测圆海镜分类释术
顾应祥 著 明代算法
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测圆海镜分类释术
钦定四库全书子部六测圆海镜分类释术天文算法类二【算书之属】提要【臣】等谨案测圆海镜分类释术十卷明顾应祥撰应祥有人代纪要已著录李冶测圆海镜所设一百七十问中皆有草有法【按前数十题中甚易者或无草后皆有草】草用立天元一为虚数合问数推之法専用问数推之皆归于?纵诸乗方而止应祥得治书于唐顺之于立天元一语互相推求不得其解遂去其细草専演算法改为是书自谓便于下学殊不知立天元一之妙能使诸法不能求者可以得其法若无其草即冶已有不能得其法者而徒沾沾于加减开方之数可谓循枝叶而失本故唐顺之与应祥书云此书形下之数太详而形上之义或畧使观之者尚不免其数可陈而义难知有与人以鸳鸯枕而不度人以金鍼之疑仆意欲明公于要处提掇一二作法源头出来使后世为数学者识其大者得其义识其小者得其数则此书尤更觉精采耳其不足于应祥诚是第作法源头即立天元一一语应祥既去之又将何以为提掇乎然九章之中惟少广诸乗方之数为甚繁故立方?纵之法古已不见有和较者冶所用有至三乗方四乗方及五乗方者且兼加减诸乘方亷隅不为之详其算式初学诚有难于取数者冶虽専为发明立天元一术得应祥所演诸乗方之式亦可为求立天元一法者之一?云乾隆四十六年十月恭校上总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅总校官【臣】陆费墀钦定四库全书测圆海镜分类释术卷一元李冶撰明顾应祥释术圆城不知周径四面居中开门城外四隅各有十字大街西北隅曰干东北隅曰艮西南曰坤东南曰巽随地逺近测望以知城径通勾股求容圆一甲乙二人俱在城外西北隅干地乙东行三百二十步甲南行六百步望乙与城相叅直问城径荅曰城径二百四十步释曰此勾股求容圆径也东行为通勾南行为通股以通勾股求通?和较?和较即容圆径也术曰勾股相乗倍之为实勾股求?并勾股为?和和为法除之勾股求?曰勾自之得一十○万二千四百为勾筭股自之得三十六万为股筭并二筭得四十六万二千四百为?筭平方开之得?六百八十并勾股得一千六百为?和和后凡言勾股求?者俱仿此甲乙二人俱在城西北隅干地甲直南行不知步数而立乙直东行三百二十步望见乃斜行六百八十步与甲相防测城径释曰此勾?求容圆径也东行为通勾斜行为通?术曰勾?求股勾股相乗倍为实?和和除之勾?求股曰勾自乗得一十○万二千四百为勾筭?自乗得四十六万二千四百为?筭相减余三十六万为股筭平方开之得股又术勾?较乗勾倍之得二十三万○四百为实倍较为从作带从开平方法除之带从开平方曰列实于左倍较得七百二十为从约初商得二百置一于左上为法置一为隅法带从方共九百二十为下法除实一十八万四千余实四万六千四百倍隅法得四百为廉法约次商得四十置一于左次为上法置一为隅法并从方廉法共一千一百六十为下法与上次法相乗除实尽后凡言带从开平方法者俱仿此甲乙二人俱在城外西北干隅甲东行不知步数而立乙南行六百步见之复斜行六百八十步与甲防测城径释曰此股?求容圆也南行为通股斜行为通?术曰股?求勾以乗股倍之为实?和和除之股?求勾曰?筭减股筭开其余即勾后凡言股?求勾者俱仿此又术股?相减余八十为股?较相并得一千二百八十为股?和以较乗和得一十○万二千四百即勾筭平方开之得勾三百二十减较即城径既有勾股求圆径之法则勾?求圆股?求圆可以例见不必立法因原夲有此二问载于后卷故移附于此边勾股求容圆二甲乙二人俱在城西门甲南行四百八十步乙穿城东行二百五十六步见之测城径释曰此勾上容圆也南行边股也东行边勾也以边勾边股求通圆术曰勾股相乗倍之得二十四万五千七百六十为实勾股求?得五百四十四并股共一千○二十四为股?和为法除之乙出东门直行不知步数而止甲出西门南行四百八十步见之乃斜行五百四十四步相防问城径释曰此边股边?求边勾以求通容圆也南行为边股斜行为边?术曰股?求勾以乗股得一十二万二千八百八十为实半股?和得五百一十二为法除之甲出西门南行不知步数而立乙穿城东行二百五十六步见之乃斜行五百四十四步相防问城径释曰此边勾边?求边股以求通圆径也东行为边勾斜行为边?术曰勾?求股以乗勾半股?和除之底勾股求容圆三甲乙二人俱在北门乙东行二百步而止甲穿城南行三百七十五步见之问城径释曰此
顾应祥明代
弧矢算术
