《历算全书》·2

又论曰此法之于加减法犹甲数乙数之于初数次数也初数次数用余甲数乙数用正加减法用余此法用正所以然者皆以角旁之弧半用余度也【甲数乙数法内一弧用本度一弧用余度此法小弧用本度大弧用余度】一加减法乃有四用其省乗除并同而繁简殊矣

　　乙丙丁形

　　有乙角及角旁二边

　　求对弧丁丙

　　【乙丙小弧乙丁大弧】正【申丙辰庚】

　　【捴存】弧【戊丙庚丙】余【壬巳癸巳】

　　【余较壬癸初数癸甲】

　　【丁丙对弧庚丙存弧】正矢【卯丙癸丙】

　　【两矢较卯癸一　　半径　酉巳】

　　【二　角大矢　酉午三　　初数　甲癸】

　　【四　两矢较　卯癸】

　　【末以卯癸加癸丙成卯丙为对弧矢查其余得对弧丁丙】

　　右加减法也

　　今依恒星法改用大弧之余度【庚酉即午丁】与小弧【牛酉即乙丙】相加【成牛庚即存弧丙庚之余度】求其正为先得【戍庚同巳癸即存弧之余】次视两弧之捴【戊丙】不及象限法当以小弧减大弧余度【取氐酉如酉庚以牛酉减之】得较【氐牛与牛房等】取其正【女房即女氐亦即戍危】以减先得【戍危减戌庚余危庚与癸壬等】然后半之【危庚半之于虚成庚虚与甲癸等】为次得又以【乙】钝角大矢【午酉】为后得与次得相乗为实半径为法除之得他【亢庚与卯癸等】末以他【亢庚】减先得【戍庚】其余戍亢【即卯巳】为对弧余查表得对弧丁丙

　　一率　半径　酉巳

　　二率　次得庚虚【即初数甲癸】

　　三率　后得午酉【即角大矢】

　　四率　他　亢庚【即两矢较卯癸】

　　乙丙丁形【有丙角及角旁二边】求对弧丁乙

　　法以【丁丙】大弧之余【午丁即酉甲】与小弧【乙丙即戊酉】相加【成甲戊】求

　　其正【庚甲】为先得次视两弧

　　之总【丑乙】适足象限即半先得

　　为次得【癸甲或癸庚】又以角之大矢【午酉】为

　　后得乘之【午酉乘癸甲】半径【酉巳】除之

　　得他【卯甲即壬未】以减先得【甲庚】得

　　对弧余【卯庚即壬巳】查表度得对弧【丁乙】

　　解曰此因大弧之余酉甲与小弧戊酉同数则无加减故即半先得为次得也在加减法则为总弧无余而即半存弧余为初数

　　丙戊丁形【有戊角及角旁二边】求对弧丁丙

　　如法以大边【丙戊】之余【卯丙即癸庚】与小弧【丁戊即癸辛】相加【成辛庚】取

　　其正【庚乙】为先得次眎角

　　旁两弧之捴【辰丁】大于象限法

　　当以癸庚减癸辛得较子辛

　　【即辛井】而取其正【子斗即井斗亦即乙】

　　【甲】以加先得【乙庚】而半之【甲庚之半为甲丑】为次得又以角之大矢【卯癸】为后得以乗次得为实半径为法除之得他【牛庚】末以他【牛庚】与先得【庚乙】相减得【牛乙即壬巳】为对弧之余查余度以减半周得对弧丁丙

　　解曰此为他大于先得故反减也在加减法则所得为对弧大矢与存弧小矢之较而两矢较即两余并也故减存弧余得对弧余

　　补求经度法

　　法用角旁两弧【大弧用余度小弧用本度】相加得数取正为先得又相减得较取正以与先得相加减【角旁两弧大于象限则相加若小于象限则相减】而半之为次得【若角旁两弧并之足一象限则径以先得半之为次得不须加减】用为首率　次以对角弧之余与先得相加减得他为次率【对弧大于象限相加小于象限则相减】　半径为三率　求得角之矢为四率【正矢为鋭角大矢为钝角】

　　假如丙戊丁形有三边求戊角【借用前图】

　　一　次得　甲丑【乃先得甲庚之半】即庚丑

　　二　他　　壬酉【即牛庚乃对弧余加先得因对弧大故相加】

　　三　半径　　巳癸

　　四　钝角大矢卯癸【卯癸大矢内减巳癸半径为余查表得度以减半同为戊钝角之度】论曰角求对边者求纬度也三边求角者求经度也二者之分祗在四率中互换无他缪巧厯指注云求纬用正求经用切线殊不可晓及查其后条用例亦无用切线之法殆有缺误厯书中如此者甚多故在善读耳加减通法

