《历算全书》·3

厯算全书卷二十四

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

　　交防管见小引

　　交食为验厯大端其事之著者有三一曰食分深浅一曰加时早晚一曰起复方位古法至授时立法已详新法有西洋所测更密几于无可复议独其所谓起复方位并以东西南北为言【如日食八分以上初亏正西复圆正东八分以下阳厯初亏西南食甚正南复员东南隂厯初亏西北食甚正北复员东北月食八分以上初亏正东复员正西八分以下阳厯初亏东北食甚正北复员西北隂厯初亏东南食甚正南复员西南之类】而东西南北并以日月光体中心为主故其边向北极处斯谓之北向南极处斯谓之南而东西从之亦以日月之边向东升处即谓之东向西没处即谓之西此中西厯法所同也然天既北倚赤道之势与北极出地相应皆南高而东西下黄道斜交赤道又因节气而殊初亏食甚复圆各限加时又别是故人所见日月光体之东西南北非日体之东西南北也故于仰观不能尽合密测者以日月体匀为细分而求其亏甚所当之处于理为尽然必测器精良用法取影庶几可知终不能若食分深浅加时早晚之可以万目同观众着无疑也愚今别立新术凡亏复各限并于日月光体之上下左右直指其蚀损所在而不用更杂以东西南北之名欲令测候之时举目共见即步算之疎密纎毫莫遁或于测学不无小补犹冀髙贤深明理数有以进而教之也

　　康熙四十有四年嵗在防防作噩勿庵梅文鼎谨识时

　　年七十有三

　　钦定四库全书

　　厯算全书巻二十五

　　宣城梅文鼎撰

　　交防管见

　　求初亏复员定交角

　　以初亏复员定时分依法求其距午时分午后以加午前以减各加减日实度所对时分【入九十度表取之】为初亏复员时定总时

　　以定总时各求其日距限限距地髙遂以得其交角加减之得初亏复员时定交角

　　求初亏复员时先阙后盈之防在日体上下左右

　　法自天顶作垂弧过日心以至地平分日体员周左右各一百八十度次依定交角度分日在限西初亏为右下之角复员为左上之角其度右旋日在限东初亏为右上之角复员为左下之角其度左转并自垂弧左右起算数至定交角度分即得太阳员周初亏时先阙复员时后盈之防其定交角或为钝角者上下相易【如本为右下者变为右上本为右上者变为右下左亦然】是为亏复时交道中径　食十分者用此即中西旧法所谓八分以上初亏正西复员正东者也【初亏复员各依其定交角度分取之】

　　若食九分以下当先求蚀纬差角法为并径与月视黄纬若半径与蚀纬差角之正也以月视黄纬化秒乘半径为实以并径减一分化秒为法除之得蚀纬差角之正查正得度分以加减亏复时交道中径得日体周边先缺后盈之防

　　视纬北者日在限西初亏以加复员以减日在限东初亏以减复员以加视纬南者日在限西初亏以减复员以加日在限东初亏以加复员以减并置交道中径以蚀纬差角度分加减之得数仍自垂弧左右起算得初亏何处先缺复员何处后盈上下左右皆可预定

　　求食甚在日体上下左右

　　惟食十分者食甚时两心相掩或全黒或作全环皆无上下左右可论其食九分以下皆以隂阳厯论南北视纬若食甚时正在黄平象限则视纬北者食甚在日体上半缺口正向天顶形如仰瓦即旧法所谓正北视纬南者食甚在日体下半余光厚处正对天顶缺处正向地平两角下垂形如覆梳即旧法所谓正南也若此者只有上下可言而无左右偏侧之度其余日在限西则南纬在左下北纬在右下日在限东南纬在右下北纬在左下并以食甚时定交角之余度或左或右并从天顶垂弧之两旁起算即得食甚在日体上下左右之度

　　求日体周边受蚀几何

　　法用太阳太隂两半径相并为和相减为较和较相乗为实月视黄纬为法除之得数以加减月视黄纬讫乃折半以乘半径又为实以太阳半径为法除之得余查表得度倍之即食甚时日体受蚀度分【以太阳全周分三百六十度内该受蚀者几何度】加减例【日半径大于月以得数加黄纬日半径小于月置黄纬以得数减之】

