益古演段
李冶 著 元代算法
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敬斋古今黈
敬齊古今黈作者李治，字仁卿，自号敬齊，真定欒城（今河北欒城）人。金正大七（一二三0）登词赋進上第，调高陵薄，辟知钧州事。因戰亂，流落忻崞间，曾居太原等地。雖流離颠沛，亦手不停披，口不绝诵，深造自得。元世祖至元二年（一二六五）召拜翰林学士。至元十六年（一二七九）卒於家，年八十八。所著除敬齊古今黈外，尚有敬齊文集四十卷，壁书藂削十二卷，泛说四十卷，测圆海镜十二卷，益古衍段三十卷。关于作者名字，歷来诸书多作“李治”，如元朝名臣事略、元史本傳、永欒大典、四库全书總、皕宋楼藏书志等。柯劭忞新元史谓李治本名治，后改今名。折中雨说，實不足掳。施国祁（号北研，乾隆道光间人）在禮耕堂丛说中指出，“仁卿生於大定庚子，至正大庚寅登收世科，已五十有一岁，授高陵主薄，辟推钧州。金亡，北渡让学者书，祕演算术，獨能以道德文章確然自守，至老不衰。卽其中统召拜与翰林诸公书云云，其本意大可见，蓋在金则为收科之后劲，在元则占改曆之先幾。生则与王滹南、李荘靖同为一代遗民，没则与杨文献、趙闲亲並列四賢祠祀。鸣呼！其学术如是，其操履又如是，何后人不察，谬改其名，呼治为治，乃与形雌意蕩之女道士李季蘭相溷，吁！可悲已。今其言具在，其名亦正，倘能付诸剞劂，傳示当世，庶使抱殘守缺者得见全璧，豈非大惠后学哉。”
李冶元
益古演段
钦定四库全书子部六提要益古演段三卷天文算法类二【算书之属臣】等谨案益古演段三卷元李冶撰据至元壬午砚坚序称冶测圆海镜既巳刻梓其亲旧省掾李师徴复命其弟师珪请冶是编刋行是书在测圆海镜之后矣其曰益古演段者盖当时某氏算书【案冶序但称近世有某是冶已不知作者名氏】以方圆周径幂积和较相求定为诸法名益古集冶以为其蕴犹匿而未发因为之移补条目厘定图式演为六十四题以阐明奥义故踵其原名其中有草有条段有图有义草即古立天元一法条段即方田少广等法图则绘其加减开方之理义则随图解之盖测圆海镜以立天元一法为根此书即设为问答为初学明是法之意也所列诸法文皆浅显盖此法虽为诸法之根然神明变化不可端倪学者骤欲通之茫无门径之可入惟因方圆幂积以明之其理犹属易见故冶于方圆相求各题下皆以此法步之为草俾学者得以易入自序称今之为算者未必有刘李之工而褊心局见不肯晓然示人惟务隐互错糅故为溟涬黯黮惟恐学者得窥其彷佛云云可以见其著书之防矣至其条段图义触类杂陈则又以必习于诸法而后可以通此法故取以互相发也其书世无?本顾应祥唐顺之等见测圆海镜而不解立天元一法遂谓秘其机以为竒则明之中叶业已散佚今检永乐大典尚载有全编特録存之俾复见于世以为筭家之圭臬永乐大典所载不分卷数砚坚序称三卷今约畧篇页仍厘为三卷其?写讹谬者各以本法推之咸为校正焉乾隆四十六年七月恭校上总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅总校官【臣】陆费墀益古演段序算数之学其来尚矣率自九章支分派委刘徽李淳风又为之注后之学者咸祖其法敬斋先生天资明敏世间书凡所经见靡不洞究至于薄物细故亦不遗焉近代有移补方圆自成一家号益古集者大小七十问【按书中六十四问】先生一寓目见其用心之勤惜其秘而未尽剖露繙图式绎条段可移则移之可补则补之祥【按祥字有脱误应作説之详】非若溟涬黯黮之不可晓析之明非若浅近觕俗之无足观厘为三卷目曰益古演段颇晓十百披而览之辟如登坦途前无滞碍旁蹊曲径自可纵横而通嘉恵后来为视隠互杂糅惟恐人窥其彷佛者相去大有迳庭矣先生又尽摅已见辑为测圆海镜一编二百问【按今本一百七十问】同出一原致宻纎悉备而不防叅考互见真学者之指南也海镜既命工刻梓省掾李师征其亲旧也嘱弟师珪请是编刋而行之将与众共推善及人良可尚也已数学在六艺为未求之人最为切要迩来精其能者殊鲜自非先生学有余力诚能搜剔轩辕隶首之奥有不暇矣虽然是特大烹之一脔耳若夫先生胷中浑涵停蓄测之愈深挹之不穷时发于翰墨昭不可揜者则大全集在当嗣此出愿肃袵以观至元壬午仲秋二十六日郧城砚坚序自序术数虽居六艺之末而施之人事则最为切务故古之博雅君子马郑之流未有不研精于此者也其撰著成书者无虑百家然皆以九章为祖而刘徽李淳风又加注释而此道益明今之为算者未必有刘李之工而褊心局见不肯晓然示人惟务隠互错糅故为溟涬黯黮惟恐学者得闚其彷佛也不然则又以浅近觕俗无足观者致使轩辕隶首之术三五错综之妙尽堕于市井沾沾之儿及夫荒村下里蚩蚩之民殊可悯悼近世有某者以方圆移补成编号益古集真可与刘李相颉颃予犹恨其闭匿而不尽发遂再为移补条段细繙图式使粗知十百者便得入室啗其文顾不快哉客有订愚曰子所述果能尽轩隶之秘乎愚应之曰吾所述虽不敢追配作者诚令后生軰优而柔之则安知轩隶之秘不于是乎