《历算全书》·3

厯算全书卷二十四

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

　　交防管见小引

　　交食为验厯大端其事之著者有三一曰食分深浅一曰加时早晚一曰起复方位古法至授时立法已详新法有西洋所测更密几于无可复议独其所谓起复方位并以东西南北为言【如日食八分以上初亏正西复圆正东八分以下阳厯初亏西南食甚正南复员东南隂厯初亏西北食甚正北复员东北月食八分以上初亏正东复员正西八分以下阳厯初亏东北食甚正北复员西北隂厯初亏东南食甚正南复员西南之类】而东西南北并以日月光体中心为主故其边向北极处斯谓之北向南极处斯谓之南而东西从之亦以日月之边向东升处即谓之东向西没处即谓之西此中西厯法所同也然天既北倚赤道之势与北极出地相应皆南高而东西下黄道斜交赤道又因节气而殊初亏食甚复圆各限加时又别是故人所见日月光体之东西南北非日体之东西南北也故于仰观不能尽合密测者以日月体匀为细分而求其亏甚所当之处于理为尽然必测器精良用法取影庶几可知终不能若食分深浅加时早晚之可以万目同观众着无疑也愚今别立新术凡亏复各限并于日月光体之上下左右直指其蚀损所在而不用更杂以东西南北之名欲令测候之时举目共见即步算之疎密纎毫莫遁或于测学不无小补犹冀髙贤深明理数有以进而教之也

　　康熙四十有四年嵗在防防作噩勿庵梅文鼎谨识时

　　年七十有三

　　钦定四库全书

　　厯算全书巻二十五

　　宣城梅文鼎撰

　　交防管见

　　求初亏复员定交角

　　以初亏复员定时分依法求其距午时分午后以加午前以减各加减日实度所对时分【入九十度表取之】为初亏复员时定总时

　　以定总时各求其日距限限距地髙遂以得其交角加减之得初亏复员时定交角

　　求初亏复员时先阙后盈之防在日体上下左右

　　法自天顶作垂弧过日心以至地平分日体员周左右各一百八十度次依定交角度分日在限西初亏为右下之角复员为左上之角其度右旋日在限东初亏为右上之角复员为左下之角其度左转并自垂弧左右起算数至定交角度分即得太阳员周初亏时先阙复员时后盈之防其定交角或为钝角者上下相易【如本为右下者变为右上本为右上者变为右下左亦然】是为亏复时交道中径　食十分者用此即中西旧法所谓八分以上初亏正西复员正东者也【初亏复员各依其定交角度分取之】

　　若食九分以下当先求蚀纬差角法为并径与月视黄纬若半径与蚀纬差角之正也以月视黄纬化秒乘半径为实以并径减一分化秒为法除之得蚀纬差角之正查正得度分以加减亏复时交道中径得日体周边先缺后盈之防

　　视纬北者日在限西初亏以加复员以减日在限东初亏以减复员以加视纬南者日在限西初亏以减复员以加日在限东初亏以加复员以减并置交道中径以蚀纬差角度分加减之得数仍自垂弧左右起算得初亏何处先缺复员何处后盈上下左右皆可预定

　　求食甚在日体上下左右

　　惟食十分者食甚时两心相掩或全黒或作全环皆无上下左右可论其食九分以下皆以隂阳厯论南北视纬若食甚时正在黄平象限则视纬北者食甚在日体上半缺口正向天顶形如仰瓦即旧法所谓正北视纬南者食甚在日体下半余光厚处正对天顶缺处正向地平两角下垂形如覆梳即旧法所谓正南也若此者只有上下可言而无左右偏侧之度其余日在限西则南纬在左下北纬在右下日在限东南纬在右下北纬在左下并以食甚时定交角之余度或左或右并从天顶垂弧之两旁起算即得食甚在日体上下左右之度

　　求日体周边受蚀几何

　　法用太阳太隂两半径相并为和相减为较和较相乗为实月视黄纬为法除之得数以加减月视黄纬讫乃折半以乘半径又为实以太阳半径为法除之得余查表得度倍之即食甚时日体受蚀度分【以太阳全周分三百六十度内该受蚀者几何度】加减例【日半径大于月以得数加黄纬日半径小于月置黄纬以得数减之】

　　求日食三限在地平上髙度

　　食甚时日距地髙即可径用　初亏复员各以定时求其距午分依日赤纬南北度入髙弧表即各得亏复时地平上髙度【如无正表取前后二表数以中比例酌之假如其地极出地三十一度则查三十度表及三十二度表以两表数并而半之即是本地髙弧之数】又算法【以限距地髙度与日距限之余度相加为捴相减为较捴较各取余视捴弧过象限则两余相并不过象限两余相减并折半得髙弧正捡表得髙度】

　　求日食三限地平经度

　　法以地平纬度之余度分与极出地之余度分相加为总相减为较总弧较弧之余相减若总弧过象限则相加并折半为法【初数】又取较弧矢与日距北极度之矢【对弧矢也日赤纬在南者以加象限赤纬在北者置象限以赤纬减之即各得距北极度】相减得较较乘半径为实实如法而一得角之矢【以矢命度】若日食在午前其角度为距正北子正之度食在午后以减半周为距正南午正之度【正矢与大矢并同一法】三限皆如是

　　求带食分在日体上下左右

　　以日出入时距纬为法半径乘月视黄纬为实实如法而一得正查表得带食纬差角度分如求初亏复员之法以带食纬差角加减白道中径得带食分在日体上下左右若带食在初亏后食甚前其加减用初亏法带食在食甚后复员前其加减用复员法

　　带食在初亏后食甚前者　隂厯日在限西加　日在限东减

　　阳厯日在限西减　日在限东加

　　带食在食甚后复员前者　隂厯日在限西减　日在限东加

　　阳厯日在限西加　日在限东减

　　右并置月道中径以带食纬差角度分加减之得数仍自垂弧左右起算即得带食时食分最深之处在日体上下左右【凡带食出入时或防亏或见蚀半或半以上其余光皆成两角外向均折两角取其中即带食分最深之处】

　　求带食出入时日边受蚀几何

　　以太阳太隂两半径相并为和相减为较和较相乘为实日出入时距纬为法除之得数以加减日出入时距纬【日半径大于月以得数加入距纬日半径小于月置距纬以得数减之】乃折半用乘半径又为实太阳半径为法除之得余查表得度倍之为带食出入时太阳周边受蚀之分【以三百六十度分太阳全周内该缺几何度分】

　　作日食分图法【交食之验非图莫显图必分作其象始真故不惮反覆详明以着其理】

　　一定日食时交道斜正

　　作立线以象垂弧此线上指天顶下指地平即地平经度圏之一象限也线上取一防为心规作员形以象太阳其员周为地平经线所分左右各一百八十度依本限定交角作防【或初亏或复员或食甚各有定交角】若日距限在西其度右旋日距限在东其度左旋于太阳员周上下并从垂线分处数至定交角度止得两防聮为一直线必过太阳之心两端稍引长之横出是为日食时月道交于垂弧之象若日距限西交道左昂右低日距限东反之其初亏食甚复员三限距限东西有时而异虽其不异亦必有逺近髙下之殊则交道低昂异势未可以一法齐也今三限各求定交角依度作图不论东西南北一以太阳边左右上下言其亏甚之状即测算可以相符厯法之疎宻可以众睹更无丝毫可容假借

　　如图甲乙为垂弧　甲丁乙丙为日体　乙己丙为定交角丁己甲为对角乙至丙甲至丁皆定交角之度因日距限在限西故右旋数其度　　丙丁为上下两防己为日心聮丙丁为直线则过日心稍引长之至庚则成交道因在限西故月道左昂右低【交道即月道也为月视纬所成在食十分时可名月道其食不满十分者可名月道平行线】

　　各号并与前同

　　惟日距限在限东故从乙至丙从甲至丁并左旋数定交角度而庚辛月道右昂左低

　　如图月道平过与天顶垂弧相交成十字正角而又在午方则上北下南左东右西各如本位矣【如旧法食十分初亏正西复圆正东食八分以下者隂厯初亏西北食甚正北复圆东北阳厯初亏西南食甚正南复圆东南惟此时为然】此必日食在黄平象限左右因定交角加减而成正角然不常有即有之又未必在正南方则与东西南北之名不相叶应故不如用定交角直以上下左右言其方向【黄平象限有离午正二十三四度时又有定交角加减则虽离午正三十余度之逺而能有此象盖即月道之九十度限也食既者遇之亏必正右复必正左北纬者亏右上复左上而食甚正向天顶南纬者亏右下复左下而食甚向地平】

　　己为日戊为月

　　乙至丙甲至丁皆交角之度

　　丙为初亏丁为复圆

　　戊丙己丁为月道

　　此因日食十分故即用丙丁二防为初亏复圆即旧法所云初亏正西复圆正东者也然以日距限西故初亏在日体右下复圆在日体左上

　　此亦日食十分因距限在东故初亏在日体为右上复圆在日体为左下

　　凡日距限西者复圆交角必小于初亏日距限东者复圆交角必大于初亏故必分作其图始能合算今从简省以交角相同者合为一图非谓一食中亏复同角也

　　一图初亏

　　先以初亏定交角如法作垂弧及交道安太阳于交防若食十分者于太阳右方截取交道如月半径之度以此为心规作月体与太阳边相切即初亏时先缺之防【图己见前】

　　若食不满十分者用纬差角度算太阳边周之度月视黄纬在北向上数之在南向下数之并从太阳右方交道起算数至纬差角度止即为初亏时先缺之防自太阳心向此防作直线透出其外稍引长之以并径为度从心截取引长线作防即初亏时两心之距也以截防为心太隂半径为度作圆形即初亏时太隂来掩太阳相切之象也从太隂心作直线与交道平行则月视行之道也从太阳心作垂线至视行线成十字角即月视黄纬也　以上并不论初亏是午前午后亦不论地平方位或在正南或偏东西并同一法食甚复圆仿此

　　乙己丙交角乙丙其度从丙过己心至丁而引长之即月道平行线

　　丙己庚为纬差角丙庚其度因月视黄纬在北故从交道丙向上数其度至庚庚即初亏时先缺之防

　　从太阳心己作直线过庚防而透出其外为己庚戊线乃并日月两半径【得己戊】为度截己庚戊线于戊戊即太隂心也以戊庚月半径从戊心作圆为太隂与太阳边相切于庚初亏象也

　　从月心戊作戊辛癸线与丙己丁平行月视行道也【此月视行线乃人所见月心所行故以丙己丁交线为月道平行线】从太阳己心作十字垂线至月视行线上如己辛月视黄纬也

　　乙己丙交角以乙丙为度从丙过己心作月道平行线丙己庚纬差角以丙庚为度因月视黄纬在南故从交道丙向下数其度至庚庚即初亏时先缺之防【此为纬差角大于定交角故易右为左】

　　从己心向庚作己庚戊线而以己戊并径度截之于戊用为月心规作月体与太阳相切于庚象初亏也从戊心作癸戊辛线与丙己丁平行月视行道也从己心作己辛线与戊辛相遇成方角月视黄纬也以上二宗为日距限西日距限西者初亏定交角并为右下之角然惟食十分时则初亏右下与定交角同防其余则北纬者能易右下为右上前条是也南纬者能易右下为左下此条是也

　　甲己丁交角以丁甲为度从丁过己心作丁己丙月道平行线

　　丁己庚纬差角以丁庚为度因月视黄纬在北从交道丁向上数至庚以庚为初亏之防【此亦纬差角大于定交角故易右为左】如前从己心向庚作透出线截之于戊使己戊同并径则戊为月心从戊心作圆形象初亏时太隂以其边切太阳于庚从戊作戊辛癸线为月视行之道与丁己丙平行又从己作己辛线为月视黄纬辛为正角

　　诸号同前

　　惟以月视黄纬【即己辛】在南故纬差角【丁己庚角】从交道【丁】向下数其度【至庚】为初亏之防

　　以上二者为日距限东凡初亏在限东者其定交角为右上之角然惟日食十分与定交角同防而初亏右上其余北纬者能易右上为左上南纬者能易右上为右下此二条可以推矣

　　一图食甚

　　先以食甚定交角作垂弧月道于交防安太阳并如初亏法次于太阳周边数定交角余度若日距限西其度左旋日距限东其度右旋并于日体上下方从垂线数起至定交角余度止各作防聮为一直线稍引长之此线与月道为正十字能过月道之极即月道之经圏食甚时太阳太隂并在此线之上乃以月视黄纬求其距若视纬在北向上量之视纬在南向下量之并从太阳心截取视纬于月道经线作防即食甚时两心之距也以此为心月半径为度规作月体即见食甚时月掩太阳在日体上下左右几何度分此时两心之距为最近其食分最深于此线上分太阳光体为十平分即所食之分可见若于太阳之边数其所蚀光界即知太阳周边受蚀几何度分

　　若于月心作线与月道经线为十字正角即自亏至复月行之道也两端稍引长之用并径为度从太阳心截之左右各得一防即初亏复圆之防也【右为初亏左为复圆】如此即为总图【総图惟食甚为正形初亏复圆亦得大槩仍当于分图攷之】

　　若食十分者或全黒或作金环并无视纬更无上下左右可论不用此法

　　又若食甚时定交角满九十度则北纬正对天顶余光有如仰盂南纬正对地平余光有如覆椀其月道左右平衡其南北视纬即于垂弧取距【北纬自太阳心向上南纬自太阳心向下并以月视黄纬取其度为两心之距】不须另作月道经线又于月道经线以月视黄纬量其距若隂厯向上量之阳厯向下量之并自太阳心量至视黄纬止从此作线与月道经线为十字角即与亏复月行之道平行南北差之理亦自可见

　　乙己丙为定交角其度自乙右旋至丙丙己丁线过太阳心为月道平行线

　　乙己庚为定交角之余角其度自乙左旋至庚庚为食甚所向之方从庚过太阳心作午己庚线为太阳全径分为十分　依月视黄纬自太阳心己截至戊以戊为心月半径壬戊为度作圆以象食甚时掩日之月　计所掩径自庚至壬得蚀六分余光自壬至午得四分计所掩边自酉过庚至卯得缺光之边一百三十分余光自酉过午至夘得未掩之边二百三十分约为蚀三之一而强【此以太阳边周为三百六十分也分亦可名度】

　　从月心戊作戊癸线与太阳径为十字角与交线平行是为月视行之道以并径为度自太阳心己截戊癸月道于辛于子各为心作太隂象即见初亏于酉复圆于卯可当总图

　　此与前图皆食在限西故乙己丙定交角同势惟月视黄纬在北故用甲庚余角从甲左旋数至庚为食甚所向之方亦作午己庚十分全径而透出之用月视黄纬截之于戊戊为心戊壬半径作月体交加于太阳光体之上计所掩自庚至壬得蚀四分有竒其自未过庚至丑为所蚀之边　又如法从戊心作月视行之道以幷径截之于辛于子各作月体即见卯酉为亏复之防几食在限西者南纬必食甚左下北纬必食甚右上惟交角大者余角小交角小者余角大而大致不改即二图可槩其余

　　其初亏交角必大于食甚复员交角必小于食甚全图聊举大意仍以分图为定

　　乙己丙定交角其度自乙左旋至丙丙己丁过太阳心为月道平行线

　　乙己庚余角度自乙右旋至庚庚己午太阳全径引长之以月视黄纬度截之于戊戊为食甚时月心所到其边掩太阳至壬午壬为食甚所向之方分太阳全径为十分午壬为所掩之分得二分有竒未午丑为所缺之边约得九之二

　　此与前图皆食在限东乙己丙交角同势惟月视黄纬在南故用甲己午余角【即乙己庚】右旋从乙至庚庚防为食甚所向庚己午太阳全径十分以月视黄纬截己戊戊为月心作太隂体掩太阳至壬得八分有竒未庚丑为所缺之边约得九之四凡食甚在限东者北纬必左上南纬必右下虽角有大小其大致不变以上二图可槩其余　以上食甚四图或居太阳体之左上左下右上右下并以定交角论其余角不论地平经度之东西南北并同一理即令食甚正午而距限有东西即交道有低昂必无正北正南如旧法所云者也

　　此月视纬在北

　　日食七分竒

　　甲为食甚在日体上方余光如仰盂

　　此月视纬在南

　　日食五分

　　戊为食甚

　　在日体下方

　　余光如覆椀

　　惟此二图是交角成象限若又居正南方则北纬食甚可称正北南纬食甚可称正南

　　一图复圆

　　以复圆定交角作垂弧月道安太阳并如上法

　　若食十分者于太阳左方截取月道如月半径之度以此为心规作月体与太阳边相切即复圆时后盈之防【图亦见前】

　　若食不满十分者用纬差角度算太阳边周之度北纬向上数之南向下数之并从太阳左方交道起数至纬差角度止即为复圆时后盈之防自太阳心向此防作直线透出其外稍引长之以并径为度从心截取引长线作防即复圆时两心之距以截防为心规作太隂与太阳相切即复圆时太隂行过太阳初离之象也

　　甲己丁交角【即乙己丙】其度甲丁从丁过己心作丙己丁线引长之即月道平行线

　　丁己庚为纬差角其度丁庚因月视黄纬在南从交道丁向下数其度至庚庚即复圆时后盈之防　从太阳心己出直线过庚而透出其外为己庚戊线以幷径为度截之于戊以戊为心月半径为界作太隂圆体切太阳边于庚即太隂行过太阳初离之象也　从月心戊作戊辛直线月视行之道也而己辛者月视黄纬也

　　甲己丁交角【即乙己丙】其度甲丁从丁作月道平行线过己心至丙而引长之

　　丁己庚纬差角大于交角而月视黄纬在北法当从交道丁向上数丁庚之度跨甲而至庚庚即复圆时复光最后之防　又法从己心作丙己丁之十字垂线乃以月视黄纬为度截之于辛则己辛即食甚两心之距也从辛又作十字长垂线与丙己丁交道平行如戊辛癸即月视行之道也次以幷径为度截月视行道于戊以戊为心月半径为度作复圆时太隂象即其边切太阳于庚

　　以上二图皆复圆距限西也凡复圆限西者其定交角为左上之角然惟食十分其防不改其余则有易为正左稍下如前图者有易为右上如此图者余可数推

　　乙己丙交角以乙丙为度从丙作月道平行线过己心至丁而引长之

　　因月视黄纬在北从交道丙向上数纬差角丙己庚之度至庚即庚为复圆之防　又法以丁午丙半周度折半于午从午作线至太阳心己为丙己丁之十字垂线于此垂线上截取辛己如月视黄纬即于辛防作十字交线与交道线【即月道平行线】平行为月视行之道于此月视行道取戊己斜距如并径则戊防即复圆时太隂之心从心作太隂体即切太阳于庚而正居太阳左方

　　此交角与差角同度也庚己丙交角其度自庚数至丙防为月道平行线所过【丙己丁过心线为交道即月道平行线】

　　丙己庚差角自丙数至庚【因南纬向下数】庚防为复圆时太隂初离太阳边犹相切之处也差角丙庚之度与交角庚丙等故相减至尽而正居太阳之底也　如用又法从己心作己午垂线以月视纬截辛防从辛作十字线如辛癸与交线平行为月视行道即可以戊己并径截戊防为太隂心其边即切太阳于庚亦同

　　凡复圆限东者定交角必居左下然惟食十分者则然其余则有变为日体正左或日体正下者如以上二条者可类推也

　　甲为九十度限　乙为黄道过午规交角　乙丙为黄道在午规距天顶之度今用乙甲丙正弧三角形有甲正角　乙交角　乙丙弧而求甲丙弧为九十度距天顶之度　法为半径与丙乙弧正若乙角之正与丙甲正也

　　【一　半径二　丙乙正】

　　【三　乙角正四　丙甲正】

　　増沿厯书乃以丙乙余与乙角余相乗为实半径除之得丙甲正失其防矣

　　简庵曰甲角非正角也何以言之自天顶出线过赤道则为正角其过黄道不能成正角甲角既为天顶线过黄道所作之角则必非正角勿庵曰不然甲防者九十度限也若甲非正角则不得为九十度限矣

　　简庵曰赤道能为正角者以天顶线能过北极也若黄极则不能过天顶天顶线既不串黄极则甲必不能为正角明矣勿庵曰子午线所以能穿天顶与北极者以赤道在平地上半周一百八十度而交子午圈处为其折半最中之处故天顶线交赤道成十字角也天顶线与赤道作正角惟此一处盖惟此处能使地平经线【即天顶出线至地平分方位之线】与赤道经线【即北极出线至赤道分时刻之线】合而为一【从地平经线言之为子午规从赤道言为过极圈】他处则不能也黄道亦然其在地平上亦一百八十度每度并从黄极出经线至黄道上成正角但不能过天顶而必有一度为黄道半周折半之处则此一经线必过天顶而穿黄极天顶线既穿黄极则其交黄道处必成十字正角矣天顶线与黄道作正角亦惟此一处【亦如赤道之有子午规】盖亦惟此处能使地平经线与黄道经圈合而为一而他度不能西法用九十度限其理如此故甲角必正角简庵闻此欣然首肯焉

　　本法用乙甲丙形求丙甲为九十度距天顶　今依简庵説用丁戊丙形求得戊丙为天顶距黄极之度以减象限即得丙甲距天顶之度

　　法曰以正午黄经之赤道同升度取丁角【从冬至数之即得】以各地北极出地余度取丁丙边　以两极相距二十三度半为丁戊边

　　是为一角两边可求戊丙边

　　若用垂弧法虽多转折其理无讹　若用加减代乘除法乃捷矣

　　又按此以正弧形为本形改用斜弧为次形亦弧三角中一法往所未及也可见学问相长之无穷

　　既得甲丙边又原有乙丙边甲正角可求甲乙边为九十度距午规

　　丁北极　戊黄极　丑寅圈径五度为白道极所行之迹　丑为今所求月道心【即白道极所到】得丑寅边为丑戊寅角之度亦即为丁戊丑角度　先用丁戊丑弧三角形有丁戊边【为两极距二十三度半】有丑戊边【为月道大距五度】有戊角【即上所论】　可求丑丁边为白道极距北极之弧　可求丑丁戊角

　　次用丁丑丙弧三角形　有丑丁弧【为先所求】有丙丁丑角【以先有之戊丁丙角与今得之丑丁戊角相加减得丙丁丑角】有丁丙边【即本地北极出地余度】可求丑丙边为白道极距天顶之弧亦即为白道九

　　十度距地平之髙度　求白道极所在【即丑防】法曰凡白道极随交防而移交防逆行故白道极亦逆行也先求正交【或中交】在黄道度分离此一象限即为半交最逺之所此防与白道极相应若系半交是阳厯则白极在黄极南半交是隂厯则白极在黄极北极距黄极五度竒即丑戊也丑戊弧五度循黄极而左旋有时而合于两极距线为寅戊或戊辛则无丑戊丁角自此以外皆有戊角此算之根也

　　设白道极【丑】在寅即丑戊寅角法当以戊寅五度【白极距黄极】与丁戊二十三度半相减余十八度半为寅丁寅丁丙弧三角形有寅丁边【为白极距北极】有丁丙边【北极距天顶】有丁角可求寅丙边为白极距天顶

　　又设【丑】防在辛即以戊辛加戊丁为一边【辛丁】如上法可求辛丙弧为白极距天顶

　　以上二者因白极距黄极之线与黄极距北极同一大圈之经度故丁戊线有加减而丁角无加减故只用一弧三角形即可得之此惟月边半交在二至度然后能如是

　　设正交在秋分之度中交在春分之度则阳厯半交在冬至黄道外隂厯半交在夏至黄道内各五度竒而白道极在两极距线外亦五度竒如辛如酉

　　法当以白黄大距五度竒【辛戊或酉戊】加两极距二十三度半【戊丁】共得二十八度半竒【辛丁或酉丁】为一边　丁丙为一边【北极距天顶】丁为一角【或辛丁丙或酉丁丙】　可求辛丙边【或酉丙边】即白道极距天顶度以减九十度余为白道距天顶度【捷法即以所得白道极距天顶命为白道九十度距地平】

　　此图丁辛线己用弧线不能作两白道极圈

　　如图丙为天顶丁为北极丁戊二十三度半即以丁为心戊为界运规作圆即黄极绕北极之圈再以丁戊引长之至于辛又以戊为心辛为界作圆为白极绕黄极之迹戊辛为黄白距五度竒【此图则戊酉可省】

　　今聮丁辛丙成三角形如上论余观图自明

　　更当明者白道限度之不能与黄平象限同在一度即若黄平象限之不能与赤道髙度同在一度同也黄平象限与赤道髙度能在一经度者惟极至圈在子午规之度为然白道限度之能与黄平象限同在一经度者惟两交在二分之度又极至圈同在午规时也

　　又设正交在春分之度中交在秋分之度则阳厯半交在夏至黄道外隂厯半交在冬至黄道内各五度竒而白道极在两极距线内亦五度竒如寅如未

　　法当以白黄大距五度竒【寅戊或未戊】去减两极距二十三度半【戊丁】得余十八度半弱【寅丁或未丁】为一边　丁丙为一边　丁为一角【或寅丁丙或未丁丙】可求寅丙边【或未丙边】为白极距天顶即命为白道九十度距地平之髙图如后

　　以上二者并只用一弧三角形何则以交防在二分也交防在二分则半交与白极并在极至交圈故丁戊弧自有加减而丁角无加减若交防离二分则否何则交防逆行即罗计度也交防周于天而半交大距亦一周天而白极亦周于黄极左右之小圈故丁角有加减而必用两三角形也

　　求戊角【用两三角形必先取戊角】　法曰正交在秋分则白极在辛【即在酉】从辛左旋过丑至寅而复于辛以生戊角戊角之度或鋭或钝皆以交防距分之度命之

　　白极小圏以罗计一周而复于元度【假如正交自秋分向夏至逆行过秋分二十度则白极离辛防亦二十度以减半周余百六十度为戊钝角】

　　求丁角【戊丁丙角】　法曰视极至交圏距午圏若干度分即得戊丁丙角【以加时午正黄道度取之】

　　白道九十度限用法

　　依前所论以求加时白道九十度限在地平上之髙的确不易【用斜弧三角形】　但如此则交食表所算九十度限俱可不用当另算白道九十度表

　　法曰丑戊丁三角形以丁戊边【两极距二十三度半】丑戊边【白极距黄极五度】戊角【白极距冬至经圏之度亦即正交离秋分之余度】为二边一角可求丁丑边【此边之度天下所同】丁角【此角亦天下所同】其法并以戊角之大小立算【只算半周可以立表矣】

　　正交在【秋分前以过夏至而至春分春分前以过冬至而至秋分】之度角在极至圏【西东】戊丁丙三角形　求丁角

　　法曰以应时法求加时午正黄道【可借用黄道九十度表】取其赤道同升度即得丁角

　　视同升度在冬至后半周其距冬至度即为丁角【其角在子午线西】若同升度在夏至后半周即以距夏至度去减半周余为丁角【其角在子午线东】此丁角亦天下所同

　　丑丁丙三角形　先求丁角

　　法曰以先有之两丁角相减或相并即得丁角

　　两丁角俱在西或俱在东【则相并】两丁角一在西一在东【则相减】此丁角亦天下所同

　　次求丁丙边

　　法曰丁丙者各地之北极距天顶也以北极髙度减象限得之

　　次求白道九十度限之髙

　　法曰既有丁角【即上所求】丁丑边【即先所求】丁丙边【即极距天顶】为一角两边可求丑丙边【为白极距天顶度】以减象限得白道九十度限距天顶亦即得其距地平之髙

　　既得白道九十度限距地平之髙再求得月在白道上距九十度限之度分【法以月距交前交后度减象余即得】可求其交角【白道交天顶经度之角也】

　　此交角可借黄道交角表用之　但须补作黄道北五度表既得交角则髙下差可知而东西南北差悉定矣

　　康熙四十三年五月十七日乙卯朢月食分秒时刻并起复方位

　　京师月食十分三秒

　　初亏子正二刻三分　东北

　　食既丑初三刻八分

　　食甚丑正一刻二分

　　生光丑正二刻一分

　　复圆寅正初刻一分　正北稍偏西

　　右计食限内凡十三刻十三分

　　按食限内共十三刻十三分折半得六刻十四分故以此减食甚时刻得初亏【自初亏子正二刻三分至食甚丑正一刻二分正得六刻十四分】加食甚亦得复圆【自食甚丑正一刻二分至复圆寅正初刻一分亦得六刻十四分】是亏至甚甚至复时刻适均也时刻所以适均者月行天之度均也然则作图之法自当以食甚月体置于亏复两限适中之处而不宜偏侧矣今监颁蚀图乃偏置于东若是则亏至甚月行之度分多甚至复月行之度少度既不均则时刻亦宜増减若时刻既无増减则图之偏者必非正法矣

　　又按食既至食甚食甚至生光时刻亦宜适均与亏至甚甚至复之理无二【厯书本法亏复折半之数谓之食甚距分以减食甚得初亏若以加食甚得复圆其食既至生光折半数谓之食既距分以减食甚得食既以加食甚亦得生光并无长短伸缩】今图中所注食既至食甚时刻多【食既是丑初三刻八分至食甚丑正一刻二分计一刻○九分】食甚至生光时刻少【食甚丑正一刻至生光丑正二刻一分只十四分】相差十分何也岂以食甚图偏而自疑其法耶不然何以若是

　　又按交食表食甚距分是一时四十四分【即监推六刻十四分】食既距分是四十二分【实计二刻十二分】月食只十分○三秒食既生光不得有五刻九分之乆【倍食既距分得八十四分实五刻○九分】盖觉其非是而弃表不用也然表之数宜改而其法不宜改【表自既至生光五刻九分监推只二刻○八分是改数也厯书以距分加减食甚得既与生光而监推相差三分刻之二是改法也】今改其数幷改其法不知何所见而云然也

　　或疑月行有迟疾自生光至食甚行迟故厯时刻多食甚至生光行疾故厯时刻少此亦説之可通者也然月之迟疾必以渐成决无于二刻八分中顿有十分之差【月平行二刻八分只行天三分度之一而弱】且食既生光既有迟疾之差初亏复圆何以独无可谓进退失据矣

　　又按食甚云者以月于此时侵入闇虚独湥也则其距前后之时刻必为折中均平之处也故月食未既者必于食甚时定其食分以此时所蚀之分最大也【假如月食九分则惟食甚时能满九分前后皆少食八分以下尽然】是以谓之食甚若图有偏侧不得谓之食甚矣

　　食未既时有食分以攷之【食分最多时始为食甚】食既矣则食甚无可指惟頼食既生光时刻折半取中而今乃相差若此又何所据而为食甚耶

　　又详检之初亏至食既【计五刻五分】食既至食甚【计一刻九分】食甚至生光【计十四分不满一刻】生光至复圆【计六刻】无一相同而迟疾皆不伦初限较末限既先疾而后迟【初亏至食既五刻五分是初限行疾也生光至复圆整六刻是末限行迟也】二限较三限又先迟而后疾【食既至食甚一刻九分是次限行迟也食甚至生光只十四分而不满刻是三限又行疾也】是初亏行疾限至食既而忽迟食既行迟限至食甚而顿疾食甚行疾限至生光以后而又迟不识月转迟疾有如此行度否乎

　　厯算全书卷二十五

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷二十六

　　宣城梅文鼎撰

　　交食求卷一

　　厯书有交食求七政引二目刻本逸去兹以诸家所用细草补之并稍为订定以便初学

　　日食

　　一求诸平行

　　首朔根　　　检二百恒年表本年下首朔等五种年

　　根并纪日録之

　　朔防　　　　用十三月表以所求某月五种朔策之

　　数録于各年根下

　　平朔　　　　以首朔日时与朔实及纪日并之【满二十四

　　时进一日满六十日去之】

　　太阳平引　　以太阳引根与朔策并之

　　太隂平引　　以太隂引根与朔防并之

　　交周平行　　以交周度根与朔策并之

　　随视其宫度

　　○宫二十度四十分内

　　五宫○九度二十分外

　　六宫十一度二十分内

　　【十一】宫十八度四十分外

　　以上俱有食再于实交周详之

　　太阳经平行　以太阳经度根与朔防并之

　　二求日月相距

　　日定均　　　以太阳平引宫度检一卷加减表如平

　　引满三十分进一度查之【记加减号】

　　月定均　　　以太阴平引宫度检一卷加减表如平

　　引满三十分进一度查之【记加减号】

　　距弧　　　　以日月定均同号相减异号相加即距弧

　　距时　　　　以距弧度分于四行时表月距日横行内检取相当或近小数以减距弧得时【视相当近小数本行上顶格所书时数録之即是】其余数再如法取之得时之分秒【依上法用相当近小数取之】并所得数即为距时

　　随定其加减号

　　两均相减者日大则减　日小则加

　　两均相加者日大则加　日小则减

　　两均一加一减者　　　加减从日

　　三求实引

　　日引弧　　　以距时时及分入四行时表取太阳平

　　行两数【两数谓时及分下同】并之【依距时加减号】

　　日实引　　　置太阳平引以日引弧加减之即得月引弧　　　检四行时表取距时【时分】下太阴平引两

　　数并之【依距时加减号】

　　月实引　　　置太阴平引以月引弧加减之即得四复求日月相距

　　日实均　　　以日实引宫度检一卷加减表如实引

　　满三十分进一度查之【记加减号】

　　月实均　　　以月实引宫度检一卷加减表如实引

　　满三十分进一度查之【记加减号】

　　实距弧　　　以日月实均同减异加即得

　　实距时　　　以实距弧度分检四行时表与前距时

　　同【加减号亦同前】

　　五求实朔

　　实朔　　　　置平朔以实距时加减之即得如加满二十四时者进一日不及减者借二十四时减之则退一日为实朔也

　　六求实交周

　　交周距弧　　检四行时表以实距时【时分】取交周平行

　　两数并之即得【依实距时加减号】

　　交周次平行　置交周平行以交周距弧加减之即得实交周　　　置月实均【记加减号】以加减交周次平行即

　　得实交周

　　随视其宫度以辨食限

　　凡阴厯○宫十七度四十分以内

　　五宫十二度二十分以外

　　凡阳厯六宫○八度二十分以内

　　【十一】宫廿一度四十分以外

　　实交周入此限者并有日食

　　七求躔离实度

　　日距弧　　　以实距时【时分】检四行时表取太阳平行

　　两数并之即得【依实距时加减号】

　　日次平行　　置太阳经度平行以日距弧加减之即

　　得

　　日实度　　　置日实均【记加减号】以加减日次平行即日

　　实度

　　八求视朔

　　加减时　　　以日实度检一卷加减时表【如日实度满三十分

　　进一度取足】记加减号

　　视朔　　　置实朔以加减时加减之即得

　　九求径距较数

　　月距地　　　以月实引查二卷视半径表月距地数

　　即得【度取相近者用之】

　　月半径　　　查月距地下层有太阴之数即月半径月半径　　　以日实引加减六宫检视半径表取太阳之数即得【日实引在六宫以下加六宫如四宫则用十宫实引在六宫以上减六宫如十宫则用四宫】