　　加减代乗除之法以算三边求角及二边一角求对角之边皆斜弧三角之难者也其算最难而其法益简故凡算例中两正相乗者即可以加减代之则虽正弧诸法实多所通故谓之通法

　　法曰凡四率中有以两正相乗为实半径为法者皆可以初数取之　有以两余相乗为实半径为法者皆可以次数取之　有以余与正相乗为实半径为法者皆可以甲乙数取之

　　假如正弧形有角有角旁弧而求对角之弧【此如有春分角有黄道而求距度】本法当以角之正与角旁弧之正相乗为实半径为法除之也今以初数取之即命为所求度正

　　设黄道三十度求黄赤距度

　　【春分角二十三度三十一分半黄道　三十○度】

　　【捴弧　五十三度三十一分半存弧　　　六度二十八分半】余【五九四四七九九三六二】用初数为正检表得度　【相减三九九一五折半一九九五七即初数】

　　求到黄赤距度一十一度三十○分四十二秒

　　又设黄道七十五度求黄赤距度

　　【春分角二十三度三十一分半黄道　七十五度】

　　【捴存】弧　【九十八度三十一分半五十一度二十八分半】余【一四八二四六二二八五】用初数为正检表得度　　【相加七七一○九折半三八五五四】

　　求到黄赤距度二十二度四十分三十九秒

　　又如句股方锥法有大距有黄道而求距纬本以大距正黄道余相乗半径除之也今以甲数取之设黄道六十度求距纬【句股方锥黄道以距二至起算下同】

　　【黄赤大距二十三度三十一分半黄道　　六十○度】

　　【捴弧　　八十三度三十一分半存弧　　三十六度二十八分半】正【九九三六二五五四四七】用甲数为正检表得度　　　【相减三九九一五半之一九九五七为甲数】

　　求到距纬一十一度三十○分四十二秒

　　设黄道一十五度求距纬

　　【黄赤大距二十三度三十一分半黄道　　一十五度】

　　【捴存】弧　　【三十八度三十一分半八度三十一分半】正【六二二八五一四八二四】用甲数为正查表得度　【相加七七一○九半之三八五五四为甲数】

　　求得距纬二十二度四十分三十九秒

　　又如次形法本以一正与一余相乗半径除之得所求之余今以初数取之

　　设甲丙乙形有甲正角有丙角及甲丙边而求乙角本法为半径与丙角正若甲丙余与乙角余今以初数即命为乙角余　【丙角度　甲丙余度】相【并减】为【捴存】弧各取其

　　余如法相加减而半之成初数即命为乙角余本法用正与余相乗而亦以初数取之何也曰甲丙余实次形丁丙正也故仍用初数

　　假如斜弧形作垂弧法本为半径与角之正若角旁弧之正与垂弧之正也今以初数即命为垂弧正设丁乙丙形有乙鋭角有丁乙边求作丁甲垂弧　【乙角度乙丁弧】相【并减】为【捴存】弧而取其余如法相加减而半之成初数即命为丁甲垂

　　弧正

　　设丁乙丙形乙为钝角而先有丁乙边其法亦同　【乙外角丁乙边】相【并减】为【捴存】弧而各取其余如上法取初数命为甲丁垂弧正

　　又如弧角比例法本为角之正与对角边之正若又一角之正与其对边之正今以初数进五位即为两正相乗之实可以省乗

　　设乙甲丙形有丙角甲角有乙甲边求乙丙边本以甲角正与乙甲正相乗为实丙角正为法除之得乙丙正今以甲角度与乙甲弧相并减为捴存弧如法取初数进五位为实以丙角正除之亦得乙丙正【若有乙丙边求丙角则以乙丙边正为法除之即得丙角之正】

　　又如垂弧防法本以两余相乗为实又以余为法除之而得所求之余今以次数进五位为两余相乗之实即可省乗

　　设甲丁亥钝角形有亥甲边有亥丁边有引长之丁巳边而求甲丁边本法为亥巳边之余与亥甲边之余若丁巳边之余与甲丁边之余也　今以次数代乗

　　【亥甲丁巳】二弧相并为捴弧相减为存弧

　　而各取其余如法相加减而半之

　　为次数下加五○即同亥甲与丁巳

　　两余相乗之实但以亥巳边之余

　　为法除之即得甲丁边之余

　　进五○何也曰初数者两正相乗半径除之之数故必进五位即同两正相乗之实矣　次数进位之理仿此论之

　　补加减防法

　　设壬丙甲弧三角形

　　甲壬边适足九十度　丙甲边八十三度　对弧壬丙五十九度

　　求甲角

　　法曰角旁有一边

　　适足九十度则总

　　存两余同数当

　　以余即命为初

　　数　依法求得五

　　十八度四十四分

　　为甲角

　　存矢　申丙　　　七四五

　　矢较　戊申　四七七五一

　　一　初数　九九二五五已申

　　二　矢较　四七七五一戊申

　　三　半径一○○○○○己癸　查表得五十八度四十四分四　【角之矢】　四八一○九壬癸

　　余　五一八九一壬巳

　　论曰此即算带食法也凡算带食其差角必在地平壬甲九十度即髙弧全数丙甲八十三度月距北极也癸丙七度黄赤距度也壬丙对弧极距天顶也其余己戊即极出地正所求甲角月出地平时地经赤道差也

　　防法以黄赤距度余与极出地正相减余进五位为实仍以距度余除之得差角矢

　　解防法曰极出地正即对弧余黄赤距度余即存弧余两余之较即矢较也

　　又解曰巳乙即己申亦即未丙并小弧甲丙正也【即存弧癸丙之余】未丙与戌丙若己癸与壬癸全与分之比例也又解曰初数是两正相乗半径除之之数今甲壬边之正即半径故省乗除竟以甲丙正为初数又设壬甲辛钝角形【即用前图】　壬甲邉适足九十度　辛甲邉九十七度　对邉辛壬一百二十一度　求甲角依法求得甲钝角一百二十一度一十六分