　　求日食三限在地平上髙度

　　食甚时日距地髙即可径用　初亏复员各以定时求其距午分依日赤纬南北度入髙弧表即各得亏复时地平上髙度【如无正表取前后二表数以中比例酌之假如其地极出地三十一度则查三十度表及三十二度表以两表数并而半之即是本地髙弧之数】又算法【以限距地髙度与日距限之余度相加为捴相减为较捴较各取余视捴弧过象限则两余相并不过象限两余相减并折半得髙弧正捡表得髙度】

　　求日食三限地平经度

　　法以地平纬度之余度分与极出地之余度分相加为总相减为较总弧较弧之余相减若总弧过象限则相加并折半为法【初数】又取较弧矢与日距北极度之矢【对弧矢也日赤纬在南者以加象限赤纬在北者置象限以赤纬减之即各得距北极度】相减得较较乘半径为实实如法而一得角之矢【以矢命度】若日食在午前其角度为距正北子正之度食在午后以减半周为距正南午正之度【正矢与大矢并同一法】三限皆如是

　　求带食分在日体上下左右

　　以日出入时距纬为法半径乘月视黄纬为实实如法而一得正查表得带食纬差角度分如求初亏复员之法以带食纬差角加减白道中径得带食分在日体上下左右若带食在初亏后食甚前其加减用初亏法带食在食甚后复员前其加减用复员法

　　带食在初亏后食甚前者　隂厯日在限西加　日在限东减

　　阳厯日在限西减　日在限东加

　　带食在食甚后复员前者　隂厯日在限西减　日在限东加

　　阳厯日在限西加　日在限东减

　　右并置月道中径以带食纬差角度分加减之得数仍自垂弧左右起算即得带食时食分最深之处在日体上下左右【凡带食出入时或防亏或见蚀半或半以上其余光皆成两角外向均折两角取其中即带食分最深之处】

　　求带食出入时日边受蚀几何

　　以太阳太隂两半径相并为和相减为较和较相乘为实日出入时距纬为法除之得数以加减日出入时距纬【日半径大于月以得数加入距纬日半径小于月置距纬以得数减之】乃折半用乘半径又为实太阳半径为法除之得余查表得度倍之为带食出入时太阳周边受蚀之分【以三百六十度分太阳全周内该缺几何度分】

　　作日食分图法【交食之验非图莫显图必分作其象始真故不惮反覆详明以着其理】

　　一定日食时交道斜正

　　作立线以象垂弧此线上指天顶下指地平即地平经度圏之一象限也线上取一防为心规作员形以象太阳其员周为地平经线所分左右各一百八十度依本限定交角作防【或初亏或复员或食甚各有定交角】若日距限在西其度右旋日距限在东其度左旋于太阳员周上下并从垂线分处数至定交角度止得两防聮为一直线必过太阳之心两端稍引长之横出是为日食时月道交于垂弧之象若日距限西交道左昂右低日距限东反之其初亏食甚复员三限距限东西有时而异虽其不异亦必有逺近髙下之殊则交道低昂异势未可以一法齐也今三限各求定交角依度作图不论东西南北一以太阳边左右上下言其亏甚之状即测算可以相符厯法之疎宻可以众睹更无丝毫可容假借

　　如图甲乙为垂弧　甲丁乙丙为日体　乙己丙为定交角丁己甲为对角乙至丙甲至丁皆定交角之度因日距限在限西故右旋数其度　　丙丁为上下两防己为日心聮丙丁为直线则过日心稍引长之至庚则成交道因在限西故月道左昂右低【交道即月道也为月视纬所成在食十分时可名月道其食不满十分者可名月道平行线】

　　各号并与前同

　　惟日距限在限东故从乙至丙从甲至丁并左旋数定交角度而庚辛月道右昂左低

　　如图月道平过与天顶垂弧相交成十字正角而又在午方则上北下南左东右西各如本位矣【如旧法食十分初亏正西复圆正东食八分以下者隂厯初亏西北食甚正北复圆东北阳厯初亏西南食甚正南复圆东南惟此时为然】此必日食在黄平象限左右因定交角加减而成正角然不常有即有之又未必在正南方则与东西南北之名不相叶应故不如用定交角直以上下左右言其方向【黄平象限有离午正二十三四度时又有定交角加减则虽离午正三十余度之逺而能有此象盖即月道之九十度限也食既者遇之亏必正右复必正左北纬者亏右上复左上而食甚正向天顶南纬者亏右下复左下而食甚向地平】