　　并径　　　　以日月二半径并之即是

　　月实行　　　以月实引宫度【满三十分进一度查】检二卷太隂

　　实行表【度取相近者用之】

　　十求近时

　　总时　　　　检四卷九十度表【九十度表一名黄平象限表其表随地不同如在京师立算取四十度在江南取三十二度冬依极出地取本表用之】以日实度取表第一行宫度得相对第二行防时防分另以视朔时分与十二时相加减得数以加入之即为总时总时过二十四时去之用其余

　　加减十二时法

　　视朔在十二时以上　减去十二时【止用余数】视朔在十二时以下　加上十二时用之

　　日距限　　　以总时【时分】入黄平象限本表第二行取其相对第三行九十度限下之宫度分用中比例得数与日实度相减即得日距限度分并东西号

　　定东西法

　　日实度大内减限度　日在限东

　　日实度小去减限度　日在限西

　　限距地髙　　以总时【时分】相对本表第五行限距天顶数置象限九十度减之余数即限距地髙

　　日赤道纬　　以日实度在三宫以下者加九宫在三宫以上者减去三宫用检五卷太阳距赤纬表即得【记书南北号】

　　日距地髙　　以【日赤纬视朔时】检六卷髙弧表【髙弧随地不同各依北极髙度取用】先以纬度或南或北之数检右直行次以视朔检上横行其视朔满十二时去之用其余刻入表【假如十二时三十三分止以三十三分作二刻入表】不满十二时则置十二时减之用其余入表【加减余一时即作四刻】

　　月髙下差　　以九求月距地数及日距地髙度【满三十分进一度】检八卷太阳太阴视差表先以月距地数检右直行次以日距地髙检上横行得数内减去本数上之太阳视差分秒即月髙下差

　　两圏交角　　用本求日距限限距地髙【满三十分进一度】检七卷交角表【以限距地查左右直行以日距限检上横行用中比例取之】得数以减象限即得

　　定交角　　　置交角加减白道角五度为定交角【实交周是○宫十一宫日距限在限西则减在限东则加若实交周是五宫六宫日距限在限西则加在限东则减】

　　时差　　　　用定交角月髙下差检八卷时气差表【以定交角检左右直行以月髙下差检上横行】即得时差【顺度用上时差号逆度用下时差号】

　　近时距分　　月实行化秒为一率六十分为二率时差化秒为三率二三相乗一率除之即得【零及半者收作一数】

　　近时　　　　置视朔以近时距分加减之即得【日在限西则加限东则减如定交角大于象限则反其加减　若适足象限则无时差即以视朔为食甚真时不用后法】

　　十一求真时

　　近总时　　　置总时以近时距分加减之即近总时

　　【日在限西则加限东则减】

　　日距限　　　以近总时如前法取之记东西号限距地髙　　以近总时如前法取之

　　日距地髙　　以日赤道纬及近时如前法检髙弧表月髙下差　　以九求月距地及【本求】日距地如前法检

　　视差表

　　两圏交角　　以日距限限距地髙如前法检交角表

　　【如前加减为定交角】

　　近时差　　　以定交角度及月髙下差如前法检时

　　气差表

　　视行　　　　以近时差与先得时差相减为较若先得时差小以较减之若先得时差大以较加之即为视行又防法倍先得时差内减去近时差得视行亦同

　　真时距分　　以十求内先得时差化秒与近时距分相乗为实以视行化秒为法除之即得

　　真时　　　　置视朔以真时距分加减之即真时【亦以

　　限西加限东减】

　　十二求考定真时

　　真总时　　　复置总时以真时距分加减之【日在限西则加

　　限东则减】即真总时

　　日距限　限距地髙【并以真总时查】　　日距地髙【以真时】月髙下差　　两圏交角【定交角】以上并如前法

　　【真时差气差】　　　以本求【定交角月髙下差】如前法取【时差表内得时差即

　　得气差】

　　以真时距分与月实行化秒相乗为实一小时化秒为法除之得数为真距度【秒六十收为分】

　　食甚定时　　以所得真距度与本求真时差相较若相等者即用真时为食定时【如此即不用后条距较考定法】

　　距较度分　　若【真距度真时差】相较有余分即为距较度分

　　【差数秒不论】

　　距时损益分　以真时距分与距较度分化秒相乗为实十求内先得时差化秒为法除之得数为距时损益分　若真时差大于真距度则为益分　真时差小于真距度则为损分【须记损益分】

　　【考定】真时距分　置真时距分以所得损益分如号损益

　　之即是

　　【考定】食甚时　　复置视朔时以考定真时距分加减之

　　【东减西加并如原号】为考定食甚时

　　十三求食分

　　距时交周　　以实朔与真时相减得较数如前法取

　　四行时表交周度即得【限东为减号限西为加号】

　　定交周　　　置实交周以距时交周加减之即得月实黄纬　　以定交周检太阴距度表【依中比例求之式如左】假如定交周○宫十度十四分求共黄纬

　　一率　全度六十分　二率　三百○七秒三率　小余十四分　四率　　七十一秒以所得四率【七十一秒收为一分一十一秒】如十度黄纬共得黄纬五十二分五十七秒　其纬在北

　　中比例加减法【表上数前少后多者加前多后少者减】

　　辨月纬南北　并视定交用是【○宫　五宫六宫十一宫】其纬在【北南】月视黄纬　　置月实黄纬以气差加减之即得视纬凡月实纬在南以气差加月实纬在北以气差减若实纬在北而气差大于实纬当以实纬转减气差为视纬其纬变北为南

　　并径减距　　置前并径内减去一分再以月视纬减之即并径减距如月视黄纬大于并径不及减则不得食矣

　　食分　　　　倍日半径为一率　十分为二率　并径减距为三率求得四率为食甚分秒

　　十四求初亏时刻

　　日食月行【复圆同用】以日实引检八卷日食月行表【分三表查】五六七宫在最髙限取【二三四八九十】宫在中距限取○一十一宫在髙冲限取【如日实引满十五度进一宫查之】法以月实引宫检直行【如月实引满十五度亦进一宫查之】又以月视黄纬分检上横行取纵横相遇之数即所求日食月行度分

　　前总时　　　以十二求真总时内减一时即前总时日距限【记东西号若真时在限西而初亏限东则为异号】　限距地【并以前总时如法求之】日距地髙　　置真时内减一时如前法以日赤纬检

　　髙弧表

　　月髙下差　　以【九求】月距地及【本求】日距地髙如前法检

　　视差表

　　两圏交角【定交角】以【本求】日距限及限距地检交角表【如前法求之】前时差　　　以【本求】定交角及月髙下差如前法检时

　　气差表

　　差分　　　　以【前真】时差相减并即差分【法恒用减惟定交角过九

　　十度则相并　其东西异号者恒相并惟定交角过九十度则相减】

　　视行　　　　置月实行以差分加减之即得视行

　　日在限【西东】前时差大则【加减】　小则【减加】

　　若差分用并者则恒减【又若食甚真时定交角满象限无真时差可较即用前时差减或初亏定交角满象限无前时差即用真时差减并减实行为视行】

　　初亏距时分　以本求视行化秒为一率一小时六十分为二率置日食月行分内减一分化秒为三率二三相乗为实一率为法除之得数即初亏距时【以满六十分为一时】

　　初亏时刻　　置真时【即食甚】内减去初亏距时分即初

　　亏时刻

　　十五求复圆时刻

　　后总时　　　用十二求真总时加一时即后总时日距限　　　以后总时如前法求之【记东西号若真时在限东复员

　　在限西为异号】

　　限距地髙　　以后总时取之并如前法

　　日距地髙　　用真时加一时以日赤纬检髙弧表【如前法】月髙下差　　以月距地【九求】及本求日距地髙检视差

　　表【如前法】

　　两圏交角【定交角】以本求日距限限距地髙检交角表【如前法】后时差　　　以【本求】定交角及月髙下差检时气差表

　　差分　　　　以后时差与真时差相减并得差分【法同

　　初亏】

　　视行　　　　置月实行以差分加减之即得视行

　　日在限【西东】　后时差大则【减加】小则【加减】

　　【若差分用并者恒减　又若食甚眞时定交角满象限无眞时差可较卽用后时差或复员定交角满象限无后时差亦卽用眞时差法恒用减与初亏同】

　　复圆距时分　置日食月行分【即初亏所用】内减一分化秒为三率一小时六十分为二率本求视行化秒为一率二三相乗为实一率为法除之得复圆距时【分满六十为时】

　　复圆时刻　　置真时恒以复圆距时加之即得十六求宿度

　　黄道宿度　　置日实宫命黄道宫名即食甚时黄道宫度【○宫起星纪】以各宿黄道宿钤近小者去减黄道宫度即得食甚时黄道宿度【记冩宿名】法以所求年距厯元戊辰之算乗嵗差五十一秒加入宿钤然后减之如加嵗差后宿钤转大于食甚黄道不及减退一宿再如法减之【如角宿不及减用轸宿是也】

　　赤道宫度　　以黄道宫度入一卷升度表对度取之【黄道满三十分进一度查】即得所变食甚时赤道宫度【记写宫名】

　　或检仪象志八卷取用亦同

　　赤道宿度　　以所入宿黄道宫度并其宿南北纬度入仪象志八卷内如法求其宿赤道宫度置所得食甚时赤道宫度以本宿赤道宫度减之余为食甚时赤道宿度又法以弧三角求之其法别具【见补遗】

　　定日食方位　食八分以上者初亏正西复圆正东不及八分者防月实黄纬号在南者初亏西南食甚正南复圆东南黄纬号在北者初亏西北食甚正北复圆东北

　　○宫至五宫为阴厯其号在北

　　六宫至十一宫为阳厯其号在南

　　又法不论东西南北惟以人所见日体上下左右为凭详交防管见

　　补遗

　　带食法

　　求日有带食

　　若食在朝者初亏时刻在日出前食在暮者复圆时刻在日入后是有带食也

　　求带食距分

　　若带食在朝者以日出时刻在暮者以日入时刻并与食甚时刻相减余即为食距分

　　辨食分进退

　　凡日出入时刻在食甚前其所带食分为进也【食在朝为不见初亏尚可见食甚复圆日在暮为但见初亏不得见食甚复圆】

　　若日出入时刻在食甚后其所带食分为退也【食在朝为不见初亏食甚但见复圆食在暮为可见初亏食甚不见复圆】

　　若日出入时刻与食甚同则不用更求带食分即以原算食分为日出入时刻所带食分其食十分者为带食既出入【食在朝为不见初亏食在暮为不见复圆】

　　求带食出入之分

　　带【己退方进】之分者以【复圆初亏】距分化秒为法并以带食距分化秒日食月行化秒相乗为实实如法而一得数自乗又以月视黄纬化秒自乗并而开方得数收为分【以六十秒为分】得日出入时距纬以减并径余数以十分乘之为实太阳全径为法除之得日出入时带食之分

　　算赤道宿度用弧三角法

　　一求赤道纬度

　　两极距二十三度三十一分半为一邉本宿距星去黄极度为一邉二邉相加为总相减为较总弧较弧各取余以总弧不过象限两余相减过象限相加并折半得初数　又以黄道经度为对角取其矢【黄道春分后三宫以正夏至后三宫以余并与半径相减为正矢秋分后三宫以正冬至后三宫以余并与半径相加为大矢】以乘初数为实半径为法除之得矢较以加较弧矢得赤道纬度矢矢与半径相加减得本宿赤道纬度正【加矢较后得数小于半径则转减半径为正其纬在北若加后得数大于半径则于内减去半径为正其纬在南】

　　一求赤道经度

　　以所得赤道纬度是北纬与象限相减南纬与象限相加为去北极度用与两极距度相加为总相减为较总较各取余以总弧不过象限两余相减过象限相加并折半为初数　又以宿去黄极度取矢与较弧矢相减得较以乗半径为实初数为法除之得角之矢与半径相加减得本宿赤道经度之【角之矢小于半径为正矢其经度在南六宫若矢度大于半径为大矢其经度在北六宫】

　　春分至秋分半周为北六宫所得为大矢当于得数内减半径为赤道经度之

　　春分后三宫为赤道正　夏至后三宫为赤道余

　　秋分至春分半周为南六宫所得为正矢当置半径以得数减之为赤道经度之

　　春分后三宫为赤道正　夏至后三宫为赤道余

　　作日食总图法【依旧法稍爲酌定】

　　先定东西南北之向

　　作正十字线其横者黄道也以左为东以右为西其立者黄道经圏也以上为北以下为南次以十字交处为心太阳半径为界规作图形以象太阳光体太阳居十字正中则东西南北各正其位矣

　　次定食限

　　十字心为心太阳太阴两半径相并为度【用太阳半径原度以后量视纬亦同】规作大圆于太阳之外是为食限太阴心到此圏界始得与太阳相切过此则不食也

　　次求月道

　　实交周在○宫十一宫为月道由阳厯入阴厯也法于圆周上下各自南北线左旋数五度识之【圆周并分三百六十度】若实交周是五宫六宫为月道由阴厯入阳厯也则于圆周上下各自南北线右旋数五度识之并以所识聫为直线必过圆心是为月邉上经线也于此线上从圆心量至月视黄纬为度【视纬在北自圆心向上量之视纬在南自圎心向下量之】即食甚时月心所到防也于此防作横线与月道经线相交如十字则自亏至复月行之道也此线两端引长与大圏相割东西各有一防即为初亏复圆时月心所到之防也【西为初亏东为复圆】

　　次考食分

　　初亏食甚复圆三防各为心以太隂半径为度作圆形以象月体即见初亏时太隂来掩太阳其邉相切复圆时太隂已离太阳其光初满食甚时太阴心与太阳心相距最近食分最深若以太阳全径分为十分则所掩分数惟此时与所算相符故谓之食甚也

　　又初亏时或在日体正西或在西南西北复圆时或在日体正东或在东南东北食甚时或在日体正南或在正北或食十分则正相掩无南北并以太阳心为中论其南北东西一一皆如所算　又或有时太隂全径小于太阳全径十秒以上两心虽正相掩不能全食当依月径于太阳光界之内规作太隂即见四面露光之象为金环食也

　　辨日实度大小法

　　凡论日食在限东西并以日实度大于黄平限度则食在限东若小于黄平限度则食在限西其法有三其一日实度与限度同在一宫之内即以度分之多少为大小

　　假如限度在寳瓶宫十度日实度在寳瓶宫十五度是日实度大则内减限度得食在限东五度也　若日实度在寳瓶宫七度是日实度小则置限度以日实度减减之得食在限西三度也

　　其二日实度与限度不同宫则以一宫通作三十度然后相较

　　假如限度在寳瓶宫十度日实度在双鱼宫十五度法以寳瓶宫十度作四十度【寳瓶是一宫一宫者三十度也既原带有三十度加入今限度十度共得限度四十度为自○宫初度算起也】以双鱼宫十五度作七十五度【双鱼是二宫原带有六七度加入今日实度十五度共得日实度七十五度亦自○宫初度算起也】相减得日实度大于限度三十五度为食在限东之距也若限度在寳瓶十度而日实度在磨羯十五度法以实瓶十度作四十度【解见上】与磨羯十五度相减【磨羯是○宫故只用本度亦是从○宫初度起算】得日实度小于限度二十五度为食在限西之距也

　　其三日实度与限度不同宫而其宫相隔太逺如一在磨羯寳瓶双鱼一在天秤天蝎人马则以加十二宫之法通之然后相较

　　假如限度在天蝎十五度日实度在寳瓶十度相隔太逺【天蝎是十宫寳瓶是一宫相隔九宫是太逺也】法当于寳瓶加十二宫得十三宫十度内减天羯十宫余三宫十度作一百度内又减天蝎宫原有十五度余八十五度为日实度大于限度之距而食在限东

　　又如限度在双鱼宫五度日实度在人马宫二十五度【双鱼是二宫人马是十一宫相隔九宫】法当于双鱼加十二宫得十四宫○五度内减人马十一宫余三宫○五度作九十五度内又减人马宫原有二十五度余七十度为日实度小于限度之距而食在限西

　　凡限度为地平上黄道半周之最髙度日实度或在其东或在其西皆距限度在一象限内若过象限即在地平以下不得见食矣故无隔三宫以上之事然反有隔九宫以上者右旋一周之度毕于人马【十一宫】而复起磨羯【○宫】故以加十二宫之法通之而隔九宫以上者距度反近亦只在三宫以下为象限内而已

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十六>

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十六>

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十六>

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十六>

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十六>

　　厯算全书卷二十六

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

　　钦定四库全书

　　歴算全书卷二十七

　　宣城梅文鼎撰

　　交食防求卷二

　　日食附说

　　第一求

　　恒年表以首朔为根何也曰首朔者年前冬至后第一朔也因算交防必于朔望故以此为根也根有五种曰干支也太阳太隂各平引也太隂交周太阳经度各平行也太阳太隂各二而干支者所以纪之也西厯于七政皆起子正而此处首朔日食有小余者交防无一定之时故也纪日者年前冬至次日之干支也首朔日时者年前十二月朔距冬至之日时也以此相加得首朔之干支及其小余矣于是再以逐月之朔实加之得各月平朔干支及其小余矣

　　太阳平引与其经度不同何也曰太阳引数从最髙冲起算而经度从冬至起算也冬至定于○宫初度最髙冲在冬至后六七度且每年有行分此西厯与古法异者也

　　第二求

　　日定均者即古法之盈缩差也月定均者迟疾差也距弧者平朔与实朔进退之度也距时者平朔实朔进退之日时也因两定均生距弧因距弧生距时即古法之加减差也

　　第三求第四求五求

　　平朔既有进退矣则此进退之时刻内亦必有平行之数故各以加减平行而为实引也实引既不同平引则其均数亦异故又有实均以生实距弧及实距时也夫然后以之加减平朔而为实朔也

　　平朔古云经朔实朔古云定朔然古法定朔即定于第二求之加减差其三求四求之法古亦有之谓之定盈缩定迟疾则惟于算交食用之而西厯用于定朔此其微异者也

　　第六求【原为第九】

　　朔有进退则交周亦有进退故有实交周按古法亦有定交周其法相同然必先求次平行者以实朔原有两次加减也只用月实均者其事在月也其序原居第九今移此者以辨食限也

　　第七求【原为第六】

　　经度有次平行者以实朔有两次加减故经行亦有两次加减乃得日实度也只用日实均者其事在日也

　　第八求

　　问平朔者古经朔也实朔者古定朔也何以又有视朔曰此测騐之理因加减时得之古法所无也

　　何以谓之加减时曰所以求实朔时太阳加时之位也盖厯家之时刻有二其一为时刻之数其一为时刻之位凡布算者称太阳右移一度稍弱为一日又或动天左旋行三百六十一度稍弱为一日此则天行之健依赤道而平转其数有常于是自子正厯丑寅复至子正因其运行之一周而均截之为时为刻以纪节以求中积所谓时刻之数也凡测者称太阳行至某方位为某时为某刻此则太虚之体依赤道以平分其位一定于是亦自子正歴丑寅复至子正因其定位之一周而均分之为时为刻以测加时以凌犯所谓时刻之位也之二者并宗赤道宜其同矣然推二分之日黄赤同防【经纬并同】二至之日黄赤同经【纬异经同】则数与位合【所算时刻之数太阳即居本位与所测加时之位一一相符】不用加减时其过此以徃则二分后有加分加分者太阳所到之位在实时西二至后有减分减分者太阳所到之位在实时东也然则所算实朔尚非实时乎曰实时也实时何以复有此加减曰正惟实时故有此加减若无此加减非实时矣盖此加减时分不因里差而异【九州万国加减悉同非同南北东西差之随地而变】亦不因地平上髙弧而改【髙弧虽有髙下加减时并同非若地半径及蒙气防差之以近地平多近天顶少】而独与实时相应【但问所得实时入某节气或在分至以后或在分至以前其距分至若同即其加减时亦同是与实时相应也】故求加减时者本之实时而欲辨实时之真者亦即徴诸加减时矣

　　其以二分后加二至后减何也曰升度之理也凡二分以后黄道斜而赤道直故赤道升度少升度少则时刻加矣二至以后黄道以腰围大度行赤道杀狭之度故赤道升度多升度多则时刻减矣

　　假如所算实朔巳定于某日午正时而以在二分后若干日当有加分则太阳加时之位必在午正稍西从而测之果在午正之西与加分数合即知实朔之在午正者真也

　　又如所算实朔是未正而在二至后当有减分太阳加时之位必在未正稍东从而测之果在未正之东与减分数合即知实朔之在未正者确也

　　加减时即视时也一曰用时其实朔时一曰平时加减时之用有二其一加减实时为视时则施之测騐可以得其正位如交食表之加减是其正用也其一反用加减以变视时为实时则施诸推步可以得其正算如月离表之加减是其反用也然其理无二故其数亦同也【月离表改用时为平时即是据所测视时求其实时以便入算】

　　古今测騐而得者并以太阳所到之位为时故曰加时言太阳加临其地也然则皆视时而已视时实时之分自厯书始发之然有至理厯家所不可废也

　　第九求【原为十求】

　　月距地者何即月天之半径也月天半径而谓之距地者地处天中故也地恒处天中则半径宜有恒距而时时不同者生于小轮也月行小轮在其髙度则距地逺矣在其卑度则距地近矣每度之髙卑各异故其距地亦时时不同也

　　日半径月半径者言其体之视径也论其真体日必大于月论其视径日月略相防所以能然者日去人逺月去人近也然细测之则其两视径亦时时不防此其故亦以小轮也日月在小轮髙处则以逺目而损其视径在其卑处则以近日而増其视径矣

　　检表法不同者视半径表并起最髙而加减表太阳引数起最卑太隂引数起最髙故月实引只用本数而日实引加减六宫也

　　并径者日月两半径之縂数也两半径时时不同故其并径亦时时不同而时分之深浅因之亏复之距分因之矣

　　月实行者一小时之实行也其法以月距日之平行每日分为二十四限即一小时平行也各以其应有之加减分加减之即一小时之实行也虽亏复距甚未必皆为一小时而以此为法所差不逺【此与授时用迟疾行度内减八百二十分者同法】

　　第十求【原为十一】

　　縂时者何也以求合朔时午正黄道度分也何以不言度而言时以便与视朔相加也然则何不以视朔变为度曰日实度者黄道度也时分者赤道度也若以视朔时变赤道度亦必以日实度变赤道度然后可以相加今以日实度变为时即如预变赤道矣此巧算之法也其必欲求午正黄道何也曰以求黄平象限也【即表中九十度限】何以为黄平象限曰以大圏相交必互相均剖为两平分故黄赤二道之交地平也必皆有半周百八十度在地平之上【黄道赤道地平并为浑圆上大圏故其相交必皆中剖】其势如虹若中剖虹腰则为半周最髙之处而两旁各九十度故谓之九十度限也此九十度限黄赤道并有之然在赤道则其度常居正午以其两端交地平常在卯正酉正也黄道则不然其九十度限或在午正之东或在午正之西时时不防【惟二至度在午正则九十度限亦在午正与赤道同法此外则无在午正者而且时时不同矣】其两端交地平亦必不常在卯正酉正【亦惟二至度在午正为九十度限则其交地平之处即二分防而黄道与赤道同居卯酉此外则惟赤道常居卯酉而黄道之交于地平必一端在赤道之外而居卯酉南一端在赤道之内而居卯酉北】而时时不等故也【黄道东交地平在卯正南其西交必酉正北而九十度限偏于午规之西若东交地平在卯正北其西交地平必酉正南而九十度限偏于午正之东则半周如虹者时时转动势使然也】盖黄道在地平上半周之度自此中分则两皆象限若从天顶作线过此以至地平必成三角而其势平过如十字故又曰黄平象限也【地平圏为黄道所分亦成两半周若从天顶作弧线过黄平象限而引长之成地平经度半周必分地平之两半周为四象限而此经线必北过黄极与黄经合而为一】

　　问黄平象限在午正必二至日有之乎曰否每日有之也凡太阳东升西没成一昼夜则周天三百六十度皆过午正而西故每日必有夏至冬至度在午正时此时此刻即黄平象限与子午规合而为一每日只有二次也自此二次之外二至必不在午正而黄平象限亦必不在二至矣观浑仪当自知之

　　黄平象限表以极出地分何也曰凖前论地平上黄道半周中折之为黄平象限其两端距地平不防而自非二至在午正则黄道之交地平必一端近北一端近南【亦前论所明】极出地渐以髙则近北之黄道渐以出近南之黄道渐以没而黄平象限亦渐以移此所以随地立表也

　　求黄平象限何以必用縂时曰黄平象限时时不同即午规之地亦时时不同是午正黄道与黄平象限同移也则其度必相应是故得午正即得黄平【黄平限为某度其午正必为某度谓之相应然则午正为某度即黄平限必某度矣故得此可以知彼】而縂时者午正之度也此必用縂时之理也

　　日距限分东西何也曰所以定时差之加减也【凡用时差日在限西则加日在限柬则减】

　　日距地髙何也曰所以求黄道之交角也【时差气差并生于交角又生于限距地及限距日】二者交食之关键而非黄平象限无以知之矣

　　日距地髙何也谓合朔时太阳之地平纬度也亦曰髙弧髙弧之度随节气而殊故论赤纬之南北赤纬之南北同矣又因里差而异故论极出地极出地同矣又以加时而变故又论距午刻分极出地者南北里差距午刻分者东西里差也合是数者而日距地平之高可见矣

　　日赤纬加减宫数者何也纬表○宫起春分而日实度○宫起冬至故三宫以下加九宫三宫以上减去三宫以宫数变从纬表也

　　视朔时加减十二时者何也求太阳距午刻分也日在地平上之弧度惟正午为髙其余则渐以下或在午前或在午后皆以距午为防其距午同者髙弧之度亦同也视朔满十二小时是朔在午后也故内减十二时用其余为自午正顺数若不满十二时是朔在午前则置十二时以视朔减之而用其余为自午正逆推即各得其距午之刻分矣

　　其必求髙弧者何也所以求月髙下差也髙下差在月而求日距地髙者日食时经纬必同度故日在地平之髙即月髙也

　　何以为月髙下差曰合朔时太隂之视髙必下于真髙其故何也月天在日天之内其间尚有空际故地心与地面各殊地所见谓之视髙以较地心所见之真髙徃徃变髙为下以人在地靣傍视而见其空际也故谓之月髙下差【地心见食谓之真食地靣见食谓之视食真食有时反不见食见视食时反非地心之真食纵使地心地靣同得见食而食分深浅亦必不同凡此皆月髙下差所为也】

　　月髙下差时时不同其縁有二其一为月小轮髙卑即第九求之月距地数也在小轮卑处月去人近则距日逺而空际多髙下差因之而大矣在小轮髙处月去人逺则距日近而空际少髙下差因之而小矣其一为髙弧即本求之日距地髙也髙弧近地平从旁视而所见空际多则髙下差大矣髙弧近天顶即同正视而所见空际少则髙下差小矣【若髙弧竟在天顶即与地心所见无殊无髙下差】小轮髙卑天下所同髙弧损益随地各异故当兼论也两圏交角何也曰日所行为黄道圏以黄极为宗者也人在地平上所见太阳之髙下为地平经圏以天顶为宗者也此两圏者各宗其极则其相遇也必成交角矣因此交角遂生三差日食必求三差故先论交角也何以谓之三差曰髙下差也东西差也南北差也是谓三差

　　三差之内其一为地平纬差即髙下差前条所论近地平而差多者也其一为黄道经差即东西差其一为黄道纬差即南北差此三差者惟日食在九十度限则黄道经圏与地平经圏【即髙弧】相合为一而无经差故但有一差【无经差则但有纬差是无东西差而有南北差也而两经纬既合为一则地平之髙下差又即为黄道之南北差而成一差】若日食不在九十度而或在其东或在其西则两经圏不能相合为一遂有三差【月髙下差恒为地平髙弧之纬差而黄道经圏自与黄道为十字正角不与地平经合以生经度之差角是为东西差又黄道上纬度自与黄道为平行不与地平纬度合以生纬度之差角是为南北差东西南北并主黄道为言与地平之髙下差相得而成句股形则东西差如句南北差如股而髙下差常为之合之则成三差也】因此三差有此方见日食彼方不见或此见食分深彼见食分浅之殊故交食重之而其源皆出于交角

　　得数减象限何也以表所列为余角也表何以列余角曰三差既为句股形则有两圏之交角即有其余角而交角所对者为气差【即南北差】余角所对者为时差【即东西差】作表者盖欲先求时差故列余角然与两圏交角之名不相应故减象限而用其余以归交角本数也

　　定交角何也所以求三差之真数也何以为三差真数曰日食三差皆人所见太隂之视差而其根生于交角则黄道之交角也殊不知太隂自行白道与黄道斜交其交于地平经圏也必与黄道之交不同角则所得之差容有未真今以隂阳厯交黄道之角加减之为定交角以比两圏交角之用为亲切耳【详补遗】时差古云东西差其法日食在东则差而东为减差减差者时刻差早也日食在西则差而西为加差加差者时刻差迟也其故何也太阳之天在外太隂之天在内并东陞而西降而人在地靣所见之月度既低于真度则其视差之变髙为下者必顺于黄道之势故合朔在东陞之九十度必未食而先见【限东一象限东下西髙故月之真度尚在太阳之西未能追及于日而以视差之变髙为下亦遂能顺黄道之势变西为东见其掩日矣】若合朔在西降之九十度必先食而后见【限西一象限黄道西下东髙故月之真度虽已侵及太阳之体宜得相掩而以视差之故变髙为下遂顺黄道之势变东而西但见其在太阳之西尚逺而不能掩日矣】而东西之界并自黄道九十度限而分此黄平象限之实用也问日月以午前东升午后西降何不以午正为限而用黄平象限乎曰此西法之合理处也何以言之日月之东升西降自午正而分者赤道之位终古常然者也日月之视差东减西加自九十度限而分者黄道之势顷刻不同者也若但从午正而分则加减或至于相反授时古法之交食有时而踈此其一端也问加减何以相反曰黄平限既与午正不同度则在限为西者或反为午正之东在限为东者或反为午正之西日食遇之则加减相违矣假如北极出地四十度设午正黄道【即縂时】为寳瓶十七度其黄平限为防鱼十一度在午正东二十四度而日食午初日实度躔二宫二度在限西九度宜有加差若但依午正而分则食在午前反当有减差是误加为减算必先天矣又设午正为天蝎二度其黄平象限为天秤八度在午正西二十四度而日食午正后二刻日实度躔九宫二十四度距限东十六度宜有减差若但依午正而分则食在午后反有加差是又误减为加算必后天矣

　　时差表有倒用之说何也曰此亦因交角表误列余角也今既以交角表之数减九十度为用则交角已归原度而此表不湏倒用矣

　　近时距分者何也即视朔时或加或减之时刻分也所以有此加减者时差所为也然何以不径用时差曰时差者度分也以此度分求月之所行则为时分矣【查厯指所谓时差即近时距分而东西差即时差表皆易之今姑从表以便查数也】

　　近时何也所推视朔时与真朔相近之时也食在限东此近时必在视朔时以前故减食在限西近时必在视朔时以后故加

　　十一求【原为十二】

　　近縂时何也近时之午正黄道度也朔有进退午正之黄道亦因之进退故仍以近时距分加减十求之视朔午正度为本求之近时午正度

　　既有近时又有近时之午正度则近时下之日距限及距限地髙日距地髙以及月髙下差两圏交角凡在近时应有之数一一可推因以得近时之时差矣【内除月距地数在九求日赤纬在十求并用原数其余并改用近时之数故皆复求然求法并同十求】既得时差可求视行

　　视行者何也即近时距分内人目所见月行之度也何以有此视行曰时差所为也盖视朔既有时差则此时差所到之度即视朔时人所见月行所到差于实行之较也视朔既改为近时则近时亦有时差而又即为人所见近时月行所到差于实行之较矣此二者必有不同则此不同之较即近时距分内人所见月行差于月实行之较矣故以此较分加减时差为视行也本宜用前后两小时之时差较加减月实行为视行【如用距分减视朔者则取视朔前一小时之时差若距分加视朔者则取视朔后一小时之时差各取视朔时差相减得较以加减月实行即为一小时之视行】再用三率比例得真时距分法为月视行与一小时若时差度与真时距分也今以近时内之视行取之其所得真时距分防

　　何以明其然也曰先得时差即近时距分之实行也实行之比例防则视行之比例亦防

　　一　一小时实行　一小时视行　法为一小时之实行与二　一小时　　　一小时　　　一小时若时差度与近三　时差【近时距分之实行】视行【即近时距分之视行】时距分则一小时之视四　近时距分　　近时距分　　行与一小时亦若视行

　　度与近时距分也

　　一　一小时视行　视行　　　　今一小时视行与一小二　一小时　　近时距分　　　时既若时差与真时距

　　三　时差　　　时差　　　　　分则视行与近时距分四　真时距分　真时距分　　　亦必若时差与真时距

　　分矣

　　问视行之较一也而或以加或以减其理云何曰凡距分之时刻变大则所行之度分变少故减实行为视行若距分之时刻变小则所行之度分变多故加实行为视行假如视朔在黄平限之东时差为减差而近时必更在其东其时差亦为减差乃近时之时差所减大于视朔所减是为先小后大其距分必大于近时距分而视行小于实行其较为减又如视朔在黄平限之西时差为加差而近时必更在其西时差亦为加差乃近时之时差所加大于视朔所加是亦为先小后大其距分亦大于近时距分而视行亦小于实行故其较亦减二者东西一理也若视朔在黄平限东其时差为减而近时时差之所减反小于视朔所减又若视朔在黄平限西其时差为加而近时时差之所加反小于视朔所加此二者并先大后小则其距分之时刻变小矣时刻变小则视行大于实行而其较应加东西一理也

　　如图戊爲黄平象限甲爲视朔甲乙爲视朔时差甲丙甲丁并近时时差其甲乙时差爲视朔时顺黄道而差低之度变爲时卽爲近时距分此分在限东爲减差若在限西

　　卽爲加差其理一也若以甲丙爲近时差则大于甲乙其较度乙丙依实行比例求其较时则距分变而大矣距分变大者行分变小法当于甲乙差度内减去乙丙较度【卽乙庚】其余如甲庚则是先定甲乙距分行行甲乙度者爲实行而今定甲乙距分只行甲庚度者爲视行也故在东在西皆减也