　　对弧辛壬一百卄一度余巳戊　　　　五一五○四对弧大矢　戊辛　　　一五一五○四存弧　矢　癸乙同酉辛　　　七四五【亦同丁庚】两矢　较　戊酉同辰辛一五○七五九【亦同丁壬】

　　一　　初数　【丁巳同午辛】　九九二五五

　　二　　矢较　【丁壬同辰辛】一五○七五九

　　三　　半径　己庚一○○○○○

　　四　角大矢　壬庚一五一八九○

　　余　己壬　五一八九○

　　查表得五十八度四十四分以去减半周得甲角一百二十一度一十六分

　　论曰縂弧过象限及过半周宜以余相加折半成初数今两余相同而径用为初数亦折半之理也向作加减法补遗自谓巳尽其变不知仍有此法故特记之

　　因算带食得此其用防法更竒甚矣学问之无穷也壬甲丙鋭角形壬甲邉适足九十度　丙甲邉六十七度对弧壬丙五十度　求甲角

　　依法求得甲角四十五度四十二分

　　○五【即为初数】

　　壬丙对弧五十○度余六

　　四二七九　巳戊

　　对弧矢三五七二一　戊丙

　　存弧矢　　七九五○　乙癸【即申丙】

　　矢较　二七七七一　申戊

　　一　初数　　九二○五　　申巳

　　二　矢较　　二七七一　　申戊

　　三　半径　一○○○○○　己癸

　　四　角之矢　三○一六九　壬癸

　　余　　六九八三一　壬巳

　　查表得四十五度四十二分

　　因前图丙癸度小故复作此以明之

　　算甲余角

　　又于本图取辛甲壬钝角形　壬甲九十度　辛甲一百一十三度　壬丙五十度　求甲钝角　依法求到甲钝角度一百三十四度一十八分

　　壬辛对弧一百三十○度余巳戊六四二七九

　　大矢　辛戊　一六四二七九

　　存弧矢　申丙【即乙癸】　七九五○【亦即酉辛】矢较　酉戊　一五六三二九

　　一初数　九二○五○酉巳【即丁巳】　二矢较一五【六三二九】酉戊三半径一○○○○○庚巳　　四【角大矢】一六【九八三○】庚壬

　　余六九【八三○】

　　查表得四十五度四十二分以减半周得甲钝角一百三十四度一十八分

　　论曰试作庚亥线与辛丙径平行又引对弧坎戊正至亥成庚亥壬句股形即庚干巳亦同角之小句股形而庚亥同酉戊两矢较也庚干同酉巳初数也则初数【庚干小股】与两矢较【庚亥大股】若半径【庚巳小】与角之大矢【庚壬大】凡角旁弧适足九十度则縂存两余弧同数法即以余命为初数

　　日月食带食出入地平用此算其地经赤道差甚防

　　补甲数乙数法

　　丁辛乙斜弧三角形

　　辛丁弧五十度一十分　　辛乙弧八十度　　丁乙

　　对弧六十度　　　　　　　　又若辛乙弧八十度

　　求辛角　　　　　　　　　辛丁【余弧】三十九度【五十】分

　　辛乙【余弧】一十度　　　　　　縂弧一百十九度【五十】分辛丁弧五十度一十分　　　较弧　四十度一十分

　　两正总【一五一二四九】半之为甲数【七五六二四】两正较【二二二四七】半之为乙数【一一一二三】丁乙对弧余【五○○○○】内减乙数余【三八

　　八七七】为二率

　　一　甲数　七五六二四

　　二　　　　三八八七七

　　三　半径一○○○○○

　　四　【辛角余】　五一四○八

　　查表得五十九度○四分为辛角

　　若前形有辛角而求丁乙对弧

　　一　半径一○○○○○

　　二　【辛角余】　五一四○八

　　三　甲数　七五六二四

　　四　　　　三八八七七

　　以加乙数　一一一二三

　　成对弧余五○○○○

　　查表得六十度

　　此因角旁余弧小于正弧故乙数亦小于甲数而以所得四率加乙数为对弧余

　　丙乙丁形　乙钝角一百一十度　【乙丙乙丁】二弧并三十度求丁丙对弧

　　乙丙余弧六十度

　　乙丁弧　三十度

　　縂弧　　九十度正一○○○○○

　　较弧　　三十度正　五○○○○

　　相加　　一五○○○○

　　半之为乙数七五○○○

　　相减　　　五○○○○

　　半之为甲数二五○○○

　　一　半径一○○○○○

　　二　【乙角余】　三四二○二

　　三　甲数　二五○○○

　　四　　　　　八五五○

　　以减乙数　七五○○○

　　得对弧余六六四五○

　　查表得四十八度二十一分

　　此因角旁乙丙余弧大于乙丁正弧故乙数大于甲数而以所得四率反减乙数为对弧余

　　前例转求乙钝角　【乙丙乙丁】二弧并三十度　丁丙对弧四十八度二十一分

　　求乙角

　　一　甲数　二五○○○　二【对弧余减乙数之余】八五五○三　半径一○○○○○　四钝角余三四二○二查表得七十度以减半周得一百一十度为乙角

　　縂论曰甲数乙数原以角旁两弧之正错乗而得今改用加减故角旁两弧一用正一用余然有时余弧大于正弧者角旁两弧之合数必过象限也有时余弧小于正弧者角旁两弧之合必不及象限也若角旁两弧之合适足象限则余弧必与正弧等而无较弧

