度者并主纬度之正而言后仿此】

　　总论曰凡乙数皆南北两赤纬度相减折半之数甲数则两纬度之中数也【如箕女与女尾两黄纬同度而不能以女庚为两赤纬之中数者弧度有斜正故也】而所得四率即所求星南北两纬正中数故与甲数为比例

　　凡所得四率星在夏至前后两象限四率在赤道北星在冬至前后两象限四率在赤道南

　　凡总弧正内兼有甲数乙数【不论黄南黄北并同一法】但视黄纬之大小若黄纬小于黄赤大距则以总存两正相并而半之为甲数若黄纬大于黄赤大距则以总存两正相减而半之为甲数并以甲数转减总弧正为乙数又法

　　黄纬小于黄赤大距以总存两正相减而半之则先得乙数黄纬大于黄赤大距以总存两正相并而半之亦先得乙数并以乙数转减总弧正为甲数求赤纬约法

　　凡星有黄纬之南北有黄经之南北【黄经南北即南六宫北六宫　星在夏至前后先得之黄经为鋭角是经在北也　星在冬至前后先得之黄经为钝角是经在南也】若星之黄纬南北与黄经同者其赤纬南北亦与黄纬同法用四率乙数相加为纬度正加惟一法

　　星在黄道北又系夏至前后两象限先得黄经鋭角是经纬同在北则赤纬亦在北　星在黄道南又系冬至前后两象限先得黄经钝角是经纬同在南则赤纬亦在南

　　若星之黄纬南北与黄经异者赤纬有同有异皆四率乙数相减为赤纬正减有二法

　　但视乙数大受四率转减者赤纬之南北与黄纬同如星在黄道北而在冬至前后两象限黄经角钝是纬北而经南也而乙数大受四率转减则赤纬仍在北星在黄道南而在夏至前后两象限黄经角鋭是纬南而经北也而乙数大受四率转减则赤纬仍在南若乙数小去减四率者赤纬之南北与黄纬异　如星在黄道北而在冬至前后黄经角钝为纬北经南而乙数又小去减四率则赤纬变而南　星在黄道南而在夏至前后黄经角鋭为纬南经北而乙数又小去减四率则赤纬变而北

　　若星在黄道轴线是正当二分经度也其角必九十度无余亦无四率但以乙数为用　星在北即以乙数命为赤道北纬之正　星在南即以乙数命为南纬之正

　　若遇乙数四率相减至尽者其星正当赤道无纬度第二图　黄纬大于黄赤大距甲数小乙数反大【有黄道经纬求赤纬】

　　甲北极　心黄极

　　甲心为两极之距

　　丙室黄道　寅危赤

　　道　寅丙为夏至大

　　距【同甲心】　乙为二分

　　以上并与前图无

　　二　所异者黄纬丙

　　丑【即丙辰】大于寅丙故

　　乙数亦大于甲数　寅丙之正丙辛余辛乙　丙丑之正辰戊【或戊丑】余戊乙

　　甲数戊酉乃寅丙正乗丙丑余半径除之也法为丙乙半径与正丙辛若戊乙余与甲数戊酉乙数辰巳【或巳子或戊壬】乃辛乙余乗辰戊正半径除之也法为丙乙半径与余辛乙若辰戊正与乙数辰巳

　　假如星在箕为在黄道北箕心为距黄极之度其余箕女黄道北纬也有箕心甲心【两极距】二边有心锐角【黄经】用甲心箕三锐角弧形求赤纬甲箕为对角之弧

　　依加减代乗除改用寅丙辰丙二弧相加为总弧辰寅其正辰午　又相减成较弧寅丑其正丑丁【即午子】以丑丁正加辰午正成辰子折半于巳为乙数【辰巳及巳子】　乙数辰已转减总弧正辰午得已午为甲数【即戊酉】

　　本法以丑丁减辰午折半得已午为甲数　甲数巳午转减辰午得辰巳为乙数

　　法为黄道半径丙乙与余女乙若甲数戊酉与四率斗未也【理见前式论见】

　　一　黄道半径　丙乙　　　　既得斗未以乙数箕

　　二　心角余　女乙　　　　虚加之成箕栁为赤

　　三　甲数　　　戊酉　　　　纬正查表得箕翌四　【以乙数减赤纬正】　斗未【即虚栁】　赤纬度在赤道北右系黄纬在北而心为锐角黄经亦在北故法用加而赤纬仍在北

　　若先有黄赤纬度而求黄经则互用其率亦同前式一　甲数　　　戊酉

　　二　【乙数减赤纬正】　斗未

　　三　黄道半径　丙乙

　　四　心角余　女乙　　查余表得心角之度假如前图星在尾为在黄道南则所用之甲数乙数及所得之四率并同惟赤纬异

　　论曰星不在箕而在尾则甲心箕三

　　锐角形变为甲心尾三角形而心尾

　　弧大于心箕故所求对角之甲尾弧

　　亦大于甲箕而赤纬大异

　　心尾大于心箕而甲数乙数悉同者因用余弧则女尾南纬与女箕北纬同度故也

　　一　黄道半径　丙乙　　既得斗未以转减乙数斗二　心角余　女乙　　牛得余未牛【即尾申】为赤纬三　甲数　　　戊酉　　正查表得尾卯纬度在四　【乙数内减赤纬正】　斗未　　赤道南