　　又若以甲丁爲近时差则小于甲乙其较乙丁依实行比例求其较时则距分变而小矣距分变小者行分变大法当于甲乙差度外加入乙丁较度【亦卽乙庚】成甲庚则是先定甲乙距分行甲乙度者为实行而今定甲乙距分能行甲庚度者为视行也故在东在西皆加也防法用倍时差减近时差何也曰即加减也何以知之曰凡时差先小后大者宜减今于倍小中减一大是于先得时差内加一小时差减一大时差也即如以较数减先时差矣先大后小者宜加今于倍大内减一小是于先得时差内加一大时差减一小时差也即如以较数加先时差矣数既相合而取用不烦法之善者也真时距分者何也即视朔时或加或减之真时刻也其数有时而大于近时距分亦有时而小于近时距分皆视行所生也视行小于实行则真时距分大于近时距分矣视行大于实行则真时距分小于近时距分矣其比例为视行度于近时距分若时差度与真时距分也真时何也所推视朔之真时刻也真时在限东则必早于视朔之时真时在限西则必迟于视朔之时此其于视朔并以东减西加与近时同惟是真时之加减有时而大于近时有时而小于近时则惟以真时距分为防不论东西皆一法也

　　若真时距分大于近时距分而在限东则真时更先于近时在限西则真时更后于近时是东减西加皆比近时为大也若真时距分小于近时距分而在限东则真时后于近时在限西则真时先于近时是东减西加皆比近时为小也

　　十二求【原为十三】

　　真縂时何也真时之午正黄道也故仍以真时距分加减视朔之縂时为縂时【即是改视朔午正度为真时午正度】

　　近时既改为真时即食甚时也然容有未真故复考之考之则必于真时复求其时差而所以求之之具并无异于近时所异者皆真时数耳【谓日距限限距地髙日距地髙月髙下差两圏交角防项并从真时立算】是之谓真时差

　　既得真时差乃别求真距度以相考则食甚定矣【考定真时全在此处】何以为真距度曰即真时距分内应有之月实行也盖真时差是从真时逆推至视朔之度真时距分内实行是从视朔顺推至真时之度此二者必相等故以此考之考之而防则真时无误故即命为食甚定时也

　　其或有不防之较分则以法变为时分而损益之于是乎不防者亦归于相防是以有距较度分考定之法也距较度分者距度之较也损益分者距时之较也其比例亦如先得时差度与真时距分故可以三率求也真时差大者其距时亦大故以益真时距分益之则减者益其减原在限东而真时早者今乃益早若加者亦益其加原在限西而真时迟者今则益迟矣　真时差小者其距时亦小故以损真时距分损之则减者损其减原在限东而真时早者今改而稍迟若加者亦损其加原在限西而真时迟者今改而稍早矣

　　如是考定真时距分以加减视朔为真时即知无误可谓之考定食甚时也

　　气差古云南北差凖前论月在日内人在地靣得见其间空际故月纬降髙为下夫降髙为下则亦降北为南矣此所以有南北差也【南北差生于地势中国所居在赤道之北北髙南下故也】然又与髙下差异者自天顶言之曰髙下自黄道言之曰南北惟在正午则两者合而为一髙下差即为南北差其余则否

　　气差与时差同根故有时差即有气差而前此诸求但用时差者以食甚之时未定重在求时也今则既有真时矣当求食分故遂取气差也【时差气差并至真时始确】

　　十三求【原为十四】

　　距时交周何也即实朔距真时之交周行分也故以实朔与真时相减之较查表数然何以不用视朔曰原算实交周是实朔故也

　　定交周者何也真时之月距交度也食甚既定于真时则一切视差皆以食甚起算故必以实朔交周改为食甚之交周斯之谓定交周也月食黄纬者食甚时月行隂阳厯实距黄道南北之纬度也月视黄纬者食甚时人所见月距黄道南北纬度则气差之所生也月行白道日行黄道帷正交中交二防月穿黄道而过正在黄道上而无距纬其距交前后并有距纬而每度不同然有一定之距是为实纬实纬因南北差之故变为视纬即无一定之距随地随时而异但其变也皆变北为南假如月行隂厯实纬在黄道北则与黄道实逺者视之若近焉故以气差减也若月行阳厯实纬在黄道南则与黄道实近者视之若逺焉故以气差加也至若气差反大于实纬则月虽隂厯其实在黄道北而视之若在南故其气差内减去在北之实纬而用其余数为在南之视纬也

　　并径减距者何也并径所以定食分减距所以定不食之分也距者何也卽视纬也并径则日月两半径之合数也假令月行阴厯其北纬与南北差同则无视纬可减而并径全爲食分其食必旣其余则皆有距纬之减而距大者所减多其食必浅距小者所减少其食必深是故并径减余之大小卽食分之所由深浅也若距纬大于并径则日月不相及或距纬等于并径则日月之体相摩而过不能相掩必无食分矣

　　并径内又先减一分何也曰太阳之光极大故人所见之食分必小于眞食之分故预减一分也

　　然则食一分者卽不入算乎曰非也并径之分度下分也【毎六十分爲一度】食分之分太阳全径之分也【以太阳全径十平分之假令太阳全径三十分则以三分爲一分】是故并径所减之一分于食分只二十余秒

　　问日月两半径旣时时不同则食分何以定曰半径虽无定而比例则有定但以并径减余与太阳全径相比则分数覩矣【分太阳全径爲十分卽用爲法以分并径减距之余分定其所食爲十分中几分】有时太阴径小于太阳则虽两心正相掩而四面露光厯家谓之金环是其并径亦小于太阳全径虽无距纬可减而不得有十分之食故也【细草原用表今改用三率其理较明法亦简易】

　　十四求

　　日食月行分者何也乃自亏至甚之月行度分也【自甚至复同用】其法以并径减一分常为视纬常爲句句求股卽得自食甚距亏与复之月行度分矣

　　【按此卽授时厯开方求定用分之法所异者并径时时增减与旧法日月视径常定不变者殊耳】

　　前总时何也卽食甚前一小时之午正度也得此午正度卽可得诸数以求前一小时之时差谓之前时差前时差与眞时差之差分卽视行与实行之差分故以差分加减实行得视行也假如日在限西而前时差大于眞时差是初亏所加多而食甚所加反少也以此求亏至甚之时刻则变而小矣时刻小则行分大故以差分加实行爲视行若日在限西而前时差小于眞时差是初亏所加少而食甚所加渐多也以此求亏至甚之时刻则变而大矣时刻大则行分必小故以差分减实行爲视行若日在限东而前时差大于眞时差是初亏所减多而食甚所减渐少也以此求亏至甚之时刻则变而大矣时刻大者行分小故以差分减实行爲视行若日在限东而前时差小于眞时差是初亏所减少而食甚所减反多也以此求亏至甚之时刻则变而小矣时刻小者行分大故以差分加实行爲视行食甚定交角满象限不用差分何也无差分也何以无差分曰差分者时差之较也食甚在限度卽无食甚时差无可相较故初亏径用前时差复圆径用后时差又食甚在限度则初亏距限东而前时差恒减复圆距限西而后时差恒加减时差则初亏差而早加时差则复圆差而迟其距食甚之时刻并变而大也时刻大者行分小故皆减实行为视行【又若初亏复圆时定交角满象限亦无差分而径用食甚之时差减实行爲视行与此同法其初亏复圆距食甚之刻分亦皆变大而行分变小也视行之理此爲较着】初亏距时分者初亏距食甚之时刻也用上法得视行爲食甚前一小时之数而初亏原在食甚前则其比例爲视行之于一小时犹日食月行之于初亏距时故可以三率取之也【日食月行减一义见前条】

　　既得此初亏距分则以减食甚而得初亏时刻也

　　十五求

　　后縂时者即食甚后一小时之午正度分也用此午正度得诸数以求后一小时之时差为后时差又以后时差与真时差相较得差分以加减实行为视行并同初亏但加减之法并与初亏相反

　　假如日在限西而后时差大于真时差是食甚所加少而复圆所加多则甚至复之时刻亦变而大矣时刻大者行分小故以差分减实行为视行

　　若日在限西而后时差小于真时差是食甚所加多而复圆所加反少则甚至复之时刻亦变而小矣时刻小者行分大故以差分加实行为视行

　　假如日在限东而后时差大于真时差是食甚所减少而复圆所减反多则甚至复之时刻变而小矣时刻小者行分大故以差分加实行为视行

　　若日在限东而后时差小于真时差是食甚所减多而复圆所减少则甚至复之时刻变而大矣时刻大者行分小故以差分减实行为视行【食甚在限度求视行之理已详十四求】复圆距时分三率之理并与初亏同惟复圆原在食甚后故加食甚时刻为复圆时刻

　　十六求

　　黄道宫度内减宿钤何也黄道宫度起冬至各宿黄道起距星也凡距星所入宫度必小于日实度宫度故以相减之较为食甚时所入本宿度分也其每年加五十一秒者恒星东行之度即古嵗差法也因嵗差所加故有宿钤在日实度以下而变为日实度以上则食甚时所入非其宿矣故退一宿用之也其以嵗差【五十一秒】乘距算【本年距歴元戊辰】之数各宿并同虽退一宿所加不异也赤道宫度可以升度取者黄道上升度一定也若赤道宿度则不可以升度取何也各宿距星多不能正当黄道而在其南北各有纬度故必以弧三角求之为正法也

　　此后原有十七求以算东西异号今省不用何也曰东西异号之算厯书语焉不详故细草补作之亦有思致但所求者仍为黄平象限之东西故必复求定交角今于十四求十五求即得定交角为白道限度之东西简易直防可不必更多葛藤矣故省之也

　　附说补遗

　　求縂时条加减十二时

　　问求縂时与求日距地髙二条并以视朔与十二时相加减然后用之而用法不同何也曰求縂时条是欲得午正黄道距春分之升度故并从午正后顺推【如视朔过十二时则内减十二时而用其余数是从午正后数其距视朔之时刻也若视朔不及十二时则以十二时加之是从先日午正后数其距今视朔之时刻也故其法皆为顺数】日距地髙条是欲得视朔距午正之度故各从午正前后顺推逆数【如视朔为十二时去之而用其余数是从视朔时逆推其己过午正之刻也若视朔不满十二时则置十二时以视朔时减之而用其余数是从视朔顺数其未及午正之刻也　其视朔满十二时减去之两法并同惟视朔不满十二时用法则异】

　　附又法

　　问视朔在午前若用减十二时法亦可以得縂时乎曰可其法亦如求日距地髙置十二时以视朔时减之求到视朔未至午之刻去减日实度距春分时刻【即九十度表第二行对日实度之时刻】亦即得縂时与上法同此法可免加满二十四时去之然遇日实度距春分时刻不及减又当加二十四时然后可减矣假如日实度是春分后相距只一时而视朔在午正前三时是爲日实度小不及减法当以日实度加二十四时作二十五时减去三时余二十二时爲总时

　　定交角或问

　　问定交角满象限以上反其加减何也曰此变例也西厯西加东减并以黄道九十度限爲宗今用定交角则是以白道九十度限爲宗而加减因之变矣

　　问白道亦有九十度限乎歴书何以未言曰歴书虽未言然以大圏相交割之理征之则宜有之矣何则月行白道亦分十二宫【视月纬表可见】则亦爲大圏其交于地平也亦半周在地平上则其折半之处必爲白道最高之处而亦可名之爲九十度限矣【或可名白道限度】

　　若从天顶作高弧过此度以至地平则成十字正角而其圏必上过白道之极成白道经圏与黄平象限同【黄平象限上十字经圏串天顶与黄道极故亦成黄道经圏与此同理】月在此度卽无东西差而南北差最大与高下差等【前论月在黄平象限无东西差而卽以高下差爲南北差其理正是如此但月行白道当以白道爲主而论其东西南北始爲亲切】若月在此度以东则差而早宜有减差在此度以西则差而迟宜有加差但其加减有时而与黄平象限同有时而与黄平限异故有反其加减之用也

　　问如是则白道亦有极矣极在何所曰白道有经有纬【凡东西差皆白道经度南北差皆白道纬度】则亦有南北二极为其经纬之所宗但其极与黄极恒相距五度以为定纬【虽亦有小小増减而大致不变】其经度则嵗嵗迁动至满二百四十九交而徧于黄道之十二宫则又复其始【约其数十九年有竒】法当以黄极为心左右各以五纬度为半径作一小圆以为载白道极之圏再以正交中交所在宫度折半取中即于此度作十字经圏必串白道极与黄道极矣则此圏之割小圆防即白道极也问何以知此圏能过黄白两极也曰此圏于黄道白道并作十字正角故也【凡大圏上作十字圏必过其极】问此圏能串两极则限度常在此度乎曰不然也此度能串黄白两极而未必其串天顶如黄道上极至交圏也若限度则必串天顶以过白极而未必其过黄极如黄道上之黄平限也是故白道上度处处可为限度亦如黄道上度处处可为黄平限但今在地平上之白道半周某度最髙即其两邉距地平各一象限从此度作十字经圏必过天顶而串白道之两极何也此圏过地平处亦皆十字角即与地平经圏合而为一所谓月髙下差即在此圏之上矣【惟白道半交为限度能与黄平限同度此外则否况近交乎故必用定交角也】

　　以定交角推白道限度

　　白道限度大约在黄道交角之八十五度【定交角三此满象限过此则有异号】

　　若太隂定交周是○宫十一宫而黄平限在午正之东乃白道限度则更在其东而原以限东宜减者今或以定交角大而变为限西宜加矣

　　若定交周是五宫六宫而黄平限在午正西白道限度必更在其西而原以限西宜加者今或以定交角大而变为限东宜减矣

　　以上二宗并离午正益逺交食遇此则古法益踈而新法犹近

　　若定交周是○宫十一宫而黄平限在午正西乃白道限度或尚在其东而原以限东宜减者今以定交角大而变为限西宜加矣

　　若定交周是五宫六宫而黄平限在午正东乃白道限度或尚在其西而原以限西宜加者今以定交角大而变为限东宜减矣

　　以上二宗并离黄平限而近午正交食遇此则有时古法反亲而新法反踈若白道限度径在午正则古法宻合矣

　　由是之加减东西差宜论白道明甚厯书略不言及岂非缺陷之一大端

　　问定交角者所以变黄道交角为白道交角也然何以不先求白道限度曰交角者生于限度者也交角变则限度移矣故先得限度可以知交角【交角之向指以距限东西而异交角之大小以距限逺近而殊】而既得交角亦可以知限度故不必复求限度也

　　其加减以五度何也曰取整数也古厯测黄白大距为六度【以西度通之得五度五十四分竒】西厯所测只五度竒而至于朔望又只四度五十八分半今论交角故祗用整数也【若用弧三角法求白道限度所在及其距地之髙并可得交角细数然所差不多盖算交食必在朔望又必在交前交后故也】

　　问五度加减后何以有异号不异号之殊曰近交时白道与黄道低昻异势者也【惟月在半交能与黄道平行亦如二至黄道之与赤道平行也若交前交后斜穿黄道而过不能与黄道平行亦如二分黄道之斜过赤道也故低昻异势】然又有顺逆之分而加减殊焉其白道斜行之势与黄道相顺者则恒减减惟一法【减者角损而小也虽改其度不变其向】若白道与黄道相逆者则恒加加者多变遂有异号之用矣【加者角増而大也増之极或满象限或象限以上遂至改向】

　　是故限西黄道皆西下而东髙限东黄道皆西髙而东下此黄道低昻之势因黄平象限而异者也而白道正交【○宫十一宫也即古法之中交】自黄道南而出于其北亦为西下而东髙【黄道半周在地平上者偏于天顶之南以南为下北为上正交白道自南而北如先在黄道之下而出于其上故比之黄道为西下而东髙也】白道中交【五宫六宫也即古法之正交】自黄道北而出于其南亦为西髙而东下【白道自北而南如先在黄道之上而出于其下故比之黄道为西髙而东下也】

　　假如日食正交而在限西日食中交而在限东是为相顺相顺者率于交角减五度为定交角是角变而小矣角愈小者东西差愈大故低昻之势増甚而其向不易也【限西黄道本西下东髙而正交白道又比黄道为西下东髙则向西之角度变小而差西度増大其时刻迟者益迟矣限东黄道本西髙东下而中交白道又比黄道为西髙东下则向东之角度变小而差东之度増大其时刻早者益早矣是东西之向不易而且増其势也】

　　假如日食正交而在限东日食中交而在限西是为相逆相逆者率于交角加五度为定交角是角变而大矣角愈大者东西差愈小故低昻之势渐平而甚或至于异向也【限东黄道本西髙东下而正交白道比黄道为西下东髙则向东之角渐大而差东度改小时刻差早者亦渐平若加满象限则无时差乃至满象限以上则向东者改而向西时刻宜早者反差迟矣限西黄道本西下东髙而中交白道为西髙东下则向西之角渐大而差西度改小时刻差迟者亦渐平若加满象限则无时差乃至满象限以上则向西者改而向东而时刻宜迟者反差而早矣】

　　凡东西差为见食甚早晚之根如上所论定交角所生之差与黄道交角无一同者则欲定真时刻非定交角不可也若但论黄道交角时刻不真矣

　　凡东西差与南北差互相为消长而南北差即食分多少之根如上所论则欲定食分非定交角不能也但论黄道交角食分亦悮矣

　　差分有用并之理

　　问差分本以两时差相较而得【十四求已有备论】今乃有用并之法何也曰异号故也此其白道限度必在两食限之间【或限度在甚与复两限之间则食甚在限东而复圆限而或限度在亏与甚之间则食甚在限西而初亏限东】两食限一距限东一距限西其两时差必一为减号一为加号是为东西异号无可相较故惟有相并之用也

　　乃若定交角大于象限则先为同号而变为异号其食甚必在黄平限及白道限度之间【食甚在黄平限西白道限度东则先推食甚复圆同号者变为异号矣食甚在黄平限东白道限度西则先推食甚初亏同号者变为异号矣】两食限既变为东西异号则其两时差亦一加一减变为相并矣

　　问异号恒相并固也乃复有定交角过九十度而仍用相较为差分者何也曰此异号变为同号也其黄平限必在两食限之间而白道限度或反在食限之外则能变异号为同号【假令黄平限在复与甚之间甚距限东复距限西本异号也而复圆之定交角过象限则白道限度必又在复圆之西而先推黄平限复圆在西者今推白道限度复圆在限东即复圆食甚变为同号矣又加黄平限在亏与甚之间亏距限东甚距限西本异号也而初亏之定交角过象限则白道限度必又在初亏之东而先推黄平限初亏在东者今推白道限度初亏在限西即初亏食甚变为同号矣】又如前论食甚在黄平限及白道限度之间能变同号为异号即亦能变异号为同号【凖前论食甚在黄平限西白道限度东能变食甚与复圆异号则先推食甚与初亏异号者今反同号矣若食甚在黄平限东白道限度西能变食甚与初亏异号则先推食甚与复圆异号者今反同号矣】凡此之类变态非一皆于定交角取之故可以不用十七求也

　　相并为差分者并减实行为视行之理

　　问用差分取视行有减实行加实行之异而相并为差分者一例用减何也曰凡相较为差分者有前小后大前大后小之殊故其于实行有减有加【觧见前条】减者常法加者变例也【凡减实行为视行者在限东者益差而东在限西者益差而西食限中如此者多故为常法若加实行为视行者限东者反损其差东之度在西者反损其差西之度乃偶一有之故为变例】若相减为差分者不论前后之大小縂成一差故于实行有减无加只用常法也【十四求附说论食甚初亏复圆三限定交角满象限并用时差减实行与此同理盖彼以无可相较故径用一时差此则虽有两时差不以相较而且以相益故其时刻并变大而行分变小故皆减实行为视行也】

　　己为天顶　庚为黄道极　丑寅癸为地平　子为黄平象限度　子辛丙癸为地平上黄道之一象限　甲乙丁壬为黄道北纬　己乙丙寅为地平经圏　乙为天上太隂实纬【在黄道北】　丙为人所见太隂视度【正当黄道】乙丙为髙下差【是地平上髙弧差】　乙丁为东西差【是黄道经度差】丙丁为南北差【是黄道纬度差】　盖髙卑差以天顶为宗下至地平为直角南北差以黄极为宗下至黄道为直角东西差以中限为宗下至黄极为直角而其根皆生于地靣与地心不同视之故也

　　设太隂实髙在乙视髙在庚髙弧上乙庚之距为髙下差

　　从黄极出经线至太隂实度【乙】又从黄极出经线至视度庚必过【丁】黄道上乙丁之距为东西差

　　实度乙正当黄道视度庚在黄道南其距丁庚纬度与乙丙防是为南北差

　　设太隂实髙在庚视髙在乙髙弧上庚乙之距为髙下差

　　从黄极出经线二一过实髙庚指黄道度丁一过丙至视度乙黄道丁乙之距为东西差【与丙庚防】

　　实度庚在黄道北其纬度庚丁与丙乙防视度乙正当黄道无纬度丙乙为南北差【与丁庚防】

　　设太隂实髙在辛视髙在庚髙弧上辛庚之距为髙下差

　　从黄极出经线二一过太隂实髙度辛至黄道乙乙为实度一过北纬甲及黄道丁至太隂视髙度庚丁为视度黄道上乙丁之距为东西差【与甲辛丙庚防】

　　月实纬辛在黄道北其距辛乙与甲丁防视纬庚在黄道南其距丁庚与乙丙防甲庚为南北差【与辛丙防】厯算全书卷二十七

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷二十八

　　宣城梅文鼎撰

　　交食防求卷三【订补】

　　月食

　　一求诸平行

　　首朔根　　　查二百恒年表本年下首朔等五种年

　　根并纪日录之

　　朔策望策　　用十三月表以所求某月五种朔策并

　　望策之数録于各年根之下

　　平望　　　　以首朔日时与朔策望策并纪日并之

　　【满二十四时进一日满六十日去之】

　　太阳平引　　以太阳引根与朔策望策并之【满十二宫去之

　　后并同】

　　太隂平引　　以太隂引根与朔策望策并之

　　交周平行　　以交周度根与朔策望策并之

　　随视其宫度以辨食限

　　○宫○六宫十五度以内

　　五宫十一宫十五度以外

　　以上宫度俱有食

　　太阳经平行　以太阳经度根与朔望二策并之二求日月相距

　　日定均　　　以太阳平引宫度查一卷加减表如平

　　引满三十分进一度查之【记加减号】

　　月定均　　　以太隂平引宫度查一卷加减表如平

　　引满二十分进一卷查之【记加减号】

　　距弧　　　　以日月定均同号相减异号相并即得

　　距时　　　　以距弧度分于四行时表月距日横行内查得相当或近小数以减距弧得时【视相当近小数本行上顶格所书时数录之即是】其余数再如法查取得时之分秒【依上法用相当近小数取之】并所查数即为距时

　　随定其加减号

　　两均同加者日大则加　日小则减

　　两均同减者日大则减　日小则加

　　两均一加一减者　　　加减从日

　　三求实引

　　日引弧　　　以距时时及分查四行时表太阳平行

　　两数并之【依距时加减号】

　　日实引　　　置太阳平引以日引弧加减之即得月引弧　　　查四行时表取距时时分下太隂平行

　　两数并之【依距时加减号】

　　月实引　　　置太隂平引以月引弧加减之即得四复求日月相距

　　日实均　　　以日实引宫度查一卷加减表如实引

　　满三十分进一度查之【记加减号】

　　月实均　　　以月实引宫度查一卷加减表如实引

　　满三十分进一度查之【记加减号】

　　实距弧　　　以日月实均同减异加即得

　　实距时　　　以实距弧度分查四行时表与前距时

　　同【加减号亦同前】

　　五求实望

　　实望　　　　置平望以实距时加减之即得如加满二十四时则进一日不及减借二十四时减之【则实望退一日】

　　六求实交周

　　交周距弧　　查四行时表实距时时分下交周平行

　　两数并之即得【依实距时加减号】

　　交周次平行　置交周平行以交周距弧加减之即得【凡加者满三十度进一宫满十二宫去之为○宫减者遇所减度数反小则加三十度退一宫减之○宫度不及减则加十二宫然后减之】

　　实交周　　　置月实均【记加减号】以加减交周次平行即

　　得

　　七求月距黄纬

　　月距黄纬　　以实交周查太隂距度表依中比例法

　　求之

　　假如实交周十一宫十九度十四分先以十九度查得五十六分五十三秒又以十九度与二十度之数相减得较五分○七秒化作三百○七秒与实交周小余十四分相乘用六十分为法除之得七十一秒収作一分十一秒以减十九度之数得五十五分四十二秒即月距纬【其纬在南】中比例加减法　视表上数前【少多】后【多少】者【加减】

　　又法　视表上宫名在上者以所得

　　中比例数加○宫六宫是也　表上

　　宫名在下者以所得中比例数减五

　　宫十一宫是也

　　辨交食月纬南北法

　　视实交周是【○六】宫【五　十一】宫其纬在【北南】

　　八求径距较数

　　月半径　　　以月实引查二卷视半径表即得影半径　　　月半径下层即景半径

　　景差　　　　以日实引加减六宫查视半径表即得

　　实景　　　　景半径内减去景差即实景

　　并径　　　　以实景加月半径即得

　　并径减距　　置并径以月距纬减之即得如距纬大

　　于并径不及减则不得食矣

　　九求食分

　　食分　　　　以月半径倍之为一率并径减距为二率月食十分为三率二三相乘一率除之即得食分

　　十求躔离实度

　　日距弧　　　以实距时时分查四行时表太阳平行

　　两数并之即得【依实距时加减号】

　　日次平行　　置太阳经平行以日距弧加减之即得日实度　　　置日实均【记加减号】以加减日次平行即得月实度　　　以日实度加减六宫即月实度【记写宫名】十一求视望

　　加减时　　　以日实度查一卷加减时表即得【记加减号】

　　视望　　　　置实望以加减时加减之即得

　　十二求所食时刻

　　月实行　　　以月实引查二卷太隂实行表得之【实行表三度一查假如某宫一度二度俱在○度下查若四度五度俱在三度下查余仿此】

　　初亏距弧　　以距纬加并径与并径减距相乘平方

　　开之即得

　　初亏距【时分】　　置距弧用三率法化时即得

　　食既距弧　　实景内减去月半径余数与距纬相加为和相减为较和较相乘平方开之即得

　　食既距【时分】　　置距弧用三率法化时即得

　　三率法

　　月实行化秒为一率六十分为二率【初亏食既】距弧化秒为三率求得【初亏食既】距【时分】为四率

　　初亏时刻　　置视望以初亏距【时分】减之即初亏时刻复圆时刻　　置视望以初亏距【时分】加之即复圆时刻食限縂时　　复圆时刻内减去初亏时刻即縂时食既时刻　　置视望以食既距【时分】减之即食既时刻生光时刻　　置视望以食既距【时分】加之即生光时刻既限縂时　　生光时刻内减去食既时刻即得十三求宿度

　　黄道宿　　　以黄道距宿钤减月实度即得【记写宿名】其宿钤每年加嵗差行五十一秒如实度小于宿钤不及减改前宿

　　赤道宫度　　以月实度用弧三角求之即得【记写宫名

　　求赤道经纬弧三角法见日食防求下同】

　　赤道宿度　　以所入宿黄道经纬【加过嵗差之宫度为经其纬用恒星表取之】用弧三角法求到本宿赤道经度以减月赤道度得食甚时赤道宿度【如不及减取前一宿如法用之】

　　十四求各限地平经纬

　　各限交周　　置实交周以初亏食既距弧加减之得

　　各限交周【以查月距度表得各限月纬】

　　黄白差角　　定为四度五十九分【此朔望交角也各限有微差可以不论】

　　是○宫【十一】宫上方差角在黄经度西是五宫六宫上方差角在黄经度东用月实度入极圏交角表取其余度即得是【○一二三四五】宫上方差角在赤经度西是【六七八　九十十一】宫上方差角在赤经度东

　　月赤道差　　以所推黄白黄赤两差角东西同号者相并异号者相减即得【记东西号】其异号以小减大并以度之大者为主命其东西

　　以上所推食甚时差角各限同用【各限亦有微差可以勿论】

　　距午度分　　置各限时刻如在子后者即为距午时【此从午正顺数】如食在子前者置二十四时以各限时刻减之余为距午时【此从午正逆推】再以时变为度即得各限太隂距午度分时变度法　每一时变十五度每时下一分变度下十五分时下四分成一度时下一秒变度下十五秒时下四秒成一分秒满六十収为分分满六十収为度

　　各限髙度【即地平纬】以极距天顶为一邉月实度距北极为一邉【以黄赤距度南加北减象限得之】二邉相加为縂相减为存存縂各取余相加减【縂弧不过象限相减縂弧过象限相加若存弧亦过象限则仍相减】并折半为初数【各限同用】乃以各限距午度取其矢【距午度过象限则用大矢】以乘初数去末五位为矢较用加存弧矢得对弧矢矢减半径得余命为髙度正查表得髙度【所得对弧即月距天顶乃髙度之余故其余即髙度正】

　　一率【半径】二率【角之矢】三率【初数】四率【两矢较】

　　各限方向【即地平经】以极距天顶为一邉月距天顶为一邉【髙度之余】二邉相加为縂相减为存存縂各取余相加减【并如髙度法】如法取初数【各限不同】乃以月距北极为对弧取其矢【月在赤道南用大矢】与存弧矢相减为矢较进五位为实初数为法实如法而一得所求矢【即地平经度皆子午规所作天顶角度分之大小矢】矢与半径相减得余查其度命为月距正子午方地平经度【凡正矢去减半径得鋭角余其度子后食者逆推子前食者顺数并距正子方立算大矢内减半径得钝角余其度子后食者顺数子前食者逆数并距正午方立算即得各限月在地平上方位】

　　一率【初数】二率【两矢较】三率【半径】四率【角之矢】

　　地经方位度分钤【鋭角用本度钝角用外角度并以余查表取之】

　　地经赤道差　以月距北极为一邉月距天顶为一邉二邉相加为縂相减为存存縂各以余相加减【如前法】取初数【各限不同】以天顶距北极为对邉取其矢【各限同用】与存弧矢相减得矢较进五位为实初数为法实如法而一得差角矢【从北极作赤道经圏过月心又从天顶作髙弧过月心得此差角】矢减半径得余命度【记东西号】

　　地经白道差　置所推地经赤道差以月赤道差加减之【东西同号者相并异号者相减】即得各限白道经度差于地经髙弧之数【记东西号】若月赤道差大于地经赤道差法当反减其号东西互易并以月赤道差之号命其东西【月食有初亏子前复圆子后者各依本限论之各限时刻在子前用子前法在子后用子后法】　此线所指即月行白道之极【犹赤经线之指北极】

　　订补月食绘图法

　　赤经主线　　縂图先作立线以象赤道经此线上指北极下指南极线左为东线右为西为作图主线

　　闇虚食限　　主线上取一防为心地景半径为度作圆形以象闇虚　又以闇虚心为心并径【景半径月半径相加】为度作大圆于闇虚之外是为食限　又径较为度【景半径月半径相减】作小圆于虚闇之内是为既限

　　黄道交角　　以月实度入极圏交角表取之命为食

　　甚时黄道与赤经所作之角

　　黄道线　　　依黄道交角度分作角于主线左右皆自主线起算数食限上度分作识向闇虚心作直线令两端透出即上下各成相对二角并如黄道交赤道之角而此线象黄道

　　凡上方角度【右顺左逆】下方角度【左顺右逆】并自主线起算数食限大圆周度分作识从此作过心直线至对邉则角度皆防

　　白道经度　　依所推月赤道差角于赤经左右数其度【亦借圆邉数之其左右如先所推】作识向圆心作直线而透出之即食甚时白道经线

　　白道　　　　亏复各取月纬于黄道上下作两平行虚线【阳厯用南纬此二平行线作于黄道下方隂厯用北纬作两平行线于黄道上方】虚线两端必与食限大圆相遇而各成一防依法各取其合用之防聫为一直线即自亏至复所行白道也【交前先逺后近以逺防为初亏近防为复圆交后先近后逺以近防为初亏逺防为复圆初亏防在西复圆防在东隂阳厯并同一法】

　　白道线与经线相遇成十字角十字中心一防即食甚时月心所到也以月半径为度从心作圆形以象食甚时月体即见其为闇虚所掩分数与所推月食分秒相符【法以月体匀分十分即见此时月入闇虚若干分数或全在其中而为食既或深入其中而食既外尚有余分一一皆可见】又此时月心与闇虚心正对其相距之分即食甚时月纬与所推亦合

　　亏复真象　　又以白道割外圆之防各为心月半径为度作小圆二以象初亏复圆时月体即见初亏时月以邉渐入闇虚复圆时月体全出闇虚其先缺后盈之防皆有定在

　　食既生光　　若食既者白道必横过内园【即既限】亦相割成两防即食既生光时月心所到也两防各为心月半径为度作圆形二以象食既生光时月体即见食既时月体全入闇虚而光尽失生光时月体渐出闇虚而光欲吐其欲既未既欲吐未吐之时月体必有一防正切闇虚之邉皆有定处

　　取白道简法　不必求亏复月纬但以月距黄纬于白道经线作识【隂厯在北阳厯在南并距闇虚心立算】为食甚月心所到从此作横线与经线十字相交即成白道【余同上】

　　右縂图以上为北下为南左为东右为西中西厯法所同也若月食子正即赤道经与午规为一而所测如图然各限时刻不同【假如初亏子正复圆必在子后若复圆子正初亏必在子前相距有十二三刻以上化为度有相距三四十度以上】则经线午规相离而南北东西易位食近卯酉变态尤多非精于测算不能明也故有后法

　　新増月食分图法

　　髙弧主线　　作立线以象髙弧【上指天顶下指地平】不论东西南北在何方位并以天顶为宗直指其上下左右是为各限绘图之主线

　　白道线　　　主线上取一防为心规作月体【并以所推月半径度分为半径其周分三百六十度】月邉上方数所推各限地经白道差之度作识【差东者逆数向左差西者顺数向右并从主线上方割圆周处起算】从此作过心直线即白道经线也于月心作横线与白道经线十字相交以象白道

　　十分真像　　白道经线上于月心起算取月距黄纬作识【隂厯作识于月心之下方阳厯作识于月心之上方并如月距黄纬度分以月半径之度凖之】即闇虚心也【月距黄纬即食甚时两心之距】闇虚心为心实景半径为度作圆分于月体即见食甚时月入闇虚被掩失光晦明邉际了了分明

　　受蚀处所　　视月邉所缺若干度分【在月全周三百六十度中亏若干】其与白道经线相割处必正对闇虚【即缺邉度折半取中之防】即旧法所谓月食方位也此防或在月体之上或在月体之下与其左右一一可指其余光若新月或大或小必皆曲抱此防而斜侧仰俯皆可豫定其形【算缺邉度法别具】若食既者不用此条

