《几何原本》·几何原本
钦定四库全书 子部六
几何原本 天文算法类二【算书之属】提要
【臣】等谨案几何原本六卷西洋欧几里得撰利玛窦译而徐光啓所笔受也欧几里得未详何时人其原书十三卷五百余题利玛窦之师丁氏为之集解又续补二卷于后共为十五卷今止六卷者徐光啓自谓译受是书此其最要者也其书每卷有界説有公论有设题界説者先取所用名目解説之公论者举其不可疑之理设题则据所欲言之理次第设之先其易者次其难者由浅而深由简而繁推之至于无以复加而后已又每题有法有解有论有系法言题用解述题意论则发明其所以然之理系则又有旁通者焉卷一论三角形卷二论线卷三论圆卷四论圆内外形卷五卷六俱论比例其余三角方圆边线面积体积比例变化相生之义无不曲折尽显纎防毕露光啓序称其穷方圆平直之情尽规矩准绳之用非虚语也且此为欧逻巴算学専书前作后述不絶于世至欧几里得而为是书盖亦集诸家之成故自始至终毫无疵纇加以光啓反覆推阐其文句尤为明显以是弁冕西术不为过矣乾隆四十六年十二月恭校上
总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
总 校 官 【臣】 陆 费 墀
几何原本序
唐虞之世自羲和治厯暨司后稷工虞典乐五官者非度数不为功周官六艺数与防一焉而五艺者不以度数从事亦不得工也襄旷之于音般墨之于械岂有他谬巧哉精于用法尔已故尝谓三代而上为此业者盛有元元本本师曹习之学而毕丧于祖龙之汉以来多任意揣摩如盲人射的虚发无效或依儗形似如持萤烛象得首失尾至于今而此道尽废有不得不废者矣几何原本者度数之宗所以穷方圆平直之情尽规矩准绳之用也利先生从少年时论道之暇留意艺学且此业在波中所谓师曹习者其师丁氏又絶代名家也以故极精其说而与不佞游久讲谈余晷时时及之因请其象数诸书更以华文独谓此书未译则他书俱不可得论遂共翻其要约六卷既平业而复之由显入微从疑得信盖不用为用众用所基真可谓万象之形囿百家之学海虽实未竟然以当他书既可得而论矣私心自谓不意古学废絶二千年后顿获补缀唐虞三代之阙典遗义其裨益当世定复不小因偕二三同志刻而传之先生曰是书也以当百家之用度几有羲和般墨其人乎犹其小者有大用于此将以习人之灵才令细而确也余以为小用大用实在其人如邓林伐材栋梁榱桷恣所取之耳顾惟先生之学略有三种大者修身事天小者格物穷理物理之一端别为象数一一皆精实典要洞无可疑其分解擘析亦能使人无疑而余乃亟传其小者趋欲先其易信使人绎其文想见其意理而知先生之学可信不疑大防如是则是书之为用更大矣他所说几何诸家借此为用略具其自叙中不备论吴淞徐光启书
钦定四库全书
几何原本卷一之首
西洋利玛窦译
界说三十六则
凡造论先当分别解说论中所用名目故曰界说凡厯法地理乐律算章技艺工巧诸事有度有数者皆依頼十府中几何府属凡论几何先从一防始自防引之为线线展为靣靣积为体是名三度第一界
防者无分
无长短广狭厚薄 如下图【凡图十干为识干尽用十二支支尽用八卦八音】
【甲】
第二界
线有长无广
试如一平靣光照之有光无光之间不容一物是线也真平真圆相遇其相遇处止有一防行则止有一线
线有直有曲
第三界
线之界是防【凡线有界者两界必是防】
第四界
直线止有两端两端之间上下更无一防
两防之间至径者直线也稍曲则绕而长矣
直线之中防能遮两界
凡量逺近皆用直线
甲乙丙是直线甲丁丙甲戊丙甲己丙皆是曲线
第五界
靣者止有长有广
体所见为靣
凡体之影极似于靣【无厚之极】