　　又设子乙丙形　乙钝角一百度　【乙丙乙子】二弧并四十五度

　　求对角

　　乙丙余弧四十五度

　　乙子　弧四十五度

　　【半之为甲数】五○○○○　　　则无可加亦【亦为乙数】五○○○○　　　无可减故皆

　　用縂弧正

　　折半为甲数

　　亦为乙数

　　一　半径一○○○○○

　　二　【钝角余】　一七三六五

　　三　甲数　五○○○○

　　四　　　　　八六八二

　　加乙数共　五八六八二【命为对弧矢】

　　得对弧【余】　四一三一八

　　查表得对弧子丙六十五度三十六分

　　若前例三邉求乙角

　　乃置对弧六十五度三十六分之余四一三一八求其矢得五八六八二

　　丙减乙数五○○○○

　　仍余八六八二为二率

　　一　甲数　五○○○○

　　二　　　　　八六八二

　　三　半径一○○○○○

　　四　【钝角余】　一七三六四

　　查表得八十度以减半周得一百度为乙角之度补先数后数法

　　前式丙乙丁形　乙角一百一十度　【乙丙乙丁】并三十度求丁丙对弧

　　一　半径方　一○○○○○○○○○○

　　二　正方　　二五○○○○○○○○

　　三　乙角【大矢】　一三四二○二

　　四　两矢较　　三三五五○

　　对弧余　　六六四五○

　　查表亦得四十八度二十一分

　　此因角旁两弧同度则无较弧之矢故径以所得矢较命为对弧之矢

　　前式子乙丙形　乙角一百度　【乙丙乙子】二弧并四十五度求对弧

　　一　半径方　一○○○○○○○○○○

　　二　正方　　五○○○○○○○○○

　　三　角大矢　一一七三六五

　　四　矢较　　　五八六八二【因无较弧矢故即为对弧矢】对弧余　　四一三一八

　　查表亦得对弧子丙六十五度三十六分

　　若先有对弧子丙而求乙角

　　一　正方　　五○○○○○○○○○

　　二　半径方　一○○○○○○○○○○

　　三　对弧矢　　五八六八二【因无较弧矢故即以对弧矢为矢较】四　角大矢　一一七三六五

　　余　　一七三六五

　　查表得八十度以减半周得乙钝角一百度

　　又设乙角六十度

　　角旁【乙丙乙子】二弧并四十五度　求子丙对弧

　　一　半径方一○○○○○○○○○○二　正方　五○○○○○○○○○三　鋭角矢　五○○○○

　　四　　矢较　二五○○○　【无较弧即用为对弧矢】对弧余　七五○○○

　　查表得对弧五十三度○八分

　　厯算全书卷十一

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷十二

　　宣城梅文鼎撰

　　歳周地度合攷

　　攷最髙行及歳余

　　古厯不知太阳有最髙之行郭太史时最髙卑正在二至难于窥测西厯自多禄某以来世有积测定最髙防每年东行四十五秒每太阳平行一度髙行七防半约八十年行天一度康熙庚申又改测每年行一分○一秒十防最髙防进移二十八分故辛酉天正冬至最髙在未宫七度○七分○七秒每太阳平行一度髙行十防一○四计五十八年十个月○六日竒行天一度此永年表之新率也但最髙之度既改而又自有行动则每年歳实小余之数必不均齐夫治厯首务太阳而太阳重在盈缩爰举歴年髙行及四正相距时日前后互核以騐歳实之消长髙行之迟速列为一卷亦可为后来攷测之资云