　　食之深浅　　又以月体全径分为十分【于白道经线上分之】即食甚时亏食深浅或被食若干分数而有余光或全入闇虚月光全失而为食既【即食十分】或深入闇虚而食既之外尚有余分【即食十一二分以上至十六七分不防】并丝毫不爽

　　初亏复圆　　如法作主线及月体白道【并如食甚】乃于白道上自月心取初亏距弧之度作识【初亏于月心之左复圆于月心之右即食甚时月心所到】从此作垂线截如月距黄纬之度【阳厯向上作之隂厯向下作之即食甚时两心之距】垂线末为闇虚心从闇虚心作直线至月心必割月邉此防即初亏复圆时先缺后盈之防【在初亏则此处先缺在复圆则此处后盈】并可以月体之上下左右命之【又防法于初亏距弧作识处以月距黄纬为度依上下之向作弧分虚线于月心以并径为度亦作弧分虚线两虚线交处即闾虚心从闇虚心作虚直线割月邉至月心即于割防作识命为先缺后盈之防可不作垂线直线】

　　【若以实景半径为度从闇虚心向月邉作半圆以象闇虚其邉与月邉相切即先缺后盈之像益复分明】

　　食既生光　　立主线绘月体取白道经线作白道【并如初亏复圆】白道上以食既距弧度作识【食既于月心之左生光于月心之右并自月心起算与亏复同】从此作垂线寻闇虚心【阳厯向上隂厯向下并如月距黄纬之度亦同亏复】作直线自闇虚心过月心至邉即食既生光时后入先出之防【欲既未既时此处有余光后没光欲生时此处有微光先吐】于月体之上下左右皆有定处

　　【防法以月距黄纬于食既距弧作识处依隂阳歴之向作虚弧又以径较为度自月心依左右之向作虚弧两虚弧交处即闇虚心从闇虚心作直虚线过月心至邉即食既时后没生光时先见之防】

　　【若以实景半径从闇虚心作半圆以包月体即见食既时月体全入闇虚生光时月体将出闇虚而各有二邉相切之一防　若闇虚半径稍缩其度则食既时后没余光生光时微光先吐皆了然可见】

　　月食法

　　辨月有食　月食子后者视复圆时刻若在日出后月食子前者视初亏时刻若在日入前是有食也

　　若日出入时刻与食甚相同者不用布算即以所推食分为食分诸限时刻有与日出入同者亦然皆不必推食

　　食距时　　食在朝者以日出时刻在暮者以日入时刻并与食甚时刻相减余即为食距时【法同日食】

　　食距弧　　初亏距时化秒为法初亏距弧化秒与食距时化秒相乘为实实如法而一得数为食距弧【秒满六十収为分】

　　食距心径　以食距弧月距黄纬各自乘两数相并平方开之得数为食距心径【法实俱化秒得数収分】

　　食分秒　　月全径【化秒】为一率月食十分【化秒】为二率置并径内减食距心径余数【化秒】为三率求得四率即月出入时食分秒【秒满六十収分】凡食分必小于食分【食既者食必不满十分若满十分为食既出入其减余必大于月全径】

　　一法置食距心径内减径较【月半径影半径之较】余数化秒为三率如上法求之得未食余光分秒以转减月食十分为食分秒【如食距心径小于径较不及减者为食既出入其食距时必小于食既距时】

　　辨食分进退　凡月出入时刻【即日出入时刻】在食甚前其所食分为进【食在朝者为但见初亏不见食甚复圆在暮者为不见初亏但见食甚及复圆若食既者在朝为见初亏不见食既或见食既而必不见生光复圆在暮为不见初亏但见食既或并不见食既而但见生光复圆】

　　若月出入时刻在食甚后其所食分为退【在朝为见初亏食甚不见复圆在暮为不见亏与甚但见复圆若食既者在朝为但见初亏食既食甚生光不见复圆或并不见生光在暮为不见初亏食既食甚生光但见复圆或并可见生光】

　　食作图法

　　縂图　　　　以食距心径为半径闇虚心为心作圆周取其与白道横线相割防为月出入时月心所到用此为心如法作圆以象出入地平时月体即见其时月体有若干分秒在闇虚内与所算食分相符【圆周割白道必有二防当以食分进退详其左右如法取之】

　　分图　　　　如法先求月出入时地经白道差法曰以黄赤距度【用月实度取之】取余【即存弧余又即縂弧余】命为初数【縂存两余同数故也】以极出地度正减半径命为对弧矢【即极距天顶之矢】以黄赤距度取矢【即存弧矢】二矢度相减得较数进五位为实初数为法法除实得差角矢【矢减半径得余以余查表得度】即月出入时地经赤道差【食在朝者差角在西若在暮者差角在东】

　　防法　　　　以黄赤距度之余内减极出地之正得余数进五位为实仍以黄赤距度之余为法除之得差角矢

　　若月实度正与二分同度即以极距天顶度分命为地经赤道差不湏布算凡各限时刻有与日出入同者并可依此法求其地经赤道差角

　　置地经赤道差以各限同用之月赤道差加减之【东西同号者加异号者减】即月出入时地经白道差【记东西号】次作髙弧主线【如各限法】规作月体于圆邉数地经白道差之度作识【依白道差东西之号并自髙弧上方交月邉处起算差东者逆而向左差西者顺而向右】从此作过心直线以象白道经线又于月心作十字横线以象白道【其法并同各限】

　　白道上以食距弧为度作识【即食甚月心所到也食分进者此防在月体左方退者在月体右方】从此作垂线【阳厯作垂线向上隂厯作垂线向下】截其长如月距黄纬之度【即闇虚心所在】从此向月心作直线至对邉【此即月出入时月与闇虚两心相对之径线】乃分月体为十匀分【即于径线上分之】

　　末以闇虚心为心实景半径为度作圆分于月体内即见月体在闇虚内有防何分与所推食分秒相符其余光若新月者偃仰纵横皆如所见矣

　　康熙五十七年戊戌二月十五甲午日夜子初二刻八分望月食分秒起复时刻方位　【依厯书本法】

　　月食十七分三十一秒

　　初亏　　亥初二刻十三分

　　食既　　亥正三刻

　　食甚　　夜子初二刻八分

　　生光　　十六日子正二刻一分

　　复圆　　丑初二刻三分

　　食限内共计十五刻五分

　　既限内七刻八分

　　食甚月离黄道鹑尾宫二十五度五十三分为翼宿六度食甚月离赤道鹑尾宫二十六度一十四分为翼宿十四度三十八分

　　以上诸数并主京师立算江南省月食分秒宿度并同惟各限时刻加八分

　　右图为黄道上日月躔离右旋之度自西而东乃步算之根也日行迟月行疾闇虚地影居日之冲故闇虚之行即日行也初亏时月在闇虚之西及至复圆遂出其东日月并右旋而有迟速于斯着矣月道之交于黄道也有隂厯焉有阳厯焉有交前交后焉今二月月食交后隂厯也距交逺则黄纬大而受蚀浅距交近则黄纬小而受蚀深今距交未及一度黄纬只四分故入影最深而食分最大自甲至卯共十七分竒厯厯可数也自丙至丁为自亏至复月行之度折半于乙为食甚故亏至甚甚至复时刻俱等与算数相符按图索之了如指掌矣【若乙防稍偏即度有参差与算理不合】

　　亥初三刻六分月食初起

　　髙四十七度二十四分

　　距正午东五十度零四分　在巽方

　　初见微蚀处在月体下方之左

　　亥正三刻九分月食至尽

　　髙五十五度二十九分

　　距正午东三十度零三分　在巳方

　　欲既未既些少余光在月体右上

　　右图为地平上太隂加临方向东升西没其行左旋乃测騐之用也假如欲初亏法以盘针考定巽方定为月食初亏时地平经度【又法择平地画以圆圏对子午卯酉作十字线分圆周为四自卯至午匀分九十度自午至酉亦如之乃自午向卯数五十度为初亏方位各限俱如是】至亥时初三刻【用星晷香漏或自鸣钟定之】其时太隂巳到巽方在地平上髙四十七度竒【用象限仪等器测之】即见月体下方偏左处渐有微缺是为月食初亏在月体下方之左也　此不论东西南北惟以月体对天顶处为上对地平处为下左右亦然测时湏正身直立向月平观即上下左右丝毫不爽　食既防各限并同

　　子正二刻九分月光始生

　　髙五十七度五十分

　　过午正西十八度三十一分　在丁方

　　微光初见时在月体左方稍下

　　丑初二刻十一分月光尽复

　　髙五十五度半

　　过午正西二十七度三十九分　在未方

　　光欲满时些少微缺在月体右方畧上

　　因五限縂图限于尺幅月影缩小故复作分图以便测騐内惟食甚月在闇虚地形深处聊可得其地平经纬无上下左右可言故分图只四限

　　厯算全书卷二十八

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷二十九

　　宣城梅文鼎撰

　　古算衍略

　　古算器攷

　　或有问于梅子曰古者算学亦有器乎曰有曰何器曰古用筹筹何似曰汉书言之矣用竹径一分长六寸二百七十一而成六觚为一握度长短者不失毫厘量多少者不失圭撮权轻重者不失黍絫又世説言王衍持牙筹防计此用筹之明证也曰若是则筹可用竹亦可用牙矣然则即今之筹笇非欤曰非也今西厯用筹亦起徐李诸公葢从厯家之立成而成即立成表之活者耳故一筹即备九数若古之用筹用以纪数而无字画故一筹只当一数乘除之时以筹纵横列于几案一望了然观古算字作祘葢象形也然则起于何时曰是不可攷然大易揲蓍亦以一蓍当一数则其来逺矣蓍策所以决疑非常用之物故特隆重其制而加长长则不可以横故皆纵列惟分二象两之后挂一防以别之使无凌杂余皆纵列也又其数只四十九故四揲以稽其实数其用専専则诚也布算之法有十百千万之等以乗除而升降又日用必需之物故其制短使几案可列其言六寸成觚者有度量之用古尺既小于今尺才四寸竒葢亦取其便于手握耳【浦江吴氏中馈録有算条巴子切肉长三寸各如算子様亦可以想其长短】然则其用之若何曰五以下皆纵列六以上则横置一筹以当五而纵列其余【式详后】然则十百千万何以列之曰其式皆自左而右略如珠笇之位亦如西域欧逻写算之位皆顺手势不得不同也曰亦有征欤曰有之蔡九峯洪范皇极数所纪算位一至五皆纵列六至九皆横一于上以当五又自一之一至九之九皆并列两位自左而右此用于宋者也又授时厯草所载乘除法实之式皆纵横排列自左而右以万千百十零为序此用于元者也左传史赵言亥有二首六身下二如身为绛县老人日数士文伯知其为二万六千六百六旬而孟康杜预顔师古释之皆以为亥字二画在上其下三六为身如笇之六葢横一当五又竪一于横一之下则为六矣与皇极同也又言下亥二画竪置身傍葢即竪两笇为二万又并三六为六千六百六旬而四位平列与厯草同此又用于三代及汉晋者也曰厯草又有一至五横纪之处何欤曰此亦非起于厯草也何以知之唐人论书法横直多者有俯仰向背之法若直如笇子便不是书其言笇子即所列筹也然兼横直画言之则唐人用筹为算亦有横直可知干凿度云卧算为年立算为日葢位数多者恐其相混故三十三二十二之类笇位皆一纵一横以别之纵即立算横即卧算也干凿度不知作于何人然其在汉魏以前无可疑者则横直相错之法古有之矣五以下既可易纵为横则六以上横一当五者亦可易之而纵又何疑于厯草哉曰然则今用珠盘起于何时曰古书散亡苦无明据然以愚度之亦起明初耳何以知之曰归除歌括最为简妙此珠盘所恃以行也然九章比类所载句长而澁葢即是时所创后人踵事増华乃更简快是书为钱塘吴信民作其年月可攷而知则珠盘之来则自不逺

　　按钦天监厯科所通轨凡乘除皆有定子之法惟珠算则可用然则珠算即起其时又尝见他书元统造大统厯访求得郭伯玉善算以佐成之即郭太史之裔也然则珠盘之法葢即伯玉等所制亦未可定

　　曰南雷畣牧斋流变三疉之问既云长水分别算位本位是竪进一位即是横本位是横进一位即是竪又引凿度卧算立算以证之矣然其所图算位俱作圆防殊无横直之形何耶曰南雷固言今之算器数分于珠是指珠算也又云长水之算只用今器其所谓横竪者分别算位南雷之意葢谓长水姑借横竪之语以分算位而实用珠算非实有横竪也然以【鼎】观之疏既以一横二竪当十二复以一竪二横当百二十终以一横二竪当千二百而皆曰进动算位明是用筹非用珠也故当十进百之时则当取去第一叠零位之二竪而加十位之一横为二横又添一竪于百位则成百二十矣故曰进动算位为第二叠也百进千则又取去十位之二横而増一竪于百位为二竪又别増一横于千位成千二百故亦曰进动算位为第三叠也説本明晰与今珠算何涉乎若如南雷所图则横竪字为赘文矣是故布筹可纵可横此亦一证

　　又按朱子语类云潜虚之数用五只似如今算位一般其直一画则五也下横一画则为六横二画则为七此又一证也【蔡九峯皇极数以横画当五故下竪一画为六竪二画为七与此相反然理则相通厯草则兼用之葢皆本之古法】

　　古布算式

　　皇极数图【见性理大全】

　　厯草算式

　　立差　　　　定平差　　　定平积

　　右式皆因数有雷同故纵横列之以为别亦自然之理也

　　乘除法实式【亦见厯草】

　　亥字二首六身攷

　　左传襄公三十年三月癸未绛县老人曰臣生之嵗正月甲子朔四百有四十五甲子矣其季于今三之一也师旷曰鲁叔仲恵伯防郤成子于承匡之嵗也【注鲁文公十一年乙巳嵗】七十三年矣【注自乙巳嵗至今年戊午首末七十四年而曰七十三者葢计其全数而言未满七十三年也】史赵曰亥有二首六身【注言亥字上二画为首六画为身如算之六者三也春秋时有此字体□】下二如身是其日数也【注如徃也言除下亥上二画徃置身旁也□便是此老人从初生年起至今癸未日之日数也葢以亥之二画为二万之数以三六之算为六千六百六旬之数也】士文伯曰然则二万六千六百有六旬也按古法每年三百六十五日又四分之一七十三年该二万六千六百六十三日又四分之一故注以正月甲子为夏正建寅之月而三月癸未杜氏长厯及孔疏皆以为当作二月为夏之十二月也其癸未日长厯以为是二十三日然则春秋所纪者自用周正而晋人所言者自是夏正故鲁史纪戊午二月者晋人所言则仍为丁巳之十二月所以士文伯云七十三年也

　　筹有色以分正负

　　沈存中括笔谈曰天有黄赤二道月有九道此皆强名非实有也亦由天之有三百六十五度天何尝有度以日行三百六十五日而一朞强谓之度以步日月五星行次而巳日之所由谓之黄道南北极之中间度最均处谓之赤道月行黄道南谓之朱道北谓之黒道东谓之青道西谓之白道黄道内外各四并黄道而九日月之行有迟有速难以一术御故因其合散分为数段每段以一色名之欲以别算位而已如算法用赤筹黒筹以别正负之数厯家不知其意遂以为实有九道甚可嗤也

　　按此又宋算用筹之明证

　　方田通法序

　　学必有原不得其原不可以为学九数之学具列周官而孔子言游艺在志道据徳依仁后唐十经博士期业成以五年可形下视哉客嵗之冬从竹冠先生饮令弟乐翁所得观先生捷田歌括离竒出没杯酒间未深领其趣属他故覊治城且匝月既无携书可破岑寂乃稍忆所疑演而通之因浩然叹数学之有源虽至近若方田而易简中精深尔尔也算具不具仗三寸不聿为之今年春里中有事履亩或见问桐陵法遂出斯编相质命曰方田通法云

　　阏逢执徐日躔在奎勿庵梅文鼎识

　　方田通法

　　太极生生之数

　　数始于天一终于地十十亦一也天地之地始终乎一故曰太一太一者太极也自极而仪而象而卦皆加一倍三加而止万事托始焉是故制器者尚其象玑衡八尺周于八方寻常则之以度百物葢取诸此

　　两地之数

　　一生二二者两地也两一则二两二则四两四则八两八则十有六四象相交成十六事卦有内外也庾以命斗秉以命斛斤两则之以权百物葢取诸此

　　参天之数

　　一生二二生三三者参天也参一而三参二而六参四而十有二参八而二十有四作厯者以纪中节八节二十四气八卦二十四爻也是故玉衡之尺八而玑围二十有四斤之两十有六而铢二十有四二十有四者权度之所生数之纲也从而十之以为地纪而畆法生焉

　　畆法

　　二百四十步　古法步百为畆畆百为夫今二百四十步为畆相起于唐太宗

　　步法

　　五　合参两则五犹合四行为土土之生数也倍五则十土之成数也乗者从生故平方五尺为步而用以乗除者从成故积步二百四十为畆而用以除

　　方田原法

　　以所丈田横步与其纵步相乗得数为实以一畆二百四十步为法除之满法为畆不满退除为分厘　田之为字衡缩相交矩其外格其内象平方也田不能皆方或圆或直或梯或斜或如牛角或为矢弧不皆方故为之法以方之大约不离横纵者近是九章之术首列方田君子絜矩之道欤

　　截归法

　　或八归三归各一次或四归六归各一次或五因一十二归　邵子曰三八二十四也四六亦二十四也倍十二亦二十四也丈量家用截法可以观已

　　减法

　　或折半减二或减六减五各一次　即定身除也

　　飞归法

　　进一除二四　进二除四八　进三除七二　进四除九六　五除一二　一四四作六　一六八作七　一九二作八　二一六作九　见一加三隔位四　见二加六隔位八　不尽者留法喝之

　　又

　　三六作一五　六作二五　八四作三五　一○八作四五　一三二作五五　一五六作六五　一八作七五　二○四作八五　二二八作九五

　　留法

　　一留退四一六六　二留退八三三三　三留一二五四留一六六六六　五留二○八三三　六留二五七留二九一六六　八留三三三三三　九留三七

　　五　其法是除用之似乗以其为除后得数也故谓之留　若用以喝稍者言退者本位不则进一位或稍子位多者喝完总移进之更妙

　　凡加留减者如加减法只记原实于各挨身加减之若原用因法者则又下一位挨加减之皆记原实以留法喝之言退者各又退一位

　　以上截留飞减四法皆于乗土之后用以求畆惟留法则有不尽故长于喝稍

　　后有用两求斤留法附录之　一退六二五　二一二五　三一八七五　四二五　五三一二五　六三七五　七四三七五　八五　九五六二五　十六二五十一六八七五　十二七五　十三八一二五　十

　　四八七五　十五九三七五

　　新増径求畆步法

　　其法不用乘土以所得横纵之歩先得者为实后得者为法径求之可以抵掌而办原法二十有二竹冠道士衍为百二十有三勿庵氏引而伸之且三百八十有四也倚数之妙乃至斯乎而岂有外于参两乎又岂有加于所谓一者乎法列如后

　　减二　即十二除凡法之可以两者皆减二是为畆法之半或折半六归之

　　八除　或二十五于下位加之凡法之可以参者皆八除是为畆法三分之一

　　四十八除　即折半飞归也凡法之可以五者皆四十八除是两其畆法也

　　四除　或二十五乗之凡法之可以六者皆四除是为畆法六分之一

　　六除　凡法之可以四者皆六除是为畆法四分之一三除　凡法之可以八者皆三除是为畆法八分之一下加　凡法之上位得一者皆下加

　　上加　凡法之下位得一者皆上加凡加毕再用留法或飞归之

　　折半　凡法之十二者皆折半为畆法六分之五减六　凡法之可以十五者皆减六即两求斤留法也为畆法三分之二又为六分之四

　　减五　凡法之可以十六者皆减五即十五除也为畆法八分之五

　　加留减留　凡法之可借上者皆加留可借下者则减留所以通其穷也

　　随数喝畆　凡二十四则随数喝之

　　倍法　凡四十八五除之即二因也

　　减八　即畆法八分之六也凡法之可以八分用六者十八除之又为四分之三

　　九除　即畆法八分之三凡法之可以八分用三者九除之

　　二十一除　即畆法八分之七凡法之可以八分用七者二十一除

　　因法代除　如四十八则二因之如七十二则三因九十六则四因又如十二五因一四四六因一六八七因一九二八因二一六九因又如六用二五因八四用三五因一○八用四五因一三二用五五因一五六用六五因一八用七五因二○四用八五因二二八用九五因

　　加法代除　如三加二五即一二五乗所以代八除也三六加五即十五乗也又如四二径加七五五四二次加五皆不用除

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十九>

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十九>

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十九>

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十九>

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十九>

　　原法歌诀【出桐陵】

　　量田捷法少人知　不乗一数便留之　二弓折半六而一　三步之中用八归　四步由来六归是　五步还宜六八归　六数四归无走作　八上三归无改移十二将来折一半　十六三而加倍齐　二十四中

　　随数喝　廿五中分六八归　三十二上尤甚准　四因还要用三归　四十八上加一倍　八卦宫中谁得知　三归八因尤甚准　胜如神见不差池　七二倍之加遍五　九十六上四因之　十五之中逢二八七五之中四八归　三七半时当八八　九弓加五四归竒　十八折之加五定　三六之中加五施　此是明师真口诀　千金不度世人知

　　附归除捷法

　　多上空加一【多上者实多于法也空者实首隔一位也凡实多于法则于实前隔一位上一子若法实两数等亦同】

　　依前除莫疑【依前者即以前法数除之也】

　　少前数上五【少前者实少于法也即于实之前位上五子　不隔位】

　　折半数除之【折半除者用法数之半而除之也　用五乗代折半甚捷】

　　无除随上一【无除者上五之后不及除半数也既不及除随于实前位上一子】

　　化下照前除【化下者退下一位也照前除者即依法数降一位而除之也】

　　区田图刋误

　　按区田古法并以方一尺五寸为区通计毎亩可二千七百区空一行种于所种行内隔一区种一区除隔空外可种六百七十五区【此亦约畧之説后又云毎区一斗每亩可收六十六石而诗亦云限将一亩作田规计区六百六十二并大同小异】是四分而种其一也今农书之图黑白相间是二分种一与説相背且如所图既不便于营治亦不便于浇灌反不如姜田之用濶沟通人行之为便矣谨依古説改作之如左

　　又按四分种一亦是约畧之数若细求之则四邉近田堘处可只空半区要以随方就圆使其易行亦不在拘拘于尺寸之间也孟子曰此其大略也若夫润泽之则在君与子吾于区田亦云

　　如甲乙为田内毎画方一尺五寸为区【如甲子】直行毎隔一行种一行【如甲戊丙巳】因得横行亦然【如庚甲辛癸】其播种之区四面合之各成小平方如丙辛方中间子丑为种地卯寅方中间午未方为种地皆居小平方之中央又蝉聫而下通计毎田一畆为种区者约四之一图中白者是空地黒者是种区

　　区田説

　　向读嵇叔夜养生论谓区种之法亩可得粟数十钟已读王氏农书详着其法而农政全书载汜胜之书及务本书谓汤有七年之旱伊尹作为区田教民粪种负水浇田诸山陵倾坂及田邱城上皆可为之王祯田古人每区收谷一斗每亩可收六十六石今人学种可减半计贾思协曰兖州刺史刘仁之昔在洛阳于宅田七十步之地域为区田收粟三十六石然则一亩之收过百石矣古説彰彰如是而或者疑之【徐扈先生以为古今斗斛之异】余以为不必疑也葢徴之于姜芋矣吾乡土瘠每亩收稻麦不过数石而芋则每亩二十余石多者三十余石姜之下者二十余石其上者至四十余石然而种姜一亩有稻田六亩以上之工岂非粪多力勤之効乎攷姜田营治之法其畊甚深在一尺以上通水沟虽止数寸而畦土斜杀而上种姜棱背相距空间与棱背畧相等是亦空一行种一行也即区种之遗法也姜田惟空直行而区田复空横行是其功又倍于姜田也多收之数又何疑焉【又攷遂宁王灼晦叔糖霜谱蔗田亦云区种而其深畊摩劳开渠濶尺深尺五及今年为蔗田明年改种五谷以休地诸法并同姜田】　又按区田毎区方一尺五寸【贾氏説又有方深各六寸及方九寸深六寸诸法】葢欲于城上斜坡立区故为此制若平田亦可变通

　　畸零法解【乗法】

　　假如其处地畆被水所淹今涸出五分之四于中又有髙地居七分之四问若干

　　答曰髙地为三十五之十六

　　法用母乗母子乗子　两母【五七】相乗

　　三十五为母　两子【四四】相乗十六为

　　子　乗得三十五之十六

　　解曰分总地为五分而涸出居其四四又将此涸出之四分分为七分而髙地居其四若以总地分三十五分则髙地居其十六矣

　　本法置实子五之四以法子七之四乗之得十六为实法母七为法除之得五之二又小分七之二为髙地然七除不尽当用通分法以小分母七通原分母五为三十五得数二通为十四加入之二共十六是三十五之十六也

　　今不用七除其子而以七乗其母得数亦同【母既七倍而子不动是七之一也故乗母即同除子】

　　以数明之　设原数三千五百畆内涸出五之四是二千八百畆也以此二千八百畆分为七分而髙地居其四是一千六百畆也则髙地于原数为三十五之十六矣

　　又假如有米一宗内分七之四于预备仓收贮又于预备仓内取五之四先给赈荒问若干

　　答曰三十五之一十六　法见前

　　解曰分总米为七分而预备仓得其四又分预备仓米为五分而先给赈济者得其四若以总米分为三十五分则先给赈济者得其十六

　　本法置实七之四以法子之四乗之得一十六为实法母五为法除之得三又五之一如法用通分以小分五通大分七为三十五又通得数三为十五加子一为十六即三十五之十六也

　　今不用五除子而用五乗母即得三十五之十六省通分矣【母乗得五倍则子为五之一】

　　以数明之　设原米四千二百石分为七分而取其四为预备仓是二千四百石也预备仓米又分五分而取其四以给赈是一千九百二十石也若分原米为三十五分每分一百二十石则给赈米得十六分【四千二百是三十五个一百二十石一千九百二十是十六个一百二十石故也】

　　又法

　　法用倒位互除以代乘法　以法子四除实母七得一七五为母　以法母五

　　除实子四得○八○为子　乗得一七五之八○各进位而倍之即三十五之十十六

　　本法四乗五除今不以四乗其子而反以四除其母即得数同也【母既改为四之一而子不动即子为四倍故除母可代乘子也然除法多有不尽不如母乘母子乘子为便】

　　还原

　　畸零除法

　　假如营兵奉裁五之一留五之四其所支月饷为某仓米七之四问未裁时月饷几何

　　答曰该支仓米七之五

　　法用倒位互乗以当除法　以法子之四乗实母七得二十八为母　以法母五乗实子之四得二十为子　除得二十八之二十　约为七之五

　　解曰兵奉裁留五之四其原额未裁则五之五也故其原支仓米亦必七之五乃四而増一之比例

　　本法置实七之四　以法母五乗之得七之二十为实

　　以法子之四为法除之得七之五

　　今不用四除其子而以四乗其母得数亦同【母既四倍于原母而原子不动如四之一故乗母可代除子】

　　又法

　　法以法母五除实母七得一四为母又以法子之四除实子之四得一○为子　除得一四之一○　约之亦得七之五

　　此不用五乗其子而以五除其母得数亦同【母既五除则为原母五之一而原子不动如五倍矣故除母可当乗子】

　　论曰以上三法所得并同然倒位乗尤妙葢以乗代除则无畸零不尽之数故也

　　以数明之　设营兵三千其五之四则二千四百也仓米二千五百二十石其七之四则一千四百四十石也七之五则一千八百石也兵二千四百而给米一千四百四十石则兵三千当给一千八百石

　　还原

　　用倒位互除　以代乗法　法子四除实母二十八得七为母　法母五除实子二十得四为子　乗得七之四复合原数

　　问仓米七之四可给营兵五之四若仓米全发给兵几何

　　答曰给兵五之七

　　如法倒位　以法子之四乗实母五得二十为母　以法母七乘实子之四得

　　二十八为子　除得二十○之二十八　约为五之七　子大于母收为一又五之二是可给原额兵而仍多五分之二也

　　解曰原给仓米七之四而今全给七分是四分而増其三也故兵亦四分増三【于五之四増五之三即为五之七】

　　本法置实之四以法母七乘之得五之二十八为实法子四为法除之得五之七【今以四乗母代四除子与前条同】

　　以前数明之仓米二千五百二十石分为七分则每分三百六十石营兵三千分为五分则每分六百以仓米四分给兵四分是每米三百六十石给兵六百名也今仓米全给为三百六十石者七则兵为六百者亦七是四千二百名也除三千名满原额净多一千二百名之饷为五分之二【以七除五不尽故不用又法】

　　厯算全书巻二十九

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

　　筹算自序

　　唐有九执厯不用布算唯以笔记史谓其繁重其法不传今西儒笔算或其遗意欤笔算之法详见同文算指中厯书出乃有筹算其法与旧传铺地锦相似而加便防又昔但以乘者今兼以除且益之开方诸率可谓尽变矣但本法横书彷佛于珠算之位至于除法则实横而商数纵颇难定位愚谓既用笔书宜一行直下为便辄以鄙意改用横筹直写而于定位之法尤加详焉俾用者无复纎疑即不敢谓兼中西两家之长而于筹算庶几无憾矣

　　康熙戊午九月已亥朔日躔在角宛陵梅文鼎勿庵撰筹算有数便奚囊逺涉便于佩带一也所用乘除存诸片楮久可覆核二也斗室匡坐笔徐观诸数厯然人不能测三也布算未终无妨泛应前功可续四也乘除一理不湏歌括五也尤便学习朝得暮能六也原法横书故用直筹筹直则积数横彼中文字实用横书也今直书故用横筹筹横则积数直其理一也亦有数便自上而下乃中土笔墨之宜便写一也两半圆合一位便查数二也商数与实平行便定位三也

　　钦定四库全书

　　厯算全书巻三十

　　宣城梅文鼎撰

　　筹算一

　　作筹之度

　　凡筹以牙为之或纸或竹片皆可长短任意以方正为度

　　凡筹背面皆平分九行每行以曲线界之为两半圆状凡筹背面皆相对第一筹之隂即为第九便检寻也二与八三与七四与六五与空位皆仿此共五类类各五筹当珠盘二十五位或更加之亦可　外有开方大筹为平方立方之用详见别巻

　　筹式列左

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷三十>

　　作筹之理

　　凡筹每行以曲线界之成两位其下为本位上为进位假如本位一两则进位为十两

　　凡列两筹则行内成三位下之进位与上之本位两半圆合成一位故也　列三筹则成四位　列四筹则成五位　五筹以上皆仿此

　　凡筹有明数有暗数明数者筹面所有之数是也暗数者行数也假如第一行即为一数第二行即为二数

　　凡筹与行数相因而成积数假如第二筹之第四行即为八数第九筹之第八行即为七二数

　　筹算之资

　　凡用筹算当先知并减二法今各具一则

　　并法

　　并者合也合众散数为一总数也又谓之垜积　其法先列散数自上而下对位列之千对千百对百十对十单对单以类相附

　　列讫并为一总数　其法从最下小数起自下而上如画卦之法　数满十者进位作暗马而本位书其零

　　恐混原数故以此

　　别之便覆核也

　　假如有米三千四百八十石又五千○六十八石又二万六千九百石合之共几何

　　如图散数三宗依法并之为

　　一总数得三万五千四百四

　　十八石

　　减积法

　　减者去也于总数内减去几何则知其仍余几何也减与并正相反减而剰者谓之减余

　　其法以应减去之数列左以原有之总数列右而对减之

　　千对减千百对减百十对减十单对减单

　　减而尽者抹去之　减而不尽者改而书之

　　本位无数可减合上位减之假如欲减八十而原数只有七十但其上位有一百则合而减之于一百七十内减八十仍余九十

　　假如有银三十二万五千三百一十两支放过二十九万五千三百○五两仍余几何

　　依法减之仍余三万○○○

　　五两

　　十万千百十两

　　如图先于三十万内减二十万余一十万改三为一次减九万而万位无九合上位共一十二万减之

　　余三万抹去一二改书三

　　次减五千　次减三百　皆减尽皆抹去之书作○次减五两而两位无五于一十两内减之抹去一

　　○改书○五　减讫余二○○○三

　　凡算有乘有除乘者用并法除者用减法

　　筹算之用

　　凡算先别乘除乘除皆有法实实者现有之物也法者今所用以乘之除之之规则也

　　凡筹算皆以实列位而以筹为法法有几位则用几筹如法有十系两位则用两筹法有百系三位则用三筹

　　凡法实不可误用唯乘法或可通融若除法必须细认俱详后

　　乘法

　　勿庵氏曰凡理之可言者皆其有数者也数始于一相縁以至于无穷故曰一与一为二二与一为三自此以徃巧厯不能尽乘之义也故首乗法

　　解曰乗者増加之义其数渐陞如乗髙而进也亦曰因言相因而多也珠算有因法有乗法在筹算总一乘法殊为简易

　　法曰凡两数相乘任以一为实一为法

　　假如以人数给粮或以人为实粮为法或以粮为实人为法皆可

　　凡算先列实【列书之于纸或粉板亦可依千百十零之位列之自左而右】

　　次以法数用筹乘之

　　法有几位则用几筹

　　【假如法为六十四则用第六第四两筹法为三百八十四则用第三第八第四共三筹】

　　凡乘皆从实末位最小数起

　　视原实某数即于筹其行取数列之

　　【假如实是二则取第二行数】

　　凡列乘数皆自下而上如画卦

　　凡实有几位挨次乗之但次乗之数必髙于前所列之数一位

　　【假如先乘者是单次乗者必是十故进位列之】

　　乗讫乃以并法并之合问

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷三十>

　　又法

　　凡法尾空位者省不乗但于并数之后补作圏于其下以存其位尤为简捷

　　如上图乘讫并得三○

　　○○因法尾有空又补

　　作一圏是为三○○○

　　○则知所得三万

　　定位法见前

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷三十>

　　又若田为一亩二分则所得为三合何也亩下有分故得数之三○○其尾○又是勺下之分也此定位之精理须细审之

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷三十>

　　一四二四四四五七五共九位因实尾空位【无零年故也】用省乘法加一○于末位下共十位而以尾○命为分得一十四万二千四百四十四日五十七刻五十○分合问

　　除法

　　勿庵氏曰天地之道盈虚消息而已无有盈而不虚无有消而不息乘者息也盈也除者消也虚也二者相反而不能相无其数每相当不失毫厘如相报也邵子曰算法虽多乘除尽之矣故除法次之

　　解曰除者分物之法也原作几何今作几分分之则成各得之数而除去原数也有归除有商除珠算任用筹算则独用商除为便以意商量用之故曰商除

　　法曰凡除以所分之物为实今欲作几分分之为法法与实须审定倘一倒置则毫厘千里矣【假如有粮若干分给若干人则当以粮为实以人之数为法除之盖粮数是所分之物人数是用以分之之法也若倒用以粮分人则所误多矣】　凡法有几位则用几筹　乃列实【自上而下直书之】　视筹之第几行中积数有与原实相同者或略少于实者用其数以减原实而得初商　有不尽者如法再商或三商以上皆如之实尽而止　余实不满法以法命之