想一线横行所留之迹即成靣也
第六界
靣之界是线
第七界
平靣一靣平在界之内
平靣中间线能遮两界
平靣者诸方皆作直线
试如一方靣用一直绳施于 角绕靣运转不碍于空是平靣也
若曲靣者则中间线不遮两界
第八界
平角者两直线于平靣纵横相遇交接处
凡言甲乙丙角皆指平角
如上甲乙乙丙二线平行相遇不能作角
如上甲乙乙丙二线虽相遇不作平角为是曲线
所谓角止是两线相遇不以线之大小较论
第九界
直线相遇作角为直线角
平地两直线相遇为直线角本书中所论止是直线角但作角有三等今附着于此一直线角二曲线角三杂线角 如下六图
第十界
直线垂于横直线之上若两角等必两成直角而直线下垂者谓之横线之垂线
量法常用两直角及垂线垂线加于横线之上必不作锐角及钝角
若甲乙线至丙丁上则乙之左右作两角相等为直角而甲乙为垂线
若甲乙为横线则丙丁又为甲乙之垂线何者丙乙与甲乙相遇虽止一直角然甲线若垂下过乙则丙线上下定成两直角所以丙乙亦为甲乙之垂线【如今用短尺一纵一横互相为直线互相为垂线】
凡直线上有两角相连是相等者定俱直角中间线为垂线
反用之若是直角则两线定俱是垂线
第十一界
凡角大于直角为钝角
如甲乙丙角与甲乙丁角不等而甲乙丙大于甲乙丁则甲乙丙为钝角
第十二界
凡角小于直角为锐角
如前图甲乙丁是
通上三界论之直角一而己钝角锐角其大小不等乃至无数
是后凡指言角者俱用三字为识其第二字即所指角也 如前图甲乙丙三字第二乙字即所指钝角若言甲乙丁即第二乙字是所指锐角
第十三界
界者一物之终始
今所论有三界防为线之界线为靣之界靣为体之界体不可为界
第十四界
或在一界或在多界之间为形
一界之形如平圆立圆等物多界之形如平方立方及平立三角六八角等物 图见后卷
第十五界
圜者一形于平地居一界之间自界至中心作直线俱等
若甲乙丙为圜丁为中心则自甲至丁与乙至丁丙至丁其线俱等
外圆线为圜之界内形为圜
一说圜是一形乃一线屈转一周复于元处所作如上图甲丁线转至乙丁乙丁转至丙丁丙丁又至甲丁复元处其中形即成圜
第十六界
圜之中处为圜心
第十七界
自圜之一界作一直线过中心至他界为圜径径分圜两平分
甲丁乙戊圜自甲至乙过丙心作一直线为圜径
第十八界
径线与半圜之界所作形为半圜
第十九界
在直线界中之形为直线形
第二十界
在三直线界中之形为三邉形
第二十一界
在四直线界中之形为四邉形
第二十二界
在多直线界中之形为多边形【五邉以上俱是】
第二十三界
三边形三边线等为平边三角形
第二十四界
三边形有两边线等为两边等三角形【或锐或钝】
第二十五界
三边形三边线俱不等为三不等三角形
第二十六界
三边形有一直角为三边直角形
第二十七界
三边形有一钝角为三边钝角形
第二十八界
三邉形有三锐角为三邉各锐角形
凡三边形恒以在下者为底在上二边为腰
第二十九界
四边形四边线等而角直为直角方形
第三十界
直角形其角俱是直角其边两两相等
如上甲乙丙丁形甲乙边与丙丁边自相等甲丙与乙丁自相等
第三十一界
斜方形四边等俱非直角
第三十二界
长斜方形其边两两相等俱非直角
第三十三界
以上方形四种谓之有法四边形四种之外他方形皆谓之无法四边形
第三十四界
两直线于同靣行至无穷不相离亦不相逺而不得相遇为平行线
第三十五界
一形每两边有平行线为平行线方形
第三十六界
凡平行线方形若于两对角作一直线其直线为对角线又于两边纵横各作一平行线其两平行线与对角线交罗相遇即此形分为四平行线方形其两形有对角线者为角线方形其两形无对角线者为余方形