　　己为日戊为月

　　乙至丙甲至丁皆交角之度

　　丙为初亏丁为复圆

　　戊丙己丁为月道

　　此因日食十分故即用丙丁二防为初亏复圆即旧法所云初亏正西复圆正东者也然以日距限西故初亏在日体右下复圆在日体左上

　　此亦日食十分因距限在东故初亏在日体为右上复圆在日体为左下

　　凡日距限西者复圆交角必小于初亏日距限东者复圆交角必大于初亏故必分作其图始能合算今从简省以交角相同者合为一图非谓一食中亏复同角也

　　一图初亏

　　先以初亏定交角如法作垂弧及交道安太阳于交防若食十分者于太阳右方截取交道如月半径之度以此为心规作月体与太阳边相切即初亏时先缺之防【图己见前】

　　若食不满十分者用纬差角度算太阳边周之度月视黄纬在北向上数之在南向下数之并从太阳右方交道起算数至纬差角度止即为初亏时先缺之防自太阳心向此防作直线透出其外稍引长之以并径为度从心截取引长线作防即初亏时两心之距也以截防为心太隂半径为度作圆形即初亏时太隂来掩太阳相切之象也从太隂心作直线与交道平行则月视行之道也从太阳心作垂线至视行线成十字角即月视黄纬也　以上并不论初亏是午前午后亦不论地平方位或在正南或偏东西并同一法食甚复圆仿此

　　乙己丙交角乙丙其度从丙过己心至丁而引长之即月道平行线

　　丙己庚为纬差角丙庚其度因月视黄纬在北故从交道丙向上数其度至庚庚即初亏时先缺之防

　　从太阳心己作直线过庚防而透出其外为己庚戊线乃并日月两半径【得己戊】为度截己庚戊线于戊戊即太隂心也以戊庚月半径从戊心作圆为太隂与太阳边相切于庚初亏象也

　　从月心戊作戊辛癸线与丙己丁平行月视行道也【此月视行线乃人所见月心所行故以丙己丁交线为月道平行线】从太阳己心作十字垂线至月视行线上如己辛月视黄纬也

　　乙己丙交角以乙丙为度从丙过己心作月道平行线丙己庚纬差角以丙庚为度因月视黄纬在南故从交道丙向下数其度至庚庚即初亏时先缺之防【此为纬差角大于定交角故易右为左】

　　从己心向庚作己庚戊线而以己戊并径度截之于戊用为月心规作月体与太阳相切于庚象初亏也从戊心作癸戊辛线与丙己丁平行月视行道也从己心作己辛线与戊辛相遇成方角月视黄纬也以上二宗为日距限西日距限西者初亏定交角并为右下之角然惟食十分时则初亏右下与定交角同防其余则北纬者能易右下为右上前条是也南纬者能易右下为左下此条是也

　　甲己丁交角以丁甲为度从丁过己心作丁己丙月道平行线

　　丁己庚纬差角以丁庚为度因月视黄纬在北从交道丁向上数至庚以庚为初亏之防【此亦纬差角大于定交角故易右为左】如前从己心向庚作透出线截之于戊使己戊同并径则戊为月心从戊心作圆形象初亏时太隂以其边切太阳于庚从戊作戊辛癸线为月视行之道与丁己丙平行又从己作己辛线为月视黄纬辛为正角

　　诸号同前

　　惟以月视黄纬【即己辛】在南故纬差角【丁己庚角】从交道【丁】向下数其度【至庚】为初亏之防

　　以上二者为日距限东凡初亏在限东者其定交角为右上之角然惟日食十分与定交角同防而初亏右上其余北纬者能易右上为左上南纬者能易右上为右下此二条可以推矣

　　一图食甚

　　先以食甚定交角作垂弧月道于交防安太阳并如初亏法次于太阳周边数定交角余度若日距限西其度左旋日距限东其度右旋并于日体上下方从垂线数起至定交角余度止各作防聮为一直线稍引长之此线与月道为正十字能过月道之极即月道之经圏食甚时太阳太隂并在此线之上乃以月视黄纬求其距若视纬在北向上量之视纬在南向下量之并从太阳心截取视纬于月道经线作防即食甚时两心之距也以此为心月半径为度规作月体即见食甚时月掩太阳在日体上下左右几何度分此时两心之距为最近其食分最深于此线上分太阳光体为十平分即所食之分可见若于太阳之边数其所蚀光界即知太阳周边受蚀几何度分