　　凡商数皆以筹之行数为其数【假如所减是等第一行即商一数第二行即商二数】

　　书商数法曰凡书商数皆与减数第一位相对　若所减第一位是○则补作○于原实首位上而对之【此定位之根】

　　定位法曰除毕以商得数与原实对位求之皆于法首位之上一位命为单数【程大位曰归于法前得零古法实如法而一是也】此有二法　有法少实多者从原实内寻法首位认定逆转上一位命为单数【如米则为单石钱则为单文之类】既得单数则上而十百千万下而分秒忽微皆定矣此为正法

　　有法反多实反少者乃变法也法从原实首位逆溯而上至法首位止又上一位命为单数【此是虚位借之以求实数】既得单数乃顺下求之命所得为分秒之数

　　初商除尽式　　　　法此欲分为七十二分也故以七二为

　　假如太阳每　　　　　法用两筹

　　嵗行天三百　　　　实三六○　　如图先列三百六十度

　　六十度分为　　　　　百十　　　为实次简两筹行内有

　　七十二每　　　　　　　　　　三六○与实相同用减

　　几何度　　　　　　　　　　　原实恰尽　次查所简

　　【答曰】每五度　　　　　　　　　　系筹之第五行商作五又查所减第一位是三将商数五对三字书之

　　定位法曰此法少于实也宜于原实内寻十度位即法首位也法首再上一位为单度定所得为五度假令实是三千六百则所得为五十度如后图

　　定位法曰此亦法少于实也法亦于

　　原实内寻法首十位再上一位为单

　　位单位空补作圏再上一位是十度

　　定所得为五十度用筹同而得数逈

　　异定位之法所以当明也

　　再商式　　　　　　法此欲分为一十二分也故以一二

　　假如皇极经世　　　　为法用两筹

　　一元共一十二　　　实　　　　　　如图列实【一元总数】简万九千六百年　　　○一二九六○○筹第一行是○一

　　分为一十二会　　　　十万千百十年二商作一数【第一行故】

　　各几何　　　　　　　　　　　　　【商一】减实一十二万

　　答曰每防一万　　　　　　　　　　余九千六百不尽

　　○八百年　　　　　　　　　　　　再用筹如法除之又因所减数是○一二故于原实首补作圏而以商得一对此○位书之【即所减筹上第一位也】此定位之根不可错须细审之

　　简两筹第八行是○九六与余实

　　相合再商八【第八行故也】减余实九千

　　六百恰尽

　　此所减数亦是○九六故以商得

　　八进位书之以暗对其○

　　如此审定商数位置已知不错而初商次商隔一位不相接是得数有空位也乃于其间补作圏为一○八

　　假如隔两位则作两圏三位以上仿此求之若非于商数审其位置鲜不误矣此算中一大闗键也非此则不能定位

　　定位诀曰此亦法少于实也从原实内寻法首十位再上一位是单年单位空补作圏又上一位是十十亦

　　【亦补作圈又上一位是百知所】

　　【得为八百年　　　　　　也知百知千万矣定为一万○八百年假　　　　　　　如黄钟之法此欲分得二】【千一百八十实一十七万七乃为一分故以二一八七千】

　　【一百四十七为法用四筹】

　　【七其分法二千一百八十】

　　【七问若干分答曰八十一】

　　空

　　二千一百八十七再商之

　　简筹第一行是○二一八七正合

　　余实再商一除实恰尽

　　次商一进位书暗对所减○位

　　定位诀从原实寻法首位千逆转

　　上一位得单分则余位皆定

　　按筹算原书于定位颇略又其为法原实横而商数纵各居其方不相依附定位颇难故虽厯书间有讹位今特详之而两两直书于定位尤易亦足见余之非好为异也

　　四商法

　　假如有小珠三十　　　　四此欲分为九分有【为主】竒也万三千一百五十四故粒【则六分五厘是其竒零九分之分去声】换得大珠重九钱以为法用筹三根【九六五】六分五厘每大

　　珠一如后图列实　　　　先简筹第钱换小珠【三】

　　几何粒行略少　　　　　于【二八九五】实商减答曰【三】每

　　钱换三万五实余　　　　实【二十八万九千】千五【五百五万三千】

　　百六十粒以　　　　　　【六百五】续商以钱

　　次简筹第【五】行是【四八二五】为略少于余

　　实商【五】减余实【四万八千二百五十】仍余【五千

　　四百○四】以待第三商

　　原实　　　　　　　又简筹第【五】行是【四八二五】为略少于余

　　实又商【五】减余实【四千八百二十五】仍余

　　商数　　　　　　　　【五百七十九】知尚有第四商也

　　又简筹第【六】行是【五七九○】与余实恰合

　　四次商数俱对首位　　商作【六】除余实【五百七十九】恰尽定位诀从原实中寻法首【单】位逆转上一位得【单】粒定所得为【三万五千五百六十○粒】命为大珠每钱所换小珠之数五园问曰法是钱数实是粒数不类也何定位亦如是准乎勿庵曰此定位之法所以的确不易也且钱与粒不类子疑之固矣抑知单与单之为一类乎葢所问是每钱若干故钱数为单位若问每分若干则法首钱数为十位得为【三千五百五十六】矣故定位须详问意乃要诀也

　　法有○筹式　　　　　法此欲分作【九百○七分】也故以【九○七】

　　假如布二万　　　　　　为法用三筹

　　一千七百六　　　　　　　　　　　如图简筹第【二】行

　　十八丈给与　　　　　　　　　　　【一八一四】商作【二】减实

　　九百○七人　　　　　　　　　　　【一万八千一百四十】余【三千六百】

　　各几何　　　　　　　　　　　　　【二十八丈】次简第【四】行

　　答曰【每人二　　　　　　　　　　　三六十四丈　　　　　　　　　　　二八】商【四】除实尽以上例皆法少于实故法首在原实中乃本法也

　　以上两例皆法多于实者其法首位或在原实中必原实首位也或不在原实中则在其原实上几位也要之皆不能满法其所得必为分秒乃通变之法也

　　论曰除者分也吾欲作几分分之则为法所分之物为实所分之物能如所欲分之数则为满法满法则成一整数假如【三十六】人分布而布有【三十六】丈则各人分得一丈古云实如法而一正谓此也程大位算法统宗曰归扵法前得零其意亦同此立法之本意也乃有所分之物原少于所欲分之数是不满法也既不满法则不能成一整数而所分者皆分秒之数假如【三十六】人分布【二十七】丈则每人不能分一丈只各得【七尺五寸】是于【一丈】内得其【七分五秒】也然必先知整数然后可以知分秒故必于原实上虚拟一满法之位若曰能如此则分得整数矣而今不能则所分得者皆分秒也于是视所拟整数虚位距商数若干位而命之若相差一位则得为十之一【如两有钱尺有寸】隔位则为百之一【如两有分丈有寸】此乃通变之法要其为法上得零则一而已矣

　　又论曰此原实即不满法也若余实不满法除之终不能尽则以命分之法御之详后

　　命分法

　　法曰凡除法商数至单已极而有余实不尽者不能成一整数也则以法命之此有二法

　　一法即以除法为命分不尽之数为得分则云几十几分之几

　　解曰命分者以一整数拟作若干分而命之如满此数则成一整数而今数少故命之也得分者今所仅有之数在命分数内得若干也【命分者古谓之分母得分者古谓之分子】

　　假如古厯以九百四十分为日法每年三百六十五日又九百四十分日之二百三十五约为四之一【约法见后】

　　一法除之至尽古厯家所谓退除为分秒是也单下有一位命为十分之几有两位命为百分之几十几三位则命分千四位则命分万皆以除得数为得分

　　假如授时厯法每嵗三百六十五日二千四百二十五分是以万分为日即命分也

　　式如后

　　假如五尺为歩每方一歩积二十五尺今有积二百四十尺得若干步

　　答曰九步又五分步之三

　　如图列实简筹第九行是二二

　　五商作九【第九行故】减实二百二十

　　五尺余一十五不尽以法命之

　　命为九步又二十五分歩之一

　　十五约为五之三【约分法见后】

　　若用第二命分法再列余实加

　　○位商之以得其分秒如后

　　余实下加一圈则一十五尺通

　　为一百五十分可再商矣

　　简等第六行是一五○商六分

　　除余实恰尽

　　命分九歩六分【即十分歩之六

　　命分第二法与法多于实除法同故皆曰除分秒也】

　　若余实为一十六尺则又不尽一尺法当于不尽一○之下再加一圈为一○○使此一尺化为一百分而再除之得四厘共九歩六分四厘【即百分歩之六十四】

　　约分法

　　约分者约其繁以从简也

　　法曰母数子数平列相减而得其纽数即以纽数为法转除两原数而得其可约之分

　　凡约分相减不拘左右但以少减多如左少右多则以左减右左多右少则以右减左若减之后或多者变而少则转减之必减至左右相同无可减而止即纽数也【若一减之即得纽数则不必转减】

　　解曰纽数者互相减之余数相等者也以此除两数则皆可分乃两数之枢纽

　　若相减至尽而无纽数者则不可约

　　假如母数二十五子数一十五约之若干

　　畣曰五之三

　　一○　先以【十五】　　复以【一十】　○五

　　二五　减【二十五】一○转减【十五】　一○

　　一五　余【一十○】一五　余【○五】　　○五

　　复以【○五】转减【一十】余【○五左右皆五即为纽数】以纽数【○五】为法转除母【二十五】得【五】除子数【一十五】得【三】故曰五之三葢母数是五个五子数是三个五也

　　此转减例

　　又如母数九百四十子数二百三十五约之若干畣曰四之一

　　先以【二百三十五】减【九百四十】余【七百○五】又减之余【四百七十○】又减之余【二百三十五】

　　左右皆【二百三十五】即纽数也

　　以纽数【二百三十五】转除母数【九百四十】得【四】除子数【二百三十五】得一故曰四之一

　　母数是四个【二百三十五】

　　子数是一个【二百三十五】

　　此不转减例

　　厯算全书巻三十

　　钦定四库全书

　　厯算全书巻三十一

　　宣城梅文鼎撰

　　筹算二之三

　　开平方法

　　勿庵氏曰自周髀算经特着开平方法其説谓周公受于商髙矩地规天为用甚大然有实无法故少广之在九数别自为章今以筹御之简易直截亦数学之一乐也

　　解曰平方者长濶相等之形也其中所容古谓之幂积亦曰面幂西法谓之面面有方有圆此所求者方面也其法有方有亷有隅总曰平方也【幂音覔覆物中也】开亦除也以所有散数整齐而布列之为正方形故不曰除而曰开平方四边相等今所求者其一边之数西法谓之方根

　　如后图方者初商也初商不尽则倍初商之根为亷法除之得两亷又以次商为隅法自乘得隅隅者以补两廉之空合一方两亷一隅成一正方形

　　如图一方两廉一隅除积仍不尽则合初商次商倍之为廉法除之以得次两廉又以三商为隅法自乘得隅合一方四廉两隅成一正方形【商四次以上仿此加之】

　　解曰上两位者自乘之积也假如方一十则其积一百方二十则其积四百以至方九十则其积八千一百也下一位者方根也假如积一百则其根一十积四百则其根二十乃至积八千一百则其根九十也平方筹式列左

　　开平方筹只用两位积数何也曰开方难得者初商耳平方积数虽多而初商所用者只两位次商以后皆亷积也亷积可用小筹除之开方大筹専为初商故积止两位

　　筹下一位单数也而实有百也万也百万也亿也百亿也万亿也百万亿也皆与单同理故独商首位者用下位之积数焉【其积自○一至○九其方根为一二三】

　　筹上一位十数也而实有千也十万也千万也十亿也千亿也十万亿也干万亿也皆与十同理故合商两位者用上下两位之积数焉【其积自一六至八一其方根自四至九】

　　用法曰先以实列位列至单位止实有空位作圏以存其位次乃作凡作之法皆从实单位实单位起作一毎隔位则之而视其最上一以为用首位有防者以实首一位独商之【乃补作一圏于原实之上亦成两位之形】

　　首位无在次位者以实首位合商之

　　皆视平方大筹积数有与相同或差小于实者用之以减原数而得方数即初商也

　　定位法曰既得初商则约实以定其位知其所得为何等【或单或十或百之类】以求次商

　　其法依前隔位所作之总计之视有若干防

　　假如只一者初商所得必单数也【自方一至方九】则初商已尽无次商矣

　　有二者初商所得必十数也【自方一十至方九十】初商十数者有次商

　　有三者初商所得必百数也【自方一百至方九百】初商百数者有次商又有三商

　　有四者初商千也有商四次焉

　　有五者初商万也有商五次焉

　　次商法曰依前术定位则知其宜有次商与否

　　若已开得单数虽减积不尽不必更求次商也虽未开得单数而初商减尽亦不必更求次商也惟初商未是单数而减积又有不尽是有次商矣次商者　倍初商为亷法用小筹以除之【初商一则用第二筹初商七则用第一第四两筹皆取倍数】视筹积数有小于余实者用之为亷积视亷积在小筹某行命为次商数

　　既得次商减去亷积即用次商数为隅法以求隅积隅积小平方也即隅法自乘之数也【可借开方筹取之】若隅积大于余实不及减者转改次商及减而止

　　以数明之　假如积一百其方根十即除实尽此独用方法无亷隅矣若积一百四十四初商十除实百余四十四则倍初商之根得廿为亷法【在初商之两旁故曰亷亷有二故倍之也】次商二以乘亷得四十为亷积又次商二为隅法自乘得四为隅积共四十四除实尽开其根得一十二也

　　商三次以上法曰次商所得尚非单数而减积又有不尽是有第三次商矣

　　商第三次者合初商次商数皆倍之为次亷法　如前用筹以除余实求得第三商以减亷积

　　又即以第三商之数为隅法以求隅积皆如次商

　　商四次五次以上并同第三商

　　命分法曰但开至单数而有余实者是不尽也不尽者以法命之法以所开得数倍之又加隅一为命分不尽之数为得分　凡得分必小于命分

　　亦有开未至单宜有续商而其余实甚少不能除作单一者亦如法命之而于其开得平方数下作圈纪其位如云平方每面几十○又几十几分之几　或平方每面几百○○又几百几十几分之几

　　若欲知其小分别有开除分秒法见第七巻

　　列商数法曰凡初商得数而书之有二法　其法依前隔位所作以最上一为主凡得数皆书于此之上一位五以上者又进一位故有二法也

　　其故何也五以上之亷倍之则十故豫进一位以居次商四以下虽倍之犹单数也所以不同凡归除开平方须明此理不则皆误矣　大约所商单数必在亷法之上一位乃法上得零之理也平方有实无法亷法者乃其法也

　　凡次商列位亦有二法　次商用归除除法者皆书于筹之第一位故次商以之

　　看次商所减之数其筹行内第一位是空与否若不空即以次商数对而书之对余实首一位是也

　　若第一位是圈即以次商数进位书之以暗对其圏余实上一位是也

　　知此则知空位矣次商有一定之位故空位亦一定也如次商与初商隔位则作圈隔两位作两圈是也

　　商三次以上书法并同

　　隅积定位法曰凡减隅积皆视其隅数为何等【隅数即次商之数也或单或十或百千等】以求其积

　　隅数是单其减隅积亦尽于单位

　　隅数是十其减隅积必尽于百位

　　隅数是百其减隅积必尽于万位

　　隅数千其隅积必百万

　　隅数万其隅积必亿

　　每隅数进退一位则隅积差两位【隅积小平方也故皆与初商同理】

　　还原法曰凡开方还原皆以所开得数为法又为实而自相乘之有不尽者以不尽之数加入即得原数

　　假如有积三百六十平方开之

　　列位【单位作圈】作防【从单位起】

　　视首位有以首位三百独商之乃视平方筹积数有小于○三者是○一也○一之方一故商一十【有二故初商是十】

　　于原实内减去方积一百余二百六十【初商是十知有次商】以上一为主凡得数皆书于此之上一位此常法也四以下用常法

　　次倍初商【一十】作【二十】用第二筹为亷法

　　视筹第九行积一八小于二六次商九于初商一十之下去亷积一百八十余八十【所减数在筹上一位不空故以商数九对余实首位书之】

　　次以次商九为隅法其隅积八十一大于余实不及减应转改次商为八视筹之第八行积数【一六】减亷积一百六十余一百【所减第一位下空故对位书之】

　　乃以次商八为隅法减隅自乘积【六十四】余【三十六】不尽

　　隅数单故减隅积亦尽于单位

　　初商【一十】次商【八】共【一十八】是已开至

　　单位也而有单位也以法命之　以平方【一十八】倍之又加隅【一】共【三十七】为命分

　　命为平方一十八又三十七分之三十六

　　还原法

　　以平方一十八用筹为法即以平方

　　一十八为实而自相乘之得三百二

　　十四加入不尽之数三十六共得三

　　百六十如原数

　　命分还原论详别巻

　　假如有积一十二万九千六百平方开之

　　列位　作

　　视首位无在次位以两位一

　　十二万合商之

　　乃视平方筹积有小于一二者是

　　○九其方三也于是商三百【三故初商百】减去方积九万余三万九千六百【初商百故知有次商】

　　次倍初商【三百】作【六百】用第六筹为亷法

　　视筹第六行积数【三六】小于【三九】次商六十于初商三百之下减去亷积三万六千余三千六百【所减首位不空故对书之】次以次商【六十】为隅法减隅积三千六百恰尽【隅数十故减隅积必尽于百位】

　　凡开得平方三百六十○　开方虽未至单减积已尽是方面无单数也后仿此

　　还原法

　　以所得平方三百六十○为法为实而自相乘之得一十二万九千六百○○如原数

　　假如有积一千平方开之

　　列位　作防

　　视在次位以首二位一千○百合商之

　　乃视平方筹小于【一○】者【○九】也【○九】

　　之方三商作三十【二防故初商十】减方积九百余一百次以初商【三十】倍作【六十】用第六筹为亷法

　　视第六筹第一行是【○六】小于【一百】次商一千初商三十之下减亷积六十余四十【所减是○六首位空也故书于进位以对其○今虽对于余实以所减六十言之犹进位也列位之理明矣】

　　次以次商一为隅法减隅积一余三十九不尽【隅积尽单位】

　　所开已至单位而有不尽以法命之倍所商三十一又加隅一共六十三为命分

　　命为平方三十一又六十三分之三十九

　　此以上皆初商四以下列位之例　皆以最上之一为主而书其初商所得数于防之上一位乃常法也

　　假如有积四千○九十六平方开之

　　列位　作

　　视在次位以四千○百合商之

　　乃视平方筹积数有三六小于四○

　　其方六也商作六十【二防故初商十】减方积

　　三千六百余四百九十六【初商十故知有次商】

　　以最上一为主而书其得数于之上两位乃进法五以上用进法

　　次倍初商【六十】作【一百二十】为亷法【用第一第二两筹】视筹第四行积数【四八】小于余实次商四于初商六十之下减亷积四百八十余一十六【所减是○四八首位空也故次商四进位书之若初商不进则次商同位矣】

　　次以次商四为隅法减隅积一十六恰尽【隅数单故隅积尽单位】

　　凡开得平方六十四

　　假如有积八千○九十九以平方开之

　　列位　作

　　视在次位以八千○百合商之

　　乃视平方筹有【六四】小于【八○】　其方

　　八也于是商八十【二防故初商十】除实六千

　　四百余一千六百九十九【初商是十宜有次商】次以初商八十倍作一百六十为亷

　　法【用第一第六两筹】

　　合视两筹第一行积【一六】与余实同宜商【一十】因无隅积改用第九行【一四四】次商九于初商八十之下减亷积一千四百四十余二百五十九【所减第一位不空故对位书之】

　　次以次商九为隅法减隅积【八十一】仍余一百七十八不尽【隅数单隅积尽单位】

　　已开至单位而有不尽以法命之　应倍所商八十九又加隅一共一百七十九为命分

　　命为平方八十九又一百七十九分之一百七十八【因少一数故不能成九十之方】

　　假如有积二千五百四十八万二千三百○四平方开之列位　作

　　视在次位以二千五百万合商

　　之

　　乃视平方筹积有【二五】与实相

　　同其方五也商五千【四防故初商千】除方积二千五百万余四十八万二千三百○四【初商千有次商】

　　【又法既以四防知所得为五千倍之则为一万即亷法也法上一位便是单逆上三倍则五千位矣】

　　次倍初商【五千】作【一万】为亷法【用第一筹】

　　视筹第四行积四与余实同次商四十于初商五千之隔位减亷积四十万余八万二千三百○四【所减是○四故进位书之以对其○然与初商五千犹隔一位故知所得为四十此定位之法之妙也】次以次商四十为隅法减隅积一千六百余八万○七百○四【隅数十故减隅积尽于百位　商至十有末商】

　　次合初商次商倍之得【一万○○八十】为亷【用第一第八并二空位共四筹】

　　【大凡商五数以上则其亷法视所商方数必进一位不论初商次商皆然若四以下则其亷法视方数必同位亦初次商尽然】

　　合视筹内第八行积数【八○六四】小于余实又次商八于先商五千○四十之下减亷积八万○六百四十余六十四【此所减第一位亦是○故商数八亦进位书之以对其○】

　　次以末商八为隅法用减隅积六十四恰尽【隅数是单故减隅积亦必尽于单位】

　　凡开得平方五千○四十八

　　以上皆商五以上进书例也

　　常法中有初商得二或四者进法中有初商得七或九者并杂见开方分秒法并开方捷法中

　　开立方法【筹算三】

　　勿庵氏曰物可以长短度者泰西家谓之线线之原度一横一缩而自相乘之以得其羃积者平方也西法谓之方面方面与线再相乘而得其容积则立方也西法谓之体

　　解曰平方长濶相等形如碁局立方长濶髙皆相等形如骰子细分之有方有平亷有长亷有小隅总曰立方

　　立方亦有实无法以所有散数整齐之成一立方形故亦曰开

　　立方长濶髙皆等今所求者其一边之数故西法亦曰立方根

　　如图方者初商也初商不尽

　　则再商之于是有三平亷三

　　长亷一小隅共七并初商方

　　形而八合之成一立方形

　　如图方形者长濶髙皆如初商之数

　　方形只一

　　如图平亷形者长濶相同皆如初商数其厚则如次商数　【平亷形凡三以辅于方形之三面】长亷者长如初商数其两头髙与濶等皆如次商数　【长亷形亦三以补三平亷之隙】

　　小隅者长濶髙皆等皆如次商数　【其形只一以补三长亷之隙】

　　商三位图

　　如后图一方三平亷三长亷

　　一小隅除实仍不尽则更商

　　又得次平廉次长廉各三

　　次小隅一合之共十五形凑

　　成一大立方形　次平亷之

　　长濶相等皆如初商并次商

　　之数厚如三商数其形三以

　　辅初商并次商合形之外　次长亷之长如初商并次商之数其濶与厚相等皆如三商数其形亦三以补次平亷之隙次小隅之长濶髙皆等皆如三商数其形只一以补次长亷之隙

　　立方筹式【列后】

　　解曰上三位者自乘再乘之积也假如根一十则其积一千根二十则其积八千乃至根九十则其积七十二万九千也　次两位者自乘之积即平方也置于立方

　　筹者以为亷法之用假如初商一百则

　　其平亷亦方一百其积一万乃至商九

　　百则其平亷方九百而积八十一万也

　　又如次商一十则其长亷之两头亦必

　　方一十而积一百乃至次商九十则其

　　长亷之两头必方九十而积八千一百

　　也　下一位者方根也假如立积一千

　　则其根一十立积八千则其根二十乃

　　至积七十二万九千则其根九十也

　　立方筹三位何也自乘再乘之数止于三位也且以为初商之用故只须三位其余实虽多位皆亷积耳

　　用法曰先以积列位至单位止无单者作圈以存其位次作从单位起每隔两位作一【即满三位去之之法也】讫视最上一以为用

　　在首位者独商之以首位为初商之实

　　单数商法也　若千若百万若十亿若万亿若千万亿凡以三位去之余一位者皆与单法同

　　在次位者合首两位为初商之实

　　十数商法也　若万若千万若百亿若十万亿若兆凡以三位去之余二位者皆与十同法

　　在第三位者合首三位为初商之实

　　百数商法也　若十万若亿若千亿若百万亿若十兆凡以三位去之余三位者皆与百同法

　　又法视其在首位则于原实之上加两圈在次位者上加一圈皆合三位而商之

　　次以初商之实与立方筹相比勘视立方筹积数有与实相同或差小于实者用之以减原实而得其立方之数即初商也

　　定位法曰既得初商则约实以定位知所得立方为何等【或单或十百等】以知有续商与否　皆以前所作防而合计之视有若干之命之

　　假如只有一则商数是单　初商已得单数无次商

　　有二防者商数十　初商十数者有商两次焉有三者商数百　初商百数者有三三次焉四商千　五防商万　每多一防则得数进一位而其商数亦多一次皆以商得单数乃尽也

　　减积法曰凡初商减积皆止于最上之位

　　次商法曰依前定位若初商末是单而减积未尽是有次商也次商者有平亷法有长亷法有隅法【解曰平亷古曰方法长亷法古曰亷法以后或曰平亷长长亷从质也或省曰方法亷法从古也】

　　先以所得初商数三之为亷法

　　又以初商数自乘而三之为三法　以方法用筹除积以得次商【以列位之法定之其法见后】

　　既得次商用其数以乘方法为三平亷积

　　又以次商自乘以乘亷法为三长亷积

　　其次商即为隅法　以隅法自乘再乘得小立方积为隅积

　　乃并三平亷三长亷一小隅积为次商亷隅共积若此亷隅共积与余积适等或小于余积则减而去之视其仍余若干以为用【或续商或以法命之】

　　若共积反大于余实不及减转改次商及减而止【若次商单一而无减以法命之】

　　商三次法曰次商尚未是单而减积未尽是有第三次商也

　　第三次商者合初商次商得数而三之为亷法又合初商次商得数自乘而三之为方法　如前以方法用筹除余实求得第三商【亦以列位法详其所得】

　　既得第三商如前求得三平亷三长亷一小隅积以减余实其法并同次商

　　四次以上皆同法

　　命分法曰但商得单数而有不尽则以法命之　未商得单数而余实甚少不能商单一者亦以法命之其法以所商立方数自乘而三之【如平亷】又以立方数三之【如长亷】又加单一【如小隅】并三数为命分不尽之数为得分　其命分必大于得分

　　列商数法曰依前隔位作防以最上一为主而论之有三法凡商得立方一数者于此之上一位书之【或单一或一十或一百或一千并同】此常法也

　　若商得立方二三四五者于此之上两位书之【单十百千其法并同】乃进法也

　　若商得立方六七八九者于此之上三位书之【单十百千其法并同】乃超进法也

　　平方只有进法而立方有三法何也平方以亷法为法而平方只二亷故其亷法之积数只有进一位故止立进法与常法为二也立方以方法为法而立方有三平廉故其方法之积数有进一位进两位故立进法超进法而与常法为三也其预为续商之地使所得单数居于法之上一位则同

　　假如立方单一其方法单三　若立方单二则方法一十二变为十数进一位矣故单一用常法而单二即用进法也

　　又如立方单五其方法七十五　若立方单六则方法一百○八又变百数进两位矣故单五只用进法而单六以上必用超进之法也

　　假如立方一十其方法三百　若立方二十则方法一千二百变千数进一位矣故一十只用常法而二十即用进法也

　　又如立方五十其方法七千五百　若立方六十则方法一万○八百又变万数进两位矣故五十仍用进法而六十以上必用超进之法也

　　若宜进而不进宜超进而不超进则初商次商同位矣不宜进而进则初商次商理不相接矣此归除开立方之大法也

　　其次商列位理本归除以所减积数首一位是空不是空定其进退皆同平方　商三次以上并同

　　隅积法曰隅法单隅积尽单位　隅法是十隅积尽于千位

　　隅法百隅积尽百万之位　以上仿求　大约隅法大一位则隅积大三位

　　还原法曰置开得立方数为实以立方数为法乘之得数再以立方数乘之有不尽者加入不尽之数即得原实

　　假如有积一千三百三十一立方开之

　　列位　作【从单位起】

　　视首位有以○○一千为初商

　　之实

　　乃视立方筹有○○一其立方一

　　于是商一十【有二故商十】减去立方积一千余三百三十一【初商十者有次商也】

　　以最上为主商一数者书于防之上一位常法也次以初商一十而三之得三十为亷法

　　又以初商一十自乘而三之得三百为方法【用第三】

　　视筹第一行积数○三与余

　　实同次商一于初商一十之

　　下【减积首位是○故进位书于一十之下以暗对其○】

　　于是以次商一乘方法仍得三百为平亷积　又以次商一自乘仍得一用乘亷法仍得三十为长亷积又以次商一自乘再乘皆仍得一为隅积　并三

　　积共三百三十一除余实恰尽

　　凡开得立方一十一【还法以立方一十一自乘得一百二十一又以一十一再乘合原积】

　　假如有积一十二亿五千九百七十一万二千立方开之列位　作

　　视首位有以○○一十

　　亿为初商之实

　　乃视立方筹有○○一其方亦一于是商一千减立方积一十亿余二亿五千九百七十一万二千次以初商一千而三因之得三千为亷法

　　又以初商一千自乘得一百万而三之得三百万为方法【用第三筹】

　　视第三筹之第八行积数二四小于余实次商八十于初商一千之下一位【所减首位不空故次商八书本位而上一位作○因与次商隔位故知其是十】

　　就以次商八十乘方法三百万得二亿四千万为平亷积

　　又以次商八十自乘得六千四百用乘廉法三千得二千九百二十万为长亷积　又次商八十自乘再乘得五十一万二千为隅积　并三积共二亿五千九百七十一万二千除实尽

　　凡开得立方一千○八十○【初商千次商○八是十而除实已尽是所商单位亦○也此列位之妙】

　　以上皆商得一数例也　皆以最上一为主而以初商得数书于之上一位乃常法也惟商得一数者可用常法一十一百一千一万并同

　　假如有积九千二百六十一立方开之

　　列位　作

　　视在首位以○○九千命为初商之实

　　乃视立方筹积有小于○○九者

　　○○八也其立方二于是商二十

　　【二故初商十】减立方积八千余一千二

　　百六十一

　　以最上一为主而以得数书于防之上两位乃进法也商二至五之法也

　　次以初商二十用三因之得六十为亷法

　　又以初商二十自乘得四百而三因之得一千二百为方法【用第一第二两筹】

　　合两筹第一行积一二与余实相同次商单一于初商二十之下【所减首位空宜进书也若初商不先用进法则无以处次商矣故进法自商二始】

　　就以次商一乘方法仍得一千二百为三平亷积又以次商一自乘得一用乘亷法仍得六十为三长亷积又以次商一自乘再乘皆仍得一为隅积　并三积共一千二百六十一除实尽凡开得立方二十一

　　假如有立方积三万二千七百六十八立方开之问得若干

　　列位　作

　　视在次位以○三万二千为初

　　商之实乃视立方筹积小于○三

　　二者是○二七其立方三也于是

　　商三十【二防故初商十】减商三十【二故初商十】减立方积二万七千余五千七百六十八

　　次以初商三十用三因得九十为亷法

　　又以初商三十自乘得九百而三之得二千七百为方法【用第二第七两筹】

　　合视两筹第二行积○五四小于余实次商单二于初商三十之下【所减首位○宜进书以对其○】

　　就以次商单二乘方法得五千四百为平亷积　又以次商自乘得四用乘廉法得三百六十为长廉积又以次商自乘再乘得八为隅积　并三积共五

　　千七百六十八除实尽凡开得立方三十二

　　假如有立方积一十一万七千六百四十九立方开得若干

　　列位　作

　　视在第三位以一十一万七千为初商之实

　　乃视立方筹积有小于一一七者

　　○六四也其立方四于是商四十

　　【二故初商十】减立方积六万四千余五

　　万三千六百四十九　次以初商四十用三因之得一百二十为亷法

　　又以初商四十自乘得一千六百而三之得四千八百为方法【用第四第八两筹】

　　合视两筹第九行积数四三二小于余实次商九于初商四十之下【所减首位不空故本位书之】

　　就以次商九乘方法得四万三千二百为平亷积又以次商九自乘得八十一用乘亷法得九千七百二十为长亷积　又以次商九自乘再乘得七百二十九为隅积　合计亷隅三积共五万三千六百四十九除实尽

　　凡开得立方四十九

　　假如有积一千六百六十三亿七千五百万立方开得若干

　　列位　作

　　视在第三位以一千六百六十亿为初商之实

　　乃视立方筹有小于一六

　　六者是一二五其立方五

　　也商作五千【四商千】除立方

　　积一千二百五十亿余四百一十三亿七千五百万次以初商五千用三因之得一万五千为亷法又以初商五千自乘得二千五百万三因之得七千五百万为方法【用第七第五两筹】

　　合视两筹第五行积三七五小于余实次商五百于初商五千之下【所减首位不空故书本位】

　　就以次商五百乘方法得三百七十五亿为平亷积又以次商五百自乘得二十五万用乘亷法得三

　　十七亿五千万为长亷积　又以次商五百自乘再乘得一亿二千五百万为隅积　并三积共四百一十三亿七千五百万除实尽　凡开得立方五千五百○○

　　以上乃商得二三四五之例也　皆以最上一为主而以初商所得进书之上两位进法也初商得二三四五者用进法单十百千并同

　　假如有积二十六万二千一百四十四立方开之列位　作

　　视在第三位以二十六万二

　　千为初商之实

　　乃视立方筹有小于二六二者

　　二一六也其立方是六商六十【二防商十】减立方积二十一万六千余四万六千一百四十四

　　以最上一为主而以得数书于之上三位超进法也乃商六至九之法也

　　次以初商六十用三因之得一百八十为亷法又以初商六十自乘得三千六百而三因之得一万○八百为方法【用第一空位第八三筹】

　　合视筹第四行积四三二小于余实次商四于初商六十之下【所减首位是○故进位书之以对其○】

　　就以次商四乘方法得四万三千二百为平亷积又以次商四自乘得一十六用乘亷法得二千八百八十为长亷积　又以四自乘再乘得六十四为隅积　并三积共四万六千一百四十四除实尽凡开得立方六十四