钦定四库全书子部六弧矢筭术天文算法类二【算书之属】提要【臣】等谨案弧矢算术一卷明顾应祥撰应祥有人代纪要巳着録弧矢之法始于元郭守敬授时厯草其有弧背求矢草立天元一为矢云云反覆求之至得三乘方积数及廉隅纵数而止不载开方筭式大抵开诸乗方法尚为当时畴人所习抑或别有専书皆不可知其?矢相求及弧容直濶诸法皆以勾股法御之明唐顺之谓为步日躔月离源头作弧矢论以示顾应祥应祥遂演为是书名其编曰弧矢算术应祥未明立天元一法故置之不论惟补其开带纵三乗之式并详各?矢相求之法与测圆海镜分类释术之作相同亦専备其数使学者可考而已乾隆四十六年二月恭校上总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅总校官【臣】陆费墀弧矢算术序弧矢一术古今算法所载者絶少钱唐呉信民九章法止载一条四元玉鉴所载数条皆不言其所以然之故沈存中梦溪笔谈有割圆之法虽自谓造微然止于径矢求?而于弧背求矢截积求矢诸法俱未备予每病之南曹讼牒颇暇乃取诸家算书间附己意各立一法名曰弧矢算术藏诸箧笥俟高明之士取正焉未敢谓尽得其阃奥也嘉靖壬子春三月吉吴兴顾应祥识弧矢论说弧矢者割圆之法也割平圆之旁状若弧矢故谓之弧矢其背曲曰弧背其?直曰弧?其中衡曰矢而皆取法于径径也者平圆中心之径也背有曲直?有脩短系于圆之大小圆大则径长圆小则径短非径无以定之故曰取则于径而其法不出于勾股开方之术以矢求?则以半径为?半径减矢为股股?各自乗相减余为实平方开之得勾勾即半截?也以?求矢亦以半径为?半截?为勾勾?各自乗相减余为实平方开之得股股乃半径减矢之余也以减半径即矢或以矢减全径为勾股和以矢为勾股较乘之亦得勾筭即半截?筭也矢自乗圆径除之得半背?差倍以加?即弧背以半背?差除矢筭亦得圆径半截?自乗为实以矢除之得矢径差加矢即圆径以矢加?以矢乗而半之即所截之积也倍截积以矢除之减矢即?倍截积以?为从方开之即矢惟弧背与径求矢截积与径求矢开方不能尽用三乗方法开之弧背求矢以半弧背筭与径筭相乗为实径乗径筭为从方径筭为上亷全背与径相乗为下亷约矢乗上亷以减从方以矢自乗以减下亷又以矢乗余下亷与减余从方为法除实得矢曷为以矢乗上防减从方也盖从方乃径与径筭相乗其中多一矢乗径筭之数故减之曷为又以矢自乗以减下亷也下亷乃背径相乗其中多一矢自乗之数故亦减之减之则法与实相合矣以截积求矢则倍积自乗为实四因积为上亷四因径为下亷五为负隅约矢以隅因之以减下亷又以矢一度乗上亷两度乗下亷并而为法矢减下亷者何也矢本减径而得故减径以求之五为负隅者何也凡以方为圆毎一寸得虚隅二分五厘四其虚隅与四其矢合而为五也四其亷者何也倍积则乗出之数为积者四故亦四其亷以就之升法以就实也若以截?与截余外周求矢则以?筭半?筭相乗四而三之为实并?及余周为益方半?乗?加?筭为从上亷并亷及余周为下亷以约出之矢乗上亷又以矢自乗再乗为隅法并上亷以减益方矢自之以乗下亷并减余从方为法除实得矢方圆论说【附】世之习算者咸以方五斜七围三径一为凖殊不知方五则斜七有奇径一则围三有奇故古人立法有勾三股四?五之论而不能使方斜为一定之法有割圆矢?之论而不能使方圆为一定之法试以勾股法求之勾股各自乗并为?实平方开之此施之于长直方则可若一整方勾五股五各自乗并得五十平方开之得七而又多一筭矣割圆之法求矢求?固是至于求弧背则恐未尽也何以知之试以平圆径十寸者例之中心剖开矢阔五寸自乗得二十五寸以径除之得二寸五分为半背?差倍之得五寸以加?得一十五寸与围三径一之论正合然径一则围三有竒奇数则不能尽矣以是知弧背之説犹未尽也不特是也凡平圆一十二立圆三十六皆不过取其大较耳或曰宻率径七则围二十二徽率径五十则围一百五十七何不取二术酌之以立一定之法曰二术以圆为方以方为圆非不可但其还原与原数不合数多则散漫难收故算厯者止用径一围三亦势之不得已也曰厯家以径一围三立法则其数似犹未精然郭守敬之厯至今行之无弊何也曰厯家以万分为度秒以下皆不録纵有小差不出于一度之中况所谓黄赤道弧背度乃测验而得止以径一围三定其平差立差耳虽然行之日久安保其不差也窃尝思之天地之道隂阳而已方圆天地也方象法地静而有质故可以象数求之圆象法天动而无形故不可以象数求之方体本静而中斜者乃动而生阳者也圆体本动而中心之径乃静而根隂者也天外阳而内隂地外隂而内阳隂阳交错而万物化生其机正在于奇零不齐之处上智不能测巧厯不能尽者也向使天地之道俱可以限量求之则化机有尽而不能生万物矣余因论方圆之法而并着其理如此钦定四库全书弧矢筭术明顾应祥撰圆径与截矢求截?术曰半径为?半径减矢
顾应祥明代