　　己未年

　　最髙过夏至六度三十九分

　　春分　甲戌日申正二刻六分

　　中距九十三日十二刻十二分

　　夏至　丁未日戌初三刻三分

　　中距九十三日六十一刻

　　秋分　辛巳日午初初刻三分　距本年【春分一百八十六日七十

　　三刻十二分】

　　中积八十九日四十五刻一分

　　冬至　庚戌日亥正一刻四分　距本年【夏至一百八十三日一十

　　刻一分】

　　中积八十九日○八分

　　按最髙行为盈缩立差之主其行有序今己未最髙在夏至后六度三十九分而次年庚申即行至七度七分一年之内骤行二十八分必另有新测矣

　　庚申年

　　最髙过夏至七度七分【按永年表所载者年前冬至之数七政厯所载本年夏至之数度分同】

　　春分　己卯日亥正一刻十二分　距【己未秋分百七十八日四十五刻】

　　中积九十三日十一刻　　　　【九分己未春分三　　　百六十五日卄三刻六分】

　　夏至　癸丑日丑初初刻十二分　距【己未夏至三百六十五日卄一刻九分】

　　中积九十三日六十一刻七分

　　秋分　丙戌日申正三刻四分　　距【本年春分百八十六日七十三刻七分】中积八十九日四十六刻【十三】分　【己未秋分三百六十五日二十三刻六分】

　　冬至　丙辰日寅正二刻二分　　距【巳未冬至三百六十五日卄四刻十三分

　　本年夏至一百八十三日一十三刻六分】

　　按最髙进移则夏至差而早冬至差而迟意者新测之冬至迟于先测耶

　　又按歳余二十四刻十三分于授时法得二千五百九十分必无是理其为改测无疑

　　据向后数冬至距冬至春分距春分俱合得三百六十五日二十三刻四分【或五分三分】以较庚申歳实多一刻○九分必为改测矣

　　壬戌年

　　最髙过夏至七度九分

　　春分　庚寅日巳正初刻六分

　　中距九十三日十刻一十二分

　　夏至　癸亥日午正三刻三分　距【庚申夏至七百三十日四十六刻】

　　中距九十三日六十二刻九分

　　秋分　丁酉日寅正一刻【六分】分　距【十二本年春分一百八十六日七十】

　　中距八十九日四十七刻

　　冬至　丙寅日申正初刻【三刻】分　距【六分十二庚申冬至七百三十日】中距八十八日【四十六刻十分】分　　【九十四刻十二本年夏至一百八】

　　癸亥年

　　最髙过夏至七度十分

　　春分　乙未日申初三刻九分　距【十三日十三刻九分壬戌春分三百】中距九十三日【六十五日】分　　　【二十三刻三分十刻十二壬戌秋分一】

　　夏至　戊辰日酉正二刻六分　距【壬戌夏至三百六十五日二十三刻】中距九十三日【三分六十】九分　　【二刻壬戌冬至一百八十二日九】

　　秋分　壬寅日己正一刻　　　距【刻○九分本年春分一百八十六日】中距八十九日【七十三刻】一分　　【六分四十七刻壬戌秋分三百六十】

　　冬至　辛未日亥正初刻一分　距【五日二十三刻三分壬戌冬至三百】中距八十八日【六十五日二十】分　　【三刻四分九十四刻十二本年夏至】

　　甲子年

　　最髙过夏至七度十一分

　　春分　庚午日亥初二刻【一百】分　距【八十三日一十三刻十分十三癸亥秋】中距九十三日【分一】十一分　　【百七十八日四十五刻十三分十刻】

　　夏至　甲戌日子正一刻九分　距【癸亥春分三百六十五日二十三刻四】中距九十三日【分癸亥夏】十分　　【至三百六十五日二十三刻○三】

　　秋分　丁未日申正初刻四分　距【分六十二刻癸亥冬至一百八十二】中距八十九日【日九刻○】一分　　【八分本年春分一百八十六日七十】

　　冬至　丁丑日寅初三刻五分　距【三刻六分四十七刻癸亥秋分三百】中距八十八日【六十五日二十】分　　【三刻四分癸亥冬至三百六十五日】

　　乙丑年

　　最髙过夏至七度十二分

　　春分　丙午日寅初二刻二分　距【甲子秋分一百七十八日四十五刻十】中距九十三日十刻九分　　【三分甲子春分三百六十五日二十】

　　夏至　己卯日卯正初刻【三刻】分　距【四分十一甲子夏至三百六十五日】中距九十三日【二十三刻二分】分　　【六十二刻十二冬至一百】

　　秋分　壬子日亥初三刻八分　距【八十二日九刻六分本年春分一百】

　　中距八十九日【八十六日】二分

　　冬至　壬午日巳初二刻十分　距【七十三刻六分四十七刻甲子冬至】中距八十八日【三百六十五日】分　　【二十三刻五分九十四刻十一本年】

　　丙寅年

　　最髙过夏至七度十三分

　　春分　辛亥日巳初一刻六分　距【夏至一百八十三日十三刻十四分乙】中距九十三日十刻八分　　【丑秋分一百七十八日四十五】

　　夏至　甲申日午初三刻【刻十】分　距【三分春分三百六十五日二十三刻】中距九十三日【四分十四乙丑】分　　【夏至三百六十五日二十】

　　秋分　戊午日寅初二刻【十一】分　距【本年春分一百八十六日七十三刻五分】

　　中距八十九日【四十七刻】四分

　　冬至　丁亥日申初二刻　　　距【乙丑冬至三百六十五日二十三刻六分】中积八十八日【九十四刻】十分　　【本年夏至一百八十三日十四刻一分】

　　按日行盈缩细攷之则春分距夏至夏至距秋分虽皆缩厯而其缩亦不同秋分距冬至冬至距春分虽皆盈厯而其盈亦不同又且年年不同细求之则节节不同又细求之且日日不同矣其故何也葢最髙一防不在夏至而在其后数度又且年年移此太阳盈缩之根而岁实所以有消长也

　　甲子年

　　春分　庚子日亥初二刻十三分　距癸亥年秋分【一百七十八日四十五刻十三】分　距癸亥年春分【三百六十五日二十三刻四分】

　　秋分　丁未日申正初刻四分　距春分一百八十

　　六日七十三刻六分

　　乙丑年

　　春分　丙午日寅初二刻二分　距甲子年秋分【一百七十八日四十五刻十三】分　距甲子年春分【三百六十五日二十三刻四分】

　　秋分　壬子日亥初三刻八分　距本年春分【一百八十六日七十三刻】六分　距甲子年秋分【三百六十五日二十三刻四分】

　　丙寅年

　　春分　辛亥日巳初一刻六分　距乙丑年秋分【一百七十八日四十五刻十三】分　距乙丑年春分【三百六十五日二十三刻四分】

　　秋分　戊午日寅初二刻十一分　距本年春分【一百八十六日七十三刻】五分　距乙丑年秋分【三百六十五日二十三刻三分】

　　以上二分定气之距皆相同其春分至秋分日行最髙为缩厯多八日二十七刻八分惟丙寅年秋分早到一分只多八日二十七刻七分约之为八日二十七刻半

　　按最髙半周多八日竒者非多八日也以较最卑半周故多八日竒若其本数只多四日有竒耳因最卑亦少四日竒故合之为八日竒熊防石乃谓本数多八日则所误多矣

　　假如乙丑秋分至丙寅秋分共三百六十五日卄三刻三分半之该一百八十二日五十九刻九分而丙寅春分至秋分得一百八十六日七十三刻五分则多四日一十三刻十一分　丙寅春分前距乙丑秋分得一百七十八日四十五刻十三分又少四日一十三刻十一分　合计之则为八日二十七刻七分