　　论曰此系乙数跨赤道故乙数内兼有赤纬及四率之数而减赤纬得四率以四率转减亦得赤纬

　　右系黄纬在南而心为锐角是纬南而经北法当用减而乙数大受四率反减故赤纬仍在南

　　假如前图星在巽则所用之甲数乙数亦同惟四率异【因巽艮黄纬即室奎之度与丙丑同故甲数酉戊与戊酉同大而乙数斗牛兊干并同辰巳】

　　又巽星在黄道南而心为钝角星在

　　秋分后春分前黄经亦在南则赤纬

　　亦在南法当用加

　　一　黄道半径　　　丙乙【即室乙】

　　二　【钝角余即大矢减半径之余】　艮乙【艮丙为心钝角大矢内减丙乙得艮乙】

　　三　甲数　　　　　酉戊

　　四　【赤纬正内减乙数】　　　未斗

　　既得未斗以乙数斗牛【即辰巳】加之成未牛为赤纬正【即栁巽】查表得震巽纬度在赤道南

　　假如前图星在兑为黄道北所用之

　　甲数乙数四率并同惟赤纬异【兑艮北纬

　　与巽艮南纬并同丙丑之度故甲数乙数同甲心巽与甲心兊两钝角形

　　同用心钝角故四率亦同惟心兊弧小于心巽故所求对角弧甲兊亦小】

　　【于甲巽而赤纬异】

　　一　黄道半径　丙乙　　　既得未斗以转减乙数二　钝角余　艮乙　　　兊干得余兊离为赤纬三　甲数　　　酉戊　　　正查表得兊坎纬度四　【乙数内减赤纬正】　未斗【即离干】　在赤道北

　　右系黄纬在北而心为钝角是秋分后春分前为纬北而经南法当用减而乙数大受四率转减故赤纬仍在北

　　第三图　赤纬大于二极距甲数小乙数大

　　心甲箕三鋭角形　星在箕　有黄极纬心箕有北极

　　赤纬甲箕有黄赤极

　　距心甲【即室危】求甲角

　　为赤经　辰危赤纬

　　大于危室大距【即心甲】与前图略同故乙数

　　亦大于甲数　所异

　　者此求赤经故诸数

　　皆生于赤纬谓总弧

　　较弧皆用赤纬也而加减正反在黄道矣

　　室危两极距之正室辛余辛乙

　　辰危赤纬【即箕女为甲箕距比极之余】之正辰酉余酉乙甲数戊酉法为半径室乙与辛室正若酉乙余与甲数戊酉也

　　乙数辰已法为半径室乙与辛乙余若辰酉正与乙数辰已【或娄酉正与乙数酉壬】也

　　依加减代乗除改用辰危室危相加为总弧辰室其正辰午又相减为较弧娄室其正娄丁【即午昴】

　　又以较弧正午昴减总弧正辰午余数半之得已午为甲数【即戊酉也法于辰午内截减辰坤如午昴其余坤午半之于已即得已午】

　　甲数已午转减辰午正余辰巳为乙数【或以甲数已午加较午昴成巳昴乙数亦同】箕虚及未牛并同【皆乙数也】

　　又以箕翼黄纬之正箕柳与乙数箕虚相减得虚柳【即未斗】以为次率【因箕栁黄纬大乙数箕虚小故于黄纬正内减乙数得未斗】

　　法为甲数戊酉与未斗若酉乙与未乙亦即若危乙半径与甲角之余女乙也

　　一　甲数　　　　戊酉

　　二　【黄纬正内减去乙数】　未斗

　　三　赤道半径　　危乙

　　四　甲角余　　女乙

　　论曰赤道经度春分至秋分【北六宫】为钝角秋分至春分【南六宫】为锐角其角与黄经正相反此条星在箕是赤纬在北也而黄纬亦北两纬同向宜相减成次率而乙数小于黄纬必以乙数减黄纬而得未斗乙数减黄纬而纬在北赤经必南六宫为锐角查表得度为甲角度即赤经也在秋分后以所得减三象限在冬至后以所得加三象限皆命为其星距春分赤道经度