甲乙丁丙方形于丙乙两角作一线为对角线又依乙丁平行作戊己线依甲乙平行作庚辛线其对角线与戊己庚辛两线
交罗相遇于壬即作大小四平行线方形矣则庚壬己丙及戊壬辛乙两方形谓之角线方形而甲庚壬戊及壬己丁辛谓之余方形
求作四则
求作者不得言不可作
第一求
自此防至彼防求作一直线
此求亦出上篇葢自此防直行至彼防即是直线
自甲至乙或至丙至丁俱可作直线
第二求
一有界直线求从彼界直行引长之
如甲乙线从乙引至丙或引至丁俱一直行
第三求
不论大小以防爲心求作一圜
第四求
设一度于此求作彼度较此度或大或小【凡言度者或线或面或体皆是】或言较小作大可作较大作小不可作何者小之至极数穷尽故也此说非是凡度与数不同数者可以长不可以短长数无穷短数有限如百数减半成五十减之又减至一而止一以下不可损矣自百以上增之可至无穷故曰可长不可短也度者可以长亦可以短长者增之可至无穷短者减之亦复无尽尝见庄子称一尺之棰日取其半万世不竭亦此理也何者自有而分不免爲有若减之可尽是有化爲无也有化爲无犹可言也令巳分者更复合之合之又合仍爲尺棰是始合之初两无能并爲一有也两无能并爲一有不可言也公论十九则
公论者不可疑
第一论
设有多度彼此俱与他等则彼与此自相等
第二论
有多度等若所加之度等则合并之度亦等
第三论
有多度等若所减之度等则所存之度亦等
第四论
有多度不等若所加之度等则合并之度不等
第五论
有多度不等若所减之度等则所存之度不等
第六论
有多度俱倍于此度则彼多度俱等
第七论
有多度俱半于此度则彼多度亦等
第八论
有二度自相合则二度必等【以一度加一度之上】
第九论
全大于其分【如一尺大于一寸寸者全尺中十分中之一分也】
第十论
直角俱相等【见界说十】
第十一论
有二横直线或正或偏任加一纵线若三线之间同方两角小于两直角则此二横直线愈长愈相近必至相遇甲乙丙丁二横直线任意作一戊己纵线或正或偏若戊己线同方两角俱小于直角或并之小于两直角则甲乙丙丁线愈长
愈相近必有相遇之处
欲明此理宜察平行线不得相遇者【界说卅四】加一垂线即三线之间定为直角便知此论两角小于直角者其行不得不相遇矣
第十二论
两直线不能为有界之形
第十三论
两直线止能于一防相遇
如云线长界近相交不止一防试于丙乙二界各出直线交于丁假令其交不止一防当引至甲则甲丁乙宜为甲丙乙圜之径而甲丁
丙亦如之【界说十七】夫甲丁乙圜之右半也而甲丁丙亦右半也【界说十七】甲丁乙为全甲丁丙为其分而俱称右半是全与其分等也【本篇九】
第十四论
有几何度等若所加之度各不等则合并之差与所加之差等
甲乙丙丁线等于甲乙加乙戊于丙丁加丁己则甲戊大于丙己者庚戊线也而乙戊大
于丁己亦如之
第十五论
有几何度不等若所加之度等则合并所赢之度与元所赢之度等
如上图反说之戊乙己丁线不等于戊乙加乙甲于己丁加丁丙则戊甲大于己丙者戊庚线也而戊乙大于己丁亦如之
第十六论
有几何度等若所减之度不等则余度所赢之度与减去所赢之度等
甲乙丙丁线等于甲乙减戊乙于丙丁减己丁则乙戊大于丁己者庚戊也而丙己大于甲戊亦如之
第十七论
有几何度不等若所减之度等则余度所赢之度与元所赢之度等
如十四论反说之甲戊丙己线不等于甲戊减甲乙于丙己减丙丁则乙戊长于丁己者亦庚戊也与甲戊长于丙己者等矣
第十八论
全与诸分之并等
第十九论
有二全度此全倍于彼全若此全所减之度倍于彼全所减之度则此较亦倍于彼较【相减之余曰较】