　　半周均各一百八十二日竒者谓之恒气半周有盈缩者谓之定气相差八日竒者乃两半周定气相较之数非一半周定气与其恒气自相较之数也

　　甲子年

　　春分　庚子日亥初二刻十三分　距癸亥春分三

　　百六十五日二十三刻四分

　　冬至　丁丑日寅初三刻五分　距癸亥冬至三百

　　六十五日二十三刻四分

　　乙丑年

　　春分　丙午日寅初二刻二分　距前春分三百六

　　十五日二十三刻四分

　　冬至　壬午日巳初二刻十分　距前冬至三百六

　　十五日二十三刻五分

　　丙寅年

　　春分　辛亥日己初一刻六分　距前春分三百六

　　十五日二十三刻四分

　　冬至　丁亥日申初二刻　距前冬至三百六十五

　　日二十三刻五分

　　右冬至之小余皆卄三刻五分【或四分】春分之小余皆卄三刻四分差一分

　　以冬至论歳余得授时万分日法之二千四百三十○半分大于消分八分

　　法以小余五分为实刻十五分为法除之得三之一以从刻共得二十三刻又三之一为实九十六刻为法除之得○二四三○五进四位得二千四百三十分强【进四位者以万乗也】若以春分论歳余得授时万分日法之二千四百二十三分六亦大于消分一分六

　　法以卄三刻化三百四十五分并入四分得三百四十九分为实日法一千四百四十分为法除之得○二四二三六进四位得二千四百二十三分半强

　　按授时消分为不易之法今复有长者何耶西法最髙之防在两至后数度歳歳东移故虽冬至亦有加减不得以恒为定也此是两法中一大节目其法自回回厯即有之然了凡先生颇采用回回法而不知此熊防石先生亲与西儒论厯而亦不言及何耶

