五曹算经
甄鸾 著 北周算法
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五经算术
《五经算术》〈卷上〉《尚书》定闰法：「帝曰：咨汝羲暨和，期三百有六旬六日。以闰月定四时成岁。」孔氏注云：「咨，嗟；暨，与也。匝四时曰期。一岁十二月，月三十日，正三百六十日。除小月六为六日，是为一岁。有余十二日，未盈三岁足得一月，则置闰焉。以定四时之气节，成一岁之历象。」甄鸾按：一岁之闰惟有十日九百四十分日之八百二十七。而云余十二日者，理则不然。何者？十九年七闰，今古之通轨。以十九年整得七闰，更无余分。故以十九年为一章。今若一年有余十二日，则十九年二百二十八日。若七月皆小，则剩二十五日；若七月皆大，犹余十八日。先推日月合宿，以定一年之闰，则十九年七闰可知。推日月合宿法：置周天三百六十五度于上，四分度之一于下又置月行十三度十九分度之七。除其日一度，余十二度。以月分母十九乘十二度，积二百二十八；内子七得二百三十五为章月。以度分母四乘章月得九百四十日为法。又以四分乘度三百六十五，内子一，得一千四百六十一。乃以月行分母十九乘之，得二万七千七百五十九为周天分。以日法九百四十除之，得二十九日，不尽四百九十九。即是一月二十九日九百四十分日之四百九十九。与日合宿也。求一年定闰法：置一年十二月。以二十九日乘之，得三百四十八日。又置十二月，以日分子四百九十九乘之，得五千九百八十八。以日法九百四十除之，得六日。从上三百四十八日，得三百五十四日，余三百四十八。以三百五十四减周天三百六十五度，不尽十一日。又以余分三百四十八减章月二百三十五。而章月少，不足减。上减一日，下加法九百四十分，得一千一百七十五。以实余三百四十八乃减下法，余八百二十七。是为一岁定闰十日九百四十分日之八百二十七。求十九年七闰法：置一年闰十日，以十九年乘之得一百九十日。又以八百二十七分，以十九年乘之得一万五千七百一十三。以日法九百四十除之，得十六日，余六百七十三。以十六加上日，得二百六日。以二十九除之，得七月，余三日。以法九百四十乘之，得二千八百二十。以前分六百七十三加之，得三千四百九十三。以四百九十九命七月分之，适尽。是谓十九年得七闰月，月各二十九日九百四十分日之四百九十九。《尚书》、《孝经》「兆民」注数越次法：「天子曰兆民，诸侯曰万民。」甄鸾按：吕刑云：「一人有庆，兆民赖之」注云：「亿万曰兆。天子曰兆民，诸侯曰万民。」又按周官：乃经土地而井，牧其田野。九夫为井，四井为邑，四邑为邱，四邱为甸，四甸为县，四县为都。以任地事而令贡赋。凡税敛之事，所以必共井者，存亡更守，入出相同，嫁娶相媒，有无相贷，疾病相忧，缓急相救，以所有易以所无也。兆民者，王畿方千里，自乘得兆井。王畿者，因井田立法，故曰兆民。若言兆井之民也。如以九州岛地方千里者九言之，则是九兆，其数不越于兆也。诸侯曰万民者，公地方百里，自乘得一万井。故曰万民。所以言侯者，诸侯之通称也。按注云：「亿万曰兆」者，理或未尽。何者？按黄帝为法，数有十等。及其用也，乃有三焉。十等者，谓亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载也。三等者，谓上、中、下也。其下数者，十十变之。若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也。中数者，万万变之。若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京也。上数者，数穷则变。若言万万曰亿，亿亿曰兆、兆兆曰京也。若以下数言之，则十亿曰兆；若以中数言之，则万万亿曰兆；若以上数言之，则亿亿曰兆。注乃云「亿万曰兆」者，正是万亿也。若从中数，其次则需有十万亿、次百万亿、次千万亿、次万万亿曰兆。三数并违，有所未详。按尚书无此注，故从孝经注释之。《诗》伐檀毛、郑注不同法：「不稼不穑，胡取禾三百亿兮；不狩不猎，胡瞻尔庭，有县特兮。」注云：「万万曰亿。兽三岁曰特。」笺云：「十万曰亿。三百亿，禾秉之数也。」甄鸾按：黄帝为法，数有十等。及其用也，乃有三焉。十等者，谓亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载。三等者，谓上、中、下也。其下数者，十十变之。若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也。中数者，万万变之。若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京也。上数者，数穷则变。若言万万曰亿，亿亿曰兆、兆兆曰京也。据此而言，郑用下数，毛用中数矣。《诗》丰年毛注数越次法：