　　若星在尾用甲心尾三角形则以黄

　　纬正反减乙数为次率【未牛乙数大于黄纬

　　斗牛故以斗牛反减未牛得未斗】余率并同

　　论曰此条星在尾是赤纬在南也而黄纬亦并在南两纬同向宜相减而成次率而乙数大于黄纬宜于乙数内转减去黄纬成未斗也乙数大受黄纬转减而纬在南赤经必亦在南六宫为锐角

　　一　甲数　　　　戊酉

　　二　【乙数内减黄纬】　　　未斗

　　三　赤道半径　　危乙

　　四　甲角余　　女乙

　　假如前图星在兊用心甲兊三角形

　　有心兑边【星距黄极】有甲兑边【星距北极】有心

　　甲边【两极距】求甲钝角为赤道经度

　　因赤纬同故甲数乙数同

　　星在兊赤纬在北黄纬亦在北纬同向北宜相减而成次率而乙数大以黄纬减之得斗未【乙数兊干内减去黄纬兊离余离干即斗未】

　　乙数大受黄纬转减而赤纬在北必赤经亦在北六宫为钝角

　　一　甲数　　　酉戊

　　二　【乙数内减去黄纬】　斗未

　　三　赤道半径　寅乙

　　四　甲角余　艮乙

　　以艮乙查余表得度用减半周为甲钝角即赤经也在春分后以象限减钝角度在夏至后以钝角度与三象限相减皆命为星距春分赤道经度

　　假如星在巽用心甲巽三角形有心巽边【距黄极】有甲巽边【距北极】有甲心边【两极距】求甲钝角为赤经

　　甲数乙数并同

　　惟心在巽是赤纬南也黄纬亦南也两纬并南宜相减

　　成次率　乙数小黄纬大故以乙数

　　减黄纬得斗未【斗牛黄纬即栁巽也内减乙数未牛余即

　　斗未矣】　乙数小去减黄纬而赤纬在

　　南赤经必在北六宫为钝角

　　一　甲数　　　酉戊

　　二　【黄纬内减乙数】　　斗未

　　三　赤道半径　寅乙

　　四　甲角余　艮乙

　　以艮乙余查度春分后用余度减象限夏至后加象限皆命为距春分赤经

　　第四图　赤纬小于二极距甲数大乙数小

　　假如星在箕用心甲

　　箕钝角形有心箕过

　　【距黄极对角边也其余箕翼即黄纬】有

　　甲箕边【距北极即辰危之余】有

　　心甲边【两极距寅丙及危室并同】求甲钝角赤道经

　　两极距危室之正

　　危辛余辛乙　赤纬危辰之正辰戊余戊乙甲数戊酉【为半径危乙与二极距之正危辛若赤纬余戊乙与甲数戊酉也】

　　乙数辰巳【或戊壬　为半径危乙与二极距之余辛乙若赤纬正辰戊与乙数辰巳也】依加减代乗除以辰危危室两弧相加为总弧辰室其正辰午

　　又相减为较弧娄室其正娄丁【或丁井即午昴】

　　以总弧正辰午加较弧正午昴成辰昴而半之为甲数巳午【巳坤为辰坤之半坤午为坤昴之半合之为巳午】即戊酉

　　又以甲数己午转减正辰午得辰巳为乙数【亦即戊壬】星在箕为赤纬北而黄纬亦在北两纬同向宜相减而成次率而乙数大当以黄纬转减之成斗未【牛未乙数内减牛斗黄纬余斗未】

　　乙数大受黄纬反减而纬在北赤经在北六宫为钝角一　甲数　　　酉戊　　以艮乙余查度春分后二　【乙数内减黄纬正】　斗未　　用减象限夏至后加象限三　赤道半径　寅乙　　命为距春分经度

　　四　甲角余　艮乙

　　若星在尾用心甲尾三角形则为南纬而黄纬亦南两

　　纬同向宜相减成次率而乙数小于

　　黄纬故以乙数减黄纬成斗未【虚尾黄纬

　　内减乙数氐尾余虚氐即斗未】　其甲数乙数等算

　　并同　乙数小去减黄纬而纬在南

　　赤经必在北六宫为钝角

　　一　甲数　　　酉戊

　　二　【黄纬正内减乙数】　斗未

　　三　赤道半径　寅乙

　　四　甲角余　艮乙

　　若星在兑用心甲兑三角形兑为北纬而黄纬亦北两

　　纬同向宜相减成次率而乙数小于

　　黄纬故以乙数减黄纬成未斗【兊干黄纬

　　内减乙数兊离余余离干即未斗】甲数乙数并同

　　乙数小去减黄纬而纬在北赤经反

　　在南六宫为锐角

　　一　甲数　　　戊酉　　以女乙余度秋分后减二　【黄纬正内减乙数】　未斗　　三象限冬至后加三象限三　赤道半径　危乙　　命为距春分赤经【下同】四　甲角余　女乙

　　若星在巽用心甲巽三角形赤纬南黄纬亦南两纬同向宜相减成次率而乙数大以黄纬转减之成未斗【未牛乙数内减黄纬斗牛即栁巽其余即未斗】

　　乙数大受黄纬转减而纬在南赤经

　　即在南六宫为锐角

　　一　甲数　　　戊酉

　　二　【乙数内减黄纬正】　未斗

　　三　赤道半径　危乙

　　四　甲角余　女乙

　　第五图　赤纬小于二极距甲数大乙数小

　　黄纬乙数相加成次

　　率【黄纬在南角鋭钝黄纬在北角】星在巽用心甲巽三

　　角形有心甲边【二极距】有巽甲边【距北极度为过弧其

　　赤纬女巽在南】有巽心边【距黄

　　极度其余巽为黄纬在北】　求对

　　巽心弧之甲角　心甲两极距即危室【或寅丙】其正危辛余辛乙　女巽赤纬即危娄【或辰危即丑寅】其正辰戊余戊乙

　　甲数戊酉【两极距正危辛乗赤纬余戊乙半径危乙除之之数也法为危乙与危辛若戊乙与戊酉】乙数辰巳【两极距余辛乙乗赤纬正辰戊半径危乙除之之数也法为危乙与辛乙若辰戊与辰巳】依加减代乗除改用辰危危室相加为总弧辰室其正辰午又相减为较弧娄室其正娄丁【即午昴及丁井】以总较两正相加成辰昴折半得巳午为甲数即戊酉【巳坤为辰坤之半坤午为坤昴之半合之成己午】

　　甲数巳午转减总弧正辰午得辰巳为乙数即戊壬黄纬巽氐在北赤纬女巽在南两纬异向宜以乙数与黄纬正相加成次率【以同黄纬正巽栁之牛斗加同乙数戊壬之未牛成未斗】乙数黄纬正相加而黄纬在北其赤经必在南六宫为锐角法为甲数戊酉与未斗若戊乙与未乙亦即若危乙与女乙

　　一　甲数　　　　戊酉　　以女乙查余表得度二　【乙数加黄纬正】　未斗　　秋分后减冬至后加皆与三　赤道半径　危乙　　三象限相加减命为其星四　甲角余　女乙　　距春分赤道经度

　　又如星在箕用心甲箕三角形有心甲边【二极距】有箕甲边【距北极度其余箕艮赤纬在北】有箕心边【距黄极度为过弧其黄纬翼箕在南】求对箕心弧之甲角

　　甲数乙数同上

　　惟黄纬翼箕在南赤纬箕艮在北两纬异向宜以乙数

　　与黄纬正相加成次率【以黄纬正箕张相

　　同之牛斗加乙数辰巳相同之牛未成斗未】

　　乙数与黄纬相加而黄纬在南其

　　赤经必在北六宫为钝角法为甲数

　　酉戊与斗未若戊乙与未乙亦即若寅乙与艮乙一　甲数　　　戊酉　　以艮乙查余表得度春二　【乙数加黄纬正】　斗未　　分后减夏至后加皆加减三　赤道半径　寅乙　　象限命为其星距春分赤四　甲角余　艮乙　　赤道经度