如此度二十彼度十于二十减六于十减三则此较十四彼较七
几何原本卷一之首
钦定四库全书
几何原本卷一
西洋利玛窦撰
第一题
于有界直线上求立平边三角形
法曰甲乙直线上求立平边三角形先以甲为心乙为界作丙乙丁圜次以乙为心甲为界作丙甲丁圜两圜相交于丙于丁末自甲
至丙丙至乙各作直线即甲乙丙为平边三角形论曰以甲为心至圜之界其甲乙线与甲丙甲丁线等以乙为心则乙甲线与乙丙乙丁线亦等何者凡为圜自心至界各线俱等故【界説十五】既乙丙等于乙甲而甲丙亦等于甲乙即甲丙亦等于乙丙【公论一】三边等如所求【凡论有二种此以是为论者正论也下仿此】
其用法不必作两圜但以甲为心乙为界作近丙一短界线乙为心甲为界亦如之
两短界线交处即得丙
诸三角形俱推前用法作之【详本篇卄二】
第二题
一直线线或内或外有一防求以防为界作直线与元线等
法曰有甲防及乙丙线求以甲为界作一线与乙丙等先以丙为心乙为界【乙为心丙为界亦可作】作丙乙圜【第三求】次观甲防若在丙乙之外则自甲至丙作甲丙线【第一求】如上前图或甲在丙乙之内则截取甲至丙一分线如上后图两法俱以甲丙线为底任于
上下作甲丁丙平边三角形【本篇一】次自三角形两腰线引长之【第二求】其丁丙引至丙乙圜界而止为丙戊线其丁甲引之出丙乙圜外稍长为甲己线末以丁为心戊为界作丁戊圜其甲己线与丁戊圜相交于庚即甲庚线与乙丙线等
论曰丁戊丁庚线同以丁为心戊庚为界故等【界説十五】于丁戊线减丁丙丁庚线减丁甲其所减两腰线等则所存亦等【公论三】夫丙戊与丙乙同以丙为心戊乙为界亦等【界説十五】即甲庚与丙乙等【公论一】
若所设甲防即在丙乙线之一界其法尤易假如防在丙即以丙为心作乙戊圜从丙至戊即所求第三题
两直线一长一短求于长线减去短线之度
法曰甲短线乙丙长线求于乙丙减甲先以甲为度从乙引至别界作乙丁线【本篇二】次以乙为心丁为界作圜【第三求】圜界与乙丙交于
戊即乙戊与等甲之乙丁等葢乙丁乙戊同心同圜故【界説十五】
第四题
两三角形若相当之两腰线各等各两腰线间之角等则两底线必等而两形亦等其余各两角相当者俱等
解曰甲乙丙丁戊己两三角形之甲与丁两角等甲丙与丁己两线甲乙与丁戊两线各等题言乙丙与戊己两底线必等而两三角形亦等甲乙丙与丁戊己两角甲丙乙与丁己戊两角俱等
论曰如云乙丙与戊己不等即令将甲角置
丁角之上两角必相合无大小甲丙与丁己甲乙与丁戊亦必相合无大小【公论八】此二俱等而云乙丙与戊己不等必乙丙底或在戊己之上为庚或在其下为辛矣戊己既为直线而戊庚己又为直线则两线当别作一形是两线能相合为形也辛仿此【公论十二 此以非为论者驳论也下仿此】
第五题
三角形若两腰等则底线两端之两角等而两腰引出之其底之外两角亦等
解曰甲乙丙三角形其甲丙与甲乙两腰等题言甲丙乙与甲乙丙两角等又自甲丙线任引至戊甲乙线任引至丁
其乙丙戊与丙乙丁两外角亦等
论曰试如甲戊线稍长即从甲戊截取一分与甲丁等为甲己【本篇三】次自丙至丁乙至己各作直线【第一求】即甲己乙甲丁丙两三角形必等何者此两形之甲角同甲己与甲丁两腰又等甲乙与甲丙两腰又等则其底丙丁与乙己必等而底线两端相当之各两角亦等矣【本篇四】又乙丙己与丙乙丁两三角形亦等何者此两形之丙丁乙与乙己丙两角既等【本论】而甲己甲丁两腰
各减相等之甲丙甲乙线即所存丙己乙丁两腰又等【公论三】丙丁与乙己两底又等【本论】又乙丙同腰即乙丙丁与丙乙己两角亦等也则丙之外乙丙己角与乙之外丙乙丁角必等矣【本篇四】次观甲乙己与甲丙丁两角既等于甲乙己减丙乙己角甲丙丁减乙丙丁角则所存甲丙乙与甲乙丙两角必等【公论三】