　　假如有积三十七万三千二百四十八立方开之列位　作

　　视在第三位以三十七万三千为初商之实

　　乃视立方筹积有小于三七三

　　者是三四三其立方七也商七

　　十【二商十】减立方积三十四万三

　　千余三万○二百四十八次以初商七十用三因之得二百一十为亷法

　　又以初商七十自乘得四千九百三之得一万四千七百为方法【用第一第四第七三筹】

　　合视筹第二行积二九四小于余实次商二于初商七十之下【所减首位空故进位书之以对其○】

　　就以次商二乘方法得二万九千四百为平亷积又以二自之得四用乘亷法得八百四十为长亷积又以二自乘再乘得八为隅积　并三积共三万

　　○二百四十八除实尽凡开得立方七十二

　　假如有积五十三万一千四百四十一立方开之列位　作

　　视在第三位以五十三万一千为初商之实

　　乃视立方筹积有五一二小于

　　五三一其方八也商八十【二商十】减立方积五十一万二千余一

　　万九千四百四十一

　　次以初商八十用三因之得二百四十为亷法又以八十自乘得六千四百三之得一万九千二百为方法【用第一第九第二三筹】

　　合视筹第一行是一九二小于实次商一于初商之下　就以次商一乘方法为平亷积　又以一自乘用乘亷法为长亷积　又以一自乘再乘为隅积并三积共一万九千四百四十一除实尽

　　凡开得立方八十一

　　假如有积九十七万○二百九十九立方开之

　　列位　作

　　视在第三位以九十七万○为初商之实

　　乃视立方筹有七二九小于九七○其方九也商九

　　十【二商十】减积七十二万九千余

　　二十四万一千二百九十九

　　次以初商九十三之得二百七十为亷法

　　又以九十自之得八千一百而三之得二万四千三百为方法【用第二第四第三三筹】

　　合视筹第九行是二一八七小于余实次商九于初商九十之下【所减首位不空故本位书之】

　　就以次商九乘方法得二十一万八千七百为平亷积　又以九自乘得八十一以乘亷法得二万一千八百七十为长亷积　又以九自乘再乘得七百二十九为隅积　并三积共二十四万一千二百九十九除实尽凡开得立方九十九

　　此以上皆初商六七八九之例也　皆以最上一为主而以得数书于之上三位乃超进法也初商六七八九用超进之法单十百千并同

　　命分例

　　假如有立方八百一十尺问立方每面各若干

　　列位　作

　　在第三位以八百一十○尺为

　　初商之实

　　视立方筹有小于实者为七二九

　　其立方九商九尺减积【七百二十九尺】余【八十一尺】

　　此商数已至单尺而有不尽当以法命之

　　法以商数九自乘【八十一】而三之得【二百四十三】如平亷又置商数九而三之得【二十七】如长亷　加小隅一共【二百七十一】为命分

　　命为立方每面九尺又二百七十一分尺之八十一此商得单数而有不尽以法命之例也

　　又如有立方积一亿二千五百七十五万尺问立方若干

　　列位　作

　　在第三位以一亿二千五百万

　　尺为初商实

　　视立方筹有【一二五】恰与实合商【五百尺】减实【一亿二千五百万尺】余【七十五万○○○○尺】

　　有三故知所商是【五百尺】宜有第二商第三商也乃以初商【五百尺】自乘【二十五万尺】而三之得【七十五万尺】为平亷法又以初商【五百尺】三之得【一千五百尺】为长亷法视余实【七十五万尺】仅足平亷之数而无长亷知第二商第三商皆空也补作两圈而以法命之

　　法以平亷法长亷法合数加小隅一共【七十五万一千五百○一尺】为命分

　　命为立方每面五百尺又七十五万一千五百○一分尺之七十五万○○○○

　　此商数虽未至单而余实甚少不能成一整数亦以法命之例也

　　厯算全书巻三十一

　　钦定四库全书

　　厯算全书巻三十二

　　宣城梅文鼎撰

　　筹算四之五

　　开带纵平方法

　　勿庵氏曰算有九极于勾股勾股出于圆方故少广旁要相资为用也然开平方以御勾股而纵法以御和较古有益积减积翻积诸术参伍错综尽神通变要之皆带纵一法而已

　　【平方者长濶相等如碁局也平方带纵者直田也长多于濶之数谓

　　之纵纵之濶如平方之数其长则如纵之数纵与方相乘得纵积以

　　加方积成一直田形积也】

　　平方与方纵两形初商之积也两

　　亷一隅一亷纵者次商之积也亷

　　有二故倍之亷之纵只一故不倍

　　也

　　如前图除积不尽则有第三商如

　　此图虽三商亦只倍亷而不倍纵

　　四商以上仿此详之

　　用法曰先以积列位如法作防从单位起隔位防之视防在首位独商之防在次位合两位商之皆命为实次以带纵数用筹与平方筹并列之各为法

　　视平方筹积数有小于实者用其方数为初商用其积数为方积【初商自乘之数也】　即视纵筹与初商同行之积数用之为纵积【初商乘纵之数也如初商一则用纵筹第一行】兼方积纵积两数以减原实而定初商【必原实中兼此两积之数则初商无悮矣故曰定】　若原实不及减改而商之如前求得两积以减之为初商定数　不及减又改商之及减而止若应商十数因无纵积改商单九是初商空也则于初商之位作○而纪其改商之数于○下若次商者然【初商应是百而改九十应是千而改九百并同】

　　定位法曰既得初商视所作原实之防共有几何以定其得数之位以知其有次商与否【如一防则得数是单而无次商二防则得数是十而有次商之类皆如平方法取之】

　　次商法曰依前定位知初商未是单数而减积又有未尽是有次商也　次商之法倍初商加入纵为亷法用筹除之　视亷法筹行内之积数有小于余实者用为亷积以减余实用其行数为次商　就以次商自乘为隅积以减余实以定次商【必余实内有亷隅两积则次商无误】不及减者改商之及减而止皆如平方法

　　商三次以上并同次商

　　命分法曰若得数已是单而有不尽则以法命之　法以所商数倍之加入纵为亷又加隅一为命分不尽之数为得分

　　亦有得数非单而余实少在亷法以下不能商作单一者亦以法命之　法即以亷法加隅一为命分

　　列商数法曰依平方法视所作防而以最上一防为主若初商五以上【不论单五或五十或五千或五百并同】皆用进法书其其得数于防之上两位则不论纵之多少也

　　若初商四以下【亦不论单十百千】则以纵之多少而为之进退法以纵折半加入初商【单从单十从十百千各以类加】若满五以上者变从进法书于防之上两位【如初商四而纵有二初商三而纵有四之类】

　　若纵数少虽加之而仍不满五数者仍用常法书其得数于防之上一位【如初商四而纵只有一初商三而纵只有二只有二之类】总而言之所商单数皆书于亷法之上一位故初商得数有进退之法乃豫为亷法之地以居次商也初商五以上倍之则十虽无纵加亷法已进位矣初商虽四以下而以半纵加之满五则其倍之加纵而为亷法也亦满十而进位矣亷法进位故初商必进两位书也若加半纵仍不满五则其亷法无进位矣故初商只进一位而书之葢豫算所商单数已在亷法之上也

　　又初商若得单数其亷法即为命分凡商得单数必在命分之上一位以此考之庶无谬误

　　假如有直田积六十三步但云濶不及长二步

　　列位【依平方法】作防【从单位起】

　　视防在次位合六十三步商之为实次以平方筹与纵二筹平列之各为法

　　视平方筹积有【四九】小于【六三】其方七也商作单

　　七【用进法书于防之上两位　一防知所商是单】

　　即视带纵筹第七行积数【一四】用为纵积

　　并方积【四十九】纵积【一十四】共六十三除实尽【此亦偶除尽耳设不尽其命分必是十数故前商七之数必进书之以存其位】

　　定为濶七步　加纵二步得长九步

　　凡得数在五以上用进法书于防之上两位此其例也

　　假如有直田六百三十步但云长多濶二步

　　列位【无单位补作圈】作防

　　视防在首位独商之以○六百步

　　为实

　　以平方带纵二各用筹为法

　　视平方筹积数有【○四】小于【○六】

　　其方二商二十步【二防故初商十】自乘得方积【四百步】随视纵筹第二行是【四】得纵积【四十步】并两积共四百四十步以减原实余一百九十步再商之【初商十故有次商也商数二十以纵折半得单一加之共二十一仍不满五数故只用常法书于防之上一位】

　　次以初商【二十步】倍之【四十步】加纵【二步】共四十二步为亷法【用第四第二两筹】

　　合视两筹第四行积数【一六八】小于【一九○】次商【四】减亷积一百六十八步余二十二步【所减首位不空次商故书本位】次以次商【四步】为隅法自乘得【一十六步】为隅积用减余实不尽六步以法命之【初商虽不进位所得次商单数已在命分之上一位矣列商数法妙在于此】倍所商【二十四步】为【四十八步】加纵【二步】又加隅【一步】共五十一步为命分

　　命为濶【二十四步】又【五十一分步之六】加纵【二步】得长【二十六步】又【五十一分歩之六】

　　凡得数在四以下以半纵加之仍不满五则只用常法书于防之上一位此其例也

　　假如有直田五亩但云长多濶八十八步

　　列位【以亩法二百四十通之得一千二百步十步单步空补作两圈】作防

　　视防在次位合商之以一千二

　　百步为实纵有两位用两筹与

　　平方筹并列各为法

　　先视平方筹有【○九】小于【一二】宜商三十【二防商十】因有纵改商二

　　十其方积四百步纵积一千七

　　百六十步【初商十与纵相乘故纵单数皆成十数】兼两积共二千一百六十步大于实不及减所商有误抹去之

　　改商【一十步】其方积【一百步】其纵积【八百八十步】并两积共除实九百八十步余二百二十步再为实以求次商【初商十故有次商也】

　　【纵折半四十四步加初商一十步共五十四步故变用进法】

　　次以初商【一十步】倍之【二十步】加纵【八十八步】共一百○八步为亷法【用第一空位第八三筹】

　　合视筹第二行积【二一六】小于【二二○】次商【二步】于初商【一十步】之下减亷积一百一十六余四步【所减首位○故进书之初商豫进正为此也】

　　次以次商【二步】自乘得四步为隅积除实尽

　　定为濶一十二步加纵【八十八步】得长一百步

　　假如有直田一十二亩半但云长多濶七十步

　　列位【以亩法二百四十通之得三千步百十单皆作圈】作防

　　视防在次位以三千○百步为实

　　以平方带纵七十各用筹为法

　　先视平方筹积有二五小于【三○】宜

　　商【五十】因纵改商【四十步】其方积一

　　千六百步其纵积二千八百步共四

　　千四百步大于实不及减抹去之

　　改商【三十步】其方积【九百步】其纵积【二千一百步】共三千步除实尽

　　【纵七十折半三十五加初商三十共六十五是五以上也故用进法书商三于防上两位假有余实则当再商或命之以分今虽商尽当存其位　命分者亷法加隅一也倍初商加纵共一百三十是原实百者亷法之位也进一位乃单位初商不进两位何以容单数】

　　凡开得平方三十步为田濶　加纵七十步共一百步为长

　　假如有直田七亩但云长多濶六十步

　　列位【以亩法二百四十通之得一千六百八十步单位空作圈】作防

　　视防在次位合商之以一千六百步

　　为实

　　以平方带纵六十步用筹各为法

　　先视平方筹有一六与实同宜商四

　　十【二防初商是十】因带纵改商三十步其方

　　积【九百步】纵积【一千八百步】共二千

　　七百步大于实不及减抹去之

　　改商【二十步】其方积【四百步】纵积【一千二百步】共减一千六百步余八十步再商之

　　【纵折半三十加初商共五十故进书之】

　　【假余实满命分一百○一步即当商一步故初商豫进以居次商今次商虽空当存○位故也】

　　次以初商【二十步】倍之【四十步】加入纵六十步共一百步为亷法　亷法大于余实不及减次商作○其余实以法命之　法以亷法加隅一为命分

　　命为濶【二十步】又【一百○一分步之八十】加纵为长【八十步】又【一百○一分步之八十】

　　假如有直田四亩但云长多濶九十步

　　列位【以亩法通之得九百六十步】作防

　　视防在首位独商之以○九百为实

　　以平方带纵九十步各用筹为法

　　先视平方筹积有【○九】与实同宜

　　商三十步【二防故初商十】因带纵改商二

　　十步其方积【四百步】纵积【一千八】

　　【百步】不及减又改商一十歩其方积【一百步】纵积【九百步】共一千步仍不及减　此有二防宜商十步今改商一十仍不及减是初商十位空也

　　【纵九十折半四十五加初商十步满五十以上故商一进书防之上两位】

　　改商单九步其方积【八十一步】纵积【八百一十步】共八百九十一步以减实余六十九步不尽【此宜商十数者变商单步故初商之位作○而以改商之九步书于○位下如次商然也盖必如此书之所商单数乃在命分之上一位也】

　　商数已得单步而有不尽以法命之以商九步倍之加纵九十步共一百○八步更加隅一步共一百○九步为命分

　　命为濶九步又【一百○九分步之六十九】　加纵为长九十九步又【一百○九分步之六十九】

　　以上四则乃纵多进位之法也凡得数虽四以下以半纵加之满五即用进法书于防之上两位此其例也

　　开带纵立方法【筹算五】

　　勿庵氏曰泰西家説勾股开方甚详然未有带纵之术同文算指取中算补之其论带纵平方有十一种而于立方带纵终缺然也程汝思统宗所载又皆两纵之相同者惟难题堆垜还原有二例只一可用其一强合而已非立术本意又不附少广而杂见于均输虽有善学何从而辨之兹因筹算稍以鄙意完其缺义取晓畅不厌烦复使得其意者可施之他率不穷云尔

　　凡立方带纵有三

　　一只带一纵

　　如云长多方若干或髙多方若干是也【即同髙】

　　一带两纵而纵数相同

　　如云长不及方若干髙不及方若干是也【此方多数为纵】

　　一带两纵而纵数又不相同

　　如云长多濶若干濶又多髙若干是也

　　大约带一纵者只有纵数而已带两纵者有纵亷又有纵方故其术不同

　　带一纵图三

　　此长多于方　　　　　此髙多于方

　　也为横纵横　　　　　也为直纵直

　　纵之形濶与　　　　　纵之形长濶

　　髙等如其方　　　　　相等如其方

　　其厚也如其　　　　　其髙也如其

　　纵所设　　　　　　　纵所设

　　俱立方一纵形一合为长立方形

　　如图立方形方纵形合者初商

　　也平亷三内带纵者二长亷三

　　内带纵者一小隅一此七者次

　　商也

　　平亷所带之纵长与立方等厚

　　与次商等其髙也则如纵所设

　　长亷所带之纵两头横直等

　　皆如次商其髙也如纵所设

　　用法曰以积列位乃作防从单位起隔两位防之防毕视积首位有防独商之以首位为初商之实首位无防以首位合有防之位商之　防在次位以首两位为初商之实　防在第三位以首三位为初商之实　皆同立方法

　　先视立方筹积数有小于初商之实者用其方数为初商【定位法合计所作防共有若干一防者商单数二防则商十数每一防进一位皆如立方】用其积数为初商立方积【定位法视初商方数若初商单数其积亦尽于单位若初商十数其积乃尽于千位每初商进一位其积进三位亦可以防计之皆如立方】

　　次以初商自乘以乘纵数为纵积

　　合计立方积纵积共数以减原积而定初商【若初商无误者原实中必兼此两积】命初商为方数加纵数为髙数【或长数皆依先所设】不及减者改商之及减而止

　　次商法曰依前定位知初商是何等【或单十百千等】若初商未是单数而减积又有不尽是有次商也

　　法以初商自乘而三之又以纵与初商相乘而两之共为平亷法　又法以初商三之纵倍之并其数与初商相乘得数为平亷法　或以初商加纵而倍之并初商数以乘初商为平亷法并同

　　又以初商三之加纵为长亷法

　　乃置余实列位以平亷法除之得数为次商【用筹为法除而得之】

　　【依除法定其位】

　　于是以次商乘平亷法为三平亷积　又以次商自乘以乘长亷法为三长亷积　就以次商自乘再乘为隅积　合计平亷长亷隅积共若干数以减原实【原实中兼此并积知次商无误矣】乃并初商次商所得数为方数加纵命为髙数【或长数皆如先所设】合问　不及减者改商之及减而止

　　商三次者以初商次商所得数加纵而倍之并商得数为法仍与商得数相乘为平亷法

　　又以商得数三之加纵为长亷法　余并同次商

　　命分法曰己商至单数而有不尽则以法命之　其法以所商得数加纵倍之加所商得数以乘所商得数【如平亷】又以所商得数三之加纵【如长亷】并两数又加单一【如隅】为命分不尽之数为得分

　　或商数尚未是单而余实甚少在所用平亷长亷两法并数之下或仅同其数【仅同者无隅积】是无可续商也亦以法命之法即以所用平亷长亷两法并之又加隅一为命分

　　列商数法曰依立方法以初商之实有防者为主【即原实内最上之一防】凡初商得数必书于防之上一位乃常法也惟初商一数者用常法

　　有以初商得数书于防之上两位者进法也初商二三四五者用进法

　　有以初商得数书于防之上三位者超进法也初商六七八九者用超进之法

　　若纵数多亷法有进位则宜用常法者改用进法宜用进法者用超进之法宜超进者更超一位书之其法于次商时酌而定之葢次商时有三平亷法三长亷法再加隅一为命分法于原实寻命分之位为主命分上一位单数位也从此单数逆寻而上自单而十而百而千至初商位止有不合者改而进书之若与初商恰合者不必强改此法甚妙平方带纵亦可用之

　　若宜商一十而改单九或宜商一百而改九十凡得数退改小一等数者皆不用最上一防而以第二防论之此尤要诀【或于初商位作圈而以所商小一等数书于圈之下即可以上一防论也细考其数则同此商数列位立法之妙宜详翫之】

　　假如浚井计立方积七百五十四万九千八百八十八尺但云深多方八百尺　法以立方带纵为法除之列位　作防

　　视防在首位独商之以○

　　○七百万尺为初商之实

　　以立方筹为法　视立方筹积有○○一小于○○七商一百尺【三防故初商百商一百故用常法书于防之上一位】得立方积一百万尺【三防者方积尽百万之位　初商之方积皆尽于最上之一防】

　　次以初商一百尺自乘一万尺乘纵八百尺得八百万尺为纵积　并两积九百万积大于原实不及减抹去之不用改商如后图

　　视立方筹第九行积七二九改商九十尺得立方积七十二万九千尺【百改十故亦改用第二防第二防是十位故方积亦尽于千位】次

　　以初商九十尺自乘八千一

　　百尺乘纵八百尺得六百四

　　十八万尺为纵积　并两积

　　共七百二十万○九千尺以减原实余三十四万○八百八十八尺再商除之【初商一百今改商九十故上一防不用用第二防论之商九者书于第二防之上三位超进法也】

　　次用次商又法以纵八百尺加初商九十尺而倍之得一千七百八十尺并初商九十尺共一千八百七十尺用与初商九十尺相乘得一十六万八千三百尺为平亷法　又以初商九十尺三因之得二百七十尺加纵八百尺共得一千○七十尺为长亷法乃列余实以平亷为法除之【用第一第六第八第三共四等】

　　商九十用超进法书于第二防之上三位今以纵多致亷法进为十万故次商时应更为酌定又超一位书之然后次商单数在亷法上一位矣改如后图【亷法十万上一位单数位也今商九十不合在此位故改之】

　　合视筹第二行积○三三六六小于余实次商二尺于初商九十之下【所减首位是○法宜进书也初商不改而更超之何以居次商】就以次商二尺乘平亷法得三十三万六千六百尺为平亷积　又以次商二尺自乘四尺用乘长亷法得四千二百八十尺为长亷积　又以次商二尺自乘再乘得八尺为隅积　并三积共三十四万○八百八十八尺除实尽

　　乃以商数命为井方　加纵为井深

　　计开

　　井方九十二尺深八百九十二尺

　　此超进法改而更超一位也

　　带两纵纵数相同图二

　　此髙不及方也方之横与直俱

　　多于髙是为两纵两纵者纵廉

　　二纵方一并立方而四

　　立方形长濶髙皆相等

　　纵亷形髙与濶相等如其方之

　　数其厚也如所设纵之数

　　纵方形两头等皆如纵数其髙也如立方之数两纵亷辅立方两面而纵方补其隅合为一短立方形

　　不及之数有在立方旁者观后图可互见其意

　　如图初商有立方有纵廉二纵方一共四形今只图其二余为平廉所掩意防之可也【此横头不及方也即前图之眠体】

　　次商平廉三内带一纵者二带两纵者一长廉三内带纵者二小隅一共七

　　平廉带一纵者濶如初商加纵为长厚如次商其带两纵者髙濶皆等皆如初商加纵之数厚如次啇

　　长廉带纵者长如初商加纵之数其两头横直皆等皆如次商

　　无纵长廉长如初商两头横直等如次商

　　小隅横直髙皆等皆如次商

　　用法曰先以纵倍之为纵廉【两纵并也】以纵自乘为纵方【两纵相乘】

　　此因两纵数同故其法如此也若两纵不同径用乘法并法矣

　　乃如法列位作防求初商之实

　　以立方筹为法求得初商方数及初商立方积【皆如立方法皆依定位法命之】

　　次以初商乘纵方得数为纵方积　又以初商自乘数乘纵亷得数为纵亷积

　　合计纵方纵亷立方之积共若干数以减原实而定初商【皆如一纵法】

　　命初商为髙数【或深数皆如所设】加纵为方数【不及减改商之若初商未是单数则以余实求次商】

　　次商法曰以初商加纵倍之以乘初商髙数得数　又以初商加纵自乘得数　并之共为平亷法【又法初商三之加纵以初商加纵乘之得数为平亷法亦同】

　　次以初商加纵倍之并初商数共为长亷法【又法初商三之纵倍之并为长亷法亦同】

　　乃置余实列位　以亷法位酌定初商列法而进退之以平亷为法而除余实得数为次商【皆以所减首位是○与否而为之进若退】　又法合平亷长亷两法以求次商

　　于是以次商乘平亷法为平亷积　又以次商自乘数乘长亷法为长亷积　又以次商自乘再乘为隅积　合计平亷长亷隅积共若干数以减余实而定初商【皆如一纵法】

　　【又法以次商乘长亷法为长亷法又以次商自乘为隅法并平亷长亷隅法以与次商相乘为次商亷隅共积以减余实亦同】

　　乃命所商数为髙【或深之类如所设】加纵数命为方合问

　　不尽者以方倍之乘髙又以方自乘【如平亷】又以方倍之并髙【如长亷】又加单一【如隅】为命分

　　假如有方台积五百八十六万六千一百八十一尺但云髙不及方一百四十尺　以带两纵立方为法除之【方者长濶等每面各多髙一百四十尺】

　　先以纵一百四十尺倍之得二百八十尺为纵积又纵自乘之得一万九千六百尺为纵方

　　列位　加防

　　视防在首位独商之以○

　　○五百万尺为初商之实

　　视立方积有○○一小于

　　○○五商一百尺【三防故商百尺】得立方积一百万尺【商一数宜用常法书于防之上一位今因纵多致亷法升为十万法上一位为单单上一位为十今初商是百尺故改用进法书之亷法之升见后】

　　就以初商一百尺乘纵方得一百九十六万尺为纵方积

　　又以初商一百自乘一万乘纵亷得二百八十万尺为纵亷积

　　合计立方纵方纵亷积共五百七十六万尺以减原实余一十万○六千一百八十一尺【初商百尺宜有续商】初商一百尺髙也　加纵共二百四十尺方也次以方倍之四百八十尺用乘髙数得四万八千尺又以方自乘之得五万七千六百尺并之得一十万○五千六百尺为平亷法

　　又以方倍之并髙得五百八十尺为长亷法

　　乃列余实　以亷法酌定初商改进一位书之

　　以平亷法用筹除余实

　　视筹第一行○一○五六

　　小于余实次商一尺于初

　　商一百尺之隔位【所减是○一○五六首位○宜进书然犹与初商隔位故知为单一尺】　就以次商一尺乘平亷法如故又以次商一尺自乘以乘长亷法亦如故就命为平亷长亷积　又以次商自乘再乘仍得一尺如故　合计三积共一十万○六千一百八十一尺除实尽

　　乃以所商数命为台髙　加纵为方

　　计开

　　台髙一百○一尺　方二百四十一尺

　　此常法改用进法也

　　假如有方池积五十万丈但云深不及方五十尺　先以纵【五十】尺倍之一百为纵亷　又纵自乘之得【二千五百】尺为纵方

　　列位　加防

　　视防在第三位合商之以五十

　　万○○尺为初商之实

　　视立方筹有三四三小于五○

　　○宜商七十尺【二防商十尺】因纵改商六十尺得立方积二十一万六千尺　次以初商六十尺自乘三千六百尺用乘纵亷一百尺得三十六万尺已大于实不及减不必求纵方积矣　改商五十尺用筹求得立方积一十二万五千尺

　　就以初商五十尺乘纵方得纵方积亦一十二万五千尺　又以初商五十尺自乘二千五百尺用乘纵亷得纵亷积二十五万尺　并三积共五十万尺除实尽　以商数命为池深　加纵为方

　　计开　池深五十尺　方一百尺

　　此进法改为超进也【假有次商则其平亷法二万尺矣假有命分则其命分二万○二百五十一矣】　亦有髙与长同而濶不及数者准此求之但以初商命为濶而加纵为髙与长

　　带两纵纵数不相同图二

　　此长多于濶而髙又多于

　　长也是为两纵而又不相

　　同凡为大纵亷小纵亷各

　　一纵方一并立方形而四

　　立方形长濶髙相等

　　大纵亷横直等如其方而

　　髙如大纵　小纵亷髙濶

　　等如其方而厚如小纵

　　纵方形之两头髙如大纵厚

　　如小纵其长也则如立方大

　　纵　小纵以辅立方之两

　　面而纵方补其阙合为一长

　　立方形如图初

　　商有立方有大纵廉小纵廉

　　纵方各一共四只图其二余

　　为平廉所掩也次商平廉三

　　内

　　带小纵者一带大纵者一带

　　两纵者一长廉【在初商大纵立方之

　　背面】三内带小纵

　　者一带大纵者一小隅一共

　　七在初商

　　大纵立方之

　　带小纵平亷濶如初商长如初商加小纵之数髙如次商

　　带大纵平亷濶如初商髙如初商加大纵之数厚如次商

　　带两纵平亷濶如初商加小纵之数髙如初商加大纵之数厚如次商

　　带小纵长亷长如初商加小纵之数　带大纵长亷髙如初商加大纵之数　无纵长亷长如初商数其两头横直皆如次商之数

　　小隅横直髙皆如次商之数

　　用法曰以两纵相并为纵亷　以两纵相乘为纵方列位作防求初商之实　以立方筹求得初商立方积　以初商求得纵方纵亷两积　皆如前法乃以初商命为濶　各加纵命为长为髙

　　求次商者以初商长濶髙维乘得数而并之为平亷法

　　又以初商长濶髙并之为长亷法

　　乃置余实列位【以平亷酌定初商之位】以平亷为法求次商及平亷积长亷积隅积以减余实乃命所商为濶各以纵加之为髙为长【如所设】皆如前法

　　不尽者以所商长濶髙维乘并之【如平亷】又以长濶髙并之【如长亷】又加单一【如隅】为命分

　　假如有长立方形积九十尺但云髙多濶三尺长多濶二尺

　　先以两纵相并五尺为纵亷　以两纵相乘六尺为纵方

　　列位　作防

　　视防在第二位合商之以○九十

　　○尺为初商之实

　　乃视立方筹有○六四小于○九○宜商四八因有纵改商三尺得二十七尺为立方积【原实只一防故初商是单商三故书于防之上两位用进法也】

　　次以初商三尺自乘九尺乘纵亷得四十五尺为纵亷积

　　又以初商三尺乘纵方得一十八尺为纵方积并三积共九十尺除实尽

　　乃以初商命为濶　各加纵为髙为长

　　计开

　　濶三尺　长五尺　髙六尺

　　假如有立方积一千六百二十尺但云长多濶六尺髙多濶三尺

　　先以两纵相并九尺为纵亷　以两纵相乘一十八尺为纵方

　　列位　作防

　　视防在首位独商之以○○一千

　　尺为初商之实

　　乃视立方筹有○○一与实同商一十尺【二防商十】得立方积一千尺次以初商一十尺自乘一百尺乘纵亷得九百尺为纵亷积又以初商一十尺乘纵方得一百八十尺为纵方积　合计之共二千○八十尺大于实不及减【商一十故用常法书于防之上一位】改商九尺得七百二十九尺为立方积【十变为单则上一防不用用第二防故商九书于第二防之上两位用超进法也】

　　次以初商九尺自乘八十一乘纵亷亦得七百二十九尺为纵亷积

　　次以初商九尺乘纵方得一百六十二尺为纵方积并三积共一千六百二十尺除实尽

　　乃以商数命为濶　各加纵为长为髙

　　计开

　　濶九尺　长一十五尺　髙一十二尺

　　假如有长立方积六万四千尺但云长多濶五尺髙又多长一尺

　　先以长多五尺髙多六尺并之得【十十】为纵亷　又以五尺六尺相乘三十为纵方

　　【解曰长多濶五尺髙又多长一尺是髙多濶六尺也】

　　列位　作防

　　视防在第二位合商之以○六

　　万四千尺为初商之实

　　视立方筹有○六四与实同宜

　　商四十尺因有纵改商三十尺【二防故商十尺】得二万七千尺为立方积【商三十故书于防之上两位用进法也】

　　次以初商三十尺自乘九百尺乘纵亷得九千九百尺为纵亷积

　　次以初商三十尺乘纵方得九百尺为纵方积并三积共三万七千八百尺以减原实余二万六千二百尺再商之【初商十宜有次商】

　　初商三十尺濶也　加纵五尺共三十五尺长也又加一尺共三十六尺髙也

　　乃以初商长濶髙维乘之

　　濶乘长得一千○五十尺　髙乘濶得一千○八十尺　长乘高得一千二百六十尺

　　并三维乘数共三千三百九十尺为平亷法【又法并长与髙乘濶又以髙乘长并之亦同】

　　次以初商长濶髙并之共一百○一尺为长亷法【又法初商三之加两纵亦同】

　　乃以平亷用筹为法以余实列位除之

　　如后图合视筹第六行是二○三四小于余实次商六尺【所减首位不空故书本位】得二万○三百四十尺为平亷积【次商乘平亷法也】

　　次以次商六尺自乘三十六尺乘长亷法得三千六百三十六尺为长亷积又以次商六尺自乘再乘得二百一十六尺为隅积

　　并三积共二万四千一百九十二尺以减余实余二千○○八不尽以法命之

　　法以初商濶髙长各加次商为濶髙长而维乘之濶乘长得一千四百七十六尺　髙乘濶得一千五百一十二尺　长乘髙得一千七百二十二尺

　　并得四千七百一十尺【如平亷】又并濶髙长得一百一十九尺【如长亷】又加一尺【如隅】共得四千八百三十尺为命分不尽之数为得分

　　命为四千八百三十分尺之二千○○八即竒数也计开

　　濶三十六尺有竒【音基】　长四十一尺有竒髙四十二尺有竒

　　假如有长立方形积一十万○一千尺但云长多濶五尺髙多濶六尺

　　先以两纵并得一十一尺为纵亷

　　以两纵乘得三十尺为纵方

　　列位　作防

　　视防在第三位合三位商之以

　　一十万○一千为初商之实

　　乃视立方筹有○六四小于一

　　○一商四十尺【二防商十】得六万四千尺为立方积【商四十故书于防之上两位进法也】

　　次以初商自乘一千六百尺乘纵亷得一万七千六百尺为纵亷积

　　次以初商乘纵方得一千二百尺为纵方积

　　并三积共八万二千八百尺以减原实余一万八千二百尺再商之

　　初商四十尺濶也　加纵五尺得四十五尺长也加纵六尺得四十六尺髙也

　　乃以初商濶长髙而维乘之

　　长乘濶得一千八百尺　濶乘髙得一千八百四十尺【又法并髙与长九十一尺以濶四十尺乘之共三千六百四十尺省两维乘其数亦同】髙乘长得二千○七十尺

　　并维乘数共五千七百一十尺为平亷法

　　又以濶长髙并之共一百三十一尺为长亷法乃列余实以平亷用筹为法除之

　　合视筹第三行是一七一三小于

　　余实次商三尺【所减首位不空故本位书之】就

　　以次商三尺乘平亷法得一万七

　　千一百三十尺为平亷积　又以

　　次商三尺自乘九尺乘长亷法得一千一百七十九尺为长亷积　又以次商三尺自乘再乘得二十七尺为隅积　并之得一万八千三百三十六尺大于余实不及减

　　改商二尺

　　就以次商二尺乘平亷法得一万一千四百二十尺为平亷积【即用筹第二行取之】

　　次以次商自乘四尺乘长亷法得五百二十四尺为长亷积　又以次商自乘再乘得八尺为隅积并之共一万一千九百五十二尺以减余实仍余六千二百四十八不尽以法命之

　　法以濶长髙各加次商二尺为濶长髙而维乘之并髙四十八尺长四十七尺共九十五尺以濶四十二尺乘之得三千九百九十尺【代两维乘】又以长乘髙得二千二百五十六尺并得六千二百四十六尺　又以长濶髙并之得一百三十七尺　又加一尺　共六千三百八十四为命分

　　命为六千三百八十四之六千二百四十八即竒数计开

　　濶四十二尺有竒

　　长四十七尺有竒

　　髙四十八尺有竒

　　厯算全书卷三十二

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷三十三

　　宣城梅文鼎撰

　　筹算六之七

　　开方捷法

　　勿庵氏曰亷隅二形也故有二法今借开方大筹为隅法列于亷法筹之下而合商之则亷隅合为一法而用加捷矣存前法者所以着其理用捷法者所以善其事

　　平方

　　法曰如前列实从单位作防每隅位防之以求初商【初商列位有常法进法俱如前】既得初商即倍根数为亷法【亦同前法】以亷法数用筹【亷法几位用筹几根】列于平方筹之上为亷隅共法【或省曰次商法】合视亷隅共法筹某行内有次商之实同者或略少者减实以得次商【以本行内方根命之】