　　求赤道经度约法

　　用三边求角【两极距为一边距北极为一边此二边为角两旁之弧距黄极为一边此为对角之弧】以求到钝角赤道经度在北六宫锐角赤道经度在南六宫

　　法为甲数与次率若赤道半径与所求角之余其枢纽在次率也

　　凡黄纬南北与赤纬同向者并以乙数与黄纬相减而成次率减有二法

　　凡黄纬南北与赤纬异向者并以乙数与黄纬相加而成次率

　　加惟一法

　　厯算全书卷十

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷十一

　　宣城梅文鼎撰

　　环中黍尺卷五之六

　　加减捷法

　　用加减则乗除省矣今惟用初数则次数亦省又耑求矢度省余则角之锐钝得矢自知边之大小加较即显无诸拟议之烦故称捷法

　　如法角旁两弧度相加为总相减为存视总弧过象限以总存两余相加不过象限则相减并折半为初数

　　若总弧过两象限与过象限法同【其余仍相加】过三象限与在象限内同【其余仍相减】若存弧亦过象限则反其加减【总弧过象限或过半周宜相加今反以相减若总弧过于三象限宜相减今反以相加】并以两余同在一半径相减不然则加也

　　总存两余同在一半径当相减折半图

　　乙丁丙三角形

　　丁为钝角

　　丙卯为总弧其正卯

　　戊余戊己　庚丙为

　　存弧其正庚壬余壬巳　两余同在丙已半径宜相减【壬巳余内减戊巳成戊壬】折半为初数丑壬【即甲庚亦即未酉】总存两余分在两半径当相加折半图

　　乙丁丙形　丁为锐角

　　庚丙为总弧其正弧庚

　　壬余壬巳　卯丙为

　　存弧其正卯戊余

　　戊已径两余分在丙巳子巳两半径宜相加【以戊巳加壬巳成壬戊】折半为初数丑戊【即甲酉亦即未卯】

　　三边求角初数恒为法以两矢较乗半径为实法为初数与两矢较若半径与角之矢也

　　一　初数【即角旁两正相乗半径除之之数今以加减得之】

　　二　两矢较【或两俱正矢或两俱大矢或存弧用正矢对弧用大矢】

　　三　半径

　　四　角之矢【正矢角锐大矢角钝】

　　角求对边则以初数乗角之矢为实半径为法法为半径与角之矢若初数与两矢较也

　　一　半径

　　二　角之矢【或正矢或大矢】

　　三　初数

　　四　两矢较【并以较加存弧矢为对弧矢加满半径以上为大矢其对弧大不满半径为正矢其对弧小】

　　乙丁丙形　三边求丁角

　　小边乙丁【正卯辛】大边丙丁【正壬丙】　初数卯癸【两正相乗半径除之也】

　　今改用加减

　　两余相减【余房戊】折半得

　　丑戊即初数卯癸【与先所得同】

　　一系　总弧过半周而存弧亦过象限则余相减法为卯癸初数与两矢较牛乙若卯辛正【距等半径】与乙庚【距等大矢】亦即若寅巳半径与角之大矢酉子

　　一　初数　　卯癸【即丑戊】

　　二　两矢较　牛乙【即房甲】

　　三　半径　　寅巳

　　四　角之大矢酉子

　　若先有丁钝角而求乙丙对边则反用其率

　　一　半径　　寅巳

　　二　角之大矢酉子

　　三　初数　　卯癸

　　四　两矢较　牛乙

　　以所得两矢较加存弧大矢房丙得大矢甲丙

　　乙丁丙形

　　三边求丁角

　　小边乙丁【正乙辛】　大边丙丁【正戊壬】

　　初数戊癸

　　今用加减

　　两余相减【余辰甲】折半得辰

　　丑即初数戊癸

　　对弧【乙丙】大矢斗乙

　　存弧　大矢甲乙【两矢较斗甲】

　　法为初数戊癸与两矢较斗甲若戊壬正【距等半径】与丙庚【距等大矢】亦即若寅巳半径与角之大矢酉子

　　一　初数戊癸【即丑甲】

　　二　两矢较　斗甲

　　三　半径　　寅巳

　　四　角之大矢酉子

　　论曰此移小边于外周如法求之所得并同其故何也先有之角及角旁二边并同则诸数悉同矣然则句股之形不同何也曰前图是用乙丁小弧之正为径分大矢之比例则所用句股是丁丙大弧之正此图是用丁丙大弧正为径分大矢比例则所用句股是乙丁小弧正故句股形异也然句股形既异而所得初数何以复同曰此三率之精意也初数原为两正相乗半径除之之数前图用大弧正偕半径为句与而小弧正用为大矢分径之比例是以大弧正为二率而小弧正为三率也今改用小弧为二率大弧为三率而首率之半径不变则四率所得之初数亦不变也又何疑焉

　　一系　角旁二弧可任以一弧之正为全径上分大小矢之比例其余一弧之正即用为句股比例不拘大小同异其所得初数并同

　　又论曰以句股比例言之则戊庚通为【即距等圏全径】戊女倍初数为句【即总存两余相加减之数】一也戊壬正为则戊癸初数为句二也丙庚为【通之大分即距等大矢】则斗甲两矢较为句【即丙房】三也丙壬为【正之分线即距等余】则斗丑为句【对弧余内减次数丑巳得斗丑亦即丙牛】四也戊丙为【正之分线即距等小矢】则午戊为句五也