増从前形知三边等形其三角俱等
第六题
三角形若底线两端之两角等则两腰亦等
解曰甲乙丙三角形其甲乙丙与甲丙乙两角等题言甲乙与甲丙两腰亦等
论曰如云两腰线不等而一长一短试辩之若甲乙为长线即令比甲丙线截去所长之度为乙丁线而乙丁与甲丙等【本篇三】次自丁至丙作直线则本形成两三角形其一为甲乙丙其一为丁乙丙而甲乙丙全形与丁乙丙分形同也是全与其分等也【公论九】何者彼言丁乙丙分形之乙丁与甲乙丙全形之甲丙两线既等丁乙丙分形之乙丙与甲乙丙全形之乙丙又同线而元设丁乙丙与甲丙乙两角等则丁乙丙与甲乙丙两形亦等也【本篇四】
是全与其分等也故底线两端之两角等者两腰必等也
第七题
一线为底出两腰线其相遇止有一防不得别有腰线与元腰线等而于此防外相遇
解曰甲乙线为底于甲于乙各出一线至丙防相遇题言此为一定之处不得于甲上更出一线与甲丙等乙上更出一线与乙丙等
而不于丙相遇
论曰若言有别相遇于丁者即问丁当在丙内邪丙外邪若言丁在丙内则有二説俱不可通何者若言丁在甲丙元线之内则如第一图丁在甲丙两界之间矣如此即甲丁是甲丙之分而云甲丙与甲丁等也是全与其分等也【公论九】若言丁在甲丙乙三角顶间则如第二图丁在甲丙乙之间矣即令自丙至丁作丙丁线而乙丁丙甲丁丙又成两三角形次从乙丁引出至己从乙丙引出至戊则乙丁丙形之乙丁乙丙两腰等者其底线两端之两角乙丁丙乙丙丁宜亦等也其底之外两角己丁丙戊丙丁宜亦等也【本篇五】而甲丁丙形之甲丁甲丙两腰等者其底线两端之两角甲丙丁甲丁丙宜亦等也【本篇五】夫甲丙丁角本小于戊丙丁角而为其分今言甲丁丙与甲丙丁两角等则甲丁丙亦小于戊丙丁矣何况己丁丙又甲丁丙之分更小于戊丙丁可知何言底外两角等乎若言丁在丙外又有三説俱不可通
何者若言丁在甲丙元线外是丁甲即在丙甲元线之上则甲丙与甲丁等矣即如上第一説驳之若言丁在甲丙乙三角顶外即如上第二説驳之若言丁在丙外而后出二线一在三角形内一在其外甲丁线与乙丙线相交如第五图即令将丙丁相联作直线是甲丁丙又成一三角形而甲丙丁宜与甲丁丙两角等也【本篇五】夫甲丁丙角本小于丙丁乙角而为其分据如彼论则甲丙丁角亦小于丙丁乙角矣又丙丁乙亦成一三角形而丙丁乙宜与丁丙乙两角等也【本篇五】夫丁丙乙角本小于甲丙丁角而为其分据如彼论则丙丁乙角亦小于甲丙丁角矣此二説者岂不自相戾乎
第八题
两三角形若相当之两腰各等两底亦等则两腰间角必等
解曰甲乙丙丁戊己两三角形其甲乙与丁戊两腰甲丙与丁己两腰各等乙丙与戊己两底亦等题言甲与丁两角必等
论曰试以丁戊己形加于甲乙丙形之上问丁角在甲角上邪否邪若在上即两角等矣【公论八】或谓不然乃在于庚即问庚当在丁戊
线之内邪或在三角顶之内邪或在三角顶之外邪皆依前论驳之【本篇七】
系本题止论甲丁角若旋转依法论之即三角皆同可见凡线等则角必等不可疑也
第九题
有直线角求两平分之
法曰乙甲丙角求两平分之先于甲乙线任截一分为甲丁【本篇三】次于甲丙亦
截甲戊与甲丁等次自丁至戊作直线次以丁戊为底立平边三角形【本篇一】为丁戊己形末自己至甲作直线即乙甲丙角为两平分
论曰丁甲己与戊甲己两三角形之甲丁与甲戊两线等甲己同是一线戊己与丁己两底又等【何言两底等初从戊丁底作此三角平形此二线为腰各等戊丁故】则丁甲己与戊甲己两角必等【本篇八】
用法如上截取甲丁甲戊即以丁为
心向乙丙间任作一短界线次用元