　　丁卯年

　　高冲过冬至七度十四分

　　春分　丙辰日申初初刻十分　距【丙寅秋分一百七十八日四十五刻十】中积九十三日十刻七分　　【四分春分三百六十五日二十】

　　夏至　己丑日酉初三刻二分　距【三刻四分丙寅夏至三百六十五日】中积九十三日【二十三刻三分】分　　【六十二刻十三冬至一百】

　　秋分　癸亥日己初二刻　　　距【八十二日九刻二分本年春分一百】中积八十九日四【八十六日】分　　【七十三刻五分十七刻四丙寅秋分】

　　冬至　壬辰日亥初一刻四分　距【三百六十五日二十三刻四分丙寅】中积八十八日九【冬至三百】分　　【六十五日二十三刻四分十四刻】

　　戊辰年

　　髙冲过冬至七度十五分

　　春分　辛酉日戍正三刻【十本】分　距【年夏至一百八十三日十四刻二分十】中积九十三日十刻六分　　【四丁卯秋分一百七十八日四】

　　夏至　甲午日夜子初【十五】五分　距【刻十四分春分三百六十五日二十】中积九十三日【三刻四分二刻】分　　【丁卯夏至三百六十五日】

　　秋分　戊辰日申初一刻四分　距【二十三刻三分六十二刻十四冬至】中积八十九日四【十七刻六】分　　【丁卯秋分三百六十五日二十三刻】

　　冬至　戊戌日寅初初刻十分　距【四分丁卯冬至三百六十五日二十】中积八十八日【三刻六分】七分　　【九十四刻本年夏至一百八十三】

　　己巳年

　　髙冲过冬至七度十六分

　　春分　丁卯日丑正三刻二分　距【日十四刻五分戊辰秋分一百七十八】中距九十三日十刻六分　　【日四十五刻十三分春分三百】

　　夏至　庚子日卯初一刻八分　距【六十五日二十三刻三分戊辰夏至】中积九十三日六十三刻　　【三百六十五日二十三刻三】

　　秋分　癸酉日亥初初刻八分　距【分冬至一百八十二日八刻十三分】中积八十九日【本年春分】六分　　【一百八十六日七十三刻六分四十】

　　冬至　癸卯日辰正三刻【七刻】分　距【戊辰秋分三百六十五日二十三刻】中积八十八日【四分十四】八分　　【戊辰冬至三百六十五日二十三】

　　庚午年

　　髙冲过冬至七度十七分

　　春分　壬申日辰正【刻四】七分　距己巳【分九十四刻本年夏至一百八十三】

　　中积九十三日【十刻】四分　　　　【春分三百六十五日卄三刻】

　　夏至　乙巳日午初初刻【五分十】　距己巳【一分夏至三百六十五日二十三刻】

　　中积九十三日六十【三　　　　分三冬至一百八　　　　十二刻日八】

　　秋分　己卯日丑正三刻【刻十二】　距本年【分十一分春分一百八十六日七十】

　　中积八十九日【三刻四　　　　分四十七己巳秋分二百六　　　　十刻七分五日】

　　冬至　戊申日未正三【廿三】分　距己巳【刻三分刻三冬至三百六十】

　　中积八十八日【五日廿　　　　三刻四分九十四本年夏至　　　　一百八十刻七】

　　辛未年

　　髙冲过冬至七度十八分

　　春分　丁丑日未正一刻【分三】　距【日十四刻七分十分庚午秋分一百】中积九十三日【七十】三分　　【八　日四十五刻十四十刻分春】

　　夏至　庚戌日申正三【分　三百】分　距【六十五日廿三刻三分刻十三庚午】中积九十三日【夏至三　　百六十五日二十三刻二　　分六十三】

　　秋分　甲申日辰正三刻　　距【冬至一百八十二日刻二分八刻十】中积八十九日【分本年　　春分一百八十六日七十　　三刻五分四十】

　　冬至　癸丑日戌正二【七庚】分　距【午秋分二百六十刻七分五日廿

　　本年夏至一百八十三日十四刻九分】

　　按庚申年夏至至冬至一百八十三日十三刻六分辛未年夏至至冬至一百八十三日十四刻九分十二年中共长一刻○三分【中积只十一年】

　　壬戌年冬至至次年夏至一百八十二日九刻九分庚午年冬至至次年夏至一百八十二日八刻十分九年中共消十四分【中积共只八年】

　　又合计癸亥夏至前半周一百八十二日九刻九分冬至前半周一百八十三日十三刻十分相较一日○四刻【一分】　辛未夏至前半周一百八十二日八刻十分冬至前半周一百八十三日十四刻九分相较一日○五刻十四分八年中较数増一刻十三分然二分之相距则无甚差何也葢最髙移而东则夏至后多占最髙之度而减度加时之数益多故益长髙冲移而东则冬至后多占最卑之度而加度减时之数益多故益消其近二至处皆为加减差最大之处故消长之较已极也

　　乃若二分与中距虽亦歳移而中距皆为平度不系加减其最髙前后视行小之度固全在春分后半周最髙冲前后视行大之度亦全在春分后半周毫无动移故无甚消长也

　　西国月日攷

　　攷回国圣人辞世年月

　　回国圣人辞世年月据西域斋期【江寕至鸿堂刻单】以康熙庚午五月初三日起是彼中第九月一日谓之勒墨藏一名阿咱而月也至六月初三日开斋是彼中第十月一日谓之绍哇勒一名荅亦月是为大节再过一百日至九月十三日为彼中第一月第十日谓之穆哈兰一名法而干而丁月其日为阿叔喇济贫之期谓之小节鼎尝以回回厯法推算本年白羊一日入第六月之第八日与此正合

　　又据斋期云本年庚午圣人辞世共计一千○九十六年【此太阳年】攷本单开圣人生死二忌在本年十一月十四日在彼为第三月谓之勒必欧勒傲勿勒又名虎而达查西域阿刺必年是开皇己未距今康熙为一千○九十二算减一为一千○九十一乃开皇己未春分至今康熙庚午春分之积年

　　又查己未年春分在彼中为太阴年之第十二月初五日　以距算一千○九十一减圣人辞世千○九十六相差五年逆推之得开皇十四年甲寅为圣人辞世之年

　　约计甲寅至己未此五年中节气与月分差闰五十五日甲寅春分当在彼中第十月之初

　　圣人辞世既是第三月则在春分月前七个月为处暑月即今七月也

　　自开皇甲寅七月十四日圣人辞世至今康熈庚午七月十四日正得一千○九十六年故曰共计一千○九十六年也

　　据此则开皇甲寅是彼中圣人辞世之年薛仪甫谓为回回厯葢以此而误

　　又按圣人以第三月辞世而其年春分则在第十月今彼以第十月一日为大节葢为此也

　　攷泰西天主降生年月

　　据天地仪书耶苏降生至崇祯庚辰一千六百四十年算至康熈庚午一千六百九十年

　　查康熙戊辰年瞻礼单诞辰在冬至后四日日躔箕宿七度　逆推汉哀帝庚申约差卝四度则是当时冬至在斗宿之末　约计耶苏降生在冬至前二十余日为小雪后四五日也

　　自哀帝庚申十月算至隋开皇甲寅七月望回回教圣人马哈木徳辞世实计五百九十四年不足两个多月攷厯书所纪西国年月

　　万厯十二年甲申西九月十五日日躔夀星二度　又十三年乙酉西九月卄八日日躔夀星十五度半万厯十四年丙戌西十月【阙】　日日躔夀星二十九度又十五年丁亥西十月卝六日日躔大火十二度太