　　以全与分之比例言之则戊庚为距等全径与寅子全径相当一也戊壬正为距等半径当寅巳半径二也丙庚如距等大矢当酉子大矢三也丙壬如距等余当酉巳余四也戊丙如距等小矢当寅酉正矢五也一系　初数恒与角旁一弧之正为句股比例其正恒为初数恒为句而其全与分之比例俱等又即与员半径上全与分之比例俱等若倍初数即与全员径上大小矢之比例等

　　一系　角旁两弧任以一弧之正为径上全与分之比例初数皆能与之等

　　若先有丁钝角求对边乙丙则更其率

　　一　半径　　巳子

　　二　丁角大矢酉子

　　三　初数　　丑甲

　　四　两矢较　斗甲

　　以四率斗甲加存弧大矢乙甲成斗乙为对弧大矢内减巳乙半径得斗巳为对弧余捡表得未丙弧度以减半周得对弧丙乙度

　　乙丁丙形　三边求丁角

　　乙丁边【九十五度】　丁丙边【一百一十二度】　乙丙对弧【一百一十九度】总弧丙未二百○七度　余辛巳　八九一○一存弧丙戊一十七度　　余壬巳　九五六三○两余相加辛壬一八四七三一

　　初数卯亥【即半辛壬丑辛】九二三六五

　　对弧大矢癸丙一四八四八一

　　存弧正矢壬丙　　四三七○

　　两矢较癸壬　一四四一一一

　　法曰卯亥【即丑辛】与癸壬若

　　未亥与乙戊亦必若庚巳

　　与甲子

　　一　初数　卯亥　　　九二三六五

　　二　两矢较癸壬　　一四四一一一

　　三　半径　庚巳　　一○○○○○

　　四　角之矢申子　　一五六○二二

　　四率大于半径为大矢其角钝法当以半径一○○○○○减之余五六○二二为钝角余捡表得余度五十五度五十六分以减半周为丁角度

　　依法求到丁钝角一百二十四度○四分

　　论曰试作辰戊线与倍初数辛壬平行而等又引未辛【总弧正】至辰成未辰戊句股形又引牛乙癸【对弧正】至寅作亥丑线引至斗各成句股形而相似则其比例等一未辰戊大句股　以辰戊倍初数为句未戊通为一乙寅戊次句股　以寅戊两矢较为句乙戊【距等大矢】为一【未卯亥亥斗戊】两小句股并以【卯亥斗戊】初数为句【未亥亥戊】正为辰戊倍初数与寅戊两矢较若未戊通与乙戊距等大矢是以大句股比小句股也

　　卯亥初数与癸壬两矢较若未亥正与乙戊距等大矢是以小句股比大句股也　用亥斗戊形比乙寅戊其理更着

　　又未戊通上全与分之比例原与全员径上全与分之比例等故三者之比例可通为一也

　　【一大句股截数种小句股故又为全与分之比例】

　　仍用全图取乙丁女形　求丁鋭角

　　乙丁边【九十五度】　女丁边【六十八度】　女乙对弧【六十一度】

　　总弧女戊【一百六十三度】余【壬巳】九五六三○

　　存弧女未【二十七度】　余【辛巳】八九一○一

　　两余并【辛壬】一八四七三一初数卯亥九二三五六

　　一　初数　卯亥　九二三六五

　　二　两矢较癸辛　四○六二○

　　三　半径　巳庚一○○○○○

　　四　角之矢申庚　四三九七七　【以减半径得丁角余入表得丁角度】

　　依法求得丁鋭角五十五度五十六分

　　辛丁乙形

　　三边求丁角

　　辛丁边五十度一十分　乙丁边六十

　　总弧卯辛一百一十度一十分

　　余庚丙二四四七五

　　存弧戊辛九度五十分

　　余子丙九八五三一

　　余并子庚一三三○○六

　　初数子午【即戊癸】六六五○三

　　辛乙对弧八十度

　　对弧矢辛酉　八二六三五

　　存弧矢辛子　一四六九

　　两矢较子酉　八一一六六

　　一　初数　　子午　六六五○三

　　二　两矢较　子酉　八一　一六六

　　三　半径　　壬丙一○○○○○

　　四　丁角大矢壬甲一二二○五○【用余入表得丁外角减半周得丁角度】

　　依法求到丁钝角一百○二度四十四分

　　论曰此如以日髙度求其地平上所加方位也乙为太阳乙甲其髙度其余度丁乙日距天顶也亥乙赤道北纬辛乙为距纬之余即去极纬度也辛壬为极出地度其余辛丁极距天顶也所求丁钝角百○二度太距正北壬之度外角七十七度少距正南巳之度也算得太阳在正东方过正卯位一十二度太

　　乙丙辛形　有【辛丙三十三度辛乙百卅二度】　对弧乙丙【百八度】求辛角

　　总弧【丙壬】一百六十五度

　　余【己戊】九六五九三

　　存弧【丙庚】九十九度

　　余【己甲】一五六四三　两余相减余【戊甲】八○九五○

　　初数甲丑四○四七五　对弧大矢酉丙一三○九○二

　　存弧大矢甲丙一一五六四三

　　两矢较甲酉　一五二五九

　　一初数甲丑　四○四七五

　　二两矢较甲酉一五二五九

　　三半径申巳一○○○○○

　　四角之矢未申三五三五二

　　得辛鋭角四十九度二十八分

　　恒星岁差算例

　　老人星黄道鹑首宫九度三十五分二十七秒为庚角【康熈

　　甲申年距厯元戊辰七十七算毎年星行五十一秒

　　讣行一度○五分二十七秒以加戊辰年经度鹑首

　　八度三十分得今数】

　　黄道南纬七十五度　距

　　黄极一百六十五度为庚

　　辛边　用巳庚乙三角形

　　【一角二边】求对弧巳乙【赤纬】

　　余较丁甲二○六六一

　　初数甲戊一○三三○

　　庚角正矢申酉　一三九八

　　一　半径　　申丙一○○○○○　　大矢内减半径二　庚角矢　申酉　　一三九八　　取余检表得三　初数　　甲戊　一○三三○　　三十八度廿三四　两矢较　甲丑　　　一四四　分半以减半周加存弧大矢巳甲一七八二三四　得星距北极一百得对弧大矢巳丑一七八三七八　四十一度三十六