度以戊为心亦如之两界线交处得己【本篇一】
第十题
一有界线求两平分之
法曰甲乙线求两平分先以甲乙为底作甲乙丙两边等三角形【本篇一】次以甲丙乙角两
平分之【本篇九】得丙丁直线即分甲乙于丁
论曰丙丁乙丙丁甲两三角形之丙乙丙甲两腰等而丙丁同线甲丙丁与乙丙丁两角又等【本篇九】则甲丁与乙丁两线必等【本篇四】
用法以甲为心任用一度但须长于甲乙线之半向上向下各作一短界线次
用元度以乙为心亦如之两界线交处即丙丁末作丙丁直线即分甲乙于戊
第十一题
一直线任于一防上求作垂线
法曰甲乙直线任指一防于丙求丙上作垂线先于丙左右任用一度各截一界为丁为戊【本篇二】次以丁戊为底作两边等角形【本篇一】为丁己戊末自己至丙作直线即己丙为甲
乙之垂线
论曰丁己丙与戊己丙两角形之己丁己戊两腰等而己丙同线丙丁与丙戊两底又等即两形必等丁与戊两角亦等【本篇五】丁己丙与戊己丙两角亦等【本篇八九】则丁丙己与戊丙己两角必等矣等即是直角直角即是垂线【界説十 此后三角形多称角形省文也】
用法于丙防左右如上截取丁与戊即以丁为心任用一度但须长于丙丁线
向丙上方作短界线次用元度以戊为心亦如之两界线交处即己
又用法于丙左右如上截取丁与戊
即任用一度以丁为心于丙上下方
各作短界线次用元度以戊为心亦
如之则上交为己下交为庚末作己庚直线视直线交于丙防即得是用法又为尝巧之法
増若甲乙线所欲立垂线之防乃在线末甲界上甲外无余线可截则于甲乙线上任取一防为丙如前法于丙上立丁丙垂线次以甲丙丁角两平分之【本篇九】为己丙线次以甲丙为度于丁丙垂线上截戊丙线【本篇三】次于戊上如前法
立垂线与己丙线相遇为庚末自庚至甲作直线如所求
论曰庚甲丙与庚丙戊两角形之甲丙戊丙两线既等庚丙同线戊丙庚与甲丙庚两角又等即甲庚戊庚两线必等【本篇四】而对同边之甲角戊角亦等【本篇四】戊既直角则甲亦直角是甲庚为甲乙之垂线【界説十】
用法甲防上欲立垂线先以甲为心向元线上方任抵一界作丙防次用元度
以丙为心作大半圜圜界与甲乙线相遇为丁次自丁至丙作直线引长之至戊为戊丁线戊丁与圜界相遇为己末自己至甲作直线即所求【此法今未能论论见第三卷第三十一题】
第十二题
有无界直线线外有一防求于防上作垂线至直线上法曰甲乙线外有丙防求从丙作垂线至甲乙先以丙为心作一圜令两交于甲乙线为丁为戊次从丁戊各作直线至丙次
两平分丁戊于己【本篇十】末自丙至己作直线即丙己为甲乙之垂线
论曰丙己丁丙己戊两角形之丙丁丙戊两线等丙己同线则丙戊己与丙丁己两角必等【本篇八】而丁丙己与戊丙己两角又
等则丙己丁与丙己戊等皆直角【本篇四】而丙己定为垂线矣
用法以丙为心向直线两处各作短
界线为甲为乙次用元度以甲为心
向丙防相望处作短界线乙为心亦如之两界线交处为丁末自丙至丁作直线则丙戊为垂线
又用法于甲乙线上近甲近乙任取
一防为心以丙为界作一圜界于丙
防及相望处各稍引长之次于甲乙
线上视前心或相望如前图或进或
退如后图任移一防为心以丙为界
作一圜界至与前圜交处得丁末自
丙至丁作直线得戊【若近界作垂线无可截取亦用此法】
第十三题
一直线至他直线上所作两角非直角即等于两直角解曰甲线下至丙丁线遇于乙其甲乙丙与甲乙丁作两角题言此两角当是直角若非直角即是一鋭一钝而并之等于两直角论曰试于乙上作垂线为戊乙【本篇十一】令戊乙