　　若于月心作线与月道经线为十字正角即自亏至复月行之道也两端稍引长之用并径为度从太阳心截之左右各得一防即初亏复圆之防也【右为初亏左为复圆】如此即为总图【総图惟食甚为正形初亏复圆亦得大槩仍当于分图攷之】

　　若食十分者或全黒或作金环并无视纬更无上下左右可论不用此法

　　又若食甚时定交角满九十度则北纬正对天顶余光有如仰盂南纬正对地平余光有如覆椀其月道左右平衡其南北视纬即于垂弧取距【北纬自太阳心向上南纬自太阳心向下并以月视黄纬取其度为两心之距】不须另作月道经线又于月道经线以月视黄纬量其距若隂厯向上量之阳厯向下量之并自太阳心量至视黄纬止从此作线与月道经线为十字角即与亏复月行之道平行南北差之理亦自可见

　　乙己丙为定交角其度自乙右旋至丙丙己丁线过太阳心为月道平行线

　　乙己庚为定交角之余角其度自乙左旋至庚庚为食甚所向之方从庚过太阳心作午己庚线为太阳全径分为十分　依月视黄纬自太阳心己截至戊以戊为心月半径壬戊为度作圆以象食甚时掩日之月　计所掩径自庚至壬得蚀六分余光自壬至午得四分计所掩边自酉过庚至卯得缺光之边一百三十分余光自酉过午至夘得未掩之边二百三十分约为蚀三之一而强【此以太阳边周为三百六十分也分亦可名度】

　　从月心戊作戊癸线与太阳径为十字角与交线平行是为月视行之道以并径为度自太阳心己截戊癸月道于辛于子各为心作太隂象即见初亏于酉复圆于卯可当总图

　　此与前图皆食在限西故乙己丙定交角同势惟月视黄纬在北故用甲庚余角从甲左旋数至庚为食甚所向之方亦作午己庚十分全径而透出之用月视黄纬截之于戊戊为心戊壬半径作月体交加于太阳光体之上计所掩自庚至壬得蚀四分有竒其自未过庚至丑为所蚀之边　又如法从戊心作月视行之道以幷径截之于辛于子各作月体即见卯酉为亏复之防几食在限西者南纬必食甚左下北纬必食甚右上惟交角大者余角小交角小者余角大而大致不改即二图可槩其余

　　其初亏交角必大于食甚复员交角必小于食甚全图聊举大意仍以分图为定

　　乙己丙定交角其度自乙左旋至丙丙己丁过太阳心为月道平行线

　　乙己庚余角度自乙右旋至庚庚己午太阳全径引长之以月视黄纬度截之于戊戊为食甚时月心所到其边掩太阳至壬午壬为食甚所向之方分太阳全径为十分午壬为所掩之分得二分有竒未午丑为所缺之边约得九之二

　　此与前图皆食在限东乙己丙交角同势惟月视黄纬在南故用甲己午余角【即乙己庚】右旋从乙至庚庚防为食甚所向庚己午太阳全径十分以月视黄纬截己戊戊为月心作太隂体掩太阳至壬得八分有竒未庚丑为所缺之边约得九之四凡食甚在限东者北纬必左上南纬必右下虽角有大小其大致不变以上二图可槩其余　以上食甚四图或居太阳体之左上左下右上右下并以定交角论其余角不论地平经度之东西南北并同一理即令食甚正午而距限有东西即交道有低昂必无正北正南如旧法所云者也

　　此月视纬在北

　　日食七分竒

　　甲为食甚在日体上方余光如仰盂

　　此月视纬在南

　　日食五分

　　戊为食甚

　　在日体下方

　　余光如覆椀

　　惟此二图是交角成象限若又居正南方则北纬食甚可称正北南纬食甚可称正南

　　一图复圆

　　以复圆定交角作垂弧月道安太阳并如上法

　　若食十分者于太阳左方截取月道如月半径之度以此为心规作月体与太阳边相切即复圆时后盈之防【图亦见前】

　　若食不满十分者用纬差角度算太阳边周之度北纬向上数之南向下数之并从太阳左方交道起数至纬差角度止即为复圆时后盈之防自太阳心向此防作直线透出其外稍引长之以并径为度从心截取引长线作防即复圆时两心之距以截防为心规作太隂与太阳相切即复圆时太隂行过太阳初离之象也