　　分半为对弧巳乙

　　求到甲申年老人星赤纬在赤道南五十一度三十六分半【以校厯元戊辰年纬五十一度三十三分及仪象志康熈壬子年纬五十一度三十五分可以畧见恒星赤纬岁差之理】

　　求巳角【赤经】

　　巳庚角旁弧二十三度三

　　十一分半

　　巳乙角旁弧一百四十一

　　度三十六分半

　　庚乙对弧一百六十五度

　　三边求角

　　余较子斗　四九五七七

　　初数午斗　二四七八八

　　对弧大矢庚亥一九六五九三

　　存弧大矢庚斗一四七○七六

　　两矢较亥斗　四九五一七

　　一　初数　午斗　二四七八八　大矢内减半径得二　两矢较亥斗　四九五一七　余检表得度以三　半径　丙氐一○○○○○　减半周得已角度四　角大矢亢氐一九九七六一　　　一百七十六度○二分置三象限以已角度减之得星距春分九十三度五十八分

　　求到甲申年老人星赤道经度在鹑首宫三度五十八分【以校戊辰年赤经九十三度三十九分及仪象志壬子年赤经九十三度五十一分可以见恒星赤经东移之理】

　　加减防法补遗

　　防法以两余相加减以两矢较偹四率其用巳简然有阙余无可加减阙矢度无可较者虽非恒用而时或遇之亦布算者所当知也

　　一加减变例

　　凡余必小于半径常法也然或捴弧适足半周则余极大即用半径为捴弧余　法以存弧余加减半径折半为初数【视存弧不过象限则相加存弧过象限则相减】又若角旁两弧同数则无存弧而余反大即用半径为存弧余　法以捴弧余加减半径折半为初数【视捴过象限或过半周则相加捴弧在象限内或过三象限则相减】

　　以上用半径为余者六

　　凡加减取初数必用两余常法也然或搃弧适足一象限或三象限或存弧适足一象限皆无余法即用一余折半为初数不湏加减【搃弧无余即单用存弧余存弧无余即单用搃弧余】

　　又或捴弧【适足象限或三象限】无余而两弧又同数【准前论即以半径为存弧余】或存弧【适足象限】无余而搃弧又适足半周【即以半径为搃弧余】

　　二者并以半径之半为初数不湏加减

　　以上无加减者六

　　一两矢较变例

　　凡两矢相较常法也然或其弧满象限则即以半径为矢【对弧满象限则以半径为对弧矢与存弧矢相较存弧满象限亦然亦即以半径与对弧矢相较】　防法视对弧存弧但有一弧满象限即命其又一弧之余为两矢较不更求矢【对弧满象限即用存弧余存弧满象限即用对弧余并即命为两矢较与上法同】

　　凡以矢较加存弧矢成对弧矢【正矢则对弧小大矢则对弧大】常法也然或有相加后适足半径者其对弧必足象限又有四率中无两矢较者以无存弧矢故也【凖前论角旁两弧同度无存弧则亦无存弧矢之可较】法即以对弧矢为用不必更求矢较　若角求对边其所得第四率即对弧矢若三边求角其所用苐三率亦对弧矢【余详后例】

　　设角旁两弧同度总弧在象限以内　求对角之边丙乙丁形

　　乙角一百一十度余三四二○二　乙丙　乙丁并三十度

　　两余相减　五○○○○　　丙庚

　　半之为初数　二五○○○　　丙癸

　　一　半径　寅已　一○○○○○

　　二　初数　丙癸　　二五○○○

　　三　【乙角大矢】　寅午　一三四二○二

　　四　【对弧矢】　丙甲　　三三五五○【四率本为两矢较因无存弧矢故即为对弧之矢

　　对弧余】　甲巳　　六六四五○

　　求到对弧丁丙四十八度二十二分

　　论曰以半径为存弧余何也弧大者余小弧小者余大今存弧既相减而至于无则小之至也故其余亦大之至而成半径也　四率即为对弧矢何也弧大矢亦大弧小矢亦小既无存弧则亦无矢矣无矢则无可较故四率即对弧矢也　然则其比例奈何曰半径寅已与大矢寅午若正子丙与距等大矢丁丙亦即若初数丙癸与对弧矢丙甲