丙与戊乙丁为两直角即甲乙丁甲乙戊两鋭角并之与戊乙丁直角等矣次于甲乙丁甲乙戊两鋭角又加戊乙丙一直角并此三角定与戊乙丙戊乙丁两直角等也【公论十八】次于甲乙戊又加戊乙丙并此鋭直两角定与甲乙丙钝角等也次于甲乙戊戊乙丙鋭直两角又加甲乙丁鋭角并此三角定与甲乙丁甲乙丙鋭钝两角等也夫甲乙丁甲乙戊戊乙丙三角既与两直角等则甲乙丁与甲乙丙两角定与两直角等【公论一】
第十四题
一直线于线上一防出不同方两直线偕元线每旁作两角若每旁两角与两直角等即后出两线为一直线
解曰甲乙线于丙防上左出一线为丙丁右出一线为丙戊若甲丙戊甲丙丁两角与两直角等题言丁丙与丙戊是一直线
论曰如云不然令别作一直线必从丁丙更引出一线或离戊而上为丁丙己或离戊而下为丁丙庚也若上于戊则甲丙线至丁丙己直线上为甲丙己甲丙丁两角此两角宜与两直角等【本篇十三】如此即甲丙戊甲丙丁两角与甲丙己甲丙丁两角亦等矣试减甲丙丁角而以甲丙戊与甲丙己两角较之果相等乎【公论三】夫甲丙己本
小于甲丙戊而为其分今曰相等是全与其分等也【公论九】若下于戊则甲丙线至丁丙庚直线上为甲丙庚甲丙丁两角此两角宜与两直角等【本篇十三】如此即甲丙庚甲丙丁两角与甲丙戊甲丙丁两角亦等矣试减甲丙丁角而以甲丙戊与甲丙庚较之果相等乎【公论三】夫甲丙戊实小于甲丙庚而为其分今曰相等是全与其分等也【公论九】两者皆非则丁丙戊是一直线
第十五题
凡两直线相交作四角每两交角必等
解曰甲乙与丙丁两线相交于戊题言甲戊丙与丁戊乙两角甲戊丁与丙戊乙两角各等论曰丁戊线至甲乙线上则甲戊丁丁戊乙
两角与两直角等【本篇十三】甲戊线至丙丁线上则甲戊丙甲戊丁两角与两直角等【本篇十三】如此即丁戊乙甲戊丁两角亦与甲戊丁甲戊内两角等【公论十】试减同用之甲戊丁角其所存丁戊乙甲戊丙两角必等【公论三】又丁戊线至甲乙线上则甲戊丁丁戊乙两角与两直角等【本篇十三】乙戊线至丙丁线上则丁戊乙丙戊乙两角与两直角等【本篇十三】如此即甲戊丁丁戊乙两角亦与丁戊乙丙戊乙两角【公论十】试
减同用之丁戊乙角其所存甲戊丁丙戊乙必等一系推显两直线相交于中防上作四角与四直角等
二系一防之上两直线相交不论几许线几许角定与四直角等【公论十八】
増题一直线内出不同方两直线而所作两交角等即后出两线为一直线
解曰甲乙线内取丙防出丙丁丙戊两线而所作甲丙戊丁丙乙两交角等或
甲丙丁戊丙乙两交角等题言戊丙丙丁即一直线
论曰甲丙戊角既与丁丙乙角等每加一戊丙乙角即甲丙戊戊丙乙两角必与丁丙乙戊丙乙两角等【公论二】而甲丙戊戊丙乙与两直角等【本篇十三】则丁丙乙戊丙乙亦与两直角等是戊丙丙丁为一直线【本篇十四】
第十六题
凡三角形之外角必大于相对之各角
解曰甲乙丙角形自乙甲线引之至丁题言外角丁甲丙必大于相对之内角
甲乙丙甲丙乙
论曰欲显丁甲丙角大于甲丙乙角试以甲丙线两平分于戊【本篇十】自乙至戊作直线引长之从戊外截取戊巳与乙戊等【本篇三】次自甲至己作直线即甲戊己戊乙丙两角形之
戊己与戊乙两线等戊甲与戊丙两线等甲戊己乙戊丙两交角又等【本篇十五】则甲己与乙丙两底亦等【本篇四】两形之各边各角俱等而己甲戊与戊丙乙两角亦等矣夫己甲戊乃丁甲丙之分则丁甲丙大于己甲戊亦大于相等之戊丙乙而丁甲丙外角不大于相对之甲丙乙内角乎次显丁甲丙大于甲乙丙试自丙甲线引长之至庚次以甲乙线两平分于辛【本篇十】自丙至辛作直线引长之从辛外截取辛壬与丙辛等【本篇三】次自甲至壬作直线依前论推显甲辛壬辛丙乙两角形之各边各角俱等则壬甲辛与辛乙丙两角亦等矣夫壬甲辛乃庚甲乙之分必小于庚甲乙也庚甲乙又与丁甲丙两交角等【本