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钦定四库全书子部六五曹算经目録天文算法类二【算书之属】卷一田曹卷二兵曹卷三集曹卷四仓曹卷五金曹【臣】等谨案隋书经籍志有九章六曹算经一卷而无五曹之目其六曹篇题亦不传唐书艺文志始有甄鸾五曹算经五卷韩延五曹算经五卷李淳风注五曹孙子等算经二十卷鲁续新集五时时要术三卷甄韩二家皆注是书者也其作者则不知为谁攷汉书梅福传福上书言臣闻齐桓之时有以九九见者顔师古注云九九算术若今九章五曹之辈葢算学虽多不出乗除二者而乗除不出自一至九因而九之之数故举九九为言而师古即以其时所有九章五曹等书实之非梅福时有是书也朱彞尊曝书亭集有五曹算经防云相传其法出于孙武然彞尊第曰相传无所引证葢不足据观唐书选举志称孙子五曹共限一嵗既曰共限则五曹不出孙子明矣姑断以甄鸾之注则其书确在北齐前耳自元明以来久无刻本藏书家传写讹舛殆不可通今散见永乐大典内者甄鸾韩延李淳风之注虽亦散佚而经文则逐条完善今参互攷校俾还旧观遂为絶无仅有之善本攷夏侯阳算经引田曹仓曹者二引金曹者一而此书皆无其文然此书首尾分明脉络通贯亦不似有所亡失疑隋志之九章六曹其目亦同阳所引田曹仓曹金曹等名乃彼书之文故不敢据以补入以溷其真焉乾隆四十七年四月恭校上总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅总校官【臣】陆费墀钦定四库全书五曹算经卷一田曹生人之本上用天道下分地利故田曹为首今有方田广从各五十六步问为田防何答曰一十三亩竒十六步术曰列田五十六步自相乗得三千一百三十六步以亩法除之即得【案亩法二百四十步】今有方田广从各六十八步问为田防何答曰一十九亩竒六十四步术曰列田六十八步自相乗得四千六百二十四步以亩法除之即得今有直田广八十步从一百九十步问为田防何答曰六十三亩竒八十步术曰列广八十步以从一百九十步乗之得一万五千二百步以亩法除之即得今有圭田从三十步一头广二十四步一头无步问为田防何答曰一亩竒一百二十步术曰列一头广二十四步半之得一十二步以从三十步乗之得三百六十步以亩法除之即得今有腰鼓田从八十二步两头各广三十步中央广十二步问为田防何答曰八亩竒四十八步术曰并三广得七十二步以三除之得二十四步以从八十二步乗之得一千九百六十八步以亩法除之即得【案此术踈舛当倍中央广得二十四步并入两头广得八十四步以四除之得二十一步以从八十二步乗之得一千七百二十二步以亩法除之得七亩竒四十二步】今有鼓田两头各广四十步中央广五十二步从八十五步问为田防何答曰一十五亩竒一百四十步术曰并三广得一百三十二步以三除之得四十四步以从八十五步乗之得三千七百四十步以亩法除之即得【案此术亦踈舛当倍中央广得一百四步并入两头广得一百八十四步以四除之得四十六步以从八十五步乗之得三千九百一十步以亩法除之得一十六亩竒七十步】今有弧田?八十步矢五步问为田防何答曰二百步术曰列?八十步半之得四十步以矢五步乗之即得今有蛇田头广三十三步胷广五十七步尾广十八步从九十二步问为田防何答曰一十三亩竒一百九十二步术曰并三广得一百八步以三除之得三十六步以从九十二步乗之得三千三百一十二步以亩法除之即得今有墙田方周一千步问为田防何答曰二顷六十亩竒一百步术曰列田方周一千步以四除之得二百五十步自相乗得六万二千五百步以亩法除之即得今有箫田从四十八步一头广二十五步一头广三十五步问为田防何答曰六亩术曰并二广得六十步半之得三十步以从四十八步乗之得一千四百四十步以亩法除之即得今有田桑生中央从隅至桑一百四十七步问为田防何答曰一顷八十三亩竒一百八十步术曰列一百四十七步以二乗之得二百九十四步以五乗之得一千四百七十步以七除之得二百一十步自相乗得四万四千一百步以亩法除之即得今有邱田周六百四十步径三百八十步问为田防何答曰二顷五十三亩竒八十步术曰列周六百四十步【案原本讹作四百六十步今改正】半之得三百二十步又列径三百八十步半之得一百九十步二位相乗得六万八百步以亩法除之即得今有箕田一头广八十六步一头广四十步从九十步问为田防何答曰二
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