　　若三边求角则反其率

　　一初数　　二半径　　三对弧矢　　四乙角矢

　　若捴弧过三象限其法亦同

　　前图丁丑丙形

　　丑角同乙角

　　其所用四率以得对弧丁丙并同上法

　　若三边求角则反其率

　　一初数　　二半径　　三对弧矢　　　四丑角矢

　　一系　两边同度无存弧矢则径以对弧矢当两矢较之用设总弧满半周而较弧亦过象限　求对角之边前图卯丑丁形

　　丑角　　　七十度余　三四二○二　午已丑丁　一百五十度

　　丑卯　　　　三十度

　　相减　五○○○○庚丙

　　初数　二五○○○庚癸

　　存弧大矢一五○○○○庚卯

　　丑角矢　六五七九八午酉

　　一　半径　　　酉巳　　　　一○○○○○二　初数　　　丙癸【即庚癸】　　二五○○○

　　三　丑角矢　　午酉　　　　六五七九八

　　四　两矢较　　庚甲　　　　一六四四九

　　加存弧大矢庚卯　　　一五○○○○

　　得对弧大矢甲卯　　　一六六四四九

　　求到对弧卯丁一百三十一度三十八分

　　设三小边同数

　　求角

　　丙乙丁形

　　三边并三十度

　　求乙角

　　相减　五○○○○　丙庚

　　初数　二五○○○　丙癸

　　对弧【丁丙】三十度余　八六六○三　甲巳

　　矢　一三三九七　丙甲

　　一　初数　丙癸　　二五○○○

　　二　半径　寅己　一○○○○○

　　三　对弧矢丙甲　　一三三九七

　　四　乙角矢寅午　　五三五八八

　　余午巳　　四六四一二

　　求到乙角六十二度二十分　丁丙二角同

　　论曰此亦因存弧无矢故以对弧矢为三率也其比例为初数丙癸与对弧矢丙甲若乙丙正丙辰与丙丁距等矢则亦若寅巳半径与乙角矢寅午

　　一系　凡三边等者三角亦等

　　前图丁丑丙形　二大边同度一小边为大边减半周之余三边求角

　　其对弧丁丙亦三十度所用四率并同上法所得丑角六十二度二十分亦同乙角惟余两角【丁丙】并一百一十七度四十分皆为丑角减半周之余

　　若先有角求对边则反其率

　　又于前图取丁丑戊形

　　丑丁　　一百五十度

　　丑戊　　　　三十度

　　其对弧戊丁【一百五十度】为丑戊【三十度】减半周之余故所用四率亦同但所得矢度为丑外角之矢当以其度减半周得丑角【一百一十七度四十分】戊角同丑角丁角【六十二度二十分】即丑外角一系凡二边同度其余一边又为减半周之余与三边同度者同法但知一角即知余角其一角不同者亦为相同两角之外角

　　设角旁两弧同数而捴弧

　　足一象限求对角之边

　　子乙丙形

　　乙角一百度余　一七

　　三六五

　　初数　五○○○○　　丙辛【即半径之半】

　　一　半径　　壬巳　一○○○○○

　　二　初数　　丙辛　　五○○○○

　　三　乙角大矢壬丑　一　一七三六五

　　四　对弧矢　丙癸　　五八六八二

　　余癸巳　　四一三一八

　　求到对弧子丙六十五度三十六分

　　论曰半半径为初数何也凖前论半径即存弧余而捴弧无余无可相减故即半之为初数　问捴弧何以无余曰弧大者余小捴弧满象限则大之极也故无余　其比例可得言乎曰壬巳与壬丑若丙甲与丙子则亦若丙辛与丙癸　若所设为子戊丙形戊角同乙角一百度

　　【戊子戊丙】同为一百三十五度　捴二百七十度【满三象限】亦

　　无余亦如上法以半半径为初数依上四率求到对戊角之子丙弧六十五度三十六分

　　若三边求角则反其率

　　一初数　　二半径　　三对弧矢　　四角之矢

　　设角旁两弧之捴满半周而存弧亦满象限　求对角之弧　用前图子戊卯形

　　戊角　　八十○度余　一七三六五

　　子戊一百三十五度

　　卯戊　　四十五度

　　余无减半半径为初数五○○○○　己辛即庚甲存弧满象限半径为正矢一○○○○○　即卯巳半径

　　一　半径　辰巳　一○○○○○

　　二　初数　己辛　　五○○○○

　　三　戊角矢辰丑　　八二六三五

　　四　两矢较己癸　　四一三一七　即对弧卯子余对弧大矢卯癸　一四一三一七　【以两矢较加存弧矢得对弧大矢】求到对弧卯子一百一十四度二十四分

　　论曰捴弧以半径为余何也凡过弧大者余大过弧满半周则大之至也故其余亦最大而即为半径也　然则存弧又能以半径为矢何也弧大者矢大存弧既满象限故其矢亦满半径矣

　　问两矢较巳癸即对弧之余也何以又得为两矢较曰他存弧之矢有大小而不得正为半径故其与对弧矢相较亦有大小而不得正为余今矢既为半径较必余矣

　　若三边求角则反其率

　　一　初数　巳辛　　　其比例为巳辛与巳癸若丁甲二　半径　辰巳　　　与丁子则亦若辰巳与辰丑三　两矢较己癸

　　四　戊角矢辰丑

　　设对弧满象限　三边求角

　　乙丙甲形

　　对弧乙甲九十度　无余

　　求丙角

　　相加辰癸　一三五六二一

　　初数午癸　　六七八一○

　　对弧满象限矢即半径已甲一○○○○○

　　用防法即以存弧余癸已为矢较

　　一　初数　　午癸　　六七八一○

　　二　半径　　巳戊　一○○○○○

　　三　矢较　　巳癸　　四二二六二　即存弧余四　丙角矢　庚戊　　六二九○四

　　求到丙角六十八度一十四分

　　其比例为初数午癸与余巳癸若正壬辛与距等矢乙辛也亦必若半径己戊与角之矢庚戊

　　若先有丙角求对弧则反其率

　　一半径【戊巳】　二初数【午癸】　三丙角矢【戊庚】　四两矢较【巳癸】以所得四率与存弧矢甲癸【五七七三八】相加适足半径【成巳甲】命对弧乙甲适足九十度　防法视所得四率矢较与存弧余同数即知对弧为象限不必更问存弧之矢