　　三商者合初商次商倍之以其数用筹列平方筹上为亷隅共法【或省曰三商法】以除三商之实而得三商四商以上仿此求之

　　解曰隅者小平方也故可以平方筹为法　亷之数每大于隅一位今以平方筹为隅列于亷之下则隅之进位与亷之本位两半圆合成一数故亷隅可合为一法

　　【何以知亷大于隅一位也曰有次商则初商是十数矣平方亷法是初商倍数其位同初商故大于隅一位】

　　凡初商减积尽最上一防故最上一防者初商之实也次商减积尽第二防故第二防以上次商之实也三商减积尽第三防故第三防以上三商之实也推之第四防为四商之实第五防为五商之实【以上并同】

　　审空位法曰若次商之实小于亷隅共法之第一行【凡筹第一行最小数也】则知次商是空位也【不能成一数故空】即作圈于初商下以为次商　乃于亷法筹下平方筹上加一空位筹为亷隅共法以求三商【若空位多者另有简法见后】三商实小有空位并同

　　假如有平方积二千四百九十九万九千九百九十九尺问每面若干

　　列位　作防

　　如图防在次位以二千四百

　　万为初商实

　　视平方筹有小于二四者是

　　一六其方四也商四千尺减积一千六百万尺【有四防故初商是千而有次商】

　　次以初商四千尺倍之得八千尺为亷法用第八筹列平方筹上为亷隅共法

　　以第二防余实八百九十九万为次商实视筹第九行合数八○一小于实次商九百尺减实八百○一万尺

　　【此所减首位不空故对位书之】

　　次倍初商次商共四千九百尺得九千八百尺用第九第八两筹列平方筹上为廉隅共法　以第三防上余实九八九九为三商之实

　　合视筹第九行是八九○一小于实商九十尺减余

　　实八十九万○一百

　　尺

　　【首位不空故亦对位书之】

　　次倍三次商共四千九百九十尺得九千九百八十尺用九九八三筹列平方筹上为廉隅共法

　　以第四防上余

　　积九九八九九

　　为四商之实

　　合视筹第九行

　　积八九九○一

　　小于实商九尺

　　减余实八万九

　　千九百○一尺

　　不尽九千九百九十八尺

　　开方已得单尺而有不尽以法命之倍方根加一数得九千九百九十九为命分

　　凡开得平方四千九百九十九尺又九千九百九十九之九千九百九十八

　　右例可明四以上用常法之理葢积所少者不过万分之一不能成五数之方而其法迥异

　　加空筹式

　　假如有平方积一千六百七十七万七千二百一十六问每面若干

　　列位　作防

　　如图防在次位以一千六百万

　　为初商实

　　视平方筹有一六与实同其方

　　四商四千尺减积一千六百万尺【凡余实必在商数下一位起倘空位则作圈补之后仿此】　次以初商四千尺倍得八千尺为亷法用第八筹列平方筹上为亷隅共法【筹见前例】

　　以第二防上余实○七七为次商实

　　筹最小数是○八一【第一行数】大于实

　　不及减是商数无百也

　　乃于初商四千下作一圈以为次

　　商【减去实中○位】　次如上图加一空位筹于次商亷法之下平方筹之上为三商亷隅共法

　　以第三防上七七七二为三商实

　　视筹第九行是七二八一小于实商九十尺减积七十二万八千一百

　　次合初商次商三商共四○九倍之得八一八为廉法

　　去空位筹加一八两筹列于平方筹之上为四商廉隅共法

　　以第四防上四九一一六为四商之实

　　合视筹第六行数与实合商六尺减积四万九千一百一十六尺恰尽

　　凡开得平方四千○九十六尺

　　假如有平方积九亿○○一十八万○○○九步问每面若干

　　列位

　　作防

　　如后图防在首位以○九亿步为初商实

　　视平方筹有○九与实同商

　　三万步【五防故初商万】减积九亿步

　　次以初商三万步倍之得六

　　万步用第六筹加平方筹上为次商法【即廉隅共法】　以第二防上为次商之实视实三位俱空无减知商数有空位且不止一空位也如前法宜挨次商得一空位则于原实内销一圈【凡续商之实必下于前商之实一位故虽○位必减去之以清出续商之实】而于共法筹内加一空位筹如此挨商颇觉碎杂故改用又法

　　又法曰凡实有多空位者知商数亦有多空不必挨商当于原实中审定可减之数在何位则此位之上皆连作圈而径求后商如此余实有三圈皆无积可减必至○一乃有可减而法是第六筹筹最小是○六大于○一仍不可减必至一八方可减而一是筹之进位当以商数对之则知以上俱是空位乃皆作圏合视之有三圈即次商三商四商也干原实内销去三圈如后图

　　此即次商三商四

　　商合图也

　　次加三空筹于平亷【第六筹】之下平方之上为五商亷隅共法　径以第五防上一八○○○九为五商实

　　视筹第三行数与余实合商三尺

　　除积一八○○○九恰尽

　　凡开得平方三万○○○三步

　　又假如积二千五百○七万○○四十九尺问方若干列位　作防

　　如图防在次位以二千五

　　百万尺为初商实

　　视平方筹有二五与实同

　　其方五商五千尺减积二千五百万尺

　　次倍初商五千尺得一万○千尺用一筹空位筹为廉法【凡商得五数则原带有空位】列平方筹上为次商法　实多空位以前除又法审之必至○七万尺乃有可减而○七之○与筹上首位之○对当以商数居之则知此以上俱无商数也于是于初商五千下作两圏如后图

　　此次商三商合图也【原实上减两圏商数下加两圏】

　　如上图加两空位筹于廉法一万○千之下平方之上为四商法

　　以○七○○四九为四商实【次商三商之两防已销故径用第四防】

　　视筹第七行相合商七尺减实

　　恰尽

　　凡开得平方五千○○七尺

　　又假如积五千六万三千五百○○尺问方若干列位

　　作防　如图防在次位以五十六万为初商实

　　视平方第七行是四九小

　　于实商七百尺除实四十

　　九万

　　次倍初商七百得一千四百用第一第四两筹列平方筹上为次商法　以第二防上○七三五为次商实

　　合视第五

　　行是○七

　　二五小于

　　实商五十

　　尺减去余

　　积○七万

　　二千五百

　　尺

　　次合商数七百五十倍之得一千五百○尺应用第一第五空位三筹加于平方筹上为三商法以第三防上○一千○○尺为三商实而实小于法不能成一尺乃于商数未作一圏以为三商其不尽之数以法命之

　　凡亷隅共法筹第一行数即命分

　　也葢能满此数即成一单数矣

　　凡开得平方七百五十○尺又一

　　千五百○一之一千○○○约为

　　三之二弱

　　立方

　　法曰如前列实隔两位作防以求初商既得初商即以初商数自乘而三之为平亷法【即方法】以平亷法用筹列于立方筹之上【借立方筹为隅法也】为平亷小隅共法别以初商数三之而进一位为长亷法【即亷法】以长亷法用筹列于立方筹之下【法于长亷数下加一空筹以合进一位之数】先以平隅共法【即平亷小隅共法或省曰共法】为次商之法即截取初商下一位至第二防止为次商之实法除实得次商【视共法筹内有小于实者为平亷亷小隅共积用其根数为次商】次以次商之自乘数【即大筹立积下所带平方积数】与长亷法相乘【以平方数寻长亷筹之行取其行内积数用之】得数加入平隅共积为次商总积以此总积减次商之实及减则已倘不及减转改次商及减而止【因亷积或大有不及减者】

　　三商者合初商次商数自乘而三之为平亷法以其数用筹列方筹上为平亷小隅共法

　　别以初商次商数三而进位以其数用筹加一空位筹列立方筹下为长亷法

　　截取次商下一位至第三防为三商之实共法为法除之以得三商【其积为共积】　次以三商自乘数与长亷法相乘得数加入共积为三商总积　减实【又一法长亷法不必加空位筹得于得数下加一圏即进位也】

　　四商以上仿此

　　解曰隅者小立方也故可以立方筹为法平亷之数每大于隅二位今以立方筹为隅列于平亷下则隅之首位与平亷之末位两半圆合成一数故平亷小隅可合为一法　长亷之两头皆如次商自乘之数故可以平方乘之又长亷之数每大于隅一位故于下加一空筹以进其位便加积也

　　【何以知平亷大于隅二位而长亷只大一位也曰平亷者初商自乘之数也初商于次商为十数十乘十则百数矣隅积者次商本位也故平亷与隅如百与单相去二位也若长亷只是初商之三倍位同初商初商与次商如十与单故长亷与小隅亦如十与单相去一位也】

　　凡初商积尽于上一防故上一防为初商实次商积尽于第二防故第二防以上为次商实推之三防为三商实四防为四商实以上并同

　　审空位法曰若次商之实小于平亷小隅共法之第一行或仅如共法之第一行而无长亷积则次商是空位也即作圏于初商下以为次商乃于平亷筹下立方筹上加两空位筹为三商平亷小隅之共法以求三商其长亷法下又加一空位筹【并原有一空位筹共两空位筹】为三商长亷法【又法长亷不必加空筹但于得数下加两圏】　若商数有两空位者平亷小隅筹下加四空位筹长亷积下加三圏

　　解曰有空位则所求者三商也初商于三商如百与单而平亷者初商之自乘百乘百成万故平亷与三商之隅如万与单大四位也此加两空筹之理也【平亷原大二位加二空筹则大四位矣】初商与三商既如百与单则长亷与隅亦如百与单大两位也此又加一空筹之理也

　　初商列位商一用常法二至五用进法六至九用超法今各存一例于后

　　假如有立方积六百八十五万九千尺问每面若干列位　作防

　　如图防在首位以○○六百

　　万为初商实

　　视立方筹有小于○○六者

　　○○一也其立方一商一百尺【三防故初商百】减积一百万尺次截取第二防上五八五九为次商实

　　以初商一百尺自乘得一万尺而三因之得三万尺为平廉法用第三筹列立方筹上为平廉小隅共法

　　别以初商一百尺三而进位得三百○十尺为长廉法

　　列立方筹下视平隅共法筹第九行是三四二九小于实商九十尺

　　次以第九行平方八一乘长廉三得二四三○以加共积得五百八十五万九千为次商九十尺之积除实尽

　　次商十宜有三商而除实已尽是方面无单数也凡开得立方每面一百九十○尺

　　假如有立方积一千二百八十六亿三千四百六十七万○五百九十二尺问方若干

　　列位

　　作防

　　如图防在第三位以一

　　千二百八十亿为初商

　　实

　　视立方筹内有小于一二八是一二五其方五也商五千尺【四防故初商千】减积一千二百五十亿

　　次截取第二防上○三六三四为次商实

　　以初商五千自乘得二千五百万而三之得七千五百万为平廉法用七五两筹列立方筹上为平廉小隅共法别以初商五千尺三而进位得一万五千○百尺为长亷法用筹列立方筹下

　　视共法筹第一行是○

　　七五○一大于实不及

　　减知次商百位空也于

　　初商下作一圏为次商【原实上减一圏】

　　乃截第三防三六三四六七○为三商实

　　次于平亷筹下立方筹上加两空位筹为平亷小隅共法

　　于长亷筹下又加一空位筹【原有一空位筹共二空位】为长亷法

　　视共法筹第四行

　　是三○○○○六

　　四小于实用为共

　　积商四十尺　以长廉法与四行之平方一六相乘得二四○○○为长廉积加入共积得三○二四○六四减积三十○亿二千四百○六万四千尺次以商数五千○四十自乘得二千五百四十○万一千六百尺而三之得七千六百二十○万四千八百尺为平廉法列立方筹上为平隅共法别以商数五千○四十尺三而进位得一万五千一百二十○尺为长廉法列立方筹下

　　乃截第四防

　　六一○六○

　　六五九二为

　　四商之实

　　视共法筹第

　　八行六○九

　　六三八九

　　一二小于实

　　商八尺以长亷法与第八行平方六四相乘得九六七六八○为长亷积以加共积得六一○六○六五九二除实尽

　　凡开得立方每面五千○四十八尺

　　右加两空筹例

　　假如有立方积七千二百九十七亿二千九百二十四万三千○二十七尺问每面若干

　　列位　作防

　　如图防在第三位以七

　　千二百九十亿为初商

　　实　视立方筹方九之

　　积七二九与实同商九千尺减积七千二百九十亿【四防故初商千】次截第二防○○○七二九为次商实以初商九千尺自乘八千一百万尺而三之得二亿四千三百万尺为平亷法列立方筹上为平亷小隅共法别以初商九千尺三而进位得二万七千○百尺为长亷法列立方筹下　视共法筹第一行是○二四三○一大于实不及减知次商百位空也于初商九千尺下作一圏为次商【原实上减去一圏】乃于平亷筹下立方筹上加两空筹为平廉小隅共法于长亷筹下又加一空筹得二七○○为长亷法　截取第三防○○七二九二四三为三商实　视共法筹第一行是○二四三○○○一大于实仍不及减知三商十位亦空也于商得九千○百下加一圏为三商【原实上又减去一圏又法实多空不必挨商但寻至不空之界如○七乃与平亷相应即于○七之上初商之下作连圏为次商三商而于原实中销两圏】

　　此次商三商合图也

　　乃于平亷筹下立方筹

　　上又加两空筹【共四空筹】为

　　平亷小隅共法　其长亷筹下又加一空筹【共三空筹】得二七○○○为长亷法【或不必加筹只于得数下加三圏亦同】

　　截取第四防○七二九二四三○二七为四商实

　　视共法筹第三行是○七二

　　九○○○○二七小于实商

　　三尺　以长亷法与第三行

　　平方○九相乘得二四三○

　　○○为长亷积以加共积得

　　○七二九二四三○二七除实尽

　　凡开得立方每面九千○○三尺

　　右加四空筹例

　　开方分秒法【筹算七】

　　勿庵氏曰命分古法也然但可以存其不尽之数而已若还原则有不合故有分秒法以御之也虽亦终不能尽然最小之分即无关于大数视命分之法不啻加宻矣

　　平方

　　法曰凡开平方有余实不能成一数不可开矣若必欲开其分秒则于余实下加二圏【原实一化为一百分】如法开之所得根数是一十分内之几分也或加四圏【原实一化为一万分】如法开之所得根数是一百分内之几分也或加六圏【原实一化为一百万分】如法开之所得根数是一千分内之几分也如此递加两圏则多开得一位乃至加十圏【原实一化为百亿分】其根数则十万分内之几万几千几百几十几分也

　　假如平方积八步开得二步除实四步余四步不尽分秒几何

　　法于余实下添两圏则余实四步

　　化为四百○○分为次商之实

　　依捷法以初商二步倍作四步为

　　亷法列平方筹上为亷隅共法简

　　筹第八行积三八四小于余实次商八分除实三百八十四分开得平方每面二步八分不尽一十六分再开之

　　又于余实下加两圏则余实一十六分化为一千六百○○秒为三商之实

　　依捷法以初商次商共二步八分倍之得五步六分为亷法列平方筹上为亷隅共法简筹第二行积一一二四小于余实商作二秒除实一千一百二十四秒共开得平方每面二步八分二秒不尽四百七十六秒

　　此单下开两位式也所不尽之数不过百分之四若欲再开亦可得其忽防如后式

　　还原以二步八二用筹为法又以二步八二列为实而自相乘之得七万九千五百二十四分加不尽之分四百七十六共八万乃以一万分为一步之法除之【当退四位】仍得八步合原数

　　解曰此以一步化为百分故其积万分何也自乘者横一步直一步也今既以一步化为一百分则是横一百分直一百分而其积一万分为一步

　　假如平方九十步开得九步除实八十一步余实○九步不尽【小分几何】

　　法于余实九步下加八圏则余实九步化为九亿共作五防而以第二防○九亿○○分为次商之实依捷法以初商九步倍作一十八步为亷法列平方

　　筹上为亷隅共法简筹第

　　四行○七三六略小于余

　　实商四千分除实七亿三

　　千六百万分余一亿六千

　　四百○○万分为第三商

　　之实【第三防也】

　　又依捷法以初商次商九步又十之四倍之得一十八步八为亷法列平方筹上为亷隅共法简筹第八行一五一○四略小于余实商八除实一亿五千一百○四万余一千二百九十六万分○○为第四次商之实【第四防也】

　　又依捷法以三次所商共九步四八倍之得一十八步九六为亷法列平方筹上为亷隅共法简筹第六行一一三七九六略小于实商六除实一千一百三十七万九千六百分余一百五十八万○四百○○分为第五次商之实【第五防也】

　　又依捷法以所商九步四八六倍之得一十八步九七二为亷法列平方筹上为亷隅共法简筹第八行一五一七八二四略小于实商八除实一百五十一万七千八百二十四分余六万二千五百七十六分不尽凡开得平方每面九步四千八百六十八分【亦可名为四分八秒六忽八防】不尽一○○○○○○○○之○○○○六二五七六【即一万分之六分有竒】

　　虽不尽不过万分之一不足为损益可弃不用还原以九步四八六八用筹为法又为实自乘得八十九亿九千九百九十三万七千四百二十四分加入不尽之分六万二千五百七十六共九十亿以一亿分为一步之法除之【当退八位】仍得九十步合原数解曰此以一步化为一万分故其自乘之积一亿何也自乘者横一步直一步之积也今既以一万分为步则是横一万分直一万分而其积一亿为一步

　　若依命分法则还原不合

　　如前例　原实八步开得方二步除实四步不尽四步法当倍每方二步作四步又加隅一步为命分命为二步又五分步之四意若曰若得五步则商三步矣今只四步是五分内止得四分也然还原有不合何也

　　以算明之

　　用通分法以命分五通二步得一十分又加得分四共一十四分自乘得一百九十六为实以命分五自

　　乘得二十五分为法【每步通作

　　五分横一步直一步则共得二十五分也】除之

　　得七步又二十五分之二十一以较原实少二十五之四

　　以图明之

　　每步作五分其羃积二十五分方二

　　步积四步共一百分又五之四以乘

　　方二步得四十分倍之为亷积八十

　　分又五之四自乘得隅积一十六分

　　共九十六分以合原余积四步该一百分少二十五分之四

　　以此观之实数每缩虚数常盈故命分之法不可以还原　其故何也曰隅差也何以谓之隅差曰平方之有竒零其在两亷者实其在隅者虚何也亷之虚者一面而隅之虚者两面也即如二步五之四谓五分内虚一分故不能成一歩也然试观于图两亷之四步皆虚一分【横四分直五分积二十分以二十五分计之是为于五分之中虚一分】而隅之一步虚一分有零【横四分直亦四分积一十六分虚九分以二十五分计之是为五分之中虚二分弱】则是边数二步五之数者其积不及五之四也今余积四步者实数也其边数常盈于五之四有竒也而命之曰五之四宜其不及矣然则古何以设此法曰古率常寛以为所差者防故命之也不但此也古率圆一围三方五斜七今考之皆有防差故曰寛也

　　愚常考定开平方隅差之法法曰如法以命分之毋通其整而纳其子【即得分】为全数以全数自相乘得数为通积另置分毋以分子减之余数以乘分子而加之为实乃以分毋自乘为法除之即适还原数　如上方二步五之四以分毋五通二步得十纳子四共十四自乘得方积一百九十六分另以分子四减分毋五余一以转乘分子四得四即隅差也以隅差加入方积共二百分为实乃以分毋五自乘得二十五为法以除实得八步合原积

　　又如后例　原实九十步开得九步除实八十一步不尽九步法当倍每方九步作十八步又加隅一共十九步为命分命为九步又十九分步之九意若曰若得十九歩则加商一步成十步今只九步是十九分内只得九分也然还原亦不合

　　以算明之

　　用通分法以命分十九通九步得一百七十一步又加得分九共一百八十步自乘得三万二千四百为实以命分十九自乘得三百六十一为法【每步十九分横十九分直十九分共得三百六十一分也】除之得八十九步又三百六十一分之二百七十一以较原实之九十步计少三百六十一分之九十分

　　若依隅差之分以得分九减命分十九余十转乘得分得九十分为隅差以加自乘通积三万二千四百共得三万二千四百九十为实乃以命分自乘三百六十一为法除之恰得九十步合原积

　　以图明之

　　甲戊丁庚形者方九步九分

　　之总形也通为一百八十分

　　积三万二千四百分以三百

　　六十一为步除之较原实少

　　九十分

　　内分甲丙乙巳形为初商方九步之形其积八千一歩戊乙形庚乙形次商亷积之形也长九步【通为一百七十一分】濶九分积一千五百三十九分两亷共计三千○七十八分

　　丁乙者小隅者横直各九分以较亷积中每一步之形【如丑乙】欠一丁癸形即隅差也

　　以积考之亷九步每步濶九分长一步【通为十九分】积一百七十一分隅濶九分长亦九分积八十一分少九十分为隅差

　　立方

　　法曰凡立方有余实不能成一数不可开矣若必欲知其分秒则于余实下加三圏【原实一化为一千分】如法开之所得根数是一十分之几分也若加六圏【原实一化为一百万分】所得根数是一百分之几分也若加九圏【原实一化为十亿】则根数是一千分之几分也若加十二圏【原实一化为万亿】则根数是一万分之几分也

　　解曰平方筹两位故两位作防而其化小分亦以两位为率葢积多两位则根数可多一位也【亷一位隅一位故两位】立方筹三位故三位作防而其化小分亦以三位为率葢积多三位则根数可多一位也【平亷一位长亷一位隅一位故三位】

　　假如立方积一十七步开得立方二步除八步余实九

　　步不尽法于余实下

　　加十二圈则余实九

　　步化为九万亿分【増

　　四防可加开四位】

　　依捷法截第二防○九○○○为次商之实　以初商二自乘【四】而三之得一十二步为平亷法列立方筹上为平隅共法　以初商【二】三而进位得【六○】为长亷法列立方筹下　简共法筹第五行积【○六一二五】小于实商五分【六行七行亦小于实因无长亷积故不用】

　　乃以第五行平方【二五】与长亷法相乘得【一五○○】为长亷积以加共积共得【○七六二五】是为次商五分之积以除实余一三七五以俟三商

　　又截取第三防一三七五○○○为三商之实　以初商次商共二步五分自乘得【六二五】而三之得【一八七五】为平亷法列立方筹上为平隅共法　以初商次商【二步五分】三而进位得【七五○】为长亷法列立方筹第七行【一三一二八四三】共法【八四三】小于实商七秒　乃以第七行平方【四九】与长亷法相乘得【三六七五○】为长亷积以加共积共得【一三四九五九三】为三商七秒之积以除实余○二五四○七以续商

　　又截取第四防○二五四○七○○○为四商之实以商数【二五七】自乘得【六六○四九】而三之得【一九八一四七】为平亷法列立方筹上为平隅共法　以商数【二五七】进位而三之得【七七一○】为长亷法列立方筹下简共法筹第一行【○一九八一四七○一】小于实商一忽

　　乃以第一行平方【一】乘长亷得【七七一○】为长亷积以加共积得【一九八二二四一一】为商一忽之积以除实余○五五八四五八九以末商

　　通第五防○五五八四五八九○○○为末商之实以商数【二五七一】自乘得【六六一○○四一】而三

　　之得【一九八三○一二三】为平亷法列立方筹上为平隅共法　以商数【二五七一】进位而三之得【七七一三○】为长亷法列立方筹下简共法筹第二行【○三九六六○二四六○八】小于实商二防

　　乃以第二行平方【○四】乘长亷法得【三○八五二○】为长亷积以加共积得【○三九六六三三三一二八】为末商二防之积以减实余一六一八二五五八七二不尽

　　凡开得立方每面二步五分七秒一忽二防【不尽之数不能成一防弃不用】

　　还原以二步五七一二用筹为法别以二步五七一二列为实以法乘实得六六一一○六九四四

　　再乘之得一十六万九千九百八十三亿八千一百七十四万四千一百二十八分

　　乃以不尽之积一十六亿一千八百二十五万五千八百七十二分加入再乘积共得一十七万亿以一万亿为一步之法【以一步为万分横一万直一万商一万共一万亿】除之得一十七步合原数

　　若依命分法则还原不合

　　如前所设立方积一十七步开得立方每面二步除积九步余九步法当以立方二步自乘得四步而三之得十二步为平亷又以立方二步三之得六步为长亷又加【一步】为隅共【一十九步】为命分命为立方二步又十九分步之九意若曰余积若满十九步则加商一步矣今只有九步是以十九分为一步而今仅得九分也然还原则有不合

　　以算明之

　　用通分法以命分十九通立方二步得【三十八分】又加得分九共【四十七分】此即所云二步又十九分之九乃立方一面之数也以此自乘得【二千二百○九分】再乘得【一十○万三千八百二十三】乃立方二步又十九分之九所容积数也为实别以命分十九自乘得【三百六十一】再乘得【六千八百五十九】乃方一步之积为法以除实得【一十五步又六千八百五十九之九百三十八】较原实一十七步少【一步又六千八百五十九分之五千九百二十一】

　　其故何也曰长亷小隅之差也何以言之曰立方之有竒零其在平亷者实其在长亷小隅者虚何也平亷之虚者一面而长亷虚两面小隅虚三面故也今以十九分为一步其立方积【六千八百五十九分】为步法以十九分除之得每【三百六十一】为分法平亷每步【横十九分直十九分髙九分积三千二百四十九】分法除之得九是为十九分之九适合命分之数也

　　若长亷【横九分直十九分髙九分积一千五百三十九分】分法除之得四分有竒而已以较平亷九分之积【三千二百四十九】少【一千七百一十分】三长亷共【六步】共少【一万○二百六十分】步法除之得一步又三千四百○一分为长亷差

　　若小隅【横直髙各九分积七百二十九分】分法除之得二分有竒而已

　　以较平亷九分之积【三千二百四十九】少二千五百二十分为隅差

　　合亷隅两差计之共少一步又六千八百五十九分之五千九百二十一

　　以图明之

　　丑寅为立方一步之形每步通为十九分横直髙各十九分积六千八百五十九分是为步法

　　以十九分除步法得三百六十一分是为分法

　　亷隅总图【见左】

　　甲乙丙三平亷也纵横各方二步通为三十八分厚九分积一万二千九百九十六分三亷共三万八千

　　九百八十八分丁戊巳三长亷

　　也各长二步通为三十八分厚

　　濶各九分积三千○七十八分

　　三亷共九千二百三十四分

　　庚小隅也长濶髙皆九分积七

　　百二十九分

　　三长廉三平廉一小隅共包一正方形在内

　　正方形纵横各二步通为三十八分　积五万四千八百七十二分

　　总形方二步九分通为四十七分髙如之　积一十○万三千八百二十三分　以步法除之得一十五步有竒不满原实一步又五千九百二十一分

　　平亷方二步其容四步即辛壬癸

　　子之分形也每步纵横皆一步通

　　为十九分厚皆九分积三千二百

　　四十九【辛一形积如此壬癸子者同】　以分除之适得九分

　　长亷长二步【如丑寅合形】通为三十八

　　分厚九分皆与平亷同所不同者

　　平亷濶十九分而长亷濶只九分

　　故长亷二步尚不及平亷一步之积以积计之每长亷一步【如丑形】积一千五百三十九分较平亷每步之积【如丑夘合形】少一千七百一十分【如丑之虚分夘】三长亷计六步共少一万○二百六十分是为长亷之差

　　小隅横直髙皆九分【如未形】于平亷

　　一步之积不及四之一以积计之

　　小隅之积七百二十九较平亷一

　　步之积【如未申合形】少二千五百二十分【如未之虚分申】是为小隅之差　合二差共一步五千九百二十一分今考定开立方亷隅差法法曰凡立方有命分者如法以分母【即命分】通其整而纳以分子【即得分】为立方全数以全数自乘再乘得数为立方通积另置命分【母数】与得分【子数】各自乘得数以相减用其余数以乘得分得数为隅差又置命分与得分相减用其余数转与得分相乘以乘命分得数是为长亷每步虚数又以长亷法乘之得数为长亷差合二差数以加通积为实以命分自乘再乘得数为法除之即适还原数如所设立方积十七步开得立方二步又十九分

　　之九法以分母【十九】通立方二步而以分【子九分】纳之共【四十七分】为立方全数以全数自乘再乘得【一十○万三千八百二十三】为通积另置命分【十九】自乘得【三百六十一】内减分子【九】自乘【八十一】余【二百八十分】以分子【九】乘之得【二千五百二十分】为隅差又置命分【一十九】内减得分【九】余十分转乘得分【九】得【九十分】以乘命分【十九】得【一千七百一十分】为长亷每步虚数又以长亷法【六步】乘之得【一万○二百六十分】为长亷差合二差共一万二千七百八十分以加通积共得一十一万六千六百○三分为实以命分一十九自乘再乘得六千八百五十九分为法以除实得一十七步合原积

　　厯算全书卷三十三

　　笔算自序

　　或问笔算西人之法耳子何规规焉曰非也自图书启而文字兴参两倚数毕天下之能事六书九数皆原于易非二事也古人算具以筹策纵横布列畧如筮法之挂扐其字象形为祘是故其纵立者一而一其上横者一而五珠盘之位实此权舆夫用蓍在立卦之后则筹策之算必不在文字先矣是故筹策之未立形声防画自足以用而筹策之所得又将纪之简策以诏方来书与数之相须较然眀也近数百年间再变而为珠盘踵事生新以趋简易然观九章中盈朒方程必列副位厥用仍资笔札其源流不可想见与故谓笔算为西人独智者非也曰今所传同文算指西镜録等书亦唐九执厯元明间回囘土盘之遗耳与中算固各有本末矣曰是则然矣然安知九执以前不更有始之始者乎西人之言厯也自多禄某以来二千年屡变而宻溯而上之亦不能言其始于何人其为算也亦若是己矣夫古者圣人声教洋溢无所不通南车记里之规随重译而四逹我则失之彼则存之乌乎识其然乌乎识其不然耶且夫治理者以理为归治数者以数为断数与理协中西非殊是故礼可以求诸野官可以问诸郯必以其西也而摈之取善之道不如是隘也况求之于古抑实有相通之故乎曰然则子何以易衡而直曰旁行者西国之书也天方国字自右而左欧逻巴字自左而右皆衡列为行彼中文字尽然也彼之文字既衡故笔算亦横取其便于彼用耳非求异于我也吾之文字既直故笔算宜直亦取其便于用耳非矜胜于彼也又何惑焉问者以为然遂书其语为序康熙癸酉二月初吉宣城梅文鼎撰

　　发凡

　　笔算之便与筹算同然筹仍资笔而笔则无假于筹于文人之用尤便【笔算无歌括最便学习又无妨酬应乆可覆核皆与筹算同详筹算书】

　　笔算易横为直以便中土盖直下而书者中土圣人之旧而吾人所习也与筹算易直为横其理正同

　　笔乗原法以法实相叠殊混人目今所更定者一纵一横法实各居其所而纵横相遇处得数生焉不惟便用而已其所以然之理亦按图可知

　　笔除原法得数与原实相离定位易淆今所更定者法实与得数两两相对算理井然定位尤简

　　【所谓原法者并据同文算指乃西土之旧式利西泰所授而李水部之藻所刻也厥后有西镜録等书稍稍讲明定位之用盖亦酌取中法而为之然于古人实如法而一之防似犹有隔兹以法上得零之诀定之庶令学者一望而知所兾髙贤有以教之幸甚】

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷三十四

　　宣城梅文鼎撰

　　笔算卷一

　　列位法

　　数始于一究于九毕于十十则又复为一矣等而上之为百为千为万乃至兆亿皆得名之为一即皆得名之为二三四五六七八九故必先稽其位而列之并减乘除以此为基非是则算无可施矣法具如后【以一位言之有自一至九之名此如同軰之有长防合上下之位言之有单十百千万之等此如己身而上有高曽祖父己身而下又有子孙云仍故单以下复有畸零之位也】

　　列位式

　　万　千　百　十　零

　　【此姑以五位为式位有多寡皆以零数为根零亦曰单】

　　假如有数二万四千七百五十九依法列之

　　二　四　七　五　九

　　【凡列数以最下小数为单单上有一位共二位即是十数有三位是百有四位是千有五位是万不必更书十百千万等字但稽其有若干位即得之矣】

　　又如有数四千○九十六依法列之

　　四　○　九　六

　　【凡数大小相乘中有空者必作○以存其位如此式有千有十有单而无百故于百作○以存其位】

　　又如有数一万○八百

　　一　○　八　○　○

　　【凡数以单位为根今此数无千无十而并无单故必补作三○以成五位则知首位是一万矣】

　　又如有数一十二万九千六百

　　一　二　九　六　○　○

　　【原数四位无空然无十无单故必补作两空以成六位则知首位为十万】

　　畸零列位式

　　凡整数自单而陞若畸零数则自单而析故单位者数之根也然整数之陞以十为等自单而十而百而千而万皆一法也【万以上有以十万为亿十亿为兆十兆为京自此而垓而秭壤沟涧正载皆以十而变谓之小数有以万万为亿亿亿为兆兆兆为京以上尽然皆以自乘而变谓之大数今所用者以万万为亿万亿为兆万兆为京以上尽然皆以万而变谓之中数三者不同然其列位皆以十为等故曰一法也】若畸零之式其故多端约而言之亦只二法其一以十为等其一不以十为等而各以其所立之率为等是二法者又各分二类列之各有其法【详后】

　　其一以十为等分二类

　　假如钱粮料则毎田一亩该五分九厘八毫六七忽九微三纎四沙八尘九埃二渺一漠

　　依法列之

　　○○五九八六七九三四八九二一

　　两钱分厘毫丝忽微纎沙尘埃渺漠

　　【右式今所通用自两而下以十之一为钱又以钱十之一为分分十之一为厘如是递析为毫为忽以至渺漠皆以十为等】【原科则自分起以至渺漠计十二位今加两○为十四位者乃列位之法也何也分之上有钱钱之上有两两为单数凡列畸零之数必以单数为根始便合总故两数虽空必存其位也】

　　凡度法以丈为单数则其十之一为尺又十析之为寸为分为厘毫丝忽之属【亦有以尺为单以寸为单者皆如所设】

　　凡量法以石为单数则其十之一为斗又十析之为升为合为勺之属【亦有以斗为单数者皆如所设命之】法并同上

　　右法以十为等即以一位为一名如上位是两下一位即是钱此为一类

　　假如授时厯法毎一平朔二十九日五十三刻零五分九十三秒依法列之

　　【右式日为单数而以日百析之为刻又百析之为分又百析之为秒故列位时必作防以志之使知日下二位始为单刻由是而分而秒皆隔两位而变其名然仍是以十为等　凡作防必单位如日为单位下又有单刻单分单秒之属】

　　凡开平方尺有百寸寸有百分其法同上

　　凡开立方尺有千寸寸有千分则三位而变即隔三位作防以志之法亦同上

　　右法虽亦皆以十为等而不以一位为一名或隔两位或隔三位前法只寻单位即知其余此法单位之下仍须各寻单位盖前法之分秒只有单而此法分秒各有十有百故必以作防之处知其为单分单秒是与前法微别又为一类也其一不以十为等而各以其所设之率为等亦分二类