　　甲己丁交角【即乙己丙】其度甲丁从丁过己心作丙己丁线引长之即月道平行线

　　丁己庚为纬差角其度丁庚因月视黄纬在南从交道丁向下数其度至庚庚即复圆时后盈之防　从太阳心己出直线过庚而透出其外为己庚戊线以幷径为度截之于戊以戊为心月半径为界作太隂圆体切太阳边于庚即太隂行过太阳初离之象也　从月心戊作戊辛直线月视行之道也而己辛者月视黄纬也

　　甲己丁交角【即乙己丙】其度甲丁从丁作月道平行线过己心至丙而引长之

　　丁己庚纬差角大于交角而月视黄纬在北法当从交道丁向上数丁庚之度跨甲而至庚庚即复圆时复光最后之防　又法从己心作丙己丁之十字垂线乃以月视黄纬为度截之于辛则己辛即食甚两心之距也从辛又作十字长垂线与丙己丁交道平行如戊辛癸即月视行之道也次以幷径为度截月视行道于戊以戊为心月半径为度作复圆时太隂象即其边切太阳于庚

　　以上二图皆复圆距限西也凡复圆限西者其定交角为左上之角然惟食十分其防不改其余则有易为正左稍下如前图者有易为右上如此图者余可数推

　　乙己丙交角以乙丙为度从丙作月道平行线过己心至丁而引长之

　　因月视黄纬在北从交道丙向上数纬差角丙己庚之度至庚即庚为复圆之防　又法以丁午丙半周度折半于午从午作线至太阳心己为丙己丁之十字垂线于此垂线上截取辛己如月视黄纬即于辛防作十字交线与交道线【即月道平行线】平行为月视行之道于此月视行道取戊己斜距如并径则戊防即复圆时太隂之心从心作太隂体即切太阳于庚而正居太阳左方

　　此交角与差角同度也庚己丙交角其度自庚数至丙防为月道平行线所过【丙己丁过心线为交道即月道平行线】

　　丙己庚差角自丙数至庚【因南纬向下数】庚防为复圆时太隂初离太阳边犹相切之处也差角丙庚之度与交角庚丙等故相减至尽而正居太阳之底也　如用又法从己心作己午垂线以月视纬截辛防从辛作十字线如辛癸与交线平行为月视行道即可以戊己并径截戊防为太隂心其边即切太阳于庚亦同

　　凡复圆限东者定交角必居左下然惟食十分者则然其余则有变为日体正左或日体正下者如以上二条者可类推也

　　甲为九十度限　乙为黄道过午规交角　乙丙为黄道在午规距天顶之度今用乙甲丙正弧三角形有甲正角　乙交角　乙丙弧而求甲丙弧为九十度距天顶之度　法为半径与丙乙弧正若乙角之正与丙甲正也

　　【一　半径二　丙乙正】

　　【三　乙角正四　丙甲正】

　　増沿厯书乃以丙乙余与乙角余相乗为实半径除之得丙甲正失其防矣

　　简庵曰甲角非正角也何以言之自天顶出线过赤道则为正角其过黄道不能成正角甲角既为天顶线过黄道所作之角则必非正角勿庵曰不然甲防者九十度限也若甲非正角则不得为九十度限矣

　　简庵曰赤道能为正角者以天顶线能过北极也若黄极则不能过天顶天顶线既不串黄极则甲必不能为正角明矣勿庵曰子午线所以能穿天顶与北极者以赤道在平地上半周一百八十度而交子午圈处为其折半最中之处故天顶线交赤道成十字角也天顶线与赤道作正角惟此一处盖惟此处能使地平经线【即天顶出线至地平分方位之线】与赤道经线【即北极出线至赤道分时刻之线】合而为一【从地平经线言之为子午规从赤道言为过极圈】他处则不能也黄道亦然其在地平上亦一百八十度每度并从黄极出经线至黄道上成正角但不能过天顶而必有一度为黄道半周折半之处则此一经线必过天顶而穿黄极天顶线既穿黄极则其交黄道处必成十字正角矣天顶线与黄道作正角亦惟此一处【亦如赤道之有子午规】盖亦惟此处能使地平经线与黄道经圈合而为一而他度不能西法用九十度限其理如此故甲角必正角简庵闻此欣然首肯焉