始客退因书以为自序时大元己未夏六月二十有四日栾城李冶序钦定四库全书益古演段卷上元李冶撰第一问今有方田一段内有圆池水占之外计地一十三亩七分半并不记内圆外方只云从外田楞至内池楞四边各二十步问内圆外方各多少答曰外田方六十步内池径二十步法曰立天元一为内池径加倍至步得□丨【按太即真数此即四十步并一池径】为田方靣【按方靣即每边】以自增乗得□□丨【按此即一千六百步八十池径一平方并】为方积于头再立天元一为内池径以自之又三因四而一得【太○】○□【按此即百分平方之七十五上二○存步与池之位】为池积以减头位得□□□【按此即一千六百步八十池径二分半平方】为一段虚积寄左然后列直积以亩法【按亩法二百四十步】通之得三千三百步与左相消【按相消者两边同减一千六百歩后凡言相消者皆两邉加减一数也】得□□□【按此即一千七百歩与八十池径二分半平方等】开平方得二十步为圆池径也倍至步加池径即外方靣也按今借根方法即立天元一法详见御制数理精蕴兹不尽释以条段求之真积内减四段至步幂为实四之至步为从二分半常法义曰真积内减四段至步幂者是减去四隅也以二分半为常法者是于一步
李冶元代
测圆海镜
钦定四库全书子部六测圆海镜天文算法类二【算书之属】提要【臣】等谨案测圆海镜十二卷元李冶撰冶字镜斋栾城人金末登进士入元官翰林学士事迹具元史本传其书以勾股容圆为题自圆心圆外纵横取之得大小十五形皆无竒零次列识别杂记数百条以穷其理次设问一百七十则以尽其用探赜索隐参伍错综虽习其法者不能骤解而其草多言立天元一按立天元一法见扵宋秦九韶九章大衍术中厥后授时草及四元玉鉴等书皆屡见之而此书言之独详其法关乎数学者甚大然自元以来畴人皆株守立成习而不察至遂无知其法者故唐顺之与頋应祥书称立天元一漫不省为何语頋应祥演是书为分类释术其自序亦云立天元一无下手之术则是书虽存而其传已泯矣明万厯中利玛窦与徐光启李之?等译为同文算指诸书扵古九章皆有辨订独于立天元一法阙而不言徐光启扵勾股义序中引此书又谓欲説其义而未遑是此书已为利玛窦所见而犹未得其解也迨我国朝醲化翔洽梯航鳞萃欧逻巴人始以借根方法进呈圣祖仁皇帝授蒙养斋诸臣习之梅防成乃悟即古立天元一法扵赤水遗珍中详解之且载西名阿尔热巴拉【案原本作阿尔热巴逹谨据西洋借根法改正】即华言东来法知即冶之遗书流入西域又转而还入中原也今用以勘騐西法一一脗合瑴成所説信而有徴特录存之以为算法之秘钥且以见中法西法互发益明无容设畛域之见焉乾隆四十六年二月恭校上总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅总校官【臣】陆费墀原序数本难穷吾欲以力强穷之彼其数不惟不能得其凡而吾之力且惫矣然则数果不可以穷耶既已名之数矣则又何为而不可穷也故谓数为难穷斯可谓数为不可穷斯不可何则彼其冥冥之中固有昭昭者存夫昭昭者其自然之数也非自然之数其自然之理也数一出于自然吾欲以力强穷之使隶首复生亦末如之何也已苟能推自然之理以明自然之数则虽逺而干端坤倪幽而神情鬼状未有不合者矣予自幼喜算数恒病夫考圆之术例出于牵强殊乖于自然如古率徽率密率之不同截弧截矢截背之互见内外诸角析剖支条莫不各自名家与世作法及反覆研究卒无以当吾心焉老大以来得洞渊九容之说日夕玩绎而向之病我者使爆然落去而无遗余山中多暇客有从余求其说者于是乎又为衍之遂累一百七十问既成编客复目之测圆海镜盖取夫天临海镜之义也昔半山老人集唐百家诗选自谓废日力于此良可惜明道先生以上蔡谢君记诵为玩物丧志夫文史尚矣犹之为不足贵况九九贱技能乎嗜好酸咸平生每痛自戒勅竟莫能已类有物慿之者吾亦不知其然而然也故尝私为之解曰由技兼于事者言之夷之礼夔之乐亦不免为一技由技进乎道者言之石之斤扁之轮非圣人之所与乎览吾之编察吾苦心其悯我者当百数其笑我者当千数乃若吾之所自得则自得焉耳宁复为人悯笑计哉李冶序总率名号天之地为通?天之干为通股干之地为通勾天之川为边?天之西为边股西之川为边勾日之地为底?日之北为底股北之地为底勾天之山为黄广?天之金为股金之山为勾月之地为黄长?月之泉为股泉之地为勾天之日为上髙?天之旦为股旦之日为勾日之山为下髙?日之朱为股朱之山为勾月之川为上平?月之青为股青之川为勾川之地为下平?川之夕为股夕之地为勾天之月为大差?天之坤为股坤之月为勾山之地为小差?山之艮为股艮之地为勾日之川为皇极?日之心为股心之川为勾月之山为太虚?月之水为股水之山为勾日之月为明?日之南为股南之月为勾山之川为□?山之东为股东之川为勾今问正数通?六百八十勾三百二十股六百勾股和九百二十较二百八十勾?和一千较三百六十股?和一千二百八十较八十?较和九百六十较四百?和和一千六百较二百四十边?五百四十四勾二百五十六股四百八十勾股和七百三十六较二百二十四勾?和八百较二百八十八股?和一千零
李冶元