　　假如回囘厯法以六十分为一度六十秒为一分太阳三十日平行二十九度三十四分一十秒作何排列

　　【右以度为单数下两位为分又下两位为秒故作防志之畧同授时然皆以六十而进非以百也其自秒以下为微纎等数凡在授时以百为数者回回之法皆以六十为之是虽不以十为等而所设六十之率钜细同法西洋法亦然】

　　又如古量有以四升为豆四豆为区四区为釜皆以四为率又如杨子云太以三方统九州二十七部八十一家其递析也皆以三

　　又如测量家以矩度分十二度每一度又分十二分是又以十二为率也右诸率皆不用十而所用之率屡析不易是为一类

　　假如物重十六两为一斤二十四铢为一两今有物二斤四两半作何排列

　　【此以斤为单数斤下二位为两又下二位为铢铢与两皆斤之分秒也故作防志之亦同前法但铢以二十四为率两以十六为率二率不同】

　　又如厯家以甲子六十为旬周每日十二时又分初正【西厯谓之二十四小时】每各四刻每刻有十五分今依新法筭得辛未年冬至为旬周之第五十日二十二时二刻七分依法列之

　　【此以日为单数下二位析日为时又下一位析时为刻又下两位析刻为分皆日下之畸零也然时之率二十时刻之率四分之率十五各率不同所当细玩】

　　右法既不以十为等而所用之率又不齐同是又一类也【此二类不以十分为率而各有其率即通分子母之法也但通分以子母并列又是一法别卷详之】并法

　　凡数合总法当用并有诸数于此并而合之为一总数又名垜积即珠盘之上法也【数相并则相益而多故亦名加法在钱谷之用则所以稽总撒】

　　法曰置所有防数几宗各依列位法自上而下对位列之万千百十单各以类从

　　列讫仍并之自上而下如画卦之法

　　数满十者进位作号而本位纪其零

　　纪号式

　　丨□□□□丅□□□【此古算位也用以别原数便稽核也】

　　假如有丝八百九十二斤又一千○八十八斤又【三百五十斤　合之若干】

　　如上式防数三宗依法列位并之

　　得总数二千三百三十斤

　　假如有绢四丈五尺六寸又五丈○三寸又八丈五尺合之若干

　　九减试法

　　【凡九减之法不论单十百千之位亦不计○位只摢现有之数而合计之先减减数首行八九二合得十九减去二九余一以合次行一八八共得十八减去二九恰尽只余三行三五合成八数纪于右次减总数二三三合得八纪于左　左右相同知其不误】

　　【第二图先减防数首行四五成九减去余六合次行三成九减去余五合三行八五共十八成二九减尽纪○于右　次以总数一八九成二九减尽纪○于左　左右相同知其无误　或问九减不计上下之位何也曰此防法也凡九减者数不变假如以九减一十则仍余一减二十则仍余二推之百千万亦然故不论位】七减试法

　　【凡七减与九减不同须论位减实数　第一图先减防数自上而下头一排只有一作一十算合第二排八三得十一共二十一以七减之尽第三排九八五合得二十二以七减之余一作一十合第四排八二得十共得二十以七减之余六纪于右　次减总数亦自上起首位无七有二合第二位作二十三以七减之余二又合第三位作二十三以七减之余二合末位○作二十减二七余六纪于左　左右相同不误】

　　【第二图先减防数头一排四五八合十七以七减之余三作三十合第一排两个五成十共四十以七减之余五作五十合下六三成九共五十九以七减之余三纪右次减总数首两位十八以七减之余四合第三位○作四十以七减之余五作五十合下位九共五十九以七减之余三纪左左右相同不误】

　　畸零并法

　　假如有物十斤四两十二铢又九斤十一两十二铢共若干

　　答曰二十斤

　　【铢数并得卄四成一两进位并原数共十六两成斤进位并原数十九斤

　　共卄斤铢率卄四两率十六不同故以防隔

　　之凡率不同难用九减七减只以减法

　　还原其法于总数内减原防数一宗其余一宗必合减余是为无误减法

　　见后详通分】

　　假如品官计俸原厯任过三年○九个月今又歴任一年十一个月共若干

　　答曰共歴任五年○八个月

　　【先并月得二十再以十二个月成一年进位纪号余八个月次并一年三年加所进一年共五年并得五年○八个月此因月法十二非以满十而进故以防隔之此亦非满十而进不用九减七减只以减法还原】

　　递加法

　　假如授时厯歳实【三百六十五日二十四刻二十五分】两次加气策【一十五日二十一刻八十四分三十七秒五十微】共若干

　　答曰【三百九十五日六十七刻九十三分七十五秒】

　　此递并法借前总数当防数用之如此则可以层累而加

　　【前条三百八十○日四十六刻竒是从嵗前冬至算至本年小寒此条三百九十五日六十八刻弱是又算至本年大寒】

　　截小总法【凡并法头项太多者截分小总则易清乃垜积之防法】

　　假如河工一十二宗一工【五千○十四工】又【三千三百工】又【八百九十一工】又【二千○九十工】又【九百○九工】又【一千○八十工】又【二千○二十工】又【九十一工】又【六百六十七工】又【四千七百工】又【七百三十工】又【八十二工】问共数

　　答曰二万一千五百七十四工

　　法曰【先以河工十二宗任分为三段依法并之各成小总再合各小总依法并之为一大总合问】

　　【或有极多至百十宗者宜多分小总小总又并为小总末乃并为一大总变繁为简最便覆核】减法

　　凡数相较法当用减有两数于此以相减则得其大小之较也有全数于此减其所去则得其留余之数也【在钱糓之用则减为开除减余为实在若收受则所减为已完减余为未完其法与并法正相对其用亦相需也】

　　法曰置原数于右置减数于左依列位法自上而下对位列之【若两数相较则以大数列右以当原数小数列左为减数】乃以两数相较以少减多【原数必多减数必少若原数反少则有转减】减讫列减余之数于左行

　　凡减自下小数起本位无可减借上位一数化十而减之则于上位作防以为志【还原时即用此防为进位之志或不用防用短直亦同】

　　假如有库银十万两支放过五万九千五百○三两问存库若干　答曰四万○四百九十七两

　　【此因数万以下俱空故皆用借十作防之法自最下两位起两位空作防于上位借十两减三存七　支数原无十两因借减之防宜减十两而十两亦空复作防于上位借一百内减一十存九十　支数五百加借防共六百亦作防借一千减六百存四百　支数九千凑借防成一万作防于万位凑原支五万共六万又作防于首位借十万减六万存四万】

　　还原用并法【即借用本图】从两位起以支放三两并存留七两得十两作防于十两位凑存留九十两成一百两又作防于百位凑支放五百存留四百并得一千作防于千位凑支放九千成一万作防于万位凑支放五万存留四万共成十万作防于首位至此存留支放俱无可辏浄十万两作一十万字于原银位合总无差

　　递减法

　　假如有应进贡【貂皮一千五百张收过九百○五张次年补收四百九十五张仍欠若干】答曰【一百张】

　　【以头一次九百○五张依法减原额一千五百张得减余五百

　　九十五张为欠数次以补收四百九十五张减欠

　　数五百九十五张得减余一百张为仍欠数】

　　因两次递减亦减两次试之

　　【九　六　七　二　先以原额减余数列右减　□　减　□　合收欠减余数列左】

　　【试　一　试　○　次以欠数取减余列右法　□　法　□　合续收仍欠减余列左】

　　还原【倒用前图】以仍欠一百并续收四百九十五得五百九十五合前欠数　又以欠五百九十五并先收九百○五得一千五百合原额　凡递减者亦以递并还原

　　透支转减法

　　假如有钱一万五千○三十文陆续支用过一万六千○五十文该有透支若干答曰净多支一千○二十文

　　此因支数多于原数故以原数转减支数而得透支之数【凡两数相较多寡皆仿此】

　　还原以多支一千○二十并原钱一万五千○三十

　　得一万六千○五十合支用数

　　畸零减法

　　假如有地丁银三千五百零三两徴完三千二百一十两零三钱五分仍未完若干　答曰二百九十二两六钱五分

　　还原以已完未完相并得数合额编之数【此原数至两而止因减而有钱与分之数盖以两为单数其钱为两十之一分又为钱十之一皆畸零也】

　　假如授时厯毎月二节气共三十○日四十三刻六十八分七十五秒经朔二十九日五十三刻○五分九十三秒两数不同是生月闰该若干

　　答曰月闰九十○刻六十二分八十二秒

　　太阳节气　　　　　　　　　此经朔减节气也

　　太阴经朔　　　　　　　　　经朔小节气大相减

　　月闰　　　　　　　　　　　之较是为月闰还原以月闰并经朔得总即仍合节气之数

　　假如品官计俸以三年为满今厯任过一年零七个月该补若干　答曰该补一年零五个月

　　【此以十二个月为一年故减法不同

　　先减七个月月位无可减作防于年位借一年为十二月减七存五

　　次减一年并所借一防共二年以减三年余一年】

　　还原以己厯一年○七个月补俸一年○五个月相并得三年合总

　　假如有海濵田一百三十一顷四十亩被潮坍损二顷八十五亩一百五十九步仍余若干

　　答曰仍存田一百二十八顷五十四亩八十一步解曰【此以百亩成顷二百四十步为亩故列位时须作防别之而减法亦同

　　先减一百五十九步原数无步作防于亩位借一亩

　　为二百四十步纪号于原位乃如法减之】

　　仍存一二□五□○八□

　　还原以坍损田及仍存田相并得原田数合总右二式畸零之率不同难用九减七减只以并法还原【余详通分】

　　钱粮四柱法

　　四柱者旧管新收开除实在也各衙门造册必归四柱则收放可稽在笔算为减并合用盖旧管新收用并法开除用减法其实在则减余也亦有减尽无余者则无实在即于实在项下直注曰无其事件创立前无所承者则无旧管亦有存留不动之项则有旧管而无新收其法并同【如无旧管则注曰旧管无或无新收则亦曰新收无】若所出浮于所入则为透支当用转减之法也【开除本用以减今反将并旧管新收以减开除故曰转减】凡转减者亦当于实在项下注明【如云实在无外多支若干是也】式如后

　　假如藩库原存地丁银一十二万○三百○三两今于康熙三十年征收一百四十一万○五十五两六钱节次支放过一百二十二万二千○五两六钱问该存留若干答曰三十万○八千三百五十三两

　　【先用并法得旧管新收共一百五十三万○三百五十八

　　两六钱再用减法于共数内减去开除一百卄二万二千

　　○五两六钱得实在存留三十万○八千三百五十三两

　　以旧管新收共数与开四　除实在并数各依试法】

　　【四　左右列减余相同知其不误　九减七减并余

　　四可省一图】

　　假如仓内原存米四千四百石新收某处解到米五百○三石麦三千六百石奉文支放兵米五千石问实在若干答曰【米支放讫仍缺额九十七石麦实在三千六百石存仓】

　　麦

　　【法以旧管新收共米】　旧管　无

　　【四千九百○三石转】　新收　三六○○

　　【减开除五千石得缺】　开除　无

　　【项九十七石】　实在　三六○○

　　【试法合旧管新收加入缺项而九减七减之纪余于右　又单

　　用开除一项九减七减纪余于左以左右相同知其无误

　　凡转减者仿此试之】

　　假如某镇军饷原存二千一百○三两支放过正月分口粮折银一千八百○九两续于二月有某处解到协济银三千五百两于四月内发过草料银八百九十二两又制造盔甲银用过九百九十九两五钱续准某军门公文发到饷银一千○九十两问今库内现存若干　答曰仍存二千九百九十二两五钱

　　以上先用并法变六宗为两宗然后相减

　　若依四柱法则当以协济三千五百两院发一千○九十两另并为新收四千五百九十两

　　【九　六　七　三】

　　【试　□　试　□右试法并以旧管新收并为

　　一宗而九减之纪余于右以开除实在并为一宗而九减

　　之纪余于左七减亦然所不同者除实

　　在减至钱数则旧管新收亦必减至○钱位止然后左右

　　相较可以无误此七减之要诀所当熟翫】

　　淮仓销算【邸抄附録为式】

　　户部题为差委司属官员事查得淮仓监督将任内自康熙廿九年九月初六日起至三十年八月初七日止收放钱粮数目造册具题前来查册开旧管银三万八千一百一两五钱三分零米麦四万五千一百六十九石九斗三升零新收银一万二千一百四十八两九钱九分零米麦一万七千三百六十九石二斗六升零又收过商税等银三万一千六十四两八钱六分零内相符准销银一万八千三百一十五两一钱五分零米麦一千一百一十九石八斗四升零行查催解银三万五百五十四两八钱零米麦一万三千二百五十石八斗二升零存剩银三万二千四百四十五两四钱三分零米麦四万八千一百六十八石五斗三升零将解支欵项开后一解部银一万七千六百二两三钱五分零米一百三石毎石九钱折银九十二两七钱麦一千一十六石八斗四升零每石五钱折银五百八两四钱二分零等语查前项银两已经解到收讫无庸议一给门军口粮银七百一十二两八钱等语查系应给之项无庸议一解河工银五千八百一十三两二钱六分零查未开解交年月日期应令开明报部之日查核一给淮安等卫廿九年分行粮银五千三百两三钱二分零米麦一万三千二百五十石八斗二升零月粮银一万四千七百三十二两九钱查总漕未奏销应俟奏销到日查核一解淮安府银四千七百八两三钱二分零查卄八九两年解府银两尚未动支今何得又行起解应令作速解部一存剩银三万二千四百四十五两四钱三分零米麦四万八千一百六十八石五斗三升零应将此解部米麦存仓备用又收过房田税契银四百二两六分六厘零查前项银两已经解到收讫无庸议者奉

　　防依议　　今以四柱法核之如后

　　【桉此即原题四柱册也旧管者即四柱之旧管也新收及商税皆新收也准销即除存剩即实在其行查催解银则四柱中原作开作而部不准销改入实在之数也】法【以准销查催共数与旧管新收共数相减即得存剩】

　　细账

　　【仍原数不动】

　　以上并依法合总无讹

　　外有房田税契银另项附销不在四柱之内

　　厯算全书巻三十四

　　钦定四库全书

　　厯算全书巻三十五

　　宣城梅文鼎撰

　　笔算巻二

　　乘法

　　以数生数是之谓乗数不能自生相得乃生故乗亦曰因【生则不穷故乘有陻义生则日积故乘有载义】有一位乗有多位乗【或分一位曰因多位曰乘然古皆谓之乘今从古】皆有法有实有得数

　　【凡实数纵列于右凡法数横列于下纵横相遇而得

　　数生焉直行所对者法数也斜行

　　所对者实数也而纪得数则以横行定之

　　或问实何以对斜行曰法有进行故得数斜陞是故

　　右第一行是法单位乘出之数也其次行则法十位

　　乘出之数也又次而百而千视此矣故其乗得数不

　　出斜格　此虚位也单十百千周流迭居皆于临时

　　定之】

　　凡乘出数皆有本位有进位如有十数又有零数【三四一十二四四一十六之类】则纪零于本位【本格之右方】纪十于进位【上一格之左方】有十数无零数则纪十于进位而本位作○【五四成二十五六成三十之类】有零数无十数则纪零于本位而进位作○【一一如一二二如四之类】凡法实有空位则本位进位俱纪○

　　凡乘皆从法尾位起【即右第一行】对定实数相乗自下而上如画卦之法右行乘毕挨乗左行毎移一行必进上一位其各行中斜对实数自下而上皆如右行法

　　凡法与实有空位则无可乘然必于本位进位各作○以存其位【若实尾有空位则于合摠时补之】

　　凡各行乗讫必覆核之乃以并法合总而纪于左方以为得数实尾有几○皆作于总数之下

　　凡乗讫定位皆于原实内寻原问毎数为根以横行对定得数命为法尾数则上下之位皆定

　　凡数单乗单成单【甲为本位戊为进位】十乘十成百【乙为本位已为进位】百乘百成万【丙为本位庚为进位】千乗千成百万【丁为本位辛为进位】前图可明

　　定位又法【法曰有本数有大数有小数如原问是毎亩之价而原实恰止于亩数是本数也凡本数即用得数尾位命为法尾数　若原问是毎亩之价而原实只有十亩或只有百亩是大数也凡大数当于得数尾位下增○然后于所增○位命为法尾数若大几位亦增几○皆增至毎位止即命末○为法尾数也若原问是每亩之价而原实不止于亩亩下有分厘是小数也凡小数当于得数之尾截去之原畸零几位亦截去几位然后命之即所截之上一位为法尾数是也】

　　凡乗毕恐其有误宜用除法还原【置得数为实以法数为法除之即得原实或置得数为实以实数为法除之亦得法数】不则以九减七减试之尤防

　　【先以法数如法九减之而纪其余于右如甲次以实数亦九减之而纪

　　其余于左如乙再以左右两减余相乘得数仍九减之而纪其余于上方

　　如丙　末以得数亦九减之而纪其余于下方如丁　丁丙相同即知无

　　误七减亦然】

　　【先以法数实数各如法九减之而并纪其余如甲与乙　次以两减余相

　　乗得数仍九减之而纪其余如丙以上并居左方　末以得数亦九减之

　　而纪其余于右方如丁　视丙丁相同卽知无误　如甲乙二者内有一

　　○卽丙亦○又或甲爲一数卽丙数同乙皆不用乗　七减亦然】

　　一位乗式

　　假如有熟田三千五百一十九亩每亩编银六分问该若干答曰二百一十一两一钱四分

　　【法从下起先以法数六乘实数九呼六九五十四纪四于

　　于本位纪五于进位进乘实数一呼一六得六纪六于本

　　位纪○于进位进乗实数五呼五六成三十纪○于本位

　　纪三于进位进乘实数三呼三六一十八纪八于木位纪

　　一于进位　乘毕以倂法合总】

　　定位法　因原问是毎亩科则就于右行原实内寻每亩数为定位之根横对左行得数命法尾分则其余皆定【根是九亩横对是四分则上位是钱又上是两又上十两又上是百两定所得为二百一十一两一钱四分】

　　两位以上乗式

　　假如有金九钱八分五厘每两价银八两八钱问该若干　答曰八两六钱六分八厘

　　【先以法八钱乗实数五呼五八成四十纪○于本位纪四于进位进

　　乗实数八呼八八六十四纪四于本位纪六于进位进乗实数九呼

　　八九七十二纪二于本位纪七于进位

　　次进一位以法八两乗实五呼五八成四十纪○于本位进乗实八

　　呼八八六十四纪四本位纪六进位进乘实九呼八九七十二纪二

　　本位纪七进位乗毕以并法合总】

　　定位法【原问毎两之价而实无两当于实九钱上补作○两位为根以横对得数定为法尾钱即上下之位俱定】

　　定位又法【此小数也原问以毎两价为法而实有钱分厘共小三位即于得数截去尾三位定第四位为六钱】

　　【法实减余平列左上相乘而减之列左下

　　得数减余列右下以相同为定】

　　假如有钱三十万零五百八十文每千卖银九钱零五厘该若干

　　答曰二百七十二两零二分四厘九毫

　　【先以法数五乗实数八纪四○次乘实数五纪二五

　　次乗实数○○本位进　位俱纪○次乗实数三纪一五

　　进一位以法数○乘实○无可乘于本位进位各纪

　　○以存其位又进一位以法数九乘实

　　数八纪七二进乗实数五纪四五进乘两○纪○进

　　乗实数三纪二七乘毕以并法合总】

　　定位【原问是毎千之价当于原实内寻干位为根以对得数命为法尾厘则其余皆定】定位又法【此亦小数也实有十丈于原问毎干为小两位当于得数截去末两位定为法尾厘】

　　【此即前问也因法有空位省不乘但于法首九

　　钱起进二位乘之即得数无讹与前法同

　　本宜进一位乘九钱今进两位以合空位之数

　　若法有两空即进三位以上仿论】

　　假如星命家以年月日时配成八字【以七百二十乗七百二十】问共该若干

　　答曰五十一万八千四百

　　【如法乗讫并之得五一八四】

　　定一【原问七百二十年月下毎一数中各配七百二十日

　　时宜于原实下补作○单位为根以对得数定法尾十】或用又法【实数止于十大于毎数一位乃大数也宜

　　径于得数増一○位定法尾一】

　　解曰【六十年各十二月则前四字七百二十六十日各十二时下四字亦七百二十故以相乘即能尽八字之变】

　　假如西厯天度毎周三百六十今有星行天三百周该若干答曰一十万零八千度

　　【依法乘讫用并法合总得一○八】

　　定位【原问是毎周之度今实数是三百周当于原实下补作两○至毎周位止

　　以此为根横对得数定法尾十度而得数空补作一○上一位为百度位得数亦空

　　又补作○是得数无百无十也再上为千为万为十万定所得为一十万○八千】或用又法【星行三百周大于毎周两位乃大数也法径于得数下增两○

　　定末○为法尾十度即得数皆定】

　　【此先置三百六十为实而以三百周为法乘之也得

　　数一○八与前法同但变两位乘为一位乘其用更

　　简】

　　定位【用大数法以实止十度无毎位径于得数

　　下补作一○定为法尾百即得数定为十万○八千】

　　假如有珠子三分五厘毎两值银二十四两该

　　若干

　　答曰八钱四分

　　依法乘而并之得八四○

　　定位【原问珠毎两价今实数只有分乃进位作

　　○于钱位又上作○于两位两为根横对得数为法尾数

　　两而两位空补作　定所得为八钱四分】

　　定位又法【此小数法也实有分厘在原问毎两下三位宜截去得数末三位定法尾数两而得数只三位无可截乃补作○于得数之上然后截之定为○两】

　　此与前条金价并畸零乘法也【余详通分】

　　省乘法【古谓之加法】

　　假如有漕粮三百六十石毎石耗米四斗问正耗共若干答曰共五百○四石

　　此就身加法也【原数即当得数不动只挨身加四

　　先于六十石加四六二十四石又于三百石加三四一百二十石末

　　用并法连原数并之合总凡加法定位依原数不湏更求下同】

　　【加法九试七试略同并法并合原数加数减余列右共数减余列左此及下

　　条并九减七减俱无余】

　　假如银五十四两毎两月息二分五厘今两个月共本息若干

　　答曰共五十六两七钱

　　【此因所加是分在两下二位故隔位加　又因毎月二分半今两个

　　月该五分故以五分为法先于四两加二○进于五十加二五末以

　　并法连原数合总】

　　省乘又法【古谓之求一乘法】

　　凡法数之首为一数者即原数不动而挨身加之与前两条同也若法首非一数者以法变为一数则亦可挨加此为本非一数求而得之故名求一乗法也　其法遇法首为二为三则折半用之而倍其实　法首遇五六七八九则加倍用之而半其实　法首遇四则取四之一用之而四其实【如此则法首成一数可用省乘】

　　【凡求一乘法定位亦于原实内寻毎数为根以横行对得数定之但此所对得数恒为法首位数　若乘法则为法尾位数与此不同乃理势之自然不可不知】

　　假如前条珠三分五厘价毎两值银二十四两用乘法得价银八钱四分今以法数折半作一十二两实数加倍作七分挨身加之所得正同而用加防矣

　　【原数不动即用为法首一数所乘也挨身以法次位二与原数相乘呼二七加

　　一十四本位纪一下位纪四加讫以并法合总亦连原数作数并之】定位【亦从原数七分上加两○寻毎两位为定位之根横对左行总数得法首

　　位是十两下一位是两俱空位补作两○再下一位即钱定所得为八钱四分】

　　又如前条钱三十万○○五百八十文毎千价九钱○五厘以钱折半【十五万○二百九十】为实价加倍【作一两八钱一分】为法

　　【原数借为得数不动　以法去首位一只用八一挨身加

　　之自下起于九加七二九于二加一六二其○位无加于

　　五加四○五于实首一加八　一加讫合　原数并总】定位【寻原数千位为根横对左行得数得法首两位】

　　并乘法【凡有数次乗者并为一次乗亦算家简法旧谓之异乗同乘】

　　假如原本银三千二百两毎两一年获息一钱五分六厘二毫五丝已经四年该息若干　答曰二千两

　　【法先以三千二百两乘四年得一万二千八百两再

　　以息银乘之是并两次乘为一次乘也】

　　截乘法【凡乗法位多者截作数次乘之以便初学其法与并乗相反而其理相通】

　　假如有三十二人各给布六丈四尺共若干

　　答曰二百○四丈八尺

　　【先置六丈四尺以十六人为法用省乘就身加六得一百○二丈四尺又

　　二乘加倍合总解曰十六乘又二乘即三十二乘也】定位【凡就身加者原数即可定位如前条漕粮毎石加四斗是也此

　　条是十六加首行六四虽以原数当得数而六丈四尺已陞为六十四丈

　　矣　若加倍自是本位此在用算者临时消息之也】

　　或置三十二人以八丈乘两次亦同

　　解曰八乘二次即六十四乗也

　　或置六丈四尺以四乗之得数又以八乗之所得亦同

　　解曰四乗一次又八乗一次即三十二乗也

　　除法

　　以数剖数是之谓除除其原数以归各数故除亦曰归【除与乘对理精用博近或谓之分义则浅矣】

　　有一位除有多位除【或分一位曰归多位曰除或曰归除曰混归然古皆曰除】皆有法有实有得数【得数一名商数】

　　实其物也法其则也法实在乘法或可互用而除法必须审定乘法以法与实相遇而生一数如阴阳相交而生物也故虽互用而其交之理不易其生之用亦不易也除法以实满法而成一数如镕金以就型也故曰实如法而一若倒用之则非矣【实如法而一或变文曰如某数而一如用三除者省文曰以三而一言以三数成一数也而字皆连上为文或者不察遂竟以而一当除之字义失其防矣】定法实诀

　　凡审法实有二诀一曰先有定则即以定则为法其所除者必同名之物也【如有定则之银为法而除总银以定则之米为法而除总米是也】一曰先无定则而求定则须详问意以所用求之者为法其所除者必异名之物也【如以总米除总银以总银除总米是也】何以为先有定则也以事明之如银籴米而先知每米一石之银若干是先有定则之银也即以此定则之银为法而以总银为实以法除实则得总银所籴之总米矣【此为有总银数又有米毎石之银数故以银除银而得总米】

　　若先知毎银一两之米若干是先有定则之米也即以此定则之米为法而以总米为实以法除实则得总米所粜之总银矣【此为有总米数又有银毎两之米数故以米除米而得总银】

　　是皆所除者同名而所得者异名也又谓之以毎数求总数【凡以毎数求总数者以每数为法毎数即定则也以比例求之更明图具左方】

　　何以为先无定则而求定则也如有总米又有总银而无毎数则当于问意详之问者若欲知每米一石之银是以米分银也则以总米为法总银为实问者若欲知每银一两之米是以银分米也则以总银为法总米为实是所除者异名而所得者亦异名也又谓之以总数求每数【凡以总数求毎数先无定则故必于问者之所求酌之亦有比例之理】

　　又防法

　　凡不动者为法动者为实何以明之如有总米总银而欲知毎米一石之银则将变总银为每米之银是银动而米不动也故以米为法若欲知每银一两之米则将变总米为毎银之米是米动而银不动也故以银为法其以毎数求总数者先有定则不动即用为法尤为易见

　　凡布算乗易而除难除法之难尤在法实法实无误则思过半矣此乃珠算笔算所同也故首辨之如右若笔算除法更有宜知者数端具如后方

　　一列位【法实既辨即当列位】

　　其法先作两直线自上而下平行相望约其间可容字两行为率其长短则视位数多寡定之先以实数列于右直线之右自上而下依列位法书之次以法数列于右直线之左亦自上而下其千百十单皆与实相对或法数有千而实只有百者即对书于上一位余皆仿此亦有实数无分秒而法数有之者亦对书于实尾之下次约实以求得数【得数亦名商数】

　　以法约实纪其得数于左线之右视法首位是言如之数【如三三如九之】则书于实之上一位而于实首添作○以遥对之或法首位是言十之数【如二六一十二之类】则书于实首之对位其次商三商以上皆依此书之若书之而不相接辏是商数有空位也补作○此定位之根慎不可错次乘商数求应减之数以减原实

　　以商得数与法数相呼乗之而纪数于左线之左皆以乘数之进位对商数纪之【如二六一十二则以一十对商数书之如三三如九是为○九则以九上之○对商数书之他皆仿此】乃遂以乗出数与右行原实对减【周减法】足减者于原实抹改之不足减者改商数其乗出数亦抹去便续商也

　　次定得数之位

　　先于法数之上一位作□为识以对得数命为单位等而上之则十百千万等而下之则分秒忽微皆从此定

　　次命分

　　除有不尽者以法命之用法数为母不尽之数为子命为几分之几

　　次还原

　　凡除法恐其有误当以乘法还原用法数与得数相乗除有不尽者并入之即得原实

　　又法仍以除法还原用得数为法转除原实即复得法数除有不尽者以减原实为实然后除之

　　又法以九减七减试之以法数九减七减皆用其所减之余纪右再以得数如法减之纪其余于左左右两余数相乗仍如法减之纪其余于上方末以原实亦如法减之纪其余于下方上下相同则无误矣

　　又简法作直线于左方以应减之数依并法并之必合原实有不尽数亦并入之【此法更简更确】

　　按笔除原法以法实上下相叠不论数之何等【谓十单分秒之等】而但齐其尾殊欠条理又以得数横续于法实之尾定位易淆今法与实皆用真数相对而宜减之数先列左方对减无误即古人实如法而一之故了了分明据法首定位尤为简快

　　一位除式

　　假如有额编地丁银二百一十一两一钱四分其科则毎亩六分问原地若干

　　答曰三千五百一十九亩

　　审法实诀【此为以毎数求总数也其毎数六分为先有之定则不动故以为法】

　　【右并法还原即用原列应减之数并之必合原实是为简法】列位法【如法作两直线先以实数二一一一四列于右直线之右自上而下顺布之次以法数六列于右直线之左因法系六分故与实分位相对】

　　商除法【次以法数约实法是六实是二以六除二当合下位作廿一除之商作三以乘法六呼三六一十八是言十之数将商得三以法首二书于左直线之右以乘得一八书于左直线之左因是言十之数以乗得进位一字对商数三字书之遂以此乘得一八用减法与原实二一对减先于实次位减八实系一不足减作防借上一数为十一减八余三改书三于实一之右次于实首位减一实系二因借去一防只作一减尽作○乃作线抹去二一存○三亦于左作线抹去减数一八】

　　【次商以六除三亦当合下位作三一除之商作五以乘法六呼五六成三十是言十之数将次商五对实三字书于初商之下亦以乗得三○依法以三字为进位对次商五字书于左直线之左依法对减实三】

　　【作○仍作线抹去实三亦于左减数抹去三○三商以六除一合下位作十一商作一呼一六如六是言如之数将三商一对实上位一字书于次商五之下依法以乘得○六对所商一字书于左线之左以对减实一一以六减一不足减作防借上成十一减六余五改书　五于右抹去一一亦于左减数抹去○六末商以六除五亦合下位作五十四商作九呼六九五十四是言十之数将商得九对实五字书于三商一之下依法以乘得五四对所商九字书左线之左以对减实五四恰尽俱改书○而抹去五四左减数亦抹去　共商得三五一九】

　　定位诀【于右线法数六字上一位作□为单位之识以横对左得数九字定为单九亩进位是十亩又进百亩又进千亩命所得为三千五百一十九亩】

　　乗法还原【以法六分乘得数三千五百一十九亩仍得原实见乗法】除法还原【以得数为法除原实仍得法数六分　见后条】试法

　　【九减得数无余纪○于左法数余六纪于右左右相乗仍纪○于上

　　九减原实无余纪○于下凡○位与他数相乗所得皆○】

　　【七减得数余五纪左法数余六纪右左右相乗仍以七减余二纪于

　　上七减原实余二纪于下两试皆上下相同知其不悮】

　　【论曰除法以乘法还原犹之乘法以除法还原此旧法珠算所必需若除法以除法还原则旧所无也同文算指用九减七减试法可免还原颇称巧防今以并法代之则试法亦省故称简法焉兹各具一则用相参互以明筭理握算者择而用之可也今定笔除只用简法还原若笔乘仍用试法】

　　多位除式

　　假如有熟地三千五百一十九亩共征银二百一十一两一钱四分问每亩科则若干　答曰毎亩六分审法实【此以总数求毎数也问者欲知毎亩科则是将以总银变为毎银银数动地亩不动故以地为法银为实】

　　列位法【先以实数自上而下顺布于右线之右次以法数对书于右线之左实首位是二百法首是三千法大于实一位故进一位列之凡进位列者皆不满法】

　　商除法【以法数约实法首是三实是二合两位二一除之宜商七因法有次位须留余地改商六以乗法三呼三六一十八是言十之数以商数六对实首二书于左直线之右以乘得一八书于左线之左遂以商数六徧乗法次位五呼五六成三十乗得三○挨书于一八之下一位又以商数徧乗法第三位一呼一六如六乘得○六挨书下一位又以商数六徧乗法末位九呼六九五十四乘得五四又挨书下一位如此徧乗法四位讫乃以乘出数为减数对减原实恰尽】

　　定位【寻法首上一位为单位横对左线得数上二位定为两顺下一位是钱此二位俱空补作○○再下是分定所得为六分】

　　此一次除尽例也又为法大实小故所得不能成整数【两为整数今所得是分在两下二位】

　　【若用乘法还原同前条还原法若用除法还原即前条除法】

　　此所定单位在得数之外乃借虚位以定实数【下条同】其故何也曰法是三千有零能满此数始能成一两故曰实如法而一今法大实小是实不满法不能成一数所得者乃剖一整数而得其若干如此条所得乃百分两之六也【详命分】

　　假如有银八两六钱六分八厘换金毎金一两该银八两八钱问换金若干

　　答曰九钱八分五厘

　　定法实诀【此为以银除银金价八两八钱是先有之定则不动就以为法】

　　【如前法对列法实于右线之左右初商法八实八宜商一因无次商改退商九以乗法八得七二又乗法次位八亦得七二依法挨书遂以对减实三位八六六余○七四　次商八以乘法八得六四乗法次八亦得六四依法书之遂以对减余实七四八余○四四　三商五以乗法八八得四四○依法书之遂以对减余实恰尽】

　　定位【法数上一位为单位横对得数上一位是两定为○两九钱八分五厘法实首位同而法次位八大于实次位六故亦借虚位以定实数説在前条】

　　【甪乗法还原见乗法第二条　用除法还原以金九钱八分五厘为法除实得毎两价八两八钱即畸零法也详通分】