　　本法用乙甲丙形求丙甲为九十度距天顶　今依简庵説用丁戊丙形求得戊丙为天顶距黄极之度以减象限即得丙甲距天顶之度

　　法曰以正午黄经之赤道同升度取丁角【从冬至数之即得】以各地北极出地余度取丁丙边　以两极相距二十三度半为丁戊边

　　是为一角两边可求戊丙边

　　若用垂弧法虽多转折其理无讹　若用加减代乘除法乃捷矣

　　又按此以正弧形为本形改用斜弧为次形亦弧三角中一法往所未及也可见学问相长之无穷

　　既得甲丙边又原有乙丙边甲正角可求甲乙边为九十度距午规

　　丁北极　戊黄极　丑寅圈径五度为白道极所行之迹　丑为今所求月道心【即白道极所到】得丑寅边为丑戊寅角之度亦即为丁戊丑角度　先用丁戊丑弧三角形有丁戊边【为两极距二十三度半】有丑戊边【为月道大距五度】有戊角【即上所论】　可求丑丁边为白道极距北极之弧　可求丑丁戊角

　　次用丁丑丙弧三角形　有丑丁弧【为先所求】有丙丁丑角【以先有之戊丁丙角与今得之丑丁戊角相加减得丙丁丑角】有丁丙边【即本地北极出地余度】可求丑丙边为白道极距天顶之弧亦即为白道九

　　十度距地平之髙度　求白道极所在【即丑防】法曰凡白道极随交防而移交防逆行故白道极亦逆行也先求正交【或中交】在黄道度分离此一象限即为半交最逺之所此防与白道极相应若系半交是阳厯则白极在黄极南半交是隂厯则白极在黄极北极距黄极五度竒即丑戊也丑戊弧五度循黄极而左旋有时而合于两极距线为寅戊或戊辛则无丑戊丁角自此以外皆有戊角此算之根也

　　设白道极【丑】在寅即丑戊寅角法当以戊寅五度【白极距黄极】与丁戊二十三度半相减余十八度半为寅丁寅丁丙弧三角形有寅丁边【为白极距北极】有丁丙边【北极距天顶】有丁角可求寅丙边为白极距天顶

　　又设【丑】防在辛即以戊辛加戊丁为一边【辛丁】如上法可求辛丙弧为白极距天顶

　　以上二者因白极距黄极之线与黄极距北极同一大圈之经度故丁戊线有加减而丁角无加减故只用一弧三角形即可得之此惟月边半交在二至度然后能如是

　　设正交在秋分之度中交在春分之度则阳厯半交在冬至黄道外隂厯半交在夏至黄道内各五度竒而白道极在两极距线外亦五度竒如辛如酉

　　法当以白黄大距五度竒【辛戊或酉戊】加两极距二十三度半【戊丁】共得二十八度半竒【辛丁或酉丁】为一边　丁丙为一边【北极距天顶】丁为一角【或辛丁丙或酉丁丙】　可求辛丙边【或酉丙边】即白道极距天顶度以减九十度余为白道距天顶度【捷法即以所得白道极距天顶命为白道九十度距地平】

　　此图丁辛线己用弧线不能作两白道极圈

　　如图丙为天顶丁为北极丁戊二十三度半即以丁为心戊为界运规作圆即黄极绕北极之圈再以丁戊引长之至于辛又以戊为心辛为界作圆为白极绕黄极之迹戊辛为黄白距五度竒【此图则戊酉可省】

　　今聮丁辛丙成三角形如上论余观图自明

　　更当明者白道限度之不能与黄平象限同在一度即若黄平象限之不能与赤道髙度同在一度同也黄平象限与赤道髙度能在一经度者惟极至圈在子午规之度为然白道限度之能与黄平象限同在一经度者惟两交在二分之度又极至圈同在午规时也

　　又设正交在春分之度中交在秋分之度则阳厯半交在夏至黄道外隂厯半交在冬至黄道内各五度竒而白道极在两极距线内亦五度竒如寅如未

　　法当以白黄大距五度竒【寅戊或未戊】去减两极距二十三度半【戊丁】得余十八度半弱【寅丁或未丁】为一边　丁丙为一边　丁为一角【或寅丁丙或未丁丙】可求寅丙边【或未丙边】为白极距天顶即命为白道九十度距地平之髙图如后