　　万厯十六年戊子西十一月初八日日躔大火二十六度太　又十七年己丑西十一月卝二日日躔析木十一度弱

　　万厯十八年庚寅西十二月初六日日躔析木卄五度又十九年辛卯西十二月卄一日日躔星纪九度

　　万厯二十三年乙未西正月三十日日躔枵卄一度万厯三十五年丁未西七月初九日日躔鹑首廿六度五三　又三十七年己酉西七月廿一日日躔鹑火八度半

　　万厯三十八年庚戍西八月初二日日躔鹑火二十度又三十九年辛亥西八月十五日日躔鹑尾二度按此所纪皆是以日躔星纪二十度为正月初一日析木二十度【或十九度】为十二月朔　大火【十九】度【或二十度】为【十一】月朔　夀星十八度为十月朔　鹑尾十八度为九月朔　鹑火十九度【或十八度】为八月朔　鹑尾十八度为七月朔【此亦约畧之算细求之尚有太阳盈缩】

　　又正德九年甲戌西五月初五日子正前日躔大梁二十二度四十分　是以大梁十九度为五月朔【所测在子正前西厯纪日月午正故曰十九度】

　　正德十五年庚辰西四月三十日日躔大梁十七度四八　是以降娄十九度为四月朔

　　又本年七月十三日日躔鹑火初度　是以鹑首十八度为七月朔

　　嘉靖二年癸未西十一月卄九日日躔析木十五度五四　是以大火十八度为十一月朔

　　嘉靖六年丁亥西十月初十日日躔夀星卄七度　是以夀星十八度为十月朔

　　嘉靖八年己丑西二月初一日日躔枵廿一度　是以廿一度为二月朔

　　万厯十年壬午西二月廿六日申初二刻日躔娵訾十七度四十九分四二　是以枵廿二度为二月朔万厯十一年癸未西九月初六日日躔鹑尾廿三度是以鹑尾十八度为九月朔

　　万厯十四年丙戌西十二月廿六日申初二刻太阳在星纪宫十四度五十一分五三　是以析木十九度为十二月朔

　　万厯十六年戊子西十二月十五日巳初刻太阳在星纪三度五十三分　是以析本十九度为十二月朔万厯十八年庚寅西二月初八日午正后三十四刻太阳视行在娵訾初四十秒　是以枵廿三度为二月朔又本年九月初七日子正日躔鹑尾二十四度　据此初一日鹑尾十八度

　　万厯廿一年癸巳西八月初十日日躔鹑火廿七度是以鹑火十八度为八月朔

　　又汉顺帝永建二年丁卯西三月廿六日酉正太阳在降娄一度十三分　是以娵訾七度为三月朔

　　顺帝阳嘉二年癸酉西六月初三日申正太阳在实沈九度四十分　是以实沈七度为六月朔

　　顺帝永和元年丙子西七月初八日午正太阳在鹑首十四度十四分　是以鹑首七度为七月朔

　　又本年西八月三十一日九月初一太阳在鹑尾七度顺帝永和二年丁丑西十月初八日太阳在夀星十四度　是以夀星七度为十月朔

　　顺帝永和三年戊寅西十二月廿二日子正前四时日躔析木九度十五分　据此初一日是大火八度当是十一月非十二月

　　顺帝阳嘉二年癸酉西五月十七十八日太阳在大梁二十三度　据此五月朔大梁七度

　　按自汉顺帝永建丁卯为总积四千八百四十年至明万厯十二年甲申为总积六千二百九十七年相距一千四百五十七年相差十二三度即歳差

　　之行也

　　汉时月朔俱在各宫七八度之间万厯间月朔俱在各宫之十八九度或卄一二度

　　据此论之则西厯太阳年用恒星有定度其恒星节气虽从歳差西行而每月之日次则以太阳到恒星某度为定千古不变也想西古厯法只是候中星每年某星到正中即是某月

　　又按此法于歳差之理甚明但欲敬授民时则不如用节气为妥天经或问欲以冬至日为第一月第一日可以免闰又可授时谓本于方无可先生然沈氏笔谈已先有其説矣

　　今查瞻礼单

　　康熙丁卯年正月十八丁酉日　应西厯三月初一日

　　【亥宫十度　　　　危十一度二十六分　　　　二三】

　　二月二十戊辰日　应西厯四月初一日

　　【戌宫十一度十三分】　　　　壁六度二三

　　二月二十戊戌日　应西厯五月初一日

　　【酉宫十度二十九分】　　　　娄十度五三

　　四月廿二己巳日　应西厯六月初一日

　　【申一十度十五分】　　　　毕六度九分

　　五月廿二己亥日　应西厯七月初一日

　　【未八度四十九分】　　　　井七度五一

　　六月廿四庚午日　应西厯八月初一日

　　【午八度二十一分】　　　　柳二度二二

　　七月廿五辛丑日　应西厯九月初一日

　　【巳八度一十分】　　　　张六度四八

　　八月廿五辛未日　应西厯十月初一日

　　【辰七度三十○分】　　　　轸一度○四

　　九月廿七壬寅日　应西厯十一月初一日

　　【卯八度二十二分】　　　　亢八度一八

　　十月卄七壬申日　应西厯十二月初一日

　　寅八度【四二】　　　　心五度一八

　　十一月【卄八】癸卯日　应西厯正月初一日

　　【丑十度二十分】　　　　斗四度二六

　　十二月【三十】甲戌日　应西厯二月初一日

　　【子十一度五十六分】　　　　女四度三○

　　据此则西国厯日是以建子之月为正月也其法不论太隂之晦朔只以太阳为主然又不论节气但以太阳到斗宿四度为正月一日耳

　　又其数与新法厯书所载不同岂彼国亦有改宪耶按西厯以午正纪日则以上宿