　　设角旁两弧同数捴弧过象限

　　求对角之弧

　　辛乙丙形

　　乙角七十三度余二九二三七

　　相加折半为初数　八二一三九　癸丙

　　一　半径　己戊一○○○○○

　　二　初数　癸丙　八二一三九

　　三　乙角矢甲戊　七○七六三

　　四　对弧矢丁丙　五八一二四

　　余丁巳　四一八七六

　　求到对弧辛丙六十五度一十五分

　　若三边求角则反其率

　　一初数【癸丙】　二半径【巳戊】　三对弧矢【丁丙】四乙角矢【甲戊】

　　设角旁弧同数捴弧过半周其算并同

　　前图辛丑丙形

　　辛丑　丙丑并一百十五度

　　捴弧丙丑壬二百三十度余　六四二七九　庚巳丑角同乙角

　　其所用四率求对弧及三边求角并如上法

　　设捴弧满半周而存弧不过象限　求对弧

　　前图辛乙卯形

　　乙角　　一百○七度余　二九二三七　甲巳乙卯　　一百十五度

　　乙辛　　　六十五度

　　相加半之为初数　八二一三九　癸庚即子辰

　　一　半径　　寅巳　一○○○○○

　　二　初数　　庚癸　　八二三一九

　　三　乙角大矢寅甲　一二九二三七

　　四　两矢较　庚丁　一○六一五三　即辛未加存弧正矢庚卯　　三五七二一

　　得对弧大矢丁卯　一四一八七四

　　求到对弧卯辛一百一十四度四十五分

　　加减又法【解恒星暦指第四题三率法与加减防法同理】

　　弧三角有一角及角旁二边求对角之弧

　　法曰以角旁大弧之余度与小弧相加求其止为先得　次以角旁两弧相加视其度若适足九十度即半先得为次得【此大弧之余弧与小弧等】

　　若角旁两弧捴大于象限【此大弧之余弧小于小弧】则以大弧之余弧减小弧而求其以加先得然后半之为次得若两弧捴不及象限【此大弧之余弧大于小弧】则以小弧减大弧之余弧而求其以减先得然后半之为次得又以角之矢为后得

　　以后得乗次得为实半径为法除之得数为他一率　全数

　　二率　次得【即初数】

　　三率　后得【即角之矢】

　　四率　他【即两矢较】

　　并以他与先得相减为所求对角弧之余若他大于先得即以先得减他【不问何但以小减大右法不载测量全义而附见厯指人自江南来得小儿以燕家信以此为问谓与环中黍尺有合也乃为摘録以疏其义】

　　论曰此亦加减代乗除之一种也加减法以捴弧存弧之余相加减以取初数此则不用存弧而用存弧之余度【以余度取正即存弧之余故也】又不正用存弧之余度而用大弧之余度【以大弧之余度加小弧即存弧之余度故也】至其加减又不用捴弧而用大弧余度与小弧相减之较弧【以此较弧之正即捴弧之余故也】取径迂回而理数脗合非两法相提并论不足以明其立法之意也举例如后

　　乙丙丁形【有乙角及角旁二边】求对弧丁丙【以加减防法求得诸数与恒星厯指法相参论之

　　乙丙小弧乙丁大弧】正【甲丙辰庚】

　　【捴存】弧【戊丙庚丙】余【壬巳癸巳】

　　【余并癸壬初数　癸甲　即辰寅】

　　【丁丙对庚丙存弧】正矢【卯丙癸丙】

　　【两矢较卯癸一　半径　　酉巳】

　　【二　角之矢　酉午三　初数　　甲癸即辰寅

　　四　两矢较　　卯癸　即丁子末以卯癸加癸丙得卯丙为对

　　弧矢乃查其度得对弧丁丙】

　　右加减法也

　　今改用恒星厯指之法　先以酉庚为角旁大弧【乙丁】之余弧【乙庚同乙丁大弧度也乙酉同乙午皆象限也乙酉象限内减乙庚犹之乙午内减乙丁也故庚酉即乙丁之余】又以牛酉当角旁小弧乙丙【乙酉与牛丙皆象限内减同用之丙酉同乙丙】二者相加成牛庚取其正戊庚是为先得次视角旁两弧【乙丙乙丁】之捴【丙戊】大于象限【丙辛】法当以大弧余度去减小弧得较【于同小弧之午酉内减同大弧余度之氐酉其较牛氐与牛房等】而取其【牛氐较与牛房等则氐井与房井等而即与危戍等是危戌即牛氐较之也】以加先得【以危戍加戌庚成危庚】然后半之【危庚半之于未成未庚】为次得

　　又以乙角之矢【午酉】为后得与次得【未庚】相乗为实半径为法除之得他【亥庚】

　　未以他【亥庚】减先得【戌庚】其余亥戌为对弧【丁丙】之余【查表得对弧】

　　论曰牛庚之正戍庚与癸巳平行而等即存弧之余也【牛庚为小弧与大弧余度之并实即存弧丙庚之余度故戌庚即同癸巳】次得未庚与甲癸平行而等即初数也【以危戍加戌庚而成危庚犹捴存两余相加成癸壬也危庚既同癸壬则其半未庚亦同甲癸】他庚亥与卯癸平行而等即两矢较也末以他与先得相减而得对弧余犹以两矢较与存弧之矢相加而得对弧之矢也【两矢较即两余较也故加之得矢者减之即得余】然则此两法者固异名而同实矣又论曰加减本法用大弧小弧之捴与较取其余以相加减今此法则用大弧余度与小弧之捴与较而取其正以相加减【如牛庚是大弧余度与小弧之捴牛氐是大弧余度与小弧之较】用若相反而得数并同者何也曰余弧与正弧互为消长其数相待是故大弧之余度大于小弧则捴弧不及象限矣大弧之余度小于小弧则捴弧过象限矣捴弧过象限宜相加此条是也捴弧不及象限宜相减后条是也宜加宜减之数无一不同得数安得而不同【得数谓初数也在此法则为次得】