　　以上二者并只用一弧三角形何则以交防在二分也交防在二分则半交与白极并在极至交圈故丁戊弧自有加减而丁角无加减若交防离二分则否何则交防逆行即罗计度也交防周于天而半交大距亦一周天而白极亦周于黄极左右之小圈故丁角有加减而必用两三角形也

　　求戊角【用两三角形必先取戊角】　法曰正交在秋分则白极在辛【即在酉】从辛左旋过丑至寅而复于辛以生戊角戊角之度或鋭或钝皆以交防距分之度命之

　　白极小圏以罗计一周而复于元度【假如正交自秋分向夏至逆行过秋分二十度则白极离辛防亦二十度以减半周余百六十度为戊钝角】

　　求丁角【戊丁丙角】　法曰视极至交圏距午圏若干度分即得戊丁丙角【以加时午正黄道度取之】

　　白道九十度限用法

　　依前所论以求加时白道九十度限在地平上之髙的确不易【用斜弧三角形】　但如此则交食表所算九十度限俱可不用当另算白道九十度表

　　法曰丑戊丁三角形以丁戊边【两极距二十三度半】丑戊边【白极距黄极五度】戊角【白极距冬至经圏之度亦即正交离秋分之余度】为二边一角可求丁丑边【此边之度天下所同】丁角【此角亦天下所同】其法并以戊角之大小立算【只算半周可以立表矣】

　　正交在【秋分前以过夏至而至春分春分前以过冬至而至秋分】之度角在极至圏【西东】戊丁丙三角形　求丁角

　　法曰以应时法求加时午正黄道【可借用黄道九十度表】取其赤道同升度即得丁角

　　视同升度在冬至后半周其距冬至度即为丁角【其角在子午线西】若同升度在夏至后半周即以距夏至度去减半周余为丁角【其角在子午线东】此丁角亦天下所同

　　丑丁丙三角形　先求丁角

　　法曰以先有之两丁角相减或相并即得丁角

　　两丁角俱在西或俱在东【则相并】两丁角一在西一在东【则相减】此丁角亦天下所同

　　次求丁丙边

　　法曰丁丙者各地之北极距天顶也以北极髙度减象限得之

　　次求白道九十度限之髙

　　法曰既有丁角【即上所求】丁丑边【即先所求】丁丙边【即极距天顶】为一角两边可求丑丙边【为白极距天顶度】以减象限得白道九十度限距天顶亦即得其距地平之髙

　　既得白道九十度限距地平之髙再求得月在白道上距九十度限之度分【法以月距交前交后度减象余即得】可求其交角【白道交天顶经度之角也】

　　此交角可借黄道交角表用之　但须补作黄道北五度表既得交角则髙下差可知而东西南北差悉定矣

　　康熙四十三年五月十七日乙卯朢月食分秒时刻并起复方位

　　京师月食十分三秒

　　初亏子正二刻三分　东北

　　食既丑初三刻八分

　　食甚丑正一刻二分

　　生光丑正二刻一分

　　复圆寅正初刻一分　正北稍偏西

　　右计食限内凡十三刻十三分

　　按食限内共十三刻十三分折半得六刻十四分故以此减食甚时刻得初亏【自初亏子正二刻三分至食甚丑正一刻二分正得六刻十四分】加食甚亦得复圆【自食甚丑正一刻二分至复圆寅正初刻一分亦得六刻十四分】是亏至甚甚至复时刻适均也时刻所以适均者月行天之度均也然则作图之法自当以食甚月体置于亏复两限适中之处而不宜偏侧矣今监颁蚀图乃偏置于东若是则亏至甚月行之度分多甚至复月行之度少度既不均则时刻亦宜増减若时刻既无増减则图之偏者必非正法矣

　　又按食既至食甚食甚至生光时刻亦宜适均与亏至甚甚至复之理无二【厯书本法亏复折半之数谓之食甚距分以减食甚得初亏若以加食甚得复圆其食既至生光折半数谓之食既距分以减食甚得食既以加食甚亦得生光并无长短伸缩】今图中所注食既至食甚时刻多【食既是丑初三刻八分至食甚丑正一刻二分计一刻○九分】食甚至生光时刻少【食甚丑正一刻至生光丑正二刻一分只十四分】相差十分何也岂以食甚图偏而自疑其法耶不然何以若是

　　又按交食